Järkevä tai irrationaalinen on numero. Mikä on järkevä ja irrationaalinen numero

Järkevä numero - M / N: n tavallisen murto-osa, jossa numerointi M on kokonaisluku ja nimittäjä N on luonnollinen numero. Mikä tahansa järkevä määrä on ideologinen jaksollisen loputtoman desimaalisen fraktion muodossa. Rationaalisen numeron sarja merkitsee Q.

Jos voimassa oleva numero ei ole järkevä, niin se irrationaalinen numero. Desimaaliset fraktiot, jotka ilmaisevat irrationaalisia numeroita ovat ääretön ja ei säännöllisesti. Monet irrationaaliset numerot ilmaistaan \u200b\u200btavallisesti Latinalainen kirjain I.

Voimassa oleva numero kutsutaan algebrallinenJos se on jonkin verran polynomi (ei-ei-rasva) järkevä kertoimet. Jokainen nonalgebraalinen numero kutsutaan transsendentti.

Jotkut ominaisuudet:

Useita järkeviä numeroita sijaitsee numeerisella akselilla kaikkialla tiheästi: kahden eri järkevän numeron välillä, ainakin yksi järkevä numero sijaitsee (ja siten ääretön rationaliluku). Tästä huolimatta osoittautuu, että rationaalisen numeron q ja luonnollisten numeroiden joukko ovat vastaavia, toisin sanoen on mahdollista perustaa keskenään yksiselitteinen ottelu niiden välillä (kaikki järkevän lukumäärän elementit voidaan vuokrata).

Määritä Q-järkevä määrä on suljettu suhteessa lisäykseen, vähennys-, kertolasku- ja jako, eli määrä, ero, tuote ja yksityinen kaksi järkevää numeroa ovat myös järkeviä numeroita.

Kaikki järkevät numerot ovat algebrallisia (vastakkaisuus on virheellinen).

Jokainen todellinen transsendentinen numero on irrationaalinen.

Jokainen irrationaalinen numero on joko algebrallinen tai transsendentaalinen.

Monet irrationaaliset numerot kaikkialla tiheästi numeerisella suoralla: Kahden numeron välillä on irrationaalinen numero (ja siten ääretön irrationaalinen numero).

Monet irrationaaliset numerot syntyvät.

Tehtävien ratkaisemisessa on kätevä yhdessä irrationaalisen numeron A + B√ C: n kanssa (jossa A, B on järkevä luku, C - luonnollisen numeron neliö) pitää "konjugaatin" numeroa A - B√ C: sen summa ja toimivat alku - järkevät numerot. Niinpä A + B√ C ja A - B√ C ovat juuret neliön yhtälöön kokonaislukukertoimilla.

Tehtävät, joissa on ratkaisuja

1. Todista, että

a) numero √ 7;

b) LG 80: n määrä;

c) numero √ 2 + 3 √ 3;

on irrationaalinen.

a) Oletetaan, että numero on √ 7 järkevä. Sitten on olemassa niin molempia yksinkertaista P ja Q, mikä on √ 7 \u003d p / q, mistä saamme p 2 \u003d 7q 2. Koska P ja Q ovat molemminpuolisesti yksinkertaisia, sitten p2, ja siksi P on jaettu 7. Sitten p \u003d 7k, jossa K on luonnollinen numero. Tästä syystä Q 2 \u003d 7k 2 \u003d PK, joka on ristiriidassa sen vuoksi, että P ja Q ovat molempia osapuolia.

Joten oletus on väärä, se tarkoittaa, että numero √ 7 on irrationaalinen.

b) Oletetaan, että LG 80: n määrä on järkevä. Sitten on olemassa sellaista luonnollista P ja Q, että LG 80 \u003d P / q tai 10 p \u003d 80 Q, mistä saamme 2 p-4q \u003d 5 q-p. Ottaen huomioon, että numerot 2 ja 5 ovat molempia yksinkertaisia, saamme, että viimeinen tasa-arvo on mahdollista vain P-4Q \u003d 0 ja QP \u003d 0. Mistä P \u003d Q \u003d 0, joka ei ole mahdollista, koska P ja Q on valittu luonnollisella.

Joten oletus on väärä, se tarkoittaa, että numero LG 80 on irrationaalinen.

c) merkitse tällä numerolla X.

Sitten (x - √ 2) 3 \u003d 3 tai x 3 + 6x - 3 \u003d √ 2 · (3x 2 + 2). Tämän yhtälön rakentamisen jälkeen neliömme saamme, että X: n pitäisi täyttää yhtälö

x 6 - 6x 4 - 6x 3 + 12x 2 - 36x + 1 \u003d 0.

Sen järkevät juuret voivat olla vain numeroita 1 ja -1. Tarkista, että 1 ja -1 eivät ole juuret.

Joten tämä numero on √ 2 + 3 √ 3 \u200b\u200bon irrationaalinen.

2. Tiedetään, että numerot A, B, √ a-√ b, - järkevä. Todista se √ a ja √ b- Myös järkevä määrä.

Harkitse työtä

(√ a - √ b) · (√ a + √ b) \u003d a - b.

