Vieta -lausekaava ja esimerkkejä ratkaisuista. Vieta -lause: esimerkkejä sen käytöstä toisen asteen yhtälöiden käsittelyssä

Muotoilu ja todiste Vieta -lauseesta toisen asteen yhtälöille. Vieta käänteinen lause. Vieta -lause kuutiollisille yhtälöille ja mielivaltaisen järjestyksen yhtälöille.

Toisen asteen yhtälöt

Vieta -lause

Merkitään ja merkitään pienennetyn toisen asteen yhtälön juuret
(1) .
Sitten juurien summa on yhtä suuri kuin kerroin at, otettuna vastakkaisella merkillä. Juuren tuote on yhtä suuri kuin vapaa termi:
;
.

Huomautus useista juurista

Jos yhtälön (1) erottelija on nolla, tällä yhtälöllä on yksi juuri. Mutta vaikeiden muotoilujen välttämiseksi on yleisesti hyväksytty, että tässä tapauksessa yhtälöllä (1) on kaksi monikertaista tai yhtä suurta juurta:
.

Todiste yksi

Etsitään yhtälön (1) juuret. Voit tehdä tämän käyttämällä kaavaa toisen asteen yhtälön juurille:
;
;
.

Löydämme juurien summan:
.

Löydä työ käyttämällä kaavaa:
.
Sitten

.

Lause on todistettu.

Todiste kaksi

Jos luvut ja ovat toisen asteen yhtälön (1) juuret, niin
.
Avaamme kiinnikkeet.

.
Yhtälö (1) on siis muoto:
.
Verrattuna (1): hen löydämme:
;
.

Lause on todistettu.

Vieta käänteinen lause

Olkoon mielivaltaisia ​​lukuja. Sitten ja ovat toisen asteen yhtälön juuret
,
missä
(2) ;
(3) .

Todiste Viestan käänteislauseesta

Harkitse toisen asteen yhtälöä
(1) .
Meidän on osoitettava, että jos ja, niin u ovat yhtälön (1) juuret.

Korvaava (2) ja (3) (1):
.
Ryhmittelemme termit yhtälön vasemmalle puolelle:
;
;
(4) .

Varajäsen (4):
;
.

Varajäsen (4):
;
.
Yhtälö täyttyy. Toisin sanoen luku on yhtälön (1) juuri.

Lause on todistettu.

Vieta -lause täydelliselle toisen asteen yhtälölle

Tarkastellaan nyt täydellistä toisen asteen yhtälöä
(5) ,
missä, ja siellä on joitakin numeroita. Lisäksi.

Jaetaan yhtälö (5) seuraavasti:
.
Eli saimme pienennetyn yhtälön
,
missä ; ...

Sitten Vieta -lause täydelliselle toisen asteen yhtälölle on seuraava.

Olkoon ja merkitään täydellisen toisen asteen yhtälön juuret
.
Sitten juurien summa ja tuote määritetään kaavoilla:
;
.

Vieta -lause kuutioyhtälölle

Samalla tavalla voimme luoda yhteyksiä kuutiollisen yhtälön juurien välille. Harkitse kuutioyhtälöä
(6) ,
jossa ,,, on joitain numeroita. Lisäksi.
Jaetaan tämä yhtälö seuraaviin:
(7) ,
missä , , .
Olkoon ,, yhtälön (7) (ja yhtälön (6)) juuret. Sitten

.

Vertaamalla yhtälöön (7) löydämme:
;
;
.

Vietan lause asteen n yhtälölle

Samalla tavalla voit löytää yhteydet juurien ,, ... ,, välillä yhtälölle n astetta
.

Vieta -lause n: nnen yhtälöt tutkinnolla on seuraava muoto:
;
;
;

.

Näiden kaavojen saamiseksi kirjoitamme yhtälön seuraavassa muodossa:
.
Sitten rinnastamme kertoimet kohtaan ,,, ... ja vertaamme vapaata termiä.

