Mikä on cos 2. Trigonometristen yhtälöiden ratkaisumenetelmät

Tässä artikkelissa näytämme sinulle kuinka kulman ja luvun sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin määritelmät trigonometriassa... Täällä puhumme nimityksistä, annamme esimerkkejä merkinnöistä ja annamme graafisia kuvia. Lopuksi vedetään rinnakkain trigonometrian ja geometrian sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin määritelmien välille.

Sivulla navigointi.

Sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin määritelmä

Seurataan kuinka käsite sinistä, kosinista, tangentista ja kotangentista muodostuu koulun matematiikan kurssilla. Geometrian tunneilla annetaan suorakulmaisen kolmion terävän kulman sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin määritelmät. Ja myöhemmin tutkitaan trigonometriaa, joka puhuu kiertokulman ja luvun sinistä, kosinista, tangentista ja kotangentista. Annamme kaikki nämä määritelmät, annamme esimerkkejä ja annamme tarvittavat kommentit.

Terävä kulma suorakulmaisessa kolmiossa

Geometrian kurssista tunnetaan suorakulmaisen kolmion terävän kulman sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin määritelmät. Ne on annettu suorakulmaisen kolmion sivujen suhteena. Antakaamme heidän muotoilunsa.

Määritelmä.

Terävän kulman sini suorakulmaisessa kolmiossa Onko vastakkaisen jalan suhde hypotenuusaan.

Määritelmä.

Suorakulmaisen kolmion terävän kulman kosini Onko viereisen jalan suhde hypotenuusaan.

Määritelmä.

Suorakulmaisen kolmion terävä tangentti Onko vastakkaisen jalan suhde viereiseen.

Määritelmä.

Suorakulmaisen kolmion akuutti kotangentti- Tämä on viereisen jalan suhde vastakkaiseen.

Sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin nimitykset on myös otettu käyttöön - sin, cos, tg ja ctg, vastaavasti.

Esimerkiksi, jos ABC on suorakulmainen kolmio, jolla on suora kulma C, niin terävän kulman A sini on yhtä suuri kuin vastakkaisen haaran BC suhde hypotenuusaan AB, eli sin∠A = BC / AB .

Näiden määritelmien avulla voit laskea terävän kulman sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin arvot suorakulmaisen kolmion sivujen tunnetuista pituuksista sekä sinin tunnetuista arvoista, kosini, tangentti, kotangentti ja yhden sivun pituus löytääksesi muiden sivujen pituudet. Jos esimerkiksi tietäisimme, että suorakulmaisessa kolmiossa jalka AC on 3 ja hypotenuusa AB on 7, voisimme laskea terävän kulman A kosinin arvon määritelmän mukaan: cos∠A = AC / AB = 3/7.

Kääntökulma

Trigonometriassa he alkavat tarkastella kulmaa laajemmin - he ottavat käyttöön kiertokulman käsitteen. Pyörimiskulman arvoa, toisin kuin terävää kulmaa, eivät rajoita kehykset 0 - 90 astetta, kiertokulma asteina (ja radiaaneina) voidaan ilmaista millä tahansa reaaliluvulla välillä −∞ - + ∞.

Tässä valossa sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin määritelmät eivät ole enää terävä kulma, vaan mielivaltaisen suuruinen kulma - kiertokulma. Ne on annettu pisteen A 1 x- ja y-koordinaattien kautta, joihin ns. aloituspiste A (1, 0) menee sen jälkeen, kun se on kierretty kulmalla α pisteen O ympäri - suorakulmaisen suorakulmaisen koordinaatin origo. järjestelmä ja yksikköympyrän keskipiste.

Määritelmä.

Pyörimiskulman siniα on pisteen A 1 ordinaatti, eli sinα = y.

Määritelmä.

Pyörimiskulman kosiniα:ta kutsutaan pisteen A 1 abskissaksi, eli cos α = x.

Määritelmä.

Pyörimistangenttiα on pisteen A 1 ordinaatin suhde sen abskissaan, eli tgα = y / x.

Määritelmä.

Rotaatiokotangenttiα on pisteen A 1 abskissan suhde sen ordinaattiin, eli ctgα = x / y.

Sini ja kosini on määritelty mille tahansa kulmille α, koska voimme aina määrittää pisteen abskissan ja ordinaatin, joka saadaan kiertämällä aloituspistettä kulmalla α. Ja tangenttia ja kotangenttia ei ole määritelty jokaiselle kulmille. Tangenttia ei ole määritelty sellaisille kulmille α, joissa aloituspiste menee pisteeseen, jossa on nolla-abskissa (0, 1) tai (0, −1), ja tämä tapahtuu kulmissa 90 ° + 180 ° k, k∈ Z (π / 2 + π k rad). Todellakin, tällaisissa kiertokulmissa lausekkeessa tgα = y / x ei ole järkeä, koska se sisältää jaon nollalla. Mitä tulee kotangenttia, sitä ei ole määritelty sellaisille kulmille α, joissa aloituspiste menee pisteeseen, jolla on nollaordinaatta (1, 0) tai (−1, 0), ja tämä pätee kulmiin 180 ° k , k ∈Z (π k on rad).

Joten sini ja kosini määritellään kaikille kiertokulmille, tangentti on määritelty kaikille kulmille paitsi 90 ° + 180 ° k, k∈Z (π / 2 + π k rad), ja kotangentti on kaikille kulmille paitsi 180 ° K, k∈Z (π k rad).

Määritelmissämme esiintyvät jo tuntemamme merkinnät sin, cos, tg ja ctg, niillä merkitään myös kiertokulman sini, kosini, tangentti ja kotangentti (joskus löytyy nimitykset tan ja cot, jotka vastaavat tangentti ja kotangentti). Joten 30 asteen kiertokulman sini voidaan kirjoittaa sin30 °:ksi, merkinnät tg (−24 ° 17 ′) ja ctgα vastaavat kiertokulman tangenttia −24 astetta 17 minuuttia ja kiertokulman α kotangenttia. . Muista, että kun kirjoitetaan kulman radiaanimitta, nimitys "rad" jätetään usein pois. Esimerkiksi kolmen pi rad:n kiertokulman kosini on yleensä merkitty cos3 · π.

