Lineaaristen toimintokertoimien ominaisuudet. Gia. Quadratic Function

"Tehtävän kriittiset kohdat" - Kriittiset kohdat. Kriittisten pisteiden joukossa on äärimmäisyyden pisteitä. Vaadittu äärimmäisen tilan. Vastaus: 2. Määritelmä. Mutta jos F "(x0) \u003d 0, ei ole välttämätöntä, että piste X0 on äärimmäisen pistettä. Extremum-pistettä (toisto). Kriittiset pistemäärät Freexit.

"Koordinaatti Plane Grade 6" - Matematiikan luokka 6. 1. H. 1.Ate ja tallenna pisteiden A, B, C, D: -6 koordinaatit. Koordinaatti taso. O. -3. 7. U.

"Toiminnot ja niiden kaaviot" - jatkuvuus. Funktion suurin ja pienin tehtävä. Käänteisen toiminnan käsite. Lineaarinen. Logaritminen. Monotoni. Jos K\u003e 0, sitten kulma on terävä, jos k< 0, то угол тупой. В самой точке x = a функция может существовать, а может и не существовать. Х1, х2, х3 – нули функции у = f(x).

"Toiminnot 9 luokka" - sallitut aritmeettiset toiminnot toiminnoista. [+] - lisäys, [-] - vähennys, [*] - kertolasku, [:] - jako. Tällaisissa tapauksissa he puhuvat toiminnon graafisesta tehtävästä. Elementaaritoimintojen koulutusluokka. Virtatoiminto Y \u003d X0.5. Iovleva Maxim Nikolayevich, opiskelija 9 luokan Rmou Raduzhskaya Oosh.

"Tangentin opetusyhtälö" - 1. Selventää tangentin käsite funktion grafiikassa. Leibniz käsitteli tehtävän suorittamaan tangentiaalisen käyrän. Algoritmi yhtälön tangentin valmistamiseksi toiminnon y \u003d f (x) kaavioon. Aiheen oppitunti: Testi: Etsi johdettu toiminto. Yhtälö tangentti. Fluxion. Luokka 10. Decipher Miten Isaac Newton kutsui johdannaistoiminnon.

"Rakenna toimintokaavio" - Y \u003d 3COSX-toiminto annetaan. Toiminto Kaavio Y \u003d M * SIN X. Rakentaa kaavio toiminnasta. Sisältö: Dana Toiminto: Y \u003d SIN (X +? / 2). Venytyskaavio y \u003d Cosx pitkin Y-akselia. Jatka napsauttamalla l. Hiiren painike. Toiminto Y \u003d COSX + 1 annetaan. Kuvaaminen kaavion y \u003d sinx pystysuoraan. Toiminto Y \u003d 3SINX annetaan. Kuvaaminen kaaviosta Y \u003d COSX vaakasuoraan.

Yhteensä 25 esityksen kohteena

Ohje

Jos aikataulu on suora viiva, joka kulkee koordinaattien alkuperän ja a: n kulman (suorakulma positiiviseen puoliakseliin OH). Tätä suoraa toimintaa kuvataan y \u003d kx. Suhteellisuusktiivisuuden K suhde on Tg α. Jos suora kulkee toisen ja neljännen koordinaatin läpi, niin k< 0, и является убывающей, если через 1-ю и 3-ю, то k > 0 ja toiminta kasvaa. Tauko on suora viiva, joka on eri tavoin suhteessa koordinaattien akseleihin. Tämä on lineaarinen toiminto, ja siinä on muoto Y \u003d KX + B, jossa muuttujat X ja Y ovat ensimmäisellä asteella, ja K ja B voivat saada sekä positiivisia että negatiivisia arvoja tai nollaa. Suora rinnakkainen suora y \u003d kx ja leikkaa pois akselilla | b | yksiköt. Jos suora on yhdensuuntainen ABSCISSA-akselin kanssa, sitten K \u003d 0, jos akseli on ordinaattia, yhtälöllä on lomake X \u003d Const.