Viitteet:
SISÄÄN. Bronstein, K.A. Semendjajev, Matematiikan käsikirja insinööreille ja teknisten oppilaitosten opiskelijoille, "Lan", 2009.
CM. Nikolsky, M.K. Potapov et ai., Algebra: oppikirja luokan 8 oppilaitoksille, Moskova, Koulutus, 2006.

I. Vieta -lause alennetulle toisen asteen yhtälölle.

Pienennetyn toisen asteen yhtälön juurten summa x 2 + px + q = 0 on yhtä suuri kuin toinen kerroin, joka on otettu vastakkaisella merkillä, ja juurien tulo on yhtä suuri kuin vapaa termi:

x 1 + x 2 = -p; x 1 ∙ x 2 = q.

Löydä pienennetyn toisen asteen yhtälön juuret Viestan lauseen avulla.

Esimerkki 1) x 2 -x -30 = 0. Tämä pienensi toisen asteen yhtälön ( x 2 + px + q = 0), toinen kerroin p = -1 ja vapaa termi q = -30. Varmista ensin, että annetulla yhtälöllä on juuret ja että juuret (jos sellaisia ​​on) ilmaistaan ​​kokonaislukuina. Tätä varten riittää, että erottelija on kokonaisluvun täydellinen neliö.

Etsi syrjijä D= b 2 - 4ac = ( - 1) 2-4 ∙ 1 ∙ (-30) = 1 + 120 = 121 = 11 2 .

Nyt Vieta -lauseen mukaan juurien summan tulisi olla yhtä suuri kuin toinen kerroin, joka on otettu vastakkaisella merkillä, ts. ( -p), ja tuote vastaa vapaata termiä, ts. ( q). Sitten:

x 1 + x 2 = 1; x 1 ∙ x 2 = -30. Meidän on valittava kaksi numeroa, jotta niiden tuote olisi yhtä suuri -30 , ja summa on yksikkö... Nämä ovat numeroita -5 ja 6 . Vastaus: -5; 6.

Esimerkki 2) x 2 + 6x + 8 = 0. Meillä on pienennetty toisen asteen yhtälö ja toinen kerroin p = 6 ja vapaa jäsen q = 8... Varmista, että juuret ovat kokonaislukuja. Etsi syrjijä D 1 D 1=3 2 -1∙8=9-8=1=1 2 ... Erottelija D 1 on numeron täydellinen neliö 1 siksi tämän yhtälön juuret ovat kokonaislukuja. Valitaan juuret Vieta -lauseen mukaan: juurien summa on yhtä suuri kuin –P = -6, ja juurien tuote on q = 8... Nämä ovat numeroita -4 ja -2 .

Itse asiassa: -4-2 = -6 = -p; -4 ∙ (-2) = 8 = q. Vastaus: -4; -2.

Esimerkki 3) x 2 + 2x-4 = 0... Tässä pienennetyssä toisen asteen yhtälössä toinen kerroin p = 2 ja vapaa termi q = -4... Etsi syrjijä D 1 koska toinen kerroin on parillinen luku. D 1=1 2 -1∙(-4)=1+4=5. Syrjivä ei ole täydellinen neliö numerosta, joten teemme lähtö: Tämän yhtälön juuret eivät ole kokonaislukuja, eikä niitä löydy Vietan lauseesta. Tämä tarkoittaa, että ratkaisemme tämän yhtälön tavalliseen tapaan kaavojen avulla (tässä tapauksessa kaavojen avulla). Saamme:

Esimerkki 4). Tee toisen asteen yhtälö sen juurille, jos x 1 = -7, x 2 = 4.

Ratkaisu. Haluttu yhtälö kirjoitetaan muodossa: x 2 + px + q = 0, ja Vieta -lauseen perusteella –P = x 1 + x 2=-7+4=-3 → p = 3; q = x 1 ∙ x 2=-7∙4=-28 ... Sitten yhtälö on muotoa: x 2 + 3x-28 = 0.

