Eksponentiaaliyhtälöt kahdessa tuntemattomassa. Eksponentiaaliyhtälöt. Kuinka ratkaista eksponentiaaliyhtälöt

Mikä on eksponentiaalinen yhtälö? Esimerkkejä.

Joten, eksponentiaalinen yhtälö... Uusi ainutlaatuinen näyttelymme yhteisessä näyttelyssämme monenlaisia yhtälöitä!) Kuten lähes aina tapahtuu, minkä tahansa uuden matemaattisen termin avainsana on sitä kuvaava vastaava adjektiivi. Joten se on täällä. Avainsana termissä "eksponentiaalinen yhtälö" on sana "Suuntaa antava"... Mitä se tarkoittaa? Tämä sana tarkoittaa, että tuntematon (x) on minkä tahansa tutkinnon suhteen. Ja vain siellä! Tämä on erittäin tärkeää.

Esimerkiksi sellaisia yksinkertaiset yhtälöt:

3 x +1 = 81

5 x + 5 x +2 = 130

4 2 2 x -17 2 x +4 = 0

Tai jopa tällaisia hirviöitä:

2 sin x = 0,5

Pyydän sinua kiinnittämään välittömästi huomiota yhteen tärkeään asiaan: sisään perusteita astetta (alhaalla) - vain numeroita... Mutta sisään indikaattoreita asteet (ylhäällä) - laaja valikoima lausekkeita x:llä. Ehdottomasti mikä tahansa.) Kaikki riippuu tietystä yhtälöstä. Jos yhtälössä yhtäkkiä esiintyy x jossain muualla indikaattorin lisäksi (esim. 3 x = 18 + x 2), niin tällainen yhtälö on jo yhtälö sekoitettu tyyppi... Tällaisilla yhtälöillä ei ole selkeitä ratkaisusääntöjä. Siksi emme käsittele niitä tässä oppitunnissa. Opiskelijoiden iloksi.) Tässä tarkastelemme vain eksponentiaaliyhtälöt"puhtaassa" muodossa.

Yleisesti ottaen edes puhtaat eksponentiaaliyhtälöt eivät ole kaukana selkeästi ratkaistuja, eivätkä aina. Mutta kaiken rikkaan eksponentiaaliyhtälön joukossa on tiettyjä tyyppejä, jotka voidaan ja pitäisi ratkaista. Juuri tämän tyyppisiä yhtälöitä harkitsemme. Ja me varmasti ratkaisemme esimerkkejä.) Joten olosi mukavaksi ja - lähdetään! Kuten tietokoneampumisessa, matkamme tapahtuu tasojen kautta.) Perustasosta yksinkertaiseen, yksinkertaisesta keskitasoon ja keskitasosta vaikeaan. Matkalla sinua odottaa myös salainen taso - tekniikat ja menetelmät epätyypillisten esimerkkien ratkaisemiseksi. Sellaisia, joista et lue useimmista koulukirjoista... No, lopussa on tietysti lopullinen pomo kotitehtävien muodossa.)

Taso 0. Mikä on yksinkertaisin eksponentiaaliyhtälö? Yksinkertaisimpien eksponenttiyhtälöiden ratkaisu.

Aluksi tarkastellaan joitain rehellisiä perusasioita. Sinun on aloitettava jostain, eikö? Esimerkiksi tällainen yhtälö:

2 x = 2 2

Jopa ilman mitään teorioita on yksinkertaisella logiikalla ja terveellä järjellä selvää, että x = 2. Ei ole muuta tapaa, eikö? Mikään muu x:n merkitys ei kelpaa... Kääntäkäämme nyt huomiomme siihen päätöspöytäkirja tämä siisti eksponentiaaliyhtälö:

2 x = 2 2

X = 2

Mitä meille tapahtui? Ja seuraava tapahtui. Itse asiassa otimme ja ... heitimme juuri pois samat pohjat (deuces)! He heittivät sen kokonaan pois. Ja mikä miellyttää, osu napakansilmään!

Kyllä, todellakin, jos vasemmalla ja oikealla oleva eksponentiaaliyhtälö sisältää sama lukuja millä tahansa potenssilla, niin nämä luvut voidaan hylätä ja yksinkertaisesti rinnastaa eksponentit. Matematiikka ratkaisee.) Ja sitten voit työskennellä erikseen indikaattoreiden kanssa ja ratkaista paljon yksinkertaisemman yhtälön. Hienoa, eikö?

Tämä on avainidea minkä tahansa (kyllä, minkä tahansa!) eksponentiaalisen yhtälön ratkaisemisessa: kautta identtisiä muunnoksia on tarpeen varmistaa, että yhtälön vasen ja oikea ovat sama perusluvut vaihtelevissa määrin. Ja sitten voit turvallisesti poistaa samat pohjat ja rinnastaa asteindikaattorit. Ja työskentele yksinkertaisemman yhtälön kanssa.

Ja nyt muistamme rautasäännön: samojen kantalukujen poistaminen on mahdollista, jos ja vain jos yhtälössä kantalukujen vasemmalla ja oikealla puolella ovat ylpeässä yksinäisyydessä.

Mitä se tarkoittaa loistavassa eristyksissä? Tämä tarkoittaa, ilman naapureita ja kertoimia. Anna minun selittää.

Esimerkiksi yhtälössä

3 3 x-5 = 3 2 x +1

Et voi poistaa kolmosia! Miksi? Koska vasemmalla meillä ei ole vain yksinäinen kolme astetta, vaan tehdä työtä 3 3 x-5. Ylimääräiset kolme ovat tiellä: kerroin, tiedäthän.)

Sama voidaan sanoa yhtälöstä

5 3 x = 5 2 x +5 x

Myös täällä kaikki perusteet ovat samat - viisi. Mutta oikealla meillä ei ole yksittäistä viiden astetta: siellä on asteiden summa!

Lyhyesti sanottuna meillä on oikeus poistaa samat kantaluvut vain, kun eksponentiaaliyhtälömme näyttää tältä ja vain näin:

af (x) = a g (x)

Tämän tyyppistä eksponentiaaliyhtälöä kutsutaan yksinkertaisin... Tai tieteellisesti kanoninen ... Ja mikä tahansa kierretty yhtälö meillä on edessämme, me, tavalla tai toisella, pelkistämme sen tähän hyvin yksinkertaiseen (kanoniseen) muotoon. Tai joissain tapauksissa aggregaatti tämän tyyppisiä yhtälöitä. Silloin yksinkertaisin yhtälömme voi olla sisällä yleisnäkymä kirjoita uudelleen näin:

F (x) = g (x)

Ja siinä kaikki. Tämä on vastaava muunnos. Tässä tapauksessa ehdottomasti mitä tahansa lausekkeita, joissa on x, voidaan käyttää f (x) ja g (x). Mitä tahansa.

Ehkä erityisen utelias opiskelija kysyy: miksi ihmeessä hylkäämme niin helposti ja yksinkertaisesti samat perusteet vasemmalla ja oikealla ja rinnastamme asteindikaattorit? Intuitio intuitiolta, mutta yhtäkkiä, jossain yhtälössä ja jostain syystä tämä lähestymistapa osoittautuu vääräksi? Onko aina laillista hylätä samat perusteet? Valitettavasti tiukan matemaattisen vastauksen saamiseksi tähän mielenkiintoiseen kysymykseen täytyy sukeltaa melko syvälle ja vakavasti funktioiden rakenteen ja käyttäytymisen yleiseen teoriaan. Ja hieman tarkemmin - ilmiöön tiukkaa yksitoikkoisuutta. Erityisesti tiukka monotonisuus eksponentti funktioy= x... Koska se on eksponentti funktio ja sen ominaisuudet ovat eksponentiaaliyhtälöiden ratkaisun taustalla, kyllä.) Yksityiskohtainen vastaus tähän kysymykseen annetaan erillisessä erikoistunnissa, joka on omistettu monimutkaisten epästandardien yhtälöiden ratkaisemiseen käyttämällä eri funktioiden monotonisuutta.)

Tämän hetken yksityiskohtainen selittäminen nyt on vain irrottaakseen keskivertokoululaisen aivot ja pelotellakseen hänet ennenaikaisesti kuivalla ja raskaalla teorialla. En tee tätä.) Sillä tärkein on Tämä hetki tehtävä - Opi ratkaisemaan eksponentiaaliyhtälöitä! Kaikkein yksinkertaisin! Siksi - kunnes otamme höyrysaunan ja heitämme rohkeasti samat pohjat pois. Tämä voi, ota sanani!) Ja sitten ratkaisemme ekvivalentin yhtälön f (x) = g (x). Yleensä yksinkertaisempi kuin alkuperäinen ohje.

Oletetaan tietysti, että ainakin ihmiset pystyvät ratkaisemaan yhtälöt, jo ilman x:ää indikaattoreissa tällä hetkellä.) Kuka ei vielä tiedä miten - sulje tämä sivu, seuraa vastaavia linkkejä ja täytä vanhat aukot. Muuten sinulla on vaikeaa, kyllä...

Olen jo hiljaa irrationaalisista, trigonometrisista ja muista brutaaleista yhtälöistä, joita voi tulla esiin myös perusteiden poistamisen yhteydessä. Mutta älkää pelätkö, emme aio harkita suoraa tinaa asteina: se on liian aikaista. Harjoittelemme vain yksinkertaisimmilla yhtälöillä.)

Katsotaanpa nyt yhtälöitä, jotka vaativat lisäponnistusta niiden pelkistämiseksi yksinkertaisimpiin. Kutsutaan heitä eron vuoksi yksinkertaiset eksponentiaaliyhtälöt... Joten siirrytään seuraavalle tasolle!

Taso 1. Yksinkertaiset eksponentiaaliyhtälöt. Tunnistamme tutkinnot! Luonnolliset indikaattorit.

