Lineaaristen epäyhtälöiden järjestelmien ratkaiseminen graafisesti

Eriarvoisuuksien ratkaisu. Epätasa-arvoa on eri tyyppejä ja kysyntää erilainen lähestymistapa heidän päätökseensä. Jos et halua käyttää aikaa ja vaivaa eriarvoisuuksien ratkaisemiseen tai olet ratkaissut eriarvoisuuden itse ja haluat tarkistaa, saitko oikean vastauksen, niin suosittelemme ratkaisemaan eriarvoisuudet verkossa ja käyttämään tähän Math24.su-palveluamme. Se ratkaisee sekä lineaariset että neliölliset epäyhtälöt, mukaan lukien irrationaaliset ja murto-epäyhtälöt. Varmista, että kirjoitat molemmat epäyhtälön osat asianmukaisiin kenttiin ja valitse epäyhtälömerkki niiden väliltä ja napsauta sitten "Ratkaisu"-painiketta. Havainnollistaaksesi, miten eriarvoisuuksien ratkaisu toteutetaan palvelussa, voit katsoa erilaisia esimerkkejä ja niiden ratkaisuja (valittu "Ratkaisu"-painikkeen oikealta puolelta). Palvelu palauttaa sekä ratkaisuvälit että kokonaislukuarvot. Ensimmäistä kertaa Math24.su:lle saapuvat käyttäjät ihailevat palvelun suurta nopeutta, sillä voit ratkaista eriarvoisuudet verkossa muutamassa sekunnissa ja voit käyttää palvelua täysin ilmaiseksi rajattoman määrän kertoja. Palvelun työ on automatisoitua, siinä laskennan tekee ohjelma, ei ihminen. Sinun ei tarvitse asentaa mitään ohjelmisto, rekisteröidy, syötä henkilötiedot tai sähköposti. Myös kirjoitusvirheet ja laskuvirheet ovat poissuljettuja, tulokseen voi luottaa 100%. Edut eriarvoisuuksien ratkaisemisesta verkossa. Kiitokset suuri nopeus ja helppokäyttöisyyden ansiosta Math24.su-palvelusta on tullut luotettava apulainen monille koululaisille ja opiskelijoille. Epätasa-arvoa esiintyy usein koulujen ohjelmia ja kurssi Institute for Higher Mathematics ja ne, jotka käyttävät meidän verkkopalvelu saada suuren edun muihin nähden. Math24.su on käytettävissä ympäri vuorokauden, ei vaadi rekisteröitymistä, käyttömaksuja ja lisäksi on monikielinen. Älä unohda verkkopalvelua ja niitä, jotka etsivät ratkaisua eriarvoisuuteen omatoimisesti. Loppujen lopuksi Math24.su on loistava tilaisuus tarkistaa laskelmiesi oikeellisuus, selvittää missä virhe on tehty, nähdä kuinka erityyppiset epätasa-arvot ratkaistaan. Toinen syy, miksi eriarvoisuuksia olisi järkevämpää ratkaista verkossa, on se, että eriarvoisuuksien ratkaiseminen ei ole päätehtävä, vaan vain osa sitä. Tässä tapauksessa ei yksinkertaisesti ole järkevää käyttää paljon aikaa ja vaivaa laskemiseen, mutta on parempi uskoa se online-palveluun keskittymällä päätehtävän ratkaisemiseen itse. Kuten näette, eriarvoisuuksien ratkaisun verkkopalvelu on hyödyllinen sekä itsenäisesti ratkaiseville tätä lajia matematiikan ongelmia, ja ne, jotka eivät halua käyttää aikaa ja vaivaa pitkiin laskelmiin, mutta tarvitsevat nopean vastauksen. Siksi, kun kohtaat eriarvoisuuksia, älä unohda käyttää palveluamme ratkaistaksesi mahdolliset epätasa-arvot verkossa: lineaarinen, neliö, irrationaalinen, trigonometrinen, logaritminen. Mitä ovat eriarvoisuudet ja miten ne määritellään? Eriarvoisuuden puolestapuhujat kääntöpuoli tasa-arvo ja miten käsite liittyy kahden kohteen vertailuun. Vertailtavien esineiden ominaisuuksista riippuen sanotaan korkeampi, matalampi, lyhyempi, pidempi, paksumpi, ohuempi jne. Matematiikassa eriarvoisuuksien merkitys ei ole kadonnut, mutta tässä me puhumme jo matemaattisten kohteiden epäyhtälöistä: numerot, lausekkeet, määrien arvot, luvut jne. On tapana käyttää useita epäyhtälömerkkejä: , ≤, ≥. Matemaattiset lausekkeet tällaisia merkkejä kutsutaan epäyhtälöiksi. Merkki > (suurempi kuin) sijoitetaan suurempien ja pienempien esineiden väliin. Ei-tiukat eriarvoisuudet kuvaavat tilannetta, jossa yksi ilmaisu on "ei enempää" ("ei vähempää") kuin toinen. "Ei enemmän" tarkoittaa vähemmän tai samaa ja "ei vähemmän" tarkoittaa enemmän tai samaa.

