Tehtävä 1. (Curvilinear trapetsiumin alueen laskemisessa).

Decarttisessa suorakulmaisessa XOY-koordinaattijärjestelmässä annetaan luku (katso kuva), jota rajoittavat akselilla x, suora X \u003d A, X \u003d B (kaarevuus trapetsium. Sen on laskettava kaarevan trapetsiumin alue.
Päätös. Geometria antaa meille reseptejä laskemiseksi polygonien ja ympyrän osa-alueiden laskemiseksi (sektori, segmentti). Geometristen näkökohtien avulla voimme löytää vain halutun alueen likimääräisen arvon, joka väittää seuraavasti.

Me rikkomme segmentin [a; b] (Curvilinear Trapeziumin perusta) n yhtäläiset osat; Tämä osio suoritetaan pisteiden X 1, X 2, ... X K, ... X N-1. Vietämme suoraan suorat, rinnakkaiset akselit. Sitten määritetyt CURVILINEAR TRAPEZIUM BRACKS ON N-osissa, n kapeilla sarakkeilla. Koko Trapeziumin pinta-ala on yhtä suuri kuin sarakkeiden alueen summa.

Harkitse erillistä K-B-väriä, ts. Curvilinear Trapezium, jonka pohja, jonka segmentti palvelee. Vaihda se suorakulmiolla, jolla on sama pohja ja korkeus f (x k) (katso kuva). Suorakulmion pinta-ala on yhtä suuri kuin \\ (f (x_K) \\ CDOT \\ Delta X_K \\), jossa \\ (\\ DELTA X_K \\) on segmentin pituus; Luonnollisesti kannattaa koostua työstä K-T-sarakkeen alueen likimääräisellä arvolla.

Jos nyt teet samoin kaikkien muiden sarakkeiden kanssa, tulemme seuraaviin tuloksiin: tietyn kaarevan trapezionin pinta-ala on suunnilleen yhtä suuri kuin N N porrastettu kuvio, joka koostuu n suorakulmioista (ks. Kuva):
\\ (S_n \u003d f (x_0) \\ DELTA X_0 + \\ DOTS + F (X_K) \\ DELTA X_K + \\ DOTS + F (X_ (n - 1)) \\ DELTA X_ (N-1) \\)
Tässä nimeämisen yhtenäisyyden vuoksi uskomme, että A \u003d X 0, B \u003d X N; \\ (\\ DELTA X_0 \\) - Segmentin pituus, \\ (\\ DELTA X_1 \\) - pituus jne.; Samaan aikaan, kuten olemme sopineet edellä, \\ (\\ DELTA X_0 \u003d \\ DOTS \u003d \\ DELTA X_ (N-1) \\)

Joten, \\ (s \\ noin s_n \\), ja tämä on likimääräinen tasa-arvo, sitä tarkemmin, sitä enemmän n.
Määritelmän mukaan uskotaan, että curvilinear trapetsiumin haluttu alue on yhtä suuri kuin sekvenssiraja (S N):
$$ s \u003d \\ lim_ (n \\ \\ infty) s_n $$

Tehtävä 2. (Tietoja liikkuvasta pisteestä)
Materiaalipiste liikkuu suorassa. Nopeuden riippuvuus ajoissa ilmaistaan \u200b\u200bkaavalla V \u003d V (t). Etsi pisteen liike ajanjaksolla [a; b].
Päätös. Jos liike oli yhtenäinen, tehtävä olisi hyvin yksinkertainen: S \u003d VT, ts. S \u003d V (B - A). Epätasainen liikennettä varten sinun on käytettävä samoja ajatuksia, joihin edellisen tehtävän päätös perustui.
1) Me jakaamme aikaväli [a; b] N-tasoilla.
2) Harkitse aikaväliä ja oletamme, että tämän ajan kuluessa nopeus oli vakio, kuten t k: n aikana. Joten uskomme, että v \u003d v (t k).
3) Etsi pisteen liikkeen likimääräinen arvo aikavälillä, tämä on likimääräinen arvo, joka ilmaisee s k
\\ (S_K \u003d V (T_K) \\ Delta T_K \\)
4) Etsi S: n likimääräinen liike
\\ (s "s_n \\) missä
\\ (S_n \u003d s_0 + \\ DOTS + S_ (N-1) \u003d V (T_0) \\ DELTA T_0 + \\ DOTS + V (T_ (n - 1)) \\ DELTA T_ (N-1) \\)
5) Haluttu liike on yhtä suuri kuin sekvenssiraja (t):
$$ s \u003d \\ lim_ (n \\ \\ infty) s_n $$

Yhteenveto. Eri tehtävien ratkaisut ovat ajoivat samaan matemaattiseen malliin. Monet haasteet eri tieteen ja teknologian aloista johtavat saman mallin ratkaisemisessa. Joten tämä matemaattinen malli on opittava nimenomaan.

