Menetelmät epävarmojen integraalien laskemiseksi. Integraalit Dummiesille: Miten ratkaista, laskentasääntöjä, selitys

Onko mahdollista laittaa epälineaarinen toiminta differentiaalisen merkin alle? Kyllä, jos korvaava ilmaisu on kahden kerroksen tuote: yksi tekijä on monimutkainen toiminto jostakin epälineaarisesta toiminnosta ja toinen tekijä on peräisin tästä epälineaarisesta toiminnasta. Harkitse esimerkkejä, mitä sanotaan.

Etsi epävarmoja integraaleja.

Esimerkki 1.. ∫ (2x + 1) (x 2 + x + 2) 5 dx \u003d ∫ (x 2 + x + 2) 5 d (x 2 + x + 2) \u003d (x² + x + 2) 6 : 6 + C.

Mikä tämä integraantti on? Virtafunktion tuote (x 2 + x + 2) ja kerroin (2x + 1), joka on yhtä suuri kuin tutkintojohdannainen: (x 2 + x + 2) "\u003d 2x + 1.

Tämä antoi meille mahdollisuuden tuoda (2x + 1) differentiaalisen merkin alla:

∫u 5 du \u003d u 6 : 6+ C. (Formula 1). )

Tarkistaa. (F (x) + c) "\u003d ((x² + x + 2) 6 : 6 + c) '\u003d 1/6 · 6 (x 2 + x + 2) 5 · (x 2 + x + 2) "\u003d

\u003d (x 2 + x + 2) 5 · (2x + 1) \u003d (2x + 1) (x 2 + x + 2) 5 \u003d f (x).

Esimerkki 2. ∫ (3x 2 - 2x + 3) (x 3 - x 2 + 3x + 1) 5 dx \u003d ∫ (x 3 - x 2 + 3x + 1) 5 d (x 3 - x 2 + 3x + 1) \u003d

\u003d (x 3 x 2 + 3x + 1) 6 : 6 + C.

Ja miten tämä esimerkki eroaa esimerkistä 1? Kyllä, mitään! Sama viidennen asteen kanssa pohja (x 3 - x 2 + 3x + 1) kerrotaan kolmipyörällä (3x 2 - 2x + 3), joka on koulutusjohdannainen: (X3 - X2 + 3X + 1) "\u003d 3x 2 - 2x + 3. Tämä on perusta, jonka olemme epäonnistuneet erotuksen alla, josta integroidun lausekkeen arvo ei ole muuttunut ja sitten soveltanut samaa kaavaa 1). ( Integraalit)

Esimerkki 3.

Tässä (2 - 3 - 3x) johdannainen antaa (6x 2 - 3), ja meillä on

on (12x 2 - 6), eli ilmaus 2 Ajat enemmän, se tarkoittaa, että tuodaan (2-3 - 3x) differentiaalisen merkin alla ja integraalin edessä laittaa kerrannaispiirin 2 . Käytä kaavaa 2) (arkki ).

Tämä tapahtuu:

Tarkista, kun otetaan huomioon, että:

Esimerkkejä. Etsi epävarmoja integraaleja.

1. ∫ (6x + 5) 3 DX. Miten päätämme? Katsomme arkkia ja me väittämme tästä: integraand on tutkinto, ja meillä on kaava asteen integraalille (kaava 1) ), mutta on säätiö u. ja integraatiomuuttuja u.

Ja meillä on muuttuva integraatio H.ja tutkinnon perusta (6x + 5). Korvaamme integraatiomuuttujan: DX: n kirjoittamisen D (6x + 5) sijasta. Mikä muuttui? Koska seisoo ero differentiaalisen eron erotuksen jälkeen, oletus on eriytetty,

sitten D (6x + 5) \u003d 6DX, ts. Kun vaihdat muuttuja X muuttujalle (6x + 5), integroitu toiminto kasvoi 6 kertaa, joten ennen integroitua merkkiä laittaa tekijä 1/6. Voit kirjoittaa nämä argumentit näin:

Joten ratkaisimme tämän esimerkin uuden muuttujan käyttöönoton (muuttuja X korvattiin muuttujalla 6x + 5). Ja missä uusi muuttuja (6x + 5) tallensi? Differentiaalisen merkin alla. Siksi, tämä menetelmä Uuden muuttujan käyttöönottoa kutsutaan usein menetelmä (tai tavalla ) Tallentaa(uusi muuttuja ) Differentiaalin merkin alla.

Toisessa esimerkissä saimme ensin tutkinnon negatiivisella indikaattorilla ja sitten johti differentiaalisen (7x-2) merkkiin ja käytti asteen integraalikaavaa 1) (Integraalit ).

Analysoimme esimerkin esimerkin 3.

Integraalin edessä on 1/5 kerrosta. Miksi? Koska D (5x-2) \u003d 5DX, differentiaalisen toiminnon U \u003d 5X-2 funktio kasvatti integraandin ilmaisua 5 kertaa siten, että tämän lausekkeen arvo ei muutu - oli tarpeen jakaa 5, eli. Kerro 1/5. Seuraavaksi käytettiin kaavaa 2) (Integraalit) .

Kaikki integraalien yksinkertaisimmat kaavat katsotaan:

∫f (x) dx \u003d f (x) + cLisäksi tasa-arvo olisi suoritettava:

(F (x) + c) "\u003d f (x).

Integraatiokaaviot voidaan saada viittaamalla vastaaviin erilaisiin kaavoihin.

Todella,

Eksponentti n. Ehkä murto. Usein sinun on löydettävä määrittelemätön integraali toiminnasta Y \u003d √h. Laske integraali funktiosta f (x) \u003d √x käyttäen kaavaa 1) .

Kirjoitamme tämän esimerkin kaavassa 2) .

Koska (x + c) "\u003d 1, sitten ∫dx \u003d x + c.

3) ∫dx \u003d x + c.

Vaihto 1 / x² X -2, laske integraali 1 / xx.

Ja tämä vastaus oli mahdollista saada valitussa tunnetun kaavan eriyttämiselle:

Me kirjoitamme päätemme kaavassa 4).

Kerrotaan molemmat yhden tason 2, jolloin 2, saamme kaavan 5).

Etsi integraalit tärkeimmistä trigonometriset toiminnot, tietäen, että niiden johdannaiset: (SINX) "\u003d COSX; (COSX)" \u003d - SINX; (TGX) "\u003d 1 / cos²x; (CTGX)" \u003d - 1 / SIN²X. Saamme integraatiokaavan 6) — 9).

