Luonnollisen logaritmin luonnollinen logaritmi on yhtä suuri kuin. Luonnollisten logaritmien ominaisuudet: kaavio, kanta, funktiot, raja, kaavat ja alue

Excelin LN-funktio on suunniteltu laskemaan luvun luonnollinen logaritmi ja palauttaa vastaavan numeerinen arvo. Luonnollinen logaritmi on e-kantalogaritmi (Euler-luku noin 2,718).

Excelin LOG-funktiota käytetään luvun logaritmin laskemiseen, kun taas logaritmin kanta voidaan määrittää eksplisiittisesti tämän funktion toiseksi argumentiksi.

Excelin LOG10-funktio on suunniteltu laskemaan luvun logaritmi, jonka kantaluku on 10 (desimaalilogaritmi).

Esimerkkejä LN-, LOG- ja LOG10-funktioiden käytöstä Excelissä

Arkeologit ovat löytäneet muinaisen eläimen jäänteet. Heidän ikänsä määrittämiseksi päätettiin käyttää radiohiilianalyysimenetelmää. Mittausten tuloksena kävi ilmi, että radioaktiivisen isotoopin C 14 pitoisuus oli 17 % siitä määrästä, jota tavallisesti esiintyy elävissä organismeissa. Laske jäänteiden ikä, jos hiili-14-isotoopin puoliintumisaika on 5760 vuotta.

Näkymä alkuperäisestä taulukosta:

Käytämme seuraavaa kaavaa ratkaisemaan:

Tämä kaava saatiin kaavan x=t*(lgB-lgq)/lgp perusteella, missä:

q on hiilen isotoopin määrä alkuhetkellä (eläimen kuolinhetkellä), ilmaistuna yksikkönä (tai 100 %);
B on isotoopin määrä jäännösten analyysin aikana;
t on isotoopin puoliintumisaika;
p on numeerinen arvo, joka ilmaisee kuinka monta kertaa aineen (hiilen isotoopin) määrä muuttuu ajanjakson t aikana.

Laskelmien tuloksena saamme:

Löydetyt jäännökset ovat lähes 15 tuhatta vuotta vanhoja.

Talletuslaskin korkokorolla Excelissä

Pankkiasiakas teki 50 000 ruplan talletuksen 14,5 %:n korolla (korkokorko). Määritä kuinka kauan sijoitetun määrän kaksinkertaistuminen kestää?

Mielenkiintoinen fakta! varten nopea päätös Tähän ongelmaan voit käyttää empiiristä menetelmää, jolla likimääräinen aikaväli (vuosina) kaksinkertaistuu koronkorolla tehtyjen sijoitusten osalta. Niin sanottu sääntö 72 (tai 70 tai sääntö 69). Tätä varten sinun on käytettävä yksinkertaista kaavaa - luku 72 jaettuna korolla: 72 / 14,5 \u003d 4,9655 vuotta. "Maagisen" numeron 72 säännön suurin haittapuoli on virhe. Mitä korkeampi korko, sitä suurempi virhe säännössä 72. Esimerkiksi 100 % vuosikorolla vuosien virhe on jopa 0,72 (ja prosentteina se on jopa 28 %!).

Investointien kaksinkertaistumisen ajoituksen laskemiseksi tarkasti käytämme LOG-toimintoa. Ensinnäkin tarkistetaan säännön 72 virhe 14,5 %:n vuosikorolla.

Näkymä alkuperäisestä taulukosta:

Sijoituksen tulevan arvon laskemiseksi tunnetulla korolla voit käyttää seuraavaa kaavaa: S=A(100%+n%) t , jossa:

S on odotettu määrä jakson lopussa;
A on talletuksen määrä;
n - korko;
t on talletusvarojen pankissa säilytysaika.

Tässä esimerkissä tämä kaava voidaan kirjoittaa muodossa 100000=50000*(100%+14.5%) t tai 2=(100%+14.5%) t . Sitten voit löytää t:n kirjoittamalla yhtälön uudelleen muotoon t=log (114,5%) 2 tai t=log 1,1452 .