Tämän kohdan lopuksi on syytä huomata, että keskustelussa kiertokulman sinistä, kosinista, tangentista ja kotangentista sana "kiertokulma" tai sana "kierto" jätetään usein pois. Toisin sanoen ilmaisun "kiertokulman sini alfa" sijasta käytetään yleensä ilmaisua "alfan kulman sini" tai, vielä lyhyemmin, "sini alfa". Sama koskee kosinia, tangenttia ja kotangenttia.

Sanotaan myös, että suorakulmaisen kolmion terävän kulman sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin määritelmät ovat yhdenmukaisia juuri annettujen 0-90 asteen kiertokulman sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin määritelmien kanssa. Perustelemme tämän.

Numerot

Määritelmä.

Luvun sini, kosini, tangentti ja kotangentti t on luku, joka on yhtä suuri kuin kiertokulman sini, kosini, tangentti ja kotangentti t radiaaneina.

Esimerkiksi 8 · π:n kosini on määritelmän mukaan luku, joka on yhtä suuri kuin kulman 8 · π rad kosini. Ja kulman kosini kohdassa 8 · π on rad on yhtä suuri kuin yksi, joten luvun 8 · π kosini on 1.

On olemassa toinen lähestymistapa luvun sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin määrittämiseen. Se koostuu siitä, että jokainen reaaliluku t liittyy yksikköympyrän pisteeseen, joka on keskitetty suorakaiteen muotoisen koordinaattijärjestelmän alkupisteeseen, ja sini, kosini, tangentti ja kotangentti määritetään tämän pisteen koordinaattien kautta. Mietitään tätä tarkemmin.

Osoitetaan kuinka vastaavuus muodostetaan reaalilukujen ja ympyrän pisteiden välillä:

luku 0 liittyy aloituspisteeseen A (1, 0);
positiivinen luku t liittyy yksikköympyrän pisteeseen, johon pääsemme, jos siirrymme ympyrää pitkin aloituspisteestä vastapäivään ja kuljemme polun, jonka pituus on t;
negatiivinen numero t liittyy yksikköympyrän pisteeseen, johon pääsemme, jos siirrymme ympyrää pitkin aloituspisteestä myötäpäivään ja kuljemme matkaa, jonka pituus on | t | ...

Nyt siirrytään luvun t sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin määritelmiin. Oletetaan, että luku t vastaa ympyrän A 1 (x, y) pistettä (esim. luku π / 2; vastaa pistettä A 1 (0, 1)).

Määritelmä.

Luvun sini t kutsutaan lukua t vastaavan yksikköympyrän pisteen ordinaatiksi, eli sint = y.

Määritelmä.

Kosiniluku t kutsutaan lukua t vastaavan yksikköympyrän pisteen abskissaksi eli kustannus = x.

Määritelmä.

Numeron tangentti t on lukua t vastaavan yksikköympyrän pisteen ordinaatan suhde abskissaan, eli tgt = y / x. Toisessa vastaavassa formulaatiossa luvun t tangentti on tämän luvun sinin ja kosinin suhde, eli tgt = sint / kustannus.

Määritelmä.

Kotangentin luku t on abskissan suhde lukua t vastaavan yksikköympyrän pisteen ordinaattoihin, eli ctgt = x / y. Toinen muotoilu on seuraava: luvun t tangentti on luvun t kosinin suhde luvun t siniin: ctgt = kustannus / sint.

Huomaa, että juuri annetut määritelmät ovat yhdenmukaisia tämän kappaleen alussa annetun määritelmän kanssa. Todellakin, lukua t vastaavan yksikköympyrän piste osuu yhteen pisteen kanssa, joka saadaan kiertämällä aloituspistettä t radiaanin kulmalla.

Tätä seikkaa kannattaa myös selventää. Oletetaan, että meillä on synti3. Kuinka ymmärtää, puhummeko luvun 3 sinistä vai 3 radiaanin kiertokulman sinistä? Tämä on yleensä selvää asiayhteydestä, muuten sillä ei todennäköisesti ole merkitystä.

Kulma- ja numeerisen argumentin trigonometriset funktiot

Edellisessä kappaleessa annettujen määritelmien mukaan jokainen kiertokulma α vastaa tarkasti määriteltyä sinα:n arvoa sekä cosα:n arvoa. Lisäksi kaikki muut kiertokulmat kuin 90° + 180° k, k∈Z (π / 2 + π k rad) vastaavat tanα:n arvoja ja muut arvot kuin 180° k, k∈Z (π k ) Ovatko ctgα:n arvot. Siksi sinα, cosα, tgα ja ctgα ovat kulman α funktioita. Toisin sanoen ne ovat kulma-argumentin toimintoja.

Vastaavasti voimme puhua numeerisen argumentin funktioista sini, kosini, tangentti ja kotangentti. Jokaisella reaaliluvulla t on todellakin tarkasti määritelty arvo sint, kuten myös hinnalla. Lisäksi tgt-arvot vastaavat kaikkia muita lukuja kuin π / 2 + π k, k∈Z ja ctgt-arvot vastaavat lukuja π k, k∈Z.

Funktioita sini, kosini, tangentti ja kotangentti kutsutaan trigonometriset perusfunktiot.

Kontekstista on yleensä selvää, onko kyseessä kulma- vai numeerisen argumentin trigonometriset funktiot. Muussa tapauksessa voimme pitää riippumatonta muuttujaa sekä kulman mittana (kulma-argumentti) että numeerisena argumenttina.