Määrä √ A + √ B, joka on yhtä suuri kuin numero A - B ja √ a-√ b, Se on järkevä, koska yksityinen jakaminen kaksi järkevää numeroa on järkevä numero. Kahden järkevän numeron summa

½ (√ a + √ b) + ½ (√ a - √ b) \u003d √ a

- numero on järkevä, niiden ero,

½ (√ a + √ b) - ½ (√ a - √ b) \u003d √ b,

myös järkevä numero, joka on tarpeen todistaa.

3. Todista, että on olemassa positiivisia irrationaalisia numeroita A ja B, joista numero A B on luonnollinen.

4. Onko olemassa järkeviä numeroita A, B, C, D Tasa-arvo

(A + B √ 2) 2N + (C + D√ 2) 2N \u003d 5 + 4√ 2,

missä n on luonnollinen numero?

Jos tasa-arvo suoritetaan, annetaan tilassa ja numero A, B, C, D on järkevä, niin tasa-arvo suoritetaan:

(A - b √ 2) 2N + (c - d√ 2) 2N \u003d 5 - 4√ 2.

Mutta 5 - 4√ 2 (a - b√ 2) 2N + (c - d√ 2) 2N\u003e 0. Tuloksena oleva ristiriita osoittaa, että alkuperäinen tasa-arvo on mahdotonta.

Vastaus: Älä ole olemassa.

5. Jos segmentit pituudella A, B, C muodostavat kolmion, sitten kaikki n \u003d 2, 3, 4 ,. . . Segmentit, joiden pituus n √ a, n √ b, n √ c muodostavat vain kolmio. Todista se.

Jos segmentit, joiden pituus on, B, C muodostavat kolmion, sitten trianglin eriarvoisuus antaa

Siksi meillä on

(n √ a + n √ b) n\u003e A + b\u003e c \u003d (n √ c) n,

N √ a + n √ b\u003e n √ c.

Jäljellä olevat tapaukset kolmion epätasa-arvon todentamiseksi käsitellään samalla tavoin kuin se seuraa.

6. Todista, että ääretön desimaalifraktio 0,1234567891011121314 ... (puolipisteiden peräkkäin, kaikki luonnolliset numerot on kirjoitettu järjestyksessä) on irrationaalinen numero.

Kuten tiedetään, järkevä määrä ilmaistaan \u200b\u200bdesimaalien fraktioilla, joilla on jonkin verran merkki. Siksi riittää osoittamaan, että tämä fraktio ei ole säännöllinen merkki. Oletetaan, että näin ei ole, ja jotkut sekvenssit, jotka koostuvat N-numeroista, on fraktioaika, alkaen mornista pilkuksen jälkeen. On selvää, että M-TH-merkinnän numeroiden joukossa ei ole nonzero, joten numeroiden järjestyksessä on nollaa ei-numero. Tämä tarkoittaa, että aloittamalla M-TH-numerot pilkuksen jälkeen, mistä tahansa N-numeroista peräkkäin on nollapainoinen numero. Kuitenkin tämän fraktion desimaalisessa kirjassa on oltava desimaalitietue numero 100 ... 0 \u003d 10 K, jossa k\u003e m ja k\u003e n. On selvää, että tämä merkintä vastaa M-OH-numeroiden oikeutta ja sisältää enemmän n nollia peräkkäin. Siksi saamme ristiriidan, lopulliset todisteet.

7. Infinite desimaalifraktio annetaan 0, 1 A 2 .... Todista, että desimaaliluettelossaan olevat numerot voidaan järjestää uudelleen siten, että tuloksena oleva fraktio ilmaisee järkevän numeron.

Muista, että murto-osa ilmaisee järkevän numeron siinä ja vain siinä tapauksessa, kun se on säännöllistä, alkaa jostakin merkistä. Kuviot 0 - 9 Meidän on jaetaan kahteen luokkaan: Ensimmäisessä luokassa sisällytetään ne numerot, jotka löytyvät alkuperäisestä fraktiosta. Toisen luokan lopullinen määrä aikoja - ne, jotka kohdistuvat äärettömän lukumäärän alkuperäisessä murto-osassa ajat. Aloitamme kirjoittamaan säännöllisen fraktion, joka voidaan saada numeron alustavasta permutaatiosta. Aluksi nolla ja pilkulla kirjoita kaikki numerot ensimmäisestä luokasta missä tahansa järjestyksessä - joka kerta, kun se löytyy alkuperäisen fraktion tallennuksesta. Tallennetut ensimmäisen luokan numerot edeltävät kauden desimaalin fraktion murtoosassa. Seuraavaksi kirjoitamme jossakin järjestyksessä kerralla numerot toisesta luokasta. Tämä yhdistelmä ilmoittaa kauden ja toistaa sen ääretön määrä kertaa. Näin ollen me vapautimme halutun jaksollisen fraktion, joka ilmaisee joitakin järkevää numeroa.

8. Todista, että jokaisessa äärettömän desimaalifraktiossa on sekvenssi desimaalimerkkejä mielivaltaisesta pituudesta, mikä hajoamassa Fracin hajoamisessa esiintyy äärettömän monta kertaa.

Olkoon m olla mielivaltaisesti määritelty luonnollinen numero. Rukoilemme tämän äärettömän desimaalifraktion segmenteillä, m: n numeroilla kussakin. On äärettömän monia näistä segmentteistä. Toisaalta eri M-numeroista koostuvat järjestelmät ovat vain 10 m, eli lopullinen numero. Näin ollen ainakin yksi näistä järjestelmistä on toistettava täällä loputtomiin monta kertaa.