Tärkeimmät säännöt eksponentiaaliyhtälöiden ratkaisemisessa ovat voimasäännöt... Ilman näitä tietoja ja taitoja mikään ei toimi. Valitettavasti. Joten jos ongelman asteet, niin ensin olet tervetullut. Lisäksi tarvitsemme lisää. Nämä muunnokset (jopa kaksi!) ovat perusta kaikkien matematiikan yhtälöiden ratkaisemiselle yleisesti. Eikä vain suuntaa antava. Joten, jotka ovat unohtaneet, kävele myös linkissä: laitoin ne syystä.

Mutta toimet asteilla ja identtiset muunnokset eivät yksin riitä. Tarvitset myös henkilökohtaista havainnointia ja kekseliäisyyttä. Tarvitsemme samat syyt, eikö niin? Joten tutkimme esimerkkiä ja etsimme niitä eksplisiittisessä tai peiteltyssä muodossa!

Esimerkiksi tällainen yhtälö:

3 2 x - 27 x +2 = 0

Ensimmäinen katse säätiöt... He ovat erilaisia! Kolme ja kaksikymmentäseitsemän. Mutta on liian aikaista paniikkiin ja epätoivoon. On aika muistaa se

27 = 3 3

Numerot 3 ja 27 ovat asteittain sukulaisia! Ja läheiset.) Siksi meillä on täysi oikeus kirjoittaa:

27 x +2 = (3 3) x + 2

Ja nyt yhdistämme tietomme aiheesta toiminnot asteilla(ja varoitin!). Siellä on erittäin hyödyllinen kaava:

(a m) n = a mn

Jos käynnistät sen nyt, se toimii hyvin yleisesti:

27 x +2 = (3 3) x + 2 = 3 3 (x +2)

Alkuperäinen esimerkki näyttää nyt tältä:

3 2 x - 3 3 (x +2) = 0

Hienoa, asteiden pohjat ovat tasoittuneet. Mitä halusimme. Puolet taistelusta on tehty.) Ja nyt käynnistetään perusidentiteetin muutos - siirrä 3 3 (x +2) oikealle. Kukaan ei peruuttanut matematiikan perustoimintoja, kyllä.) Saamme:

3 2 x = 3 3 (x +2)

Mitä tällainen yhtälö antaa meille? Ja se, että nyt yhtälömme on pienentynyt kanoniseen muotoon: vasemmalla ja oikealla ovat samat numerot (kolmikot) tehoissa. Lisäksi molemmat kolmoset ovat erinomaisessa eristyksissä. Voit vapaasti poistaa kolmoset ja saada:

2x = 3 (x + 2)

Ratkaisemme tämän ja saamme:

X = -6

Siinä kaikki. Tämä on oikea vastaus.)

Ja nyt ymmärrämme päätöksen kulun. Mikä pelasti meidät tässä esimerkissä? Meidät pelasti kolmen asteen tieto. Miten tarkalleen? Me tunnistettu 27 salatun joukossa kolme! Tämä temppu (saman perustan salaus eri numeroilla) on yksi suosituimmista eksponentiaalisissa yhtälöissä! Jos ei vain suosituin. Ja samalla tavalla muuten. Siksi havainnointi ja kyky tunnistaa muiden lukujen potenssit eksponenttiyhtälöissä ovat niin tärkeitä eksponenttiyhtälöissä!

Käytännön neuvoja:

Sinun on tiedettävä suosittujen lukujen asteet. Kasvoissa!

Tietenkin jokainen voi nostaa kaksin seitsemänteen tai kolme viidenteen. Ei minun mielessäni, joten ainakin luonnoksessa. Mutta eksponentiaaliyhtälöissä on paljon useammin tarpeen olla nostamatta potenssiin, vaan päinvastoin - selvittää, mikä luku ja missä määrin on piilotettu luvun, esimerkiksi 128 tai 243, takana. Ja tämä on monimutkaisempaa kuin yksinkertainen rakenne, sinun on hyväksyttävä. Tunne ero, kuten sanotaan!

Koska kyky tunnistaa asteet kasvoista on hyödyllinen paitsi tällä tasolla, myös seuraavilla, tässä on sinulle pieni tehtävä:

Selvitä, mitkä potenssit ja mitkä luvut ovat numeroita:

4; 8; 16; 27; 32; 36; 49; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729; 1024.

Vastaukset (satunnaisesti, luonnollisesti):

27 2 ; 2 10 ; 3 6 ; 7 2 ; 2 6 ; 9 2 ; 3 4 ; 4 3 ; 10 2 ; 2 5 ; 3 5 ; 7 3 ; 16 2 ; 2 7 ; 5 3 ; 2 8 ; 6 2 ; 3 3 ; 2 9 ; 2 4 ; 2 2 ; 4 5 ; 25 2 ; 4 4 ; 6 3 ; 8 2 ; 9 3 .

Kyllä kyllä! Älä ihmettele, että vastauksia on enemmän kuin tehtäviä. Esimerkiksi 2 8, 4 4 ja 16 2 ovat kaikki 256.

Taso 2. Yksinkertaiset eksponentiaaliyhtälöt. Tunnistamme tutkinnot! Negatiiviset ja murto-osat.

Tällä tasolla käytämme jo tutkintotietomme täysillä. Nimittäin - otamme mukaan negatiiviset ja murto-indikaattorit tähän kiehtovaan prosessiin! Kyllä kyllä! Meidän on lisättävä voimaa, eikö niin?

Esimerkiksi tämä kauhea yhtälö:

Jälleen ensimmäinen silmäys on perusta. Perusteet ovat erilaisia! Ja tällä kertaa jopa poikkeavia toisistaan! 5 ja 0,04 ... Ja perusteiden poistamiseksi tarvitset saman ... Mitä tehdä?

Ei mitään väärin! Itse asiassa kaikki on sama, vain yhteys viiden ja 0,04:n välillä näkyy visuaalisesti huonosti. Miten pääsemme ulos? Jatketaan numerossa 0,04 tavallinen murto-osa! Ja siellä, näet, kaikki muodostuu.)

0,04 = 4/100 = 1/25

Vau! Osoittautuu, että 0,04 on 1/25! No, kuka olisi arvannut!)

Millainen se on? Onko nyt helpompi nähdä suhde 5:n ja 1/25:n välillä? Se siitä ...

Ja nyt, toimintasääntöjen mukaan, joilla on valtuuksia negatiivinen indikaattori voit kirjoittaa lujalla kädellä muistiin:

Se on hienoa. Joten pääsimme samaan tukikohtaan - viisitoihin. Nyt korvaamme yhtälön epämukavan luvun 0,04 numerolla 5 -2 ja saamme:

Jälleen, valtuuksien käsittelyä koskevien sääntöjen mukaisesti voit nyt kirjoittaa:

(5 -2) x -1 = 5 -2 (x -1)

Varmuuden vuoksi muistutan (yhtäkkiä, kuka ei tiedä). perussäännöt toimivaltuudet ovat voimassa minkä tahansa indikaattoreita! Mukaan lukien negatiiviset.) Voimme siis turvallisesti ottaa ja kertoa indikaattorit (-2) ja (x-1) sopivan säännön mukaan. Yhtälömme paranee ja paranee:

Kaikki! Vasemmalla ja oikealla asteissa olevien yksinäisten viiden lisäksi ei ole mitään muuta. Yhtälö on pelkistetty kanoniseen muotoon. Ja sitten - uurrettua rataa pitkin. Poistamme viisit ja vertaamme indikaattorit:

x 2 –6 x+5=-2(x-1)

Esimerkki on melkein ratkaistu. Jäljelle jää keskiluokkien perusmatematiikka - avaamme (oikealla!) Sulut ja keräämme kaiken vasemmalla:

x 2 –6 x+5 = -2 x+2

x 2 –4 x+3 = 0

Ratkaisemme tämän ja saamme kaksi juurta:

x 1 = 1; x 2 = 3

Siinä kaikki.)

Mietitään nyt uudestaan. Tässä esimerkissä meidän oli jälleen tunnistettava sama numero eriasteisesti! Nimittäin nähdäksesi salatun viiden numerossa 0.04. Ja tällä kertaa sisään negatiivinen aste! Miten teimme sen? Liikkeellä - ei mitään. Mutta siirtymisen jälkeen 0,04:n desimaalimurtoluvusta tavalliseen murto-osaan 1/25, kaikki korostettiin! Ja sitten koko päätös meni kuin kellokello.)

Siksi toinen vihreä käytännön neuvo.

Jos eksponentiaalisessa yhtälössä on desimaalimurtolukuja, siirrytään desimaalimurtoluvuista tavallisiin murtolukuihin. V tavallisia murtolukuja on paljon helpompi tunnistaa monien suosittujen numeroiden voimat! Tunnustamisen jälkeen siirrymme murtoluvuista potenssiin negatiivisilla eksponenteilla.

Muista, että tällainen temppu eksponentiaalisissa yhtälöissä tapahtuu hyvin, hyvin usein! Ja henkilö ei ole aiheessa. Hän katsoo esimerkiksi numeroita 32 ja 0,125 ja on järkyttynyt. Hänen tietämättään tämä on yksi ja sama kakkonen, vain eri asteissa ... Mutta olet jo aiheessa!)

Ratkaise yhtälö:

Sisään! Ulkonäöltään - hiljainen kauhu ... Ulkonäkö kuitenkin pettää. Tämä on yksinkertaisin eksponentiaalinen yhtälö pelottamisestaan huolimatta ulkomuoto... Ja nyt näytän sinulle.)

Ensin käsittelemme kaikkia emäksissä ja kertoimissa olevia lukuja. Ne ovat tietysti erilaisia, kyllä. Mutta otamme silti riskin ja yritämme tehdä niistä sama! Yritetään päästä sama luku eri asteilla... Ja mieluiten pienin mahdollinen määrä. Joten aloitetaan salauksen purkaminen!

No, neljällä kaikki on selvää kerralla - se on 2 2. Joten, jo jotain.)