Koulussa tutkitaan kuitenkin pääasiassa numeerisia funktioita, eli funktioita, joiden argumentit, kuten vastaavat funktioarvot, ovat numeroita. Siksi jos se tulee tarkalleen funktioista, on suositeltavaa harkita trigonometriset funktiot numeeristen argumenttien funktiot.

Geometrian ja trigonometrian määritelmien linkittäminen

Jos tarkastellaan kiertokulmaa α alueella 0 - 90 astetta, niin trigonometrian yhteydessä olevat tiedot kiertokulman sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin määrittämiseksi ovat täysin yhtäpitäviä sinin, kosinin, suorakulmaisen kolmion terävän kulman tangentti ja kotangentti, jotka on annettu geometrian kurssilla. Perustelkaamme tämä.

Esitetään yksikköympyrä suorakulmaisessa karteesisessa koordinaattijärjestelmässä Oxy. Merkitään aloituspiste A (1, 0). Kierretään se kulman α läpi, joka vaihtelee välillä 0 - 90 astetta, saadaan piste A 1 (x, y). Pudotetaan kohtisuora A 1 H pisteestä A 1 Ox-akselille.

On helppo nähdä, että suorakulmaisessa kolmiossa kulma A 1 OH on yhtä suuri kuin kiertokulma α, tämän kulman vieressä olevan haaran OH pituus on yhtä suuri kuin pisteen A 1 abskissa, eli | OH | = x, haaran kulman A 1 H vastakkaisen haaran pituus on yhtä suuri kuin pisteen A 1 ordinaatt, eli | A 1 H | = y, ja hypotenuusan OA 1 pituus on yhtä suuri kuin yksi, koska se on yksikköympyrän säde. Sitten, geometrian määritelmän mukaan, terävän kulman α sini suorakulmaisessa kolmiossa A 1 OH on yhtä suuri kuin vastakkaisen haaran suhde hypotenuusaan, eli sinα = | A 1 H | / | OA 1 | = y / 1 = y. Ja trigonometrian määritelmän mukaan kiertokulman α sini on yhtä suuri kuin pisteen A 1 ordinaatta, eli sin α = y. Tästä voidaan nähdä, että terävän kulman sinin määrittäminen suorakulmaisessa kolmiossa vastaa kiertokulman α sinin määrittämistä α:ssa 0 - 90 astetta.

Vastaavasti voidaan osoittaa, että terävän kulman α kosinin, tangentin ja kotangentin määritelmät ovat yhtäpitäviä kiertokulman α kosinin, tangentin ja kotangentin määritelmien kanssa.

Bibliografia.

Geometria. 7-9 luokkaa: oppikirja. yleissivistävää koulutusta varten. laitokset / [L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev ja muut]. - 20. painos M .: Koulutus, 2010. - 384 s.: ill. - ISBN 978-5-09-023915-8.
A. V. Pogorelov Geometria: Oppikirja. 7-9 cl. Yleissivistävä koulutus. instituutiot / A. V. Pogorelov. - 2. painos - M .: Koulutus, 2001. - 224 s.: ill. - ISBN 5-09-010803-X.
Algebra ja alkeisfunktiot: Opetusohjelma lukion 9. luokan oppilaille / E. S. Kochetkov, E. S. Kochetkova; Toimittanut fysiikan ja matemaattisten tieteiden tohtori ON Golovin - 4. painos. Moskova: Koulutus, 1969.
Algebra: Oppikirja. 9 cl:lle. keskiviikko koulu / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky.- M .: Koulutus, 1990.- 272 s.: ill.- ISBN 5-09-002727-7
Algebra ja analyysin alku: Oppikirja. 10-11 cl. Yleissivistävä koulutus. instituutiot / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn ja muut; Ed. A. N. Kolmogorov. - 14. painos - M .: Koulutus, 2004. - 384 s.: ill. - ISBN 5-09-013651-3.
A. G. Mordkovich Algebra ja analyysin alku. Luokka 10. Klo 2 h. Osa 1: oppikirja oppilaitoksille ( profiilin taso) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 4. painos, lisäys. - M .: Mnemozina, 2007 .-- 424 s.: Ill. ISBN 978-5-346-00792-0.
Algebra ja matemaattisen analyysin alku. Luokka 10: oppikirja. yleissivistävää koulutusta varten. oppilaitokset: perus- ja profiili. tasot / [Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; toim. A. B. Žižtšenko. - 3. painos - I .: Koulutus, 2010.- 368 s.: ill. - ISBN 978-5-09-022771-1.
Bashmakov M.I. Algebra ja analyysin alku: Oppikirja. 10-11 cl. keskiviikko shk. - 3. painos - M .: Koulutus, 1993 .-- 351 s.: ill. - ISBN 5-09-004617-4.
Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematiikka (käsikirja teknisiin korkeakouluihin hakijoille): Oppikirja. käsikirja - M .; Korkeampi. shk., 1984.-351 s., ill.

Aluksi sini ja kosini syntyivät tarpeesta laskea suuret suorakulmaisissa kolmioissa. Havaittiin, että jos kulmien astemitan arvo suorakulmaisessa kolmiossa ei muutu, niin sivusuhde pysyy aina samana riippumatta siitä, kuinka paljon näiden sivujen pituus muuttuu.

Näin otettiin käyttöön käsitteet sini ja kosini. Suorakulmaisen kolmion terävän kulman sini on vastakkaisen jalan suhde hypotenuusaan ja kosini on hypotenuusan vieressä.

Kosini- ja sinilauseet

Mutta kosinuksia ja sinejä voidaan käyttää paitsi suorakulmaisissa kolmioissa. Tylppän tai terävän kulman, minkä tahansa kolmion sivun arvon löytämiseksi riittää soveltaa kosinien ja sinien lausetta.

