Kaavat logaritmisen yhtälöiden ratkaisuun. Joitakin menetelmiä logaritmisen yhtälöiden ratkaisemiseksi

Tämä video aloitan pitkän oppitunteja logaritmisista yhtälöistä. Nyt teidän edessäsi on kolme esimerkkiä, joiden perusteella opimme ratkaisemaan yksinkertaisimmat tehtävät, jotka ovat niin sanottuja - yksinkertaisin.

lOG 0.5 (3x - 1) \u003d -3

lG (x + 3) \u003d 3 + 2 LG 5

Haluan muistuttaa, että yksinkertaisin logaritminen yhtälö on seuraava:

kirjaudu a f (x) \u003d b

On tärkeää, että muuttuja X on läsnä vain argumentin sisällä, ts. Vain funktiossa f (x). A- ja B-numerot ovat tarkalleen numeroita, eikä missään tapauksessa ole toiminnassa, jotka sisältävät muuttujan X.

Liuoksen perusmenetelmät

Tällaisia \u200b\u200brakenteita on monia tapoja ratkaista. Esimerkiksi useimmat koulun opettajat tarjoavat tällainen tapa: ilmaista välittömästi funktio f (x) kaavalla f ( x) \u003d. a b. Tämä on, kun täytät yksinkertaisimman suunnittelun, välittömästi ilman lisätoimia ja rakennuksia voi mennä ratkaisuun.

Kyllä, ehdottomasti ratkaisu on oikeassa. Tämän kaavan ongelma on kuitenkin, että useimmat opiskelijat ei ymmärräMissä se tulee ja miksi kirje ja me pystymme kirjaimelta B.

Tämän seurauksena huomautan usein erittäin loukkaavia virheitä, kun esimerkiksi nämä kirjaimet muuttuvat paikoissa. Tämä kaava on joko ymmärrettävä tai työkalu, ja toinen menetelmä johtaa virheisiin sopimattomimpiin ja vastuullisimpiin hetkiin: tentteihin, valvontaan jne.

Siksi kaikki sen opiskelijat, ehdotan luopumaan vakiokoulu-kaavasta ja käyttämään logaritmisen yhtälöiden ratkaisemiseen toinen lähestymistapa, joka luultavasti arvannut nimestä, kutsutaan kanoninen muoto.

Kanonisen muodon ajatus on yksinkertainen. Katsotaanpa tehtävämme uudelleen: vasemmalla olemme kirjautunut A, kun kirjain A on tarkoitettu tarkalleen numero, eikä mikään tapauksessa ole toiminto, joka sisältää muuttujan X. Näin ollen kaikki tähän kirjeeseen sovelletaan kaikki rajoitukset, jotka on päällekkäin logaritmin perusteella. nimittäin:

1 ≠ A\u003e 0

Toisaalta samasta yhtälöstä näemme, että logaritmin on oltava yhtä suuri kuin numero B ja tässä se ei aseta rajoituksia tähän kirjeeseen, koska se voi ottaa arvoja - sekä positiivisia että negatiivisia. Kaikki riippuu siitä, mitä arvoja vastaanottaa funktion f (x).

Ja täällä muistamme merkittävää sääntöä, jonka mukaan mikä tahansa numero B voidaan edustaa logaritmin muodossa A: n asteikolla B:

b \u003d Log A b

Kuinka muistaa tämä kaava? Kyllä, hyvin yksinkertainen. Kirjoitamme seuraavan muotoilun:

b \u003d b · 1 \u003d b · Kirjaudu a

Tietenkin, vaikka kaikki rajoitukset, jotka tallennimme alussa. Ja nyt käytämme logaritmin perusominaisuutta ja tehdä kerrannaispiirre B asteina. Saamme:

b \u003d b · 1 \u003d b · log a a \u003d log a a b

Tämän seurauksena alkuperäinen yhtälö kirjoitetaan seuraavassa muodossa:

kirjaudu A F (X) \u003d LOG A A B → F (X) \u003d A B

Siinä kaikki. Uusi toiminto ei enää sisällä logaritmia ja ratkaistaan \u200b\u200btavallisilla algebraalaisilla tekniikoilla.

Tietenkin joku on nyt vastustettu: Miksi se oli kesti jonkin verran kanonista kaavaa, miksi kaksi muuta tarpeettomia portaita, jos voisit välittömästi siirtyä alkuperäisestä muotoilusta lopulliseen kaavan? Kyllä, ainakin, suurin osa opiskelijoista ei ymmärrä, missä tämä kaava tulee ja seurauksena säännöllisesti sallia virheitä sovellettaessa.

Mutta tämä kolmesta vaiheesta koostuvien toimien järjestys mahdollistaa ensimmäisen logaritmisen yhtälön ratkaisemisen, vaikka et ymmärrä, missä lopullinen kaava otetaan. Muuten kanoninen kaava kutsutaan tämän tietueen:

kirjaudu A F (X) \u003d Kirjaudu A B

Kanonisen muodon mukavuus koostuu myös siitä, että sitä voidaan käyttää hyvin laajan logaritmisen yhtälöiden ratkaisemiseksi, eikä pelkästään yksinkertaisimpien mielestä tänään.

Esimerkkejä ratkaisuista

Katsotaan nyt todellisia esimerkkejä. Joten päätämme:

lOG 0.5 (3x - 1) \u003d -3

Kirjoita se uudelleen seuraavasti:

lOG 0.5 (3x - 1) \u003d LOG 0.5 0.5 -3

Monet opiskelijat ovat kiire ja yrittää välittömästi rakentaa numero 0,5 asteittain, joka tuli meille alkuperäisestä tehtävästä. Ja kun olet jo hyvin koulutettu tällaisten tehtävien ratkaisemiseen, voit heti suorittaa tämän vaiheen.

Kuitenkin, jos nyt olet alkanut tutkia tätä aihetta, on parempi olla kiirehdi mihinkään, jotta estämään loukkaavia virheitä. Joten meillä on kanoninen muoto. Meillä on:

3x - 1 \u003d 0,5 -3

Tämä ei ole enää logaritminen yhtälö, vaan lineaarinen suhteessa muuttujalle X. Ratkaise se, katsotaan ensin 0,5 V: n tutkinto -3. Huomaa, että 0,5 on 1/2.

(1/2) −3 = (2/1) 3 = 8

Kaikki desimaaliset fraktiot Käännä tavalliseksi, kun ratket logaritmisen yhtälön.

Kirjoita ja saat:

3x - 1 \u003d 8
3x \u003d 9.
x \u003d 3.

Kaikki saimme vastauksen. Ensimmäinen tehtävä ratkaistaan.

Toinen tehtävä

Siirry toiseen tehtävään:

Kuten näemme, tämä yhtälö ei ole enää yksinkertaisin. Jokin ainakin, koska vasemmalla on ero, eikä yksi logaritm yksi yhdelle pohjalle.

Näin ollen on välttämätöntä päästä eroon tästä erosta. Tässä tapauksessa kaikki on hyvin yksinkertaista. Katsotaanpa huomaavaasti maassa: Vasen on juuren numero:

Yleinen suositus: Kaikissa logaritmisissa yhtälöissä yrittää päästä eroon radikaaleista eli tietueista juurista ja siirtyä tehotoimintoihin yksinkertaisesti siksi, että näiden asteiden indikaattorit suoritetaan helposti logaritmin merkkiin ja lopullisessa tilissä, kuten Tietue yksinkertaistaa merkittävästi ja nopeuttaa laskelmia. Tässä kirjoitetaan ja kirjoitan:

Muista nyt logaritmin huomattava ominaisuus: argumentista, sekä pohjasta, voit kestää asteita. Perusosien tapauksessa seuraavat seuraavat:

kirjaudu A K B \u003d 1 / K LOGA B

Toisin sanoen määrä, joka seisoi säätiön, siirretään eteenpäin ja samalla kääntyy, eli se muuttuu eri numeroon. Meidän tapauksessamme oli indikaattori 1/2. Näin voimme ottaa sen 2/1. Saamme:

5 · 2 log 5 x - log 5 x \u003d 18
10 LOG 5 X - LOG 5 x \u003d 18

Huomaa: Et missään tapauksessa voi päästä eroon logaritmeista tässä vaiheessa. Muista 4-5 luokan ja -menettelyn matematiikka: Ensinnäkin moninkertaistuminen suoritetaan, mutta vain sitten lisäys ja vähennys. Tässä tapauksessa vähennämme yhden samoista elementeistä:

9 LOG 5 X \u003d 18
lOG 5 X \u003d 2

Nyt yhtälö näyttää. Tämä on yksinkertaisin muotoilu, ja ratkaisemme sen kanonisen muodon avulla:

lOG 5 X \u003d LOG 5 5 2
x \u003d 5 2
x \u003d 25.