Murto-osuudella 0,25 - se ei ole vielä selvä. On tarpeen tarkistaa. Käytämme käytännön neuvoja - siirrymme desimaalimurtoluvusta tavalliseen:

0,25 = 25/100 = 1/4

Paljon parempi. Toistaiseksi on jo selvästi nähtävissä, että 1/4 on 2 -2. Hienoa, ja luku 0,25 oli myös samanlainen kuin kaksi.)

Toistaiseksi hyvin. Mutta kaikista pahin määrä on jäljellä - neliöjuuri kahdesta! Ja mitä tehdä tälle pippurilla? Voidaanko se esittää myös kahden potenssina? Kuka tietää ...

No, jälleen kerran kiivetään tutkintojen tietovarastoon! Tällä kertaa yhdistämme lisäksi tietomme juurista... 9. luokan kurssilta sinun ja minun olisi pitänyt oppia, että minkä tahansa juuren voi haluttaessa muuttaa tutkinnoksi murtoluvulla.

Kuten tämä:

Meidän tapauksessamme:

Miten! Osoittautuu, että kahden neliöjuuri on 2 1/2. Se siitä!

Se on hyvä! Kaikki epämiellyttävät numeromme osoittautuivat itse asiassa salatuiksi kahdeksi.) En väitä, jossain erittäin hienostuneesti salattu. Mutta myös me kehitämme ammattitaitoamme tällaisten salausten ratkaisemisessa! Ja sitten kaikki on jo selvää. Korvaamme yhtälössämme luvut 4, 0,25 ja kahden juuren kahden potenssilla:

Kaikki! Esimerkin kaikkien asteiden kanta oli sama - kaksi. Ja nyt käytetään vakiotoimintoja valtuuksilla:

olena n = olen + n

a m: a n = a m-n

(a m) n = a mn

Vasemmalta puolelta saat:

2 -2 (2 2) 5 x -16 = 2 -2 + 2 (5 x -16)

Oikealle puolelle se tulee olemaan:

Ja nyt meidän paha yhtälömme näyttää tältä:

Kuka ei ymmärtänyt tarkalleen kuinka tämä yhtälö syntyi, niin kysymys ei ole eksponentiaalisista yhtälöistä. Kysymys koskee toimintoja asteilla. Pyysin sinua toistamaan sen kiireesti niille, joilla on ongelmia!

Tässä on kotimatka! Eksponentiaaliyhtälön kanoninen muoto saadaan! Millainen se on? Olenko vakuuttanut sinut, että kaikki ei ole niin pelottavaa? ;) Poistamme kakkoset ja vertaamme indikaattorit:

Jäljelle jää vain tämän lineaarisen yhtälön ratkaiseminen. Miten? Ilmeisesti identtisten muunnosten avulla.) Tee se, mitä siellä jo on! Kerro molemmat osat kahdella (poistaaksesi murto-osan 3/2), siirrä termit x:llä vasemmalle, ilman x:tä oikealle, tuo samanlaiset, laske - niin olet onnellinen!

Kaiken pitäisi mennä kauniisti:

X = 4

Ja nyt ymmärrämme taas päätöksen kulkua. Tässä esimerkissä meitä auttoi siirtyminen neliöjuuri Vastaanottaja asteen eksponentti 1/2... Lisäksi vain tällainen ovela muutos auttoi meitä saavuttamaan saman tukikohdan (kaksi) kaikkialla, mikä pelasti tilanteen! Ja jos ei sitä, niin meillä olisi kaikki mahdollisuudet jäätyä ikuisesti emmekä koskaan selviä tästä esimerkistä, kyllä ...

Siksi emme unohda muita käytännön neuvoja:

Jos eksponentiaaliyhtälö sisältää juuria, siirrymme juurista potenssiin murto-osien eksponenteilla. Hyvin usein vain tällainen muutos selventää tilannetta.

Tietenkin negatiiviset ja murto-asteet ovat jo paljon monimutkaisempia kuin luonnolliset asteet. Ainakin visuaalisen havainnon ja varsinkin oikealta vasemmalle tunnistamisen kannalta!

On selvää, että esimerkiksi kahden nostaminen suoraan tehoon -3 tai neljän -3/2 potenssiin ei ole niin suuri ongelma. Tietäville.)

Mutta ota esimerkiksi selvää siitä heti

0,125 = 2 -3

Tai

Tässä vain harjoituksen ja rikkaan kokemuksen sääntö, kyllä. Ja tietysti selkeä ajatus, mikä on negatiivinen ja murto-aste. Yhtä hyvin kuin - käytännön neuvoja! Kyllä, kyllä, ne vihreä.) Toivon, että ne silti auttavat sinua navigoimaan paremmin kaikissa asteen kirjavassa vaihtelussa ja lisäävät merkittävästi menestymismahdollisuuksiasi! Joten älä unohda niitä. En ole turha vihreä Kirjoitan joskus.)

Mutta jos tutustut jopa sellaisiin eksoottisiin asteisiin kuin negatiivinen ja murto-osa, niin mahdollisuutesi ratkaista eksponentiaaliyhtälöitä laajenevat valtavasti ja pystyt jo käsittelemään lähes kaikenlaisia eksponentiaaliyhtälöitä. No, jos ei yhtään, niin 80 prosenttia kaikista eksponentiaalisista yhtälöistä - varmasti! Kyllä, en vitsaile!

Joten ensimmäinen osamme tutustua eksponentiaaliyhtälöihin on tullut loogiseen päätökseensä. Ja väliharjoitteluna suosittelen perinteisesti tekemään vähän itse.)

Harjoitus 1.

Joten sanani negatiivisten ja murtovoimat ei mennyt hukkaan, ehdotan pelata vähän peliä!

Kuvittele luvut kahden potenssina:

Vastaukset (sekaisin):

Tapahtui? Hieno! Sitten suoritamme taistelutehtävän - ratkaisemme yksinkertaisimmat ja yksinkertaisimmat eksponentiaaliyhtälöt!

Tehtävä 2.

Ratkaise yhtälöt (kaikki vastaukset ovat sekaisin!):

5 2x-8 = 25

2 5x-4 - 16 x + 3 = 0

Vastaukset:

x = 16

x 1 = -1; x 2 = 2

x = 5

Tapahtui? Todellakin, se on paljon helpompaa!

Sitten ratkaisemme seuraavan pelin:

(2 x +4) x -3 = 0,5 x 4 x -4

35 1-x = 0,2 - x 7 x

Vastaukset:

x 1 = -2; x 2 = 2

x = 0,5

x 1 = 3; x 2 = 5

Ja nämä esimerkit ovat yksi jäljellä? Hieno! Sinä kasvat! Sitten tässä lisää esimerkkejä välipalasta:

Vastaukset:

x = 6

x = 13/31

x = -0,75

x 1 = 1; x 2 = 8/3

Ja onko se ratkaistu? No kunnioitusta! Nostan hattua.) Joten oppitunti ei ollut turha, ja Ensimmäinen taso eksponentiaaliyhtälöiden ratkaisuja voidaan pitää onnistuneesti hallituina. Eteenpäin - enemmän tasoja ja vaikeampia yhtälöitä! Ja uusia tekniikoita ja lähestymistapoja. JA epätyypillisiä esimerkkejä... Ja uusia yllätyksiä.) Kaikki tämä on seuraavalla oppitunnilla!

Menikö jokin pieleen? Tämä tarkoittaa todennäköisesti ongelmia. Tai sisään. Tai molemmat kerralla. Tässä olen voimaton. Voin jälleen kerran tarjota vain yhden asian - älä ole laiska ja kävele linkkien läpi.)

Jatkuu.)

Eksponentiaaliyhtälöt. Kuten tiedät, USE sisältää yksinkertaisia yhtälöitä. Olemme jo tarkastelleet joitain niistä - nämä ovat logaritmisia, trigonometrisiä, rationaalisia. Tässä on suuntaa-antavia yhtälöitä.

Äskettäisessä artikkelissa työskentelimme eksponentiaalisten lausekkeiden kanssa, se on hyödyllinen. Yhtälöt itsessään ovat yksinkertaisia ja nopeita ratkaista. Sinun tarvitsee vain tietää eksponentien ominaisuudet ja ... TästäEdelleen.

Listataan eksponentien ominaisuudet:

Minkä tahansa luvun nollaaste on yhtä suuri kuin yksi.

Tämän ominaisuuden seuraus:

Vähän lisää teoriaa.

Eksponentiaaliyhtälö on yhtälö, joka sisältää muuttujan indikaattorissa, eli tämä yhtälö muotoa:

f(x) lauseke, joka sisältää muuttujan

Menetelmiä eksponentiaaliyhtälöiden ratkaisemiseksi

1. Muutosten seurauksena yhtälö voidaan pelkistää muotoon:

Sitten käytämme omaisuutta:

2. Kun saadaan muodon yhtälö a f (x) = b logaritmin määritelmää käytetään, saamme:

3. Muunnoksilla voidaan saada muotoinen yhtälö:

Logaritmia käytetään:

Ilmaisemme ja löydämme x.

Tehtävissä vaihtoehtoja kokeeseen riittää, että käytät ensimmäistä menetelmää.

Eli on tarpeen esittää vasen ja oikea osa asteiden muodossa samalla kantalla, ja sitten rinnastamme indikaattorit ja ratkaisemme tavallisen lineaarisen yhtälön.

Harkitse yhtälöitä:

Etsi yhtälön 4 juuri 1–2x = 64.

On tarpeen varmistaa, että vasemmalla ja oikealla puolella on suuntaa-antavia lausekkeita yhdellä pohjalla. 64 voimme esittää 4:n potenssilla 3. Saamme:

4 1-2x = 4 3

1-2x = 3

- 2x = 2

x = -1

Tutkimus:

4 1–2 (–1) = 64

4 1 + 2 = 64

4 3 = 64

64 = 64

Vastaus: -1

Etsi yhtälön 3 juuri x – 18 = 1/9.