Tällä oppitunnilla aloitamme eriarvoisuusjärjestelmien tutkimuksen. Ensin harkitsemme järjestelmiä lineaariset epätasa-arvot. Oppitunnin alussa pohditaan, missä ja miksi epätasa-arvojärjestelmät syntyvät. Seuraavaksi tutkimme, mitä tarkoittaa järjestelmän ratkaiseminen, ja muistamme joukkojen liiton ja leikkauspisteen. Lopuksi ratkaisemme erityisiä esimerkkejä lineaaristen epäyhtälöiden järjestelmistä.

Aihe: ruokavaliotodelliset epätasa-arvot ja niiden järjestelmät

Oppitunti:Mainkäsitteet, lineaaristen epäyhtälisyysjärjestelmien ratkaisu

Tähän asti olemme ratkaisseet yksittäisiä epäyhtälöitä ja soveltaneet niihin intervallimenetelmää, näitä voisi olla lineaariset epätasa-arvot, ja neliömäinen ja rationaalinen. Siirrytään nyt ensin epätasa-arvojärjestelmien ratkaisemiseen lineaariset järjestelmät. Katsotaanpa esimerkkiä, jossa tarve tarkastella eriarvoisuusjärjestelmiä tulee.

Etsi funktion laajuus

Funktio on olemassa, kun molemmat neliöjuuret ovat olemassa, ts.

Kuinka ratkaista tällainen järjestelmä? On tarpeen löytää kaikki x, jotka tyydyttävät sekä ensimmäisen että toisen epäyhtälön.

Piirrä x-akselille joukko ensimmäisen ja toisen epäyhtälön ratkaisuja.

Kahden säteen leikkausväli on ratkaisumme.

Tätä epätasa-arvojärjestelmän ratkaisun esittämismenetelmää kutsutaan joskus kattomenetelmäksi.

Järjestelmän ratkaisu on kahden joukon leikkauspiste.

Esitetään tämä graafisesti. Meillä on mielivaltainen joukko A ja mielivaltainen joukko B, jotka leikkaavat.

Määritelmä: Kahden joukon A ja B leikkauspiste on kolmas joukko, joka koostuu kaikista sekä A:n että B:n elementeistä.

Harkitse konkreettisia esimerkkejä lineaaristen epäyhtälöysjärjestelmien ratkaiseminen, kuinka löytää järjestelmään sisältyvien yksittäisten epäyhtälöiden ratkaisujoukkojen leikkauspisteitä.

Ratkaise epäyhtälöjärjestelmä:

Vastaus: (7; 10].

4. Ratkaise järjestelmä

Mistä järjestelmän toinen epätasa-arvo voi tulla? Esimerkiksi eriarvoisuudesta

Merkitsemme graafisesti kunkin epäyhtälön ratkaisut ja etsimme niiden leikkausvälin.

Siten, jos meillä on järjestelmä, jossa yksi epäyhtälöistä täyttää minkä tahansa x:n arvon, se voidaan eliminoida.

Vastaus: järjestelmä on epäjohdonmukainen.

Olemme tarkastelleet tyypillisiä tukiongelmia, joihin minkä tahansa lineaarisen epäyhtälöjärjestelmän ratkaisu pelkistyy.

Harkitse seuraavaa järjestelmää.

Joskus lineaarinen järjestelmä saadaan kaksois-epäyhtälöstä; harkitse tätä tapausta.