Käyrä, joka koostuu kahdesta eri puolilla sijaitsevista haaroista ja symmetrisesti suhteessa koordinaattien alkuperään, hyperboliin. Tämä kaavio on muuttujan Y: n käänteinen riippuvuus X: stä ja kuvataan Y \u003d K / X -yhtälöllä. Tässä K ≠ 0 on suhteellisuuskerroin. Tässä tapauksessa, jos K\u003e 0, toiminta vähenee; Jos K.< 0 - функция возрастает. Таким образом, областью определения функции является вся числовая прямая, кроме x = 0. Ветви приближаются к осям координат как к своим асимптотам. С уменьшением |k| ветки гиперболы все больше «вдавливаются» в координатные углы.

Quadratic-toiminnolla on muoto Y \u003d AX2 + BX + C, jossa A, B ja C - pysyvät arvot ja a  0. Kun tila suoritetaan B \u003d C \u003d 0, funktioyhtälö näyttää Y \u003d Ax2 ( Yksinkertaisin tapaus) ja sen aikataulu on parabola, joka kulkee koordinaattien alkuperän kautta. Toiminnon Y \u003d AX2 + BX + C: n kaaviossa on sama muoto kuin yksinkertaisin tapaus toiminnon, mutta sen kärki (oy-akselin risteyspiste) ei ole koordinaattien alussa.

Parabola on myös yhtälön Y \u003d Xⁿ ilmaistun tehokkaan toiminnon kaavio, jos n on parillinen numero. Jos n on pariton numero, tällaisen virtatoiminnon kaaviossa on eräänlainen kuutioparabola.
Jos n - mikä tahansa, funktioyhtälö hankkii näkymän. Toiminnon parittoman n toiminnon kaavio on hyperboli ja jopa NS: llä niiden oksat ovat symmetrisiä suhteessa OU-akseliin.

Takaisin kouluvuosina toimintoja tutkitaan yksityiskohtaisesti ja niiden grafiikka on rakennettu. Mutta valitettavasti lue funktion kaavio ja löytää sen tyyppiä esitettyyn piirustukseen, jota ei käytännössä ole opetettu. Itse asiassa se on melko yksinkertainen, jos muistat tärkeimmät toiminnot.

Ohje

Jos edustettu aikataulu on, mikä on koordinaattien alkuperän ja Ox Axis -kulman a (joka on kaltevuuden kulma, joka suoraan positiiviseen puoliakseliin), sitten tämä suora toiminto esitetään y \u003d kx: ksi. Tällöin suhteellisuus K on yhtä suuri kuin kulman α tangentti.

Jos määritetty suora viiva kulkee toisen ja neljännen koordinaattisen neljänneksen läpi, sitten K on 0 ja toiminta kasvaa. Anna esitetty aikataulu oltava suora viiva, joka sijaitsee millään tavalla suhteessa koordinaattien akseleihin. Sitten tämän tehtävän grafiikka Se on lineaarinen, jota edustaa tyyppi Y \u003d KX + B, jossa muuttujat Y ja X jalusta ensimmäisessä ja B ja K voivat ottaa sekä negatiivisia että positiivisia arvoja tai.

Jos suora on samansuuntainen suoraviivalla Y \u003d KX-kaavion kanssa ja leikkaa normaali B-yksiköiden akselilla, yhtälöllä on lomake X \u003d Const Jos kaavio on yhdensuuntainen abscissan akselin kanssa, sitten K \u003d 0.

Käyrän linja, joka koostuu kahdesta haarasta, symmetrisesti koordinaattien alkuperästä ja ne sijaitsevat eri vuosineljänneksissä, hyperbole. Tällainen kaavio esittää muuttujan Y: n käänteisen riippuvuuden muuttuvasta X: stä ja kuvataan muodon Y \u003d K / X yhtälöllä, jossa K ei saa olla nolla, koska se on käänteisen suhteellisuuden kerroin. Tässä tapauksessa, jos arvo K on suurempi kuin nolla, toiminta pienenee; Jos K on pienempi kuin nolla - kasvaa.

Jos ehdotettu aikataulu on parabola, joka kulkee koordinaattien alkuperää, sen toiminnasta suoritetaan tila, että b \u003d c \u003d 0, on muoto Y \u003d AX2. Tämä on quadratic-toiminnon helpoin tapaus. Tyypin y \u003d AX2 + BX +C-toiminnon kaaviolla on sama ulkonäkö kuin yksinkertaisin tapaus, mutta yläreuna (kohta, jossa aikataulu, joka leikkaa ordinateakselin kanssa) koordinaattien alussa. Kvadraattisessa toiminnassa, jota edustaa tyyppi Y \u003d AX2 + BX + C, A, B ja C arvot ovat vakioita, ei ole yhtä nolla.