Tietyn kiinteän integraalin käsite

Me annamme matemaattisen kuvauksen mallista, joka on rakennettu kolmessa tarkastellussa tehtävässä Y \u003d F (x), jatkuva (mutta ei välttämättä nonnegatiivinen, koska se oletettiin käsiteltävissä tehtävissä) segmentillä [a; B]:
1) jakaa segmentti [A; b] N-tasoilla;
2) Teemme summan $$ s_n \u003d f (x_0) \\ DELTA X_0 + F (X_1) \\ DELTA X_1 + \\ DOTS + F (X_ (N-1)) \\ DELTA X_ (N-1) $$
3) Laske $$ \\ lim_ (n \\ \\ infty) s_n $$

Matemaattisen analyysin aikana on osoitettu, että tämä raja jatkuvan (tai palasen jatkuvan) toiminnon tapauksessa on olemassa. Hän on kutsuttu tietty integraali toiminnasta y \u003d f (x) segmentillä [a; b] Ja merkitsee:
\\ (\\ IT \\ LIMITS_A ^ B F (x) DX \\)
Numerot A ja B kutsutaan integraation rajoituksiksi (vastaavasti alemmalla ja ylemmällä).

Palaa edellä mainittuihin tehtäviin. Tehtävässä 1 annetun alueen määritelmä voi nyt kirjoittaa seuraavasti:
\\ (S \u003d \\ int \\ LIMITS_A ^ b f (x) DX \\)
Tässä on edellä kuvatussa kuvassa kuvatun kaarevan trapezoidin pinta-ala. Tämä koostuu erityisen integraalin geometrinen merkitys.

Liikkeen pisteen määrittäminen, joka liikkuu suorassa linjassa nopeudella V \u003d V (t) T \u003d A - T \u003d B annetun ajanjakson aikana, joka annetaan tehtävässä 2, voit kirjoittaa sen uudelleen:

Newtonin Formula - Leibnia

Aluksi he vastaavat kysymykseen: Mikä on erityinen integraali ja primitiivinen suhde?

Vastaus löytyy ongelmasta 2. Toisaalta liikkeen piste siirtyy suorassa linjassa nopeudella v \u003d V (t) ajanjakson aikana T \u003d A - T \u003d B ja lasketaan kaava
\\ (S \u003d \\ int \\ LIMITS_A ^ B V (t) DT \\)

Toisaalta liikkuvan pisteen koordinaatti on primitiivinen nopeudella - merkitsee sen s (t); Se tarkoittaa, että liikkeen S ilmaisee kaava S \u003d S (B) - S (A). Tämän seurauksena saamme:
\\ (S \u003d \\ int \\ LIMITS_A ^ B V (t) DT \u003d S (b) -S (A) \\)
jossa s (t) on alkeellinen V (t).

Seuraava teorema on osoittautunut matemaattisen analyysin aikana.
Lause. Jos toiminto y \u003d f (x) on jatkuva segmentillä [A; b], sitten kaava on voimassa
\\ (S \u003d \\ int \\ LIMITS_A ^ b f (x) dx \u003d f (b) -f (a) \\)
jossa f (x) on primitiivinen f (x).

Saatua kaavaa kutsutaan yleensä newton Formula - Leibnia Isaac Newtonin englantilaisen fysiikan (1643-1727) ja Gottfried Leibnitsan (1646-1716) saksalaisen filosofin kunniaksi, joka sai sen itsenäisesti toisistaan \u200b\u200bja lähes samanaikaisesti.

Käytännössä f b (b) - f (a), he käyttävät ennätyksen \\ (vasen. F (x) oikean | _a ^ b \\) (sitä kutsutaan joskus kaksinkertainen korvaus) Ja näin ollen Rewrite Newtonin kaava - Leibnitsa tässä muodossa:
\\ (S \u003d \\ int \\ LIMITS_A ^ b f (x) dx \u003d vasen. F (x) oikean | _a ^ b \\)

Tietojenkäsittely tietty kiinteä, ensin löytää primitiiviset ja suorita sitten kaksinkertainen substituutio.

Newtonin kaavaan - Leibnitsa, voit saada kaksi ominaisuutta tiettyyn kiinteistöön.

Kiinteistö 1. Integraali toimintojen määrästä on yhtä suuri kuin integraalien summa:
\\ (\\ int \\ LIMITS_A ^ B (f (x) + g (x)) DX \u003d \\ int \\ LIMITS_A ^ b f (x) DX + \\ int \\ LIMITS_A ^ b g (x) DX \\)

Kiinteistövälitys 2. Integroitu merkki voidaan saavuttaa pysyvästi:
\\ (\\ IT \\ LIMITS_A ^ B KF (X) DX \u003d K \\ INT \\ LIMITS_A ^ B f (x) DX \\)