Pohdimme lineaaristen epätasa-arvojen järjestelmiä, ymmärsimme, mistä ne tulevat, harkitsimme tyypillisiä järjestelmiä, johon kaikki lineaariset järjestelmät vähentävät, ja ratkaisivat osan niistä.

1. Mordkovich A.G. ja muut Algebra 9. luokka: Proc. Yleissivistävää koulutusta varten Toimielimet - 4. painos. - M.: Mnemosyne, 2002.-192 s.: ill.

2. Mordkovich A.G. et al. Algebra Grade 9: Tehtäväkirja oppilaitosten opiskelijoille / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina et al. - 4. painos. — M.: Mnemosyne, 2002.-143 s.: ill.

3. Yu. N. Makarychev, Algebra. Luokka 9: oppikirja. yleissivistävän koulutuksen opiskelijoille. laitokset / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, I. E. Feoktistov. - 7. painos, Rev. ja ylimääräistä - M .: Mnemosyne, 2008.

4. Alimov Sh.A., Kolyagin Yu.M., Sidorov Yu.V. Algebra. Luokka 9 16. painos - M., 2011. - 287 s.

5. Mordkovich A. G. Algebra. Luokka 9 Klo 14 Osa 1. Oppikirja oppilaitosten opiskelijoille / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 12. painos, poistettu. — M.: 2010. — 224 s.: ill.

6. Algebra. Luokka 9 Klo 2. Osa 2. Tehtäväkirja oppilaitosten opiskelijoille / A. G. Mordkovich, L. A. Aleksandrova, T. N. Mishustina ym.; Ed. A. G. Mordkovich. - 12. painos, Rev. — M.: 2010.-223 s.: ill.

1. Luonnontieteiden portaali ().

2. Elektroninen koulutus- ja metodologinen kompleksi luokkien 10-11 valmisteluun tietojenkäsittelytieteen, matematiikan, venäjän kielen pääsykokeisiin ().

4. Koulutuskeskus "Kasvatusteknologia" ().

5. College.ru matematiikan osio ().

1. Mordkovich A.G. et al. Algebra Grade 9: Tehtäväkirja oppilaitosten opiskelijoille / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina et al. - 4. painos. - M .: Mnemosyne, 2002.-143 s.: ill. nro 53; 54; 56; 57.

Tunti ja esitys aiheesta: "Epätasa-arvojärjestelmät. Esimerkkejä ratkaisuista"

Lisämateriaalit
Hyvät käyttäjät, älä unohda jättää kommentteja, palautetta, ehdotuksia! Kaikki materiaalit tarkistetaan virustorjuntaohjelmalla.

Opetusvälineet ja simulaattorit verkkokaupassa "Integral" luokalle 9
Interaktiivinen opinto-opas luokalle 9 "Geometrian säännöt ja harjoitukset"
Sähköinen oppikirja "Ymmärrettävä geometria" luokille 7-9

Epätasa-arvojärjestelmä

Kaverit, olette tutkineet lineaarista ja neliöllistä epätasa-arvoa, oppineet ratkaisemaan ongelmia näistä aiheista. Siirrytään nyt uuteen matematiikan käsitteeseen - epätasa-arvojärjestelmään. Epäyhtälöjärjestelmä on samanlainen kuin yhtälöjärjestelmä. Muistatko yhtälöjärjestelmiä? Yhtälöjärjestelmät opisit seitsemännellä luokalla, yritä muistaa, kuinka ratkaisit ne.

Otetaan käyttöön epätasa-arvojärjestelmän määritelmä.
Useat epäyhtälöt jollakin muuttujalla x muodostavat epäyhtälöjärjestelmän, jos sinun on löydettävä kaikki x:n arvot, joille jokainen epäyhtälö on tosi numeerinen lauseke.

Mikä tahansa x:n arvo, jossa jokainen epäyhtälö laskee kelvollisen numeerisen lausekkeen, on ratkaisu epäyhtälöön. Sitä voidaan kutsua myös yksityiseksi ratkaisuksi.
Mikä on yksityinen ratkaisu? Esimerkiksi vastauksessa saimme lausekkeen x>7. Silloin x=8 tai x=123 tai jokin muu luku, joka on suurempi kuin seitsemän, on tietty ratkaisu, ja lauseke x>7 on yhteinen päätös. Yleisratkaisu muodostuu yksittäisten ratkaisujen joukosta.

