Kulma rinnakkaisten viivojen välillä avaruudessa. Kulma ylitettyjen viivojen välillä (2019). Kahden suoran suhteellinen sijainti

AB ja KANSSAD ylittää kolmannen rivin MN, tällöin muodostetut kulmat saavat seuraavat nimet pareittain:

vastaavat kulmat: 1 ja 5, 4 ja 8, 2 ja 6, 3 ja 7;

sisäiset ristikkäiset kulmat: 3 ja 5, 4 ja 6;

ulkoiset ristikkäiset kulmat: 1 ja 7, 2 ja 8;

yksipuoliset sisäkulmat: 3 ja 6, 4 ja 5;

ulkoiset yksipuoliset kulmat: 1 ja 8, 2 ja 7.

Joten ∠ 2 = ∠ 4 ja ∠ 8 = ∠ 6, mutta mitä on todistettu ∠ 4 = ∠ 6.

Siksi ∠ 2 = ∠ 8.

3. Vastaavat kulmat 2 ja 6 ovat samat, koska ∠ 2 = ∠ 4 ja ∠ 4 = ∠ 6. Varmistamme myös, että muut vastaavat kulmat ovat yhtä suuret.

4. Summa yksipuoliset sisäkulmat 3 ja 6 ovat 2d, koska summa viereiset kulmat 3 ja 4 on 2d = 180 0 ja ∠ 4 voidaan korvata samanlaisella ∠ 6. Varmistamme myös, että kulmien summa 4 ja 5 on yhtä kuin 2d.

5. Summa ulkoiset yksipuoliset kulmat on 2d, koska nämä kulmat ovat vastaavasti yksipuoliset sisäkulmat kuin kulmat pystysuora.

Yllä olevasta perusteluista saamme kääntää lauseita.

Kun mielivaltaisen kolmannen suoran kahden suoran leikkauspisteessä saadaan seuraava:

1. Poikittain sijaitsevat sisäkulmat ovat samat;

tai 2. Ulkokulmat ovat samat;

tai 3. Vastaavat kulmat ovat samat;

tai 4. Sisäpuolisten yksipuolisten kulmien summa on 2d = 180 0;

tai 5. Ulomman yksipuolisen summa on 2d = 180 0 ,

silloin kaksi ensimmäistä suoraa ovat yhdensuuntaisia.

Kahta suoraa AB ja CD kutsutaan rinnakkain jos ne sijaitsevat samassa tasossa eivätkä leikkaa, vaikka kuinka monta niistä jatkaisi (AB || CD). Rinnakkaisviivojen välinen kulma on nolla.

Kahden kohtisuoran suoran väliin suljetun kohtisuoran segmentin pituus, - etäisyys heidän välillään.

Aksiooma: pisteen kautta, joka ei ole tietyllä suoralla, voidaan piirtää vain yksi tämän suoran suuntainen suora.

Rinnakkaislinjojen ominaisuudet:

1. Jos kaksi suoraa ovat yhdensuuntaisia kolmannen viivan kanssa, ne ovat yhdensuuntaisia toistensa kanssa.

2. Jos kaksi suoraa ovat kohtisuorassa kolmanteen viivaan nähden, ne ovat yhdensuuntaisia toistensa kanssa.

Risteyksessä kolmannen viivan kaksi rinnakkaista viivaa, muodostuu kahdeksan kulmaa (kuva 13), joita kutsutaan pareittain:

1) vastaavat kulmat (1 ja 5; 2 ja 6; 3 ja 7; 4 ja 8 );

kulmat parittain yhtä: (https://pandia.ru/text/78/187/images/image003_66.gif "width =" 11 "height =" 10 src = "> 5; https://pandia.ru/text/78/187/images/image003_66.gif "width =" 11 "height =" 10 "> 6; https://pandia.ru/text/78/187/images/image003_66.gif "width =" 11 "height =" 10 "> 7; https://pandia.ru/text/78/187/images/image003_66.gif "width =" 11 "height =" 10 "> 8 );