Kommentti. Irrationaalisista numeroista √ 2, π tai e. Emme edes tiedä, mikä numero toistuu äärettömän monta kertaa edustamaan ääretöntä desimaalien fraktiot, vaikka jokainen näistä numerosta, niin helposti voidaan todistaa, sisältää vähintään kaksi erilaista tällaista numeroa.

9. Todista perusedellytyksillä, että yhtälön positiivinen juuret

on irrationaalinen.

X\u003e 0: lle yhtälön vasen osa kasvaa X: n kasvaessa, ja on helppo nähdä, että x \u003d 1,5 se on alle 10 ja x \u003d 1,6 - yli 10. Sentähden ainoa positiivinen juuret Yhtälö on intervallin (1.5, 1.6) sisällä.

Kirjoitamme juuret hämmentäväksi fraktioksi p / q, jossa P ja Q ovat molempia osapuolia yksinkertaisia \u200b\u200bluonnollisia numeroita. Sitten X \u003d P / Q yhtälö tekee seuraavan muodon:

p5 + PQ 4 \u003d 10q 5,

tästä seuraa, että P on jakaja 10, joten P on kuitenkin yhtä suuri kuin yksi numero 1, 2, 5, 10. Kuitenkin fraktiot numeroilla 1, 2, 5, 10, välittömästi huomaat, että mikään niistä ei putoaa Interval (1.5, 1.6).

Niinpä lähdeyhtälön positiivista juuria ei voida edustaa tavallisena fraktiona, mikä tarkoittaa irrationaalista numeroa.

10. A) Tee kolme tällainen piste A, B ja C tasossa, mikä tahansa piste X vähintään yhden segmentin XA, XB ja XC irrationaaliset?

b) Kolmion pisteiden koordinaatit ovat järkeviä. Todista, että kuvatun ympyrän keskuksen koordinaatit ovat myös järkeviä.

c) Onko tällainen pallo, jolla on täsmälleen yksi järkevä kohta? (Rational Point - kohta, jolla on kaikki kolme Cartesian koordinaattia - järkeviä numeroita.)

a) Kyllä, olemassa. Olkoon c olla AB: n keskellä. Sitten XC 2 \u003d (2XA 2 + 2XB 2 - AB 2) / 2. Jos numero AB 2 on irrationaalisesti, XA-, XB- ja XC-numerot eivät voi samanaikaisesti järkeviä.

b) Päästä (a 1; b 1), (A 2; b 2) ja (A 3; B3) - kolmiojen pisteiden koordinaatit. Kuvattujen ympyrän keskuksen koordinaatit asettavat yhtälöjärjestelmän:

(X - A 1) 2 + (Y - B 1) 2 \u003d (X - A 2) 2 + (Y - B 2) 2,

(X - A 1) 2 + (Y - B 1) 2 \u003d (X - A 3) 2 + (Y - B3) 2.

On helppoa varmistaa, että nämä yhtälöt ovat lineaarisia ja siksi kyseessä olevan yhtälöjärjestelmän ratkaisu järkevästi.

c) Tällainen pallo on olemassa. Esimerkiksi sphere kanssa yhtälö

(X - √ 2) 2 + Y 2 + Z 2 \u003d 2.

Piste O koordinaatit (0; 0; 0) - Rational Point makaa tällä alueella. Pallon jäljellä olevat kohdat ovat irrationaalisia. Todistamme sen.

Oletetaan päinvastainen: Olkoon (x; y; z) - pallon järkevä kohta, joka eroaa pisteestä O. On selvää, että X eroaa 0: sta, koska X \u003d 0 on yksi liuos (0; 0; 0) Emme ole nyt kiinnostuneita. PALAUTTAVAT SUKELLUKSET JA EXPORT √ 2:

x 2 - 2√ 2 x + 2 + Y 2 + Z 2 \u003d 2

√ 2 \u003d (x 2 + y 2 + z 2) / (2x),

mikä ei voi olla järkevä X, Y, Z ja irrationaalinen √ 2. Joten, O (0; 0; 0) on ainoa järkevä kohta alakohtana.

Tehtävät ilman ratkaisuja

1. Todista, että numero

\\ [\\ Sqrt (10+ \\ sqrt (24) + \\ sqrt (40) + \\ sqrt (60)) \\]

on irrationaalinen.

2. Missä muissa M- ja N tasa-arvo suoritetaan (5 + 3√ 2) m \u003d (3 + 5√ 2) n?

3. Onko tällainen numero A niin, että numero A on √ 3 ja 1 / a + √ 3 integrer?

4. Voiko numerot 1, √ 2, 4 jäsenet (ei välttämättä vierekkäin) aritmeettinen eteneminen?

5. Todista, että millä tahansa luonnollisella N, yhtälöllä (x + o√ 3) 2N \u003d 1 + √ 3 ei ole ratkaisuja järkevässä numerossa (x; y).

