Kaikki trigonometriset peruskaavat. Tärkeimmät trigonometriset kaavat

Tämä on viimeinen ja tärkein oppitunti, joka tarvitaan ongelmien ratkaisemiseen B11. Tiedämme jo, kuinka kulmat muunnetaan radiaanista asteeksi (katso oppitunti "Kulman radiaani ja astemitat"), ja tiedämme myös kuinka määrittää trigonometrisen funktion etumerkki keskittyen koordinaattineljänneksiin (katso oppitunti "Signs" trigonometriset funktiot").

Ainoa asia, joka on jäljellä, on laskea itse funktion arvo - juuri se luku, joka on kirjoitettu vastauksessa. Tässä tulee apuun trigonometrinen perusidentiteetti.

Trigonometrinen perusidentiteetti. Kaikille kulmille α seuraava lause on tosi:

sin 2 α + cos 2 α = 1.

Tämä kaava yhdistää yhden kulman sinin ja kosinin. Nyt kun tunnemme sinin, voimme helposti löytää kosinin - ja päinvastoin. Riittää, kun poimitaan neliöjuuri:

Huomaa "±"-merkki juurien edessä. Tosiasia on, että trigonometrisen perusidentiteetin perusteella ei käy selväksi, olivatko alkuperäinen sini ja kosini: positiivisia vai negatiivisia. Loppujen lopuksi neliöinti on tasainen toiminto, joka "polttaa" kaikki haitat (jos sellaisia ​​on).

Siksi kaikissa matematiikan kokeessa löydettävissä tehtävissä B11 on välttämättä lisäehtoja, jotka auttavat pääsemään eroon epävarmuudesta merkkien avulla. Yleensä tämä on osoitus koordinaattineljänneksestä, jolla etumerkki voidaan määrittää.

Huomaavainen lukija kysyy luultavasti: "Entä tangentti ja kotangentti?" Näitä funktioita ei voi suoraan laskea yllä olevista kaavoista. Kuitenkin trigonometrisen perusidentiteetillä, joka sisältää jo tangentteja ja kotangentteja, on tärkeitä seurauksia. Nimittäin:

Tärkeä seuraus: minkä tahansa kulman α trigonometrinen perusidentiteetti voidaan kirjoittaa uudelleen seuraavasti:

Nämä yhtälöt ovat helposti johdettavissa perusidentiteetistä - riittää jakaa molemmat puolet cos 2 α:lla (saadaan tangentti) tai sin 2 α:lla (kotangenttia varten).

Harkitse tätä kaikkea osoitteessa konkreettisia esimerkkejä... Alla on todelliset B11-ongelmat, jotka on otettu kokeilusta vaihtoehtoja kokeeseen matematiikassa 2012.

Tiedämme kosinin, mutta emme tiedä siniä. Trigonometrinen perusidentiteetti ("puhtaassa" muodossaan) yhdistää juuri nämä funktiot, joten työskentelemme sen kanssa. Meillä on:

sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ sin 2 α + 99/100 = 1 ⇒ sin 2 α = 1/100 ⇒ sin α = ± 1/10 = ± 0,1.

Ongelman ratkaisemiseksi on vielä löydettävä sinimerkki. Koska kulma α ∈ (π / 2; π), niin astemittana se kirjoitetaan seuraavasti: α ∈ (90 °; 180 °).

Näin ollen kulma α on II koordinaattineljänneksessä - kaikki sinit ovat positiivisia. Siksi sin α = 0,1.

Tiedämme siis sinin, mutta meidän on löydettävä kosini. Molemmat funktiot ovat perustrigonometrisessa identiteetissä. Korvaamme:

sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ 3/4 + cos 2 α = 1 ⇒ cos 2 α = 1/4 ⇒ cos α = ± 1/2 = ± 0,5.

Jäljelle jää murto-osan edessä olevan merkin käsittely. Mitä valita: plus vai miinus? Kulma α kuuluu hypoteesin mukaan väliin (π 3π / 2). Muunnamme kulmat radiaanista astemittaan - saamme: α ∈ (180 °; 270 °).