Esimerkki 5). Tee toisen asteen yhtälö sen juurille, jos:

II. Vieta -lause täydellistä toisen asteen yhtälöä varten kirves 2 + bx + c = 0.

Juurten summa on miinus b jaettuna a, juurien tuote on kanssa jaettuna a:

x 1 + x 2 = -b / a; x 1 ∙ x 2 = c / a.

Kun tutkitaan menetelmiä toisen asteen yhtälöiden ratkaisemiseksi koulun algebran kurssilla, saatujen juurien ominaisuudet otetaan huomioon. Ne tunnetaan nyt Vieta -lauseena. Tässä artikkelissa on esimerkkejä sen käytöstä.

Toisen asteen yhtälö

Toisen kertaluvun yhtälö on tasa -arvo, joka näkyy alla olevassa kuvassa.

Tässä symbolit a, b, c ovat joitain numeroita, joita kutsutaan tarkasteltavan yhtälön kertoimiksi. Tasa -arvon ratkaisemiseksi sinun on löydettävä x: n arvot, jotka tekevät siitä totta.

Huomaa, että koska x: n nostamisasteen enimmäisarvo on kaksi, juurten määrä sisään yleinen tapaus on myös yhtä kuin kaksi.

Tämän tasa -arvon ratkaisemiseksi on useita tapoja. Tässä artikkelissa tarkastellaan yhtä niistä, johon kuuluu ns. Vieta-lauseen käyttö.

Vieta -lauseen muotoilu

Kuuluisa matemaatikko François Viet (ranskalainen) huomasi 1500 -luvun lopulla analysoidessaan eri asteen yhtälöiden juurien ominaisuuksia, että tietyt niiden yhdistelmät täyttävät tietyt suhteet. Nämä yhdistelmät ovat erityisesti niiden tuote ja summa.

Vietan lause vahvistaa seuraavan: toisen asteen yhtälön juuret, kun ne summaavat yhteen, antavat lineaarisen ja toisen asteen kertoimien suhteen, joka on otettu vastakkaisella merkillä, ja kun ne kerrotaan, ne johtavat vapaatermin suhteeseen toisen asteen kertoimeen.

Jos yleinen muoto yhtälö on kirjoitettu kuvan mukaisesti edellinen jakso artikkeli, niin matemaattisesti tämä lause voidaan kirjoittaa kahden yhtälön muodossa:

• r2 + r1 = -b / a;
• r 1 x r 2 = c / a.

Missä r 1, r 2 on kyseessä olevan yhtälön juurien arvo.

Näitä kahta tasa -arvoa voidaan käyttää ratkaisemaan useita hyvin erilaisia matemaattisia ongelmia... Vietan lauseen käyttö esimerkeissä ratkaisujen kanssa on annettu artikkelin seuraavissa osissa.

Diskriminanttia, kuten toisen asteen yhtälöitä, aletaan tutkia algebran aikana 8. luokalla. Voit ratkaista toisen asteen yhtälön erottimen avulla ja Viestan lauseen avulla. Menetelmä toisen asteen yhtälöiden tutkimiseksi, kuten syrjivät kaavat, on melko epäonnistuneesti sisustettu koululaisille, kuten paljon todellisessa koulutuksessa. Siksi kouluvuodet kuluvat, 9-11-luokan koulutus korvaa " korkeampi koulutus"ja kaikki etsivät uudelleen - "Kuinka ratkaista toisen asteen yhtälö?", "Kuinka löytää yhtälön juuret?", "Kuinka löytää erottelija?" ja...