Monet irrationaaliset numerot ilmaistaan \u200b\u200btavallisesti Latinalainen kirje I (DisplayStyle \\ MathBB (I)) Rohkeassa merkinnällä ilman täyttöä. Tällä tavalla: I \u003d r ∖ q (displayStyle \\ MathBB (I) \u003d MathBB (R) \\ Backslash \\ MathBB (Q))Toisin sanoen monilla irrationaalisella numerolla on ero todellisten ja järkevien lukujen sarjoissa.

Järmppuluokan olemassaolo tarkemmin sanottuna muinaiset matemaatikot olivat jo tunnettuja irrationaalisen numeron olemassaolosta: ne tunnettiin esimerkiksi neliön diagonaalisen ja sivun, joka vastaa määrä.

Encyclopedic youtube.

• 1 / 5

  Irrationaalinen ovat:

  Esimerkkejä irrationaalisuudesta

  Juuri 2: sta.

  Oletetaan luonnollista: 2 (\\ DisplayStyle (\\ SQRT (2))) Rationalen, toisin sanoen se tuntuu murto-osan muodossa M n (näytelmä (\\ flac (m) (n)))missä M (näytelmäStyle m) - kokonaisluku ja N (\\ DisplayStyle N) - luonnollinen luku .

  Pystytetty arvioitu tasa-arvo neliöön:

  2 \u003d MN ⇒ 2 \u003d M 2N 2 ⇒ M 2 \u003d 2 N 2 (\\ DISPLAYSTYLE (\\ SQRT (2)) \u003d (\\ frac (m) (n)) \\ Oikea 2 \u003d (\\ frac (m ^ (2) )) (n ^ (2))) \\ rikari m ^ (2) \u003d 2n ^ (2)).

  Historia

  Antiikki

  Intian matemaatikot ovat implisiittisesti havaittavissa VII-luvun BC: ssä, kun Manava (noin 750 eKr. E. - OK. 690 eKr. ER) totesi, että joidenkin luonnollisten numeroiden neliöjuuret, kuten 2 ja 61, ei voida nimenomaisesti ilmaistua [ ] .

  Ensimmäinen todistus irrationaalisen numeron olemassaolosta johtuu tavallisesti Metason (noin 500 gg. Bc), Pythagoran. Pythagoreenien aikana uskottiin, että on olemassa yksi pituus, melko pieni ja jakamaton, mikä on kokonaisluku missä tahansa segmentissä [ ] .

  Hippas on osoittautunut tarkkoja tietoja, joista määrä oli osoittautunut. Legendan mukaan hän löysi hänet opiskelemaan pentagrammin sivujen pituutta. Siksi on järkevää olettaa, että se oli kultainen poikkileikkaus [ ] .

  Kreikan matematiikka kutsui tätä suhteellisen arvon suhdetta alogos. (epätoitettu), mutta legendojen mukaan ei antanut Hippasusta kunnioitusta. On olemassa legenda, että Hippas teki löydön, koska se oli merellä vaellus, ja heitettiin yli laidan muiden Pythagoreenin kanssa "maailmankaikkeuden elementin luomiseen, joka kieltää oppia, että kaikki maailmankaikkeuden yksiköt voidaan vähentää kokonaislukuihin ja heidän suhteidensa. " Hippasin avaaminen on antanut vakavan ongelman Pythagoran matematiikan edessä, tuhoamalla sen olettamuksen, joka on laskenut pohjaan, että numerot ja geometriset esineet ovat yhtenäisiä ja erottamattomia.

  Määritelmä irrationaalinen numero

  Järmärytystä kutsutaan sellaisiksi luvuksi, että desimaalilevyllä ovat ääretöntä ei-määräaikaisia \u200b\u200bdesimaalisia fraktioita.

  
  
  

  Esimerkiksi neliöjuuren poistaminen luonnollisista numeroista ovat irrationaalisia ja eivät ole luonnollisia numeroita. Mutta kaikki irrationaaliset numerot eivät saa purkaamalla neliöjuurita, koska divisioona on saatu numero "PI" on myös irrationaalinen, ja et todennäköisesti saa sitä, yrittää poistaa neliöjuuren luonnollisesta numerosta.

  Irrationaalisten numeroiden ominaisuudet

  Toisin kuin loputtoman desimaalisen fraktion numerot, vain irrationaaliset numerot tallennetaan ei-jaksoittaisilla loputtomilla desimaalisilla fraktioilla.
  Kahden ei-negatiivisen irrationaalisen numeron summa voi olla järkevä numero.
  Järmärytysnumerot määrittelevät osan vähennykset useilla järkevällä numerolla alemmassa luokassa, joilla ei ole suurinta numeroa, eikä ole pienempiä yläosassa.
  Mikä tahansa todellinen transsendentinen numero on irrationaalinen.
  Kaikki irrationaaliset numerot ovat joko algebrallisia tai transsenttisia.
  Useat irrationaaliset numerot suoraan sijaitsevat tiukasti ja omien kahden numeron välillä on irrationaalinen numero.
  Monet irrationaaliset numerot ovat äärettömän, loputtomasti ja on lukuinen 2. luokka.
  Kun suoritat aritmeettisen toiminnan järkevällä numerolla, lukuun ottamatta jakoa 0, sen tulos on järkevä numero.
  Lisäksi järkevä numero irrationaalinen, seurauksena jäämääräinen numero saadaan aina irrationaalinen numero.
  Lisäksi irrationaalisen numeron tuloksena voimme saada järkevä määrä.
  Monet irrationaaliset numerot eivät ole edes.
  