Siinä kaikki. Toinen tehtävä on ratkaistu.

Kolmas esimerkki

Siirry kolmanteen tehtävään:

lG (x + 3) \u003d 3 + 2 LG 5

Haluan muistuttaa sinua seuraavalle kaavalle:

lG B \u003d log 10 b

Jos jostain syystä olet hämmentynyt LG B-ennätyksellä, kun suoritat kaikki laskelmat, voit kirjoittaa vain log 10 B. Desimaalisen logaritmit, voit työskennellä samalla tavalla kuin muiden kanssa: tehdä asteita, taittaa ja edustaa mitä tahansa numeroa LG 10: n muodossa.

Se on näiden ominaisuuksien kanssa, käytämme nyt ongelman ratkaisemiseksi, koska se ei ole yksinkertaisin, jonka tallennimme oppiaiheemme alussa.

Aluksi toteamme, että kerroksemme, että LG 5: n kerroin 2 voidaan tehdä ja siitä tulee säätiö 5. Lisäksi vapaa termi 3 edustaa myös logaritmin muodossa - se on erittäin helppo tarkkailla ennätyksestämme.

Tuomari itse: mikä tahansa numero voi olla edustettuna 10: n perusteella 10:

3 \u003d LOG 10 10 3 \u003d LG 10 3

Kirjoitamme lähdetyön uudelleen ottaen huomioon vastaanotetut muutokset:

lG (x - 3) \u003d LG 1000 + LG 25
lG (x - 3) \u003d LG 1000 · 25
lG (x - 3) \u003d LG 25 000

Olemme jälleen kanoninen muoto, ja saimme sen ohittamalla muutoksia, ts. Yksinkertaisin logaritminen yhtälö ei törmännyt missään.

Se oli mitä sanoin oppitunnin alussa. Kanoninen lomake mahdollistaa laajemman tehtävien laajemman luokan kuin tavallisen kouluomion, jonka useimmat koulun opettajat antavat.

No, kaikki, päästä eroon desimaalisen logaritmin merkistä, ja saamme yksinkertaisen lineaarisen suunnittelun:

x + 3 \u003d 25 000
x \u003d 24 997

Kaikki! Tehtävä ratkaistaan.

Huomaa määritelmän alueesta

Täällä haluan tuoda tärkeän huomautuksen määritelmän alueesta. Totisesti nyt on opiskelijoita ja opettajia, jotka sanovat: "Kun ratkaisemme Logaritmien ilmaisut, on muistettava, että argumentti f (x) olisi suurempi kuin nolla!" Tältä osin on looginen kysymys: Miksi emme vaadita yhdessä harkituista tehtävistä, että tämä epätasa-arvo toteutetaan?

Älä huoli. Näissä tapauksissa ei ole ylimääräisiä juuria. Ja tämä on toinen ihana temppu, jonka avulla voit nopeuttaa päätöstä. Tiedä vain, että jos tehtävämuuttuja X löytyy vain yhdestä paikasta (tai pikemminkin yhdellä yksittäisellä logaritmilla), eikä missään muualla meidän tapauksessamme ei ole muuttujaa, kirjoita sitten määritelmäalue ei välttämättäKoska se suoritetaan automaattisesti.

Tuomari itse: Ensimmäisessä yhtälössä saimme, että 3X - 1, toisin sanoen väite on yhtä suuri kuin 8. Tämä tarkoittaa automaattisesti, että 3 - 1 on suurempi kuin nolla.

Samalla menestyksellä voimme kirjoittaa, että toisessa tapauksessa X: n pitäisi olla 5 2, toisin sanoen hän on ilmeisesti nolla. Ja kolmannessa tapauksessa, jossa x + 3 \u003d 25 000 eli jälleen enemmän kuin nolla. Toisin sanoen määritelmäalue suoritetaan automaattisesti, mutta vain siinä edellytyksessä, että x löytyy vain yhden logaritmin argumenttiin.

Se on kaikki mitä sinun tarvitsee tietää yksinkertaisimmat tehtävät. Jo yksi tämän säännön kanssa yhdessä muuntosääntöjen avulla voit ratkaista hyvin laajan tehtävän.

Mutta olkaamme rehellinen: Jotta voisit vihdoin käsitellä tätä tekniikkaa oppimaan logaritmisen yhtälön kanonisen muodon soveltamisen, se ei riitä näkemään yksi video-opetusohjelma. Siksi juuri nyt latausvaihtoehdot riippumattomalle ratkaisulla, joka on liitetty tähän videonkieleen ja aloittaa vähintään yhden näistä kahdesta itsenäisestä työstä.

Saat sinut kirjaimellisesti muutaman minuutin. Mutta tällaisen koulutuksen vaikutus on paljon suurempi verrattuna siihen aikaan, kun olet yksinkertaisesti katsonut tätä video-opetusohjelmaa.

Toivon, että tämä oppitunti auttaa sinua käsittelemään logaritmisia yhtälöitä. Käytä kanonellista muotoa yksinkertaistavat ilmaisuja Logaritmien kanssa työskentelevien sääntöjen avulla - eikä tehtäviä ei ole kauhea. Ja minulla on kaikki tänään.

Määritelmäalueen kirjanpito

Nyt puhutaan logaritmisen toiminnon määrittämisestä sekä siitä, miten se vaikuttaa logaritmisen yhtälöiden ratkaisuun. Harkitse näkemyksen suunnittelua

kirjaudu a f (x) \u003d b

Tätä ilmaisua kutsutaan yksinkertaisimmaksi - se vain yksi toiminto ja numero A ja B on tarkalleen numerot, eikä missään tapauksessa ole toiminto riippuen muuttujasta X. Se ratkaistaan \u200b\u200bhyvin yksinkertaisella. Käytä vain vain kaavaa:

b \u003d Log A b

Tämä kaava on yksi logaritmin keskeisistä ominaisuuksista ja korvaamalla alkuperäisessä ilmaisussamme saamme seuraavat tiedot:

kirjaudu A F (X) \u003d Kirjaudu A B

f (x) \u003d a b

Tämä on jo tuttu kaava koulun oppikirjoista. Monilla opiskelijoilla on varmasti kysymys: Koska alkuvaiheessa f (x) toiminto f (x) on hirsimerkin alla, seuraavat rajoitukset on päällekkäin:

f (x)\u003e 0

Tämä rajoitus toimii, koska negatiivisten numeroiden logaritmi ei ole olemassa. Joten, ehkä, rajoitukset olisi asetettava vastauksiin? Ehkä he tarvitsevat korvata lähteelle?

Ei, yksinkertaisin logaritmiset yhtälöt, lisätarkastus ylimääräistä. Ja siksi. Tutustu lopulliseen kaavaan:

f (x) \u003d a b

Tosiasia on, että numero A joka tapauksessa on yli 0 - tämä vaatimus on myös päällekkäin Logaritmilla. Numero A on perusta. Samaan aikaan numero B ei ole asetettu rajoituksia. Mutta sillä ei ole väliä, koska missä määrin olisimme pystyneet positiivisen numeron, saamme edelleen positiivisen numeron poistumisessa. Näin ollen vaatimus f (x)\u003e 0 suoritetaan automaattisesti.