6) ∫cosxdx \u003d sinx + c;

7) ∫sinxdx \u003d -COSX + C;

Opiskelun jälkeen ohjeelliset ja logaritminen toiminnot lisäävät muutamia kaavoja.

Epävarman integraalin tärkeimmät ominaisuudet.

I. Riippumattoman integraalin johdannainen on yhtä suuri kuin integraantti .

(∫F (x) DX) "\u003d f (x).

II.Määrittelemätön integraalin ero on yhtä suuri kuin alkuperäinen lauseke.

d∫f (x) dx \u003d f (x) DX.

III. Joidenkin toimintojen erottamisen (johdannaisen) määrittelemätön integraali on yhtä suuri kuin tämän toiminnon summa ja mielivaltainen vakio C.

∫df (x) \u003d f (x) + ctai ∫f "(x) dx \u003d f (x) + c.

Huomautus: I, II ja III ominaisuudet, erotus- ja kiinteät merkit (integraali ja ero) "syövät" toisiaan!

IV. Integroidun ilmaisun pysyvä kerroin voidaan saavuttaa kiinteän merkillä.

∫kf (x) dx \u003d k · ∫f (x) DX,missä k. - Vakioarvo, joka ei ole nolla.

V.Algebrallisen toimintojen integraali on yhtä suuri kuin näiden toimintojen algebrallinen määrä.

∫ (f (x) ± g (x)) DX \u003d ∫F (x) DX ± ∫G (x) DX.

VI.Jos f (x) on primitiivinen f (x) ja k. ja b. - pysyvät arvot ja k.≠ 0, sitten (1 / k) · f (kx + b) on primitiivinen f (kx + b). Itse asiassa johdannaisen laskentasäännön mukaan monimutkainen toiminto Meillä on:

Sinä voit kirjoittaa:

Jokaiselle matemaattiselle toiminnalle on päinvastainen vaikutus. Eriyttämiseen (löytyy johdettuja toimintoja), on myös käänteinen toiminta - Liittäminen. Integraatiolla ne löytyvät (palautettu) toiminto sen johdannaisen tai differentiaalin mukaan. Löydetty toimintoa kutsutaan predo-muotoinen.

Määritelmä. Differentiaalitoiminto F (x) nimeltään primitiivinen toiminto F (x) Tietyllä aikavälillä, jos kaikki h. Tasa-arvo on juuri tästä aukosta: F '(x) \u003d f (x).

Esimerkkejä. Etsi ensisijaiset toiminnot: 1) f (x) \u003d 2x; 2) f (x) \u003d 3cos3x.

1) Koska (X²) '\u003d 2x, sitten määritelmän mukaan funktio f (x) \u003d x² on primitiivinen funktio f (x) \u003d 2x.

2) (SIN3X) '\u003d 3COS3X. Jos nimeät f (x) \u003d 3cos3x ja f (x) \u003d SIN3X, sitten se on primitiivinen, meillä on: f '(x) \u003d f (x), ja se tarkoittaa f (x) \u003d SIN3X on primitiivinen f (x) \u003d 3cos3x.

Huomaa, että ja (SIN3X +5 )′= 3cos3xja (SIN3X -8,2 )′= 3cos3x, ... sisään yleinen Voit kirjoittaa: (SIN3X + S.)′= 3cos3xmissä Peräkkäin - Jotkut pysyvät arvot. Nämä esimerkit osoittavat integraatiotoiminnan epäselvyyttä, toisin kuin erilaistumistoiminta, kun eri toiminto on yksittäinen johdannainen.

Määritelmä. Jos toiminto F (x) on ensisijainen toiminto f (x) Joillakin väleillä, sitten kaikkien ensisijaisten ominaisuuksien sarja on:

F (x) + cjossa c on voimassa oleva numero.

Kaikkien primitiivisen F (X) + C -funktion f (x) yhdistelmä, jota käsiteltävänä olevaan välein, kutsutaan epävarmaksi ja merkitsemällä symbolilla ∫ (integroitu merkki). Ennätys: ∫f (x) dx \u003d f (x) + c.

Ilmaisu ∫f (x) dx He lukevat: "EF: n integraali X: stä de x: stä".

f (x) dx - Concrict,

f (x) - integroitu toiminto,

h. - muuttuva integraatio.

F (x) - Täydellinen toimintoon f (x),

Peräkkäin - Jotkut pysyvät arvot.

Nyt tarkastetut esimerkit voidaan kirjoittaa seuraavasti:

1) ∫ 2xdx \u003d x² + c. 2) ∫ 3COS3XDX \u003d SIN3X + C.

Mitä D-merkki tarkoittaa?

d - Differentiaalinen merkki - on kaksinkertainen tarkoitus: Ensinnäkin tämä merkki erottaa integroidun toiminnon integraatiomuuttujalta; Toiseksi kaikki, mikä seisoo tämän merkin jälkeen, on eri tavoin oletusarvoinen ja kerrottuna integraand-toiminnolla.

Esimerkkejä. Etsi integraalit: 3) ∫ 2pxdx; 4) ∫ 2pxdp.

3) Differentiaali-kuvakkeen jälkeen d. sen väärti h. H., mutta r

∫ 2khrdx \u003d px² + p. Vertaa esimerkkiä 1).

Tarkista. F '(x) \u003d (px² + c)' \u003d p · (x²) '+ c' \u003d p · 2x \u003d 2px \u003d f (x).

4) Differentiaali-kuvakkeen jälkeen d. sen väärti r. Joten integraatiomuuttuja Rja kertojan h. Sitä olisi pidettävä tiettyä vakioarvoa.

∫ 2hrdr \u003d ² + s. Vertaa esimerkkejä 1) ja 3).

Tarkista. F '(p) \u003d (p² x + c)' \u003d x · (p²) '+ c' \u003d x · 2p \u003d 2px \u003d f (p).

Sivu 1/1 1

Integraalien ratkaisu on tehtävä on kevyt, mutta vain valittuna. Tämä artikkeli on niille, jotka haluavat oppia ymmärtämään integraalit, mutta ei tiedä mitään niistä tai lähes mitään. Integraali ... Miksi sitä tarvitaan? Kuinka laskea se? Mikä on tietty ja määrittelemätön integraali? Jos ainoa integraalinen sovellus, joka tunnetaan, on saada virkkaus kiinteän kuvakkeen muodossa. Jotain hyödyllistä vaikea päästä paikkoihin, sitten tervetuloa! Opi ratkaisemaan integraalit ja miksi ilman sitä on mahdotonta tehdä.