  Numerot eivät ole irrationaalisia

  Joskus on melko vaikea vastata kysymykseen, onko numero irrationaalinen, varsinkin tapauksissa, joissa numero on desimaalisen fraktion tai numeerisen ilmentämisen, juuren tai logaritmin muodossa.

  Siksi se ei ole tarpeettomia tietää, mitä numerot eivät kuulu irrationaaliseen. Jos noudatat irrationaalisten numeroiden määritelmiä, olemme jo tiedossa, että järkevä määrä ei voi olla irrationaalinen.

  Ruudut eivät ole:

  Ensinnäkin kaikki luonnolliset numerot;
  Toiseksi, kokonaislukut;
  Kolmas, tavalliset fraktiot;
  Neljäs, erilaiset sekoitetut numerot;
  Viides, nämä ovat loputtomia säännöllisiä desimaalisia fraktioita.
  

  Listattujen lisäksi irrationaalinen numero ei voi olla mikä tahansa järkevämäärän yhdistelmä, jota esiintyy aritmeettisten operaatioiden, kuten +, - ,,,: koska kahden järkevän numeron tuloksena on järkevä numero .

  Ja nyt katsotaan, mitä numerot ovat irrationaalisia:

  
  
  

  Ja tiedätkö faniklubin olemassaolosta, jossa tämän salaperäisen matemaattisen ilmiön fanit etsivät kaikkia uusia tietoja PI: stä, yrittäen ratkaista häntä. Tämän klubin jäsen voi terästää henkilöä, joka tuntee tietyn määrän PI: n lukumäärää pilkulla;

  Tiedätkö, että Saksassa Unescon suojelussa Kestadental Monte-palatsi johtuen siitä, minkä mittasuhteet voidaan laskea PI. Koko palatsi, joka on omistettu tähän numeroon King Friedrich II.

  On osoittautunut, että numero PI yritti käyttää Babylonian tornin rakentamisen aikana. Mutta Prelealille se johti projektin romahtamiseen, koska sitä ei ollut riittävästi tutkittu riittävästi PI-arvon täsmällisellä laskemisella.

  Laulaja Kate Bush hänen uudessa levyssä tallensi laulun nimeltä "Pi", jossa sata kaksikymmentäneljä numeroa tuli kuuluisasta numeerisesta sarjasta 3, 141 ... ..

  Aikaisemmin olemme jo osoittaneet, että $ 1 frac25 $ on lähellä $ $ sqrt2 $. Jos se olisi juuri $ \\ sqrt2 $ ,. Sitten suhde on $ + frac (1 \\ frac25) (1) $, joka voidaan kääntää kokonaislukujen suhde $ \\ frac75 $, kertoo murtoman ylä- ja alaosat 5: ssä, ja se olisi haluttu arvo .

  Mutta valitettavasti $ 1 \\ frac25 $ ei ole tarkka arvo $ \\ sqrt2 $. Tarkempi vastaus on $ 1 \\ frac (41) (100) $, antaa meille $ + frac (141) (100) $. Me saavutamme vielä suuremman tarkkuuden, kun vahvistimme $ \\ sqrt2 $ - $ 1 frac (207) (500) $. Tällöin kokonaislukujen suhde on yhtä suuri kuin $ + frac (707) (500) $. Mutta molemmat $ 1 frac (207) (500) $ ei ole tarkka arvo neliön juuresta 2. Kreikan matemaatikot viettivät paljon aikaa ja vaivaa laskea tarkka arvo $ \\ sqrt2 $, mutta se ei ollut mahdollista. He eivät voineet edustaa suhdetta $ + frac (\\ sqrt2) (1) $ kokonaislukujen muodossa.

  Lopuksi suuri kreikkalainen matemaatikko euclide osoitti, että vaikka laskelmien tarkkuus kasvaa, on mahdotonta saada tarkka arvo $ \\ sqrt2 $. Ei ole tällaista fraktiota, joka on koholla neliöön, antaa sen seurauksena. 2. He sanovat, että Pythagoras tuli ensin tähän johtopäätökseen, mutta tämä selittämätön tosiasia oli tutkija, jonka hän vannoi itsensä ja otti valan pitää tämän avaaminen salassa. Ehkä nämä tiedot eivät kuitenkaan vastaa todellisuutta.

  Mutta jos numero $ \\ frac (\\ sqrt2) (1) ei voi edustaa kokonaislukujen suhdetta, niin ei, sisältää $ \\ sqrt2 $, esimerkiksi $ \\ frac (\\ sqrt2) (2) $ tai $ frac (4) (\\ sqrt2) $ voidaan myös edustaa kokonaislukujen suhdetta, koska kaikki tällaiset fraktiot voidaan muuntaa $ + frac (\\ sqrt2) (1) $ kerrottuna jonkinlaisella numerolla. Niinpä $ frac (\\ sqrt2) (2) \u003d \\ frac (\\ sqrt2) (1) \\ Times \\ Frac12 $. Tai $ frac (\\ sqrt2) (1) \\ Times 2 \u003d 2 \\ frac (\\ sqrt2) (1) $, joka voidaan muuntaa, kertoo ylemmän ja alemman osan $ \\ sqrt2 $ ja saada $ \\ frac ( 4) (\\ sqrt2) $. (Meidän ei pidä unohtaa, että riippumatta siitä, mikä on $ $ sqrt2 $, jos moninkertaistamme sen $ \\ sqrt2 $, sitten saamme 2.)
  