Mitä todella kannattaa tarkistaa, on alueen määrittäminen funktiossa log-merkin alla. Saattaa olla melko vaikeita malleja, ja ratkaisemiseksi on tarpeen seurata niitä. Katsotaan.

Ensimmäinen tehtävä:

Ensimmäinen vaihe: Muuntimme fraktion oikealla. Saamme:

Päästämme eroon logaritmin merkistä ja saat tavallisen irrationaalisen yhtälön:

Tuloksena olevista juurista olemme tyytyväisiä vain ensimmäiseen, koska toinen juuret ovat alle nolla. Ainoa vastaus on numero 9. Kaikki, tehtävä ratkaistaan. Ei lisätarkastuksia siitä, että Logaritmimerkin ilmaisua ei ole suurempi kuin 0, koska se ei ole vain suurempi kuin 0, mutta yhtälön kunto on yhtä suuri kuin 2. Näin ollen vaatimus "suurempi kuin nolla" suoritetaan automaattisesti.

Siirry toiseen tehtävään:

Tässä on kaikki sama. Kirjoita muotoilu uudelleen korvaamalla kolme parasta:

Päästä eroon logaritm-merkkeistä ja saada irrationaalinen yhtälö:

Rakennamme molemmat osat neliön suhteen rajoituksin ja saada:

4 - 6x - x 2 \u003d (x - 4) 2

4 - 6x - x 2 \u003d x 2 + 8x + 16

x 2 + 8x + 16 -4 + 6x + x 2 \u003d 0

2x 2 + 14x + 12 \u003d 0 |: 2

x 2 + 7x + 6 \u003d 0

Ratkaisemme saadun yhtälön syrjivän kautta:

D \u003d 49 - 24 \u003d 25

x 1 \u003d -1

x 2 \u003d -6

Mutta x \u003d -6 ei sovi meille, koska jos korvaamme tämän numeron epätasa-arvoamme, saamme:

−6 + 4 = −2 < 0

Meidän tapauksessamme vaaditaan, että on yli 0 tai hyppysellä yhtä suuri. Mutta x \u003d -1 sopii meille:

−1 + 4 = 3 > 0

Ainoa vastaus tapauksessamme on x \u003d -1. Se on kaikki päätös. Palataan laskelmien alussa.

Tärkein johtopäätös tästä oppitunnista: Toiminnan rajoitusten tarkastaminen yksinkertaisimmissa logaritmisia yhtälöissä ei tarvita. Koska ratkaisu prosessissa kaikki rajoitukset suoritetaan automaattisesti.

Tämä ei kuitenkaan tarkoita sitä, että voit unohtaa tarkistuksen. Logaritmisen yhtälön työskentelyprosessissa se voi mennä irrationaaliseen, jossa on sen rajoitukset ja vaatimukset oikealla osassa, jossa meidät on lähetetty kahteen eri esimerkkiin.

Ratkaise rohkeasti tällaisia \u200b\u200btehtäviä ja olla erityisen tarkkaavainen, jos juuret ovat argumentissa.

Logaritminen yhtälöt eri pohjalevyillä

Jatkamme edelleen logaritmisia yhtälöitä ja analysoimme kaksi melko mielenkiintoisempaa tekniikkaa, jonka avulla se on muodikas ratkaisemaan monimutkaisempia rakenteita. Mutta ensin muistamme, kuinka yksinkertaiset tehtävät ratkaistaan:

kirjaudu a f (x) \u003d b

Tässä levyssä A ja B ovat tarkasti numeroita, ja funktiossa f (x) muuttuja X pitäisi olla läsnä ja vain siellä, eli x: n pitäisi olla vain väitteessä. Muunnamme tällaiset logaritmiset yhtälöt kanonisen muodon avulla. Tehdä tämä, huomaat sen

b \u003d Log A b

Ja b on argumentti. Kirjoita tämä ilmaus uudelleen seuraavasti:

kirjaudu A F (X) \u003d Kirjaudu A B

Teemme vain tämän ja etsimme vasemmalle, ja oikealla oli logaritmi A: n pohjalta. Tällöin voimme kuvitella, että loki merkkejä ja matematiikan näkökulmasta voimme sanoa, että me yksinkertaisesti vahvistaa argumentit:

f (x) \u003d a b

Tämän seurauksena saamme uuden ilmaisun, joka ratkaistaan \u200b\u200bpaljon helpompaa. Käytämme tätä sääntöä nykypäivän tehtäviin.

Joten ensimmäinen muotoilu:

Ensinnäkin huomautan, että oikea on murto-osa, nimittäjä, joka on loki. Kun näet tällaisen ilmaisun, ei ole tarpeetonta merkitsemään logaritmien merkittävää omaisuutta:

Siirretään venäjäksi, tämä tarkoittaa, että kaikki logaritmi voidaan edustaa yksityisenä kahden logaritmin kanssa, joiden pohja on. Tietenkin 0< с ≠ 1.

Joten: Tämä kaava on yksi hieno tapaus, kun muuttuja C on yhtä suuri kuin muuttuja b. Tällöin saamme lomakkeen suunnittelun:

Se on sellainen muotoilu, jota tarkkailemme merkkiin oikealta yhtälössänne. Korvataan tämä malli log a b, saamme:

Toisin sanoen ensimmäisen tehtävään verrattuna muutimme argumenttia ja logaritmin pohjaa. Vastineeksi meidän oli käännettävä fraktio.

Muistamme, että kaikki tutkinnot voidaan tehdä maasta seuraavasta säännön mukaan:

Toisin sanoen K-kerroin, joka on säätiön aste, suoritetaan käänteisenä fraktiona. Tuodaan se käännetyn fraktiona:

Fraction-kerrointa ei voi jättää eteen, koska tässä tapauksessa emme voi lähettää tätä merkintää kanonisena muodossa (koska kanonisessa muodossa ennen toista logaritmia ei ole lisäkertoimia). Tästä syystä tehdään murto-osa 1/4 argumenttiin tutkinnon muodossa:

Nyt vahvistamme argumentit, joiden perusta ovat samat (ja säätiömme, jota olemme todella samat) ja kirjoita:

x + 5 \u003d 1

x \u003d -4.

Siinä kaikki. Saimme vastauksen ensimmäiseen logaritmiseen yhtälöön. Huomaa: Lähde-tehtävässä muuttuja X löytyy vain yhdestä lokista, ja se on argumentissa. Näin ollen määritelmäalueen tarkistamista ei tarvita, ja numero x \u003d -4 on todellakin vastaus.

Siirry nyt toiseen ilmaisuun:

lG 56 \u003d LG 2 LOG 2 7 - 3LG (x + 4)

Täällä tavallisten logaritmien lisäksi meidän on työskenneltävä LG F (x). Kuinka ratkaista tällainen yhtälö? Valmistumaton opiskelija voi tuntua, että se on jonkinlainen tina, mutta itse asiassa kaikki on ratkaistu elementary.

Tarkastele varovasti termiä LG 2 log 2 7. Mitä voimme sanoa siitä? Loki- ja LG: n perusteet ja väitteet, ja sen pitäisi tehdä ajatuksia. Muistan jälleen kerran, kuinka asteet logaritm-merkki:

lOG A B N \u003d NLOG A B

Toisin sanoen, mikä oli argumentin numero B: n määrästä, muuttuu itseään kertoimeksi. Levitä tätä kaavaa ilmaisuihin LG 2 log 2 7. Älä pelkää LG 2 - tämä on yleisin ilmaisu. Voit kirjoittaa sen uudelleen seuraavasti:

Kaikki muut logaritm toimivat säännöt ovat oikeudenmukaisia \u200b\u200bhänelle. Erityisesti edessä oleva kertoimen seisominen voidaan tehdä argumenttiasteeseen. Kirjoitetaan:

Hyvin usein opiskelijat eivät näe tätä toimintaa, koska ei ole hyvä kirjoittaa yksi loki toisen merkin alla. Itse asiassa mikään rikos siinä. Lisäksi saamme kaavan, jota on helppo harkita, jos muistat tärkeän säännön:

Tätä kaavaa voidaan pitää määritelmänä ja yhtenä sen ominaisuuksina. Joka tapauksessa, jos muuntat logaritminen yhtälön, tämä kaava sinun pitäisi tietää täsmälleen sama kuin minkä tahansa numeron edustus lokin muodossa.