Ilmeisesti tämä on III koordinaattineljännes, jossa kaikki kosinit ovat negatiivisia. Siksi cos α = −0,5.

Tehtävä. Etsi tan α, jos tunnetaan:

Tangentti ja kosini yhdistetään trigonometrisesta perusidentiteetistä seuraavalla yhtälöllä:

Saamme: tg α = ± 3. Tangentin etumerkki määräytyy kulman α avulla. Tiedetään, että α ∈ (3π / 2; 2π). Muunnamme kulmat radiaanista astemittaan - saamme α ∈ (270 °; 360 °).

Ilmeisesti tämä on IV koordinaattineljännes, jossa kaikki tangentit ovat negatiivisia. Siksi tan α = −3.

Tehtävä. Etsi cos α, jos tiedetään:

Sini tunnetaan jälleen ja kosini on tuntematon. Kirjataan ylös trigonometrinen perusidentiteetti:

sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ 0,64 + cos 2 α = 1 ⇒ cos 2 α = 0,36 ⇒ cos α = ± 0,6.

Merkki määräytyy kulman mukaan. Meillä on: α ∈ (3π / 2; 2π). Muunnetaan kulmat astemittasta radiaaniksi: α ∈ (270 °; 360 °) on IV-koordinaattineljännes, kosinit siellä ovat positiivisia. Siksi cos α = 0,6.

Tehtävä. Etsi sin α, jos tiedät seuraavan:

Kirjoitetaan kaava, joka seuraa trigonometrisen perusidentiteetistä ja yhdistää suoraan sinin ja kotangentin:

Tästä saadaan, että sin 2 α = 1/25, ts. sin α = ± 1/5 = ± 0,2. Tiedetään, että kulma α ∈ (0; π / 2). Asteina tämä kirjoitetaan seuraavasti: α ∈ (0 °; 90 °) - I-koordinaattineljännes.

Joten, kulma on I-koordinaattineljänneksessä - kaikki trigonometriset funktiot on positiivisia, joten sin α = 0,2.

Tämän artikkelin alussa tarkastelimme trigonometristen funktioiden käsitettä. Niiden päätarkoituksena on tutkia trigonometrian perusteita ja jaksollisten prosessien tutkimusta. Ja piirsimme trigonometrisen ympyrän syystä, koska useimmissa tapauksissa trigonometriset funktiot määritellään kolmion sivujen tai sen tiettyjen osien suhteeksi yksikköympyrässä. Mainitsin myös trigonometrian kiistatta suuren merkityksen nykyelämässä. Mutta tiede ei seiso paikallaan, minkä seurauksena voimme laajentaa merkittävästi trigonometrian soveltamisalaa ja siirtää sen säännökset todellisiin ja joskus monimutkaisiin lukuihin.

Trigonometrian kaavat on useita tyyppejä. Ajatellaanpa niitä järjestyksessä.

1. Saman kulman trigonometristen funktioiden suhteet

Tässä tulemme pohtimaan sellaista käsitettä kuin trigonometriset perusidentiteetit.

Trigonometrinen identiteetti on yhtäläisyys, joka koostuu trigonometrisista suhteista ja joka toteutuu kaikkiin siihen sisältyvien kulmien arvoihin.

Harkitse tärkeimpiä trigonometrisiä identiteettejä ja niiden todisteita:

Ensimmäinen identiteetti seuraa tangentin määritelmästä.

Otetaan suorakulmainen kolmio, jonka kärjessä A on terävä kulma x.



Identiteettien todistamiseksi on tarpeen käyttää Pythagoraan lausetta:

(BC) 2 + (AC) 2 = (AB) 2

Nyt jaamme (AB) 2:lla tasa-arvon molemmat puolet ja muistaen kulman sinin ja cos:n määritelmät, saamme toisen identiteetin:

(ВС) 2 / (AB) 2 + (AC) 2 / (AB) 2 = 1

sin x = (BC) / (AB)

cos x = (AC) / (AB)

sin 2 x + cos 2 x = 1

Kolmannen ja neljännen identiteetin todistamiseksi käytämme edellistä todistetta.