Syrjivä kaava

Toisen asteen yhtälön a * x ^ 2 + bx + c = 0 erottelija D on yhtä suuri kuin D = b ^ 2–4 * a * c.
Toisen asteen yhtälön juuret (ratkaisut) riippuvat syrjijän (D) merkistä:
D> 0 - yhtälöllä on 2 eri todellista juurta;
D = 0 - yhtälöllä on 1 juuri (2 yhtyvää juurta):
D<0 – не имеет действительных корней (в школьной теории). В ВУЗах изучают комплексные числа и уже на множестве комплексных чисел уравнение с отрицательным дискриминантом имеет два комплексных корня.
Kaava syrjijän laskemiseksi on melko yksinkertainen, joten monet sivustot tarjoavat online -syrjintälaskurin. Emme ole vielä keksineet tällaisia ​​skriptejä, joten kuka tietää, miten tämä toteutetaan, kirjoita sähköpostitse Tämä sähköpostiosoite on suojattu spamboteilta. Sinun on otettava JavaScript käyttöön nähdäksesi sen. .

Yleinen kaava toisen asteen yhtälön juurien löytämiseksi:

Löydämme yhtälön juuret kaavan avulla
Jos muuttujan neliö kerroin on paritettu, on suositeltavaa laskea erottamaton, vaan sen neljäs osa
Tällaisissa tapauksissa yhtälön juuret löytyvät kaavasta

Toinen tapa löytää juuret on Vieta -lause.

Lause muodostetaan paitsi toisen asteen yhtälöille myös polynomeille. Voit lukea tämän Wikipediasta tai muista sähköisistä lähteistä. Yksinkertaisuuden vuoksi katsomme kuitenkin sitä osaa, joka koskee pienennettyjä toisen asteen yhtälöitä, eli muodon (a = 1) yhtälöitä
Vieta -kaavojen ydin on, että yhtälön juurten summa on yhtä suuri kuin muuttujan kerroin, joka on otettu vastakkaisella merkillä. Yhtälön juurien tulo on yhtä suuri kuin vapaa termi. Vietan lause on kirjoitettu kaavoilla.
Vieta -kaavan johtaminen on melko yksinkertaista. Kirjoitetaan toisen asteen yhtälö alkutekijöinä
Kuten näette, kaikki nerokas on yksinkertaista samaan aikaan. Vieta -kaavan käyttäminen on tehokasta, kun juurimoduulin tai juurimoduulien ero on 1, 2. Esimerkiksi seuraavilla Vieta -lauseen yhtälöillä on juuret




Jopa 4 yhtälöä, analyysin pitäisi näyttää tältä. Yhtälön juurien tulo on 6, joten juuret voivat olla arvoja (1, 6) ja (2, 3) tai pareja vastakkaisella merkillä. Juurien summa on 7 (muuttujan kerroin, jolla on vastakkainen merkki). Näin ollen päädymme siihen, että toisen asteen yhtälön ratkaisut ovat yhtä suuret kuin x = 2; x = 3.
Yhtälön juuret on helpompi valita vapaatermin jakajien joukosta ja korjata niiden merkki täyttääkseen Vieta -kaavat. Aluksi se tuntuu vaikealta tehdä, mutta harjoittelemalla useita toisen asteen yhtälöitä tämä tekniikka on tehokkaampi kuin erottimen laskeminen ja toisen asteen yhtälön juurien löytäminen klassisella tavalla.
Kuten näette, kouluteorialla syrjijän tutkimisesta ja tavoista löytää ratkaisuja yhtälöön ei ole käytännön merkitystä - "Miksi koululaiset tarvitsevat toisen asteen yhtälön?", "Mikä on syrjijän fyysinen merkitys?"

Yritetään selvittää se mitä syrjijä kuvailee?

Algebran kurssi opettaa toimintoja, toimintojen tutkimuskaavioita ja funktioiden piirtämistä. Kaikista toiminnoista tärkeä paikka on paraabeli, jonka yhtälö voidaan kirjoittaa lomakkeeseen
Toisen asteen yhtälön fyysinen merkitys on siis paraabelin nollia, toisin sanoen funktion kuvaajan leikkauskohtia abscissa -akselin kanssa Ox
Pyydän teitä muistamaan alla kuvatut parabolien ominaisuudet. On aika suorittaa tentit, kokeet tai pääsykokeet ja olet kiitollinen viitemateriaalista. Neliön muuttujan merkki vastaa sitä, nousevatko kaavion paraabelin oksat ylös (a> 0),

tai paraabeli oksilla alaspäin (a<0) .