Palaa tehtävämme. Kirjoita se uudelleen ottaen huomioon se, että tasa-arvomerkin oikealle aikavälille ensimmäinen termi on vain LG 7. Meillä on:

lG 56 \u003d LG 7 - 3LG (x + 4)

Siirrä LG 7 vasemmalle, saamme:

lG 56 - LG 7 \u003d -3LG (x + 4)

Vähentämme ilmaisun vasemmalla, koska niillä on sama pohja:

lG (56/7) \u003d -3LG (x + 4)

Katsotaan nyt yhtälöä, jonka saimme. Se on käytännössä kanoninen muoto, mutta kerroin on läsnä oikealle. Tehkäämme se oikealla LG-argumentilla:

lG 8 \u003d LG (x + 4) -3

Meillä on logaritmisen yhtälön kanoninen muoto, joten lyömme LG-merkkejä ja vahvistavat argumentit:

(x + 4) -3 \u003d 8

x + 4 \u003d 0,5

Siinä kaikki! Ratkaisimme toisen logaritmisen yhtälön. Samanaikaisesti ei tarvita lisätarkastuksia, koska alkuperäisessä tehtävässä se vieraili vain yhdessä väitteessä.

Aion luetella tämän oppitunnin keskeiset kohdat uudelleen.

Tärkein kaava, jota tutkitaan kaikissa tämän sivun liuoksessa, on kanoninen muoto. Ja anna sinun pelätä, että useimmissa koulun oppikirjoissa opetetaan ratkaisemaan tällaiset tehtävät eri tavalla. Tämä työkalu toimii erittäin tehokkaasti ja voit ratkaista paljon laajemman tehtäväluokan sijaan yksinkertaisimmat, joita opiskelimme oppiaihimme alussa.

Lisäksi logaritmisen yhtälöiden ratkaisemiseksi on hyödyllistä tietää perusominaisuudet. Nimittäin:

Siirtymäkaava yhdelle pohjalle ja erityistapaus, kun käännymme loki (se oli erittäin hyödyllinen meille ensimmäisessä tehtävässä);
Kaava logaritmin merkkiä ja asteista. Tässä monet opiskelijat roikkuvat ja korostavat, että toimittaminen ja panos voi sisältää log f (x). Mitään vikaa siinä. Voimme tehdä yhden kirjautua toiseen merkkiin ja samalla yksinkertaistaa merkittävästi ongelman ratkaisua, jota tarkkailee toisessa tapauksessa.

Lopuksi haluaisin lisätä, ettei ole tarpeen tarkistaa määritelmäaluetta kussakin näistä tapauksista, koska kaikkialla muuttuja X on läsnä vain yhdessä log-merkkiin ja samalla se on sen argumentissa. Tämän seurauksena kaikki määritelmäalueen vaatimukset suoritetaan automaattisesti.

Muuttuvat perustehtävät

Tänään tarkastelemme logaritmisia yhtälöitä, jotka monille opiskelijoille näyttävät epätavansseiltä ja jopa ratkaisematta lainkaan. Puhumme ilmaisuista, joiden pohjasta ei ole numeroita, vaan muuttujia ja jopa toimintoja. Ratkaistamme tällaiset rakenteet standardin vastaanoton avulla, nimittäin kanonisen muodon kautta.

Aloita, muistamme, kuinka yksinkertaisimmat tehtävät ratkaistaan, jonka pohjalla on tavallisia numeroita. Joten yksinkertaisin kutsutaan tyypin muotoiluun

kirjaudu a f (x) \u003d b

Tällaisten tehtävien ratkaisemiseksi voimme käyttää seuraavaa kaavaa:

b \u003d Log A b

Kirjoitamme alkuperäisen ilmaisun ja saada:

kirjaudu A F (X) \u003d Kirjaudu A B

Sitten me rinnastamme argumentit, ts. Kirjoita:

f (x) \u003d a b

Siten pääsemme eroon lokin merkistä ja päätämme tavanomaisen tehtävän. Samaan aikaan juuret saadut juuret ja ovat alkuperäisen logaritmisen yhtälön juuret. Lisäksi merkintä, milloin vasemmalle ja oikea on yksi ja sama logaritmi, jolla on sama pohja, kutsutaan juuri kanoninen muoto. Se on tällainen ennätys, jonka yritämme vähentää nykypäivän malleja. Mennään siis.

Ensimmäinen tehtävä:

lOG X - 2 (2x 2 - 13x + 18) \u003d 1

Korvataan 1 log x - 2 (x - 2) 1. Siinä määrin, että noudatamme väitettä, on itse asiassa numero B, joka oli tasa-arvon oikealla puolella. Näin ollen me kirjoitamme lausekkeemme uudelleen. Saamme:

lOG X - 2 (2x 2 - 13x + 18) \u003d LOG X - 2 (X - 2)

Mitä näemme? Meillä on logaritmisen yhtälön kanoninen muoto, joten voimme turvallisesti yhdenmukaistaa argumentit. Saamme:

2x 2 - 13x + 18 \u003d x - 2

Mutta tämä päätös ei päädy, koska tämä yhtälö ei vastaa alkuperäistä. Loppujen lopuksi tuloksena oleva muotoilu koostuu koko numeeriselle linjalle määritetyistä toiminnoista ja alkuperäisiä logaritmeja ei määritellä kaikkialla eikä aina.

Siksi meidän on kirjoitettava erikseen määritelmäalue. Älkäämme viisasta ja kirjoita kaikki alun vaatimukset:

Ensinnäkin jokaisen logaritmin väitteen pitäisi olla suurempi kuin 0:

2x 2 - 13x + 18\u003e 0

x - 2\u003e 0

Toiseksi pohjan ei pitäisi olla vain yli 0, vaan myös erilainen kuin 1:

x - 2 ≠ 1

Tämän seurauksena saamme järjestelmä:

Mutta et pelkää, kun käsittelemme logaritmisia yhtälöitä, tällainen järjestelmä voidaan yksinkertaistaa merkittävästi.

Tuomari itsellesi: toisaalta vaaditaan, että Quadratic-toiminto on suurempi kuin nolla, ja toisaalta tämä kvadraattinen toiminta on yhtä suuri kuin lineaarinen ilmentymä, joka vaatii myös suurempia kuin nolla.

Tässä tapauksessa, jos tarvitsemme x - 2\u003e 0: n, vaatimus 2x 2 - 13x + 18\u003e 0 suoritetaan automaattisesti. Siksi voimme turvallisesti ylittää quadratic-toiminnon eriarvoisuus. Siksi järjestelmään sisältyvät lausekkeiden määrä laskee kolmeen.

Tietenkin, samalla menestyksellä, voisimme ylittää lineaarisen epätasa-arvon eli poistaa x - 2\u003e 0 ja vaatia, että 2x 2 - 13x + 18\u003e 0. mutta sopivat, että on paljon nopeampi ratkaista yksinkertaisin lineaarinen epätasa-arvo paljon nopeammin Ja helpompi, neliö, vaikka, jos, jos koko järjestelmän ratkaisun seurauksena saamme samat juuret.

Yleensä, jos mahdollista, yritä optimoida laskelmat. Ja logaritmisen yhtälöiden tapauksessa lyö monimutkaisimmat eriarvoisuudet.