2) sisäinen ristikkäiset kulmat (4 ja 5; 3 ja 6 ); ne parittain yhtä;

3) ulkoiset ristikkäiset kulmat(1 ja 8; 2 ja 7 ); ne ovat parittain yhtä suuret;

4) sisäinen yksipuoliset kulmat (3 ja 5; 4 ja 6 ); yksipuolisten kulmien summa on 180°

(https://pandia.ru/text/78/187/images/image003_66.gif "width =" 11 "height =" 10 "> 5 = 180 °; 4 + 6 = 180 °);

5) ulkoiset yksipuoliset kulmat (1 ja 7; 2 ja 8 ); niiden summa on 180 ° (https://pandia.ru/text/78/187/images/image003_66.gif "width =" 11 "height =" 10 "> 7 = 180 °; 2 + 8 = 180 °).

Thalesin lause. Kun kulman sivut leikkaavat yhdensuuntaisia suoria viivoja(kuva 16) kulman sivut on jaettu suhteellisiin segmentteihin:

Samanlaisia kolmioita.

Kahta kolmiota kutsutaan Kuten jos niiden kulmat ovat vastaavasti yhtä suuret ja yhden kolmion sivut ovat verrannolliset toisen vastaaviin sivuihin. Samankaltaisia tällaisten kolmioiden sivut ovat sivuja, jotka sijaitsevat vastaavia kulmia vastapäätä.

https://pandia.ru/text/78/187/images/image006_51.gif "alt =" (! KIELI: samanlaisia kolmioita" width="13" height="14">A = !} https://pandia.ru/text/78/187/images/image006_51.gif "alt =" (! KIELI: samanlaisia kolmioita" width="13" height="14">B = B1, С = С1 !} ja Määrä k joka on yhtä suuri kuin kolmion vastaavien sivujen suhde samankaltaisuuskerroin.

Merkkejä samankaltaisuudesta:

1. Jos yhden kulmaa kolmio vastaavasti yhtä suuri kuin kaksi kulmaa toinen, sitten raidat ovat samanlaisia.

2. Jos kaksi puolta yksi kolmio suhteessa toisen puoleen kolmio ja kulmat, vankeja näiden puolueiden välillä, ovat tasa-arvoisia silloin kolmiot ovat samanlaisia.

3. Jos yhden puolet kolmio suhteessa toisten kolmen puoleen, niin tällaiset kolmiot ovat samanlaisia.

Seuraukset: 1. Samankaltaisten kolmioiden alueet liittyvät samankaltaisuuskertoimen neliöön:

2. Asenne kehät samanlaisia kolmioita ja puolittaja, mediaanit, korkeudet ja kohtisuorat ovat yhtäläisyyskerroin.

Yrittäjyys itseorganisoituvana järjestelmänä on olemassa ja kehittyy tekijäjärjestelmän vaikutuksen alaisena. 70 -luvun lopulla. XX vuosisata. tutkijat, kuten T.Bachkai, D.Mesena, D.Miko ja muut, tutkivat riskitekijöiden vaikutusta, osoittivat, että ne kaikki liittyvät toisiinsa. Yhdessä "luonnollisen" kanssa ...

RISKIEN ARVIOINTI- JA RATKAISUPERUSTEET

Riskienhallinta on mahdotonta arvioimatta sen suuruutta. Arviointimenetelmä riippuu riskityypistä. Kun otetaan huomioon riskien moninaisuus ja niiden hallintatehtävien monimutkaisuus, käytännössä käytetään kolmenlaisia arviointeja: laadullista, aksiologista ja määrällistä. Laadullista riskinarviointia käytetään laajalti ja sen avulla voit nopeasti, ...
(Riskit kirjanpidossa)

Suorat leikkaavat

Jos suorat leikkaavat, niin niiden samannimiset projektiot leikkaavat kohdassa, joka on näiden suorien leikkauspisteen projektio. Todellakin (kuva 2.30), jos kohta TO kuuluu molemmille suoraan AB ja CD, silloin tämän pisteen projektion on oltava leikkauspiste ...
(Tekninen grafiikka)