Tutkimme "integraalin" käsitettä

Integraatio oli tunnettu muinaisessa Egyptissä. Tietenkään, ei moderni video, mutta silti. Sittemmin matematiikka kirjoitti paljon kirjoja tästä aiheesta. Erityisen erottuva Newton ja Leignits Mutta asioiden olemus ei ole muuttunut. Kuinka ymmärtää integraalit tyhjästä? Ei missään tapauksessa! Tämän aiheen ymmärtämiseksi matemaattisen analyysin perustana tarvitaan edelleen. Nämä perustiedot löytyvät blogissamme.

Epävarma integraali

Olkaamme jonkinlaista toimintaa f (x) .

Epävarma Integraalitoiminto f (x) Tätä ominaisuutta kutsutaan F (x) , jonka johdannainen on yhtä suuri kuin funktio f (x) .

Toisin sanoen integraali on johdannainen päinvastoin tai primitiivisesti. Muuten, miten lukea artikkelissamme.

Ennustetut ovat olemassa kaikkiin jatkuviin toimintoihin. Myös vakiomerkkiä lisätään usein ensisijaiseen, koska johdannaiset vaihtelevat vakiona samanaikaisesti. Integraalin löytämisprosessi kutsutaan integroinniksi.

Yksinkertainen esimerkki:

Jos haluat jatkuvasti laskea primitiivisiä perustoimintoja, on kätevää vähentää taulukkoa ja käyttää valmiita arvoja:

Tietty kiinteä

Ottaa sopimus integraalin käsitteen kanssa, me käsittelemme äärettömän pieniä arvoja. Integraali auttaa laskemaan kuvion, inhomogeenisen kehon massa, joka kulkee epätasaisen liikkeen polun alla ja paljon muuta. On muistettava, että integraali on äärettömän määrä suuri numero Äärettömän pienet ehdot.

Esimerkkinä kuvittele jonkin toiminnon aikataulu. Kuinka löytää alueen luvut rajoittavat funktion kaaviossa?

Integraalin avulla! Jaamme curvilinear trapetsium, rajoittaa koordinaatti-akselit ja funktion kaavio, äärettömillä pienillä segmenteillä. Siten luku jaetaan ohuiksi sarakkeiksi. Sarakkeiden alueen summa on trapezoidin alue. Muista kuitenkin, että tällainen laskelma antaa esimerkinomaisen tuloksen. Mitä pienempi segmentit ovat jo olemassa, tarkempi on laskelma. Jos vähennämme heitä siinä määrin, että pituus pyrkii nollaan, segmenttien määrä pyrkii kuvan alueelle. Tämä on erityinen integraali, joka on kirjoitettu seuraavasti:

Pisteitä A ja B kutsutaan integraatiorajoiksi.

Baria Alibasov ja ryhmä "Integraaliset"

Muuten! Lukijillemme nyt on 10% alennus

Säännöt dummiesintegraalien laskemiseksi

Epävarman integraalin ominaisuudet

Kuinka ratkaista määrittelemätön integraali? Täällä tarkastelemme epävarman integraalin ominaisuuksia, jotka ovat hyödyllisiä ratkaisemaan esimerkkejä.

Integraalin johdannainen on yhtä suuri kuin integranditoiminto:

Vakio voidaan tehdä kiinteästä merkistä:

Summan integraali on yhtä suuri kuin integraalien määrä. Myös myös ero:

Tiettyyn integraalin ominaisuudet

Lineaarisuus:

Integroitu merkki muuttuu, jos integraatiorajat vaihdetaan:

Varten minkä tahansa Pisteet a., b. ja peräkkäin:

Olemme jo huomanneet, että tietty kiinteä on summan raja. Mutta miten saada erityinen arvo ratkaisemaan esimerkkiä? Tätä varten on Newton-Leibnic Formula:

Esimerkkejä integraalisten ratkaisuista

Alla on useita esimerkkejä epävarmoista integraalista. Suosittelemme, että ymmärrät itsenäisesti ratkaisun hienovaraisuuksia, ja jos jotain on käsittämätöntä, pyydä kysymyksiä kommenteissa.

Materiaalin varmistamiseksi katso videota siitä, miten integraalit ratkaistaan \u200b\u200bkäytännössä. Älä epätoivoa, jos kiinteää ei ole annettu välittömästi. Kysy, ja he kertovat sinulle laskemisesta integraalit, jotka tuntevat itsensä. Kaikesta kolminkertaisesta tai krivolnoe Integraali Suljetun pinnan varrella tulee voimat.

Integraalinen laskuri.

Tulostustoiminto.

Määritelmä: Functionf (x) kutsutaan primitiivinen tehtäväsegmentin funktionf (X), jos tässä segmentin missä tahansa vaiheessa on todellinen tasa-arvo:

On huomattava, että sama tehtävä voi olla äärettömän paljon. Ne eroavat toisistaan \u200b\u200bjonkin verran vakiona.

F 1 (x) \u003d f 2 (x) + c.

Epävarma integraali.

Määritelmä: Epävarma integraalifunktionf (x) kutsutaan joukko primitiivisiä toimintoja, jotka määräytyvät suhteesta:

Ennätys:

Joidenkin segmentin määräämättömän integraalin olemassaolo on tämän segmentin toiminnon jatkuvuus.

Ominaisuudet:

Esimerkki:

Riippumattoman integraalin arvon löytäminen johtuu pääasiassa primitiivisen toiminnan havaitsemisesta. Joillekin toiminnoille tämä on melko monimutkainen tehtävä. Seuraavassa käsitellään keinoja löytää epävarmoja integraaleja perusluokissa - järkevä, irrationaalinen, trigonometrinen, ohjeellinen jne.

Mukavuuden vuoksi useimpien perustoimintojen epävarmojen integraalien merkitys kootaan erityisten integraalisiin taulukoihin, jotka ovat joskus erittäin suuria. Niihin kuuluvat erilaiset yhteiset toiminnot. Mutta suurin osa näissä taulukoissa esitetyistä kaavoista on toistensa seuraukset, joten päälautaen taulukon alapuolella voit saada eri toimintojen epävarmojen integraalien arvot.

Integraali	Arvo	Integraali	Arvo

	lnsinx + C.



	ln.

Integraatiomenetelmät.

Harkitse kolme perus-integraatiomenetelmää.

Suora integraatio.

Suora integraatiomenetelmä perustuu alkuarvoon primitiivisen toiminnan mahdollisesta arvosta, jonka arvo on tämän arvon tarkastaminen erilaistumiseen. Yleensä huomaat, että erilaisuus on tehokas työkalu integraation tulosten tarkistamiseen.