Kirjoitamme järjestelmän uudelleen:

Tässä on kolme lausekkeita, joista kaksi olemme itse asiassa jo tajunneet. Hylkää erikseen neliöyhtälö ja ratkaista se:

2x 2 - 14x + 20 \u003d 0

x 2 - 7x + 10 \u003d 0

Meillä on tietty neliö kolmipuolinen puoli-yksi ja siksi voimme hyödyntää VIETA: n kaavoja. Saamme:

(x - 5) (x - 2) \u003d 0

x 1 \u003d 5

x 2 \u003d 2

Ja nyt palaan järjestelmään ja löydämme, että X \u003d 2 ei sovi meille, koska tarvitsemme sitä tiukasti yli 2.

Mutta x \u003d 5 Olemme varsin tyytyväisiä: numero 5 on suurempi kuin 2, ja samanaikaisesti 5 ei ole 3. Siksi ainoa tämän järjestelmän ratkaisu on x \u003d 5.

Kaikki, tehtävä ratkaistaan, mukaan lukien OTZ: n huomioon ottaminen. Siirry toiseen yhtälöön. Tässä odotamme mielenkiintoisempia ja mielekkäitä laskelmia:

Ensimmäinen vaihe: Viime kerralla annamme kaiken tämän asian kanoniseen muotoon. Tätä varten numero 9 voimme kirjoittaa seuraavasti:

Peruuta juurella ei voida koskettaa, mutta argumentti on parempi muuntaa. Mennään juuresta tutkintoon järkevällä indikaattorilla. Me kirjoitamme:

Älä anna minun kirjoittaa kaikki suuret logaritmiset yhtälömme, vaan yksinkertaisesti tasoittaa argumentteja välittömästi:

x 3 + 10x 2 + 31x + 30 \u003d x 3 + 9x 2 + 27x + 27

x 2 + 4x + 3 \u003d 0

Meillä on äskettäin pienempi kolmipuolinen puoli-yksi edessäni, käytämme Vieta: n kaavoja ja kirjoitamme:

(x + 3) (x + 1) \u003d 0

x 1 \u003d -3

x 2 \u003d -1

Joten saimme juuret, mutta kukaan ei takaa meitä, että he sopisivat alkuperäisen logaritmisen yhtälön. Loppujen lopuksi logamerkit asettavat lisää rajoituksia (tässä meidän olisi kirjoitettava järjestelmä, mutta koko suunnittelun suuruuden vuoksi päätin laskea määritelmäalueen erikseen).

Ensinnäkin muistamme, että väitteiden pitäisi olla suurempi kuin 0, nimittäin:

Nämä ovat määritelmäalueella asetetut vaatimukset.

Huomaa välittömästi, että koska järjestelmän kaksi ensimmäistä ilmaisua toisilleen, niin joista jokainen voi poistaa. Läpäisimme ensimmäisen, koska se näyttää uhkaavalta kuin toinen.

Lisäksi huomaamme, että toisen ja kolmannen epätasa-arvon päätös on sama (kuutio jonkin verran enemmän kuin nolla, jos suuri määrä on suurempi kuin nolla; samoin kuin kolmannen asteen juurella - nämä eriarvoisuudet ovat täysin Samanlainen, joten voimme ylittää sen ulos).

Mutta kolmannen eriarvoisuuden avulla se ei läpäise. Päästä eroon vasemmalta vasemmalla olevasta radikaalista seisomasta, josta ne pystyvät molemmat osat kuutioon. Saamme:

Joten saamme seuraavat vaatimukset:

- 2 ≠ X\u003e -3

Mikä juuristamme: x 1 \u003d -3 tai x 2 \u003d -1 täyttää nämä vaatimukset? Ilmeisesti vain X \u003d -1, koska X \u003d -3 ei täytä ensimmäistä eriarvoisuutta (epätasa-arvoa meillä on tiukasti). Yhteensä paluu tehtävämme, saamme yhden root: x \u003d -1. Se on kaikki, tehtävä ratkaistaan.

Jälleen kerran tärkeimmät kohdat tämän tehtävän:

Voit vapaasti soveltaa ja ratkaista logaritmiset yhtälöt kanonisella lomakkeella. Opiskelijat, jotka tekevät tällaista ennätystä ja eivät välitä suoraan alkuperäisestä ongelmasta log a f (x) \u003d b -suunnitteluun, anna paljon vähemmän virheitä kuin niille, jotka ovat jonnekin, kulkevat laskelmien välivaiheet;
Heti kun vaihtoehtoinen alusta näkyy logaritmissa, tehtävä pysähtyy yksinkertaisimmaksi. Näin ollen, kun päätetään, on tarpeen ottaa huomioon määritelmän ala: perustelujen on oltava suurempi kuin nolla, ja pohja ei ole vain yli 0, mutta niiden ei pitäisi olla yhtä kuin 1.

Voit syöttää viimeisimmät vaatimukset lopullisille vastauksille eri tavoin. Voit esimerkiksi ratkaista koko järjestelmä, joka sisältää kaikki määritelmäalueen vaatimukset. Toisaalta voit ensin ratkaista itse tehtävän itse ja muistaa sitten määritelmäalueella erikseen sen järjestelmän muodossa ja määrää saadut juuret.

Mikä on tapa valita erityinen logaritminen yhtälö, ratkaista vain sinä. Joka tapauksessa vastaus tulee samaan.

Logaritmisen yhtälöiden ratkaiseminen. Osa 1.

Logaritminen yhtälö Yhtälöä kutsutaan, jossa tuntematon sisältyy logaritmin merkkiin (erityisesti logaritmin pohjassa).

Yksinkertaisin logaritminen yhtälö Siinä on lomake:

Kaikki logaritmisen yhtälön ratkaisu Se olettaa, että siirtyminen logaritmeista ilmaisuuksiin logaritmien merkki. Tämä toiminta laajenee kuitenkin yhtälön sallittujen arvojen aluetta ja voi johtaa ulkomaisten juurien ulkonäköön. Ulkomaisten juurien ulkonäkö välttää, Voit tehdä yhden kolmesta tapaa:

1. Tee vastaava lähetys alkuperäisestä yhtälöstä järjestelmään, mukaan lukien

riippuen siitä, millaista epätasa-arvoa tai helpompaa.

Jos yhtälö sisältää tuntemattomuuden logaritmin pohjassa:

sitten menemme järjestelmään:

2. Erikseen löytää yhtälön sallittujen arvojen alueJa ratkaista sitten yhtälö ja tarkista, onko löydetty ratkaisut täyttävät.

3. Ratkaise yhtälö ja sitten tarkistaa:korvaa alkuperäiseen yhtälöön löydettyjä ratkaisuja ja tarkistaa, onko me uskollinen tasa-arvo.

Kaiken monimutkaisuuden logaritminen yhtälö lopulta tulee aina alas yksinkertaisimpiin logaritmiseen yhtälöön.

Kaikki logaritmiset yhtälöt voidaan jakaa neljään tyyppiin:

1 . Logaritmit sisältävät yhtälöt vain ensimmäisellä tasolla. Ne annetaan muutoksilta ja käytöstä

Esimerkki. Ryhmäten ratkaiseminen:

Me rinnastaa lausekkeita Logaritmin merkin alla:

Tarkista, täyttääkö juuri yhtälö:

Kyllä, tyydyttää.

Vastaus: X \u003d 5

2 . Yhtälöt, jotka sisältävät logaritmeja muille kuin 1 (erityisesti Denomoterin nimittäjältä). Tällaiset yhtälöt ratkaistaan muuttujan muutosten käyttöönotto.

Esimerkki. Ryhmäten ratkaiseminen:

Etsi OTZ-yhtälöt:

Yhtälö sisältää logaritmit neliöllä, joten se ratkaistaan \u200b\u200bvaihtamalla muuttuja.

Tärkeä! Ennen korvaamista varten sinun on "poista" logaritmit, jotka ovat osa yhtälöä "tiilet" Logaritmien ominaisuuksien avulla.