Kosinilause on melko yksinkertainen: "Kolmion sivun neliö on yhtä suuri kuin kahden muun sivun neliöiden summa miinus näiden sivujen kaksoistulo niiden välisen kulman kosinilla."

Sinilauseella on kaksi tulkintaa: pieni ja laajennettu. Pienen mukaan: "Kolmiossa kulmat ovat verrannollisia vastakkaisiin puoliin." Tätä lausetta laajennetaan usein kolmion ympärille rajatun ympyrän ominaisuuden vuoksi: "Kolmiossa kulmat ovat verrannollisia vastakkaisiin sivuihin ja niiden suhde on yhtä suuri kuin rajatun ympyrän halkaisija."

Johdannaiset

Johdannainen on matemaattinen työkalu, joka näyttää kuinka nopeasti funktio muuttuu suhteessa sen argumentin muutokseen. Johdannaisia käytetään geometriassa ja useilla teknisillä aloilla.

Kun ratkaiset tehtäviä, sinun on tiedettävä trigonometristen funktioiden johdannaisten taulukkoarvot: sini ja kosini. Sinin derivaatta on kosini ja kosini on sini, mutta miinusmerkillä.

Sovellus matematiikassa

Erityisen usein sinejä ja kosineja käytetään kun ratkaistaan suorakulmaisia kolmioita ja niihin liittyviä tehtäviä.

Sinien ja kosinusten mukavuus näkyy tekniikassa. Kulmat ja sivut oli helppo arvioida kosini- ja sinilauseiden avulla, jakamalla monimutkaiset muodot ja esineet "yksinkertaisiksi" kolmioksi. Insinöörit, jotka usein käsittelevät kuvasuhdelaskelmia ja astemittauksia, ovat käyttäneet paljon aikaa ja vaivaa muiden kuin taulukkomuotoisten kulmien kosinien ja sinien laskemiseen.

Sitten Bradis-taulukot tulivat apuun, jotka sisälsivät tuhansia sinien, kosinien, tangenttien ja kotangenttien arvoja. eri kulmat... V Neuvostoliiton aika Jotkut opettajat tekivät Bradis-taulukoiden sivut ulkoa osastoilleen.

Radiaani - kulman suuruus kaaria, joiden pituus on yhtä suuri kuin säde tai 57,295779513 ° astetta.

Aste (geometriassa) - 1/360 ympyrän osa tai 1/90 osa oikea kulma.

π = 3,141592653589793238462 ... (piin likimääräinen arvo).

Kosinitaulukko kulmille: 0 °, 30 °, 45 °, 60 °, 90 °, 120 °, 135 °, 150 °, 180 °, 210 °, 225 °, 240 °, 270 °, 300 °, 315 °, 330°, 360°.

Kulma x (asteina)	0°	30 °	45 °	60 °	90 °	120 °	135 °	150 °	180 °	210 °	225 °	240 °	270 °	300 °	315 °	330 °	360 °
Kulma x (radiaaneina)	0	π / 6	π / 4	π / 3	π / 2	2 x π / 3	3 x π / 4	5 x π / 6	π	7 x π / 6	5 x π / 4	4 x π / 3	3 x π / 2	5 x π / 3	7 x π / 4	11 x π / 6	2 x π
cos x	1	√3/2 (0,8660)	√2/2 (0,7071)	1/2 (0,5)	0	-1/2 (-0,5)	-√2/2 (-0,7071)	-√3/2 (-0,8660)	-1	-√3/2 (-0,8660)	-√2/2 (-0,7071)	-1/2 (-0,5)	0	1/2 (0,5)	√2/2 (0,7071)	√3/2 (0,8660)	1

Vastakkaisen jalan suhdetta hypotenuusaan kutsutaan sinus akuutti kulma suorakulmainen kolmio.

\ sin \ alfa = \ frac (a) (c)

Suorakulmaisen kolmion terävän kulman kosini

Läheisen jalan suhdetta hypotenuusaan kutsutaan terävän kulman kosini suorakulmainen kolmio.

\ cos \ alfa = \ frac (b) (c)

Suorakulmaisen kolmion terävä tangentti

Vastakkaisen jalan suhdetta viereiseen jalkaan kutsutaan terävän kulman tangentti suorakulmainen kolmio.

tg \ alfa = \ frac (a) (b)

Suorakulmaisen kolmion terävän kulman kotangentti

Viereisen jalan suhdetta vastakkaiseen jalkaan kutsutaan terävän kulman kotangentti suorakulmainen kolmio.

ctg \ alpha = \ frac (b) (a)

Mielivaltaisen kulman sini

Kutsutaan yksikköympyrän pisteen ordinaatta, jota kulma \ alfa vastaa mielivaltaisen kulman sini kierto \ alfa.

\ sin \ alfa = y

Mielivaltaisen kulman kosini

Kutsutaan sen yksikköympyrän pisteen abskissa, jota kulma \ alfa vastaa mielivaltaisen kulman kosini kierto \ alfa.

\ cos \ alfa = x

Mielivaltainen kulmatangentti

Mielivaltaisen kiertokulman \ alfa sinin suhdetta sen kosiniin kutsutaan mielivaltaisen kulman tangentti kierto \ alfa.

tg \ alfa = y_ (A)

tg \ alpha = \ frac (\ sin \ alfa) (\ cos \ alfa)

Mielivaltaisen kulman kotangentti

Mielivaltaisen kiertokulman \ alfa kosinin suhdetta sen siniin kutsutaan mielivaltaisen kulman kotangentti kierto \ alfa.

ctg \ alfa = x_ (A)

ctg \ alpha = \ frac (\ cos \ alfa) (\ sin \ alfa)

Esimerkki mielivaltaisen kulman löytämisestä

Jos \ alpha on jokin kulma AOM, missä M on yksikköympyrän piste, niin

\ sin \ alfa = y_ (M), \ cos \ alfa = x_ (M), tg \ alfa = \ frac (y_ (M)) (x_ (M)), ctg \ alfa = \ frac (x_ (M)) (y_ (M)).

Esimerkiksi jos \ kulma AOM = - \ frac (\ pi) (4), niin: pisteen M ordinaatta on yhtä suuri kuin - \ frac (\ sqrt (2)) (2), abskissa on \ frac (\ sqrt (2)) (2) ja siksi

\ sin \ vasen (- \ frac (\ pi) (4) \ oikea) = - \ frac (\ sqrt (2)) (2);

\ cos \ vasen (\ frac (\ pi) (4) \ oikea) = \ frac (\ sqrt (2)) (2);

tg;

ctg \ vasen (- \ frac (\ pi) (4) \ oikea) = - 1.

Kotangenttien tangenttien kosinien sinien arvojen taulukko

Tärkeimpien yhteisten kulmien arvot on annettu taulukossa:

	0 ^ (\ circ) (0)	30 ^ (\ circ) \ vasen (\ frac (\ pi) (6) \ oikea)	45 ^ (\ circ) \ vasen (\ frac (\ pi) (4) \ oikea)	60 ^ (\ circ) \ vasen (\ frac (\ pi) (3) \ oikea)	90 ^ (\ circ) \ vasen (\ frac (\ pi) (2) \ oikea)	180 ^ (\ ympyrä) \ vasen (\ pi \ oikea)	270 ^ (\ circ) \ vasen (\ frac (3 \ pi) (2) \ oikea)	360 ^ (\ circ) \ vasen (2 \ pi \ oikea)
\ synti \ alfa	0	\ frac12	\ frac (\ sqrt 2) (2)	\ frac (\ sqrt 3) (2)	1	0	−1	0
\ cos \ alfa	1	\ frac (\ sqrt 3) (2)	\ frac (\ sqrt 2) (2)	\ frac12	0	−1	0	1
tg \ alfa	0	\ frac (\ sqrt 3) (3)	1	\ sqrt3	—	0	—	0
ctg \ alfa	—	\ sqrt3	1	\ frac (\ sqrt 3) (3)	0	—	0	—

Tärkeimpien trigonometristen funktioiden - sini, kosini, tangentti ja kotangentti - väliset suhteet asetetaan trigonometriset kaavat... Ja koska trigonometristen funktioiden välillä on paljon yhteyksiä, tämä selittää trigonometristen kaavojen runsauden. Jotkut kaavat yhdistävät saman kulman trigonometriset funktiot, toiset - usean kulman funktiot, toiset - antavat sinun laskea astetta, neljäs - ilmaisevat kaikki funktiot puolikulman tangentin kautta jne.

Tässä artikkelissa luetellaan kaikki tärkeimmät trigonometriset kaavat, jotka riittävät ratkaisemaan suurimman osan trigonometriaongelmista. Muistamisen ja käytön helpottamiseksi ryhmittelemme ne tarkoituksen mukaan ja syötämme ne taulukoihin.

Sivulla navigointi.

Trigonometriset perusidentiteetit

Trigonometriset perusidentiteetit aseta suhde yhden kulman sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin välillä. Ne johtuvat sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin määritelmistä sekä yksikköympyrän käsitteestä. Niiden avulla voit ilmaista yhden trigonometrisen funktion minkä tahansa muun suhteen.

Yksityiskohtainen kuvaus näistä trigonometriakaavoista, niiden johtamisesta ja sovellusesimerkeistä on artikkelissa.

Valukaavat

Valukaavat seuraavat sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin ominaisuuksista, eli ne heijastavat trigonometristen funktioiden jaksollisuuden ominaisuutta, symmetriaominaisuutta sekä ominaisuutta siirtyä tietyllä kulmalla. Näiden trigonometristen kaavojen avulla voit siirtyä mielivaltaisten kulmien käsittelystä kulmien käsittelyyn nollasta 90 asteeseen.

Näiden kaavojen perustelut, muistosääntö oppia ne ulkoa ja esimerkkejä niiden käytöstä voidaan tutkia artikkelissa.

Lisäyskaavat

Trigonometriset summauskaavat näytä kuinka kahden kulman summan tai eron trigonometriset funktiot ilmaistaan näiden kulmien trigonometrisinä funktioina. Nämä kaavat toimivat perustana seuraavien trigonometristen kaavojen johtamiselle.

Kaavat kaksois-, kolmois- jne. kulma

Kaavat kaksois-, kolmois- jne. kulma (kutsutaan myös useiden kulmien kaavoiksi) näyttää, kuinka kaksois-, kolmois- jne. trigonometriset funktiot toimivat. kulmat () ilmaistaan yhden kulman trigonometrisinä funktioina. Niiden johtaminen perustuu summauskaavoihin.

Tarkempia tietoja kerätään artikkelikaavoissa tupla-, kolmois- jne. kulma.

Puolikulmakaavat

Puolikulmakaavat näytä kuinka puolikulman trigonometriset funktiot ilmaistaan kokonaislukukulman kosinina. Nämä trigonometriset kaavat johtuvat kaksoiskulmakaavoista.

Heidän johtopäätöksensä ja sovellusesimerkit löytyvät artikkelista.

Tutkinnonvähennyskaavat

Trigonometriset asteen vähennyskaavat on suunniteltu helpottamaan siirtymistä trigonometristen funktioiden luonnollisista asteista sineihin ja kosineihin ensimmäisessä asteessa, mutta useissa kulmissa. Toisin sanoen niiden avulla voit alentaa trigonometristen funktioiden asteita ensimmäiseen.

Trigonometristen funktioiden summa- ja erotuskaavat

Päätarkoitus kaavat trigonometristen funktioiden summalle ja erolle on siirtyä funktioiden tuloon, mikä on erittäin hyödyllistä yksinkertaistettaessa trigonometrisiä lausekkeita. Näitä kaavoja käytetään myös laajalti ratkaisemiseen trigonometriset yhtälöt, koska niiden avulla voit ottaa huomioon sinien ja kosinien summan ja eron.

Kaavat sinien, kosinien ja sini kerrallaan tulolle

Siirtyminen trigonometristen funktioiden tulosta summaan tai erotukseen suoritetaan käyttämällä kaavoja sinien, kosinien ja sini kerrallaan tulolle.

Bashmakov M.I. Algebra ja analyysin alku: Oppikirja. 10-11 cl. keskiviikko shk. - 3. painos - M .: Koulutus, 1993 .-- 351 s.: ill. - ISBN 5-09-004617-4.

Algebra ja analyysin alku: Oppikirja. 10-11 cl. Yleissivistävä koulutus. instituutiot / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn ja muut; Ed. A. N. Kolmogorov. - 14. painos - M .: Koulutus, 2004. - 384 s.: ill. - ISBN 5-09-013651-3.

Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematiikka (käsikirja teknisiin korkeakouluihin hakijoille): Oppikirja. käsikirja - M .; Korkeampi. shk., 1984.-351 s., ill.

Tekijänoikeus älykkäille opiskelijoille

Kaikki oikeudet pidätetään.
Tekijänoikeuslain suojaama. Ei osaa sivustosta www.site, mukaan lukien sisustusmateriaalit ja ulkoinen suunnittelu, ei saa jäljentää missään muodossa tai käyttää ilman tekijänoikeuksien haltijan kirjallista lupaa.

Käsitteet sini, kosini, tangentti ja kotangentti ovat trigonometrian pääluokat - matematiikan haara, ja ne liittyvät erottamattomasti kulman määritelmään. Tämän matemaattisen tieteen hallussapito edellyttää kaavojen ja lauseiden ulkoa oppimista ja ymmärtämistä sekä kehittynyttä tilaajattelua. Siksi trigonometriset laskelmat aiheuttavat usein vaikeuksia koululaisille ja opiskelijoille. Niiden voittamiseksi sinun tulee tutustua tarkemmin trigonometrisiin funktioihin ja kaavoihin.

Käsitteet trigonometriassa

Ymmärtääksesi trigonometrian peruskäsitteet, sinun on ensin selvitettävä, mitä suorakulmainen kolmio ja kulma ympyrässä ovat ja miksi kaikki trigonometriset peruslaskelmat liittyvät niihin. Kolmio, jonka yksi kulmista on 90 astetta, on suorakaiteen muotoinen. Historiallisesti ihmiset käyttivät tätä lukua usein arkkitehtuurissa, navigoinnissa, taiteessa, tähtitiedossa. Näin ollen, tutkiessaan ja analysoimalla tämän luvun ominaisuuksia, ihmiset tulivat laskemaan sen parametrien vastaavat suhteet.

Suorakulmaisiin kolmioihin liittyvät pääkategoriat ovat hypotenuusa ja jalat. Hypotenuusa on kolmion oikeaa kulmaa vastapäätä oleva sivu. Jalat ovat vastaavasti kaksi muuta puolta. Minkä tahansa kolmion kulmien summa on aina 180 astetta.

Pallotrigonometria on trigonometrian osa, jota ei opeteta koulussa, mutta tutkijat käyttävät sitä soveltavissa tieteissä, kuten tähtitiedeessä ja geodesiassa. Kolmion erikoisuus pallomaisessa trigonometriassa on, että sen kulmien summa on aina yli 180 astetta.

Kolmion kulmat

Suorakulmaisessa kolmiossa kulman sini on halutun kulman vastakkaisen jalan suhde kolmion hypotenuusaan. Vastaavasti kosini on viereisen jalan ja hypotenuusan suhde. Molemmat arvot ovat aina pienempiä kuin yksi, koska hypotenuusa on aina pidempi kuin jalka.

Kulman tangentti on arvo, joka on yhtä suuri kuin halutun kulman vastakkaisen haaran suhde viereiseen haaraan tai sinistä kosiniin. Kotangentti puolestaan on halutun kulman viereisen haaran suhde vastakkaiseen haaraan. Kulman kotangentti voidaan saada myös jakamalla yksi tangentin arvolla.

Yksikköympyrä

Yksikköympyrä geometriassa on ympyrä, jonka säde on yhtä suuri kuin yksi. Tällainen ympyrä muodostetaan suorakulmaisessa koordinaatistossa, kun taas ympyrän keskipiste on sama kuin alkupiste, ja sädevektorin alkusijainti määritetään X-akselin positiivista suuntaa (abskissa) pitkin. Jokaisella ympyrän pisteellä on kaksi koordinaattia: XX ja YY, eli abskissien ja ordinaattien koordinaatit. Valitsemalla minkä tahansa ympyrän pisteen XX-tasossa ja pudottamalla kohtisuoran siitä abskissa-akselille, saadaan suorakulmainen kolmio, joka muodostuu valitun pisteen säteestä (merkitty kirjaimella C), jonka kohtisuora on piirretty X-akseli (leikkauspiste on merkitty kirjaimella G) ja segmentti abskissa-akselilla origon (piste on merkitty kirjaimella A) ja leikkauspisteen G välillä. Tuloksena oleva kolmio ACG on suorakulmainen ympyrään piirretty kolmio, jossa AG on hypotenuusa ja AC ja GC jalat. Ympyrän AC säteen ja abskissa-akselin segmentin välinen kulma, jossa on merkintä AG, määritellään α:ksi (alfa). Joten cos α = AG / AC. Ottaen huomioon, että AC on yksikköympyrän säde ja se on yhtä suuri kuin yksi, käy ilmi, että cos α = AG. Vastaavasti sin α = CG.

Lisäksi näiden tietojen tiedossa on mahdollista määrittää ympyrän pisteen C koordinaatti, koska cos α = AG ja sin α = CG, mikä tarkoittaa, että pisteellä C on annetut koordinaatit (cos α; sin α). Tietäen, että tangentti on yhtä suuri kuin sinin ja kosinin suhde, voimme määrittää, että tg α = y / x ja ctg α = x / y. Kun otetaan huomioon kulmat negatiivisessa koordinaattijärjestelmässä, voit laskea, että joidenkin kulmien sinin ja kosinin arvot voivat olla negatiivisia.

Laskelmat ja peruskaavat

Trigonometristen funktioiden arvot

Kun olet pohtinut trigonometristen funktioiden olemusta yksikköympyrän kautta, voit johtaa näiden funktioiden arvot joillekin kulmille. Arvot on lueteltu alla olevassa taulukossa.

Yksinkertaisimmat trigonometriset identiteetit

Yhtälöt, joissa trigonometrisen funktion merkin alla on tuntematon arvo kutsutaan trigonometrisiksi. Identiteetit, joiden arvo on sin х = α, k on mikä tahansa kokonaisluku:

sin x = 0, x = πk.
2.sin x = 1, x = π / 2 + 2πk.
sin x = -1, x = -π / 2 + 2πk.
sin x = a, | a | > 1, ei ratkaisuja.
sin x = a, | a | ≦ 1, x = (-1) ^ k * arcsin α + πk.

Identiteetit arvolla cos x = a, jossa k on mikä tahansa kokonaisluku:

cos x = 0, x = π / 2 + πk.
cos x = 1, x = 2πk.
cos x = -1, x = π + 2πk.
cos x = a, | a | > 1, ei ratkaisuja.
cos x = a, | a | ≦ 1, x = ± arccos α + 2πk.

Identiteetit arvolla tg x = a, jossa k on mikä tahansa kokonaisluku:

tg x = 0, x = π / 2 + πk.
tg x = a, x = arctan α + πk.

Identiteetit arvolla ctg x = a, jossa k on mikä tahansa kokonaisluku:

ctg x = 0, x = π / 2 + πk.
ctg x = a, x = arcctg α + πk.

Valukaavat

Tämä vakiokaavojen luokka tarkoittaa menetelmiä, joilla voidaan vaihtaa muodon trigonometrisista funktioista argumentin funktioihin, toisin sanoen tuoda minkä tahansa arvon kulman sini, kosini, tangentti ja kotangentti vastaaviin muodon indikaattoreihin. välin kulma 0 - 90 astetta laskennan helpottamiseksi.

Kaavat funktioiden muuntamiseksi kulman sinille näyttävät tältä:

sin (900 - α) = α;
sin (900 + α) = cos α;
sin (1800 - α) = sin α;
sin (1800 + α) = -sin α;
sin (2700 - α) = -cos α;
sin (2700 + α) = -cos α;
sin (3600 - α) = -sin α;
sin (3600 + α) = sin α.

Kulman kosinille:

cos (900 - α) = sin α;
cos (900 + a) = -sin a;
cos (1800 - a) = -cos a;
cos (1800 + a) = -cos a;
cos (2700 - a) = -sin a;
cos (2700 + α) = sin α;
cos (3600 - α) = cos α;
cos (3600 + α) = cos α.

Yllä olevien kaavojen käyttö on mahdollista kahdella säännöllä. Ensinnäkin, jos kulma voidaan esittää arvona (π / 2 ± a) tai (3π / 2 ± a), funktion arvo muuttuu:

synnistä cosiin;
cosista syntiin;
tg:stä ctg:hen;
ctg:stä tg:hen.

Funktion arvo pysyy muuttumattomana, jos kulma voidaan esittää muodossa (π ± a) tai (2π ± a).

Toiseksi, pelkistetyn funktion merkki ei muutu: jos se oli alun perin positiivinen, se pysyy sellaisena. Samoin negatiivisten funktioiden kanssa.

Lisäyskaavat

Nämä kaavat ilmaisevat kahden kiertokulman summan ja eron sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin arvot trigonometristen funktioidensa suhteen. Kulmia kutsutaan yleisesti α:ksi ja β:ksi.

Kaavat näyttävät tältä:

sin (α ± β) = sin α * cos β ± cos α * sin.
cos (α ± β) = cos α * cos β ∓ sin α * sin.
tan (α ± β) = (tan α ± tan β) / (1 ∓ tan α * tan β).
ctg (α ± β) = (-1 ± ctg α * ctg β) / (ctg α ± ctg β).

Nämä kaavat pätevät kaikille kulmien α ja β arvoille.

Kaksois- ja kolmoiskulmakaavat

Kaksois- ja kolmoiskulman trigonometriset kaavat ovat kaavoja, jotka yhdistävät kulmien 2α ja 3α funktiot kulman α trigonometrisiin funktioihin. Johdettu summauskaavoista:

sin2α = 2sinα * cosα.
cos2α = 1 - 2sin ^ 2 α.
tg2a = 2tgα/(1 - tg^2a).
sin3α = 3sinα - 4sin ^ 3 α.
cos3α = 4cos ^ 3 α - 3cosα.
tg3α = (3tgα - tan ^ 3 α) / (1-tan ^ 2 α).

Siirtyminen summasta tuotteeseen

Kun otetaan huomioon, että 2sinx * kodikas = sin (x + y) + sin (x-y), yksinkertaistamalla tätä kaavaa, saadaan identiteetti sinα + sinβ = 2sin (α + β) / 2 * cos (α - β) / 2. Samoin sinα - sinβ = 2sin (α - β) / 2 * cos (α + β) / 2; cosα + cosβ = 2cos (a + β) / 2 * cos (a - β) / 2; cosα - cosβ = 2sin (α + β) / 2 * sin (α - β) / 2; tgα + tgβ = sin (a + β) / cosα * cosβ; tgα - tgβ = sin (a - β) / cosa * cosβ; cosα + sinα = √2sin (π / 4 ∓ α) = √2cos (π / 4 ± α).