Löytääksemme t:n arvon, kirjoitamme seuraavan kaavan talletuksen koron korkoon Excelissä:

LOG(B4/B2;1+B3)

Argumenttien kuvaus:

B4/B2 - odotetun ja alkusumman suhde, joka on logaritmin indikaattori;
1+B3 - korkovoitto (logaritmin kanta).

Laskelmien tuloksena saamme:

Talletus tuplaantuu hieman yli 5 vuoden kuluttua. varten tarkka määritelmä vuosia ja kuukausia, käytämme kaavaa:

SELECT-funktio hylkää kaiken desimaalipilkun jälkeen murtoluvussa, kuten INTEGER-funktio. SELECT- ja WHOLE-funktioiden ero on vain laskelmissa, joissa on negatiivisia murtolukuja. Lisäksi OTBR:ssä on toinen argumentti, jossa voit määrittää poistettavien desimaalien määrän. Siksi tässä tapauksessa voit käyttää mitä tahansa näistä kahdesta toiminnosta käyttäjän valinnan mukaan.

Siitä tuli 5 vuotta ja 1 kuukausi ja 12 päivää. Verrataan nyt tarkkoja tuloksia 72:n sääntöön ja määritetään virheen määrä. Tässä esimerkissä kaava on:

Meidän on kerrottava solun B3 arvo 100:lla, koska sen nykyinen arvo on 0,145, joka näytetään prosentteina. Tuloksena:

Kun olemme kopioineet kaavan solusta B6 soluun B8 ja soluun B9:

Lasketaan virhetermit:

Kopioi sitten soluun B10 kaava uudelleen solusta B6. Tuloksena saamme eron:

Ja lopuksi lasketaan prosenttiero tarkistaaksemme, kuinka poikkeaman suuruus muuttuu ja kuinka merkittävästi koron nousu vaikuttaa säännön 72 ja tosiasian väliseen poikkeamaan:

Nyt jotta voidaan visualisoida virheen kasvun ja korkotason nousun suhteellinen riippuvuus, nostamme koron 100 prosenttiin vuodessa:

Ensi silmäyksellä virheen ero ei ole merkittävä verrattuna 14,5 prosenttiin vuodessa - vain noin 2 kuukaudessa ja 100 prosenttiin vuodessa - 3 kuukauden sisällä. Mutta virheiden osuus takaisinmaksuajassa on yli ¼ tai pikemminkin 28%.

Tehdään yksinkertainen kaavio visuaalista analyysiä varten siitä, kuinka koron muutoksen riippuvuus ja säännön 72 virheprosentti korreloi tosiasian kanssa:

Mitä korkeampi korko, sitä huonommin sääntö 72 toimii. Tästä voimme tehdä seuraavan johtopäätöksen: 32,2 %:iin asti vuodessa, voit turvallisesti käyttää sääntöä 72. Silloin virhe on alle 10 prosenttia. Se onnistuu, jos tarkkoja, mutta monimutkaisia laskelmia investointien takaisinmaksuajasta 2 kertaa ei tarvita.

Sijoituskoron korkolaskuri Excelissä

Pankkiasiakkaalle tarjottiin talletuksen tekemistä kokonaissumman jatkuvalla kasvulla (pääomitus korkokorolla). Korko on 13 % vuodessa. Määritä, kuinka kauan alkuperäisen määrän (250 000 ruplaa) kolminkertaistaminen kestää. Kuinka paljon korkoa pitäisi nostaa odotusajan puolittamiseksi?

Huomaa: koska olemme sisällä tämä esimerkki kolminkertaistamme investointien määrän, silloin sääntö 72 ei toimi tässä.

Alkuperäisen datataulukon näkymä:

Jatkuvaa kasvua voidaan kuvata kaavalla ln(N)=p*t, jossa:

N on talletuksen lopullisen määrän suhde alkuperäiseen summaan;
p on korko;
t on talletuksen tekemisestä kuluneiden vuosien määrä.