On tiedossa, että

Joten 3 x-18 = 3 -2

Perusteet ovat yhtä suuret, voimme rinnastaa indikaattorit:

x - 18 = - 2

x = 16

Tutkimus:

3 16–18 = 1/9

3 –2 = 1/9

1/9 = 1/9

Vastaus: 16

Etsi yhtälön juuri:

Esitämme murto-osan 1/64 neljänneksenä kolmanteen potenssiin:

2x - 19 = 3

2x = 22

x = 11

Tutkimus:

Vastaus: 11

Etsi yhtälön juuri:

Esitetään 1/3 3 -1:nä ja 9 3 neliönä, saamme:

(3-1) 8-2x = 3 2

3 -1 ∙ (8-2x) = 3 2

3–8 + 2x = 3 2

Nyt voimme rinnastaa indikaattorit:

- 8 + 2x = 2

2x = 10

x = 5

Tutkimus:

Vastaus: 5

26654. Etsi yhtälön juuri:

Ratkaisu:

Vastaus: 8.75

Todellakin, riippumatta siitä, missä asteessa nostamme positiivista lukua a, emme voi saada negatiivista lukua millään tavalla.

Mikä tahansa eksponentiaaliyhtälö asianmukaisten muunnosten jälkeen pelkistetään yhden tai useamman yksinkertaisimman ratkaisuksi.Tässä osiossa tarkastellaan myös joidenkin yhtälöiden ratkaisua, älä missaa sitä!Siinä kaikki. Menestystä sinulle!

Terveisin Alexander Krutitskikh.

P.S: Olisin kiitollinen, jos voisit kertoa meille sivustosta sosiaalisessa mediassa.

Esimerkkejä:

\ (4 ^ x = 32 \)
\ (5 ^ (2x-1) -5 ^ (2x-3) = 4,8 \)
\ ((\ sqrt (7)) ^ (2x + 2) -50 \ cdot (\ sqrt (7)) ^ (x) + 7 = 0 \)

Kuinka ratkaista eksponentiaaliyhtälöt

Kun ratkaisemme mitä tahansa eksponentiaaliyhtälöä, pyrimme pelkistämään muotoon \ (a ^ (f (x)) = a ^ (g (x)) \), ja sitten siirrymme indikaattoreiden tasa-arvoon, eli:

\ (a ^ (f (x)) = a ^ (g (x)) \) \ (⇔ \) \ (f (x) = g (x) \)

Esimerkiksi:\ (2 ^ (x + 1) = 2 ^ 2 \) \ (⇔ \) \ (x + 1 = 2 \)

Tärkeä! Saman logiikan perusteella tällaiselle siirtymiselle on kaksi vaatimusta:
- numero sisään vasemman ja oikean tulee olla samat;
- asteiden vasemmalla ja oikealla on oltava "puhtaita", eli siinä ei pitäisi olla kerto-, jakolaskuja jne.

Esimerkiksi:

Yhtälön pelkistämiseksi muotoon \ (a ^ (f (x)) = a ^ (g (x)) \), ja niitä käytetään.

Esimerkki ... Ratkaise eksponentiaaliyhtälö \ (\ sqrt (27) 3 ^ (x-1) = ((\ frac (1) (3))) ^ (2x) \)
Ratkaisu:

\ (\ sqrt (27) 3 ^ (x-1) = ((\ frac (1) (3))) ^ (2x) \)

Tiedämme, että \ (27 = 3 ^ 3 \). Tätä silmällä pitäen muunnamme yhtälön.

\ (\ sqrt (3 ^ 3) 3 ^ (x-1) = ((\ frac (1) (3))) ^ (2x) \)

Juuren ominaisuudella \ (\ sqrt [n] (a) = a ^ (\ frac (1) (n)) \) saamme \ (\ sqrt (3 ^ 3) = ((3 ^ 3)) ^ ( \ frac (1) (2)) \). Lisäksi käyttämällä asteominaisuutta \ ((a ^ b) ^ c = a ^ (bc) \, saamme \ (((3 ^ 3)) ^ (\ frac (1) (2)) = 3 ^ ( 3 \ cdot \ frac (1) (2)) = 3 ^ (\ frac (3) (2)) \).

\ (3 ^ (\ frac (3) (2)) \ cdot 3 ^ (x-1) = (\ frac (1) (3)) ^ (2x) \)

Tiedämme myös, että \ (a ^ b a ^ c = a ^ (b + c) \). Kun tätä sovelletaan vasemmalle puolelle, saadaan: \ (3 ^ (\ frac (3) (2)) 3 ^ (x-1) = 3 ^ (\ frac (3) (2) + x-1) = 3 ^ (1,5 + x-1) = 3 ^ (x + 0,5) \).

\ (3 ^ (x + 0,5) = (\ frac (1) (3)) ^ (2x) \)

Muista nyt, että: \ (a ^ (- n) = \ frac (1) (a ^ n) \). Tätä kaavaa voidaan käyttää kääntöpuoli: \ (\ frac (1) (a ^ n) = a ^ (- n) \). Sitten \ (\ frac (1) (3) = \ murto (1) (3 ^ 1) = 3 ^ (- 1) \).

\ (3 ^ (x + 0,5) = (3 ^ (- 1)) ^ (2x) \)

Kun ominaisuus \ ((a ^ b) ^ c = a ^ (bc) \) käytetään oikealle puolelle, saadaan: \ ((3 ^ (- 1)) ^ (2x) = 3 ^ ((- 1) 2x) = 3 ^ (- 2x) \).

\ (3 ^ (x + 0,5) = 3 ^ (- 2x) \)

Ja nyt kantamme ovat samat, eikä ole häiritseviä kertoimia jne. Tämä tarkoittaa, että voimme tehdä muutoksen.

Esimerkki ... Ratkaise eksponentiaaliyhtälö \ (4 ^ (x + 0,5) -5 2 ^ x + 2 = 0 \)
Ratkaisu:

\ (4 ^ (x + 0,5) -5 2 ^ x + 2 = 0 \)		Käytämme taas asteen \ ominaisuutta (a ^ b \ cdot a ^ c = a ^ (b + c) \) vastakkaiseen suuntaan.
\ (4 ^ x 4 ^ (0,5) -5 2 ^ x + 2 = 0 \)		Muista nyt, että \ (4 = 2 ^ 2 \).
\ ((2 ^ 2) ^ x (2 ^ 2) ^ (0,5) -5 2 ^ x + 2 = 0 \)		Muunnamme asteen ominaisuuksien avulla: \ ((2 ^ 2) ^ x = 2 ^ (2x) = 2 ^ (x 2) = (2 ^ x) ^ 2 \) \ ((2 ^ 2) ^ (0,5) = 2 ^ (2 0,5) = 2 ^ 1 = 2. \)
\ (2 (2 ^ x) ^ 2-5 2 ^ x + 2 = 0 \)		Katsomme yhtälöä tarkasti ja näemme, että korvaus \ (t = 2 ^ x \) ehdottaa itseään.

\ (t_1 = 2 \) \ (t_2 = \ frac (1) (2) \)		Löysimme kuitenkin arvot \ (t \), mutta tarvitsemme \ (x \). Palaamme X:ihin ja teemme käänteisen korvauksen.
\ (2 ^ x = 2 \) \ (2 ^ x = \ murto (1) (2) \)		Muunna toinen yhtälö negatiivisen eksponentin ominaisuudella ...
\ (2 ^ x = 2 ^ 1 \) \ (2 ^ x = 2 ^ (- 1) \)		... ja päätämme vastata.
\ (x_1 = 1 \) \ (x_2 = -1 \)

Vastaus : \(-1; 1\).

Kysymys on edelleen - kuinka ymmärtää, milloin mitä menetelmää tulee soveltaa? Se tulee kokemuksen myötä. Kunnes saat sen, käytä yleinen suositus ratkaista monimutkaisia ongelmia - "et tiedä mitä tehdä - tee mitä voit". Eli etsi kuinka voit muuttaa yhtälön periaatteessa ja yritä tehdä se - mitä tapahtuu yhtäkkiä? Tärkeintä on tehdä vain matemaattisesti perusteltuja muunnoksia.

Eksponentiaaliyhtälöt ilman ratkaisuja

Katsotaanpa vielä kahta tilannetta, jotka usein hämmentävät opiskelijoita:
- potenssin positiivinen luku on yhtä suuri kuin nolla, esimerkiksi \ (2 ^ x = 0 \);
- positiivinen luku potenssille on negatiivinen numero esimerkiksi \ (2 ^ x = -4 \).

Yritetään ratkaista se raa'alla voimalla. Jos x on positiivinen luku, niin x:n kasvaessa koko potenssi \ (2 ^ x \) vain kasvaa:

\ (x = 1 \); \ (2 ^ 1 = 2 \)
\ (x = 2 \); \ (2 ^ 2 = 4 \)
\ (x = 3 \); \ (2 ^ 3 = 8 \).

\ (x = 0 \); \ (2 ^ 0 = 1 \)

Myös. Jäljellä on negatiiviset x:t. Kun muistamme ominaisuuden \ (a ^ (- n) = \ frac (1) (a ^ n) \), tarkistamme:

\ (x = -1 \); \ (2 ^ (- 1) = \ murto (1) (2 ^ 1) = \ murto (1) (2) \)
\ (x = -2 \); \ (2 ^ (- 2) = \ murto (1) (2 ^ 2) = \ murto (1) (4) \)
\ (x = -3 \); \ (2 ^ (- 3) = \ murto (1) (2 ^ 3) = \ murto (1) (8) \)

Huolimatta siitä, että luku pienenee joka askeleella, se ei koskaan saavuta nollaa. Joten negatiivinen aste ei myöskään pelastanut meitä. Tulemme loogiseen johtopäätökseen:

Positiivinen luku pysyy positiivisena missä tahansa määrin.

Siten molemmilla yllä olevilla yhtälöillä ei ole ratkaisuja.

Eksponentiaaliyhtälöt eri kantajilla

Käytännössä joskus on eksponentiaaliyhtälöitä, joilla on eri kanta, jotka eivät ole pelkistettävissä toisiinsa, ja samaan aikaan samoilla eksponenteilla. Ne näyttävät tältä: \ (a ^ (f (x)) = b ^ (f (x)) \), missä \ (a \) ja \ (b \) ovat positiivisia lukuja.