Parabola voi olla myös kaavio tehokkaasta funktiosta, muodon y \u003d xⁿ lausuttu yhtälö vain, jos n on parillinen numero. Jos arvo n on pariton luku, tällaista kaaviota virtatoiminnosta edustaa Cubic Parabola. Jos muuttuja n on negatiivinen numero, funktioyhtälö hankkii näkymän.

Video aiheesta

Erittäinkin koneen kaiken pisteen koordinaatti määräytyy kahdella arvolla: abscissan akselin ja ordinaattin akselin varrella. Monien tällaisten pisteiden yhdistelmä ja edustaa funktiota. Hänen mukaansa näet, miten Y: n arvo muuttuu riippuen X: n arvon muutoksesta. Voit myös määrittää, millä sivustolla (GAP) toiminto kasvaa ja mikä vähenee.

Ohje

Mitä voidaan sanoa toiminnasta, jos sen aikataulu on suora viiva? Katso, onko tämä suora viiva kulkee koordinoinnin lähtökohdan (eli se, jossa arvot x ja y ovat yhtä kuin 0). Jos se kulkee, tämä toiminto on kuvattu Y \u003d KX-yhtälöllä. On helppoa ymmärtää, että suurempi arvo K, lähempänä akselia Ordinaatti sijaitsee tämä suora. Ja Y-akseli itse todella vastaa äärettömän suurta arvoa k.

Quadrataat toiminnon ominaisuuksien ja kaavioiden tehtävät, kuten käytännössä osoittaa vakavia vaikeuksia. Se on melko outoa, koska nelikulmion toiminto pidetään kahdeksannen luokassa ja sitten yhdeksännen luokan ensimmäisellä neljänneksellä "selviä" Parabolan ominaisuuksista ja rakentaa kaaviot eri parametreille.

Tämä johtuu siitä, että opiskelijoiden pakottaminen parabolojen rakentamiseen, melkein eivät maksa aikaa lukemaan kaavioita, eli ei harjoiteta kuvasta saadut tiedot. Ilmeisesti oletetaan, että rakentamalla tusinaa kaksi kaaviota, älykäs koulupoika löytää itsenäisesti ja muotoilla kertoimien suhdetta kaavan ja kaavion ulkonäkö. Käytännössä se ei toimi. Tällaisesta yleistymiselle vakava kokemus matemaattisista mini-tutkimuksista, jotka useimmat yhdeksän tutkinnon suorittaneet tietenkin, ei tietenkään ole sitä. Samaan aikaan Gia ehdottaa täsmällisesti aikataulua kertoimien merkkien määrittämiseksi.

Älä vaadi koululaisia \u200b\u200bmahdottomaksi ja yksinkertaisesti tarjota yksi algoritmeista tällaisten ongelmien ratkaisemiseksi.

Joten, lomakkeen toiminta y \u003d AX 2 + BX + C Sitä kutsutaan kvadraatiksi, aikataulu on parabola. Nimestä seuraa, pääkausi on aX 2.. Eli mutta ei pitäisi olla nolla, jäljellä olevat kertoimet ( b. ja peräkkäin) voi olla nolla.

Katsotaanpa, miten sen kertoimet vaikuttavat parabolan ulkonäköön.

Yksinkertaisin riippuvuus kerroin mutta. Useimmat koululaiset luottavaisesti vastaukset: "Jos mutta \u003e 0, sitten parabolan oksat ohjataan ylöspäin, ja jos mutta < 0, - то вниз". Совершенно верно. Ниже приведен график квадратичной функции, у которой mutta > 0.