Suorat viivat ylitetty

Ristikkäiset suorat eivät leikkaa tai ole yhdensuuntaisia toistensa kanssa. Kuva 2.32 esittää kaksi leikkaavaa suoraa yleisessä asennossa: vaikka samannimiset projektiot leikkaavat toisiaan, niiden leikkauspisteitä ei voida yhdistää linkkiviivan kanssa yhdensuuntaisella linkkiviivalla L "L" ja...
(Tekninen grafiikka)

RISTIKIRJAN VÄLISYYS

Ristien välinen etäisyys a ja B määräytyy kohtisuoran segmentin pituuden mukaan KM, leikkaavat molemmat viivat (a _1_ KM; Y.KM) (kuva 349, b, c). Ongelma ratkaistaan yksinkertaisesti, jos yksi linjoista heijastuu. Olkoon esimerkiksi α ± π ja sitten haluttu segmentti KM...
(Kuvaileva geometria)

Suoran ja tason suhteellinen sijainti, kaksi tasoa

Merkit suoran ja tason suhteellisesta sijainnista, kaksi tasoa Muistetaanpa merkkejä suoran ja tason keskinäisestä sijainnista sekä kahdesta stereometriasta tutusta tasosta. 1. Jos suoralla ja tasolla on yksi yhteinen piste, niin suora ja taso leikkaavat (kuva 3.6a). 2. Jos viiva ja taso ...
(Engineering Graphicsin perusteet)

Merkit suoran ja tason suhteellisesta sijainnista, kaksi tasoa

Muistetaanpa merkkejä suoran ja tason keskinäisestä sijainnista sekä kahdesta stereometriasta tutusta tasosta. 1. Jos suoralla ja tasolla on yksi yhteinen piste, niin suora ja taso leikkaavat (kuva 3.6a). 2. Jos suoralla ja tasolla on kaksi yhteistä pistettä, niin suora on tasossa (kuva 3.66) ....
(Engineering Graphicsin perusteet)

Yksityisyytesi on meille tärkeää. Tästä syystä olemme kehittäneet tietosuojakäytännön, joka kuvaa, miten käytämme ja tallennamme tietojasi. Lue tietosuojakäytäntömme ja kerro meille, jos sinulla on kysyttävää.

Henkilötietojen kerääminen ja käyttö

Henkilötiedoilla tarkoitetaan tietoja, joita voidaan käyttää tietyn henkilön tunnistamiseen tai häneen yhteyden ottamiseen.

Sinua saatetaan pyytää antamaan henkilökohtaiset tietosi milloin tahansa, kun otat meihin yhteyttä.

Alla on muutamia esimerkkejä siitä, millaisia henkilötietoja voimme kerätä ja miten voimme käyttää niitä.

Mitä henkilötietoja keräämme:

Kun jätät pyynnön sivustolle, saatamme kerätä erilaisia tietoja, kuten nimesi, puhelinnumerosi, sähköpostiosoitteesi jne.

Kuinka käytämme henkilötietojasi:

Keräämiemme henkilötietojen avulla voimme ottaa sinuun yhteyttä ja raportoida ainutlaatuisista tarjouksista, tarjouksista ja muista tapahtumista ja tulevista tapahtumista.
Ajoittain saatamme käyttää henkilötietojasi tärkeiden ilmoitusten ja viestien lähettämiseen.
Voimme myös käyttää henkilötietoja sisäisiin tarkoituksiin, kuten auditointeihin, tietoanalyyseihin ja erilaisiin tutkimuksiin parantaaksemme tarjoamiamme palveluita ja antaaksemme sinulle suosituksia palveluistamme.
Jos osallistut arvontaan, kilpailuun tai vastaavaan promootiotapahtumaan, voimme käyttää antamiasi tietoja tällaisten ohjelmien hallintaan.