Paraabelin kärki sijaitsee juurten keskellä

Syrjijän fyysinen merkitys:

Jos erotin on suurempi kuin nolla (D> 0), paraabelilla on kaksi leikkauspistettä Ox -akselin kanssa.
Jos erottelija on nolla (D = 0), sen kärjessä oleva parabooli koskettaa abskissa -akselia.
Ja viimeinen tapaus, kun erottelija on pienempi kuin nolla (D<0) – график параболы принадлежит плоскости над осью абсцисс (ветки параболы вверх), или график полностью под осью абсцисс (ветки параболы опущены вниз).

Epätäydelliset toisen asteen yhtälöt

Ennen kuin siirrymme Vieta -lauseeseen, esittelemme määritelmän. Lomakkeen toisen asteen yhtälö x² + px + q= 0 kutsutaan pienennetyksi. Tässä yhtälössä johtava kerroin on yksi. Esimerkiksi yhtälö x² - 3 x- 4 = 0 pienenee. Mikä tahansa muodon toisen asteen yhtälö kirves² + b x + c= 0 voidaan pienentää, tätä varten jaamme yhtälön molemmat puolet a≠ 0. Esimerkiksi yhtälö 4 x² + 4 x- 3 = 0 jakamalla 4 pienennetään muotoon: x² + x- 3/4 = 0. Johdamme kaavan pelkistetyn toisen asteen yhtälön juurille, tätä varten käytämme kaavaa yleisen muodon toisen asteen yhtälölle: kirves² + bx + c = 0

Yhtälö pienennetty x² + px + q= 0 vastaa yleismuotoista yhtälöä, jossa a = 1, b = s, c = q. Siksi pienennetyn toisen asteen yhtälön kaava on muoto:

viimeistä lauseketta kutsutaan kaavaksi pienennetyn toisen asteen yhtälön juurille, on erityisen kätevää käyttää tätä kaavaa, kun R- tasaluku. Esimerkiksi ratkaistaan ​​yhtälö x² - 14 x — 15 = 0

Vastauksena kirjoitamme muistiin yhtälön kaksi juurta.

Pienennettyyn toisen asteen yhtälöön, jossa on positiivinen, seuraava lause pitää paikkansa.

Vieta -lause

Jos x 1 ja x 2 - yhtälön juuret x² + px + q= 0, seuraavat kaavat ovat voimassa:

x 1 + x 2 = — R

x 1 * x 2 = q, toisin sanoen annetun toisen asteen yhtälön juurten summa on yhtä suuri kuin toinen kerroin, joka on otettu vastakkaisella merkillä, ja juurien tulo on yhtä suuri kuin vapaa termi.

Pienennetyn toisen asteen yhtälön juurien kaavan perusteella meillä on:

Kun lisäämme nämä tasa -arvot, saamme: x 1 + x 2 = —R.

Kerrottamalla nämä yhtälöt käyttämällä neliöiden eron kaavaa, saadaan:

Huomaa, että Vieta -lause pätee myös silloin, kun erottelija on nolla, jos oletamme, että tässä tapauksessa asteen yhtälöllä on kaksi identtistä juurta: x 1 = x 2 = — R/2.