Esimerkiksi:

\ (7 ^ (x) = 11 ^ (x) \)
\ (5 ^ (x + 2) = 3 ^ (x + 2) \)
\ (15 ^ (2x-1) = (\ frac (1) (7)) ^ (2x-1) \)

Tällaiset yhtälöt voidaan helposti ratkaista jakamalla millä tahansa yhtälön osalla (yleensä jaettuna oikealla puolella, eli \ (b ^ (f (x)) \). Voit jakaa näin, koska positiivinen luku on positiivinen missä tahansa määrin (eli emme jaa nollalla).

\ (\ frac (a ^ (f (x))) (b ^ (f (x))) \) \ (= 1 \)

Esimerkki ... Ratkaise eksponentiaaliyhtälö \ (5 ^ (x + 7) = 3 ^ (x + 7) \)
Ratkaisu:

\ (5 ^ (x + 7) = 3 ^ (x + 7) \)		Tässä emme voi muuttaa viittä kolmeksi tai päinvastoin (ainakaan ilman sitä). Joten emme voi tulla muotoon \ (a ^ (f (x)) = a ^ (g (x)) \). Tässä tapauksessa indikaattorit ovat samat. Jaetaan yhtälö oikealla puolella, eli \ (3 ^ (x + 7) \) (voimme tehdä tämän, koska tiedämme, että kolmo ei ole millään tavalla nolla).
\ (\ frac (5 ^ (x + 7)) (3 ^ (x + 7)) \) \ (= \) \ (\ frac (3 ^ (x + 7)) (3 ^ (x + 7) ) \)		Nyt muistamme ominaisuuden \ ((\ frac (a) (b)) ^ c = \ frac (a ^ c) (b ^ c) \) ja käytämme sitä vasemmalta päinvastaiseen suuntaan. Oikealla yksinkertaisesti pienennämme murto-osaa.
\ ((\ frac (5) (3)) ^ (x + 7) \) \ (= 1 \)		Näyttää siltä, että se ei parantunut. Mutta muista vielä yksi asteen ominaisuus: \ (a ^ 0 = 1 \), toisin sanoen: "mikä tahansa luku nollaasteessa on yhtä suuri kuin \ (1 \)". Päinvastoin on myös totta: "yksi voidaan esittää mikä tahansa luku nollaasteeseen asti." Käytämme tätä tekemällä oikeanpuoleisesta pohjasta samanlainen kuin vasemmalla.
\ ((\ murto (5) (3)) ^ (x + 7) \) \ (= \) \ ((\ frac (5) (3)) ^ 0 \)		Voila! Pääsemme eroon pohjasta.
		Kirjoitamme vastauksen.

Vastaus : \(-7\).

Joskus eksponentien "samankaltaisuus" ei ole ilmeinen, mutta asteen ominaisuuksien taitava käyttö ratkaisee tämän ongelman.

Esimerkki ... Ratkaise eksponentiaaliyhtälö \ (7 ^ (2x-4) = (\ frac (1) (3)) ^ (- x + 2) \)
Ratkaisu:

\ (7 ^ (2x-4) = (\ frac (1) (3)) ^ (- x + 2) \)		Yhtälö näyttää melko surulliselta ... Sen lisäksi, että emäksiä ei voida vähentää samaan numeroon (seitsemän ei ole yhtä suuri kuin \ (\ frac (1) (3) \)), myös indikaattorit ovat erilaisia .. Otetaan kuitenkin vasempaan eksponenttiin kaksi.
\ (7 ^ (2 (x-2)) = (\ frac (1) (3)) ^ (- x + 2) \)		Muista ominaisuus \ ((a ^ b) ^ c = a ^ (b c) \), muunnos vasemmalta: \ (7 ^ (2 (x-2)) = 7 ^ (2 (x-2)) = (7 ^ 2) ^ (x-2) = 49 ^ (x-2) \).
\ (49 ^ (x-2) = (\ murto (1) (3)) ^ (- x + 2) \)		Muista nyt negatiivisen asteen ominaisuus \ (a ^ (- n) = \ frac (1) (a) ^ n \), muunnos oikealta: \ ((\ frac (1) (3)) ^ (- x + 2) = (3 ^ (- 1)) ^ (- x + 2) = 3 ^ (- 1 (-x + 2)) = 3 ^ (x-2) \)
\ (49 ^ (x-2) = 3 ^ (x-2) \)		Halleluja! Indikaattorit ovat muuttuneet samaksi! Toimien meille jo tutun kaavan mukaan, päätämme ennen vastaamista.

Vastaus : \(2\).

Ensimmäinen taso

Eksponentiaaliyhtälöt. Kattava opas (2019)

Hei! Tänään keskustelemme kanssasi yhtälöiden ratkaisemisesta, jotka voivat olla sekä alkeellisia (ja toivon, että tämän artikkelin lukemisen jälkeen melkein kaikki ne ovat sinulle) että niitä, jotka yleensä annetaan "täyttöä varten". Ilmeisesti nukahtaa kokonaan. Mutta yritän tehdä parhaani, jotta et nyt joutuisi sekaisin tämäntyyppisten yhtälöiden edessä. En enää hakkaa pensasta, vaan avaan heti pieni salaisuus: tänään ollaan kihloissa eksponentiaaliyhtälöt.

Ennen kuin jatkan niiden ratkaisutapojen analysointiin, hahmotan välittömästi edessäsi kysymyspiirin (melko pienen), jotka sinun tulee toistaa ennen kuin ryntäät myrskymään tätä aihetta. Parhaan tuloksen saamiseksi, kiitos toistaa:

Ominaisuudet ja
Ratkaisu ja yhtälöt

Toistettu? Ihana! Silloin sinun ei ole vaikea huomata, että yhtälön juuri on luku. Ymmärrätkö tarkalleen kuinka tein sen? Totuus? Jatketaan sitten. Vastaa nyt kysymykseen, mikä on kolmas tutkinto? Olet aivan oikeassa: . Ja mikä on kahden teho kahdeksan? Aivan oikein - kolmas! Koska. No, yritetään nyt ratkaista seuraava ongelma: Kerronpa luku itsellään ja saan tuloksen. Kysymys kuuluu, kuinka monta kertaa olen kertonut itsestäni? Voit tietysti tarkistaa tämän suoraan:

\ aloita (tasaa) & 2 = 2 \\ & 2 \ cdot 2 = 4 \\ & 2 \ cdot 2 \ cdot 2 = 8 \\ & 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 = 16 \\ \ end ( kohdistaa)

Sitten voit päätellä, että itse olen moninkertaistunut. Miten muuten voi tarkistaa? Ja näin: suoraan tutkinnon määritelmän mukaan:. Mutta myönnä se, jos kysyisin, kuinka monta kertaa kaksi täytyy kertoa itsestään saadaksesi, sanoisit, olisit sanonut minulle: en huijaa itseäni ja kerro itselläni siniseen pisteeseen asti. Ja hän olisi täysin oikeassa. Koska kuinka voit kirjoita kaikki toimet lyhyesti muistiin(ja lyhyys on lahjakkuuden sisar)

missä - nämä ovat samat "Ajat" kun kerrot itsellesi.

Luulen, että tiedät (ja jos et tiedä, toista asteet kiireesti, erittäin kiireellisesti!), että silloin ongelmani kirjoitetaan muodossa:

Mistä voit tehdä täysin perustellun johtopäätöksen, että:

Joten, huomaamattomasti, kirjoitin muistiin yksinkertaisimman eksponentiaalinen yhtälö:

Ja jopa löysi hänet juuri... Eikö kaikki ole mielestäsi täysin triviaalia? Olen siis täysin samaa mieltä. Tässä toinen esimerkki sinulle:

Mutta mitä on tehtävä? Et voi kirjoittaa sitä muistiin (järkevän) luvun potenssina. Älä ole epätoivoinen ja huomaa, että nämä molemmat luvut ilmaistaan täydellisesti saman luvun teholla. Kumpi? Oikea: . Sitten alkuperäinen yhtälö muunnetaan muotoon:

Missä, kuten jo ymmärsit,. Älä vedä enempää ja kirjoita määritelmä:

Meidän tapauksessamme sinun kanssasi:.

Nämä yhtälöt ratkaistaan pelkistämällä ne muotoon:

yhtälön myöhemmän ratkaisun kanssa

Itse asiassa teimme tämän edellisessä esimerkissä: saimme sen. Ja me ratkaisimme kanssasi yksinkertaisimman yhtälön.