Tietojen luovuttaminen kolmansille osapuolille

Emme paljasta sinulta saatuja tietoja kolmansille osapuolille.

Poikkeukset:

Jos on tarpeen - lain, tuomioistuimen määräyksen, oikeudenkäyntimenettelyjen ja / tai Venäjän federaation alueen viranomaisten julkisten kyselyjen tai pyyntöjen perusteella - luovuttaa henkilötietosi. Voimme myös paljastaa tietoja sinusta, jos katsomme, että tällainen paljastaminen on välttämätöntä tai asianmukaista turvallisuuden, lainvalvonnan tai muiden sosiaalisesti tärkeiden syiden vuoksi.
Uudelleenjärjestelyn, sulautumisen tai myynnin yhteydessä voimme siirtää keräämämme henkilötiedot asianmukaiselle kolmannelle osapuolelle - oikeudellisen seuraajan.

Henkilötietojen suojaaminen

Otamme varotoimia - mukaan lukien hallinnolliset, tekniset ja fyysiset - suojataksemme henkilökohtaisia tietojasi katoamiselta, varastamiselta ja väärinkäytöltä sekä luvattomalta käytöltä, paljastamiselta, muuttamiselta ja tuhoamiselta.

Kunnioita yksityisyyttäsi yritystasolla

Varmistaaksemme, että henkilötietosi ovat turvassa, tuomme työntekijöidemme luottamuksellisuutta ja turvallisuutta koskevat säännöt ja seuraamme tarkasti luottamuksellisuutta koskevien toimenpiteiden täytäntöönpanoa.

Tässä oppitunnissa määritämme yhdessä ohjattavat säteet ja todistamme lauseen kulmien yhtäläisyydestä sivusuuntaisten sivujen kanssa. Seuraavaksi määritämme leikkaavan suoran ja leikkaavan suoran välisen kulman. Katsotaanpa, mikä voi olla kahden suoran välinen kulma. Oppitunnin lopussa ratkaisemme useita ongelmia leikkaavien suorien viivojen välisten kulmien löytämisessä.

Aihe: Rivien ja tasojen rinnakkaisuus

Oppitunti: Kulmat, joissa on suunnatut sivut. Kahden suoran välinen kulma

Esimerkiksi mikä tahansa suora viiva OO 1(Kuva 1.), leikkaa tason kahteen puolitasoon. Jos säteet OA ja О 1 А 1 ovat yhdensuuntaisia ja sijaitsevat samassa puolitasossa, niin niitä kutsutaan yhdessä ohjattu.

Palkit О 2 А 2 ja OA eivät ole suuntaavia (kuva 1.). Ne ovat yhdensuuntaisia, mutta eivät ole samassa puolitasossa.

Jos kahden kulman sivut ovat suunnattuja yhdessä, niin tällaiset kulmat ovat yhtä suuret.

Todiste

Antakaamme meille yhdensuuntaiset säteet OA ja О 1 А 1 ja yhdensuuntaiset palkit OV ja Noin 1 in 1(Kuva 2.). Eli meillä on kaksi kulmaa AOB ja A 1 O 1 B 1 jonka sivut sijaitsevat suunnatuilla säteillä. Todistetaan, että nämä kulmat ovat yhtä suuret.

Palkin puolella OA ja О 1 А 1 valitse pisteitä A ja A 1 niin, että viivaosuudet OA ja О 1 А 1 olivat tasa -arvoisia. Samoin pisteitä V ja KOHDASSA 1 valitse niin, että segmentit OV ja Noin 1 in 1 olivat tasa -arvoisia.

Harkitse nelikulmaista A 1 O 1 OA(Kuva 3.) OA ja О 1 А 1 A 1 O 1 OA A 1 O 1 OA OO 1 ja AA 1 ovat rinnakkaisia ja tasavertaisia.