Kun "romahtaminen" Logaritmit, on tärkeää käyttää tarkasti logaritmien ominaisuuksia:

Lisäksi tässä on yksi hienoisempi paikka ja välttää yhteinen virhe, käytämme väliarvoa: kirjoitamme logaritmin tutkinnon tässä muodossa:

Samoin,

Korvatamme alkuperäiseen yhtälöön saadut lausekkeet. Saamme:

Nyt näemme, että tuntematon sisältyy koostumuksen yhtälöön. Esittelemme korvauksen:. Koska se voi ottaa todellisen arvon, emme aseta rajoituksia muuttujalle.

Ohje

Kirjoita annettu logaritminen ilmaisu. Jos logaritmi 10 käytetään ilmaisussa, sen tallennus lyhenee ja näyttää tältä: LG B on desimaalisen logaritmi. Jos logaritmilla on numero E perusta muodossa, lauseke tallennetaan: LN B on luonnollinen logaritmi. On selvää, että tulos kaikista syistä, joilla säätiöiden määrä olisi pystyttävä, jotta saadaan numero B.

Kun kaksi toimintoa on kaksi toimintoa, on yksinkertaisesti välttämätöntä, että ne ovat välttämättömiä, ja tulokset taitetaan: (U + V) "\u003d U" + V ";

Kun kahden toiminnon tuote on johdettu, ensimmäisestä toiminnasta peräisin oleva johdannainen on kerrottava toiseen ja lisätä toisen toiminnon johdannainen kerrottuna ensimmäisellä toiminnalla: (U * V) "\u003d U" * V + V "* u;

Yksityisten kahden toimintojen johdannaisen löytämiseksi johdannaisen jakautumisen tuotteesta on välttämätöntä kerrottuna jakajan toiminnasta vähentämään jakajan johdannaisen tuotteen kerrottuna jakautumisen funktiona ja Kaikki tämä on jaettu dividerin toimintaan, joka on pystytetty neliöön. (U / v) "\u003d (U" * V-V "* U) / V ^ 2;

Jos monimutkainen toiminto annetaan, on välttämätöntä kertoa johdannainen sisäisestä toiminnosta ja ulkoisen johdannaisesta. Anna y \u003d u (V (x)), sitten Y "(x) \u003d Y" (U) * V "(x).

Edellä mainittujen avulla voit suoraan erottaa kaikki toiminnot. Joten harkitse muutamia esimerkkejä:

y \u003d x ^ 4, y "\u003d 4 * x ^ (4-1) \u003d 4 * x ^ 3;

y \u003d 2 * x ^ 3 * (e ^ xx ^ 2 + 6), y "\u003d 2 * (3 * x ^ 2 * (E ^ xx ^ 2 + 6) + x ^ 3 * (e ^ x-2 * x));
Myös johdannaisen laskemista varten on tehtäviä. Anna toiminnon y \u003d e ^ (x ^ 2 + 6x + 5), sinun on löydettävä toiminnon arvo kohdassa X \u003d 1.
1) Etsi toimintojohdannainen: Y "\u003d E ^ (x ^ 2-6x + 5) * (2 * x +6).

2) Laske toiminnon arvo määritetyssä kohdassa Y "(1) \u003d 8 * E ^ 0 \u003d 8

Video aiheesta

Hyödyllisiä neuvoja

Opi alkeisjohdannaisten taulukko. Se säästää huomattavasti aikaa.

Lähteet:

johdettu constanta

Joten, miten irrationaalinen yhtälö järkevästä? Jos tuntematon muuttuja on neliöjuuren merkki, yhtälö pidetään irrationaalisena.

Ohje

Tärkein menetelmä tällaisten yhtälöiden ratkaisemiseksi on molempien osien pystytysmenetelmä yhtälöt neliöllä. Kuitenkin. Tämä on luonnollista, ensimmäinen asia, jonka sinun täytyy päästä eroon merkistä. Teknisesti tämä menetelmä ei ole monimutkainen, mutta joskus se voi aiheuttaa ongelmia. Esimerkiksi yhtälö v (2x-5) \u003d V (4x-7). Molempien puolien perustaminen neliöön saat 2x-5 \u003d 4x-7. Tällaista yhtälöä ei ole vaikea ratkaista; x \u003d 1. Mutta numero 1 ei ole tämä yhtälöt. Miksi? Suurennetaan yksikkö yhtälöön X: n arvon sijasta. Ja oikealla ja vasemmalla osalla on ilmauksia, jotka eivät ole järkeviä. Tämä arvo ei ole sallittua neliöjuurille. Siksi 1 on vierellinen juurtaja, joten yhtälöllä ei ole juuria.

Joten irrationaalinen yhtälö ratkaista molempien osien rakennusmenetelmällä neliöön. Ja yhtälön ratkaiseminen on tarpeen leikata ulkomaiset juuret. Voit tehdä tämän korvaamaan alkuperäisestä yhtälöstä löytyvät juuret.

Harkitse toista.
2x + VX-3 \u003d 0
Tietenkin tämä yhtälö voidaan ratkaista samalla tavalla kuin edellinen. Siirtoherkkyys yhtälötEi ole neliöjuuri, oikealla puolella ja käyttää edelleen harjoitusmenetelmää neliöön. Ratkaise tuloksena oleva järkevä yhtälö ja juuret. Mutta toinen, tyylikäs. Anna uusi muuttuja; Vx \u003d y. Näin ollen saat 2Y2 + Y-3 \u003d 0 yhtälön yhtälön. Se on tavallinen neliön yhtälö. Etsi se juuret; Y1 \u003d 1 ja Y2 \u003d -3 / 2. Seuraavaksi päättää kaksi yhtälöt Vx \u003d 1; Vx \u003d -3 / 2. Juurien toinen yhtälö ei ole, ensimmäiseltä löydämme, että X \u003d 1. Älä unohda tarvetta tarkistaa juuret.

Se on helppo ratkaista identiteettejä. Tätä varten sinun on tehtävä samat tulokset, kunnes tavoite saavutetaan. Näin yksinkertaisten aritmeettisten toimien avulla tehtävä ratkaistaan.

Tarvitset

- paperi;
- kynä.

Ohje

Yksinkertaisin tällaisista muutoksista on algebraalinen lyhennetty kertolasku (kuten summan summa (ero), neliöiden ero, määrä (ero), kuution määrä (ero)). Lisäksi on olemassa monia ja trigonometrisia kaavoja, jotka ovat luontaisesti näitä identiteettejä.

Itse asiassa näiden kahden komponentin summan neliö on yhtä suuri kuin ensimmäisen plus neliö ensimmäiseksi toiseen ja plus toisen, eli (a + b) ^ 2 \u003d (a + b) (a + b) \u003d a ^ 2 + ab + ba + b ^ 2 \u003d a ^ 2 + 2ab + b ^ 2.

Yksinkertaista molempia

Yleiset ratkaisun periaatteet

Toista matemaattisen analyysin oppikirjan tai korkeamman matematiikan, joka on erityinen integraali. Kuten tiedätte, tietyn integraalin ratkaisu on toiminto, jonka johdannainen antaa lähteen ilmaisun. Tämä ominaisuus on nimeltään primitiivinen. Tämän periaatteen mukaan tärkeimmät integraalit on rakennettu.
Määritä integroidun toiminnon näkymä, joka taulukon integraalista sopii tässä tapauksessa. Tätä ei ole aina mahdollista määrittää välittömästi. Usein taulukkonäkymä tulee näkyväksi useiden transformaation jälkeen integraand-toiminnon yksinkertaistamiseksi.

Muuttujien korvaamismenetelmä

Jos integraand on trigonometrinen toiminta, argumentissa, joka on mikään polynomi, yritä sitten käyttää muuttujien vaihtomenetelmää. Tehdä tämä, vaihda polynomi seisoo integraand-toiminnon argumenttiin jossakin uudessa muuttujalla. Uuden ja vanhan muuttujan välisellä suhteella määrittää uuden integraatiorajan. Tämän lausekkeen eriyttäminen löytää uuden eron. Siksi saat uudenlaisen aiemman integraalin, lähellä tai jopa mikä tahansa taulukko.