Sitten t = ln(N)/p. Tämän yhtälön perusteella kirjoitamme Exceliin kaavan:

Argumenttien kuvaus:

B3/B2 - talletuksen loppu- ja alkusumman suhde;
B4 - korko.

Alkutalletussumman kolminkertaistuminen kestää lähes 8,5 vuotta. Laskeaksemme nopeuden, joka lyhentää odotusaikaa puoleen, käytämme kaavaa:

LN(B3/B2)/(0,5*B5)

Tulos:

Eli alkukorko on kaksinkertaistettava.

Excelin LN-, LOG- ja LOG10-toimintojen käytön ominaisuudet

LN-funktiolla on seuraava syntaksi:

LN(numero)

numero on ainoa pakollinen argumentti, joka hyväksyy reaaliluvut positiivisten arvojen alueelta.

Huomautuksia:

LN-funktio on EXP:n käänteisfunktio. Jälkimmäinen palauttaa arvon, joka on saatu nostamalla luku e määritettyyn potenssiin. LN-funktio osoittaa, mihin potenssiin luku e (kanta) on nostettava logaritmin eksponentin (lukuargumentin) saamiseksi.
Jos numeroargumentti on luku negatiivisten arvojen alueella tai nolla, LN-funktion tulos on #NUM!-virhekoodi.

LOG-funktion syntaksi on seuraava:

LOG(numero ;[kanta])

Argumenttien kuvaus:

numero - pakollinen argumentti, joka luonnehtii logaritmin eksponentin numeerista arvoa, eli lukua, joka saadaan logaritmin kantaa nostamalla tiettyyn potenssiin, jonka LOG-funktio laskee;
[kanta] on valinnainen argumentti, joka kuvaa logaritmin kantaluvun numeerista arvoa. Jos argumenttia ei ole erikseen määritelty, logaritmin oletetaan olevan desimaaliluku (eli kantaluku on 10).

Huomautuksia:

Vaikka LOG-funktion tulos voi olla negatiivinen luku (esimerkiksi funktio =LOG(2;0,25) palauttaa -0,5), tämän funktion argumentit on otettava positiivisten arvojen alueelta. Jos jokin argumenteista on negatiivinen luku, LOG-funktio palauttaa virhekoodin #NUM!.
Jos 1 välitetään [perus]-argumentiksi, LOG-funktio palauttaa virhekoodin #DIV/0!, koska 1:n nostaminen mihin tahansa potenssiin on aina sama ja yhtä suuri kuin 1.

LOG10-funktiolla on seuraava syntaksimerkintä:

LOG10(numero)

numero on ainoa ja pakollinen argumentti, jonka merkitys on identtinen LN- ja LOG-funktioiden samannimisen argumentin kanssa.

Huomautus: Jos negatiivinen luku tai 0 välitettiin numeroargumenttina, LOG10-funktio palauttaa virhekoodin #NUM!.

Tunti ja esitys aiheista: "Luonnolliset logaritmit. Luonnollisen logaritmin kanta. Luonnollisen luvun logaritmi"

Lisämateriaalit
Hyvät käyttäjät, älä unohda jättää kommentteja, palautetta, ehdotuksia! Kaikki materiaalit tarkistetaan virustorjuntaohjelmalla.

Opetusvälineet ja simulaattorit verkkokaupassa "Integral" luokalle 11
Interaktiivinen käsikirja luokille 9-11 "Trigonometria"
Interaktiivinen opas luokille 10-11 "Logaritmit"

Mikä on luonnollinen logaritmi

Kaverit, viime tunnilla opimme uuden erikoisnumeron - e. Tänään jatkamme työskentelyä tämän numeron kanssa.
Olemme tutkineet logaritmeja ja tiedämme, että logaritmin kanta voi olla joukko lukuja, jotka ovat suurempia kuin 0. Tänään tarkastellaan myös logaritmia, joka perustuu lukuon e. Tällaista logaritmia kutsutaan yleensä luonnolliseksi logaritmiksi . Sillä on oma merkintätapansa: $\ln(n)$ on luonnollinen logaritmi. Tämä merkintätapa vastaa: $\log_e(n)=\ln(n)$.
Eksponentiaalinen ja logaritminen funktio ovat käänteisiä, jolloin luonnollinen logaritmi on funktion käänteisfunktio: $y=e^x$.
Käänteisfunktiot ovat symmetrisiä suoran $y=x$ suhteen.
Piirretään luonnollinen logaritmi piirtämällä eksponentiaalinen funktio suoran $y=x$ suhteen.