y \u003d 0,5x 2 - 3x + 1

Tässä tapauksessa mutta = 0,5

Ja nyt mutta < 0:

y \u003d - 0,5x2 - 3x + 1

Tässä tapauksessa mutta = - 0,5

Kertoimen vaikutus peräkkäin On myös helppo jäljittää tarpeeksi. Kuvittele, että haluamme löytää tehtävän arvosta h. \u003d 0. Korvaa nolla kaavassa:

y. = a. 0 2 + b. 0 + c. = c.. Osoittautuu y \u003d s. Eli peräkkäin - Tämä on parabolan leikkauspisteen koordinaatti akselin kanssa. Pääsääntöisesti tämä kohta on helppo löytää kaaviosta. Ja määritä nolla se sijaitsee tai alapuolella. Eli peräkkäin \u003e 0 tai peräkkäin < 0.

peräkkäin > 0:

y \u003d X 2 + 4x + 3

peräkkäin < 0

y \u003d X 2 + 4x - 3

Näin ollen, jos peräkkäin \u003d 0, sitten parabola kulkee ehdottomasti koordinaatin alkuperän kautta:

y \u003d X 2 + 4x

Parametrin kanssa vaikeampaa b.. Kohta, johon löydämme, se riippuu paitsi b. Mutta mutta. Tämä on Parabolan yläosa. Sen abskissa (akselin koordinaatti h.) on kaavassa x B \u003d - B / (2A). Tällä tavalla, b \u003d - 2Ar. Toisin sanoen toimimme seuraavasti: Kaaviossa löydämme Parabolan yläosan, määrittelemme sen Abskissa, eli katsomme nollaa ( x B. \u003e 0) tai vasemmalle ( x B. < 0) она лежит.

Tämä ei kuitenkaan ole kaikki. Meidän on myös kiinnitettävä huomiota kerroinmerkki mutta. Toisin sanoen nähdä, missä Parabolan oksat ohjataan. Ja vasta sen jälkeen kaava b \u003d - 2Ar Määritä merkki b..

Harkitse esimerkkiä:

Oksat ohjataan, se tarkoittaa mutta \u003e 0, parabola ylittää akselin w. nollan alapuolella peräkkäin < 0, вершина параболы лежит правее нуля. Следовательно, x B. \u003e 0. niin b \u003d - 2Ar = -++ = -. b. < 0. Окончательно имеем: mutta > 0, b. < 0, peräkkäin < 0.

Harkitse toimintoa Y \u003d K / Y. Tämän ominaisuuden kaavio on linja, jota kutsutaan matematiikan hyperbole. Yleinen näkymä hyperboleista, esitetty alla olevassa kuvassa. (Kaavio näyttää toiminnon y, joka on yhtä suuri kuin k jaettu x: llä, jossa K on yhtä suuri.)

Voidaan nähdä, että aikataulu koostuu kahdesta osasta. Nämä osat viittaavat hyperboleihin. On myös syytä huomata, että jokainen hyperbolien haara sopii yhteen suuntaan ja lähempänä ja lähempänä koordinaatti-akseleita. Koordinaattien akseli tässä tapauksessa kutsutaan asymptoiksi.

Yleensä kaikki suorat linjat, joihin toiminnon kaavio on äärettömän lähestymässä, mutta ei saavuta niitä, kutsutaan asymptoiksi. Hyperbolat, kuten parabola, on symmetriaakseli. Hyperboleille, jotka on esitetty yllä olevassa kuvassa, se on suora y \u003d x.

Nyt selvitämme sen kahdella yleisellä hyperballilla. Funktion y \u003d k / x, k ≠ 0: lle, on hyperboli, joiden sivukonttorit sijaitsevat joko ensimmäisessä ja kolmannessa koordinaatissa kulmat K\u003e 0: ssa tai toisessa ja neljännessä koordinaattikulmassa, milloin<0.

Toiminnon pääominaisuudet Y \u003d K / X, kun K\u003e 0

Toiminto Kaavio Y \u003d K / X, kun K\u003e 0

5. Y\u003e 0 X\u003e 0: lle; Y6. Toiminto pienenee sekä välein (-∞, 0) ja välein (0; + ∞).

10. Toimintoalue Arvot kaksi avointa aukkoa (-∞, 0) ja (0; + ∞).

Toiminnan pääominaisuudet y \u003d k / x, kun k<0

Toiminto Kaavio Y \u003d K / X, kun K<0

1. piste (0; 0) symmetria hyperbolien keskus.