Tätä varten jaamme toisen identiteetin molemmat puolet cos 2 x:llä:

sin 2 x / cos 2 x + cos 2 x / cos 2 x = 1 / cos 2 x

sin 2 x / cos 2 x + 1 = 1 / cos 2 x

Ensimmäisen identiteetin tg x = sin x / cos x perusteella saamme kolmannen:

1 + tg 2 x = 1 / cos 2 x

Nyt jaamme toisen identiteetin synnillä 2 x:

sin 2 x / sin 2 x + cos 2 x / sin 2 x = 1 / sin 2 x

1+ cos 2 x / sin 2 x = 1 / sin 2 x

cos 2 x / sin 2 x on vain 1 / tan 2 x, joten saamme neljännen identiteetin:

1 + 1 / tg 2 x = 1 / sin 2 x

On aika muistaa summalause sisäkulmat kolmio, joka sanoo, että kolmion kulmien summa = 180 0. Osoittautuu, että kolmion kärjessä B on kulma, jonka arvo on 180 0 - 90 0 - x = 90 0 - x.



Muista jälleen synnin ja cosin määritelmät ja hanki viides ja kuudes identiteetti:

sin x = (BC) / (AB)

cos (90 0 - x) = (BC) / (AB)

cos (90 0 - x) = sin x

Tehdään nyt seuraavasti:

cos x = (AC) / (AB)

sin (90 0 - x) = (AC) / (AB)

sin (90 0 - x) = cos x

Kuten näet, täällä kaikki on alkeellista.

On muitakin identiteettejä, joita käytetään ratkaisemaan matemaattisia identiteettejä, annan ne yksinkertaisesti muodossa viitetiedot, koska ne kaikki ovat peräisin edellä mainitusta.



2. Trigonometristen funktioiden lausekkeet toistensa läpi

   (Juurin edessä olevan merkin valinta määräytyy sen mukaan, mikä ympyrän neljänneksistä on kulma?)







3. Seuraavat ovat kaavat kulmien yhteen- ja vähentämiseen:



4. Kaksois-, kolmois- ja puolikulmakaavat.

   Huomaa, että ne kaikki seuraavat edellisistä kaavoista.

sin 2x = 2sin x * cos x

cos 2x = cos 2x -sin 2x = 1-2sin 2x = 2cos 2x -1

tg 2x = 2tgx / (1 - tg 2 x)

сtg 2x = (сtg 2 x - 1) / 2сtg x

sin3x = 3sin x - 4sin 3 x

cos3x = 4cos 3x - 3cosx

tg 3x = (3tgx - tg 3x) / (1 - 3tg 2x)

сtg 3x = (сtg 3 x - 3сtg x) / (3сtg 2 x - 1)









5. Trigonometriset muunnoskaavat:

Trigonometriset identiteetit- nämä ovat yhtäläisyyksiä, jotka muodostavat suhteen yhden kulman sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin välille, jonka avulla voit löytää minkä tahansa näistä funktioista, jos jokin muu tunnetaan.

tg \ alpha = \ frac (\ sin \ alfa) (\ cos \ alfa), \ enspace ctg \ alpha = \ frac (\ cos \ alpha) (\ sin \ alfa)

tg \ alfa \ cdot ctg \ alpha = 1

Tämä identiteetti sanoo, että yhden kulman sinin neliön ja yhden kulman kosinin neliön summa on yhtä suuri kuin yksi, mikä käytännössä mahdollistaa yhden kulman sinin laskemisen, kun sen kosini tunnetaan ja päinvastoin .

Trigonometrisiä lausekkeita muunnettaessa käytetään hyvin usein tätä identiteettiä, jonka avulla voit korvata yhden kulman kosinin ja sinin neliöiden summan yksiköllä ja suorittaa myös korvausoperaation käänteinen järjestys.

Tangentin ja kotangentin löytäminen sinin ja kosinin suhteen

tg \ alpha = \ frac (\ sin \ alfa) (\ cos \ alpha), \ välilyönti

Nämä identiteetit muodostuvat sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin määritelmistä. Loppujen lopuksi, jos katsot sitä, niin määritelmän mukaan y:n ordinaatti on sini ja x:n abskissa on kosini. Sitten tangentti on yhtä suuri kuin suhde \ frac (y) (x) = \ frac (\ sin \ alfa) (\ cos \ alfa) ja suhde \ frac (x) (y) = \ frac (\ cos \ alfa) (\ sin \ alfa)- tulee olemaan kotangentti.