Litteiden ominaisuuksien laskeminen tietyn integraalin avulla

Integraalin avulla voit laskea alueen paitsi Curvilinear Trapeats, vaan myös tasaiset luvut enemmän monimutkainen näkymäEsimerkiksi tämä esitetään kuvassa. Kuvio P rajoittuu suoraan X \u003d A, X \u003d B ja jatkuvien toimintojen y \u003d f (x), y \u003d g (x) ja segmentin [a; b] Tehdetään eriarvoisuus \\ (g (x) \\ leq f (x) \\). Lasketaan tällaisen kuvan neliön S, toimimme seuraavasti:
\\ (S \u003d s_ (abcd) \u003d s_ (ADCB) - S_ (AABB) \u003d \\ int \\ LIMITS_A ^ b f (x) DX - \\ int \\ LIMITS_A ^ B g (x) dx \u003d \\)
\\ (\u003d \\ int \\ LIMITS_A ^ B (f (x) -g (x)) DX \\)

Niinpä alue S on suora X \u003d A, X \u003d B ja funktiot Y \u003d F (x), y \u003d g (x), jatkuva segmentistä ja segmentin [ A; b] Esitettävyys \\ (g (x) \\ leq f (x) \\) suoritetaan, lasketaan kaavalla
\\ (S \u003d \\ int \\ LIMITS_A ^ B (k (x) -g (x)) DX \\)

Taulukko määrittelemättömien integraalien (primitiivinen) jotkin toiminnot

$$ \\ int 0 \\ CDOT DX \u003d C $$$$ \\ int 1 \\ CDOT DX \u003d X + C $$$$ \\ int x ^ n dx \u003d \\ frac (x ^ (n + 1)) (n + 1) ) + C \\; \\; (N \\ neq -1) $$$$ \\ int \\ frac (1) (x) dx \u003d \\ ln | x | + C $$$$ \\ int e ^ x dx \u003d e ^ x + c $$$$ \\ int a ^ x dx \u003d \\ frac (a ^ x) (\\ l a) + c \\; \\; (A\u003e 0, \\; \\ n neq 1) $$$$ \\ int \\ cos x dx \u003d \\ sin x + c $$$$ \\ int \\ sin x dx \u003d - - cos x + c $$$ $ \\ int \\ frac (dx) (\\ cos ^ 2 x) \u003d \\ teksti (TG) x + c $$$$ \\ int \\ frac (dx) (\\ st ^ 2 x) \u003d - \\ Teksti (CTG) X + C $$$$ \\ int \\ frac (DX) (\\ sqrt (1-x ^ 2)) \u003d \\ Teksti (ARCSIN) X + C $$$$ \\ int \\ frac (DX) (1 + x ^ 2 ) \u003d \\ Teksti (arctg) x + c $$$$ \\ int \\ teksti (ch) x dx \u003d \\ teksti (sh) x + c $$$$ \\ int \\ teksti (sh) x dx \u003d \\ teksti (CH) ) X + C $$

Tietty kiinteä. Kuinka laskea kuvion pinta-ala

Mene olennaisista sovelluksista. Tässä oppitunnissa analysoimme tyypillisen ja yleisen tehtävän. - Kuinka laskea tason muotoinen tietty integraali. Viimeinkin nähdä merkityksen Korkeimmassa matematiikassa - anna hänen löytää sen. Vähän. Meidän täytyy tuoda lähemmäksi elämää maa mökki alue Elementary-toiminnot ja löytää alueensa tietyn integraalin avulla.

Onnistuneen materiaalin kehittämisen kannalta on tarpeen:

1) ymmärtää epävarma integraali ainakin keskimääräisellä tasolla. Siten teekannosten pitäisi olla perehtynyt oppitunnille Ei.

2) pystyä soveltamaan Newton Labnic Formula ja laskea tietty integraali. Luodaan lämmin ystävälliset suhteet Tiettyjen integraalien avulla voit sivulla Tietty kiinteä. Esimerkkejä ratkaisuista.

Itse asiassa, jotta löydettäisiin luku, ei ole tällaista tietämystä epävarmasta ja määritellystä kiinteästä. Tehtävä "Laske alue tietyn kiinteän aineen avulla" tarkoittaa aina piirustuksen rakentamista, niin paljon enemmän todellinen kysymys Tietämyksesi ja taitosi rakentaa piirustuksia. Tältä osin on hyödyllistä päivittää tärkeimpien elementtisten toimintojen muistoksi ja ainakin pystyä rakentamaan suora, parabola ja hyperbola. Se voidaan tehdä (monet - tarvitaan) mestaumainen materiaali ja artikkelit geometrisista muutoksista kaavioista.

Itse asiassa tehtävänä löytää alue, jolla on tietty kiinteä, jokainen tuntee koulusta, ja me syömme vähän eteenpäin kouluohjelma. Tämä artikkeli ei voinut edes olla, mutta tosiasia on, että tehtävä löytyy 99 tapauksesta 100: sta, kun opiskelija kärsii vihamielisestä tornista, jossa on innostusta, joka lähtee korkeammasta matematiikan kurssista.

Tämän työpajan materiaalit esitetään yksinkertaisesti yksityiskohtaisesti ja vähintään teorian kanssa.

