Etsi epävarma integraali: Aloitus alkoi, esimerkkejä ratkaisuista. Epävarma integraali. Yksityiskohtaiset esimerkit ratkaisuista

Integraalinen laskuri.

Tulostustoiminto.

Määritelmä: Functionf (x) kutsutaan primitiivinen tehtäväsegmentin funktionf (X), jos tässä segmentin missä tahansa vaiheessa on todellinen tasa-arvo:

On huomattava, että sama tehtävä voi olla äärettömän paljon. Ne eroavat toisistaan \u200b\u200bjonkin verran vakiona.

F 1 (x) \u003d f 2 (x) + c.

Ei tietty kiinteä.

Määritelmä: Epävarma integraalifunktionf (x) kutsutaan joukko primitiivisiä toimintoja, jotka määräytyvät suhteesta:

Ennätys:

Joidenkin segmentin määräämättömän integraalin olemassaolo on tämän segmentin toiminnon jatkuvuus.

Ominaisuudet:

Esimerkki:

Riippumattoman integraalin arvon löytäminen johtuu pääasiassa primitiivisen toiminnan havaitsemisesta. Joillekin toiminnoille tämä on melko monimutkainen tehtävä. Seuraavassa käsitellään keinoja löytää epävarmoja integraaleja perusluokissa - järkevä, irrationaalinen, trigonometrinen, ohjeellinen jne.

Mukavuuden vuoksi useimpien perustoimintojen epävarmojen integraalien merkitys kootaan erityisten integraalisiin taulukoihin, jotka ovat joskus erittäin suuria. Niihin kuuluvat erilaiset yhteiset toiminnot. Mutta suurin osa näissä taulukoissa esitetyistä kaavoista on toistensa seuraukset, joten päälautaen taulukon alapuolella voit saada eri toimintojen epävarmojen integraalien arvot.

Integraali	Arvo	Integraali	Arvo

	lnsinx + C.



	ln.

Integraatiomenetelmät.

Harkitse kolme perus-integraatiomenetelmää.

Suora integraatio.

Suora integraatiomenetelmä perustuu alkuarvoon primitiivisen toiminnan mahdollisesta arvosta, jonka arvo on tämän arvon tarkastaminen erilaistumiseen. Yleensä huomaat, että erilaisuus on tehokas työkalu integraation tulosten tarkistamiseen.

Harkitse tämän menetelmän käyttöä esimerkkinä:

Vaatii integraalin arvoa . Perustuu tunnetun erilaistumisen kaavan
voidaan päätellä, että haluttu integraali on yhtä suuri
jossa c on vakioilu. Toisaalta
. Näin voimme lopulta päätellä:

Huomaa, että toisin kuin eriyttäminen, jossa käytettiin johdannaisten, selkeiden tekniikoiden ja menetelmien löytämistä johdannaisen löytämiseksi lopullisesti johdannaisen määrittämiseksi, tällaiset menetelmät eivät ole käytettävissä. Jos, kun löydät johdannaisen, meillä on niin puhua, rakentavia menetelmiä, jotka perustuvat tiettyihin sääntöihin, johtavat tulokseen, kun havaitset ensisijaisen, on välttämätöntä täysin luottaa johdannaisten taulukoiden tietämykseen ja primitiivinen.

Suoraan integraatiomenetelmään sovelletaan vain joitain hyvin rajoitettuja toimintoja. Toiminnot, joille on mahdollista löytää ensisijainen hyvin vähän liikkeestä. Siksi useimmissa tapauksissa käytetään alla kuvattuja menetelmiä.

Korvausmenetelmä (muuttujien korvaaminen).

Lause: Jos haluat löytää kiinteän
Mutta on vaikea löytää primitiivistä, sitten korvaamalla x \u003d  (t) anddx \u003d  (t), DTP on:

Todiste : Ehdotettu tasa-arvo:

Tarkasteltuaan määräämättömän kiinteistön numero 2:

f.(x.) dX. = f.[  (t.)]  (t.) dT.

mitä ottaen huomioon ottaen käyttöön otetut nimitykset ja on alku-oletus. Teorem on osoitettu.

Esimerkki.Etsi määrittelemätön integraali
.

Korvataan t. = sinx., dT. = cosxdt..

Esimerkki.

Korvaus
Saamme:

Alla pidetään muita esimerkkejä korvausmenetelmän soveltamisesta erilaisille toiminnoille.

Integrointi osiin.

Menetelmä perustuu työn johdannaisen tunnettuun kaavaan:

(UV)  \u003d UV + VU

jossa UIV on joitakin toimintoja x: stä.

Differentiaalisessa muodossa: D (UV) \u003d UDV + VDU

Integroitu, saamme:
ja edellä mainittujen määräämättömän integraalin ominaisuuksien mukaisesti:

tai
;

Vastaanotettu integraation kaava osissa, mikä mahdollistaa monien perustoimintojen integraalit.

Esimerkki.

Kuten voidaan nähdä, integrointikaavan peräkkäin osan avulla voit yksinkertaistaa asteittain toimintaa ja tuoda kiinteäksi pöydälle.

Esimerkki.

Voidaan nähdä, että integraation uudelleenkäytön seurauksena toiminto ei yksinkertaistanut taulukkoa. Viimeinen tuloksena oleva integraali ei kuitenkaan ole erilainen lähteestä. Siksi siirrämme sen tasa-arvon vasempaan osaan.

Näin ollen integraali löytyy lainkaan ilman integraalisten taulukoiden käyttöä.

Ennen kuin harkitsemme yksityiskohtaisesti eri toimintoluokkien integrointimenetelmät, annamme muutamia esimerkkejä epävarmoista integraalista tuottamalla ne taulukkoon.

Esimerkki.

Elementaaristen fraktioiden integrointi.

Määritelmä: Perusseuraavien neljäntyyppien fraktiot kutsutaan:

I.
III.

II.
IV.

m, n- kokonaislukuja (M2, N2) IB 2 - 4AC<0.

Ensimmäiset kaksi tyyppisiä integraaleja elementaarisista fraktioista ovat yksinkertaisesti yksinkertaisesti pöydän substituutiossa T \u003d AX + B.

Harkitse tyypin III mukaisten peruskohteiden integraatiomenetelmää.

Muodon III murto-osuuden integraali esitellään muodossa:

Täällä on yleensä osoitettu tuovan muodon IIIO: n murto-osaksi kahteen pöydän integraaliin.

Harkitse edellä mainitun kaavan soveltamista esimerkkeihin.

Esimerkki.

Yleisesti ottaen, jos kolmipyöräinen ax 2 + bx + entsepassb 2 - 4AC\u003e 0, sitten murto-osa ei ole peruskoulutus, mutta se voi kuitenkin integroida edellä määriteltyä menetelmää.

Esimerkki.

Tarkastelemme nyt menetelmiä IVTP: n yksinkertaisimpien fraktioiden integroimiseksi.

Ensinnäkin harkita erityistapausta M \u003d 0, N \u003d 1.

Sitten näkymän olennainen
on mahdollista esittää täydellisen neliön tietokanta koko neliön muodossa
. Tehkäämme seuraava muutos:

Toinen integraali tähän tasa-arvoon tulee osia.

Merkitsee:

Lähde integraalille saamme:

Saatua kaavaa kutsutaan toistuva.Jos käytät ITN-1 aikaa, taulukon integraali on
.

Palataan nyt integroitumaan yleisen tapauksen IVT-tyypin perusosuudesta.

Tuloksena olevassa tasa-arvossa, ensimmäinen integraali korvaamalla t. = u. 2 + s.sijaitsee pöydälle ja edellä mainittua toistuvaa kaavaa sovelletaan toiseen kiinteään.

Huolimatta muodon IV perusfraktion integroinnin näennäisestä monimutkaisuudesta on helppo käyttää tarpeeksi ja fraktioita pienellä tutkinnoilla n.Ja lähestymistavan monipuolisuus ja yleisyys mahdollistaa tämän menetelmän erittäin yksinkertaisen toteutuksen tietokoneella.

Esimerkki:

Rationaalisten toimintojen integrointi.

Ruaalisten fraktioiden integrointi.

Rationaalisen fraktion integroimiseksi on välttämätöntä hajottaa alkeisiin fraktioihin.

Lause: Jos
- Oikea rationaalinen fraktio, jonka nimittäjä (x) on edustettuna lineaaristen ja kvadraattisten kertoimien tuotteena (huomamme, että tässä muodossa voidaan edustaa mitä tahansa polynomia, joilla on voimassa olevat kertoimet: P.(x.) = (x. - a.)  …(x. - b.)  (x. 2 + px. + q.)  …(x. 2 + rx + s.)  ), sitten tämä fraktio voidaan hajottaa alkeisessa järjestelmässä:

missä i, b i, m i, n i, r i, s i ovat joitakin pysyviä arvoja.

Rationaalisten fraktioiden integroitumisessa se turvautuvat alkuperän alkuperäisen fraktion hajoamiseen. Jos haluat löytää suuruuden i, b i, m i, n i, r i, s i, käytä niin sanottua epävarmoiden kertoimien menetelmäJonka ydin on se, että kahdella polynomilla on sama kuin sama, se on välttämätöntä ja riittävän yhtä suuri kuin kertoimet, joilla on samat tutkinnot x.

Tämän menetelmän soveltaminen Harkitaan tietyllä esimerkissä.

Esimerkki.

Kun johtavat yhteiseen nimittäjälle ja vastaavat vastaavat numerot, saamme:

Esimerkki.

Koska Fraktio on väärä, sitten sen pitäisi korostaa koko osaa:

6x5 - 8x 4 - 25x 3 + 20x 2 - 76x- 7 3x 3 - 4x 2 - 17x + 6

6x 5 - 8x 4 - 34x 3 + 12x 2 2x 2 + 3

9x 3 + 8x 2 - 76x - 7

9x 3 - 12x 2 - 51x +18

20x 2 - 25x - 25

Levitä tuloksena olevan fraktion nimittäjä kertoimilla. Voidaan nähdä, että X \u003d 3-nimittäjä Fraci muuttuu nollaksi. Sitten:

3x 3 - 4x 2 - 17x + 6x- 3

3x 3 - 9x 2 3x 2 + 5x- 2

Siten 3x 3 - 4x 2 - 17x + 6 \u003d (x-3) (3x 2 + 5x- 2) \u003d (x-3) (x + 2) (3x-1). Sitten:

Jotta vältettäisiin, kun löydät määrittelemättömiä julkistamiskertoimia, ryhmittele ja ratkaista yhtälöjärjestelmä (joka joissakin tapauksissa se voi olla melko suuri) käytetty niin sanottu mielivaltaiset arvot. Menetelmän ydin on se, että edellä mainittu ilmentyminen on vuorotellen jonkin verran (epävarmojen kertoimien lukumäärän mukaan) mielivaltaisten arvojen X mukaan. Laskelmien yksinkertaistamiseksi se hyväksytään mielivaltaisina arvoina ottamaan pisteitä, joissa denomoter on nolla, ts. Asiassa - 3, -2, 1/3. Saamme:

Saan vihdoin:

Esimerkki.

Etsi epävarmoja kertoimia:

Sitten määritetyn kiinteän aineen arvo:

Integroidaan joitakin trigonometria

toiminnot.

Trigonometristen toimintojen integraalit voivat olla äärettömän paljon. Suurin osa näistä integraaleista ei voida laskea analyyttisesti, joten harkitse joitakin tärkeimmät tyypit Toiminnot, jotka voidaan aina integroida.

Integraalinen näkymä
.

Tässä R - joidenkin järkevän toiminnon nimeäminen Variablessinxacosxista.

Tämän lajin integraalit lasketaan korvaamalla
. Tämän korvauksen avulla voit muuntaa trigonometrisen toiminnon järkeväksi.

Sitten

Tällä tavalla:

Edellä kuvattua muutosta kutsutaan universal Trigonometrinen korvaaminen.

Esimerkki.

Tämän korvauksen epäilemätön etu on se, että on aina mahdollista muuntaa trigonometrinen toiminta järkeväksi ja laskea vastaava integraali. Haitat ovat se, että muunnettaessa se voi osoittautua melko monimutkainen järkevä tehtävä, jonka integraatio kestää paljon aikaa ja voimaa.

Jos kuitenkin on mahdotonta soveltaa muuttujan järkevämmän korvaamisen, tämä menetelmä on ainoa intensiivinen.

Esimerkki.

Integraalinen näkymä
jos

toimintoR.cosx.

Huolimatta mahdollisuudesta laskea tällainen integraali universaalisella trigonometrisella korvaamisella, järkevämpi substituution soveltamiseksi t. = sinx..

Toiminto
se voi sisältää niin monta tasaisessa asteessa, ja siksi se voidaan muuntaa rasittavana funktiona RATIDIDINX.

Esimerkki.

Yleisesti ottaen tämän menetelmän käyttöä varten tarvitaan vain funktiota suhteessa kosiiniin ja funktioon sisältyvän sinian aste voi olla mikä tahansa sekä murto-alueella.

Integraalinen näkymä
jos

toimintoR. on outoasinx..

Analogisesti edellä kuvattu tapaus, korvaaminen t. = cosx.

Esimerkki.

Integraalinen näkymä

toimintoR. vieläkinsinx. jacosx.

RV-toiminnon muuntamiseksi korvataan korvaaminen

t \u003d TGX.

Esimerkki.

Integraaliset teokset sinusit ja kosini

eri argumentit.

Riippuen tuotteen tyypistä, sovelletaan yksi kolmesta kaavoista:

Esimerkki.

Joskus trigonometristen toimintojen integroinnissa on kätevää käyttää tunnettuja trigonometrisia kaavoja toimintojen järjestyksen vähentämiseksi.

Esimerkki.

Joskus joitakin ei-standardi-tekniikoita sovelletaan.

Esimerkki.

Jonkin irrationaalisten toimintojen integrointi.

Jokaisella irrationaalisilla toiminnolla ei voi olla integroitu perustoiminnot. Jos haluat löytää irrationaalisen toiminnon integraalin, käytä korvausta, joka mahdollistaa tehtävän muuntamisen järkeväksi, jonka integraali voidaan aina löytää.

Harkitse joitain tekniikoita erilaisten irrationaalisten toimintojen integroimiseksi.

Integraalinen näkymä
missän.- luonnollinen luku.

Korvauksen avulla
toiminto järkeistää.

Esimerkki.

Jos irrationaalisen toiminnan koostumus sisältää eri asteiden juuret, uusi muuttuja, järkevästi ottaa asteen juuret, jotka ovat yhtä suurimpia yhteensä useita ekspressioon sisältyvät juuret.

Me havainnollisemme tämän esimerkissä.

Esimerkki.

Binomine-erojen integrointi.

Määritelmä: Bininominaleronimeltään ilmaisu

x. m. (a. + bX. n. ) p. dX.

missä m., n., ja p.- järkevä määrä.

Kuten Academemian Chebyshev P.L. (1821-1894), integroitu binomine-differentiaalista voidaan ilmaista alkeellisella toiminnoilla vain seuraavissa kolmessa tapauksessa:

Jos r- kokonaisluku, integraali järkeistetään korvaamalla

Missä - yhteinen nimittäjä m.ja n..

Integraalien ratkaisu on tehtävä on kevyt, mutta vain valittuna. Tämä artikkeli on niille, jotka haluavat oppia ymmärtämään integraalit, mutta ei tiedä mitään niistä tai lähes mitään. Integraali ... Miksi sitä tarvitaan? Kuinka laskea se? Mikä on tietty ja määrittelemätön integraali? Jos ainoa integraalinen sovellus, joka tunnetaan, on saada virkkaus kiinteän kuvakkeen muodossa. Jotain hyödyllistä vaikea päästä paikkoihin, sitten tervetuloa! Opi ratkaisemaan integraalit ja miksi ilman sitä on mahdotonta tehdä.

Tutkimme "integraalin" käsitettä

Integraatio oli tunnettu muinaisessa Egyptissä. Tietenkään, ei moderni video, mutta silti. Sittemmin matematiikka kirjoitti paljon kirjoja tästä aiheesta. Erityisen erottuva Newton ja Leignits Mutta asioiden olemus ei ole muuttunut. Kuinka ymmärtää integraalit tyhjästä? Ei missään tapauksessa! Tämän aiheen ymmärtämiseksi matemaattisen analyysin perustana tarvitaan edelleen. Nämä perustiedot löytyvät blogissamme.

Epävarma integraali

Olkaamme jonkinlaista toimintaa f (x) .

Epävarma Integraalitoiminto f (x) Tätä ominaisuutta kutsutaan F (x) , jonka johdannainen on yhtä suuri kuin funktio f (x) .

Toisin sanoen integraali on johdannainen päinvastoin tai primitiivisesti. Muuten, miten lukea artikkelissamme.

Ennustetut ovat olemassa kaikkiin jatkuviin toimintoihin. Myös vakiomerkkiä lisätään usein ensisijaiseen, koska johdannaiset vaihtelevat vakiona samanaikaisesti. Integraalin löytämisprosessi kutsutaan integroinniksi.

Yksinkertainen esimerkki:

Jos haluat jatkuvasti laskea primitiivisiä perustoimintoja, on kätevää vähentää taulukkoa ja käyttää valmiita arvoja:

Tietty kiinteä

Ottaa sopimus integraalin käsitteen kanssa, me käsittelemme äärettömän pieniä arvoja. Integraali auttaa laskemaan kuvion, inhomogeenisen kehon massa, joka kulkee epätasaisen liikkeen polun alla ja paljon muuta. On muistettava, että integraali on äärettömän määrä suuri numero Äärettömän pienet ehdot.

Esimerkkinä kuvittele jonkin toiminnon aikataulu. Kuinka löytää alueen luvut rajoittavat funktion kaaviossa?

Integraalin avulla! Jaamme curvilinear trapetsium, rajoittaa koordinaatti-akselit ja funktion kaavio, äärettömillä pienillä segmenteillä. Siten luku jaetaan ohuiksi sarakkeiksi. Sarakkeiden alueen summa on trapezoidin alue. Muista kuitenkin, että tällainen laskelma antaa esimerkinomaisen tuloksen. Mitä pienempi segmentit ovat jo olemassa, tarkempi on laskelma. Jos vähennämme heitä siinä määrin, että pituus pyrkii nollaan, segmenttien määrä pyrkii kuvan alueelle. Tämä on erityinen integraali, joka on kirjoitettu seuraavasti:

Pisteitä A ja B kutsutaan integraatiorajoiksi.

Baria Alibasov ja ryhmä "Integraaliset"

Muuten! Lukijillemme nyt on 10% alennus

Säännöt dummiesintegraalien laskemiseksi

Epävarman integraalin ominaisuudet

Kuinka ratkaista määrittelemätön integraali? Täällä tarkastelemme epävarman integraalin ominaisuuksia, jotka ovat hyödyllisiä ratkaisemaan esimerkkejä.

Integraalin johdannainen on yhtä suuri kuin integranditoiminto:

Vakio voidaan tehdä kiinteästä merkistä:

Summan integraali on yhtä suuri kuin integraalien määrä. Myös myös ero:

Tiettyyn integraalin ominaisuudet

Lineaarisuus:

Integroitu merkki muuttuu, jos integraatiorajat vaihdetaan:

Varten minkä tahansa Pisteet a., b. ja peräkkäin:

Olemme jo huomanneet, että tietty kiinteä on summan raja. Mutta miten saada erityinen arvo ratkaisemaan esimerkkiä? Tätä varten on Newton-Leibnic Formula:

Esimerkkejä integraalisten ratkaisuista

Alla on useita esimerkkejä epävarmoista integraalista. Suosittelemme, että ymmärrät itsenäisesti ratkaisun hienovaraisuuksia, ja jos jotain on käsittämätöntä, pyydä kysymyksiä kommenteissa.

Materiaalin varmistamiseksi katso videota siitä, miten integraalit ratkaistaan \u200b\u200bkäytännössä. Älä epätoivoa, jos kiinteää ei ole annettu välittömästi. Kysy, ja he kertovat sinulle laskemisesta integraalit, jotka tuntevat itsensä. Apua, kaikki kolminkertaiset tai kaarevat olennainen suljettu pinta tulee voimat.

Etsi määrittelemätön integraali (monet ensisijaiset tai "anti-derivatiiviset") tarkoittaa palauttamaan toiminnon tämän toiminnon tunnetun johdannaisen mukaisesti. Palautettu kertolasku F.(x.) + Peräkkäin Toiminnasta f.(x.) ottaa huomioon integraation vakio C.. Materiaalipisteen (johdannaisen) nopeuden mukaan tämän kohdan (primitiivinen) liikkumislaki voidaan palauttaa; Nopeuttamalla pisteen liikkumista - sen nopeus ja liikkumislaki. Kuten voidaan nähdä, integraatio on laaja kenttä fysiikan Sherlock Holmesin toiminnalle. Kyllä, ja taloudessa monet käsitteet ovat edustettuina toimintojen ja niiden johdannaisten kautta, ja siksi esimerkiksi on mahdollista palauttaa tuotteen tilavuus tiettyyn ajankohtana (johdannainen) palauttamaan asianmukaisen ajan myötä annetut tuotteet .

Löytää määrittelemätön integraali, vaaditaan melko pieni joukko perusintegraation kaavoja. Mutta sen sijainnin prosessi on paljon vaikeampaa kuin näiden kaavojen soveltaminen. Kaikki monimutkaisuus viittaa olemaan integraatiota vaan tuoda integroitu ilmentyminen tähän lajeihin, mikä mahdollistaa määräämättömän integraalin edellä mainittujen edellä mainittujen kaavojen kanssa. Tämä tarkoittaa sitä, että integraatiokäytännön aloittamiseksi sinun on aktivoitava lukiossa saadut ilmaisun muuntotaidot.

Opi löytämään integraaleja, joita käytämme ominaisuudet ja taulukko epävarmoista integraalista Tämän aiheen peruskäsitteistä (avautuu uuteen ikkunaan).

On olemassa useita menetelmiä integraalin löytämiseksi, joista muuttujan korvaamismenetelmä ja integrointimenetelmä osissa - Pakollinen herrasmiehen joukko kaikille, jotka menestyksekkäästi läpäisivät korkeimman matematiikan. Integraation aloittaminen on kuitenkin hyödyllisempi ja miellyttävämpää hajoamismenetelmän avulla, joka perustuu seuraaviin kahteen teoreen määräämättömän integraalin ominaisuuksista, jotka ovat helposti viitattavaa.

Teorem 3.Integraandin pysyvä kerroin voidaan tehdä merkkinä määräämättömäksi integraaliseksi, ts.

Teorem 4.Lopettavien toimintojen algebrallisen määrän määräämättömyys on yhtä suuri kuin näiden toimintojen määräämättömien integraalien algebrallinen summa, ts.

(2)

Lisäksi seuraava sääntö voi olla hyödyllinen integraatiossa: jos integraand-toiminnon ilmaisu sisältää pysyvän kerrannon, niin primitiivisen ekspressiota hallitsee numero, kääntää vakiotekijä, joka on

(3)

Koska tämä oppitunti otetaan käyttöön integraation tehtävien ratkaisemiseksi, on tärkeää huomata kaksi asiaa, jotka joko jo hyvin alkuvaiheTai jonkin verran myöhemmin he voivat yllättää sinut. Yllätys johtuu siitä, että integraatio - käänteinen erilaistumistoiminta ja epävarma integraali voidaan perustellusti kutsua "anti-johdannaiseksi".

Ensimmäinen asia, jota ei pitäisi olla yllättynyt integraatiosta. Integraalisessa taulukossa on olemassa kaavoja, joilla ei ole analogeja johdannaispöydän kaavojen kesken . Nämä ovat seuraavat kaavat:

On kuitenkin mahdollista varmistaa, että näiden kaavojen oikeat osat vastaavat vastaavat integroidut toiminnot samanaikaisesti.

Toinen asia, jota ei pitäisi olla yllättynyt integraatiosta. Vaikka minkä tahansa alkeisfunktion johdannainen on myös alkeisfunktio, määrittelemättömät integraalit joistakin elementaarisista toiminnoista eivät ole enää peruskohtia. . Esimerkkejä tällaisista integraaleista voivat olla seuraavat:

Integraatiotekniikoiden kehittämisessä käytetään seuraavia taitoja: fraktioiden vähentäminen, jakamalla polynomin jakaminen fraktiivisessa numerossa yksisuuntaisessa nimittäjän (määräämättömien integraalien määrän saamiseksi), juurien muuntaminen , kertolasku on kertynyt polynomille, tuhota. Nämä taidot ovat tarpeen integraantin muutoksessa, minkä seurauksena on hankittava integraaliseen taulukossa olevien integraalien määrä.

Löydämme loputtomia integraaleja yhdessä

Esimerkki 1.Löytää epävarma integraali

Päätös. Näemme polynomin integraandin ekspression nimittäjän, jossa X on neliössä. Tämä on melkein uskollinen merkki, jonka voit soveltaa taulukkoa integraalia 21 (seurauksena Arctangent). Tehdään kahdesti kerranneksestä nimittäjältä (kiinteistö on kiinteä - pysyvä kertoimen voidaan ottaa pois kiinteästä merkistä, edellä mainittiin teoremina 3). Kaiken tämän tuloksen:

Nyt nimittäjässä neliöiden summa, mikä tarkoittaa, että voimme soveltaa mainittua taulukkoa integraalia. Lopuksi saat vastauksen:

Esimerkki 2.Löytää epävarma integraali

Päätös. Käytämme uudelleen teoremia 3 - kiinteistön kiinteistö, jonka perusteella jatkuva kertoimen voidaan tehdä kiinteäksi:

Käytämme kaavaa 7 integraalisesta taulukosta (vaihteleva asteittain) integraand-toiminnolle:

Vähennämme tuloksena olevia fraktioita ja ennen loppua vastausta:

Esimerkki 3.Löytää epävarma integraali

Päätös. Ensimmäisen teoreen 4 ja sitten teoremin 3 ominaisuudet, löydämme tämän integraalin kolmen integraalin summana:

Kaikki kolme integroitua vastaanotetusta - taulukko. Käytämme kaavaa (7) integraalisesta taulukosta n. = 1/2, n. \u003d 2 I. n. \u003d 1/5 ja sitten

yhdistää kaikki kolme mielivaltaista vakiota, jotka otettiin käyttöön, kun kolme integraalia sijaitsevat. Siksi vastaavissa tilanteissa olisi annettava vain yksi mielivaltainen pysyvä (vakio) integraatio.

Esimerkki 4.Löytää epävarma integraali

Päätös. Kun integroidun fraktion nimittäjä - Unrochene, voimme minimoida numerointi nimittäjälle. Alkuperäinen integraali on tullut kaksi integraalia:

Taulukon integraalin soveltaminen muutetaan juuret tutkintoon ja nyt lopullinen vastaus on:

Jatkamme edelleen määrittelemättömiä integraaleja yhdessä

Esimerkki 7.Löytää epävarma integraali

Päätös. Jos muutat reaktiivisen toiminnon, pystyttämällä kierretty neliöön ja jakamalla numeroimittaja nimittäjälle, alkuperäinen integraali tulee kolmen integraalin summa.

Tieteen integraalien ratkaisemisprosessi nimestä "Matematiikka" on integraatio. Integraation avulla voit löytää joitakin fyysiset määrät: Alue, tilavuus, ruumiinpaino ja paljon muuta.