Harkitse tämän menetelmän käyttöä esimerkkinä:

Sen on löydettävä kiinteä arvo. . Perustuu tunnetun erilaistumisen kaavan
voidaan päätellä, että haluttu integraali on yhtä suuri
jossa c on vakioilu. Toisaalta
. Näin voimme lopulta päätellä:

Huomaa, että toisin kuin eriyttäminen, jossa käytettiin johdannaisten, selkeiden tekniikoiden ja menetelmien löytämistä johdannaisen löytämiseksi lopullisesti johdannaisen määrittämiseksi, tällaiset menetelmät eivät ole käytettävissä. Jos, kun löydät johdannaisen, meillä on niin puhua, rakentavia menetelmiä, jotka perustuvat tiettyihin sääntöihin, johtavat tulokseen, kun havaitset ensisijaisen, on välttämätöntä täysin luottaa johdannaisten taulukoiden tietämykseen ja primitiivinen.

Suoraan integraatiomenetelmään sovelletaan vain joitain hyvin rajoitettuja toimintoja. Toiminnot, joille on mahdollista löytää ensisijainen hyvin vähän liikkeestä. Siksi useimmissa tapauksissa käytetään alla kuvattuja menetelmiä.

Korvausmenetelmä (muuttujien korvaaminen).

Lause: Jos haluat löytää kiinteän
Mutta on vaikea löytää primitiivistä, sitten korvaamalla x \u003d  (t) anddx \u003d  (t), DTP on:

Todiste : Ehdotettu tasa-arvo:

Tarkasteltuaan määräämättömän kiinteistön numero 2:

f.(x.) dx = f.[  (t.)]  (t.) dT.

mitä ottaen huomioon ottaen käyttöön otetut nimitykset ja on alku-oletus. Teorem on osoitettu.

Esimerkki.Etsi määrittelemätön integraali
.

Korvataan t. = sinx., dT. = cosxdt..

Esimerkki.

Korvaus
Saamme:

Alla pidetään muita esimerkkejä korvausmenetelmän soveltamisesta erilaisille toiminnoille.

Integrointi osiin.

Menetelmä perustuu työn johdannaisen tunnettuun kaavaan:

(UV)  \u003d UV + VU

jossa UIV on joitakin toimintoja x: stä.

Differentiaalisessa muodossa: D (UV) \u003d UDV + VDU

Integroitu, saamme:
ja edellä mainittujen määräämättömän integraalin ominaisuuksien mukaisesti:

tai
;

Vastaanotettu integraation kaava osissa, mikä mahdollistaa monien perustoimintojen integraalit.

Esimerkki.

Kuten voidaan nähdä, integrointikaavan peräkkäin osan avulla voit yksinkertaistaa asteittain toimintaa ja tuoda kiinteäksi pöydälle.

Esimerkki.

Voidaan nähdä, että integraation uudelleenkäytön seurauksena toiminto ei yksinkertaistanut taulukkoa. Viimeinen tuloksena oleva integraali ei kuitenkaan ole erilainen lähteestä. Siksi siirrämme sen tasa-arvon vasempaan osaan.

Näin ollen integraali löytyy lainkaan ilman integraalisten taulukoiden käyttöä.

Ennen kuin harkitsemme yksityiskohtaisesti eri toimintoluokkien integrointimenetelmät, annamme muutamia esimerkkejä epävarmoista integraalista tuottamalla ne taulukkoon.

Esimerkki.

Elementaaristen fraktioiden integrointi.

Määritelmä: Perusseuraavien neljäntyyppien fraktiot kutsutaan:

I.
III.

II.
IV.

m, n- kokonaislukuja (M2, N2) IB 2 - 4AC<0.

Ensimmäiset kaksi tyyppisiä integraaleja elementaarisista fraktioista ovat yksinkertaisesti yksinkertaisesti pöydän substituutiossa T \u003d AX + B.

Harkitse tyypin III mukaisten peruskohteiden integraatiomenetelmää.

Muodon III murto-osuuden integraali esitellään muodossa:

Täällä on yleensä osoitettu tuovan muodon IIIO: n murto-osaksi kahteen pöydän integraaliin.

Harkitse edellä mainitun kaavan soveltamista esimerkkeihin.

Esimerkki.

Yleisesti ottaen, jos kolmipyöräinen ax 2 + bx + entsepassb 2 - 4AC\u003e 0, sitten murto-osa ei ole peruskoulutus, mutta se voi kuitenkin integroida edellä määriteltyä menetelmää.

Esimerkki.

Tarkastelemme nyt menetelmiä IVTP: n yksinkertaisimpien fraktioiden integroimiseksi.

Ensinnäkin harkita erityistapausta M \u003d 0, N \u003d 1.

Sitten näkymän olennainen
on mahdollista esittää täydellisen neliön tietokanta koko neliön muodossa
. Tehkäämme seuraava muutos:

Toinen integraali tähän tasa-arvoon tulee osia.

Merkitsee:

Lähde integraalille saamme:

Saatua kaavaa kutsutaan toistuva.Jos käytät ITN-1 aikaa, taulukon integraali on
.

Palataan nyt integroitumaan yleisen tapauksen IVT-tyypin perusosuudesta.

Tuloksena olevassa tasa-arvossa, ensimmäinen integraali korvaamalla t. = u. 2 + s.sijaitsee pöydälle ja edellä mainittua toistuvaa kaavaa sovelletaan toiseen kiinteään.

Huolimatta muodon IV perusfraktion integroinnin näennäisestä monimutkaisuudesta on helppo käyttää tarpeeksi ja fraktioita pienellä tutkinnoilla n.Ja lähestymistavan monipuolisuus ja yleisyys mahdollistaa tämän menetelmän erittäin yksinkertaisen toteutuksen tietokoneella.

Esimerkki:

Rationaalisten toimintojen integrointi.

Ruaalisten fraktioiden integrointi.

Rationaalisen fraktion integroimiseksi on välttämätöntä hajottaa alkeisiin fraktioihin.

Lause: Jos
- Oikea rationaalinen fraktio, jonka nimittäjä (x) on edustettuna lineaaristen ja kvadraattisten kertoimien tuotteena (huomamme, että tässä muodossa voidaan edustaa mitä tahansa polynomia, joilla on voimassa olevat kertoimet: P.(x.) = (x. - a.)  …(x. - b.)  (x. 2 + px. + q.)  …(x. 2 + rx + s.)  ), sitten tämä fraktio voidaan hajottaa alkeisessa järjestelmässä:

missä i, b i, m i, n i, r i, s i ovat joitakin pysyviä arvoja.