Lisätään, että identiteetit pätevät vain sellaisilla kulmilla \ alpha, joille niihin sisältyvät trigonometriset funktiot ovat järkeviä, ctg \ alpha = \ frac (\ cos \ alfa) (\ sin \ alfa).

Esimerkiksi: tg \ alpha = \ frac (\ sin \ alfa) (\ cos \ alfa) on voimassa kulmille \ alfa, jotka eroavat \ frac (\ pi) (2) + \ pi z, a ctg \ alpha = \ frac (\ cos \ alfa) (\ sin \ alfa)- kulmassa \ alfa, joka ei ole \ pi z, z - on kokonaisluku.

Tangentin ja kotangentin välinen suhde

tg \ alfa \ cdot ctg \ alpha = 1

Tämä identiteetti on voimassa vain kulmille \ alpha, jotka eroavat \ frac (\ pi) (2) z... Muuten kotangenttia tai tangenttia ei määritetä.

Yllä olevien kohtien perusteella huomaamme, että tg \ alfa = \ frac (y) (x), a ctg \ alfa = \ frac (x) (y)... Tästä seuraa siis tg \ alpha \ cdot ctg \ alpha = \ frac (y) (x) \ cdot \ frac (x) (y) = 1... Näin ollen saman kulman tangentti ja kotangentti, jossa niillä on järkeä, ovat käänteislukuja.

Tangentin ja kosinin, kotangentin ja sinin väliset riippuvuudet

tg ^ (2) \ alpha + 1 = \ frac (1) (\ cos ^ (2) \ alfa)- kulman \ alfa ja 1 tangentin neliön summa on yhtä suuri kuin tämän kulman kosinin käänteinen neliö. Tämä identiteetti on voimassa kaikille \ alphalle eri kuin \ frac (\ pi) (2) + \ pi z.

1 + ctg ^ (2) \ alpha = \ frac (1) (\ sin ^ (2) \ alfa)- 1:n ja kulman \ alfan kotangentin neliön summa on yhtä suuri kuin annetun kulman sinin käänteinen neliö. Tämä identiteetti on voimassa kaikille muille \ alfalle kuin \ pi z.

Esimerkkejä ratkaisuista trigonometristen identiteettien käyttöön liittyviin ongelmiin

Esimerkki 1

Etsi \ sin \ alfa ja tg \ alfa if \ cos \ alfa = - \ frac12 ja \ frac (\ pi) (2)< \alpha < \pi ;

Näytä ratkaisu

Ratkaisu

Funktiot \ sin \ alpha ja \ cos \ alpha on sidottu kaavalla \ sin ^ (2) \ alfa + \ cos ^ (2) \ alfa = 1... Korvaaminen tähän kaavaan \ cos \ alfa = - \ frac12, saamme:

\ sin ^ (2) \ alfa + \ vasen (- \ frac12 \ oikea) ^ 2 = 1

Tällä yhtälöllä on 2 ratkaisua:

\ sin \ alpha = \ pm \ sqrt (1- \ frac14) = \ pm \ frac (\ sqrt 3) (2)

Ehdon mukaan \ frac (\ pi) (2)< \alpha < \pi ... Toisella neljänneksellä sini on siis positiivinen \ sin \ alfa = \ frac (\ sqrt 3) (2).

Löytääksemme tg \ alpha, käytämme kaavaa tg \ alpha = \ frac (\ sin \ alfa) (\ cos \ alfa)

tg \ alpha = \ frac (\ sqrt 3) (2): \ frac12 = \ sqrt 3

Esimerkki 2

Etsi \ cos \ alpha ja ctg \ alpha jos ja \ frac (\ pi) (2)< \alpha < \pi .