Ei näytä olevan mitään monimutkaista, eikö? Harjoitellaan ensin yksinkertaisimpia. esimerkkejä:

Näemme jälleen, että yhtälön oikea ja vasen puoli on esitettävä yhden luvun potenssina. Totta, tämä on jo tehty vasemmalla, mutta oikealla on numero. Mutta se ei haittaa, koska yhtälöni muuttuu ihmeellisesti tällaiseksi:

Mitä minun piti käyttää tässä? Mikä on sääntö? Degree to Degree -sääntö jossa lukee:

Mitä jos:

Ennen kuin vastaat tähän kysymykseen, täytä seuraava taulukko:

Meidän ei ole vaikea huomata, että mitä vähemmän, sitä vähemmän arvoa mutta kaikesta huolimatta kaikki nämä arvot ovat suurempia kuin nolla. JA TÄMÄ ON AINA!!! Sama ominaisuus pätee KAIKKIIN PERUSSIIN, JOISSA ON MITÄÄN INDIKAATTORI!! (mikä tahansa ja). Mitä voimme sitten päätellä yhtälöstä? Ja tässä mitä: se ei ole juuria! Millään yhtälöllä ei myöskään ole juuria. Nyt harjoitellaan ja Ratkaisemme yksinkertaisia esimerkkejä:

Tarkistetaan:

1. Täällä ei vaadita sinulta mitään muuta kuin tietämystä asteiden ominaisuuksista (jonka muuten pyysin sinua toistamaan!) Yleensä kaikki johtaa vähiten syytä:,. Sitten alkuperäinen yhtälö vastaa seuraavaa: Tarvitsen vain käyttää asteiden ominaisuuksia: kun kerrotaan lukuja samoilla kantakantoilla, potenssit lasketaan yhteen ja jakattaessa ne vähennetään. Sitten saan: No, nyt, puhtaalla omallatunnolla, siirryn eksponentiaalisesta yhtälöstä lineaariseen: \ begin (tasaista)
& 2x + 1 + 2 (x + 2) -3x = 5 \\
& 2x + 1 + 2x + 4-3x = 5 \\
& x = 0. \\
\ end (tasaa)

2. Toisessa esimerkissä sinun on oltava varovaisempi: ongelmana on, että vasemmalla puolella emme pysty esittämään sitä saman luvun potenssin muodossa. Tässä tapauksessa siitä on joskus hyötyä edustavat numeroita asteiden tulona, joilla on eri kanta, mutta samat indikaattorit:

Yhtälön vasen puoli on muotoa: Mitä tämä antoi meille? Tässä on mitä: Numerot, joilla on eri kanta, mutta samat indikaattorit voidaan kertoa.Tässä tapauksessa emäkset kerrotaan, eikä indikaattori muutu:

Omassa tilanteessani tämä antaa:

\ aloita (tasaa)
& 4 \ cdot ((64) ^ (x)) ((25) ^ (x)) = 6400, \\
& 4 \ cdot (((64 \ cdot 25)) ^ (x)) = 6400, \\
& ((1600) ^ (x)) = \ frac (6400) (4), \\
& ((1600) ^ (x)) = 1600, \\
& x = 1. \\
\ end (tasaa)

Ei paha, eikö?

3. En pidä siitä, kun tarpeettomasti yhtälön toisella puolella on kaksi termiä ja toisella - ei yhtään (joskus tämä on tietysti perusteltua, mutta näin ei ole nyt). Siirrä miinustermi oikealle:

Nyt, kuten ennenkin, kirjoitan kaiken kolmoisvoimalla:

Lisää potenssit vasemmalle ja saat vastaavan yhtälön

Löydät helposti sen juuren:

4. Kuten esimerkissä kolme, termi, jossa on miinus, on paikka oikealla puolella!

Vasemmalla olen melkein kunnossa, paitsi mitä? Kyllä, "väärä aste" kakkosessa häiritsee minua. Mutta voin korjata sen helposti kirjoittamalla:. Eureka - vasemmalla, kaikki kannat ovat erilaisia, mutta kaikki asteet ovat samat! Lisää kiireesti!

Tässä taas kaikki on selvää: (jos et ymmärtänyt kuinka taianomaisesti sain viimeisen yhtälön, pidä hetken tauko, pidä tauko ja lue tutkinnon ominaisuudet uudelleen erittäin huolellisesti. Kuka sanoi, että voit ohittaa yhden No, tässä olen suunnilleen sama kuin kukaan). Nyt saan:

\ aloita (tasaa)
& ((2) ^ (4 \ vasen ((x) -9 \ oikea))) = ((2) ^ (- 1)) \\
& 4 ((x) -9) = - 1 \\
& x = \ frac (35) (4). \\
\ end (tasaa)

Tässä on sinulle koulutettavia tehtäviä, joihin annan vain vastaukset (mutta "sekamuodossa"). Leikkaa ne alas, tarkista ne, ja sinä ja minä jatkamme tutkimusta!

Valmis? Vastaukset kuten nämä:

mikä tahansa numero

Okei, okei, vitsailin! Tässä on hahmotelma ratkaisuista (jotkut ovat hyvin lyhyitä!)

Eikö mielestäsi ole sattumaa, että yksi vasemmalla oleva murto-osa on "käänteinen" toinen? Olisi synti olla käyttämättä tätä hyväkseen:

Tätä sääntöä käytetään hyvin usein eksponentiaaliyhtälöiden ratkaisemisessa, muista se hyvin!

Sitten alkuperäinen yhtälö on seuraava:

Tämän päätettyään toisen asteen yhtälö, saat nämä juuret:

2. Toinen ratkaisu: jaetaan yhtälön molemmat puolet vasemmalla (tai oikealla) olevalla lausekkeella. Jaan sillä, mikä on oikealla, niin saan:

Missä (miksi?!)

3. En edes halua toistaa itseäni, kaikki on jo "pureskeltu" niin paljon.

4. yhtä suuri kuin toisen asteen yhtälö, juuret

5. Sinun on käytettävä ensimmäisessä tehtävässä annettua kaavaa, jolloin saat seuraavan:

Yhtälöstä on tullut triviaali identiteetti, mikä pätee mihin tahansa. Sitten vastaus on mikä tahansa reaaliluku.

No, olet siis harjoitellut ratkaisemista yksinkertaisimmat eksponentiaaliyhtälöt. Nyt haluan antaa sinulle muutaman elämän esimerkkejä jotka auttavat sinua ymmärtämään, miksi niitä periaatteessa tarvitaan. Annan tässä kaksi esimerkkiä. Toinen niistä on melko arkipäiväinen, mutta toinen on todennäköisemmin tieteellistä kuin käytännön merkitystä.

Esimerkki 1 (kaupallinen) Oletetaan, että sinulla on ruplaa ja haluat muuttaa sen rupliksi. Pankki tarjoaa sinulle mahdollisuuden ottaa nämä rahat sinulta vuosikorolla ja koron kuukausittaisella pääomituksella (kuukausikertymä). Kysymys kuuluu, kuinka monelle kuukaudelle sinun on avattava talletus saadaksesi vaaditun loppusumman? Melko arkipäiväinen tehtävä, eikö? Siitä huolimatta sen ratkaisu liittyy vastaavan eksponentiaaliyhtälön rakentamiseen: Olkoon - alkusumma, - loppusumma, - jakson korko, - jaksojen lukumäärä. Sitten:

Meidän tapauksessamme (jos korko on vuosi, se veloitetaan kuukaudessa). Miksi se on jaettu? Jos et tiedä vastausta tähän kysymykseen, muista aihe ""! Sitten saamme seuraavan yhtälön:

Tämä eksponentiaaliyhtälö voidaan jo ratkaista vain laskimen avulla (sen ulkoasu vihjaa tähän, ja tämä vaatii logaritmien tuntemusta, johon tulemme tutustumaan hieman myöhemmin), minkä teen: ... Näin ollen saada miljoona, meidän on maksettava kuukausimaksu (ei kovin nopeasti, eikö?).

Esimerkki 2 (tieteellisempi). Huolimatta hänen "eristyksestään", suosittelen, että kiinnität häneen huomiota: hän säännöllisesti "liukastuu kokeessa !! (tehtävä on otettu "todellisesta" versiosta) Radioaktiivisen isotoopin hajoamisen aikana sen massa pienenee lain mukaan, missä (mg) on isotoopin alkumassa, (min.) on aika, joka on kulunut alkuhetki, (min.) on puoliintumisaika. Alkuhetkellä isotoopin massa on mg. Sen puoliintumisaika on min. Kuinka monessa minuutissa isotoopin massa on mg? Ei hätää: otamme ja korvaamme kaikki meille ehdotetun kaavan tiedot:

Jaetaan molemmat osat "toivossa", että vasemmalla saadaan jotain sulavaa:

No, olemme erittäin onnekkaita! Se seisoo vasemmalla, sitten siirrymme vastaavaan yhtälöön:

Missä on min.

Kuten näette, eksponentiaaliyhtälöillä on hyvin todellinen sovellus käytännössä. Nyt haluan keskustella kanssasi toisesta (yksinkertaisesta) tapasta ratkaista eksponentiaaliyhtälöitä, joka perustuu yhteisen tekijän poistamiseen suluista ja termien ryhmittelystä. Älä pelkää sanojani, törmäsit tähän menetelmään jo 7. luokalla, kun opiskelit polynomeja. Jos esimerkiksi sinun piti ottaa lauseke huomioon:

Ryhmitetään: ensimmäinen ja kolmas termi sekä toinen ja neljäs. On selvää, että ensimmäinen ja kolmas ovat neliöiden ero:

ja toisella ja neljännellä on yhteinen tekijä kolme:

Sitten alkuperäinen lauseke vastaa tätä:

Yhteisen tekijän poistaminen ei ole enää vaikeaa:

Siten,

Suunnilleen näin toimimme eksponentiaaliyhtälöitä ratkaistaessa: etsi termien joukosta "yhteisyyttä" ja laita se hakasulkujen ulkopuolelle, no sitten - tulkoon mikä tahansa, uskon, että meillä on onni =)) Esimerkiksi:

Oikealla on kaukana seitsemän potenssista (tarkistan sen!) Ja vasemmalla - hieman paremmin, voit tietysti "leikkaa" kertoimen a toisesta ensimmäisestä termistä ja käsitellä sitten tuloksen, mutta tehdään se järkevämmin kanssasi. En halua käsitellä murto-osia, jotka väistämättä tulevat "korostamisesta", joten eikö minun olisi parempi kestää? Silloin minulla ei ole murto-osia: kuten sanotaan, sudet ovat ruokittuja ja lampaat turvassa:

Laske suluissa oleva lauseke. Maagisella, maagisella tavalla se käy ilmi (yllättävää, vaikka mitä muuta voimme odottaa?).

Sitten kumotaan yhtälön molemmat puolet tällä kertoimella. Saamme:, mistä.