Rationaalisten fraktioiden integroitumisessa se turvautuvat alkuperän alkuperäisen fraktion hajoamiseen. Jos haluat löytää suuruuden i, b i, m i, n i, r i, s i, käytä niin sanottua epävarmoiden kertoimien menetelmäJonka ydin on se, että kahdella polynomilla on sama kuin sama, se on välttämätöntä ja riittävän yhtä suuri kuin kertoimet, joilla on samat tutkinnot x.

Tämän menetelmän soveltaminen Harkitaan tietyllä esimerkissä.

Esimerkki.

Kun johtavat yhteiseen nimittäjälle ja vastaavat vastaavat numerot, saamme:

Esimerkki.

Koska Fraktio on väärä, sitten sen pitäisi korostaa koko osaa:

6x 5 - 8x 4 - 25x 3 + 20x 2 - 76x- 7 3x 3 - 4x 2 - 17x + 6

6x 5 - 8x 4 - 34x 3 + 12x 2 2x 2 + 3

9x 3 + 8x 2 - 76x - 7

9x 3 - 12x 2 - 51x +18

20x 2 - 25x - 25

Levitä tuloksena olevan fraktion nimittäjä kertoimilla. Voidaan nähdä, että X \u003d 3-nimittäjä Fraci muuttuu nollaksi. Sitten:

3x 3 - 4x 2 - 17x + 6x- 3

3x 3 - 9x 2 3x 2 + 5x- 2

Siten 3x 3 - 4x 2 - 17x + 6 \u003d (x-3) (3x 2 + 5x- 2) \u003d (X-3) (x + 2) (3x- 1). Sitten:

Jotta vältettäisiin, kun löydät määrittelemättömiä julkistamiskertoimia, ryhmittele ja ratkaista yhtälöjärjestelmä (joka joissakin tapauksissa se voi olla melko suuri) käytetty niin sanottu mielivaltaiset arvot. Menetelmän ydin on se, että edellä mainittu ilmentyminen on vuorotellen jonkin verran (epävarmojen kertoimien lukumäärän mukaan) mielivaltaisten arvojen X mukaan. Laskelmien yksinkertaistamiseksi se hyväksytään mielivaltaisina arvoina ottamaan pisteitä, joissa denomoter on nolla, ts. Asiassa - 3, -2, 1/3. Saamme:

Saan vihdoin:

Esimerkki.

Etsi epävarmoja kertoimia:

Sitten määritetyn kiinteän aineen arvo:

Integroidaan joitakin trigonometria

toiminnot.

Trigonometristen toimintojen integraalit voivat olla äärettömän paljon. Suurin osa näistä integraaleista ei voida laskea analyyttisesti, joten harkitse joitakin tärkeimmät tyypit Toiminnot, jotka voidaan aina integroida.

Integraalinen näkymä
.

Tässä R - joidenkin järkevän toiminnon nimeäminen Variablessinxacosxista.

Tämän lajin integraalit lasketaan korvaamalla
. Tämän korvauksen avulla voit muuntaa trigonometrisen toiminnon järkeväksi.

Sitten

Tällä tavalla:

Edellä kuvattua muutosta kutsutaan universal Trigonometrinen korvaaminen.

Esimerkki.

Tämän korvauksen epäilemätön etu on se, että on aina mahdollista muuntaa trigonometrinen toiminta järkeväksi ja laskea vastaava integraali. Haitat ovat se, että muunnettaessa se voi osoittautua melko monimutkainen järkevä tehtävä, jonka integraatio kestää paljon aikaa ja voimaa.

Jos kuitenkin on mahdotonta soveltaa muuttujan järkevämmän korvaamisen, tämä menetelmä on ainoa intensiivinen.

Esimerkki.

Integraalinen näkymä
jos

toimintoR.cOSX..

Huolimatta mahdollisuudesta laskea tällainen integraali universaalisella trigonometrisella korvaamisella, järkevämpi substituution soveltamiseksi t. = sinx..

Toiminto
se voi sisältää niin monta tasaisessa asteessa, ja siksi se voidaan muuntaa rasittavana funktiona RATIDIDINX.

Esimerkki.

Yleisesti ottaen tämän menetelmän käyttöä varten tarvitaan vain funktiota suhteessa kosiiniin ja funktioon sisältyvän sinian aste voi olla mikä tahansa sekä murto-alueella.

Integraalinen näkymä
jos

toimintoR. on outoasinx..

Analogisesti edellä kuvattu tapaus, korvaaminen t. = cOSX..

Esimerkki.

Integraalinen näkymä

toimintoR. vieläkinsinx. jacOSX..

RV-toiminnon muuntamiseksi korvataan korvaaminen

t \u003d TGX.

Esimerkki.

Integraaliset teokset sinusit ja kosini

eri argumentit.

Riippuen tuotteen tyypistä, sovelletaan yksi kolmesta kaavoista:

Esimerkki.

Joskus trigonometristen toimintojen integroinnissa on kätevää käyttää tunnettuja trigonometrisia kaavoja toimintojen järjestyksen vähentämiseksi.

Esimerkki.

Joskus joitakin ei-standardi-tekniikoita sovelletaan.

Esimerkki.

Jonkin irrationaalisten toimintojen integrointi.

Jokaisella irrationaalisilla toiminnolla ei voi olla integroitu perustoiminnot. Jos haluat löytää irrationaalisen toiminnon integraalin, käytä korvausta, joka mahdollistaa tehtävän muuntamisen järkeväksi, jonka integraali voidaan aina löytää.

Harkitse joitain tekniikoita erilaisten irrationaalisten toimintojen integroimiseksi.

Integraalinen näkymä
missän.- luonnollinen luku.

Korvauksen avulla
toiminto järkeistää.

Esimerkki.

Jos irrationaalisen toiminnan koostumus sisältää eri asteiden juuret, uusi muuttuja, järkevästi ottaa asteen juuret, jotka ovat yhtä suurimpia yhteensä useita ekspressioon sisältyvät juuret.

Me havainnollisemme tämän esimerkissä.

Esimerkki.

Binomine-erojen integrointi.

Määritelmä: Bininominaleronimeltään ilmaisu

x. m. (a. + bX. n. ) p. dx

missä m., n., ja p.– rationaaliset numerot.

Kuten Academemian Chebyshev P.L. (1821-1894), integroitu binomine-differentiaalista voidaan ilmaista alkeellisella toiminnoilla vain seuraavissa kolmessa tapauksessa:

Jos r- kokonaisluku, integraali järkeistetään korvaamalla

Missä - yhteinen nimittäjä m.ja n..