  Koska numero $ \\ sqrt2 $ ei voi lähettää kokonaislukujen suhteessa, sillä on nimi irrationaalinen numero. Toisaalta kaikki numerot, joita voidaan edustaa kokonaislukujen suhdetta, kutsutaan järkevä.

  Kaikki muut ja murto-numerot ovat järkeviä, sekä positiivisia että negatiivisia.

  Kuten se osoittautui, useimmat neliön juuret ovat irrationaalisia numeroita. Rationaaliset neliön juuret ovat vain useissa neliöiden numeroissa. Näitä numeroita kutsutaan myös täydellisiksi neliöiksi. Rationaaliset numerot ovat myös fraktioita, jotka koostuvat näistä ihanteellisista neliöistä. Esimerkiksi $ \\ sqrt (1 \\ frac79) $ on järkevä numero, koska $ \\ sqrt (1 \\ frac79) \u003d \\ frac (\\ sqrt16) (\\ sqrt9) \u003d \\ frac43 $ tai $ 1 \\ frac13 $ (4 on Juuri neliö 16 ja 3 - neliöjuuri 9).

  Numeron ymmärtäminen, erityisesti luonnolliset numerot, on yksi vanhimmista matemaattisista "taidoista". Monet sivilisaatiot, jopa modernit, johtuivat joistakin mystisistä ominaisuuksista, koska ne ovat valtavaan luonteeltaan. Vaikka nykyaikainen tiede ja matematiikka eivät vahvista näitä "Magic" -ominaisuuksia, numeron teorian arvo on kiistaton.

  Historiallisesti monet luonnolliset numerot ilmestyivät ensin, sitten murto ja positiiviset irrationaaliset numerot lisättiin niihin. Nolla ja negatiiviset numerot otettiin käyttöön useiden voimassa olevien lukujen osastojen jälkeen. Viimeinen sarja, monet monimutkaiset numerot, ilmestyi vain nykyaikaisen tieteen kehittämiseen.

  Nykyaikaisessa matematiikassa numerot eivät ole historiallisessa järjestyksessä, vaikkakin melko lähellä sitä.

  Luonnonumerot $ \\ MathBB (n) $

  Luonnonumeron joukko on usein osoitettu kuin $ MATHBB (N) \u003d \\ LEBACE 1,2,3,4 ... \\ RBRACE $, ja usein sitä täydennetään nollalla, merkitsee $ \\ MathBB (n) _0 $.

  $ \\ MathBB (n) $, lisäystoiminta (+) ja kertolasku ($ \\ CDOT $) määritellään seuraavilla ominaisuuksilla $ A, B, C \\ MATHBB (N) $:

  1. $ A + B \\ MATHBB (N) $, $ A \\ CDOT B \\ MATHBB (N) $ SET $ MATHBB (N) $ on suljettu suhteessa lisäys- ja kertolasku
  2. $ A + B \u003d B + A $, $ A \\ CDOT B \u003d B \\ CDOT $ Commutativity
  3. $ (A + B) + C \u003d A + (B + C) $, $ (A \\ CDOT B) \\ CDOT C \u003d A \\ CDOT (B \\ CDOT C) $ Associativity
  4. $ A \\ CDOT (B + C) \u003d A \\ CDOT B + A \\ CDOT C $ Jakelu
  5. $ A \\ CDOT 1 \u003d A $ on neutraali elementti kertolaskusta

  Koska asetettu $ \\ MathBB (N) $ sisältää neutraalin elementin kertolaskusta, mutta ei lisäksi, nollan lisääminen tähän sarjaan takaa neutraalin elementin sisällyttämisen siihen lisätään.

  Näiden kahden toiminnan lisäksi $ \\ MathBB (n) $ määrittelee suhdetta "vähemmän" ($

  1. $ A b $ trichotomy
  2. Jos $ a \\ leq b $ ja $ b \\ leq a $, sitten $ a \u003d b $ Antisymmetria
  3. Jos $ a \\ leq b $ ja $ b \\ leq c $, sitten $ a \\ leq c $ transity
  4. Jos $ A \\ Leq B $, sitten $ a + c \\ leq b + c $
  5. Jos $ a \\ leq b $, sitten $ a \\ cdot c \\ leq b b \\ cdot c $

  Integerit $ \\ MathBB (z) $

  Esimerkkejä kokonaislukuista:
  $1, -20, -100, 30, -40, 120...$

  Yhtälön $ + x \u003d b $ ratkaisu, jossa $ ja $ B $ on tunnettu luonnollinen numero, ja $ x $ on tuntematon luonnollinen numero, edellyttää uuden toiminnan käyttöönottoa (-). Jos on luonnollinen numero $ x $, tyydyttävä tämä yhtälö, sitten $ x \u003d B-A $. Tällä erityisellä yhtälöllä ei kuitenkaan ole välttämättä ratkaisua $ + MathBB (n) $, joten käytännön näkökohdat edellyttävät luonnollisten lukumäärien laajentamista siten, että sisällytetään tällaisen yhtälön ratkaisuja. Tämä johtaa monien kokonaislukujen käyttöönottoon: $ MathBB (Z) \u003d \\ LUBACE 0,1, -1.2, -2.3, -3 ... \\ RBRACE $.