Aloitetaan curvilinear trapezium.

Curvilinear trapetsium Litteä luku kutsutaan rajoitetuksi akseliksi, suoraksi ja jatkuvaksi aikatauluksi toiminnon segmentissä, joka ei muuta merkkiä tällä aikavälillä. Olkoon tämä luku sijoittaa ei vähempää Abskissa-akseli:

Sitten curvilinear Trapeziumin alue on numeerisesti yhtä suuri kuin tietty integraali. Mikä tahansa erityinen integraali (joilla on olemassa) on erittäin hyvä geometrinen merkitys. Oppitunnin Tietty kiinteä. Esimerkkejä ratkaisuista Sanoin, että tietty kiinteä on numero. Ja nyt on aika ilmoittaa vielä yksi hyödyllinen tosiasia. Geometrian näkökulmasta tietty kiinteä on alue.

Toisin sanoen erityinen integraali (jos se on olemassa) geometrisesti vastaa jonkinlaisen alueen. Harkitse esimerkiksi tiettyä integraalia. Integraandin toiminto asettaa akselin yläpuolella olevan tason käyrän (joka haluaa tehdä piirustuksen) ja itse määritetty integraali on numeerisesti yhtä suuri kuin neliö Vastaava curvilinear trapetsium.

Esimerkki 1.

Tämä on tyypillinen tehtäväformulaatio. Ensin minä. tärkein asia Ratkaisut - Rakennuspiirustus. Ja piirustus on rakennettava Oikea.

Kun rakennat piirustusta, suosittelen seuraavassa järjestyksessä: ensimmäinen On parempi rakentaa kaikki suorat (jos ne ovat) ja vain myöhemmin - Parabolat, hyperbolat, muiden toimintojen aikataulut. Toimintokuviot ovat kannattavampia rakentaa potochoe, kun tekniikka sisäänkirjautumistekniikka löytyy viitemateriaali Perustoimintojen kaaviot ja ominaisuudet. Siellä voit myös löytää erittäin hyödyllisen materiaalin suhteessa oppitunnimme materiaaliin - miten nopeasti rakentaa parabola.

Tässä tehtävässä päätös voi näyttää tältä.
Suorita piirustus (huomaa, että yhtälö asettaa akselin):

En aivohalvaus Curvilinear Trapeze, täällä on selvää mistä alueesta tämä on puhe. Päätös jatkuu näin:

Segmentin aikataulussa Toiminto sijaitsee yli akselin, niin:

Vastaus:

Kenellä on vaikeuksia laskettaessa tiettyä kiinteää ja Newton-Leibnian kaavan käyttöä , katso luento Tietty kiinteä. Esimerkkejä ratkaisuista.

Kun tehtävä on valmis, on aina hyödyllistä katsoa piirustusta ja arvioita, todellinen osoittautunut. Tässä tapauksessa "silmissä" lasketaan solujen lukumäärä piirustuksessa - No, noin 9 lentää, se näyttää totuudelta. On aivan selvää, että jos meillä olisi, sanoa, vastaus: 20 neliön yksikköä, on selvää, että jonnekin - 20 solujen lukuja ei selvästikään ole asennettu tusinan vahvuudesta. Jos vastaus osoittautui negatiiviseksi, tehtävänä on myös virheellisesti.

Esimerkki 2.

Laske muoto, rajoitettu linjat ja akseli

Tämä on esimerkki itsepäätös. Täydellinen ratkaisu Ja vastaus oppitunnin lopussa.

Mitä tehdä, jos Curvilinear Trapezium sijaitsee akselin alla?

Esimerkki 3.

Laske muoto, rajoitettu viivat ja koordinaatti-akselit.

Päätös: Suorita piirustus:

Jos Curvilinear Trapezium sijaitsee Akselin alla (tai ainakin ei suurempi Tämä akseli), sitten sen alue löytyy kaava:
Tässä tapauksessa:

Huomio! Älä sekoita kahdenlaisia \u200b\u200btehtäviä:

1) Jos sinua pyydetään ratkaisemaan yksinkertainen integraali ilman geometrista merkitystä, niin se voi olla negatiivinen.

2) Jos sinua pyydetään löytämään kuvan hahmolla tietyn integraalin avulla, alue on aina positiivinen! Siksi vain katsottu kaava näkyy miinus.

Käytännössä luku sijaitsee useimmiten ylä- ja alareunassa, ja siksi yksinkertaisimmista koulutaulukkoista mennä mielekkäisiin esimerkkeihin.

Esimerkki 4.

Etsi tasainen luku, rajalliset viivat ,.

Päätös: Ensin sinun täytyy piirtää piirustus. Yleisesti ottaen, kun rakennat piirustuksen tehtäviin alueelle, olemme eniten kiinnostuneita linjojen risteyksistä. Etsi Parabolan leikkauspistettä ja suoraa. Tämä voidaan tehdä kahdella tavalla. Ensimmäinen menetelmä on analyyttinen. Ratkaisemme yhtälön:

Joten alhaisempi integraatioraja, integraation yläraja.
Tämä tapa on parempi, jos mahdollista, älä käytä.