Tässä on monimutkaisempi esimerkki (todellakin melko vähän):

Mikä vaiva! Meillä ei ole täällä yhtä yhteistä perustaa! Nyt ei ole täysin selvää, mitä tehdä. Tehdään mitä voimme: ensin siirretään "neljät" toiselle puolelle ja "viisit" toiselle:

Siirretään nyt "yhteistä" vasemmalle ja oikealle:

Joten mitä nyt? Mitä hyötyä on tällaisesta typerästä ryhmästä? Ensi silmäyksellä se ei näy ollenkaan, mutta katsotaanpa tarkemmin:

No, nyt tehdään niin, että vasemmalla on vain lauseke kanssa ja oikealla - kaikki muu. Miten tämä tehdään? Ja näin: Jaa yhtälön molemmat puolet ensin (näin pääsemme eroon oikeanpuoleisesta asteesta) ja jaa sitten molemmat puolet arvolla (näin pääsemme eroon vasemmanpuoleisesta numeerisesta tekijästä). Lopulta saamme:

Uskomaton! Vasemmalla meillä on lauseke ja oikealla yksinkertainen. Sitten teemme sen heti sen johtopäätöksen

Tässä on toinen esimerkki, jonka voit vahvistaa:

Tuon hänet lyhyt ratkaisu(älä oikeastaan vaivaa itseäsi selityksillä), yritä selvittää kaikki ratkaisun "hienot" itse.

Nyt lopullinen konsolidointi läpimenneestä materiaalista. Yritä ratkaista seuraavat ongelmat itse. Annan vain lyhyitä suosituksia ja vinkkejä niiden ratkaisemiseen:

Otetaan yhteinen tekijä suluista:
Esitämme ensimmäistä lauseketta muodossa:, jaa molemmat osat ja hanki se
, sitten alkuperäinen yhtälö muunnetaan muotoon: No, nyt vihje - katso missä sinä ja minä olemme jo ratkaisseet tämän yhtälön!
Kuvittele kuinka, miten ja no, jaa sitten molemmat osat, jotta saat yksinkertaisimman eksponentiaaliyhtälön.
Irrota kiinnikkeistä.
Irrota kiinnikkeistä.

TUTKIMUKSET YHTÄLÖT. KESKITASO

Luulen, että luettuani ensimmäisen artikkelin, joka kertoi mitä ovat eksponentiaaliset yhtälöt ja kuinka ne ratkaistaan sinä hallitset tarvittava minimi yksinkertaisimpien esimerkkien ratkaisemiseen tarvittavat tiedot.

Nyt analysoin toista menetelmää eksponentiaalisten yhtälöiden ratkaisemiseksi, tämä on

"Menetelmä uuden muuttujan käyttöönottamiseksi" (tai korvaaminen). Hän ratkaisee suurimman osan "vaikeista" ongelmista eksponentiaaliyhtälöiden (eikä vain yhtälöiden) aiheesta. Tämä menetelmä on yksi useimmin käytetyistä käytännössä. Ensinnäkin suosittelen, että tutustut aiheeseen.

Kuten jo nimestä ymmärsit, tämän menetelmän ydin on tehdä sellainen muuttujan muutos, että eksponentiaaliyhtälösi muuttuu ihmeellisesti sellaiseksi, jonka voit helposti ratkaista. Tämän hyvin "yksinkertaistetun yhtälön" ratkaisemisen jälkeen sinulle ei jää muuta kuin tehdä "käänteinen korvaus" eli palata korvatusta korvattuun. Havainnollistetaan mitä juuri sanoimme hyvin yksinkertaisella esimerkillä:

Esimerkki 1:

Tämä yhtälö ratkaistaan käyttämällä "yksinkertaista substituutiota", kuten matemaatikot sitä halventavasti kutsuvat. Itse asiassa korvaaminen tässä on ilmeisin. Se pitää vain nähdä

Sitten alkuperäinen yhtälö muuttuu seuraavaksi:

Jos esittelemme lisäksi kuinka, niin on melko selvää, mikä on vaihdettava: tietysti. Mihin alkuperäinen yhtälö sitten muuttuu? Ja tässä mitä:

Voit helposti löytää sen juuret itse:. Mitä meidän pitäisi tehdä nyt? On aika palata alkuperäiseen muuttujaan. Mitä unohdin ilmoittaa? Nimittäin: kun korvaan tietyn asteen uudella muuttujalla (eli vaihdat näkymää), olen kiinnostunut vain positiiviset juuret! Voit itse vastata helposti miksi. Siten sinä ja minä emme ole kiinnostuneita, mutta toinen juuri sopii meille varsin:

Sitten missä.

Vastaus:

Kuten näet, edellisessä esimerkissä korvaaja pyysi käsiämme. Valitettavasti näin ei aina ole. Älä kuitenkaan mene suoraan surulliseen, vaan harjoittele vielä yhdellä esimerkillä melko yksinkertaisella korvauksella

Esimerkki 2.

On selvää, että todennäköisimmin se on korvattava (tämä on pienin yhtälöimme sisältyvistä tehoista), mutta ennen kuin otamme käyttöön korvauksen, yhtälömme on "valmistettava" siihen, nimittäin:,. Sitten voit korvata, tuloksena saan seuraavan lausekkeen:

Voi kauhua: kuutioyhtälö, jonka ratkaisuun on täysin kammottavia kaavoja (no, yleisesti ottaen). Mutta älkäämme vaipuko epätoivoon heti, vaan miettikää mitä tehdä. Ehdotan huijaamista: tiedämme, että saadaksemme "kivan" vastauksen, meidän on saatava se jonkin kolmoisvoiman muodossa (miksi se olisi, vai mitä?). Yritetään arvata ainakin yksi yhtälömme juuri (aloitan arvaamisen potenssilla kolme).

Ensimmäinen oletus. Se ei ole juuri. Voi ja ah...

.
Vasen puoli on tasainen.
Oikea osa: !
On! Olet arvannut ensimmäisen juuren. Nyt asiat helpottuvat!

Tiedätkö "kulma"-jakojärjestelmästä? Tietenkin tiedät käyttäväsi sitä, kun jaat yhden luvun toisella. Mutta harvat tietävät, että sama voidaan tehdä polynomeilla. On yksi hieno lause:

Omassa tilanteessani tämä kertoo minulle, millä on jaollinen. Miten jako suoritetaan? Näin:

Katson, mikä monomi minun täytyy kertoa saadakseni. On selvää, että sitten:

Vähennä tuloksena oleva lauseke, saa:

Millä minun pitää nyt kertoa saadakseni? On selvää, että, niin saan:

ja vähennä jälleen tuloksena oleva lauseke jäljellä olevasta:

Hyvin viimeinen askel, kerro ja vähennä jäljellä olevasta lausekkeesta:

Hurraa, jako on ohi! Mitä olemme säästäneet yksityisesti? Itsestään: .

Sitten saimme seuraavan jaottelun alkuperäisestä polynomista:

Ratkaistaan toinen yhtälö:

Sillä on juuret:

Sitten alkuperäinen yhtälö:

sillä on kolme juurta:

Hylkäämme tietysti viimeisen juuren, koska se on pienempi kuin nolla. Ja kaksi ensimmäistä sen jälkeen käänteinen vaihto antaa meille kaksi juurta:

Vastaus: ..

En halunnut pelotella teitä tällä esimerkillä, vaan tavoitteenani oli pikemminkin osoittaa, että vaikka meillä olikin melko yksinkertainen korvaava, se johti kuitenkin melko monimutkainen yhtälö, jonka ratkaisu vaati meiltä erikoisosaamista. No, kukaan ei ole immuuni tälle. Mutta korvaaminen tässä tapauksessa oli melko ilmeinen.

Tässä on esimerkki hieman vähemmän ilmeisestä korvauksesta:

Ei ole ollenkaan selvää, mitä meidän pitäisi tehdä: ongelma on, että yhtälössämme on kaksi eri syistä ja yhtä perustaa ei saada toiselta nostamalla mihinkään (kohtuulliseen, luonnollisesti) tasoon. Mitä me kuitenkin näemme? Molemmat kannat eroavat vain etumerkillä, ja niiden tulo on neliöiden erotus, yhtä suuri kuin yksi:

Määritelmä:

Siten luvut, jotka ovat esimerkissämme emäkset, ovat konjugoituja.

Tässä tapauksessa fiksu liike olisi kerro yhtälön molemmat puolet konjugaattiluvulla.

Esimerkiksi päällä, yhtälön vasen puoli tulee yhtä suureksi ja oikea puoli. Jos teemme korvauksen, alkuperäinen yhtälöstämme tulee tällainen:

sen juuret, ja muistaen sen, saamme sen.

Vastaus: ,.

Yleensä korvausmenetelmä riittää ratkaisemaan useimmat "koulun" eksponentiaaliyhtälöt. Seuraavat tehtävät on otettu kokeesta C1 (edistynyt vaikeustaso). Olet jo tarpeeksi pätevä ratkaisemaan nämä esimerkit itsenäisesti. Annan vain tarvittavan vaihdon.

Ratkaise yhtälö:
Etsi yhtälön juuret:
Ratkaise yhtälö:. Etsi kaikki tämän yhtälön juuret, jotka kuuluvat segmenttiin:

Ja nyt lyhyet selitykset ja vastaukset:

Tässä riittää, että toteamme, että ja. Silloin alkuperäinen yhtälö vastaa tätä: Tämä yhtälö ratkaistaan korvaamalla Muut laskelmat tee se itse. Lopulta tehtäväsi rajoittuu yksinkertaisimman trigonometrisen ratkaisemiseen (sinistä tai kosinista riippuen). Analysoimme tällaisten esimerkkien ratkaisua muissa osioissa.
Täällä voit jopa tehdä ilman korvaamista: siirrä vain vähennetty oikealle ja edustaa molempia emäksiä kahden:n potenssien kautta ja siirry sitten suoraan toisen asteen yhtälöön.
Kolmas yhtälö on myös ratkaistu melko tavanomaisella tavalla: kuvitellaan kuinka. Sitten korvaamalla saamme toisen asteen yhtälön: sitten,
Tiedätkö jo mikä logaritmi on? Ei? Lue sitten aihe pikaisesti!