Yleiskatsaus menetelmistä epävarmojen integraalien laskemiseksi. Tärkeimmät integraatiomenetelmät, jotka sisältävät määrän ja eron integrointia, pysyvän kiinteän merkin muodostaminen, vaihda muuttuja integroimalla osiin. Erikoismenetelmät ja -tekniikat fraktioiden, juurien, trigonometrisen ja ohjeelliset toiminnot.

Pred-kyd ja rajoittamaton integraali

Ensisijainen f (x) funktio f (x) on tällainen funktio, jonka johdannainen on sama kuin f (x):
F '(x) \u003d f (x), x ∈ δ,
Missä Δ - kuilu, jolla tämä yhtälö suoritetaan.

Kaiken primordin kokonaisuutta kutsutaan epävarmaksi integraaliksi:
,
jossa c on vakio, riippumaton muuttuvasta X: stä.

Peruskaavat ja integraatiomenetelmät

Taulukkointegraalit

Epävarmoiden integraalien laskemisen lopullinen tavoite - muutoksilla selventää määritettyä integraalia ilmaisua, joka sisältää yksinkertaisimmat tai taulukkointegraalit.
Katso taulukkointegraalit \u003e\u003e\u003e

Summan integraatiosääntö (ero)

Pysyvän kiinteän merkin tekeminen

Olkoon c olla vakio, riippumaton X: stä. Sitten se voidaan lähettää kiinteäksi:

Vaihtelun vaihtaminen

Olkoon X toiminto muuttuvasta T, X \u003d φ (t), sitten
.
Tai päinvastoin, t \u003d φ (x),
.

Vaihdamalla muuttuja, et voi vain laskea yksinkertaisia \u200b\u200bintegraaleja, vaan myös yksinkertaistaa monimutkaisempi laskenta.

Integraation sääntö osissa

Fraktioiden integrointi (järkevä toiminnot)

Esittelemme nimeämisen. Let p (x), q m (x), RN (x) on merkitty asteilla K, M, N vastaavasti suhteessa muuttujalle X.

Harkitse integralia, joka koostuu polynomisten fraktioista (ns. Rationaalinen toiminta):

Jos k ≥ n, sinun on ensin korostettava koko Fracin osa:
.
Integraali polynomi S k-n (x) lasketaan kiinteällä taulukossa.

Integraali on edelleen:
Missä M.< n .
Sen laskemiseksi integraand on hajotettava yksinkertaisimmalla fraktiolla.

Tee tämä löytää yhtälön juuret:
Q n (x) \u003d 0.
Saatujen juurien avulla sinun on edustettava nimittäjä tekijöiden työn muodossa:
Q n (x) \u003d s (x - a) n a (x - b) n b ... (x 2 + ex + f) n e (x 2 + gx + k) n g ....
Tässä S on kerroin x n, x 2 + ex + f\u003e 0, x 2 + gx + k\u003e 0, ....

Tämän jälkeen hajota murto yksinkertaisimmista:

Integrointi, saamme lausekkeen, joka koostuu yksinkertaisemmista integraaleista.
Tyypin integraalit

T \u003d X - A annetaan pöydän sähköasemalle.

Harkitse kiinteää:

Muutamme numeroita:
.
Jollei integraantille, saamme ilmaisun, jossa kaksi integraalia sisältävät:
,
.
Ensimmäinen korvaus t \u003d x 2 + ex + f annetaan taulukossa.
Toinen, kaavan mukaan:

Sijaitsee integraaliin

Annamme sen nimittäjän neliöiden summaan:
.
Sitten korvaava, integraali

Se on myös toimitettu pöydälle.

Järmeroiden toimintojen integrointi

Esittelemme nimeämisen. Anna r (u 1, u 2, ..., u n) tarkoittaa järkevää toimintoa muuttujilta U 1, U 2, ..., U N. Eli
,
Missä P, Q on polynomit muuttujilta U 1, U 2, ..., U N.

Lineaarinen irrationaalisuus

Harkitse lomakkeen integraaleja:
,
Missä - järkevä määrä, m 1, n 1, ..., m s, n s ovat kokonaislukuja.
Olkoon n yhteinen nimittäjä R1, ..., R s.
Sitten integraali tulee olennaiseen substituution järkevästä toiminnasta:
.

Integraalit differentiaali-binomeista

Harkitse kiinteää:
,
Missä m, n, p on järkevä luku, A, B - kelvolliset numerot.
Tällaiset integraalit vähenevät rasitustoimintojen integraaleiksi kolmessa tapauksessa.

1) Jos P on kokonaisluku. Korvaus x \u003d t n, jossa n on fraktioiden M ja N.
2) jos - koko. Korvaus x n + b \u003d t m, jossa m on numeroiden lukumäärä.
3) jos - koko. Korvaus A + B x - n \u003d t m, jossa m on numero P.

Jos mikään kolmesta numerosta ei ole kokonaisluku, Chebyshevin teoreen mukaan tämän lajin integraaleja ei voida ilmaista lopullisella esinefunktiolla.

Joissakin tapauksissa ensin on hyödyllistä tuoda kiinteämpää M- ja P-arvoja. Tämä voidaan tehdä kaavojen avulla:
;
.

Integraalit, jotka sisältävät neliöjuuren neliömetriä

Tässä pidämme lomakkeen integraaleja:
,

Eulerin substituutiot

Tällaisia \u200b\u200bintegraaleja voidaan vähentää integraaleihin jonkin Eulerin kolmesta substituutiosta:
, ja\u003e 0;
, C\u003e 0: n kanssa;
jossa x 1 on yhtälön X 2 + B x + C \u003d 0 juuret. Jos yhtälöllä on voimassa olevat juuret.

Trigonometriset ja hyperboliset substituutiot

Suorat menetelmät

Useimmissa tapauksissa Eulerin substituutiot johtavat pidempään laskelmiin kuin suorat menetelmiä. Suorat menetelmillä integraali annetaan yhdelle jäljempänä luetelluista lajeista.

Type

Lomakkeen integrali:
,
jossa p n (x) on polynomin aste n.

Tällaiset integraalit ovat epävarmojen kertoimien menetelmä identiteetin avulla:

Poistetaan tämä yhtälö ja vastaa vasemman ja oikean osan, löydämme kertoimet i.

II tyyppi

Lomakkeen integrali:
,
jossa p m (x) on polynomivalmisteinen m.

Korvaus T \u003d. (X - α) -1 Tämä integraali ajetaan edelliseen tyyppiin. Jos m ≥ n, sitten fraktio on kohdennettava koko osaan.

III tyyppi

Kolmas ja monimutkaisin tyyppi:
.

Täällä sinun on korvaava:
.
Jonka jälkeen integraali ottaa lomakkeen:
.
Seuraavaksi, pysyvä α, β, sinun on valittava siten, että T: n kertoimet valittivat nollaan:
B \u003d 0, b 1 \u003d 0.
Sitten integraali hajoaa kahden tyyppisten integraalien summan:
;
,
jotka on integroitu, vastaavasti korvaukset:
z 2 \u003d 1 T 2 + C 1;
y 2 \u003d 1 + C1 T -2.

Yleinen

Transsendenttisen (Trigonometrisen ja ohjeellisen) toiminnan integrointi

Huomaa etukäteen, että trigonometristen toimintoihin sovellettavat menetelmät ovat myös hyperbolisiin toimintoihin. Tästä syystä emme pidä hyperbolisten toimintojen integroitumista erikseen.

Rational Trigonometristen toimintojen integrointi COS X: stä ja Sin X: stä

Harkitse lomakkeen trigonometristen toimintojen integraalit:
,
jossa R on järkevä toiminta. Tämä voi sisältää myös tangentit ja luistot, jotka on muunnettava sinusien ja kosineiden kautta.

Tällaisten toimintojen integroinnissa on hyödyllistä pitää mielessä kolme sääntöä:
1) jos r ( cos x, sin x) kerrotaan -1: llä merkin muutoksesta yhden arvon edessä cOS X. tai sIN X., on hyödyllistä tunnistaa toinen niistä.
2) jos r ( cos x, sin x) ei muutu allekirjoituksen muutoksesta samanaikaisesti ennen cOS X. ja sIN X., se on hyödyllistä laittaa tG X \u003d T tai cTG X \u003d T.
3) Korvaus kaikissa tapauksissa johtaa järkevän murto-osaan. Valitettavasti tämä korvaaminen johtaa pidempään laskemiseen kuin aiemmin, jos niitä sovelletaan.

Tehotoimintojen tuotanto COS X ja SIN X

Harkitse lomakkeen integraaleja:

Jos m ja n ovat järkeviä numeroita, yksi substituutioista t \u003d sIN X. tai t \u003d cOS X. Integraali vähennetään erottamiselementin integroituun.

Jos m ja n ovat kokonaislukuja, integraalit lasketaan integroimalla osiin. Samanaikaisesti saadaan seuraavat kaavoja:

;
;
;
.

Integraatio osiin

Kaavan Eulerin käyttö

Jos integraand on lineaarisesti suhteessa johonkin toiminnon
cOS AX. tai sIN AX.On kätevää soveltaa Euler-kaavaa:
e iax \u003d. cOS AX + ISIN AX (missä i 2 \u003d - - 1 ),
Tämän ominaisuuden vaihtaminen päälle e iax ja korostamalla voimassa (vaihdettaessa cOS AX.) tai kuvitteellinen osa (vaihdettaessa sIN AX.) Saadusta tuloksesta.

Viitteet:
N.m. Gunter, R.O. Kuzmin, Tehtävien kokoaminen korkeamman matematiikan, "LAN", 2003.

Aikaisemmin tietyssä toiminnossa, jota ohjaavat eri kaavoja ja sääntöjä, löysimme sen johdetun. Johdannaisella on lukuisia sovelluksia: tämä on liikkumisen nopeus (tai yhteenveto, mikä tahansa prosessin vuoto); Kulmakerroin tangentti toimintografiikkaan; Johdannaisen käyttäminen voit tutkia monotonia ja Extremum-toimintoa; Se auttaa ratkaisemaan optimointitehtäviä.

Mutta yhdessä tehtävän löytää nopeus tunnetulla lakilla, käänteinen ongelma löytyy myös - tehtävä palauttaa liikkeen laki tunnetulla nopeudella. Harkitse yhtä näistä tehtävistä.

Esimerkki 1. Materiaalipiste liikkuu suoran pitkin, sen liikkeen nopeus Timellä T on kaava V \u003d GT. Etsi liikkeen laki.
Päätös. Anna s \u003d s (t) haluttu liikkeen laki. Tiedetään, että S "(t) \u003d V (t). Joten ongelman ratkaiseminen on tarpeen valita toiminto S \u003d S (t), jonka johdannainen on GT. Ei ole vaikeaa arvata \\ (s) \u003d \\ frac (gt ^ 2) (2) \\). Itse asiassa
\\ (s "(t) \u003d vasen (frac (gt ^ 2) (2) oikea)" \u003d \\ frac (g) (2) (t ^ 2) "\u003d \\ frac (g) (2) \\ CDOT 2T \u003d GT \\)
Vastaus: \\ (s (t) \u003d \\ frac (gt ^ 2) (2) \\)

Huomaa välittömästi, että esimerkki ratkaistaan \u200b\u200boikein, mutta epätäydellinen. Saimme \\ (s (t) \u003d \\ frac (gt ^ 2) (2) \\). Itse asiassa tehtävällä on äärettömän monia ratkaisuja: Kaikki muodon (S (t) \u003d \\ frac (gt ^ 2) (2) + c \\) tehtävä, jossa C on mielivaltainen vakio, voi toimia lain Liike, koska \\ (vasen (\\ frac (gt ^ 2) (2) + c \\ oikea) "\u003d gt \\)

Tarkemmin sanottuna tarvitsemme ensimmäisen tilanteen korjaamiseksi: Määritä liikkuvan pisteen koordinaatti jossain vaiheessa jossain vaiheessa, esimerkiksi t \u003d 0. Jos, sanotaan, S (0) \u003d S 0, sitten Tasa-arvosta S (T) \u003d (GT 2) / 2 + C saamme: s (0) \u003d 0 + s, eli c \u003d s 0. Nyt liikkeen laki määritellään ainutlaatuisesti: s (t) \u003d (gt 2) / 2 + s 0.

Matematiikassa toisiaan käänteisiä toimintoja on osoitettu eri nimiä, keksiä erityisiä nimikkeitä, esimerkiksi: neliön rakentaminen (x 2) ja uuttaminen neliöjuuri (\\ (sqrt (x) \\)), sinus (sin x) ja arcsinus (arcsin x) jne. Prosessi, jolla löydetään johdannainen tietyn toiminnon mukaan, jota kutsutaan erilaistuminenja käänteinen toiminta, ts. Prosessi, jossa löydetään toiminto tietyn johdannaisen mukaan - liittäminen.

Termi "johdannainen" voi perustella "laskemalla": Toiminto Y \u003d F (x) "tuottaa uuden toiminnon kohdassa" \u003d F "(x). Toiminto Y \u003d F (X) toimii kuin se oli "vanhempi", mutta matematiikka, luonnollisesti älä kutsu sitä "vanhemmaksi" tai "valmistajaksi", he sanovat, että tämä on funktion suhteen "\u003d f "(x), ensisijainen kuva tai primitiivinen.

Määritelmä. Toiminto Y \u003d F (x) on nimeltään primitiivinen funktiona Y \u003d F (X) ajanjaksolla X, jos \\ (X \\ X \\) tasa-arvoa F "(x) \u003d f (x)

Käytännössä Interval X ei yleensä ole ilmoitettu, vaan se tarkoittaa (luonnollisen kentän määritelmäalueena).

Annamme esimerkkejä.
1) Toiminto Y \u003d X 2 on primitiivinen toimimaan Y \u003d 2x, koska mistä tahansa x: n tasa-arvosta (x 2) "\u003d 2x
2) Toiminto Y \u003d X 3 on primitiivinen funktiona Y \u003d 3X 2, koska mistä tahansa x: n tasa-arvosta (x 3) "\u003d 3x 2
3) Toiminto Y \u003d SIN (X) on primitiivinen toiminnalle Y \u003d COS (X), koska mistä tahansa x: n tasa-arvosta (synti (x)) "\u003d cos (x)

Kun löydät ensisijaisia, samoin kuin johdannaisia, ei pelkästään kaavoja, vaan myös joitain sääntöjä. Ne liittyvät suoraan johdannaisten laskenta koskeviin sääntöihin.

Tiedämme, että määrän johdannainen on yhtä suuri kuin johdannaisten määrä. Tämä sääntö luo asianmukaisen ensisijaisen havainnon sopivan säännön.

Sääntö 1. Ensimmäisen muotoinen määrä on yhtä suuri kuin primitiivisen määrän.

Tiedämme, että pysyvä kerroin voidaan saavuttaa johdannaisen merkki. Tämä sääntö luo asianmukaisen ensisijaisen havainnon sopivan säännön.

Sääntö 2. Jos f (x) on primitiivinen f (x): lle, sitten KF (X) on primitiivinen KF (x).

Teorem 1. Jos y \u003d f (x) on primitiivinen funktion y \u003d f (x), niin toiminto \\ (y \u003d \\ frac (1) (k) f (kx + m) on voimassa funktion \\ (y \u003d \\ \\ \\ Frac (1) (k) f (kx + m) \\)

Teorem 2. Jos y \u003d f (x) on primitiivinen funktiona Y \u003d F (x) ajanjaksolla X, toiminto y \u003d f (x) on äärettömän monia primitiivisiä, ja niillä kaikilla on muoto y \u003d f (x) + C.

Integraatiomenetelmät

Menetelmä muuttujan korvaamiseksi (korvausmenetelmä)

Korvauksen integrointi on uuden integraatiomuuttujan käyttöönotto (eli substituutioita). Samalla määritetty integraali toimitetaan uuteen kiinteään aineeseen, joka on pöytä tai se vähenee siihen. Yleiset menetelmät Korvausten valinta ei ole olemassa. Kyky määrittää korvaava korjaus oikein hankitaan käytännöllä.
Lasketaan integraali \\ (\\ Textstyle \\ INT F (X) DX \\). Teemme korvauksen \\ (X \u003d \\ Varphi (t) \\), jossa \\ (\\ Varphi (t) \\) on toiminto, jolla on jatkuva johdannainen.
Sitten \\ (dx \u003d \\ Varphi "(t) \\ CDOT DT \\) ja määräämättömän integraalin integraatiokaavan integraatiokavan luomisen perusteella saamme korvaavan integraatiokavan:
\\ (\\ INT F (x) DX \u003d \\ INT F (\\ Varphi (t)) \\ CDOT \\ Varphi "(T) DT \\)

Lomakkeen ilmaisujen integrointi \\ (\\ Textstyle \\ int \\ SIN ^ N X \\ COS ^ M X DX \\)

Jos m on pariton, m\u003e 0, se on kätevämpää tehdä korvaus SIN X \u003d T.
Jos n on pariton, n\u003e 0, se on kätevämpää tehdä COS X \u003d T substituutio.
Jos n ja m luetaan, on helpompaa tehdä korvaus TG x \u003d t.

Integraatio osiin

Integrointi osaksi - Seuraavan kaavan soveltaminen integraatioon:
\\ (Textstyle \\ int U \\ CDOT DV \u003d U \\ CDOT V - \\ In V \\ CDOT DU \\)
tai:
\\ (TextsTyle \\ Int U \\ Cdot V "\\ CDOT DX \u003d U \\ CDOT V - \\ In V \\ CDOT U" \\ CDOT DX \\)

Taulukko määrittelemättömien integraalien (primitiivinen) jotkin toiminnot

$$ \\ int 0 \\ CDOT DX \u003d C $$$$ \\ int 1 \\ CDOT DX \u003d X + C $$$$ \\ int x ^ n dx \u003d \\ frac (x ^ (n + 1)) (n + 1) ) + C \\; \\; (N \\ neq -1) $$$$ \\ int \\ frac (1) (x) dx \u003d \\ ln | x | + C $$$$ \\ int e ^ x dx \u003d e ^ x + c $$$$ \\ int a ^ x dx \u003d \\ frac (a ^ x) (\\ l a) + c \\; \\; (A\u003e 0, \\; \\ n neq 1) $$$$ \\ int \\ cos x dx \u003d \\ sin x + c $$$$ \\ int \\ sin x dx \u003d - - cos x + c $$$ $ \\ int \\ frac (dx) (\\ cos ^ 2 x) \u003d \\ teksti (TG) x + c $$$$ \\ int \\ frac (dx) (\\ st ^ 2 x) \u003d - \\ Teksti (CTG) X + C $$$$ \\ int \\ frac (DX) (\\ sqrt (1-x ^ 2)) \u003d \\ Teksti (ARCSIN) X + C $$$$ \\ int \\ frac (DX) (1 + x ^ 2 ) \u003d \\ Teksti (arctg) x + c $$$$ \\ int \\ teksti (ch) x dx \u003d \\ teksti (sh) x + c $$$$ \\ int \\ teksti (sh) x dx \u003d \\ teksti (CH) ) X + C $$