On syytä huomata, että funktion $y=e^x$ kaavion tangentin kaltevuus pisteessä (0;1) on 45°. Tällöin luonnollisen logaritmin kaavion tangentin kaltevuus pisteessä (1; 0) on myös yhtä suuri kuin 45°. Molemmat tangentit ovat samansuuntaisia linjan $y=x$ kanssa. Piirretään tangentit:

Funktion $y=\ln(x)$ ominaisuudet

1. $D(f)=(0;+∞)$.
2. Ei ole parillinen eikä pariton.
3. Kasvua koko määrittelyalueen yli.
4. Ei rajoitettu ylhäältä, ei rajoitettu alhaalta.
5. Maksimiarvoa ei ole, pienin arvo ei.
6. Jatkuva.
7. $E(f)=(-∞; +∞)$.
8. Kupera ylöspäin.
9. Erottuva kaikkialla.

Korkeamman matematiikan aikana se on todistettu käänteisfunktion derivaatta on annetun funktion derivaatan käänteisluku.
Todistukseen ei ole paljon järkeä, kirjoitetaan vain kaava: $y"=(\ln(x))"=\frac(1)(x)$.

Esimerkki.
Laske funktion derivaatan arvo: $y=\ln(2x-7)$ pisteessä $x=4$.
Ratkaisu.
V yleisnäkymä funktiomme edustaa funktiota $y=f(kx+m)$, voimme laskea tällaisten funktioiden derivaatat.
$y"=(\ln((2x-7)))"=\frac(2)((2x-7))$.
Lasketaan derivaatan arvo vaaditussa pisteessä: $y"(4)=\frac(2)((2*4-7))=2$.
Vastaus: 2.

Esimerkki.
Piirrä tangentti funktion $y=ln(x)$ kuvaajalle pisteessä $x=e$.
Ratkaisu.
Muistamme hyvin funktion kaavion tangentin yhtälön pisteessä $x=a$.
$y=f(a)+f"(a)(x-a)$.
Lasketaan tarvittavat arvot peräkkäin.
$a=e$.
$f(a)=f(e)=\ln(e)=1$.
$f"(a)=\frac(1)(a)=\frac(1)(e)$.
$y=1+\frac(1)(e)(x-e)=1+\frac(x)(e)-\frac(e)(e)=\frac(x)(e)$.
Tangenttiyhtälö pisteessä $x=e$ on funktio $y=\frac(x)(e)$.
Piirretään luonnollinen logaritmi ja tangentti.

Esimerkki.
Tutki monotonisuuden ja ääripäiden funktiota: $y=x^6-6*ln(x)$.
Ratkaisu.
Toiminto $D(y)=(0;+∞)$.
Etsi annetun funktion derivaatta:
$y"=6*x^5-\frac(6)(x)$.
Derivaata on olemassa kaikille x:lle määritelmäalueelta, silloin ei ole kriittisiä pisteitä. Etsitään kiinteät pisteet:
$6*x^5-\frac(6)(x)=0$.
$\frac(6*x^6-6)(x)=0$.
$6*x^6-6=0$.
$x^6-1=0$.
$x^6=1$.
$x=±1$.
Piste $х=-1$ ei kuulu määritelmäalueeseen. Sitten meillä on yksi kiinteä piste $х=1$. Etsi kasvun ja laskun välit:

Piste $x=1$ on minimipiste, sitten $y_min=1-6*\ln(1)=1$.
Vastaus: Funktio pienenee segmentillä (0;1], funktio kasvaa säteellä $)