On paljon kannattavampaa ja nopeampaa rakentaa linjan linjat, kun taas integraatiorajoitukset selkeytetään ikään kuin "itse". Erilaisten kaavioiden lopettamisen tekniikkaa tarkastellaan yksityiskohtaisesti apuun Perustoimintojen kaaviot ja ominaisuudet . Kuitenkin analyyttinen tapa löytää rajoitukset loppujen lopuksi, on joskus tarpeen soveltaa, jos esimerkiksi aikataulu on riittävän suuri tai koulutettu rakenne ei paljastanut integraatiorajoituksia (ne voivat olla murto- tai irrationaalisia). Ja niin esimerkki, harkitsemme myös.

Paluu meidän tehtävämme: Lisää järkevää ensin rakentaa suoraviiva ja vain sitten parabola. Suorita piirustus:

Toistan, että nykyisessä rakenteessa integraatiorajat havaitsevat useimmiten "automaattiset".

Ja nyt työkassa: Jos segmentillä on jatkuva toiminta enemmän tai yhtä suuri Jotkut jatkuvat toiminnot, luku, rajoitettu näiden toimintojen kaaviot ja suorat, voidaan löytää kaava:

Täällä ei ole enää välttämätöntä ajatella, missä kuvio sijaitsee - akselin tai akselin alla ja suunnilleen, tärkeää, mikä on kaavio edellä(suhteessa toiseen aikatauluun) ja mitä - alla.

Tässä esimerkissä on selvää, että Parabolan segmentissä on suoran yläpuolella, ja siksi on tarpeen vähentää

Ratkaisun loppuun saattaminen voi näyttää tältä:

Haluttu luku rajoittuu parabolaan yläpuolelta ja suoraa pohjaa.
Segmentillä vastaavan kaavan mukaan:

Vastaus:

Itse asiassa koulun kaava alueelle kaareva trapezium alemmassa puolitasolla (ks. Yksinkertainen esimerkki nro 3) - yksityiskohtainen tapaus Kaavat . Koska akseli määritellään yhtälöllä ja toiminnon kaavio sijaitsee ei suurempi Axis, T.

Ja nyt pari esimerkkiä itsenäisestä päätöksestä

Esimerkki 5.

Esimerkki 6.

Etsi luku rajoitetun rivien alue ,.

Tehtävien ratkaisemisessa alan laskemiseksi tietyn kiinteän aineen vuoksi hauska tapaus tapahtuu joskus. Piirustus on valmis oikein, laskelmat - oikea, mutta tehostettu ... löytyi alue ei ole kuvaNäin nöyrä palvelija oli pakattu. Tässä on todellinen tapaus elämästä:

Esimerkki 7.

Laske muoto, rajoitettu rivi ,,,,.

Päätös: Ensin piirustus:

... Oh, piirustus Khrenovynsky tuli ulos, mutta kaikki näyttää piristyvän.

Kuva, jonka alueemme meidän on löydettävä, on varjostettu sininen (Katso huolellisesti tilan, kuin kuvio on rajallinen!). Mutta käytännössä "häiriö" syntyy usein tietoisuuteen, jota sinun on löydettävä luvun alue, joka on varjostettu vihreä!

Tämä esimerkki on edelleen hyödyllinen ja se, että siinä on siinä, että kuvion alue katsotaan käyttäen kahta erityistä integraalia. Todella:

1) Suora aikataulu sijaitsee segmentillä akselin yli;

2) Segmentillä akselin yli on kaavio hyperboleista.

On selvää, että neliö voi hajottaa, niin:

Vastaus:

Siirry toiseen aineelliseen tehtävään.

Esimerkki 8.

Laske muodon alue, rajalliset viivat,
Kuvittele yhtälö "koulu" -lomakkeessa ja suorita nykyinen piirustus:

Piirustuksesta on selvää, että yläraja meillä on "hyvä" :.
Mutta mikä on alaraja?! On selvää, että tämä ei ole kokonaisluku, vaan mitä? Voi olla ? Mutta missä takaa, että piirustus tehdään täydellisellä tarkkuudella, se voi olla se. Tai root. Ja jos olemme yleensä sopimattomasti rakennettu aikataulu?

Tällaisissa tapauksissa sinun on käytettävä ylimääräistä aikaa ja määritellä analyyttisesti integraatiorajat.

Etsi suoran ja parabolin risteyskohdat.
Voit tehdä tämän ratkaista yhtälö:


,

Todellakin.

Lisäliuos on vähäpätöinen, tärkein asia ei ole hämmentynyt korvaamaan ja merkkejä, laskelmat eivät ole yksinkertaisin.

Leikattu Vastaavan kaavan mukaan:

Vastaus:

No, ja oppitunnin päätteeksi harkitsee kaksi tehtävää vaikeampaa.

Esimerkki 9.