Toisen luonteen integraalien ratkaisu

Jos integraali on toisenlaisen, integroidun toiminnon vektorinäkymä, sinun on käytettävä siirtymissääntöjä näistä integraaleista skalaariksi. Yksi näistä säännöistä on Ostrograd Gaussin suhde. Tämän lain avulla voit siirtyä jonkin vektorin toiminnan roottorin virtauksesta kolminkertaiseen integraaliseen tämän vektori-kentän eroon.

Integraatiorajan syöttäminen

Kun olet löytänyt ensisijaisen tarve korvata integraatiorajoitukset. Korvaa ensin ylärajan arvon primitiivisen ilmaisun. Saat numeron. Seuraavaksi poistetaan toinen numero tuloksena olevasta numerosta, mikä on alempi raja primordial 1: ssa. Jos yksi integraatiorajoituksista on ääretön ja korvaa sen primitiivisessä toiminnossa sinun täytyy mennä rajaan ja löytää, mitä lauseke hakee.
Jos integraali on kaksiulotteinen tai kolmiulotteinen, sinun on kuvattava geometrisesti integraatiorajoituksia ymmärtämään, kuinka laskea integraali. Todellakin, sanotaan, että integraatiorajojen kolmiulotteinen integraali voi olla kokonaisia \u200b\u200blentokoneita, jotka rajoittavat integroitava määrä.

Lopullisen testauksen valmistelu matematiikassa sisältää tärkeän osion - "Logaritmit". Tähän aiheeseen liittyvät tehtävät löytyvät välttämättä käytöstä. Viime vuosina kokemus osoittaa, että logaritminen yhtälöt aiheuttivat vaikeuksia monista koululaisista. Siksi ymmärtää, miten löytää oikea vastaus, ja eri valmisteen tasojen opiskelijoille on oltava toiminnallisesti täysin selviytymistä.

Vuokraa sertifiointitesti onnistuneesti käyttämällä koulutusportaalia "Shkolkovo"!

Valmistellessasi yhden valtion tutkimusta, lukioiden valmistuneet edellyttävät luotettavaa lähdettä, joka tarjoaa täydellisimmät ja tarkat tiedot testitehtävien onnistuneesta ratkaisusta. Kuitenkin oppikirja ei aina käännä olla käsillä, ja Internetin tarvittavien sääntöjen ja kaavojen etsiminen kestää usein aikaa.

Koulutusportaali "Shkolvovo" avulla voit valmistautua tenttiin missä tahansa paikassa milloin tahansa. Löydät kätevän lähestymistavan useiden logaritmien tietojen toistoon ja assimilaatioon sekä yhdellä ja useammalla tuntemattomalla. Aloita kevyillä yhtälöillä. Jos olet selviytynyt heidän kanssaan ilman vaikeuksia, mene monimutkaisemmaksi. Jos sinulla on ongelmia tietyn epätasa-arvon ratkaisemisessa, voit lisätä sen "suosikkeihin" palataksesi siihen myöhemmin.

Löydä tarvittavat kaavat tehtävän suorittamiseksi, toista erityiset tapaukset ja menetelmät vakiologisen logaritmisen yhtälön perustamiseksi, voit katsella "Teoreettinen ohje" -osiossa. Opettajat "Shkolkovo" kerättiin, systematisoitiin ja esitteli kaikki tarvittavat materiaalit onnistuneelle toimituksille yksinkertaisimmalla ja ymmärrettävällä tavalla.

Voit selviytyä ilman vaikeuksia minkä tahansa monimutkaisuuden tehtävien kanssa portaalissamme voit tutustua joidenkin tyypillisten logaritmisen yhtälöiden ratkaisuun. Voit tehdä tämän siirtymällä "Catalogs" -osioon. Meillä on suuri määrä esimerkkejä, mukaan lukien matematiikan profiilitason yhtälöt.

Koulujen oppilaat koko Venäjä voivat hyödyntää portaaliamme. Aloittaaksesi luokkien yksinkertaisesti rekisteröityä järjestelmään ja jatka yhtälöitä. Tulosten varmistamiseksi suosittelemme sinua palaamaan sivustoon "Skolovo" päivittäin.

Logaritminen yhtälöt. Yksinkertaisesta - monimutkaisesta.

Huomio!
Tämä aihe on ylimääräisiä
Materiaalit erikoisosassa 555.
Niille, jotka ovat voimakkaasti "ei kovin ..."
Ja niille, jotka ovat "hyvin ...")

Mikä on logaritminen yhtälö?

Tämä on yhtälö logaritmit. Joten yllättynyt, kyllä?) Sitten minä selventää. Tämä on yhtälö, jossa tuntematon (Xers) ja ilmaisut niiden kanssa ovat sisällä logaritmit. Ja vain siellä! On tärkeää.

Tässä on esimerkkejä logaritminen yhtälöt:

lOG 3 X \u003d LOG 3 9

log 3 (x 2 -3) \u003d log 3 (2x)

lOG X + 1 (x 2 + 3x-7) \u003d 2

lG 2 (x + 1) +10 \u003d 11LG (x + 1)

No, ymmärrät ... )

Merkintä! Erilaisia \u200b\u200bilmaisuja, joissa on ontelot poikkeuksellisen sisällä Logaritmit. Jos yhtäkkiä yhtälö havaitsee x: n jonnekin ulkopuolella, esimerkiksi:

lOG 2 X \u003d 3 + X,

se on jo sekoitettu yhtälö. Tällaisilla yhtälöillä ei ole selkeitä sääntöjä ratkaisuista. Emme pidä niitä vielä. Muuten, on yhtälöitä, joissa logaritmit vain numerot. Esimerkiksi:

Mitä sanoa täällä? Lucky sinä, jos se on näin! Logaritmi numeroilla on jonkinlaista numeroa.Ja se on se. Riittää, että tunnistaen logaritmien ominaisuudet tällaisen yhtälön ratkaisemiseksi. Erityisääntöjen tuntemus, tekniikat, jotka on sovitettu ratkaisemaan logaritminen yhtälöt Ei vaadita täällä.

Niin, mikä on logaritminen yhtälö - selvitetty.

Kuinka ratkaista logaritminen yhtälöt?

Päätös logaritminen yhtälöt - asia, itse asiassa, ei kovin yksinkertainen. Joten ja osa kanssamme - neljännessä ... se edellyttää kunnollinen tietotarjoa jokaiselle viereiselle aiheelle. Lisäksi näissä yhtälöissä on erityinen ominaisuus. Ja siru on niin tärkeä, että sitä voidaan turvallisesti kutsua tärkein ongelma logaritmisen yhtälöiden ratkaisemisessa. Ymmärrämme yksityiskohtaisesti tämän ongelman seuraavassa oppitunnissa.

Ja nyt - älä huoli. Menemme oikein yksinkertaisesta monimutkaisesta. Erityisissä esimerkeissä. Tärkeintä on päästä yksinkertaisiin asioihin ja älä ole laiska kävellä pitkin linkkejä, en vain laittanut niitä niin paljon ... ja kaikki osoittautuu. Välttämättä.

Aloitetaan kaikkein alkeisimmista, yksinkertaisimmista yhtälöistä. Voit ratkaista ne, on toivottavaa olla ajatus logaritmista, mutta ei enää. Vain ilman käsitettä logaritmi Päätöksen tekeminen logaritminen Yhtälöt - jotenkin hankalasti jopa ... hyvin rohkeasti, sanoisin).

Yksinkertaisimmat logaritminen yhtälöt.

Nämä ovat muodon yhtälöt:

1. Log 3 x \u003d log 3 9

2. LOG 7 (2x-3) \u003d loki 7 x

3. LOG 7 (50x-1) \u003d 2

Prosessiliuos kaikki logaritminen yhtälö Se on siirtyminen yhtälöstä, jossa on logaritmit yhtälöön ilman niitä. Yksinkertaisimmissa yhtälöissä tämä siirtyminen suoritetaan yhdessä vaiheessa. Siksi yksinkertaisin.)

Ja tällaiset logaritmiset yhtälöt ovat yllättävän ratkaistuja. Katso itsesi.