Kuinka yhdistämme yhtälöjärjestelmän? Aivan oikein, kihara aaltosulke, joten he tekevät saman epätasa-arvon kanssa. Katsotaanpa esimerkkiä epäyhtälöjärjestelmästä: $\begin(cases)x+7>5\\x-3
Jos epäyhtälöjärjestelmä koostuu identtisistä lausekkeista, esimerkiksi $\begin(cases)x+7>5\\x+7
Joten mitä tarkoittaa löytää ratkaisu eriarvoisuusjärjestelmään?
Ratkaisu epätasa-arvoon on joukko osittaisia ratkaisuja epätasa-arvoon, joka tyydyttää järjestelmän molemmat epätasa-arvot kerralla.

Kirjoitetaan epäyhtälöjärjestelmän yleinen muoto muodossa $\begin(cases)f(x)>0\\g(x)>0\end(cases)$

Olkoon $X_1$ epäyhtälön f(x)>0 yleinen ratkaisu.
$X_2$ on epäyhtälön g(x)>0 yleinen ratkaisu.
$X_1$ ja $X_2$ ovat tiettyjen ratkaisujen joukko.
Epäyhtälöjärjestelmän ratkaisuna ovat luvut, jotka kuuluvat sekä $X_1$ että $X_2$.
Katsotaanpa sarjojen toimintoja. Kuinka voimme löytää joukon alkiot, jotka kuuluvat kumpaankin joukkoon kerralla? Aivan oikein, tätä varten on risteysoperaatio. Epäyhtälömme ratkaisu on siis joukko $A= X_1∩ X_2$.

Esimerkkejä eriarvoisuusjärjestelmien ratkaisuista

Katsotaanpa esimerkkejä eriarvoisuusjärjestelmien ratkaisemisesta.

Ratkaise epäyhtälöjärjestelmä.
a) $\begin(cases)3x-1>2\\5x-10 b) $\begin(cases)2x-4≤6\\-x-4
Ratkaisu.
a) Ratkaise jokainen epäyhtälö erikseen.
$3x-1>2; \; 3x>3; \; x>1 $.
5 x 10 dollaria
Merkitsemme intervallimme yhdelle koordinaattiviivalle.

Järjestelmän ratkaisu on meidän intervalliemme leikkauspisteen segmentti. Epätasa-arvo on tiukka, silloin segmentti on avoin.
Vastaus: (1;3).

B) Ratkaisemme myös jokaisen epäyhtälön erikseen.
$2x-4≤6; 2x ≤ 10; x ≤ 5 dollaria.
$-x-4 -5 $.

Järjestelmän ratkaisu on meidän intervalliemme leikkauspisteen segmentti. Toinen epäyhtälö on tiukka, silloin segmentti on avoin vasemmalla.
Vastaus: (-5; 5].

Tehdään yhteenveto siitä, mitä olemme oppineet.
Oletetaan, että meidän on ratkaistava epäyhtälöjärjestelmä: $\begin(cases)f_1 (x)>f_2 (x)\\g_1 (x)>g_2 (x)\end(cases)$.
Sitten väli ($x_1; x_2$) on ratkaisu ensimmäiseen epäyhtälöön.
Väli ($y_1; y_2$) on ratkaisu toiseen epäyhtälöön.
Epäyhtälöjärjestelmän ratkaisu on kunkin epäyhtälön ratkaisujen leikkauspiste.

Epätasa-arvojärjestelmät voivat koostua paitsi ensimmäisen asteen epätasa-arvoista myös minkä tahansa muun tyyppisistä epätasa-arvoista.

Tärkeitä sääntöjä eriarvoisuusjärjestelmien ratkaisemiseksi.
Jos jollakin järjestelmän epäyhtälöistä ei ole ratkaisuja, ei koko järjestelmällä ole ratkaisuja.
Jos yksi epäyhtälöistä täyttyy jollekin muuttujan arvolle, niin järjestelmän ratkaisu on toisen epäyhtälön ratkaisu.