Ratkaisematta yhtälöitä x² - 13 x+ 30 = 0 löytää juurten summa ja tulo x 1 ja x 2. tämä yhtälö D= 169-120 = 49> 0, joten Vieta -lause voidaan soveltaa: x 1 + x 2 = 13, x 1 * x 2 = 30. Harkitse vielä muutamia esimerkkejä. Yksi yhtälön juurista x² — px- 12 = 0 yhtä kuin x 1 = 4. Etsi kerroin R ja toinen juuri x 2 tästä yhtälöstä. Vieta -lauseen mukaan x 1 * x 2 =— 12, x 1 + x 2 = — R. Koska x 1 = 4, sitten 4 x 2 = - 12, mistä x 2 = — 3, R = — (x 1 + x 2) = - (4 - 3) = - 1. Kirjoita vastaukseksi toinen juuri x 2 = - 3, kerroin p = - 1.

Ratkaisematta yhtälöitä x² + 2 x- 4 = 0 löytää juurten neliöiden summa. Anna olla x 1 ja x 2 - yhtälön juuret. Vieta -lauseen mukaan x 1 + x 2 = — 2, x 1 * x 2 = - 4. Koska x 1 ² + x 2 ² = ( x 1 + x 2) ² - 2 x 1 x 2, siis x 1 ² + x 2 ² = (- 2) ² -2 (- 4) = 12.

Etsi yhtälön 3 juurien summa ja tulo x² + 4 x- 5 = 0. Tällä yhtälöllä on kaksi erilaista juurta, koska erottelija D= 16 + 4 * 3 * 5> 0. Yhtälön ratkaisemiseksi käytämme Viestan teoreemia. Tämä lause todistetaan alennetulle toisen asteen yhtälölle. Siksi jaamme tämän yhtälön 3: lla.

Siksi juurien summa on -4/3 ja niiden tuote on -5/3.

Yleisessä tapauksessa yhtälön juuret kirves² + b x + c= 0 liittyvät seuraaviin yhtälöihin: x 1 + x 2 = — b / a, x 1 * x 2 = c / a, Näiden kaavojen saamiseksi riittää jakaa tämän toisen yhtälön molemmat puolet a ≠ 0 ja soveltaa Vieta -lauseen tuloksena olevaan pienennettyyn toisen asteen yhtälöön. Tarkastellaan esimerkkiä, on tarpeen laatia pienennetty toisen asteen yhtälö, jonka juuret x 1 = 3, x 2 = 4. Koska x 1 = 3, x 2 = 4 - toisen asteen yhtälön juuret x² + px + q= 0, sitten Vieta -lause R = — (x 1 + x 2) = — 7, q = x 1 x 2 = 12. Vastauksena kirjoitamme x² - 7 x+ 12 = 0. Seuraavaa teoriaa käytetään joidenkin ongelmien ratkaisemiseen.

Vieta -lauseen käänteinen käänne

Jos numerot R, q, x 1 , x 2 ovat sellaisia x 1 + x 2 = — p, x 1 * x 2 = q, sitten x 1 ja x 2- yhtälön juuret x² + px + q= 0. Korvaa vasemmassa osassa x² + px + q sijasta R ilmaisu - ( x 1 + x 2) ja sen sijaan q- työ x 1 * x 2. Saamme: x² + px + q = x² — ( x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = x² - x 1 x - x 2 x + x 1 x 2 = (x - x 1) (x - x 2). Jos siis numerot R, q, x 1 ja x 2 liittyvät näihin suhteisiin, sitten kaikille NS tasa -arvo pätee x² + px + q = (x - x 1) (x - x 2), josta se seuraa x 1 ja x 2 - yhtälön juuret x² + px + q= 0. Käyttämällä Vieta'n lauseeseen käänteistä teoriaa on joskus mahdollista löytää toisen asteen yhtälön juuret valinnalla. Harkitse esimerkkiä, x² - 5 x+ 6 = 0. Tässä R = — 5, q= 6. Valitaan kaksi numeroa x 1 ja x 2 niin että x 1 + x 2 = 5, x 1 * x 2 = 6. Huomatessamme, että 6 = 2 * 3 ja 2 + 3 = 5 lauseella, joka vastaa Vieta'n teoriaa, saamme x 1 = 2, x 2 = 3 - yhtälön juuret x² - 5 x + 6 = 0.