  Koska $ \\ MathBB (n) \\ Subet \\ MathBB (Z) $, on loogista olettaa, että aiemmin käyttöön otettu toiminta $ + $ ja $ \\ cdot $ ja suhde $ 1. $ 0 + A \u003d A + 0 \u003d A $ on neutraali elementti lisäyksille
  2. $ A + (- A) \u003d (- A) + A \u003d 0 $ On päinvastainen numero $ - $ $ A $
  

  Kiinteistövälitys 5.:
  5. Jos $ 0 \\ leq a $ ja $ 0 \\ leq b $, sitten $ 0 \\ leq a \\ cdot b $

  Set $ \u200b\u200b\\ MathBB (Z) $ on myös suljettu ja suhteessa vähennystoimintaan eli $ (\\ Forall A, B \\ MathBB (Z)) (A-B \\ MathBB (Z)) $.

  Rational Numbers $ \\ MathBB (Q) $

  Esimerkkejä järkevästä numerosta:
  $ FRAC (1) (2), \\ FRAC (4) (7), - \\ FRAC (5) (8), \\ FRAC (10) (20) ... $

  Nyt harkitse yhtälöitä $ A \\ Cdot X \u003d B $, jossa $ ja $ b $ ovat tunnettuja kokonaislukuja ja $ x $ on tuntematon. Jotta ratkaisu olisi mahdollista, on välttämätöntä ottaa käyttöön divisioona ($: $) ja ratkaisu hankkii lomakkeen $ x \u003d b: a $, eli $ x \u003d \\ frac (b) (a ) $. Jälleen on ongelma, että $ x $ ei aina kuulu $ \\ MathBB (Z) $, joten monia kokonaislukuja on laajennettava. Näin ollen useat järkevä määrä $ \\ MathBB (Q) $ otetaan käyttöön elementteillä $ \\ frac (p) (q) $, jossa $ p \\ Mathbb (Z) $ ja $ Q \\ \\ MathBB (n) $. SET $ \\ MATHBB (Z) $ on osajoukko, jossa jokainen elementti $ Q \u003d 1 $, siksi $ \\ MathBB (Z) \\ Subjekti \\ MathBB (Q) $ ja lisäys ja lisääntyminen jaetaan ja Aseta seuraavien sääntöjen mukaisesti, jotka säilyttävät kaikki edellä mainitut ominaisuudet ja Set $ \u200b\u200b\\ MATHBB (Q) $:
  $ + Frac (p_1) (q_1) + \\ frac (p_2) (q_2) \u003d \\ frac (p_1 \\ cdot q_2 + p_2 \\ cdot q_1) (Q_1 \\ CDOT Q_2) $
  $ \\ Frac (P-1) (Q_1) \\ CDOT \\ frac (p_2) (q_2) \u003d \\ frac (p_1 \\ cdot p_2) (Q_1 \\ CDOT Q_2) $

  Divisioona ruiskutetaan tällä tavoin:
  $ + Frac (p_1) (q_1): \\ frac (p_2) \u003d \\ frac (p_1) (q_1) \\ cdot \\ frac (q_2) (p_2) $

  SET $ MATHBB (Q) $, $ A \\ CDOT X \u003d B $ DINAGE on yksi ratkaisu jokaiselle $ A \\ Neq 0 $ (divisioona nollaan ei ole määritelty). Tämä tarkoittaa, että on olemassa käänteinen elementti $ + frac (1) (a) $ tai $ a ^ (- 1) $:
  $ (\\ Forall A \\ MathBB (Q) \\ SETMINUS \\ LUBACE 0 \\ RBRACE) (on olemassa \\ frac (1) (a)) (a \\ cdot \\ frac (1) (a) \u003d \\ frac (1) (a) \\ CDOT A \u003d A) $

  Materiaalin MathBB (Q) $ määräyksen määrää voidaan laajentaa tällä tavoin:
  $ \\ Frac (p_1) (q_1)

  Monet $ MathBB (Q) $ on yksi tärkeä omaisuus: on äärettömän monia muita järkeviä numeroita kahden järkevän numeron välillä, joten ei ole kaksi naapuria järkevää numeroa, toisin kuin luonnolliset ja kokonaislukut.