Esimerkkejä.
Ratkaise epäyhtälöjärjestelmä:$\begin(cases)x^2-16>0\\x^2-8x+12≤0 \end(cases)$
Ratkaisu.
Ratkaistaan jokainen epäyhtälö erikseen.
$x^2-16>0$.
$(x-4)(x+4)>0$.

Ratkaistaan toinen epäyhtälö.
$x^2-8x+12≤0$.
$(x-6)(x-2)≤0 $.

Ratkaisu epätasa-arvoon on aukko.
Piirretään molemmat välit yhdelle suoralle ja etsitään leikkauspiste.
Välien leikkauspiste on jana (4; 6]).
Vastaus: (4;6].

Ratkaise epäyhtälöjärjestelmä.
a) $\begin(cases)3x+3>6\\2x^2+4x+4 b) $\begin(cases)3x+3>6\\2x^2+4x+4>0\end(cases )$.

Ratkaisu.
a) Ensimmäisellä epäyhtälöllä on ratkaisu x>1.
Etsitään toisen epätasa-arvon diskriminantti.
$D = 16-4 * 2 * 4 = -16 $. $D Muista sääntö, kun yhdellä epäyhtälöistä ei ole ratkaisuja, koko järjestelmällä ei ole ratkaisuja.
Vastaus: Ratkaisuja ei ole.

B) Ensimmäisellä epäyhtälöllä on ratkaisu x>1.
Toinen epäyhtälö on suurempi kuin nolla kaikille x:ille. Silloin järjestelmän ratkaisu osuu yhteen ensimmäisen epäyhtälön ratkaisun kanssa.
Vastaus: x>1.

Ongelmia eriarvoisuusjärjestelmissä itsenäiseen ratkaisuun

Ratkaise epätasa-arvojärjestelmät:
a) $\begin(cases)4x-5>11\\2x-12 b) $\begin(cases)-3x+1>5\\3x-11 c) $\begin(cases)x^2-25 d) $\begin(cases)x^2-16x+55>0\\x^2-17x+60≥0 \end(tapaukset)$
e) $\begin(cases)x^2+36

Epätasa-arvojärjestelmä On tapana kutsua mitä tahansa kahden tai useamman epäyhtälön joukkoa, joka sisältää tuntemattoman suuren.

Tätä formulaatiota havainnollistetaan selvästi esimerkiksi sellaisilla eriarvoisuusjärjestelmät:

Ratkaise epäyhtälöjärjestelmä - tarkoittaa löytää kaikki tuntemattoman muuttujan arvot, jolle jokainen järjestelmän epäyhtälö toteutuu, tai todistaa, että sellaisia ei ole .

Siis jokaiselle yksilölle järjestelmän epätasa-arvoa laskea tuntematon muuttuja. Lisäksi valitsee saaduista arvoista vain ne, jotka ovat tosia sekä ensimmäiselle että toiselle epäyhtälölle. Siten, kun valittu arvo korvataan, järjestelmän molemmat epäyhtälöt tulevat oikeaksi.

Analysoidaan useiden epäyhtälöiden ratkaisua:

Aseta toinen numeroviivaparin alle; laita arvo päälle x, jonka alla ensimmäinen epäyhtälö o ( x> 1) tulee todeksi, ja alareunassa arvo X, jotka ovat toisen epäyhtälön ratkaisu ( X> 4).

Vertaamalla tietoja numerorivit, huomaa, että ratkaisu molemmille epätasa-arvoa tahtoa X> 4. Vastaa, X> 4.

Esimerkki 2

Ensimmäisen laskeminen eriarvoisuutta saamme -3 X< -6, или x> 2, toinen - X> -8 tai X < 8. Затем делаем по аналогии с предыдущим примером. На верхнюю числовую прямую наносим все те значения X, jonka alla ensimmäinen järjestelmän epätasa-arvo, ja alemmalla numerorivillä kaikki nämä arvot X, jonka alla järjestelmän toinen epäyhtälö toteutuu.

Vertaamalla tietoja huomaamme, että molemmat epätasa-arvoa otetaan käyttöön kaikille arvoille X sijoittui 2-8. Arvojoukot X merkitä kaksinkertainen eriarvoisuus 2 < X< 8.

Esimerkki 3 Etsitään