Ratkaisemme ensimmäisen esimerkin:

lOG 3 X \u003d LOG 3 9

Tämän esimerkin ratkaisemiseksi mikään ei tiedä eikä tarvitse, kyllä \u200b\u200b... puhtaasti intuitio!) Mitä me erityisesti Älä pidä tästä esimerkistä? Mitä ... Logaritmit eivät pidä! Oikea. Joten päästä eroon niistä. Tarkastelemme tarkasti esimerkiksi, ja meillä on luonnollinen halu ... jatkuvasti ylitse! Ota ja heitä logaritmit lainkaan. Ja mikä miellyttää sitä voi Tehdä! Matematiikka sallii. Logaritmit katoavat Se osoittautuu vastaus:

Suuri, eikö? Joten se on mahdollista (ja välttämätön) tehdä aina. Logaritmien poistaminen on samalla tavoin samanlainen - yksi perusmaasta logaritmisen yhtälöiden ja eriarvoisuuden ratkaisemiseksi. Matematiikassa tätä toimintaa kutsutaan voimat. Tietenkin on tietenkin omat säännöt tällaisesta selvitystilasta, mutta niistä on vähän. Muistaa:

Logaritmien selvitystila ilman huolenaiheita, jos heillä on:

a) Samat numeeriset emäkset

c) vasemmanpuoleisen puhtaan (ilman kertoimia) logaritmit) ja ovat ylpeänä yksinäisyydessä.

Selitän viimeisen kohteen. Yhtälössä sanotaan

log 3 x \u003d 2Log 3 (3x-1)

logaritmien poistaminen on mahdotonta. Kaksi oikeus ei salli. Kerroin, ymmärrät ... esimerkissä

log 3 x + loki 3 (x + 1) \u003d loki 3 (3 + x)

ei myöskään voi olla potentiaalinen yhtälö. Vasemmalla puolella ei ole yksinäistä logaritmia. Niistä on kaksi.

Lyhyesti sanottuna on mahdollista poistaa logaritmit, jos yhtälö näyttää tältä ja aivan kuten tämä:

kirjaudu A (.....) \u003d Kirjaudu A (.....)

Suluissa, joissa ellipsis voi olla mikä ilmaisu. Yksinkertainen, superstrate, kaikenlaiset. Mikä tahansa kiitos. On tärkeää, että logaritmien poistamisen jälkeen olemme pysyneet yksinkertaisempi yhtälö.Tietenkin sen odotetaan ratkaista lineaarisia, neliöitä, murtoja, ohjeellisia ja muita yhtälöitä ilman logaritmit, joita jo tiedät miten.)

Nyt voit helposti ratkaista toisen esimerkin:

log 7 (2x-3) \u003d loki 7 x

Itse asiassa mielessä on ratkaistu. Me voimme voimamme, saamme:

No, erittäin vaikea?) Kuten näette logaritminen Osa yhtälön ratkaisusta on vain logaritmien poistamisessa ... Ja sitten on päätös jäljellä oleva yhtälö jo ilman niitä. Triviaali.

Ratkaistamme kolmannen esimerkin:

lOG 7 (50x-1) \u003d 2

Näemme, että vasemmalla on logaritmi:

Muistamme, että tämä logaritmi on jonkinlaista numeroa, jossa perusta on tehtävä (eli seitsemän) saada laillinen ilme, toisin sanoen seitsemän (50x-1).

Mutta tämä numero on kaksi! Yhtälöllä. Tuo on:

Täällä, lähinnä, ja se on se. Logaritmi katosi Vahva yhtälö on edelleen:

Ratkaisimme tämän logaritmisen yhtälön, joka perustuu vain logaritmin merkitykseen. Mitä logaritmien poistaminen on edelleen helpompaa?) Olen samaa mieltä. Muuten, jos teet kahdesta logaritista, voit ratkaista tämän esimerkin ja eliminaation kautta. Mistä tahansa numerosta voit tehdä logaritmin. Ja mitä tarvitsemme. Erittäin hyödyllinen tekniikka logaritmisen yhtälöiden ratkaisemisessa ja (erityisesti!) Eriarvoisuus.

En tiedä, miten logaritm!? Ei mitään väärin. Osassa 555 tämä pääsy on kuvattu yksityiskohtaisesti. Voit hallita ja soveltaa sitä koko käämille! Se vähentää huomattavasti virheiden määrää.

Täysin samanlainen kuin (määritelmän mukaan), neljäs yhtälö ratkaistaan:

Se on kaikki.

Yhteenveto tästä oppitunnista. Tarkastelimme esimerkkejä yksinkertaisimmista logaritmisista yhtälöistä. Se on erittäin tärkeää. Eikä vain siksi, että tällaiset yhtälöt ovat testauskokeissa. Tosiasia on, että jopa kaikkein pahimmat ja pakastetut yhtälöt vähenevät välttämättä yksinkertaisimpiin!

Itse asiassa yksinkertaisimmat yhtälöt ovat päätöksen viimeistely minkä tahansa Yhtälöt. Ja tämä viimeistely on ymmärrettävä rauta! Ja kauemmas. Muista lukea tämä sivu loppuun. On yllätys ...)

Päätämme nyt itse. Laita kätesi, niin sano ...)

Etsi juuret (tai juurien määrä, jos niitä on useita) yhtälöt:

lN (7x + 2) \u003d ln (5x + 20)

lOG 2 (x 2 +32) \u003d LOG 2 (12x)

loki 16 (0,5x-1,5) \u003d 0,25

lOG 0.2 (3x-1) \u003d -3

lN (E 2 + 2x-3) \u003d 2

lOG 2 (14x) \u003d LOG 2 7 + 2

Vastaukset (häiriö, tietenkin): 42; 12; yhdeksän; 25; 7; 1.5; 2; kuusitoista.

Mitä, ei kaikki osoittautuu? Se tapahtuu. Älä kiusaa! Kohdassa 555 kaikkien näiden esimerkkien ratkaisu on maalattu ja yksityiskohtaisesti. Ymmärretään varmasti. Kyllä ja hyödyllisiä käytännön tekniikoita hallitsee.

Kaikki työskenteli!? Kaikki esimerkit "yksi vasemmisto") Onnittelut!

On aika avata katkera totuus sinulle. Näiden esimerkkien onnistunut ratkaisu ei takaa menestystä kaikkien muiden logaritmisen yhtälöiden ratkaisemisessa. Jopa yksinkertaisin näin. Valitettavasti.

Tosiasia on, että minkä tahansa logaritmisen yhtälön ratkaisu (jopa ennalta elementaarinen!) Koostuu kaksi yhtä suurta osaa. Yhtälön ratkaisu ja toimivat OTZ: n kanssa. Yksi osa on itse yhtälön ratkaisu - olemme oppineet. Ei niin kovaa Oikea?

Tämän oppitunnin osalta olen nimenomaisesti valinnut tällaiset esimerkit, joissa OTZ ei vaikuta vastaukseen. Mutta ei kaikki niin eräänlainen hyvä, miten minä, eikö? ...)

Siksi on tarpeen hallita toinen osa. Outo Tämä on tärkein ongelma logaritmisen yhtälöiden ratkaisemisessa. Eikä siksi, että vaikea - tämä osa on vielä helpompaa. Ja koska noin Otz vain unohtaa. Tai tiedä. Tai molemmat). Ja pudota samassa paikassa ...

Seuraavassa oppitunnissa käsitellään tätä ongelmaa. Sitten on mahdollista luottavaisesti päättää minkä tahansa Menclogiset logaritmiset yhtälöt ja saumattomia melko vanhoja tehtäviä.

Jos pidät tästä sivustosta ...

Muuten minulla on toinen pari mielenkiintoista sivustoa sinulle.)

Sitä voidaan käyttää ratkaisemaan esimerkkejä ja selvitä tasosi. Testaus instant check. Opi - kiinnostuneena!)

Voit tutustua ominaisuuksiin ja johdannaisiin.