Laske muoto, rajoitettu linjat,

Päätös: Näytä tämä muoto piirustuksessa.

Damn, unohdin allekirjoittaa aikataulun, mutta tehdä uudelleen kuva, anteeksi, ei hotz. Ei perinnöllinen, lyhyempi, päivä tänään \u003d)

Sisäänkirjautumisen yhteydessä sinun tarvitsee tietää ulkomuoto Sinusoidit (ja on yleensä hyödyllistä tietää kaikista perustoiminnot) sekä joitakin sinusarvoja, ne löytyvät trigonometrinen pöytä. Joissakin tapauksissa (kuten tässä), on voitava rakentaa kaavamainen piirros, johon kaaviot ja integraatiorajat on otettava huomioon periaatteessa.

Integraation rajoissa ei ole ongelmia, ne tulevat suoraan tilasta: - "X" vaihtelee nollasta "Pi". Luomme lisäyksen:

Segmentillä toiminto kaavio sijaitsee akselin yläpuolella, joten:

Oletetaan, että toiminto ei ole negatiivinen ja jatkuva segmentillä. Sitten tiettyyn integraalisen geometrisen merkityksen mukaan kaarevan trapetsiarin alue, joka rajoittuu tämän toiminnon kaavion yläosasta, alhaalta - akselista vasemmalla ja oikealla - suoralla ja (katso kuva) 2) lasketaan kaavalla

Esimerkki 9. Etsi luku, rajallinen linja ja akseli.

Päätös. Toiminnan kaavio on parabola, jonka haarat ohjataan. Rakentamme sen (kuva 3). Integraation rajojen määrittäminen löytää linjan risteys (parabola) akselilla (suora). Voit tehdä tämän ratkaista yhtälöjärjestelmän

Saamme :, mistä,; Siksi ,.

Kuva. 3

Kuvan alueen kaava (5):

Jos toiminto ei ole positiivinen ja jatkuva segmentissä, kaarevan trapetsiumin alue rajoittuu pohjaan tämän toiminnon, ylimmän akselin, vasemmalla ja oikealla puolella ja laskettuna kaava

Jos toiminto on jatkuva segmentillä ja muuttaa merkkiä pisteiden lopun määrän, niin varjostetun kuvan alue (kuvio 4) on yhtä suuri kuin vastaavien erityisten integraalien algebrallinen summa:

Kuva. 4

Esimerkki 10. Laske kuvan alue, rajoittaa akseli ja toiminnon kaavio.

Kuva. 5

Päätös. Piirrä piirustus (kuva 5). Haluttu alue on neliön summa ja. Löydämme jokaisen näistä alueista. Aluksi määritellään integraatiorajat, ratkaisemalla järjestelmä, jonka saamme ,. Siten:

Näin varjostetun kuvan alue on yhtä suuri kuin

Kuva. 6

Lopuksi Curvilinear Trapezium rajoittuu ylhäältä ja alapuolella segmentin jatkuvien toimintojen kaavioiden alapuolella ja vasemmalla ja oikealla - suoralla ja (kuvio 6). Sitten sen alue lasketaan kaavalla

Esimerkki 11. Löydä lukualueiden raja-alueiden alue ja.

Päätös. Tämä luku on kuvattu kuviossa. 7. Alue lasketaan kaavalla (8). Ratkaisemaan yhtälöiden järjestelmän ratkaiseminen; Siksi ,. Segmentillä meillä on :. Se tarkoittaa, että kaavassa (8), kun otat x, ja kuten -. Saamme:

Laskentaalueiden monimutkaisempia tehtäviä ratkaistaan \u200b\u200bjakamalla käänteisiin osiin ja laskemalla koko kuvion alue näiden osien alueiden summana.

Esimerkki1 . Laske kuvion alue, rajalliset viivat: X + 2U - 4 \u003d 0, Y \u003d 0, X \u003d -3 ja X \u003d 2

Suoritamme kuvan rakentamisen (ks.) Rakennamme suora X + 2U - 4 \u003d 0 kahdella pisteellä A (4; 0) ja (0; 2). Ekspressoi y: n kautta x, saamme y \u003d -0,5x + 2. kaavalla (1), jossa f (x) \u003d -0,5x + 2 ja \u003d -3, b \u003d 2 löydämme

S \u003d \u003d [-0.25 \u003d 11,25 kV. Elf

Esimerkki 2. Laske kuvion alue, rajoitettu rivi: X - 2AU + 4 \u003d 0, X + Y - 5 \u003d 0 ja Y \u003d 0.

Päätös. Suorittaa kuvan rakenne.

Rakentamme suora X - 2AU + 4 \u003d 0: Y \u003d 0, X \u003d - 4, A (-4; 0); x \u003d 0, y \u003d 2, in (0; 2).

Rakentamme suorat x + y - 5 \u003d 0: y \u003d 0, x \u003d 5, c (5; 0), x \u003d 0, y \u003d 5, d (0; 5).