Ensimmäinen juuri ei ilmeisesti kuulu segmenttiin, ja toinen on käsittämätön! Mutta se selviää pian! Siitä lähtien (tämä on logaritmin ominaisuus!) Vertaa:

Vähennä molemmista osista, niin saamme:

Vasen puoli voidaan esittää seuraavasti:

kerro molemmat osat:

voidaan sitten kertoa

Sitten verrataan:

siitä lähtien:

Sitten toinen juuri kuuluu vaadittuun väliin

Vastaus:

Kuten näet, eksponentiaaliyhtälöiden juurien valinta edellyttää riittävän syvällistä tietoa logaritmien ominaisuuksista joten suosittelen sinua olemaan mahdollisimman varovainen ratkaiseessasi eksponentiaaliyhtälöitä. Kuten voit kuvitella, matematiikassa kaikki on yhteydessä toisiinsa! Kuten matematiikan opettajallani oli tapana sanoa: "matematiikkaa, kuten historiaa, ei voi lukea yhdessä yössä."

Pääsääntöisesti kaikki ongelmien C1 ratkaisemisen vaikeus on juuri yhtälön juurien valinta. Harjoitellaan vielä yhdellä esimerkillä:

On selvää, että yhtälö itsessään on melko yksinkertainen ratkaista. Suorittamalla korvauksen pienennämme alkuperäistä yhtälöämme seuraavaan:

Katsotaanpa ensin ensimmäistä juurta. Vertaa ja: siitä lähtien. (logaritmisen funktion ominaisuus, at). Silloin on selvää, että ensimmäinen juuri ei myöskään kuulu väliimme. Nyt toinen juuri:. On selvää, että (koska funktio at kasvaa). On vielä vertailla ja.

siitä lähtien, samaan aikaan. Tällä tavalla voin "ajaa tappia" ja välillä. Tämä tapi on numero. Ensimmäinen lauseke on pienempi ja toinen on suurempi. Tällöin toinen lauseke on suurempi kuin ensimmäinen ja juuri kuuluu väliin.

Vastaus:.

Katsotaan lopuksi toista esimerkkiä yhtälöstä, jossa korvaus on melko epästandardi:

Aloitetaan heti siitä, mitä voit tehdä ja mitä - periaatteessa voit, mutta on parempi olla tekemättä sitä. Voit edustaa kaikkea kolmen, kahden ja kuuden voiman avulla. Minne se johtaa? Kyllä, se ei johda mihinkään: asteiden sekaisin, ja joistakin niistä on melko vaikea päästä eroon. Mitä sitten tarvitaan? Huomaa, että Ja mitä se antaa meille? Ja se, että voimme vähentää ratkaisua tämä esimerkki yksinkertaisen eksponentiaaliyhtälön ratkaisuun! Ensin kirjoitetaan yhtälömme uudelleen seuraavasti:

Nyt jaamme tuloksena olevan yhtälön molemmat puolet seuraavasti:

Eureka! Nyt voimme vaihtaa, saamme:

No, nyt on sinun vuorosi ratkaista demonstraatioongelmia, ja annan heille vain lyhyitä kommentteja, jotta et eksy! Onnea!

1. Vaikein! Korvaajaa ei ole helppo löytää täältä! Mutta tästä huolimatta tämä esimerkki voidaan ratkaista täysin käyttämällä koko neliön valinta... Sen ratkaisemiseksi riittää, että huomaat, että:

Sitten tässä sinulle korvaaja:

(Huomaa, että tässä vaihdon aikana emme voi pudottaa negatiivista juuria !!! Ja miksi luulet?)

Nyt esimerkin ratkaisemiseksi sinun on ratkaistava kaksi yhtälöä:

Molemmat ratkaistaan "vakiokorvauksella" (mutta toinen yhdessä esimerkissä!)

2. Huomaa se ja vaihda.

3. Jaa luku koprime-tekijöiksi ja yksinkertaista tuloksena olevaa lauseketta.

4. Jaa murtoluvun osoittaja ja nimittäjä arvolla (tai halutessasi) ja korvaa tai.

5. Huomaa, että numerot ja ovat konjugoituja.

TUTKIMUKSET YHTÄLÖT. EDISTYNYT TASO

Lisäksi harkitaan toista tapaa - eksponentiaaliyhtälöiden ratkaisu logaritmimenetelmällä... En voi sanoa, että eksponentiaaliyhtälöiden ratkaisu tällä menetelmällä on erittäin suosittu, mutta joissain tapauksissa vain se voi johtaa meidät oikea päätös yhtälömme. Sitä käytetään erityisen usein ratkaisemaan ns. sekayhtälöt": Eli ne, joissa erityyppiset funktiot kohtaavat.

Esimerkiksi yhtälö muotoa:

v yleinen tapaus voidaan ratkaista vain ottamalla molempien puolten logaritmi (esimerkiksi kannasta), jossa alkuperäinen yhtälö muuttuu seuraavaksi:

Katsotaanpa seuraavaa esimerkkiä:

On selvää, että logaritmisen funktion ODZ:n mukaan olemme vain kiinnostuneita. Tämä ei kuitenkaan johdu vain logaritmin ODZ:stä, vaan toisesta syystä. Luulen, että sinun ei ole vaikea arvata kumpi.

Kirjataan yhtälömme molemmat puolet kantaan:

Kuten näet, alkuperäisen yhtälömme logaritmin ottaminen riittävän nopeasti johti meidät oikeaan (ja kauniiseen!) vastaukseen. Harjoitellaan vielä yhdellä esimerkillä:

Tässäkään ei ole mitään syytä huoleen: logaritoidaan yhtälön molemmat puolet kantalla, niin saadaan:

Tehdään korvaava:

Jotain meiltä kuitenkin puuttuu! Oletko huomannut missä menin pieleen? Loppujen lopuksi sitten:

joka ei täytä vaatimusta (arvatkaa mistä se tuli!)

Vastaus:

Yritä itse kirjoittaa alla olevien eksponenttiyhtälöiden ratkaisu:

Tarkista nyt ratkaisusi tähän:

1. Logaritmi molemmat puolet kantaan ottaen huomioon, että:

(toinen juuri ei sovi meille vaihdon vuoksi)

2. Logaritmi kantaan:

Muunnetaan tuloksena oleva lauseke seuraavaan muotoon:

TUTKIMUKSET YHTÄLÖT. LYHYT KUVAUS JA PERUSKAAVAT

Eksponentiaalinen yhtälö

Muodon yhtälö:

olla nimeltään yksinkertaisin eksponentiaalinen yhtälö.

Tehon ominaisuudet

Lähestymistapoja ratkaisuun

Tuodaan samalla perusteella
Muunnos samaan eksponenttiin
Muuttuva korvaus
Ilmaisun yksinkertaistaminen ja jonkin edellä mainitun soveltaminen.

Tässä artikkelissa opit kaikista tyypeistä eksponentiaaliyhtälöt ja algoritmeja niiden ratkaisuun, oppia tunnistamaan, mihin tyyppiin se kuuluu eksponentiaalinen yhtälö jotka sinun on ratkaistava ja käytä asianmukaista menetelmää sen ratkaisemiseksi. Yksityiskohtainen esimerkkiratkaisu eksponentiaaliyhtälöt voit katsoa kunkin tyypin vastaavista VIDEO-OPAS-OHJEISTA.

Eksponenttiyhtälö on yhtälö, jonka eksponentti sisältää tuntemattoman.

Ennen kuin aloitat eksponentiaaliyhtälön ratkaisemisen, on hyödyllistä tehdä muutama alustavia toimia , mikä voi helpottaa huomattavasti sen ratkaisun kulkua. Nämä ovat vaiheet:

1. Kerroin kaikki valtuuksien kantakohdat.

2. Esitä juuret asteen muodossa.

3. Desimaalimurtoluvut kuvitella tavalliseksi.

4. Sekanumerot kirjoita se epäsäännöllisinä murtolukuina.

Ymmärrät näiden toimien edut yhtälöiden ratkaisuprosessissa.

Harkitse päätyyppejä eksponentiaaliyhtälöt ja niiden ratkaisun algoritmit.

1. Muodon yhtälö

Tämä yhtälö vastaa yhtälöä

Katso tämä VIDEO-OPAS yhtälön ratkaisemiseksi tämän tyyppistä.

2. Muodon yhtälö

Tämän tyyppisissä yhtälöissä:

b) eksponentin tuntemattoman kertoimet ovat yhtä suuret.

Tämän yhtälön ratkaisemiseksi sinun on suljettava kerroin pienimmälle tasolle.

Esimerkki tämän tyyppisen yhtälön ratkaisemisesta:

katso VIDEOTUNNIT.

3. Muodon yhtälö

Tämän tyyppiset yhtälöt eroavat siinä

a) kaikilla asteilla on sama kanta

b) eksponentin tuntemattoman kertoimet ovat erilaisia.

Tämän tyyppiset yhtälöt ratkaistaan muuttujia vaihtamalla. Ennen korvaavan osan käyttöönottoa on suositeltavaa päästä eroon eksponentin ilmaisista jäsenistä. (, , jne)

Katso VIDEOOPAS tämän tyyppisten yhtälöiden ratkaisemiseksi:

4. Homogeeniset yhtälöt sellaista

Homogeenisten yhtälöiden erityispiirteet:

a) kaikilla monomieilla on sama aste,

b) vapaa termi on nolla,

c) yhtälö sisältää asteita kahdella eri kantalla.

Homogeeniset yhtälöt ratkaistaan käyttämällä samanlaista algoritmia.

Tämän tyyppisen yhtälön ratkaisemiseksi jaa yhtälön molemmat puolet arvolla (voidaan jakaa arvolla tai arvolla)

Huomio! Kun jaat yhtälön oikean ja vasemman puolen lausekkeella, joka sisältää tuntemattoman, voit menettää juuret. Siksi on tarpeen tarkistaa, eivätkö lausekkeen juuret, joilla jaamme yhtälön molemmat puolet, ole alkuperäisen yhtälön juuria.

Meidän tapauksessamme, koska lauseke ei ole yhtä suuri kuin nolla millekään tuntemattoman arvolle, voimme jakaa sillä ilman pelkoa. Jaa yhtälön vasen puoli tällä lausekkeella termillä. Saamme: