Online-laskin: laske määrittelemätön integraali (antiderivatiivi)

R-muotoisten rationaalisten funktioiden integroimiseksi (sin x, cos x) käytetään substituutiota, jota kutsutaan universaaliksi trigonometriseksi substituutioksi. Sitten . Yleinen trigonometrinen substituutio on usein laskennallisesti intensiivistä. Siksi, aina kun mahdollista, käytä seuraavia vaihtoja.

Toimintojen integrointi rationaalisesti trigonometrisista funktioista riippuen

1. Integraalit muotoa ∫ sin n xdx, ∫ cos n xdx, n> 0
a) Jos n on pariton, niin yksi sinx-aste (tai cosx) tulee syöttää differentiaalin etumerkin alle ja jäljellä olevasta parillisesta asteesta siirrytään vastakkaiseen funktioon.
b) Jos n on parillinen, niin käytämme astevähennyskaavoja
2. Integraalit muotoa ∫ tg n xdx, ∫ ctg n xdx, missä n on kokonaisluku.
Sinun on käytettävä kaavoja

3. Integraalit muotoa ∫ sin n x · cos m x dx
a) Olkoon m ja n eri pariteetti. Käytämme substituutiota t = sin x, jos n on pariton, tai t = cos x, jos m on pariton.
b) Jos m ja n ovat parillisia, käytetään astevähennyskaavoja
2sin 2 x = 1-cos2x, 2cos 2 x = 1 + cos2x.
4. Muodon integraalit

Jos luvut m ja n ovat samaa pariteettia, käytetään substituutiota t = tg x. Usein on kätevää käyttää trigonometrista yksikkötekniikkaa.
5.∫ sin (nx) cos (mx) dx, ∫ cos (mx) cos (nx) dx, ∫ sin (mx) sin (nx) dx
Käytämme kaavoja trigonometristen funktioiden tulon muuntamiseksi niiden summaksi

Esimerkkejä
1. Arvioi integraali ∫ cos 4 x · sin 3 xdx.
Teemme substituution cos (x) = t. Sitten ∫ cos 4 x sin 3 xdx =
2. Laske integraali.
Tekemällä muutoksen sin x = t, saamme

3. Etsi integraali.
Teemme muutoksen tg (x) = t. Korvaamalla saamme

Huomaa, että korvaava ctg (x) = t on kätevämpi tässä, siitä lähtien ja siksi

Lausekkeiden, kuten R (sinx, cosx) integrointi

Esimerkki #1. Laske integraalit:

Ratkaisu.
a) Muodon R (sinx, cosx) lausekkeiden integraatiot, joissa R on sin x:n ja cos x:n rationaalinen funktio, muunnetaan rationaalisten funktioiden integraaleiksi käyttämällä universaalia trigonometristä substituutiota tg (x / 2) = t.
Sitten meillä on

Universaali trigonometrinen substituutio mahdollistaa muodon ∫ R (sinx, cosx) dx integraalin siirtymisen rationaalisen murtofunktion integraaliin, mutta usein tällainen substituutio johtaa hankalia lausekkeita. klo tietyt ehdot yksinkertaisemmat vaihdot ovat tehokkaita:

Jos yhtälö R (-sin x, cos x) = -R (sin x, cos x) dx pätee, käytetään substituutiota cos x = t.
Jos yhtälö R (sin x, -cos x) = -R (sin x, cos x) dx pätee, niin substituutio sin x = t.
Jos yhtälö R (-sin x, -cos x) = R (sin x, cos x) dx pätee, niin substituutio tgx = t tai ctg x = t.

Tässä tapauksessa integraalin löytämiseksi

soveltaa universaalia trigonometristä substituutiota tg (x / 2) = t.
Sitten
Koska murto-osa on virheellinen, niin koko osan erottamalla saamme
Palaamme alkuperäiseen muuttujaan

b) Harkitse toisessa esimerkissä tärkeää erikoistapaus kun yleinen lauseke ∫ R (sinx, cosx) dx on ∫ sin m x cos n xdx. Tässä nimenomaisessa tapauksessa, jos m on pariton, tulee käyttää substituutiota cos x = t. Jos n on pariton, tulee käyttää substituutiota sin x = t. Jos molemmat tyypin eksponentit ovat jopa ei-negatiivisia lukuja (erityisesti yksi niistä voi olla nolla), korvaus suoritetaan tunnettujen trigonometristen kaavojen mukaisesti:
Tässä tapauksessa

Vastaus:

Trigonometriset peruskaavat ja peruskorvaukset esitetään. Esitetään menetelmiä trigonometristen funktioiden integroimiseksi - rationaalisten funktioiden integrointi, sin x:n ja cos x:n potenssifunktioiden tulo, polynomin, eksponentiaalin ja sinin tai kosinin tulo, käänteisten trigonometristen funktioiden integrointi. Tämä vaikuttaa epätyypillisiin menetelmiin.

Trigonometriset peruskaavat

Alla on joitain trigonometrisiä kaavoja, joita saatat tarvita integroitaessa trigonometrisiä toimintoja.

sin 2 a + cos 2 a = 1

sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b
cos (a + b) = cos a cos b - sin a sin b
sin 2 a = 2 sin a cos a
cos 2 a = cos 2 a - sin 2 a = 2 cos 2 a - 1 = 1 - 2 sin 2 a

Vakiokorvaukset integroitaessa trigonometrisiä funktioita

Tässä tarkastellaan standardikorvauksia, joiden avulla useimmissa tapauksissa suoritetaan trigonometristen funktioiden integrointi.

Korvaus t = sin x

Muunnos suoritetaan seuraavien kaavojen mukaan:

cos x dx = dt;
sin x = t; cos 2 x = 1 - t 2;
;

Korvaus t = cos x

sin x dx = - dt;
cos x = t; sin 2 x = 1 - t 2;
;

Korvaus t = tg x

; ;
tg x = t; ;
; .

Korvaus t = ctg x

; ;
ctg x = t; ;
; .

Korvaus t = tg (x / 2)

;
;
;
; ;
; .

Käänteisten trigonometristen funktioiden integrointi

Integraalit sisältävät käänteiset trigonometriset funktiot
arcsin φ, arctan φ, jne., joissa φ on jokin x:n algebrallinen funktio, integroidaan usein osittain, asettamalla u = arcsin φ, u = arctan φ, jne.

Esimerkkejä tällaisista integraaleista:
, , .

Standardimenetelmät trigonometristen funktioiden integroimiseksi

Yleinen lähestymistapa

Ensin integrandi on tarvittaessa muutettava siten, että trigonometriset funktiot riippuvat yhdestä argumentista, joka osuisi yhteen integrointimuuttujan kanssa.

Esimerkiksi, jos integrandi riippuu synti (x + a) ja cos (x + b), sinun tulee suorittaa muunnos:
cos (x + b) = cos (x + a - (a-b)) = cos (x + a) cos (b-a) + synti (x + a) synti (b-a).
Tee sitten muutos z = x + a. Tämän seurauksena trigonometriset funktiot riippuvat vain integroinnin muuttujasta z.

Kun trigonometriset funktiot riippuvat yhdestä argumentista, joka osuu yhteen integroinnin muuttujan kanssa (oletetaan, että tämä on z), eli integrandi koostuu vain tyyppisistä funktioista sin z, cos z, tg z, ctg z, sinun on suoritettava vaihto
.
Tämä substituutio johtaa rationaalisten tai irrationaalisten funktioiden integrointiin (jos on juuria) ja mahdollistaa integraalin laskemisen, jos se on integroitu alkeisfunktioihin.

Usein löytyy kuitenkin muita menetelmiä, joilla integraali voidaan laskea lyhyemmällä tavalla integrandin ominaisuuksien perusteella. Alla on yhteenveto tärkeimmistä tällaisista menetelmistä.

Integrointimenetelmät sin x:n ja cos x:n rationaalisille funktioille

Rationaaliset funktiot alkaen synti x ja cos x ovat funktioita, jotka on johdettu synti x, cos x ja kaikki vakiot, jotka käyttävät yhteen-, vähennys-, kerto-, jakolasku- ja nostotoimintoja kokonaislukupotenssiin. Ne on merkitty seuraavasti: R (sin x, cos x)... Tämä voi sisältää myös tangentit ja kotangentit, koska ne muodostetaan jakamalla sini kosinilla ja päinvastoin.
Rationaalisten funktioiden integraalit ovat:
.

Menetelmät rationaalisten trigonometristen funktioiden integroimiseksi ovat seuraavat.
1) Korvaus johtaa aina rationaalisen murtoluvun integraaliin. Joissakin tapauksissa on kuitenkin korvauksia (ne on esitetty alla), jotka johtavat lyhyempiin laskelmiin.
2) Jos R (sin x, cos x) cos x → - cos x synti x.
3) Jos R (sin x, cos x) kerrottuna -1:llä vaihdettaessa sin x → - sin x, niin substituutio t = cos x.
4) Jos R (sin x, cos x) ei muutu kuin samanaikaisen vaihdon yhteydessä cos x → - cos x, ja sin x → - sin x, niin substituutio t = tg x tai t = ctg x.

Esimerkkejä:
, , .

Cos x:n ja sin x:n potenssifunktioiden tulo

Lomakkeen integraalit

ovat rationaalisten trigonometristen funktioiden integraaleja. Siksi kohdassa kuvatut menetelmät edellinen jakso... Alla tarkastellaan menetelmiä, jotka perustuvat tällaisten integraalien erityispiirteisiin.

Jos m ja n ovat rationaalisia lukuja, sitten yksi substituutioista t = synti x tai t = cos x integraali pelkistyy differentiaalibinomiaalin integraaliksi.

Jos m ja n ovat kokonaislukuja, integrointi suoritetaan käyttämällä pelkistyskaavoja:

;
;
;
.

Esimerkki:
.

Polynomin ja sinin tai kosinin tulon integraalit

Lomakkeen integraalit:
, ,
missä P (x) on x:n polynomi, integroidaan osilla. Tässä tapauksessa saadaan seuraavat kaavat:

;
.

Esimerkkejä:
, .

Polynomin, eksponentin ja sinin tai kosinin tulon integraalit

Lomakkeen integraalit:
, ,
jossa P (x) on x:n polynomi, integroidaan Eulerin kaavalla
e iax = cos ax + isin ax(jossa i 2 = - 1 ).
Tätä varten integraali lasketaan edellisessä kappaleessa kuvatulla menetelmällä
.
Erottamalla reaali- ja imaginaariosa tuloksesta saadaan alkuperäiset integraalit.

Esimerkki:
.

Epätyypilliset menetelmät trigonometristen funktioiden integroimiseksi

Alla on joukko epätyypillisiä menetelmiä, joita voidaan käyttää trigonometristen funktioiden integroinnin suorittamiseen tai yksinkertaistamiseen.

Riippuvuus (a sin x + b cos x)

Jos integrandi riippuu vain a sin x + b cos x, niin on hyödyllistä käyttää kaavaa:
,
missä .

esimerkiksi

Murto-osan hajottaminen sinistä ja kosineista yksinkertaisemmiksi jakeiksi

Harkitse integraalia
.
Yksinkertaisin tapa integroida on laajentaa murto yksinkertaisemmiksi muunnolla:
sin (a - b) = sin (x + a - (x + b)) = sin (x + a) cos (x + b) - cos (x + a) sin (x + b)

Ensimmäisen asteen murtolukujen integrointi

Integraalia laskettaessa
,
on kätevää valita murto-osan kokonaislukuosa ja nimittäjän derivaatta
a 1 sin x + b 1 cos x = A (a sin x + b cos x) + B (a sin x + b cos x) ′ .
Vakiot A ja B löydetään vertaamalla vasenta ja oikeaa puolta.

Viitteet:
N.M. Gunther, R.O. Kuzmin, Kokoelma korkeamman matematiikan ongelmia, "Lan", 2003.

Tarkastellaan integraaleja, joissa integrandi on x:n ensimmäisen asteen sinien ja kosinien tulo kerrottuna eri tekijöillä, eli muodon integraalit

Käyttämällä hyvin tunnettuja trigonometrisiä kaavoja

(2)
(3)
(4)
jokainen tulo muodon (31) integraaleissa voidaan muuntaa algebralliseksi summaksi ja integroida kaavoilla

(5)

(6)

Esimerkki 1. löytö

Ratkaisu. Kaavan (2) mukaan klo

Esimerkki 2. löytö trigonometrisen funktion integraali

Ratkaisu. Kaavan (3) mukaan klo

Esimerkki 3. löytö trigonometrisen funktion integraali

Ratkaisu. Kaavan (4) mukaan klo saamme seuraavan integrandin muunnoksen:

Kaavaa (6) soveltamalla saadaan

Integraali saman argumentin sinin ja kosinin potenssien tulosta

Tarkastellaan nyt funktioiden integraaleja, jotka ovat saman argumentin sinin ja kosinin potenssien tuloja, ts.

(7)

Tietyissä tapauksissa yksi indikaattoreista ( m tai n) voi olla nolla.

Tällaisia funktioita integroitaessa käytetään sitä, että kosinin parillinen aste voidaan ilmaista sinillä ja sinin differentiaali on yhtä suuri kuin cos x dx(tai sinin parillinen aste voidaan ilmaista kosinina, ja kosinin differentiaali on - sin x dx ) .

On syytä erottaa kaksi tapausta: 1) vähintään yksi indikaattoreista m ja n outo; 2) molemmat indikaattorit ovat parillisia.

Tapahtukoon ensimmäinen tapaus, nimittäin eksponentti n = 2k+1 on pariton. Sitten sen huomioon ottaen

Integrandi esitetään siten, että yksi sen osa on vain sinin funktio ja toinen on sinin differentiaali. Nyt muuttujakorvauksella t= synti x ratkaisu pelkistetään integroimaan polynomin suhteen t... Jos vain tutkinto m on pariton, jatka sitten samalla tavalla erottamalla tekijä sin x, joka ilmaisee loput integrandista cos-arvona x ja olettaen t= cos x... Tätä tekniikkaa voidaan käyttää integroimalla sinin ja kosinin osamääräpotenssit , kun ainakin yksi indikaattoreista on pariton ... Asia on siinä sinin ja kosinin asteiden osamäärä on heidän tulonsa erikoistapaus : kun trigonometrinen funktio on integrandin nimittäjässä, sen aste on negatiivinen. Mutta on myös tapauksia, joissa tietyt trigonometriset funktiot ovat vain parillisia. Tietoja heistä - seuraava kappale.

Jos molemmat indikaattorit m ja n- parillinen, sitten käyttämällä trigonometrisiä kaavoja

pienennä sinin ja kosinin eksponenttia, minkä jälkeen saadaan samantyyppinen integraali kuin edellä. Siksi integraatiota tulisi jatkaa samalla tavalla. Jos yksi parillisista indikaattoreista on negatiivinen, eli otetaan huomioon sinin ja kosinin parillisten asteiden osamäärä, tämä menetelmä ei sovellu ... Sitten käytetään muuttujan substituutiota riippuen siitä, kuinka integrandi voidaan muuntaa. Tällaista tapausta tarkastellaan seuraavassa osiossa.

Esimerkki 4. löytö trigonometrisen funktion integraali

Ratkaisu. Kosinin eksponentti on pariton. Siksi me edustamme

t= synti x(sitten dt= cos x dx ). Sitten saamme

Palaamme vanhaan muuttujaan, löydämme lopulta

Esimerkki 5. löytö trigonometrisen funktion integraali

Ratkaisu. Kosinin eksponentti, kuten edellisessä esimerkissä, on pariton, mutta enemmän. Kuvitella

ja muuta muuttujaa t= synti x(sitten dt= cos x dx ). Sitten saamme

Laajennamme sulkuja

ja saada

Palattuaan vanhaan muuttujaan, saamme ratkaisun

Esimerkki 6. löytö trigonometrisen funktion integraali

Ratkaisu. Sini- ja kosinieksponentit ovat parillisia. Siksi muunnamme integrandin seuraavasti:

Sitten saamme

Toisessa integraalissa muutamme muuttujaa asettamalla t= sin2 x... Sitten (1/2)dt= cos2 x dx ... Siten,

Lopulta saamme

Muuttujan korvausmenetelmän käyttäminen

Muuttuva korvausmenetelmä integroitaessa trigonometrisia funktioita, sitä voidaan käyttää tapauksissa, joissa integrandissa on vain sini tai vain kosini, sinin ja kosinin tulo, jossa joko sini tai kosini on ensimmäisessä potenssissa, tangentissa tai kotangentissa, sekä yhden ja saman argumentin sinin ja kosinin parillisten potenssien osamäärä. Tässä tapauksessa on mahdollista suorittaa permutaatioita ei vain syntiä x = t ja syntiä x = t mutta myös tg x = t ja ctg x = t .

Esimerkki 8. löytö trigonometrisen funktion integraali

Ratkaisu. Muutetaan muuttuja:, sitten. Tuloksena oleva integrandi integroidaan helposti integraalitaulukon yli:

Esimerkki 9. löytö trigonometrisen funktion integraali

Ratkaisu. Muutamme tangentin sinin ja kosinin suhteeksi:

Muutetaan muuttuja:, sitten. Tuloksena oleva integrandi on taulukkointegraali miinusmerkillä:

Palataksemme alkuperäiseen muuttujaan, saamme lopulta:

Esimerkki 10. löytö trigonometrisen funktion integraali

Ratkaisu. Muutetaan muuttuja:, sitten.

Muutamme integrandin soveltamaan trigonometristä identiteettiä :

Muutamme muuttujaa muistaen laittaa miinusmerkin integraalin eteen (katso yllä mikä on yhtä suuri kuin dt). Seuraavaksi laajennamme integrandin tekijöiksi ja integroimme taulukon yli:

Palataksemme alkuperäiseen muuttujaan, saamme lopulta:

Etsi itse trigonometrisen funktion integraali ja katso sitten ratkaisu

Yleinen trigonometrinen korvaaminen

Universaali trigonometrinen substituutio voidaan käyttää tapauksissa, joissa integrandi ei sovi edellisissä kappaleissa käsiteltyihin tapauksiin. Periaatteessa kun sini tai kosini (tai molemmat) ovat murtoluvun nimittäjässä. On todistettu, että sini ja kosini voidaan korvata toisella lausekkeella, joka sisältää tangentin puolet alkuperäisestä kulmasta seuraavasti:

Mutta huomaa, että universaali trigonometrinen substituutio sisältää usein melko monimutkaisia algebrallisia muunnoksia, joten on parempi käyttää sitä, kun mikään muu menetelmä ei toimi. Tarkastellaan esimerkkejä, joissa universaalin trigonometrisen substituution kanssa käytetään summaamista differentiaalimerkin alla ja määrittelemättömien kertoimien menetelmää.

Esimerkki 12. löytö trigonometrisen funktion integraali

Ratkaisu. Ratkaisu. Me käytämme universaali trigonometrinen substituutio... Sitten
.

Kerromme osoittajan ja nimittäjän murtoluvut ja siirrämme kaksi pois ja laitamme integraalimerkin eteen. Sitten

Trigonometristen funktioiden integraalit.
Esimerkkejä ratkaisuista

Tällä oppitunnilla tarkastellaan trigonometristen funktioiden integraaleja, eli integraalien täyttö on sinejä, kosineja, tangentteja ja kotangentteja erilaisissa yhdistelmissä. Kaikki esimerkit analysoidaan yksityiskohtaisesti, helposti saatavilla ja ymmärrettäviä jopa teekannulle.

Jotta trigonometristen funktioiden integraaleja voidaan tutkia menestyksekkäästi, sinun on tunnettava yksinkertaisimmat integraalit sekä hallittava joitain integrointitekniikoita. Näihin materiaaleihin voit tutustua luennoilla Epämääräinen integraali. Esimerkkejä ratkaisuista ja .

Ja nyt tarvitsemme: Integroitu pöytä, Johdannaisten taulukko ja Trigonometrisen kaavan viite... Kaikki opetusvälineet löytyy sivulta Matemaattiset kaavat ja taulukot... Suosittelen tulostamaan kaiken. Kiinnitän erityistä huomiota trigonometriset kaavat, niiden pitäisi olla silmiesi edessä- ilman tätä työn tehokkuus laskee huomattavasti.

Mutta ensin, mistä integraaleista tässä artikkelissa Ei... Lomakkeessa ei ole integraaleja - kosini, sini, kerrottuna jollain polynomilla (harvemmin jotain, jossa on tangentti tai kotangentti). Tällaiset integraalit integroidaan osittain, ja oppiaksesi menetelmän, vieraile oppitunnilla Integrointi osittain. Esimerkkejä ratkaisuista Myöskään "kaareilla" ei ole integraaleja - arctangentti, arcsini jne., ne on myös useimmiten integroitu osilla.

Kun etsitään trigonometristen funktioiden integraaleja, käytetään useita menetelmiä:

(4) Käytämme taulukkokaavaa , ainoa ero on, että "x":n sijasta meillä on monimutkainen lauseke.

Esimerkki 2

Esimerkki 3

löytö määrittelemätön integraali.

Genren klassikko niille, jotka hukkuvat testiin. Kuten luultavasti huomasit, integraalitaulukossa ei ole tangentin ja kotangentin integraalia, mutta tällaisia integraaleja löytyy kuitenkin.

(1) Käytämme trigonometristä kaavaa

(2) Tuomme funktion differentiaalin merkin alle.

(3) Käytämme taulukkointegraalia .

Esimerkki 4

Etsi epämääräinen integraali.

Tämä on esimerkki itsenäinen päätös, täydellinen ratkaisu ja vastaus - oppitunnin lopussa.

Esimerkki 5

Etsi epämääräinen integraali.

Tutkintomme nousee vähitellen =).
Ratkaisu ensin:

(1) Käytämme kaavaa

(2) Käytämme trigonometristä perusidentiteettiä , josta se seuraa .

(3) Jaa osoittajan termi nimittäjällä.

(4) Käytämme epämääräisen integraalin lineaarisuusominaisuutta.

(5) Integroimme taulukon avulla.

Esimerkki 6

Etsi epämääräinen integraali.

Tämä on esimerkki itsenäisestä ratkaisusta, täydellisestä ratkaisusta ja vastauksesta - oppitunnin lopussa.

On myös tangenttien ja kotangenttien integraaleja, jotka ovat korkeampia. Oppitunnilla tarkastellaan kuution tangentin integraalia Kuinka lasken tasaisen hahmon pinta-alan? Sivulta löytyy tangentin (kotangentin) integraalit neljännessä ja viidennessä asteessa Monimutkaiset integraalit.

Integrandin asteen vähentäminen

Tämä tekniikka toimii, kun integrandit on täytetty sinillä ja kosinilla jopa astetta. Asteen alentamiseksi käytetään trigonometrisiä kaavoja , ja lisäksi viimeistä kaavaa käytetään useammin päinvastaiseen suuntaan: .

Esimerkki 7

Etsi epämääräinen integraali.

Ratkaisu:

Periaatteessa tässä ei ole mitään uutta, paitsi että sovelsimme kaavaa (alentamalla integrandin astetta). Huomaa, että olen lyhentänyt ratkaisua. Kokemuksen kertyessä integraali löytyy suullisesti, mikä säästää aikaa ja on varsin hyväksyttävää tehtävien viimeistelyssä. Tässä tapauksessa on suositeltavaa olla kuvailematta sääntöä , otamme ensin suullisesti integraalin 1, sitten - of.

Esimerkki 8

Etsi epämääräinen integraali.

Tämä on esimerkki itsenäisestä ratkaisusta, täydellisestä ratkaisusta ja vastauksesta - oppitunnin lopussa.

Nämä ovat luvatut tutkinnon korotukset:

Esimerkki 9

Etsi epämääräinen integraali.

Ensin ratkaisu ja sitten kommentit:

(1) Valmistele integrandi soveltamaan kaavaa .

(2) Käytämme itse asiassa kaavaa.

(3) Nelitetään nimittäjä ja siirretään vakio integraalimerkin ulkopuolelle. Olisi voinut toimia hieman toisin, mutta mielestäni se on kätevämpää niin.

(4) Käytämme kaavaa

(5) Kolmannella termillä laskemme taas astetta, mutta tällä kertaa kaavalla .

(6) Esittelemme samanlaisia termejä (tässä olen jakanut termeillä ja teki lisäyksen).

(7) Oikeastaan otamme integraalin, lineaarisuussäännön ja menetelmä tuoda toiminto erotusmerkin alle suoritetaan suullisesti.

(8) Vastauksen yhdistäminen.

! Epämääräisessä integraalissa vastaus voidaan usein kirjoittaa usealla tavalla

Juuri tarkasteltavassa esimerkissä lopullinen vastaus voitaisiin kirjoittaa eri tavalla - laajentaa sulkeita ja jopa tehdä tämä jo ennen lausekkeen integrointia, eli esimerkin seuraava lopetus on melko hyväksyttävä:

On täysin mahdollista, että tämä vaihtoehto on vielä kätevämpi, selitin sen juuri, koska olin tottunut ratkaisemaan sen). Tässä on toinen tyypillinen esimerkki tee-se-itse-ratkaisusta:

Esimerkki 10

Etsi epämääräinen integraali.

Tämä esimerkki voidaan ratkaista kahdella tavalla, ja saatat saada kaksi täysin erilaista vastausta(tarkemmin sanottuna ne näyttävät täysin erilaisilta, ja matemaattisesta näkökulmasta ne ovat vastaavia). Todennäköisesti et näe eniten järkevä tapa ja kiusaa itseäsi avaussuluilla käyttämällä muita trigonometrisiä kaavoja. Useimmat tehokas ratkaisu annetaan oppitunnin lopussa.

Yhteenvetona kappaleesta päätämme: mikä tahansa muodon integraali , missä ja - jopa numero, ratkaistaan menetelmällä alentaa integrandin astetta.
Käytännössä olen törmännyt integraaleihin, joissa on 8 ja 10 astetta, ja jouduin ratkaisemaan niiden kauhean peräpukaman alentamalla astetta useaan kertaan, mikä johti pitkäkestoisiin vastauksiin.

Muuttuva korvausmenetelmä

Kuten artikkelissa mainittiin Muuttujan muutosmenetelmä määrittelemättömässä integraalissa, pääedellytys korvausmenetelmän käytölle on se, että integrandissa on jokin funktio ja sen johdannainen:
(toimii, ei välttämättä tuotteessa)

Esimerkki 11

Etsi epämääräinen integraali.

Katsomme johdannaisten taulukkoa ja huomaamme kaavat, , eli integrandissamme on funktio ja sen derivaatta. Näemme kuitenkin, että differentioinnin aikana kosini ja sini muuntuvat keskenään, ja herää kysymys: kuinka muuttaa muuttujaa ja mitä merkitä by-sini tai kosini?! Kysymys voidaan ratkaista tieteellisellä töksähdyksellä: jos suoritamme vaihdon väärin, siitä ei seuraa mitään hyvää.

Yleinen ohje: vastaavissa tapauksissa sinun on määritettävä nimittäjässä oleva funktio.

Keskeytämme ratkaisun ja vaihdamme

Nimittäjässä meillä on kaikki hyvin, kaikki riippuu vain siitä, nyt on vielä selvitettävä, mitä siitä tulee.
Tätä varten löydämme eron:

Tai lyhyesti sanottuna:
Saadusta yhtälöstä ilmaisemme suhteellisuussäännön mukaisesti tarvitsemamme lausekkeen:

Niin:

Nyt koko integrandi riippuu vain ja ratkaisua voidaan jatkaa

Valmis. Haluan muistuttaa, että korvaamisen tarkoitus on yksinkertaistaa integradia, tässä tapauksessa kaikki kiteytyi integraatioon tehotoiminto taulukon mukaan.

Ei ole sattumaa, että maalasin tämän esimerkin niin yksityiskohtaisesti, tämä tehtiin oppitunnin materiaalien toistamiseksi ja lujittamiseksi. Muuttujan muutosmenetelmä määrittelemättömässä integraalissa.

Ja nyt kaksi esimerkkiä itsenäisestä ratkaisusta:

Esimerkki 12

Etsi epämääräinen integraali.

Esimerkki 13

Etsi epämääräinen integraali.

Täydelliset ratkaisut ja vastaukset oppitunnin lopussa.

Esimerkki 14

Etsi epämääräinen integraali.

Tässä taas integrandissa on sini kosinin kanssa (funktio, jolla on derivaatta), mutta jo tuotteessa, ja syntyy dilemma - mitä pitäisi merkitä, sini vai kosini?

Voit yrittää suorittaa korvaamisen tieteellisellä poke-menetelmällä, ja jos mikään ei toimi, määritä se toiseen toimintoon, mutta siellä on:

Yleinen ohje: Sillä on tarpeen määrittää toiminto, joka on kuvaannollisesti "epämukavassa asennossa".

Näemme sen sisällä tämä esimerkki opiskelijan kosini "kärsii" tutkinnosta ja sini istuu vapaasti itsestään.

Siksi korvaamme:

Jos jollakin on edelleen vaikeuksia muuttujan korvausalgoritmin ja eron löytämisen kanssa, sinun tulee palata oppitunnille Muuttujan muutosmenetelmä määrittelemättömässä integraalissa.

Esimerkki 15

Etsi epämääräinen integraali.

Analysoimme integrandin, mitä pitäisi merkitä?
Muistamme maamerkkimme:
1) Funktio on todennäköisimmin nimittäjässä;
2) Toiminto on "hankalassa asennossa".

Muuten, nämä ohjeet eivät päde vain trigonometrisille funktioille.

Poskiontelo täyttää molemmat kriteerit (etenkin toinen), joten sen vaihtoa suositellaan. Periaatteessa vaihto voidaan jo suorittaa, mutta aluksi se olisi mukavaa selvittää, mutta mitä tehdä? Ensin "nipistetään" yksi kosini:

Varaamme "tulevaisuuden" erottelumme

Ja ilmaisemme sinin kautta käyttämällä trigonometristä perusidentiteettiä:

Tässä nyt korvaava:

Yleissääntö: Jos integrandissa yksi trigonometrisista funktioista (sini tai kosini) on sisällä outo aste, silloin on tarpeen "purrata" yksi funktio parittomasta asteesta ja nimetä toinen funktio. Puhumme vain integraaleista, joissa on kosinit ja sinit.

Tarkastetussa esimerkissä meillä oli kosini pariton aste, joten puristimme yhden kosinin asteesta ja merkitsimme sinin takana.

Esimerkki 16

Etsi epämääräinen integraali.

Asteet ovat nousussa =).
Tämä on esimerkki tee-se-itse-ratkaisusta. Täydellinen ratkaisu ja vastaus oppitunnin lopussa.

Yleinen trigonometrinen korvaaminen

Yleinen trigonometrinen substituutio on yleinen muuttujan substituutio. Voit yrittää soveltaa sitä, kun "et tiedä mitä tehdä". Mutta itse asiassa sen soveltamiseen on joitain ohjeita. Tyypillisiä integraaleja, joissa sinun on käytettävä universaalia trigonometristä substituutiota, ovat seuraavat integraalit: , , , jne.

Esimerkki 17

Etsi epämääräinen integraali.

Tässä tapauksessa universaali trigonometrinen substituutio toteutetaan seuraavalla tavalla. Korvataan:. En käytä kirjainta, vaan kirjainta, tämä ei ole jonkinlainen sääntö, se on vain, että olen taas niin tottunut ratkaisemaan.

Tästä on helpompi löytää ero tasa-arvosta, sanon:
Kiinnitän arctangentin molempiin osiin:

Kaaretangentti ja tangentti kumoavat toisensa: