3 pred-kaltainen toiminto. Pred-kyd ja integraali

Pohjustettu toiminto ja määrittelemätön integraali

Tosiasia 1. Integraatio - Toiminta, käänteinen eriyttäminen, nimittäin toiminnan palauttaminen tämän toiminnon tunnettujen johdannaisen mukaisesti. Toiminto palautettiin F.(x.) Olla nimeltään predo-muotoinen Toiminnasta f.(x.).

Määritelmä 1. Toiminto F.(x. f.(x.) Joillakin väleillä X.Jos kaikki arvot x. Tasa-arvo suoritetaan tästä aukosta F. "(x.)=f.(x.), eli tämä ominaisuus f.(x.) on peräisin pred-kaltainen toiminto F.(x.). .

Esimerkiksi toiminto F.(x.) \u003d Synti. x. on ensisijainen toiminto f.(x.) \u003d Cos. x. koko numeerisesti suoraan, koska mitä tahansa ITA: n arvoa (synti. x.) "\u003d (Cos x.) .

Määritelmä 2. Epävarmasti integraalitoiminto f.(x.) Sitä kutsutaan kokonaisuuden kaiken primitiivisen. Tämä käyttää tallennusta

∫

f.(x.)dx

missä merkki ∫ nimeltään kiinteä merkki, toiminto f.(x.) - korvaava toiminto ja f.(x.)dx - konkreettinen ilme.

Siten, jos F.(x.) - jonkinlainen ensisijainen f.(x.), T.

∫

f.(x.)dx = F.(x.) +C.

missä C. - mielivaltainen vakio (vakio).

Ymmärtää monien primitiivisten toimintojen merkitys määräämättömänä integraalisena, seuraavaan analogisesti on tarkoituksenmukaista. Olkoon ovi (perinteinen puinen ovi). Sen toiminta on "olla ovi". Ja mikä on ovi? Puusta. Siksi suuri joukko primitiivistä integroitua toimintaa "olla ovi", toisin sanoen se on määrittelemätön integraali, on funktio "Oli + C", jossa C on vakio, joka tässä yhteydessä voi olla esimerkiksi puun puusta. Aivan kuten ovi on valmistettu puusta käyttäen joitakin työkaluja, "Made" -toiminnon johdannainen primitiivisestä toiminnasta kaavat, joita opimme opiskelemalla johdannaista .

Sitten taulukko yhteisten esineiden toiminnoista ja vastaavasta primitiivisestä ("Ovesta" - "Be Tree", "Ole lusikka" - "Metalli" jne.) On samanlainen kuin tärkeimmät määrittelemättömät integraalit , joka näytetään hieman alla. Epävarmojen integraalien taulukko sisältää yhteiset toiminnot, joiden merkinnät on osoitettu prirordialista, joista nämä toiminnot tehdään. Tehtävien löytämiseksi määräämättömän olennaisen aineen mukaan tällaiset integraatteja annetaan, mikä ilman erityistä painovoimaa voidaan integroida suoraan, eli epävarmojen integraalien taulukossa. Tehtävissä on välttämätöntä edistää tehtäviä esimuotti, jotta voit käyttää taulukkointegraaleja.

Tosiasia 2. Toiminnan palauttaminen primitiivisena, meidän on otettava huomioon mielivaltainen vakio (vakio) C., jotta ei kirjoittamatta alkeellisen luetteloa eri vakioilla 1: stä äärettömään, sinun on tallennettava monet primitiiviset mielivaltaisella vakiolla C.Esimerkiksi seuraavasti: 5 x.³ + s. Joten mielivaltainen vakio (vakio) siirtyy primitiivisen ekspressioon, koska primitiivinen voi olla toiminto, esimerkiksi 5 x.³ + 4 tai 5 x.³ + 3 ja erilaistumalla 4 tai 3 tai muut vakiot kohdistetaan nollaan.

Laitamme integraatiotehtävän: Tätä toimintoa varten f.(x.) etsi tällainen toiminto F.(x.), johdannainen yhtä suuri f.(x.).

Esimerkki 1.Etsi erilaisia \u200b\u200bominaisuuksia

Päätös. Tätä ominaisuutta varten toiminto on toiminto

Toiminto F.(x.) nimeltään primitiivinen toiminnalle f.(x.) Jos johdannainen F.(x.) Yhtä suuri f.(x.) tai että sama, ero F.(x.) Raven f.(x.) dx.

(2)

Näin ollen toiminto on primitiivinen toiminnalle. Se ei kuitenkaan ole ainoa ensisijainen. Ne toimivat myös toiminnoina

missä Peräkkäin - mielivaltainen vakio. Tämä voidaan nähdä erilaistumisen.

Näin ollen, jos toiminnossa on ensimmäinen ensisijainen ensisijainen, sillä on ääretön joukko primitiivistä, joka eroaa pysyvästi. Kaikki ensisijaiset toiminnot on kirjoitettu edellä olevassa muodossa. Tämä seuraa seuraavalta teoremista.

Teorem (muodollinen tosiasia 2).Jos F.(x.) - Voimassa toiminnassa f.(x.) Joillakin väleillä H., sitten kaikki muut primitiiviset f.(x.) Samassa aukossa voidaan esittää lomakkeessa F.(x.) + C.missä Peräkkäin- mielivaltainen vakio.

SISÄÄN seuraava esimerkki Viittaa jo integraaliseen taulukkoon, joka annetaan 3 kohdassa määrättyjen kiinteistöjen kiinteistöjen jälkeen. Teemme sen ennen perehdyttämistä koko pöydän kanssa, jotta edellä mainitun olemuksen ymmärretään. Ja taulukon ja ominaisuuksien jälkeen käytämme niitä integroimalla kaikki täyteydet.

Esimerkki 2.Etsi useita ominaisuuksia:

Päätös. Löydämme primitiivisten toimintojen sarjat, joista "nämä toiminnot tehdään". Ilmoittaessaan kaavoja integroidusta taulukosta yksinkertaisesti hyväksyä, että on olemassa tällaisia \u200b\u200bkaavoja, ja tutkimme epävarmojen integraalien taulukkoa täydellisesti.

1) Kaavan (7) soveltaminen kiinteästä taulukosta n. \u003d 3, saamme

2) käyttämällä kaavaa (10) kiinteästä taulukosta n. \u003d 1/3, meillä on

sitten kaavalla (7), kun n. \u003d -1/4 Etsi

Integraalin merkin alla ei ole itse toiminta f. ja hänen työnsä ero dx . Tämä tehdään pääasiassa osoittamaan, mikä muuttuja etsii primitiivistä. Esimerkiksi,

, ;

tässä molemmissa tapauksissa integraanttifunktio on yhtä suuri, mutta sen määräämättömät integraalit harkitsevissa tapauksissa ovat erilaiset. Ensimmäisessä tapauksessa tätä ominaisuutta pidetään toiminnon muuttujalta x. ja toisessa - toiminnassa z. .

Määrittelemätön integraalisen toiminnon löytämisprosessi kutsutaan tämän toiminnon integroimiseksi.

Määräämättömän integraalin geometrinen merkitys

Anna sen olla tarpeen löytää käyrä y \u003d f (x) Ja tiedämme jo, että kallistuskulman tangentti kussakin sen pisteessä on määritetty toiminto f (x) Tämän kohdan pahoinvoitteet.

Johdannaisen geometrisen merkityksen mukaan tangentin kallistuskulma tässä käyrän tässä kohdassa y \u003d f (x) yhtä suuri kuin johdannaisen arvo F "(x). Joten sinun on löydettävä tällainen tehtävä F (x), mille F "(x) \u003d f (x). Tehtävä tarvitaan tehtävässä F (x) on ensisijainen f (x). Ongelman ehto täyttää kukaan käyrä, vaan käyräperhe. y \u003d f (x) - Yksi tällaisista käyristä, ja jokainen toinen käyrä voidaan saada rinnakkaisesta siirtymisestä pitkin akselia Oy..

Soita kaaviosta primitiivisestä toiminnasta f (x) Integraalinen käyrä. Jos F "(x) \u003d f (x)Sitten funktion kaavio y \u003d f (x) On integraalinen käyrä.

Tosiasia 3. Epävarma integraali on geometrisesti edustettuna seitsemän kaikista integroiduista käyristä Kuten alla olevassa kuvassa. Kunkin käyrän syrjäisyys koordinaattien alusta määräytyy mielivaltaisella vakiolla (vakio) integraatiolla C..

Riippumattoman integraalin ominaisuudet

Tosiasia 4. TheOREM 1. Riippumattoman integraalin johdannainen on yhtä suuri kuin integraanttifunktio ja sen ero on lähdekoodi.

Tosiasia 5. TheOREM 2. Valottamaton erotus erotusfunktiosta f.(x.) Yhtä funktio f.(x.) pysyvästi .

(3)

Teoreet 1 ja 2 osoittavat, että eriys ja integraatio ovat toisiaan käänteisiä toimintoja.

Tosiasia 6. TheOREM 3. Integraandin jatkuva kertoimet voidaan tehdä merkkinä määrittelemätön integraalista .

Yksi toiminnasta erottelu on johdannaisen perusta (differentiaali) ja toimintojen soveltaminen tutkimukseen.

Vähemmän tärkeä on päinvastainen tehtävä. Jos toimintokäyttäytyminen tunnetaan kunkin päättäväisyyden läheisyydessä, niin miten palauttaa toiminto kokonaisuutena, ts. Koko sen määritelmän alueella. Tämä tehtävä on tutkia niin sanottua kiinteää laskelmaa.

Integraatio on käänteisen erottelun vaikutus. Tai palauttaminen f (x) tämän johdannaisen F` (x). Latinalainen sana "Integro" tarkoittaa elpymistä.

Esimerkki №1.

Olkoon (f (x)) "\u003d 3x 2. Etsi f (x).

Päätös:

Riippuu erilaistumissääntöön, ei ole vaikeaa arvata, että f (x) \u003d x 3, sillä

(x 3) '\u003d 3x 2 Se voidaan kuitenkin helposti huomata, että f (x) on epäselvä. F (x), voit ottaa f (x) \u003d x 3 +1 f (x) \u003d x 3 +2 f (x) \u003d x 3 -3 jne.

Koska Jokaisen niistä johdannainen on 3x 2. (Johdannainen vakio on 0). Kaikki nämä toiminnot eroavat toisistaan \u200b\u200bjatkuvista termeistä. siksi yhteinen päätös Tehtävät voidaan kirjoittaa f (x) \u003d x 3 + c, jossa C on mikä tahansa vakio kelvollinen numero.

Mikä tahansa löydetystä toiminnasta f (x) on kutsuttu Predo-muotoinen Funktio f` (x) \u003d 3x 2

Määritelmä.

Toimintoa f (x) on nimeltään primitiivinen funktio f (x) määritellyn aukon J, jos kaikki X: stä tästä GAP F: stä (x) \u003d f (x). Joten funktio f (x) \u003d x 3 on primitiivinen f (x) \u003d 3x 2 päälle (- ∞; ∞). Koska kaikki X ~ R, tasa-arvo on totta: F` (x) \u003d (x 3) `\u003d 3x 2

Kuten olemme jo huomanneet, tällä toiminnolla on ääretön joukko primitiivistä.

Esimerkki numero 2.

Toiminto on primitiivinen kaikille aikavälillä (0; + ∞), koska Kaikille H: lle tästä aukosta tasa-arvo suoritetaan.

Integraatiotehtävänä on löytää kaikki primitiiviset toiminnot tietylle toiminnalle. Tämän tehtävän ratkaisemisessa on tärkeä rooli:

Sign of Constancection -toiminnon. Jos f "(x) \u003d 0 jossain aukkoon I, niin funktio f on pysyvä tällä väleillä.

Todisteita.

Korjaa jonkin verran GAP I: n x 0. Sitten minkä tahansa tällaisen raon, joka johtuu Lagrange-kaavasta, voit määrittää tällaisen numeron c, joka on suljettu x: n ja x 0: n välillä

F (x) - f (x 0) \u003d f "(c) (x - x 0).

Kun tilassa F '(c) \u003d 0, koska ∈1, siksi

F (x) - f (x 0) \u003d 0.

Joten kaikille X: lle aikavälistä I

t e. Toiminto F säilyttää vakion arvon.

Kaikki primitiiviset toiminnot F voidaan kirjoittaa yhdellä kaavalla yhteinen näkemys ensimmäisestä toiminnasta f. Oikeudenmukainen seuraava teorem ( perusomaisuus on primitiivinen):

Lause. Mikä tahansa Function F: n ensimmäinen aikaväli, jonka minä voin tallentaa

F (x) + c, (1), jossa f (x) on yksi primitiivisistä toiminnoista f (x) väli I: n I ja C on mielivaltainen vakio.

Selitä tämä lausunto, jossa kaksi kiinteistöä on laadittu lyhyesti:

riippumatta siitä, mitä numero asetetaan ilmaisuun (1) sen sijaan, että käytät, saamme primitiivisen f: n välille I;
riippumatta siitä, mitä for for f for f: n välille en ota, voit noutaa tällaisen numeron c, joka kaikille X: lle aikavälillä olen tasa-arvo

Todisteita.

Toiminto F on primitiivinen f: lle F: lle I. Siksi F "(x) \u003d f (x) mille tahansa x∈1: lle (f (x) + c)" \u003d F "(x) + C "\u003d f (x) + 0 \u003d f (x), eli f (x) + C on primitiivinen funktio f.
Anna f (x) olla yksi primitiivisistä toiminnoista Funktio F: ssä samassa aukossa I, eli F "(x) \u003d f (x) kaikille x∈iille.

Sitten (f (x) - f (x)) "\u003d f" (x) -F '(x) \u003d f (x) -f (x) \u003d 0.

Täältä seuraa. Konstanssimuodostuksen merkki, että ero f (x) - f (x) on toiminto, joka vie jonkin verran vakioarvoa väli I.

Näin ollen kaikkien X: n X X: n, yhtäläisyys f (x) - f (x) \u003d C, joka vaadittiin todistamaan. Primitiivisen pääominaisuuteen voidaan antaa geometrinen merkitys: kahden primillisen toiminnon kaaviot saadaan toisiinsa rinnakkaisella siirto pitkin OU-akselia.

Kysymykset abstraktille

Toiminto F (x) on primitiivinen funktio f (x). Etsi f (1), jos f (x) \u003d 9x2 - 6x + 1 ja f (-1) \u003d 2.

Etsi kaikki ensimmäinen toiminto

Toiminto (X) \u003d COS2 * SIN2X, etsi primitiivinen f (x), jos f (0) \u003d 0.

Tehtävälle löytää primitiivinen, jonka kaavio kulkee pisteen läpi

Integraalien ratkaisu on tehtävä on kevyt, mutta vain valittuna. Tämä artikkeli on niille, jotka haluavat oppia ymmärtämään integraalit, mutta ei tiedä mitään niistä tai lähes mitään. Integraali ... Miksi sitä tarvitaan? Kuinka laskea se? Mikä on tietty ja määrittelemätön integraali? Jos ainoa integraalinen sovellus, joka tunnetaan, on saada virkkaus kiinteän kuvakkeen muodossa. Jotain hyödyllistä vaikea päästä paikkoihin, sitten tervetuloa! Opi ratkaisemaan integraalit ja miksi ilman sitä on mahdotonta tehdä.

Tutkimme "integraalin" käsitettä

Integraatio oli tunnettu muinaisessa Egyptissä. Tietenkään, ei moderni video, mutta silti. Sittemmin matematiikka kirjoitti paljon kirjoja tästä aiheesta. Erityisen erottuva Newton ja Leignits Mutta asioiden olemus ei ole muuttunut. Kuinka ymmärtää integraalit tyhjästä? Ei missään tapauksessa! Tämän aiheen ymmärtämiseksi matemaattisen analyysin perustana tarvitaan edelleen. Nämä perustiedot löytyvät blogissamme.

Epävarma integraali

Olkaamme jonkinlaista toimintaa f (x) .

Epävarma Integraalitoiminto f (x) Tätä ominaisuutta kutsutaan F (x) , jonka johdannainen on yhtä suuri kuin funktio f (x) .

Toisin sanoen integraali on johdannainen päinvastoin tai primitiivisesti. Muuten, miten lukea artikkelissamme.

Ennustetut ovat olemassa kaikkiin jatkuviin toimintoihin. Myös vakiomerkkiä lisätään usein ensisijaiseen, koska johdannaiset vaihtelevat vakiona samanaikaisesti. Integraalin löytämisprosessi kutsutaan integroinniksi.

Yksinkertainen esimerkki:

Jos haluat jatkuvasti laskea primitiivisiä perustoimintoja, on kätevää vähentää taulukkoa ja käyttää valmiita arvoja:

Tietty kiinteä

Ottaa sopimus integraalin käsitteen kanssa, me käsittelemme äärettömän pieniä arvoja. Integraali auttaa laskemaan kuvion, inhomogeenisen kehon massa, joka kulkee epätasaisen liikkeen polun alla ja paljon muuta. On muistettava, että integraali on äärettömän määrä suuri numero Äärettömän pienet ehdot.

Esimerkkinä kuvittele jonkin toiminnon aikataulu. Kuinka löytää alueen luvut rajoittavat funktion kaaviossa?

Integraalin avulla! Jaamme curvilinear trapetsium, rajoittaa koordinaatti-akselit ja funktion kaavio, äärettömillä pienillä segmenteillä. Siten luku jaetaan ohuiksi sarakkeiksi. Sarakkeiden alueen summa on trapezoidin alue. Muista kuitenkin, että tällainen laskelma antaa esimerkinomaisen tuloksen. Mitä pienempi segmentit ovat jo olemassa, tarkempi on laskelma. Jos vähennämme heitä siinä määrin, että pituus pyrkii nollaan, segmenttien määrä pyrkii kuvan alueelle. Tämä on erityinen integraali, joka on kirjoitettu seuraavasti:

Pisteitä A ja B kutsutaan integraatiorajoiksi.

Baria Alibasov ja ryhmä "Integraaliset"

Muuten! Lukijillemme nyt on 10% alennus

Säännöt dummiesintegraalien laskemiseksi

Epävarman integraalin ominaisuudet

Kuinka ratkaista määrittelemätön integraali? Täällä tarkastelemme epävarman integraalin ominaisuuksia, jotka ovat hyödyllisiä ratkaisemaan esimerkkejä.

Integraalin johdannainen on yhtä suuri kuin integranditoiminto:

Vakio voidaan tehdä kiinteästä merkistä:

Summan integraali on yhtä suuri kuin integraalien määrä. Myös myös ero:

Tiettyyn integraalin ominaisuudet

Lineaarisuus:

Integroitu merkki muuttuu, jos integraatiorajat vaihdetaan:

Varten minkä tahansa Pisteet a., b. ja peräkkäin:

Olemme jo huomanneet, että tietty kiinteä on summan raja. Mutta miten saada erityinen arvo ratkaisemaan esimerkkiä? Tätä varten on Newton-Leibnic Formula:

Esimerkkejä integraalisten ratkaisuista

Alla tarkastellaan muutamia esimerkkejä löydöstä epävarmat integraalit. Suosittelemme, että ymmärrät itsenäisesti ratkaisun hienovaraisuuksia, ja jos jotain on käsittämätöntä, pyydä kysymyksiä kommenteissa.

Materiaalin varmistamiseksi katso videota siitä, miten integraalit ratkaistaan \u200b\u200bkäytännössä. Älä epätoivoa, jos kiinteää ei ole annettu välittömästi. Kysy, ja he kertovat sinulle laskemisesta integraalit, jotka tuntevat itsensä. Kaikesta kolminkertaisesta tai krivolnoe Integraali Suljetun pinnan varrella tulee voimat.

Tulostus

Alkeellisen tehtävän määritelmä

Toiminto y \u003d f (x)nimeltään primitiivinen toiminto y \u003d f (x) Tietyllä aikavälillä X,jos kaikki h. ∈ H. Tasa-arvo suoritetaan: F '(x) \u003d f (x)

Voit lukea kahdella tavalla:

f. Johdettu toiminto F.
F. Täydellinen toimintoon f.

Primitiivinen omaisuus

Jos F (x)- Täydellinen toimintoon f (x) Tietyssä aukossa funktio f (x) on äärettömän monia primitiivisiä, ja kaikki nämä primitiiviset voidaan kirjoittaa F (x) + kanssajossa c on mielivaltainen vakio.

Geometrinen tulkinta

Kaikkien primitiivisen tämän ominaisuuden kaaviot. F (x) saatu kaaviosta minkä tahansa primitiivisen rinnakkaisen siirron pitkin akselia w..

Ensisijaisen määrän laskemista koskevat säännöt

Ensimmäinen summa on yhtä suuri kuin primordial. Jos F (x) - Pred-kaltainen f (x)ja g (x) on primitiivinen g (x)T. F (x) + g (x) - Pred-kaltainen f (x) + g (x).
Pysyvän kerroin voidaan tehdä johdannaismerkistä. Jos F (x) - Pred-kaltainen f (x), I. k. - Jatkuva, sitten k · f (x) - Pred-kaltainen k · f (x).
Jos F (x) - Pred-kaltainen f (x), I. k, B. - Jatkuva, ja k ≠ 0T. 1 / k · f (kx + b) - Pred-kaltainen f (kx + b).

Muistaa!

Kaikki ominaisuudet F (x) \u003d x 2 + jossa C on mielivaltainen vakio, ja vain tällainen toiminto on primitiivinen toiminnalle f (x) \u003d 2x.

Esimerkiksi:
F "(x) \u003d (x 2 + 1)" \u003d 2x \u003d f (x);

f (x) \u003d 2x, Koska F "(x) \u003d (x 2 - 1)" \u003d 2x \u003d f (x);

f (x) \u003d 2x, Koska F "(x) \u003d (x 2 -3)" \u003d 2x \u003d f (x);

Yhteys funktion ja sen ensisijaisen vaiheen välillä:

Jos kaavio on toiminnassa f (x)\u003e 0 F (x) Kasvaa tällä väleillä.
Jos kaavio on toiminnassa f (x)<0 aikavälillä, aikataulu on sen primitiivinen F (x) pienenee tällä aikavälillä.
Jos f (x) \u003d 0Sitten hänen primitiivisen kaavio F (x) Tässä vaiheessa muuttuu kasvava vähennys (tai päinvastoin).

Määrittelemätöntä integraalin merkkiä käytetään, eli integraali määrittelemättä integraatiorajoituksia.