Löydämme välittömän, yhtälöiden järjestelmän ratkaisupisteen:

x \u003d 2, y \u003d 3; M (2; 3).

Halutun alueen laskemiseksi rikkoo AMS-kolmioa AMN: n ja NMS: n kolmioon, koska X: n muutos A - N: sta alue on rajoitettu suoraan ja kun X N: stä C: stä

AMN Triangle meillä on:; Y \u003d 0,5x + 2, eli f (x) \u003d 0,5 x + 2, a \u003d - 4, b \u003d 2.

Triangle NMS: lle meillä on: Y \u003d - X + 5, eli f (x) \u003d - x + 5, a \u003d 2, b \u003d 5.

Laskemalla kunkin kolmiota ja taetetaan tulokset, löytää:

sq. yksiköt.

sq. yksiköt.

9 + 4, 5 \u003d 13,5 neliömetriä. yksiköt. Tarkista: \u003d 0.5AS \u003d 0,5 kV. yksiköt.

Esimerkki 3. Laske kuvion alue, rajoitettu rivi: y \u003d x 2 , Y \u003d 0, X \u003d 2, X \u003d 3.

Tässä tapauksessa sen on laskettava kaarevan trapetsiarin alue, jota rajoittaa parabola y \u003d x 2 , Straight X \u003d 2 ja X \u003d 3 ja OH (katso kuva) Kaavan (1) avulla löydämme Curvilinear Trapeziumin alueen

\u003d \u003d 6kv. yksiköt.

Esimerkki 4. Laske kuvion alue, rajoitettu rivi: y \u003d - x 2 + 4 ja y \u003d 0

Suorittaa kuvan rakenne. Haluttu alue tehdään parabolan y \u003d - x välillä 2 + 4 ja akseli Oh.

Etsi Parabolan risteyksestä akselin oh. Uskoo Y \u003d 0, löydämme X \u003d Koska tämä luku on symmetrinen suhteessa OU-akseliin, lasketaan OU-akselin oikealla puolella olevan kuvan alueen ja tuloksena oleva tulos on kaksinkertaisesti: \u003d + + + 4x] kV. yksiköt. 2 \u003d 2 kV. yksiköt.

Esimerkki 5. Laske kuvan alue, rajalliset viivat: y 2 \u003d x, yx \u003d 1, x \u003d 4

Se vaatii Curvilinear Trapeziumin alueen laskemisen rajoitettu parabolian yläreunaan 2 \u003d X, akseli Oh ja suora X \u003d 1 ja \u003d 4 (katso kuva)

Kaava (1), jossa f (x) \u003d a \u003d 1 ja b \u003d 4 meillä on \u003d (\u003d sq.

Esimerkki 6. . Laske kuvion alue, rajoitettu rivi: y \u003d sinx, y \u003d 0, x \u003d 0, x \u003d.

Haluttu alue rajoittuu puoli-aallon sinimuosi ja akseli Oh (katso kuvio).

Meillä on - cosx \u003d - cos \u003d 1 + 1 \u003d 2 kV. yksiköt.

Esimerkki 7. Laske kuvion alue, rajoitettu rivi: y \u003d - 6x, y \u003d 0 ja x \u003d 4.

Kuva sijaitsee akselin kautta (katso kuvio).

Näin ollen sen alue löytyy kaavasta (3)

= =

Esimerkki 8. Laske kuvion pinta-ala, rajalliset viivat: y \u003d ja x \u003d 2. Käyrä Y \u003d konstrukti pistettä (katso kuvio). Näin ollen luvut löytyvät kaavasta (4)

Esimerkki 9. .

h. 2 + U. 2 \u003d R. 2 .

Se edellyttää alueen laskemista, rajoitettu ympyrä x 2 + U. 2 \u003d R. 2 , ts. Säde-ympyrän alue R keskusta koordinaattien alussa. Löydämme tämän alueen neljännen osan ottamalla integraatiorajoitukset 0: sta

dor; Meillä on: 1 = = [

Siten, 1 =

Esimerkki 10. Laske kuvion alue, rajoitettu rivi: y \u003d x 2 ja y \u003d 2x

Tämä luku on rajoitettu parabolaan y \u003d x 2 ja suora y \u003d 2x (katso kuva) määritetyn rivien risteyspisteiden määrittämiseksi ratkaisemalla yhtälöjärjestelmä: X 2 - 2x \u003d 0 x \u003d 0 ja x \u003d 2

Käyttämällä alueen löytämistä alueen kaavan (5) löytämiseksi

\u003d Toiminnon muodostama Curvilinear TrapeSiumin alue f,yhtä suuri kuin primitiivisen tehtävän lisäys:

Harjoitus 1:

Etsi curvilinear trapezoidin alue, jota rajoittavat toiminnon kaavio: f (x) \u003d x 2 Ja suora y \u003d 0, X \u003d 1, X \u003d 2.