Integraalit ovat epävarmoja ja määriteltyjä. Harkitse tietyn kiinteän aineen tyyppiä ja yritä ymmärtää sen fyysinen merkitys. Näyttää siltä, \u200b\u200bettä tässä muodossa: $$ \\ int ^ a _b f (x) DX $$. Erottuva piirre Kirjoittamalla erityinen integraali epävarmasta siitä, että integraatio rajoittaa A ja B. Nyt selvitämme, mitä he tarvitsevat, ja se tarkoittaa edelleen tiettyä kiinteää. Geometrisessa mielessä tällainen kiinteä yhtä suuri kuin neliö Kuviot rajoittavat käyrä f (x), linjat A ja B ja akseli Oh.

Kuvio 1 osoittaa, että tietty integraali on sama alue, joka on maalattu harmaa. Katsotaanpa se yksinkertaisimmalla esimerkissä. Löydämme kuvan alla olevan kuvan alueen integroinnin alla ja laske se tavanomaisella tavalla moninkertaistaa leveyden pituus.

Kuvio 2 esittää, että $ y \u003d f (x) \u003d $ 3, $ a \u003d 1, b \u003d $ 2. Nyt korvaamme ne integraalin määritelmään, saamme, että $$ s \u003d \\ int _a ^ bf (x) dx \u003d \\ int _1 ^ 2 3 dx \u003d $$$$ \u003d (3x) \\ big | _1 ^ 2 \u003d (3 \\ CDOT 2) - (3 \\ CDOT 1) \u003d $$$$ \u003d 6-3 \u003d 3 \\ teksti (ur) ^ 2 $$ Katsotaan tavallisella tavalla. Meidän tapauksessamme pituus \u003d 3, leveys kuvion \u003d 1. $$ s \u003d \\ teksti (pituus) \\ CDOT \\ teksti (leveys) \u003d 3 \\ CDOT 1 \u003d 3 \\ teksti (ur) ^ 2 $$ kuin sinä näkee, kaikki täysin samanaikaisesti.

Kysymys tulee näkyviin: Miten ratkaista integraalit ovat epävarmoja ja mikä merkitys on? Tällaisten integraalien ratkaisu on alkeellisten toimintojen havainto. Tämä prosessi on päinvastoin löytää johdannainen. Jotta voit löytää ensisijainen, voit käyttää apua ongelmien ratkaisemisessa matematiikan ongelmien ratkaisemisessa tai sinun on itsenäisesti ajaa integraalien ominaisuuksia ja yksinkertaisimpien perustoimintojen integraatiotaulukko. Löytäminen on niin $$ \\ int f (x) dx \u003d f (x) + c \\ teksti (missä) f (x) $ on primitiivinen $ f (x), C \u003d const $.

Integraalin ratkaisemiseksi sinun on integroida funktio $ f (x) $ muuttujan kautta. Jos toiminto on taulukko, vastaus tallennetaan sopiva video. Jos ei, prosessi vähennetään taulukkotoiminnon hankkimiseksi funktiosta $ f (x) $ Cunning matemaattisista muutoksista. Tätä varten erilaiset menetelmät ja ominaisuudet, jotka katsovat edelleen.

Joten, tee nyt algoritmi kuinka ratkaista integraalit dummiesille?

Algoritmi integraalien laskemiseksi

Opimme tietty kiinteä tai ei.
Jos epäilemättä sinun täytyy löytää tulostustoiminto $ F (x) $ integroidusta $ f (x) $ Matemaattisista muutoksista, jotka johtavat taulukkolomakkeeseen $ f (x) $.
Jos määritetään, sinun on suoritettava vaihe 2 ja korvaa sitten $ a $ ja $ b $ primitiivisen toiminnon $ f (x) $. Mitä kaavaa on tehdä tämä artikkelissa "Newtonin Formula Leibnitsa".

Esimerkkejä ratkaisuista

Joten opit, kuinka ratkaista integraalit dummiesille, esimerkkejä integraalien ratkaisemisesta puretaan hyllyjä. He oppivat fyysistä ja geometrista merkitystä. Päätösmenetelmät esitetään muissa artikloissa.