2. Koordinaattien akselit - hyperbolien asymptoes.

4. Kaikkien X-toiminnon määrittäminen, paitsi x \u003d 0.

5. Y\u003e 0 osoitteessa x0.

6. Toiminto kasvaa sekä välein (-∞, 0) ja välein (0; + ∞).

7. Toiminto ei rajoitu pohjaan, ei mitään.

8. Toiminnassa ei ole suurimpia tai vähiten arvoja.

9. Toiminto on jatkuva aikavälillä (-∞, 0) ja väli (0; + ∞). Siinä on ero piste X \u003d 0.

Lineaarisen toiminnon määritelmä

Esittelemme lineaarisen toiminnon määritelmän

Määritelmä

Tyypin funktio $ y \u003d kx + b $, jossa $ k $ eroaa nolla nimeltä lineaarinen toiminto.

Lineaarisen toiminnon kaavio on suora. Numero $ k $ kutsutaan suoran kulmakerroin.

$ B \u003d 0 $, lineaarista toimintoa kutsutaan suoran suhteellisuuden funktiona $ y \u003d kx $.

Harkitse kuva 1.

Kuva. 1. Suoraan kulmikerroksen geometrinen merkitys

Harkitse kolmion ABC. Näemme, että $ lentokone \u003d kx_0 + b $. Löydämme risteyspisteen suoraan $ y \u003d kx + b $ kanssa akseli $ ox $:

\ \

Joten $ ac \u003d x_0 + \\ frac (b) (k) $. Etsi näiden sivujen asenne:

\\ [FRAC (BC) (AC) \u003d \\ frac (kx_0 + b) (x_0 + \\ frac (b) (k) \u003d \\ frac (k (k (kx_0 + b)) (kx) _0 + b) \u003d K \\]

Toisaalta $ + Frac (BC) (AC) \u003d TG \\ kulma A $.

Näin voit tehdä seuraavan johtopäätöksen:

Lähtö

$ K $: n kertoimen geometrinen merkitys. Direct $ k $: n kulmakerroin on yhtä suuri kuin tangentti kulma kallistuksen tämä suoraan $ Ox $ Axis.

Tutkimus lineaarisesta toiminnasta $ f vasemmalle (x \\ oikea) \u003d KX + B $ ja sen aikataulu

Ensinnäkin, harkitse toimintoa $ f vasemmalle (x \\ oikea) \u003d kx + b $, jossa $ k\u003e 0 $.

$ F "Vasen (x \\ oikea) \u003d (vasemmalle (kx + b oikea))" \u003d k\u003e 0 $. Näin ollen tämä toiminto kasvaa koko määritelmän alalla. Pisteet Extremum ei ole.
$ (Mathop (LIM) KX \\) \u003d - - \\ Infty $, $ (\\ Mathop (LIM) _ (X \\ + \\ Infty) KX \\) \u003d + \\ Infty $
Kaavio (kuva 2).

Kuva. 2. Toiminnon kaaviot $ y \u003d kx + b $, $ k\u003e 0 $.

Harkitse nyt funktiota $ f vasemmalle (x \\ oikea) \u003d kx $, jossa $ k

Määritelmäalue on kaikki numerot.
Arvoalue - Kaikki numerot.
$ F vasemmalle (-x \\ oikea) \u003d - KX + B $. Toiminto ei ole edes eikä outoa.
$ X \u003d 0, f vasemmalle (0 \\ oikea) \u003d b $. $ Y \u003d 0.0 \u003d kx + b, \\ x \u003d - \\ frac (b) (k) $.

Risteyksikkö koordinaattien akseleilla: $ vasemmalle (- \\ frac (b) (k), 0 \\ oikea) $ ja $ vasemmalle (0, \\ b \\ oikea) $

$ f "Vasen (x \\ oikea) \u003d (vasemmalle (kx \\ oikea))" \u003d k
$ F ^ ("") Vasen (x \\ oikea) \u003d k "\u003d 0 $. Siksi toiminnossa ei ole taipumispisteitä.
$ (\\ Mathop (LIM) KX \\) \u003d + \\ Infty $, $ (\\ Mathop (LIM) _ (X \\ + \\ Infty) KX \\) \u003d - \\ Infty $ $
Kaavio (kuva 3).