Päätös: algoritm Slide 3: n mukaan)

Piirrä toiminto aikataulu ja suora

Löytää yksi voimassa olevat toiminnot f (x) \u003d x 2 :

Itsetesti diassa

Integraali

Harkitse curvilinear trapezion, jonka toiminto on määritetty f. Segmentillä [ a; B.]. Keskustele tästä segmentistä useisiin osiin. Koko Trapeziumin alue hajoaa pienempien kaarevien trapetsien neliöiden määrän. ( slide 5). Jokaista tällaista trapeziumia voidaan suunnitella suorakulmiona. Näiden suorakulmioiden alueen määrä antaa likimääräisen ajatuksen kaarevan trapetsiumin koko alueesta. Mitä pienempi rikkomme segmentin [ a; B.], sitä tarkemmin laskea alue.

Kirjoitamme nämä argumentit kaavan kaavoihin.

Jaamme segmentin [ a; B.] N osat kohdat x 0 \u003d A, X1, ..., XN \u003d B. Pituus k-mENNÄ merkitä xk \u003d xk - xk-1. Tehdään

Geometrisesti tämä määrä on muoto, joka on varjostettu kuvassa ( sch.m..)

Lajin summa kutsutaan integroituksi summat funktiolle. f.. (Sch.m.)

Integraaliset summat antavat alueen likimääräisen arvon. Tarkka arvo saadaan raja-siirtymisellä. Kuvittele, että murskata segmentin jakamista [ a; B.] Joten kaikkien pienten segmenttien pituudet nollaan. Sitten koostuvan kuvion alue lähestyy kaarevan trapeziumin aluetta. Voidaan sanoa, että curvilinear trapetsiumin alue on yhtä suuri kuin kiinteytys summien, Sk.t. (Sch.m.)tai integraali, toisin sanoen,

Määritelmä:

Integraalitoiminto f (x) peräkkäin a. ennen b. Soitti integroidun määrän raja

= (Sch.m.)

Formula Newton Labitsa.

Muista, että integroidun määrän raja on yhtä suuri kuin Curvilinear Trapezionin alue, se tarkoittaa, että voit kirjoittaa:

Sk.t. \u003d. (Sch.m.)

Toisaalta CryVilinear Trapezium-alue lasketaan kaavalla

S k. T. (Sch.m.)

Vertaa näitä kaavoja, saamme:

= (Sch.m.)

Tätä tasa-arvoa kutsutaan Newton Labits Formula.

Laskelmien mukavuuden vuoksi kaava on lomakkeessa:

= = (Sch.m.)

Tehtävät: (Shch.m.)

1. Laske integraali Newton Labits Formula: ( slide 5: n tarkistaminen)

2. Luo integraalit piirustuksen mukaan ( tarkistamme dia 6)

3. Etsi kuvion rajoitettujen rivien alue: y \u003d x 3, y \u003d 0, x \u003d 1, x \u003d 2. ( Slide 7.)

Löydät litteiden kuvien neliöt ( slide 8.)

Kuinka löytää luvut, jotka eivät ole curvilinear trapezeja?

Anna kaksi toimintoa anneta, kaaviot, joista näet dia . (Sch.m.) On tarpeen löytää maalatun kuvan alue . (Sch.m.). Kuva, joka puhuu on kaareva trapetsi? Ja miten löydän alueensa alueen lisäominaisuuteen? Harkitse kahta kaarevaa Trapeatsia ja yksi niistä neliöstä vähentämään toisen alueen ( sch.m.)

Teemme algoritmia löytääkseen dialle animaatioalueen:

1. Rakentaa funktioita
2. Kyyhkyset abscissan akselilla olevien kaavioiden leikkauspisteessä
3. Terävä kuva, joka on saatu kaavioiden ylittäessä
4. Etsi curvilinear Trapeats, risteys tai yhdistelmä, joka on tietty kuva.
5. Laske kunkin alue
6. Etsi eroa tai tilaa

Suullinen tehtävä: Miten saada alueen varjostettu kuva (kerro animaation avulla, slide 8 ja 9)

Kotitehtävät:Työ tiivistelmä, №353 (a), nro 364 (a).

Bibliografia

1. Algebra ja analyysin alku: oppikirja 9-11-luokan ilta (vaihdettava) koulu / ed. Gd Glaser. - M: koulutus, 1983.
2. Bashmakov M.I. Algebra ja aloitusanalyysi: opetusohjelma 10-11 kl.sed.shk. / Bashmakov M.I. - M: koulutus, 1991.
3. Bashmakov M.I. Matematiikka: Tutorial laitoksille alusta. ja media. Prof. Koulutus / M.I. Kengät. - M: Akatemia, 2010.
4. Kolmogorov A.N. Algebra ja aloitusanalyysi: Tutorial 10-11 solua varten. Koulutuslaitokset / A.N. Kolmogorov. - M: valaistuminen, 2010.
5. Ostrovsky S.L. Kuinka esittää esityksen oppitunnille? / C.l. Ostrovsky. - M.: Ensimmäinen syyskuuta 2010.