Epävarma integraali

Määritelmä:

Epävarma integraali toiminnasta F (x) on ekspressio f (x) + C, eli kaikkien F (x): n ensisijaisten toimintojen yhdistelmä. Merkitsee määräämättömän integraalin seuraavasti: \\ int f (x) dx \u003d f (x) + c

f (x)- Katso integroitu toiminto;
f (x) dx- kutsutaan sidottuksi ilmaisuksi;
x. - puhelun integraatiomuuttuja;
F (x) - yksi primitiivisistä toiminnoista f (x);
Peräkkäin - mielivaltainen vakio.

Riippumattoman integraalin ominaisuudet

Riippumattoman integraalin johdannainen on yhtä suuri kuin integraanttifunktio: (INT F (X) DX) \\ PRIME \u003d F (x).
Integroidun ekspression pysyvä kerroin voidaan tehdä integroituun merkkiin: \\ int k \\ cdot f (x) dx \u003d k \\ cdot \\ int f (x) dx.
Toimintojen määrä (ero) on yhtä suuri kuin näistä toiminnoista peräisin olevien integraalien määrä (ero): \\ int (f (x) pm g (x)) DX \u003d \\ INT F (x) DX \\ PM \\ int g (x) dx.
Jos k, B.- vakio ja k ≠ 0, sitten \\ int f (kx + b) dx \u003d \\ frac (1) (k) \\ CDOT F (kx + b) + c.

Primaiden ja epävarmojen integraalien taulukko

Toiminto f (x)	Tulostus F (x) + c	Epävarmat integraalit \\ int f (x) dx \u003d f (x) + c
0	C.	\\ int 0 dx \u003d c
f (x) \u003d k	F (x) \u003d kx + c	\\ int KDX \u003d KX + C
f (x) \u003d x ^ m, m \\ ei \u003d -1	F (x) \u003d \\ frac (x ^ (m + 1)) (M + 1) + C	\\ int x (^ m) dx \u003d \\ frac (x ^ (m + 1)) (M + 1) + C
f (x) \u003d \\ frac (1) (x)	F (x) \u003d l n \\ lvert x \\ rvert + c	\\ int \\ frac (dx) (x) \u003d l n \\ lvert x \\ rvert + c
f (x) \u003d e ^ x	F (x) \u003d e ^ x + c	\\ int e (^ x) dx \u003d e ^ x + c
f (x) \u003d a ^ x	F (x) \u003d \\ frac (a ^ x) (L na) + c	\\ int a (^ x) dx \u003d \\ frac (a ^ x) (L na) + c
f (x) \u003d \\ sin x	F (x) \u003d - cos x + c	\\ int \\ sin x dx \u003d - - cos x + c
f (x) \u003d cos x	F (x) \u003d SIN X + C	\\ int \\ cos x dx \u003d \\ sin x + c
f (x) \u003d \\ frac (1) (1 SIN (^ 2) x)	F (x) \u003d - \\ CTG X + C	\\ int \\ frac (DX) (\\ SIN (^ 2) X) \u003d - \\ CTG X + C
f (x) \u003d \\ frac (1) (\\ cos (^ 2) x)	F (x) \u003d \\ tg x + c	\\ int \\ frac (DX) (\\ SIN (^ 2) X) \u003d \\ TG X + C
f (x) \u003d \\ sqrt (x)	F (x) \u003d \\ frac (2x \\ sqrt (x)) (3) + c
f (x) \u003d \\ frac (1) (\\ sqrt (x))	F (x) \u003d 2 \\ sqrt (x) + c
f (x) \u003d \\ frac (1) (1 - x ^ 2))	F (x) \u003d \\ arcsin x + c	\\ int \\ frac (dx) (\\ sqrt (1 - x ^ 2)) \u003d \\ arcsin x + c
f (x) \u003d \\ frac (1) (\\ sqrt (1 + x ^ 2))	F (x) \u003d \\ arctg x + c	\\ int \\ frac (DX) (\\ sqrt (1 + x ^ 2)) \u003d \\ arctg x + c
f (x) \u003d \\ frac (1) (\\ sqrt (a ^ 2-x ^ 2))	F (x) \u003d \\ arcsin \\ frac (x) (a) + c	\\ int \\ frac (DX) (\\ sqrt (a ^ 2-x ^ 2) \u003d \\ arcsin \\ frac (x) (a) + c
f (x) \u003d \\ frac (1) (\\ sqrt (a ^ 2 + x ^ 2))	F (x) \u003d \\ arctg \\ frac (x) (a) + c	\\ int \\ frac (DX) (\\ sqrt (a ^ 2 + x ^ 2) \u003d \\ frac (1) (a) \\ arctg \\ frac (x) (a) + c
f (x) \u003d \\ frac (1) (1 + x ^ 2)	F (x) \u003d \\ arctg + c	\\ int \\ frac (DX) (1 + x ^ 2) \u003d \\ arctg + c
f (x) \u003d \\ frac (1) (\\ sqrt (x ^ 2-a ^ 2) (a \\ not \u003d 0)	F (x) \u003d \\ frac (1) (2a) l n \\ frac (x-a) (x + a) \\ rvert + c	\\ INT \\ FRAC (DX) (\\ sqrt (x ^ 2-a ^ 2)) \u003d \\ frac (1) (2a) l n \\ ltent
f (x) \u003d \\ tg x	F (x) \u003d - l n \\ ltent cos x \\ rvert + c	\\ int \\ tg x dx \u003d - l n \\ ltent cos x \\ rvert + c
f (x) \u003d \\ CTG x	F (x) \u003d l n \\ ltenttinen \\ sin x \\ rvert + c	\\ int \\ ctg x dx \u003d l n \\ lemppu \\ sin x \\ rvert + c
f (x) \u003d \\ frac (1) (\\ SIN X)	F (x) \u003d l n \\ linnoitus \\ tg \\ frac (x) (2) \\ rvert + c	\\ int \\ frac (DX) (\\ SIN X) \u003d L N \\ LVERT \\ TG \\ FRAC (X) (2) \\ Rvert + C
f (x) \u003d \\ frac (1) (\\ cos x)	F (x) \u003d l n \\ linnoitus \\ tg (\\ flac (x) (2) + \\ frac (\\ pi) (4)) \\ rvert + c	\\ int \\ frac (DX) (\\ COS X) \u003d L N \\ FRAC (x) (2) + \\ frac (\\ pi) (4)) \\ rvert + c

Formula Newton Labitsa

Anna olla f (x) Tämä ominaisuus, F. Hänen mielivaltaisen primitiivisen.

\\ int_ (a) ^ (b) f (x) dx \u003d f (x) | _ (a) ^ (b)\u003d F (b) - f (a)

missä F (x) - Pred-kaltainen F (x)

Toisin sanoen integraalitoiminto f (x) Intervalli on yhtä suuri kuin pisteiden nähtävyydet b. ja a..

Curvilinear Trapeziumin neliö

Curvilinear trapetsium Kutsutaan luku, jonka ei-negatiivinen ja jatkuva aikataulu toiminnon segmentillä f., Ox Axis ja suora x \u003d A. ja x \u003d B..

Curvilinear Trapeziumin alue löytyy Newton Labitsa Formula:

S \u003d \\ int_ (a) ^ (b) f (x) dx

Toiminto F (x. ) olla nimeltään predo-muotoinen Toiminnasta f (x.) Tietyllä aikavälillä, jos kaikki x. Tasa-arvo suoritetaan tästä aukosta

F "(x. ) = f.(x. ) .

Esimerkiksi toiminto F (x) \u003d x 2 f (x. ) = 2h. , kuten

F "(x) \u003d (x 2 )" = 2x \u003d f (x). ◄

Pääomaisuus on primitiivinen

Jos F (x) - Täydellinen toimintoon f (x) Määritetyssä aukossa, sitten toiminto f (x) Sillä on äärettömän monia primitiivisiä, ja kaikki nämä primitiiviset voidaan kirjoittaa F (x) + kanssamissä Peräkkäin - mielivaltainen vakio.

Esimerkiksi.

Toiminto F (x) \u003d x 2 + 1 on ensisijainen toiminto

f (x. ) = 2h. , kuten F "(x) \u003d (x 2 + 1 )" = 2 x \u003d f (x);

toiminto F (x) \u003d x 2 - 1 on ensisijainen toiminto

f (x. ) = 2h. , kuten F "(x) \u003d (x 2 - 1)" = 2x \u003d f (x) ;

toiminto F (x) \u003d x 2 - 3 on ensisijainen toiminto

f (x.) = 2h. , kuten F "(x) \u003d (x 2 - 3)" = 2 x \u003d f (x);

kaikki ominaisuudet F (x) \u003d x 2 + Peräkkäin missä Peräkkäin - mielivaltainen vakio, ja vain tällainen toiminto on primitiivinen toiminnalle f (x.) = 2h. . ◄

Ensisijaisen määrän laskemista koskevat säännöt

Jos F (x) - Pred-kaltainen F (x) , mutta G (x) - Pred-kaltainen g (x) T. F (x) + g (x) - Pred-kaltainen f (x) + g (x) . Toisin sanoen, ensimmäinen summa on yhtä suuri kuin primordial .
Jos F (x) - Pred-kaltainen F (x) , I. k. - Jatkuva, sitten k. · F (x) - Pred-kaltainen k. · f (x) . Toisin sanoen, pysyvän kerroin voidaan tehdä johdannaismerkistä .
Jos F (x) - Pred-kaltainen F (x) , I. k., B.- Jatkuva, ja k ≠ 0 T. 1 / K. · F (k. x +.b. ) - Pred-kaltainen f.(k. x +. b.) .

Epävarma integraali

Epävarma integraali toiminnasta F (x) nimeltään ilmaisu F (x) + kanssaeli kokonaisuudessaan kaikki ensisijainen tämä ominaisuus f (x) . Merkitsee määräämättömän integraalin niin:

∫ f (x) dx \u003d f (x) + kanssa ,

f (x)- Puhelu integroitu toiminto ;

f (x) dx - Puhelu konkreettinen ilme ;

x. - Puhelu muuttuva integraatio ;

F (x) - Yksi primitiivisistä toiminnoista F (x) ;

Peräkkäin - mielivaltainen vakio.

Esimerkiksi, ∫ 2 x DX \u003d.h. 2 + Peräkkäin , ∫ cos.x DX \u003d.synti. h. + Peräkkäin jne. ◄

Sana "integraali" tulee latinalaisesta sanasta kokonaisluku Mitä "restauroitu" tarkoittaa. Ottaen huomioon määrittelemätön integraali 2 x. , palautamme tehtävän h. 2 joka on yhtä suuri kuin 2 x. . Funktion palauttaminen sen johdannaisella tai että sama, löytyy määräämätön integraali tämän integraandin toiminnasta, kutsutaan liittäminen Tämä ominaisuus. Integraatio on operaatio, käänteinen eriytyminen. Jotta voit tarkistaa, onko integraatio suoritetaan oikein, se riittää ratkaisemaan tulos ja saada lähdetoiminto.

Määräämättömän kiinteistön pääominaisuudet

Riippumattoman integraalin johdannainen on yhtä suuri kuin integrandifunktio:

(∫ f (x) dx )" \u003d F (x) .

Integroidun ekspression pysyvä kerroin voidaan tehdä integroituun merkkiin:

∫ k. · f (x) dx = k. · ∫ f (x) dx .

Toimintojen määrä (ero) on yhtä suuri kuin näistä toiminnoista peräisin olevien integraalien määrä (ero):

∫ ( f (x) ± g (x ) ) dx = ∫ f (x) dx ± ∫ g (X. ) dx .

Jos k., B.- Jatkuva, ja k ≠ 0 T.

∫ f ( k. x +. b.) dx = 1 / K. · F (k. x +.b. ) + S. .

Primaalis ja määräämättömät integraalit

	f (x)	F (x) + c	∫ f (x) dx \u003d f (x) + kanssa
I.	$$0$$	$$ c $$.	$$ \\ int 0dx \u003d c $$
II.	$$ k $$	$$ KX + C $$	$$ \\ int KDX \u003d KX + C $$
III.	$$ x ^ n ~ (n \\ neq-1) $$	$$ \\ frac (x ^ (n + 1)) (n + 1) + c $$	$$ \\ int x ^ ndx \u003d \\ frac (x ^ (n + 1)) (n + 1) + c $$
IV.	$$ \\ frac (1) (x) $$	$$ \\ ln \| x \| + c $$	$$ \\ int \\ frac (dx) (x) \u003d \\ ln \| x \| + c $$
V.	$$ \\ sin x $$	$$ - - cos x + c $$	$$ \\ int \\ sin x ~ dx \u003d - - cos x + c $$
VI.	$$ \\ cos x $$	$$ \\ SIN X + C $$	$$ \\ int \\ cos x ~ dx \u003d \\ sin x + c $$
VII.	$$ \\ frac (1) (\\ cos ^ 2x) $$	$$ \\ Textrm (TG) ~ X + C $$	$$ \\ int \\ frac (dx) (\\ cos ^ 2x) \u003d \\ TEXTRM (TG) ~ X + C $$
VIII.	$$ \\ frac (1) (\\ SIN ^ 2x) $$	$$ - \\ Textrm (CTG) ~ X + C $$	$$ \\ int \\ frac (DX) (\\ SIN ^ 2x) \u003d - \\ Textrm (CTG) ~ x + C $$
Ix.	$$ e ^ x $$	$$ e ^ x + c $$	$$ \\ int e ^ xdx \u003d e ^ x + c $$
X.	$$ a ^ x $$	$$ \\ frac (a ^ x) (a) + c $$	$$ \\ int a ^ xdx \u003d \\ frac (a ^ x) (a) + c $$
Xi.	$$ \\ frac (1) (1-x ^ 2)) $$	$$ \\ arcsin x + c $$	$$ \\ int \\ frac (dx) (1-x ^ 2)) \u003d \\ arcsin x + c $$
XII.	$$ \\ frac (1) (\\ sqrt (a ^ 2-x ^ 2) $$	$$ \\ arcsin \\ frac (x) (a) + c $$	$$ \\ int \\ frac (DX) (\\ sqrt (a ^ 2-x ^ 2) \u003d \\ arcsin \\ frac (x) (a) + c $$
XIII.	$$ \\ frac (1) (1 + x ^ 2) $$	$$ \\ textrm (arctg) ~ x + c $$	$$ \\ int \\ frac (dx) (1 + x ^ 2) \u003d \\ textrm (arctg) ~ x + c $$
XIV.	$$ \\ frac (1) (a ^ 2 + x ^ 2) $$	$$ \\ frac (1) (a) \\ Textrm (ARCTG) ~ \\ frac (x) (a) + c $$	$$ \\ int \\ frac (DX) (a ^ 2 + x ^ 2) \u003d \\ frac (1) (a) \\ Textrm (ARCTG) ~ \\ frac (x) (a) + c $$
Xv	$$ \\ frac (1) (\\ sqrt (a ^ 2 + x ^ 2) $$	$$ \\ ln \| x + \\ sqrt (a ^ 2 + x ^ 2) \| + c $$	$$ \\ int \\ frac (DX) (\\ sqrt (a ^ 2 + x ^ 2) \u003d \\ ln \| x + \\ sqrt (a ^ 2 + x ^ 2) \| + c $$
XVI.	$$ \\ frac (1) (x ^ 2-a ^ 2) ~ (a \\ neq0) $$	$$ \\ frac (1) (2a) \\ ln aloita (vmatrix) \\ frac (x-a) (x + a) \\ end (vmatrix) + c $$	$$ \\ int \\ frac (DX) (X ^ 2-A ^ 2) \u003d \\ flac (1) (2a) \\ ln \\ aloitus (vmatrix) \\ frac (x + a) \\ end (vmatrix) + C $$.
XVII.	$$ \\ Textrm (TG) ~ x $$	$$ - \\ ln \| \\ cos x \| + c $$	$$ \\ int \\ textrm (Tg) ~ X ~ DX \u003d - \\ l \| \\ cos x \| + c $$
XVIII.	$$ \\ Textrm (CTG) ~ x $$	$$ \\ ln \| \\ sin x \| + c $$	$$ \\ int \\ textrm (ctg) ~ x ~ dx \u003d \\ ln \| \\ sin x \| + c $$
XIX.	$$ \\ frac (1) (\\ SIN X) $$	$$ \\ ln aloita (vmatrix) \\ Textrm (TG) ~ \\ frac (x) (2) \\ Lopeta (Vmatrix) + C $$	$$ \\ int \\ frac (DX) (\\ SIN X) \u003d \\ LN \\ Aloita (Vmatrix) \\ Textrm (TG) ~ \\ frac (x) (2) \\ Pääty (Vmatrix) + C $$
Xx.	$$ \\ frac (1) (\\ cos x) $$	$$ \\ ln aloita (vmatrix) \\ Textrm (TG) \\ Levon (\\ frac (x) (2) + \\ frac (\\ pi) (4) oikeanpuoleinen (vmatrix) + c $$	$$ \\ int \\ frac (dx) (cos x) \u003d \\ ln aloita (vmatrix) \\ TEXTRM (TG) \\ TAPAHTUMA (\\ Frac (X) (2) + \\ Frac (\\ PI) (4) ) \\ End (VmaTrix) + C $$
Tässä taulukossa esitetyt ensimmäiset ja määräämättömät integraalit ovat tavanomaisia. taulukot ovat primitiivisiä ja taulukkointegraalit .

Tietty kiinteä

Olkoon aikavälillä [a.; B.] Jatkuva toiminta on määritetty y \u003d f (x) , sitten määritellään integraali a - b Toiminnot f (x) Lisäys on primitiivinen F (x) tämä toiminto on

$$ \\ int_ (a) ^ (b) f (x) dx \u003d f (x) | \u003d _a ^ b) \u003d ~ ~ f (a) -F (b). $$

Numerot a.ja b. kutsutaan vastaavasti nizhina ja ylempi integraatiorajat.

Perussäännöt tietyn kiinteän integraalin laskemiseksi

1. \\ (\\ int_ (a) ^ (a) f (x) dx \u003d 0 \\);

2. \\ (\\ int_ (a) ^ (b) f (x) DX \u003d - \\ int_ (b) ^ (a) f (x) DX \\);

3. \\ (\\ IN_ (A) ^ (b) KF (x) DX \u003d K \\ IN_ (A) ^ (b) f (x) DX, \\) k. - vakio;

4. \\ (\\ int_ (a) ^ (b) (f (x) ± g (x)) dx \u003d \\ int_ (a) ^ (b) f (x) DX ± \\ IT_ (A) ^ (b) g (x) dx \\);

5. \\ (\\ int_ (a) ^ (b) f (x) dx \u003d \\ int_ (a) ^ (c) f (x) DX + \\ int_ (c) ^ (b) f (x) DX \\) ;

6. \\ (\\ int _ (- a) ^ (a) f (x) dx \u003d 2 \\ int_ (0) ^ (a) f (x) DX \\), missä F (x) - jopa toiminto;

7. \\ (\\ int _ (- a) ^ (a) f (x) dx \u003d 0 \\), missä f (x) - pariton ominaisuus.

Kommentti . Kaikissa tapauksissa oletetaan, että yhdennetyt toiminnot, jotka on integroitu numeerisissä väleissä, joiden rajat ovat integraatiorajoituksia.

Tietyn kiinteän aineen geometrinen ja fyysinen merkitys

Geometrinen merkitys määritetty integraali	Fyysinen merkitys määritetty integraali

Alue S. curvilinear trapezium (kuva rajoitettu jatkuvaan positiiviseen aikaväliin [a.; B.] Toiminnot f (x) , akseli HÄRKÄ. Ja suora x \u003d A. , x \u003d B. ) lasketaan kaavalla $$ s \u003d \\ int_ (a) ^ (b) f (x) DX. $$	Tapa s.joka ylittää materiaalipisteen siirtymällä heti lakien nopeudella v (t) , ajan myötä a ; B.], sitten kuvion alue, rajoittaa näiden toimintojen kaaviot ja suora x \u003d A. , x \u003d B. , laskettu kaava $$ s \u003d \\ int_ (a) ^ (b) (f (x) -g (x)) DX. $$
	Esimerkiksi. Laske kuvion rajoitetun rivin alue y \u003d X. 2 ja y \u003d.2 - X. . Minä näytän kaavamaisesti näiden toimintojen grafiikka ja korostaa, mitä haluat löytää alueen. Löydät integraatiorajat ratkaisemalla yhtälö: x. 2 = 2 - X. ; x. 2 + x -2 = 0 ; x. 1 = -2, X. 2 = 1 . $$ S \u003d \\ int _ (- 2) ^ (1) ((2 - x) -X ^ 2) DX \u003d $$
$$ \u003d \\ int _ (- 2) ^ (1) (2 xx ^ 2) dx \u003d vasemmalla (2x- frac (x ^ 2) (2) - \\ frac (x ^ 3) (2) \\ t Oikea) \\ Big \| (_ (- 2) ^ (~ 1)) \u003d 4 \\ frac (1) (2). $$. ◄

Kierto

Jos ruumis saadaan pyörimisen seurauksena akselin lähellä HÄRKÄ. Curvilinear trapezium rajoittaa jatkuvasti ja ei-negatiivinen aikavälillä [a.; B.] toiminnot y \u003d f (x) Ja suora x \u003d A.ja x \u003d B. Sitten sitä kutsutaan kierto .

Kiertaus lasketaan kaavalla

$$ V \u003d \\ PI \\ int_ (a) ^ (b) f ^ 2 (x) DX. $$

Jos pyörimisrunko saadaan kuvion pyörimisen seurauksena, rajoitettu yläpuolelta ja alapuolella toimintoja y \u003d f (x) ja y \u003d g (x) , vastaavasti sitten

$$ V \u003d \\ PI INT_ (A) ^ (b) (f ^ 2 (x) -g ^ 2 (x)) DX. $$

Esimerkiksi. Laske kartion tilavuus säteellä r. ja korkeus h. .

Aseta kartio suorakaiteen muotoiseen koordinaattijärjestelmään niin, että sen akseli vastaa akselin kanssa HÄRKÄ. Ja perustan keskus sijaitsee koordinaattien alussa. Muodostuksen kiertäminen Ab Määrittää kartion. Yhtälöstä Ab

$$ \\ frac (x) (h) + \\ frac (y) (r) \u003d 1, $$

$$ y \u003d r- \\ frac (rx) (h) $$

ja kartion volyymi meillä on

$$ V \u003d \\ pi \\ int_ (0) ^ (h) (R- frac (RX) (H)) ^ 2dx \u003d \\ pi r ^ 2 \\ int_ (0) ^ (h) (1- frac ( x) (h)) ^ 2dx \u003d - \\ pi r ^ 2H \\ cdot \\ frac ((1- frac (x) (h)) ^ 3) (3) | (_0 ^ h) \u003d - \\ pi r ^ 2h vasemmalle (0- frac (1) (3) oikealla) \u003d \\ frac (\\ pi r ^ 2h) (3). $$

◄