Näytä ratkaisu

Ratkaisu

Korvaaminen kaavaan \ sin ^ (2) \ alfa + \ cos ^ (2) \ alfa = 1 ehdollisesti annettu numero \ sin \ alfa = \ frac (\ sqrt3) (2), saamme \ vasen (\ frac (\ sqrt3) (2) \ oikea) ^ (2) + \ cos ^ (2) \ alpha = 1... Tällä yhtälöllä on kaksi ratkaisua \ cos \ alpha = \ pm \ sqrt (1- \ frac34) = \ pm \ sqrt \ frac14.

Ehdon mukaan \ frac (\ pi) (2)< \alpha < \pi ... Toisella neljänneksellä kosini on negatiivinen, joten \ cos \ alpha = - \ sqrt \ frac14 = - \ frac12.

Käytä kaavaa löytääksesi ctg \ alpha ctg \ alpha = \ frac (\ cos \ alfa) (\ sin \ alfa)... Tiedämme vastaavat arvot.

ctg \ alpha = - \ frac12: \ frac (\ sqrt3) (2) = - \ frac (1) (\ sqrt 3).

Viite trigonometrisille funktioille sini (sin x) ja kosini (cos x). Geometrinen määritelmä, ominaisuudet, kuvaajat, kaavat. Taulukko sinit ja kosinit, derivaatat, integraalit, sarjalaajennukset, sekantti, kosekantti. Monimutkaisten muuttujien lausekkeet. Yhteys hyperbolisiin funktioihin.

Sinin ja kosinin geometrinen määritelmä

| BD |- pisteen keskipisteen ympyrän kaaren pituus A.
α on radiaaneina ilmaistu kulma.

Määritelmä
Sini (sin α) on trigonometrinen funktio, joka riippuu hypotenuusan ja jalan välisestä kulmasta α suorakulmainen kolmio yhtä suuri kuin vastakkaisen jalan pituuden suhde | BC | hypotenuusan pituuteen | AC |.

Kosini (cos α) on trigonometrinen funktio, joka riippuu suorakulmaisen kolmion hypotenuusan ja haaran välisestä kulmasta α, joka on yhtä suuri kuin viereisen haaran pituuden suhde | hypotenuusan pituuteen | AC |.

Hyväksytyt nimitykset

;
;
.

;
;
.

Sinifunktiokaavio, y = sin x

Kosinifunktion kuvaaja, y = cos x

Sini- ja kosiniominaisuudet

Jaksoisuus

Funktiot y = synti x ja y = cos x jaksollinen jaksolla 2 π.

Pariteetti

Sinifunktio on outo. Kosinifunktio on parillinen.

Määritelmä- ja arvoalueet, äärimmäisyydet, lisäys, lasku

Sini- ja kosinifunktiot ovat jatkuvia määritelmäalueellaan, eli kaikille x:ille (katso jatkuvuuden todiste). Niiden tärkeimmät ominaisuudet on esitetty taulukossa (n on kokonaisluku).

	y = synti x	y = cos x
Määritelmän ja jatkuvuuden ala	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
Arvoalue	-1 ≤ y ≤ 1	-1 ≤ y ≤ 1
Nouseva
Laskeva
Maxima, y ​​= 1
Minimi, y = - 1
Nollat, y = 0
Leikkauspisteet y-akselin kanssa, x = 0	y = 0	y = 1

Peruskaavat

Sinin ja kosinin neliöiden summa

Sini- ja kosinikaavat summalle ja erolle

;
;

Kaavat sinien ja kosinien tulolle

Summa- ja erotuskaavat

Sinin ilmaisu kosinina

;
;
;
.

Kosinilauseke sinin suhteen

;
;
;
.

Tangentti ilmaisu

; .

Sillä meillä on:
; .

osoitteessa:
; .

Taulukko sinistä ja kosineista, tangenteista ja kotangenteista

Tämä taulukko näyttää sinien ja kosinien arvot joillekin argumentin arvoille.

Monimutkaisia ​​muuttujia käyttävät lausekkeet

;

Eulerin kaava

{ -∞ < x < +∞ }

Sekantti, kosekantti

Käänteiset funktiot

Sinin ja kosinin käänteisfunktiot ovat käänteissini ja käänteiskosini, vastaavasti.