Siirtyminen työstä summaan

Nämä kaavat johtuvat summan tuloon siirtymisen identiteetistä:

sinα * sinβ = 1/2 *;
cosa * cosβ = 1/2*;
sinα * cosβ = 1/2 *.

Tutkinnonvähennyskaavat

Näissä identiteeteissä sinin ja kosinin neliö- ja kuutiopotenssit voidaan ilmaista monikulman ensimmäisen potenssin sininä ja kosinina:

sin ^ 2 α = (1 - cos2α) / 2;
cos^ 2 a = (1 + cos2a) / 2;
sin ^ 3 α = (3 * sinα - sin3α) / 4;
cos ^ 3 α = (3 * cosα + cos3α) / 4;
sin ^ 4 α = (3 - 4cos2α + cos4α) / 8;
cos ^ 4 α = (3 + 4cos2α + cos4α) / 8.

Universaali korvaus

Universaalit trigonometriset korvauskaavat ilmaisevat trigonometriset funktiot puolikulman tangentin muodossa.

sin x = (2tgx / 2) * (1 + tan ^ 2 x / 2), kun taas x = π + 2πn;
cos x = (1 - tan ^ 2 x / 2) / (1 + tan ^ 2 x / 2), missä x = π + 2πn;
tan x = (2tgx / 2) / (1 - tan ^ 2 x / 2), missä x = π + 2πn;
ctg x = (1 - tg ^ 2 x / 2) / (2tgx / 2), kun taas x = π + 2πn.

Erikoistapaukset

Yksinkertaisimpien trigonometristen yhtälöiden erityistapaukset on annettu alla (k on mikä tahansa kokonaisluku).

Yksityinen sinus:

Sin x arvo	X arvo
0	πk
1	π / 2 + 2πk
-1	-π / 2 + 2πk
1/2	π / 6 + 2πk tai 5π / 6 + 2πk
-1/2	-π / 6 + 2πk tai -5π / 6 + 2πk
√2/2	π / 4 + 2πk tai 3π / 4 + 2πk
-√2/2	-π / 4 + 2πk tai -3π / 4 + 2πk
√3/2	π / 3 + 2πk tai 2π / 3 + 2πk
-√3/2	-π / 3 + 2πk tai -2π / 3 + 2πk

Kosinin osamäärät ovat:

Cos x arvo	X arvo
0	π / 2 + 2πk
1	2πk
-1	2 + 2πk
1/2	± π / 3 + 2πk
-1/2	± 2π / 3 + 2πk
√2/2	± π / 4 + 2πk
-√2/2	± 3π / 4 + 2πk
√3/2	± π / 6 + 2πk
-√3/2	± 5π / 6 + 2πk

Yksityinen tangentille:

Tg x arvo	X arvo
0	πk
1	π / 4 + πk
-1	-π / 4 + πk
√3/3	π / 6 + πk
-√3/3	-π / 6 + πk
√3	π / 3 + πk
-√3	-π / 3 + πk

Yksityinen kotangentille:

Ctg x arvo	X arvo
0	π / 2 + πk
1	π / 4 + πk
-1	-π / 4 + πk
√3	π / 6 + πk
-√3	-π / 3 + πk
√3/3	π / 3 + πk
-√3/3	-π / 3 + πk

Lauseet

Sinilause

Lauseen on kaksi versiota - yksinkertainen ja laajennettu. Yksinkertainen sinilause: a / sin α = b / sin β = c / sin γ. Tässä tapauksessa a, b, c ovat kolmion sivut ja α, β, γ ovat vastaavasti vastakkaisia kulmia.

Laajennettu sinilause mielivaltaiselle kolmiolle: a / sin α = b / sin β = c / sin γ = 2R. Tässä identiteetissä R tarkoittaa ympyrän sädettä, johon annettu kolmio on merkitty.

Kosinilause

Tunniste näytetään seuraavasti: a ^ 2 = b ^ 2 + c ^ 2 - 2 * b * c * cos α. Kaavassa a, b, c ovat kolmion sivut ja α on sivun a vastakkainen kulma.

Tangenttilause

Kaava ilmaisee kahden kulman tangenttien ja niitä vastakkaisten sivujen pituuden välisen suhteen. Sivut on merkitty a, b, c ja vastaavat vastakkaiset kulmat ovat α, β, γ. Tangenttilauseen kaava on: (a - b) / (a + b) = tan ((α - β) / 2) / tan ((α + β) / 2).

Kotangenttilause

Yhdistää kolmioon piirretyn ympyrän säteen sen sivujen pituuteen. Jos a, b, c ovat kolmion sivut ja A, B, C ovat vastakkaiset kulmat, r on piirretyn ympyrän säde ja p on kolmion puolikehä, seuraavat identiteetit ovat voimassa:

ctg A/2 = (p-a)/r;
ctg B/2 = (p-b)/r;
ctg C/2 = (p-c)/r.

Sovellettu sovellus

Trigonometria ei ole vain teoreettinen tiede, joka liittyy matemaattisiin kaavoihin. Sen ominaisuuksia, lauseita ja sääntöjä käyttävät käytännössä eri ihmisen toiminnan osa-alueet - tähtitiede, lento- ja merinavigointi, musiikin teoria, geodesia, kemia, akustiikka, optiikka, elektroniikka, arkkitehtuuri, taloustiede, konetekniikka, mittaustyöt, tietokonegrafiikka, kartografia, valtameri ja monet muut.

Sini, kosini, tangentti ja kotangentti ovat trigonometrian peruskäsitteitä, joiden avulla voit matemaattisesti ilmaista kolmion kulmien ja sivujen pituuksien välisen suhteen sekä löytää tarvittavat suureet identiteettien, lauseiden ja sääntöjen avulla.