Harkitse nelikulmaista В 1 О 1 ОВ... Tässä nelikulmion puolella OV ja Noin 1 in 1 ovat rinnakkaisia ja tasavertaisia. Parallelogrammi, nelikulmio В 1 О 1 ОВ on suuntakulma. Koska В 1 О 1 ОВ- suuntakulma, sitten sivut OO 1 ja BB 1 ovat rinnakkaisia ja tasavertaisia.

Ja suoraan AA 1 yhdensuuntainen suoran kanssa OO 1, ja suoraan BB 1 yhdensuuntainen suoran kanssa OO 1 tarkoittaa suoraa AA 1 ja BB 1 ovat yhdensuuntaisia.

Harkitse nelikulmaista B 1 A 1 AB... Tässä nelikulmion puolella AA 1 ja BB 1 ovat rinnakkaisia ja tasavertaisia. Parallelogrammi, nelikulmio B 1 A 1 AB on suuntakulma. Koska B 1 A 1 AB- suuntakulma, sitten sivut AB ja A 1 B 1 ovat rinnakkaisia ja tasavertaisia.

Harkitse kolmioita AOB ja A 1 O 1 B 1. Juhlat OA ja О 1 А 1 ovat rakenteeltaan samanarvoisia. Juhlat OV ja Noin 1 in 1 ovat myös rakenteeltaan samanarvoisia. Ja kuten olemme todistaneet, molemmat puolet AB ja A 1 B 1 ovat myös tasavertaisia. Siis kolmiot AOB ja A 1 O 1 B 1 tasapuolinen kolmelta puolelta. Yhtäläisillä kolmioilla on yhtä suuret kulmat kuin vastaavat sivut. Joten kulmat AOB ja A 1 O 1 B 1 ovat tarpeen mukaan samanarvoisia.

1) Suorat leikkaavat.

Jos viivat leikkaavat, meillä on neljä eri kulmaa. Kahden suoran välinen kulma, kutsutaan pienimmäksi kahden suoran välisistä kulmista. Leikkaavien suorien viivojen välinen kulma a ja b merkitse α: lla (kuva 4.). Kulma α on sellainen.

Riisi. 4. Kahden leikkaavan suoran välinen kulma

2) Suorat rajat

Anna suorat viivat a ja b risteytys. Valitse mielivaltainen piste O... Pisteen läpi O piirretään suora viiva a 1 yhdensuuntainen suoran kanssa a, ja suoraan b 1 yhdensuuntainen suoran kanssa b(Kuva 5.). Suoraan a 1 ja b 1 leikkaavat kohdassa O... Kahden leikkaavan suoran välinen kulma a 1 ja b 1, kulma φ, ja sitä kutsutaan leikkausviivojen väliseksi kulmaksi.

Riisi. 5. Kahden ristikkäisen suoran välinen kulma

Onko kulman arvo riippuvainen valitusta pisteestä O? Valitaan piste Noin 1... Pisteen läpi Noin 1 piirretään suora viiva a 2 yhdensuuntainen suoran kanssa a, ja suoraan b 2 yhdensuuntainen suoran kanssa b(Kuva 6.). Leikkaavien suorien viivojen välinen kulma a 2 ja b 2 merkitä φ 1... Sitten kulmat φ ja φ 1 - kulmat, joissa on suunnatut sivut. Kuten olemme osoittaneet, tällaiset kulmat ovat keskenään yhtä suuret. Ristien välisen kulman arvo ei siis riipu pisteen valinnasta O.

Suoraan OV ja CD rinnakkain, OA ja CD risteyttää. Etsi suorien viivojen välinen kulma OA ja CD, jos:

1) ∠AOB= 40 °.

Valitaan piste KANSSA... Mene suoraan sen läpi CD... Me toteutamme CA 1 rinnakkain OA(Kuva 7.). Sitten kulma 1 CD- kulma suorien viivojen välillä OA ja CD... Lauseen mukaan kulmissa, joissa on suunnatut sivut, kulma 1 CD yhtä suuri kuin kulma AOB eli 40 astetta.

Riisi. 7. Etsi kahden suoran välinen kulma

2) ∠AOB= 135 °.