Arcsin, arcsin

Arccosine, arccos

Viitteet:
SISÄÄN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Matematiikan käsikirja insinööreille ja teknisten laitosten opiskelijoille, "Lan", 2009.

Tässä artikkelissa tarkastelemme sitä kattavasti. Trigonometriset perusidentiteetit ovat yhtäläisyyksiä, jotka muodostavat suhteen yhden kulman sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin välille ja antavat sinun löytää minkä tahansa näistä trigonometrisista funktioista tunnetun toisen kulman kautta.

Listataan heti tärkeimmät trigonometriset identiteetit, joita analysoimme tässä artikkelissa. Kirjoitetaan ne taulukkoon, ja alla annamme näiden kaavojen johtamisen ja annamme tarvittavat selitykset.

Sivulla navigointi.

Yhden kulman sinin ja kosinin suhde

Joskus he eivät puhu yllä olevassa taulukossa luetelluista trigonometrisista perusidentiteeteistä, vaan yhdestä yksittäisestä trigonometrinen perusidentiteetti sellaista ... Selitys tälle tosiasialle on melko yksinkertainen: yhtäläisyydet saadaan trigonometrisesta pääidentiteetistä sen jälkeen, kun sen molemmat osat on jaettu arvolla ja vastaavasti, ja yhtäläisyydet ja seuraa sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin määritelmistä. Puhumme tästä tarkemmin seuraavissa kappaleissa.

Toisin sanoen erityisen kiinnostava on juuri tasa-arvo, jolle annettiin trigonometrisen perusidentiteetin nimi.

Ennen kuin todistamme trigonometrisen perusidentiteetin, annetaan sen formulaatio: yhden kulman sinin ja kosinin neliöiden summa on yhtä suuri kuin yksi. Nyt todistetaan se.

Trigonometristä perusidentiteettiä käytetään hyvin usein, kun trigonometristen lausekkeiden muuntaminen... Se mahdollistaa yhden kulman sinin ja kosinin neliöiden summan korvaamisen yhdellä. Yhtä usein trigonometristä perusidentiteettiä käytetään myös käänteisessä järjestyksessä: yksikkö korvataan kulman sinin ja kosinin neliöiden summalla.

Tangentti ja kotangentti sinin ja kosinin suhteen

Identiteetit, jotka yhdistävät tangentin ja kotangentin muodon ja yhden kulman siniin ja kosiniin seuraa välittömästi sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin määritelmistä. Itse asiassa määritelmän mukaan sini on ordinaatta y, kosini on x:n abskissa, tangentti on ordinaatin suhde abskissaan, eli , ja kotangentti on abskissan suhde ordinaataan, eli .

Tämän ilmeisyyden vuoksi identiteetit ja usein tangentin ja kotangentin määritelmät eivät anneta abskissan ja ordinaatin suhteen, vaan sinin ja kosinin suhteen. Joten kulman tangentti on tämän kulman sinin ja kosinin suhde, ja kotangentti on kosinin suhde siniin.

Tämän kappaleen lopuksi on huomattava, että henkilöllisyydet ja pidä kaikki sellaiset kulmat, joille niihin sisältyvät trigonometriset funktiot ovat järkeviä. Joten kaava pätee mille tahansa muulle kuin (muuten nimittäjässä on nolla, emmekä määrittäneet jakoa nollalla), ja kaava - kaikille muille paitsi, missä z on mikä tahansa.

Tangentin ja kotangentin välinen suhde

Vielä ilmeisempi trigonometrinen identiteetti kuin kaksi edellistä on identiteetti, joka yhdistää muodon yhden kulman tangentin ja kotangentin ... On selvää, että se tapahtuu kaikille muille kulmille kuin, muuten tangenttia tai kotangenttia ei määritellä.

Todiste kaavasta erittäin yksinkertainen. Määritelmän mukaan ja mistä ... Todistus olisi voitu tehdä hieman toisin. Siitä lähtien ja , sitten .

Joten, tangentti ja kotangentti samassa kulmassa, jossa niillä on järkeä, on.