  Irrationaaliset numerot $ \\ MathBB (I) $

  Esimerkkejä irrationaalisista numeroista:
  $0.333333...$
  $ \\ Sqrt (2) \\ noin 1.41422135 ... $
  $ \\ pi \\ noin 3.1415926535 ... $

  Koska on olemassa äärettömän monia muita järkeviä lukuja kahden järkevän numeron välillä, on helppo tehdä virheellinen johtopäätös siitä, että monet järkevä määrä ovat niin tiheitä, että sen laajentamista ei tarvita. Jopa pythagoras kerralla teki tällaisen virheen. Hänen nykyaikansa on kuitenkin jo kielsi tämän johtopäätöksen yhtälö $ X \\ CDOT X \u003d 2 $ ($ x ^ 2 \u003d $ 2) useilla järkevällä numerolla. Tällaisen yhtälön ratkaisemiseksi on välttämätöntä ottaa käyttöön neliöjuuri, ja sitten tämän yhtälön ratkaisu on lomake $ x \u003d \\ sqrt (2) $. Yhtälötyyppi $ x ^ 2 \u003d $, jossa $ A $ on tunnettu järkevä numero, ja $ x $ on tuntematon, ei aina ole ratkaisua useilla järkevällä numerolla, ja jälleen on tarpeen laajentaa setti. Monet irrationaaliset numerot syntyvät, ja tällaiset numerot $ \\ sqrt (2) $, $ \\ sqrt (3) $, $ \\ pi $ ... kuuluvat tähän sarjaan.

  Todelliset numerot $ \\ MathBB (R) $

  Rationaalisten ja irrationaalisten numeroiden sarjojen yhdistelmä on paljon voimassa olevia numeroita. Koska $ \\ Mathbb (Q) \\ Subjekti \\ MathBB (R) $ on jälleen looginen olettaa, että syötetyt aritmeettiset toiminnot ja suhde säilyttävät ominaisuudet uudessa sarjassa. Muodollinen todistus on erittäin vaikeaa, joten aritmeettisten operaatioiden edellä mainitut ominaisuudet ja reaalilukujen välinen suhde syötetään aksioiksi. Algebrassa tällaista kohdetta kutsutaan kenttäksi, joten he sanovat, että monet kelvolliset numerot ovat tilattu kenttä.

  Jotta voidaan määritellä monenlaisia \u200b\u200bvoimassa olevia numeroita täydelliseksi, on tarpeen ottaa käyttöön lisäakseli, joka erottaa $ \\ MATHBB (Q) $ ja $ \\ MATHBB (R) $. Oletetaan, että $ s $ on monien voimassa olevien numeroiden ei-tyhjä osake. Elementti $ B \\ MathBB (R) $ kutsutaan $ s $ st: n ylärauraan, jos $ \\ Forall X \\ S $ on Fair $ X \\ Leq B $. Sitten he sanovat, että monet $ s $ rajoittuu ylhäältä. Pienin yläraja lukuisen $ s $ kutsutaan supremumiksi ja merkitsee $ \\ sup s $. Vastaavasti alemman rajan käsitteet, sarja, rajoitettu pohjaan ja Infinum of $ Infinum otetaan käyttöön. Nyt puuttuva aksiom on seuraava:

  Kaikkien voimassa olevien numeroiden ei-tyhjä ja rajoitettu osajoukko on yllä.
  Voidaan myös osoittaa, että edellä mainittujen voimassa olevien lukujen alalla on ainoa.

  Monimutkaiset numerot $ \\ MathBB (C) $

  Esimerkkejä monimutkaisista numeroista:
  $(1, 2), (4, 5), (-9, 7), (-3, -20), (5, 19),...$
  $ 1 + 5i, 2 - 4i, -7 + 6i ... $ Missä $ i \u003d \\ sqrt (-1) $ tai $ i ^ 2 \u003d -1 $

  Useat monimutkaiset numerot ovat kaikki tilatut pätevät numerot, eli $ \\ MATHBB (C) \u003d \\ MATHBB (R) ^ 2 \u003d \\ MATHBB (R) \\ TIMES \\ MATHBB (R) $, johon Lisäys ja lisääntyminen määräytyvät seuraavalla tavalla:
  $ (A, B) + (C, D) \u003d (A + B, C + D) $
  $ (a, b) \\ CDOT (C, D) \u003d (AC-BD, AD + BC) $

  Monimutkaisia \u200b\u200bnumeroita on useita muotoja, joista yleisimmillä on lomake $ Z \u003d A + IB $, jossa $ (a, b) $ on pari voimassa olevaa numeroa ja numero $ i \u003d (0,1) $ kutsutaan kuvitteelliseksi yksikköksi.

  On helppo osoittaa, että $ i ^ 2 \u003d -1 $. Laajennus $ MathBB (R) $ per setti $ MathBB (C): n avulla voit määrittää negatiivisten lukujen neliöjuuret, jotka aiheuttivat monimutkaisten numeroiden käyttöönoton. On myös helppo osoittaa, että usean dollarin MathBB: n (C) osajoukko, joka on määritelty $ \\ MathBB (C) _0 \u003d \\ LBRACE (a, 0) | A \\ MathBB (R) \\ RBrace $, Täyttää kaikki voimassa olevat numerot, joten $ \\ MATHBB (C) _0 \u003d \\ MATHBB (R) $, tai $ R \\ BIDET \\ MATHBB (C) $.

  Useiden MathBB: n (C) suurimman osan algebrallinen rakenne suhteessa lisäys- ja moninkertaistumiseen on seuraavat ominaisuudet:
  1. Lisäys ja lisääntyminen
  2. Lisäyksen ja lisääntymisen yhdistys
  3. $ 0 + I0 $ - Neutraali Elementti lisäys
  4. $ 1 + I0 $ - Neutraali elementti kertolasku
  5. Kertoilutajakauma lisäyksen suhteen
  6. Sekä lisäys ja moninkertaistuminen.