Tehdään sama rakenne (kuva 8.). Sitten kulma rajanylitysten välillä OA ja CD on yhtä suuri kuin 45 °, koska se on pienin kulmista, jotka saadaan, kun viivat leikkaavat CD ja CA 1.

3) ∠AOB= 90 °.

Tehdään sama rakenne (kuva 9.). Sitten kaikki kulmat, jotka saadaan suorien viivojen leikkauspisteessä CD ja CA 1 ovat yhtä suuret kuin 90 °. Haluttu kulma on 90 °.

1) Todista, että spatiaalisen nelikulmion sivujen keskipisteet ovat suuntakulman kärkiä.

Todiste

Antakaamme tilallinen nelikulmio ABCD. M,N,K,L- kylkiluiden keskellä BD,ILMOITUS,AC,Eaa vastaavasti (kuva 10.). Se on todistettava MNKL- suuntakaavio.

Harkitse kolmiota ABD. МN МN rinnakkain AB ja se on puolet.

Harkitse kolmiota ABC. LK- keskilinja. Keskilinjan ominaisuuden mukaan LK rinnakkain AB ja se on puolet.

JA МN ja LK rinnakkain AB... Tarkoittaa, МN rinnakkain LK kolmen rinnakkaisviivan lauseen mukaan.

Saamme sen nelikulmassa MNKL- sivut МN ja LK ovat rinnakkaisia ja tasavertaisia, koska МN ja LK yhtä suuri kuin puolet AB... Eli rinnan suuntaisen suorakulmion perusteella nelikulmio MNKL- rinnan suuntainen, tarvittaessa.

2) Etsi suorien viivojen välinen kulma AB ja CD jos kulma MNK= 135 °.

Kuten olemme jo todistaneet, МN yhdensuuntainen suoran kanssa AB. NK- kolmion keskiviiva ACD, omaisuuden mukaan, NK rinnakkain DC... Eli pointin kautta N on kaksi suoraa viivaa МN ja NK jotka ovat yhdensuuntaisia suorien viivojen ylityksen kanssa AB ja DC vastaavasti. Näin ollen suorien viivojen välinen kulma МN ja NK on kulma viivojen välillä AB ja DC... Meille annetaan tylsä kulma MNK= 135 °. Kulma suorien viivojen välillä МN ja NK- pienin näistä suorista leikkauspisteistä saaduista kulmista, toisin sanoen 45 °.

Joten harkitsimme kulmia, joilla oli yhteissuuntaiset sivut, ja osoitimme niiden yhtäläisyyden. Tarkastelimme leikkaavien ja risteytettyjen viivojen välisiä kulmia ja ratkaisimme useita ongelmia löytääksemme kahden suoran välisen kulman. Seuraavalla oppitunnilla jatkamme ongelmanratkaisua ja teorian tarkistamista.

1. Geometria. Luokat 10-11: oppikirja oppilaitosten opiskelijoille (perus- ja profiilitasot) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5. painos, tarkistettu ja täydennetty - M .: Mnemosina, 2008. - 288 Sivumäärä : sairas.

2. Geometria. Luokka 10-11: Oppikirja yleisille oppilaitoksille / Sharygin I.F. - M.: Bustard, 1999. - 208 S .: Ill.

3. Geometria. Luokka 10: Oppikirja oppilaitoksille, joilla on syvällinen ja erikoistunut matematiikan opiskelu / E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - Kuudes painos, stereotypia. - M .: Bustard, 008.- 233 Sivumäärä : sairas.

V) Eaa ja D 1 KOHDASSA 1.

Riisi. 11. Etsi suorien viivojen välinen kulma

4. Geometria. Luokat 10-11: oppikirja oppilaitosten opiskelijoille (perus- ja profiilitasot) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5. painos, tarkistettu ja täydennetty - M: Mnemosina, 2008. - 288 Sivumäärä: ill.

Tehtävät 13, 14, 15 s.54