Fysikaaliset sovellukset muuttuvan voiman tiettyyn integraaliseen toimintaan. Tietyn integraalin mekaaniset sovellukset. Pinta-ala

Tietyn integraalin (OI) käytetään laajalti matematiikan ja fysiikan käytännön sovelluksissa.

Erityisesti geometryssä OI: n avulla he löytävät yksinkertaisten lukujen ja monimutkaisten pintojen alueita, kestävyyden kierto- ja elinten määrää, tasojen pituudet tasossa ja avaruudessa.

Fysiikassa ja teoreettisessa mekaniikassa OI käytetään laskemaan materiaalikäyrien ja pintojen massojen staattiset hetket, massat ja keskukset, jotta voidaan laskea vaihtelevan voiman toiminnan Curvilinear-reitillä jne.

Plaza tasainen kuva

Anna jonkin verran tasainen hahmo Cartesian suorakulmaisessa koordinaattijärjestelmällä $ xoy $ rajoittuu käyrään $ y \u003d y_ (1) \\ vasen (x \\ oikea) $, alapuolella - käyrä $ y \u003d y_ (2) vasemmalle (x \\ oikea ) $, ja vasemmalla ja oikealla vertikaalisella suoralla $ x \u003d $ ja $ x \u003d b $ vastaavasti. Yleensä tällaisen kuvan alue ilmaistaan \u200b\u200bkäyttäen OI $ s \u003d \\ int \\ radits _ (a) ^ (b) vasemmalle (y_ (1) \\ Vasen (X \\ Oikea) -Y_ (2) \\ Vasen (x \\ oikea) oikea) \\ CDOT DX $.

Jos jokin tasainen hahmo Cartesian suorakaiteen muotoisessa koordinaattijärjestelmässä $ XOY $ oikealla on rajoitettu käyrään $ x \u003d x_ (1) vasemmalle (y \\ oikea) $, vasemmalla - käyrä $ x \u003d x_ (2) \\ Vasen (y \\ oikea) $ ja alapuolella ja horisontaalisen suora $ y \u003d c $ ja $ y \u003d d $ vastaavasti, niin tällaisen kuvan alue ilmaistaan \u200b\u200bkäyttäen OI $ s \u003d \\ int \\ radia _ (C) ^ (d) Vasen (X_ (1) \\ Vasen (Y \\ Oikea) -X_ (2) Vasen (Y \\ Oikea) oikea) \\ CDOT DY $.

Anna litteän kuvion (Curvilinear-sektori), joka pidetään Polar-koordinaattijärjestelmässä, muodostuu jatkuvasta toiminnasta $ \\ Rho \u003d \\ Rho \\ Vasen (\\ Phi \\ Right) $, samoin kuin kaksi säteistä kulmissa $ phi \u003d \\ alfa $ ja $ fi \u003d beta $ vastaavasti. Tällaisen kaarevan sektorin alueen laskemiseksi oleva kaava: $ s \u003d \\ frac (1) (2) \\ CDOT \\ INT \\ LIMIT _ (\\ alfa) ^ (\\ beta) \\ rho ^ (2) Vasen (\\ Phi \\ Oikea) \\ CDOT D \\ Phi $.

Arc Pituus Krivoy

Jos segmentillä $ \\ jäljellä [\\ alfa, \\; \\ Beta \\ reitti] $ Curve on asetettu $ \\ Rho \u003d \\ Rho \\ Vasen yhtälö (\\ Phi \\ Right) $ Polar-koordinaattijärjestelmässä, sen kaaren pituus lasketaan $ l \u003d \\ int \\ radits _ (\\ beta) \\ sqrt (\\ fi ^ (2) \\ left (\\ fi \\ oikea) + \\ rho "^ (2) vasemmalle (\\ Phi \\ oikea)) \\ CDOT D \\ Phi $.

Jos $ \\ Vasen segmentissä $ vasemmalle $ y \u003d y \\ vasen yhtälö (x \\ oikea) $, sen kaaren pituus lasketaan OI $ l \u003d \\ int \\ radits _ (a) ^ (b) \\ sqrt (1 + y "^ (2) vasemmalle (x \\ oikea)) \\ CDOT DX $.

Jos segmentillä $ \\ jäljellä [\\ alfa, \\; \\ Beta \\ reitti] $ Käyrä parametrisesti, eli $ x \u003d x \\ vasen (t \\ oikean) $, $ y \u003d y \\ left (t \\ oikea) $, sitten sen kaaren pituus lasketaan käyttämällä OI $ L \u003d \\ int \\ radits _ (\\ alfa) ^ (\\ beta) \\ sqrt (x "^ (2) \\ vasen (t \\ oikean) + y" ^ (2) vasemmalle (t \\ oikea)) \\ CDOT DT $.

Laskennan määrän laskeminen rinnakkaisreunalla

Olkoon tarpeen löytää aluekoodin tilavuus, jonka koordinaatit täyttävät olosuhteet $ A \\ Le X \\ Le B $, ja jonka alueen ristikkäiset osat $ S \\ (X \\ Oikea) $ Lentokoneet, jotka ovat kohtisuorassa $ OX $ $, ovat tunnettuja.

Tällaisen kehon tilavuuden laskemiseksi oleva kaava on $ v \u003d \\ int \\ radits _ (a) ^ (b) s vasemmalle (x \\ oikea) \\ CDOT DX $.

Volume Tilavointi

Anna ei-negatiivinen jatkuva toiminta $ y \u003d y vasemmalle (x \\ oikea) $ muodostamalla Curvilinear Trapezium (KTR) asetetaan segmenttiin $ \\ vasen $. Jos kierrät tätä Ctr: tä Akselin ympäri $ Ox $, keho muodostuu, kutsutaan pyöriväksi kehoksi.

Kiertokappaleen tilavuuden laskeminen on erityinen tapa laskettaessa kehon tilavuutta rinnakkaisten osien tunnettujen alueiden mukaisesti. Vastaavalla kaavalla on lomake $ v \u003d \\ int \\ radits _ (a) ^ (b) s vasemmalle (x \\ oikea) \\ CDOT DX \u003d \\ PI \\ CDOT \\ int \\ radits _ (a) ^ (b) y ^ (2) vasemmalle (x \\ oikea) \\ CDOT DX $.

Anna jonkin verran tasainen hahmo Cartesian suorakulmaisessa koordinaattijärjestelmällä $ xoy $ rajoittuu käyrään $ y \u003d y_ (1) \\ vasen (x \\ oikea) $, alapuolella - käyrä $ y \u003d y_ (2) vasemmalle (x \\ oikea ) $, jossa $ y_ (1) \\ refle (x \\ oikea) $ ja $ y_ (2) vasen (x \\ oikea) $ on ei-negatiivisia jatkuvia toimintoja, ja vasemmalla ja oikealla pystysuoraan suoraan $ x \u003d $ ja $ x \u003d b $ vastaavasti. Sitten tämän kuvan pyörivän kehon tilavuus akselin $ OX $: n kanssa ilmaistaan \u200b\u200b$ v \u003d \\ pi \\ cdot \\ int \\ radits _ (a) ^ (b) vasemmalla (Y_ (1) ^ (2) Vasen (X \\ Oikea) -Y_ (2) ^ (2) Vasen (x \\ oikea) oikealla) \\ CDOT DX $.

Anna jonkin verran litteä hahmo decartrar-suorakaiteen muotoisessa koordinaattijärjestelmässä $ xoy $ oikealla rajoitetussa käyrässä $ x \u003d x_ (1) vasen (y \\ oikea) $, vasemmalla - käyrä $ x \u003d x_ (2) oikean) $, jossa $ x_ (1) \\ vasen (y \\ oikea) $ ja $ x_ (2) \\ vasen (y \\ oikea) $ on ei-negatiivisia jatkuvia toimintoja ja alapuolella ja ylhäältä horisontaalista suoraa $ y \u003d C $ ja $ y \u003d d $ vastaavasti. Sitten tämän kuvion ympärillä muodostuvan kehon tilavuus akselin $ Oy: n ympäri, ilmaistaan \u200b\u200b$ v \u003d \\ pi \\ cdot \\ int \\ radits _ (c) ^ (d) vasemmalle (x_ (1) ^ ( 2) Vasen (y \\ oikean) -X_ (2) ^ (2) \\ Soldi (y \\ oikea) oikealla) \\ CDOT DY $.

Kiertokehon pintapinta

Anna $ vasemmalle $ annettava ei-negatiivinen tehtävä $ y \u003d y vasemmalle (x \\ oikea) $ jatkuvalla johdannaisella $ y "\\ vasen (x \\ oikea) $. Tämä ominaisuus muodostaa CRT: n. Jos olet Kierrä tätä CTT: tä Axis $ OX $: n ympärillä, sitten hän uhrata ruumiin kierto, ja CRT: n kaari on sen pinta. Tällaisen pyörimisrungon pinta-ala ilmaisee $ q \u003d 2 \\ CDOT \\ PI \\ Cdot \\ int \\ radits _ (a) ^ (b) y vasemmalle (a) ^ (b) y vasemmalle (x \\ oikea) \\ CDOT \\ SQRT (1 + Y "^ (2) \\ oikea)) \\ CDOT DX $.

Oletetaan, että käyrä on $ x \u003d \\ Phi \\ vasen (y \\ oikea) $, jossa $ \\ Phi \\ vasen (y \\ oikea) $ - asetettu segmenttin $ c \\ le d $ ei-negatiivinen tehtävä, Kierrä Axis $ Oy: n. Tällöin muodostuneen pyörimisrungon pinta-ala ilmaistaan \u200b\u200b$ q \u003d 2 \\ CDOT \\ PI \\ CDOT \\ INT \\ Limits _ (C) ^ (d) \\ fi vasemmalle (y \\ oikea) \\ CDOT \\ Sqrt (1+ \\ fi "^ (2) vasen (y \\ oikea)) \\ CDOT DY $.

Fyysiset sovellukset OI

Laskeminen polku matkusti ajankohtana $ t \u003d t $, Materiaalin pisteen $ v \u003d v (oikeanpuoleinen) muuttuvalla nopeudella, joka alkoi liikettä $ t \u003d t_ ( 0) $, ui $ s \u003d \\ int \\ radits _ (t_ (0)) ^ (t) v vasemmalle (t \\ Oikea) \\ CDOT DT $.
Laske muuttujan toiminnan, $ f \u003d f vasemman (x \\ oikea) $ levitetty materiaalipisteeseen, joka liikkuu pitkin suoraa polkua pitkin $ Ox $ akselia pisteestä $ x \u003d a $ pistepiste $ x \u003d b $ (voiman suunta, joka vastaa liikkumissuuntaa) Käytä Oi $ A \u003d \\ int \\ radits _ (a) ^ (b) f vasemmalle (x \\ oikea) \\ CDOT DX $.
Staattiset hetket suhteessa materiaalikäyrän koordinaatti-akseleihin $ y \u003d y vasemmalle (x \\ oikea) $ Range $ \\ vasen $ ilmaisevat $ m_ (x) \u003d \\ rO \\ cdot \\ int \\ radits _ (a ) ^ (b) y vasemmalle (x \\ oikea) \\ CDOT \\ SQRT (1 + Y "^ (2) Vasen (x \\ oikea)) \\ CDOT DX $ ja $ M_ (Y) \u003d \\ RHO \\ CDOT \\ int \\ radits _ (a) ^ (b) x \\ cdot \\ sqrt (1 + y "^ (2) vasemmalle (x \\ oikea)) \\ CDOT DX $, jossa $ \\ Rho $ tämän lineaarinen tiheys Käyrä pidetään vakiona.
Massamateriaalin käyrän keskus on piste, jossa koko massa keskittyy tavanomaisesti siten, että pisteen staattiset hetket suhteessa koordinaatti-akseleihin ovat yhtä suuria kuin koko käyrän staattiset hetket yleensä.

Formulas laskettaessa tasaisen käyrän keskikohdan koordinaattien laskemiseksi on lomake $ x_ (c) \u003d \\ frac (\\ int \\ radits _ (a) ^ (b) x \\ cdot \\ sqrt (1 + y "^ ( 2) \\ Vasen (X \\ Right)) \\ CDOT DX) (\\ int \\ radits _ (a) ^ (b) \\ sqrt (1 + y "^ (2) \\ refle (x \\ oikea)) \\ CDOT DX) $ ja $ y_ (c) \u003d \\ frac (\\ int \\ radits _ (a) ^ (b) y vasemmalle (x \\ oikea) \\ CDOT \\ SQRT (1 + Y "^ (2) \\ Sold (X \\ Right )) \\ CDOT DX) (\\ int \\ radits _ (a) ^ (b) \\ sqrt (1 + y "^ (2) \\ refle (x \\ oikea)) \\ CDOT DX) $.

KRT: n muodossa olevien materiaalimuodon staattiset hetket suhteessa koordinaatti-akseleihin ilmaistaan \u200b\u200bkaavoilla $ M_ (x) \u003d \\ frac (1) (2) \\ CDOT \\ RHO \\ CDOT \\ INT \\ Limits _ ( a) ^ (b) y ^ (2) vasemmalle (x \\ oikea) \\ cdot dx $ ja $ m_ (y) \u003d \\ rho \\ cdot \\ int \\ radits _ (a) ^ (b) x \\ cdot y \\ Vasen (x \\ oikea) \\ CDOT DX $.
Materiaalin massojen keskipisteen koordinaatit CRT: n muodossa CRT: ssä, joka on muodostettu käyrän $ y \u003d y \\ left (x \\ reitit) $ dollarin alueella vasen $ lasketaan $ x_ (c ) \u003d \\ Frac-kaavat (\\ int \\ radits _ (a) ^ (b) x \\ cdot y \\ left (x \\ oikea) \\ CDOT DX) (\\ int \\ radits _ (a) ^ (b) y vasemmalle ( x \\ oikea) \\ CDOT DX) $ ja $ y_ (c) \u003d \\ frac (\\ frac (1) (2) \\ cdot \\ int \\ radits _ (a) ^ (b) y ^ (2) vasemmalle (x Oikea) \\ CDOT DX) (\\ int \\ radits _ (a) ^ (b) y vasemmalle (x \\ oikea) \\ CDOT DX) $.

Aihe 6.10. Geometriset ja fyysiset sovellukset tietyn integraalin

1. Curve y \u003d f (x) (f (x)\u003e 0), suora X \u003d A, X \u003d B ja segmentti [A, B] akseli Oh, lasketaan Kaavan

2. Käyrät Y \u003d F (x) ja y \u003d g (x) (f (x)< g (x)) и прямыми х= a , x = b , находится по формуле

3. Jos käyrä asetetaan parametrisilla yhtälöillä x \u003d x (t), y \u003d y (t), sitten kaareva kaarrella, jota rajoittaa kaarrella ja suoralla X \u003d A, X \u003d B, on kaava

4. Olkoon S (x) olla koneen rungon poikkileikkaus, kohtisuorassa akseliin nähden kohtisuorassa, sitten X \u003d A: n ja X \u003d B-akselin kohtisuoran akseleiden välisen rungon osan tilavuus on Kaavan

5. Anna Curvilinear Trapezion rajoittaa käyrä Y \u003d F (X) ja suora Y \u003d 0, X \u003d A ja X \u003d B pyörivät akselin ympäri, niin pyörimisrungon tilavuus lasketaan kaavalla

6. Anna curvilinear trapezoid, jota rajoittavat käyrä x \u003d g (y) ja

suora X \u003d 0, Y \u003d C ja Y \u003d D pyörivät akselin ympärillä y: ssä, niin pyörivän rungon tilavuus lasketaan kaavalla

7. Jos litteä käyrä johtuu suorakulmaisesta koordinaattijärjestelmästä ja asetetaan Y \u003d F (x) yhtälö (tai x \u003d f (y)), sitten kaaren pituus määräytyy kaavalla

1. Tasainen kuva-alue.

Curvilinear trapetsiarin alue, jota rajoittui ei-salamafunktiolla f (x), Abskissa ja suora x \u003d A., x \u003d B.määritellään s \u003d ∫ A b f x d x.

Curvilinear Trapeziumin neliö

Lukualue Rajoitettu toiminta f (x)Abscissan akselin leikkaaminen määräytyy kaavalla S \u003d σ i: f x ≥ 0 ∫ x I - 1 x i f x d x - σ i: f x< 0 ∫ x i - 1 x i | f x | d x , где x I. - nollatoiminnot. Toisin sanoen tämän kuvan alueen laskemiseksi sinun on jaettava segmentti Zeros-toiminto f (x) Integroi toiminto f. Jokaisesta vuorottelun tuloksena olevista aukkoista lisää erikseen integraalit segmenteillä, joihin toiminto f. Ottaa erilaiset merkit ja vähennä ensimmäisestä sekunnista.

2. Curvilinear-sektorin alue.

Kaareva sektorin alue Harkitse käyrää ρ = ρ (φ) Polar-koordinaattijärjestelmässä, jossa ρ (φ) - jatkuva ja ei-negatiivinen [α; β] Toiminto. Kuva rajoitettu käyrä ρ (φ) ja säteet φ = α , φ = β kutsutaan curvilinear-sektori. Curvilinear-sektorin pinta-ala on s \u003d 1 2 ∫ α ρ 2 φ d φ.

3. Kiertoratkaisu.

Volume Tilavointi

Anna kehon muodostuu pyörimällä oraksin ympärillä olevan kaarevan trapeöljyn akselin ympäri Toiminto f (x). Sen tilavuus ilmaistaan \u200b\u200bkaavalla v \u003d π ∫ a b f 2 x d x.

Ongelmaan löytää rungon tilavuus poikkileikkausalueella

Anna kehon päätellä lentokoneiden välillä x \u003d A. ja x \u003d B.ja sen poikkileikkausalue, jossa on taso, joka kulkee pisteen läpi x.- Jatkuva segmentillä toiminto σ (x). Sitten sen tilavuus on v \u003d ∫ a b σ x d x.

4. ARC-käyrän pituus.

Anna käyrän r → t \u003d x t, y t, z t, sitten arvojen rajoittama sivuston pituus t \u003d α. ja t \u003d β. Se ilmaistaan \u200b\u200bkaavalla S \u003d ∫ α β x 't 2 + y' t 2 + z 't 2 dt.

Erityisesti kaaren litteän käyrän pituus, joka on määritelty koordinaattisuunnassa määritellyn litteän käyrän pituus Oksi- yhtälö y \u003d f (x), a ≤ x ≤ b, Se ilmaistaan \u200b\u200bkaavalla s \u003d ∫ a b 1 + f 'x 2 dx.

5. Pinta-ala.

Pintapinta-ala Oletetaan, että pinta on asetettu pyörimisnäytöllä suhteessa toimintografiikan Ox-akseliin y \u003d f (x), a ≤ x ≤ bja toiminto f. Se on jatkuva johdannainen tällä segmentillä. Sitten kiertopinnan pinta-ala määritetään kaavalla π \u003d 2 π ∫ a b f x 1 + f 'x 2 d x.

Curvilinear Trapeziumin alue, joka rajoittuu funktion aikataulun yläosasta y \u003d f (x)Vasen ja oikea - suora x \u003d A. ja x \u003d B. vastaavasti, alhaalta - akselista HÄRKÄ., laskettu kaava

Curvilinear Trapeziumin alue, joka rajoittuu toiminnon oikeaan aikatauluun x \u003d φ (y), ylhäältä ja alhaalta - suora y \u003d D. ja y \u003d C. Näin ollen vasemmalla - akseli Oy.:

Curvilinear-kuvion alue rajoittui toimintokaavion yläosasta y 2 \u003d F 2 (x), alhaalta - funktion kaavio y 1 \u003d f 1 (x)Vasen ja oikea - suora x \u003d A. ja x \u003d B.:

Curvilinear-kuvion alue rajoittuu vasemmalle ja oikealle funktioihin x 1 \u003d φ 1 (Y) ja x 2 \u003d φ 2 (Y), ylhäältä ja alhaalta - suora y \u003d D. ja y \u003d C. vastaavasti:

Harkitse tapausta, kun linja, joka rajoittaa Curvilinear Trapeziumia, asetetaan parametriset yhtälöt x \u003d φ 1 (t), y \u003d φ 2 (t)missä α ≤ t ≤ β, φ 1 (α) \u003d a, φ 1 (β) \u003d b. Nämä yhtälöt määrittelevät jonkin toiminnon y \u003d f (x) Segmentillä [ a, B.]. Curvilinear trapeziumin pinta-ala lasketaan kaavalla

Siirtyminen uuteen muuttujaan x \u003d φ 1 (t), sitten dx \u003d φ "1 (t) dt, mutta y \u003d F (x) \u003d f (φ 1 (t)) \u003d φ 2 (T)Siksi aloita (DisplayMath)

Polar-koordinaattien alue

Harkitse Curvilinear-sektori Oab, rajoitettu yhtälön antama linja ρ=ρ(φ) Polar-koordinaateissa kaksi säteilyä OA. ja OB.mille φ=α , φ=β .

Valitse tauko elementtisektoreilla OM K-1M k ( k \u003d 1, ..., n, M 0 \u003d a, M n \u003d b). Merkitä Δφ K. Säteiden välinen kulma OM K-1 ja OM K.Kulman polaarisen akselin muodostaminen φ K-1 ja φ K. vastaavasti. Jokainen elementaarinen sektori OM K-1 M K Vaihda pyöreä sektori säde ρ k \u003d ρ (φ "k)missä φ "K. - nurkan arvo φ Välein [ φ K-1, φ k] ja keskeinen kulma Δφ K.. Viimeisen sektorin alue ilmaistaan \u200b\u200bkaavalla .

ilmaisee alueen "askel" sektorin alueelle suunnilleen tällä alalla Oab.

Alakohtainen sektori Oab kutsutaan "nopeuden" alan rajaksi n → ∞. ja λ \u003d max δφ k → 0:

Kuten T.

Arc Pituus Krivoy

Anna segmentin [ a, B.] Differentiaalitoiminto on asetettu y \u003d f (x), jonka aikataulu on kaari. Jakso [ a, B.] Thrumspace by n. pisteitä x 1, x 2, …, x N-1. Nämä kohdat vastaavat pistettä M 1., M 2., …, M n-1 ARCS, liitä rikki linja, jota kutsutaan rikki, kirjoitettu kaarelle. Tämän rikkien kehä merkitään s N., toisin sanoen

Määritelmä. Linjan linjan pituutta kutsutaan sen reunuksen rajaksi, joka on merkitty siihen, kun linkkejä M K-1 M K Se on rajoittamaton ja niiden suurimman pituus pyrkii nollaan:

jossa λ on suurin linkki.

Laskemme kaaren pituuden, esimerkiksi sen pisteestä, A.. Anna pisteen M (x, y) Kaaren pituus on yhtä suuri s.ja pisteessä M "(x + δ x, y + Δy) Kaaren pituus on yhtä suuri s + ΔS.Missä i\u003e Δs - kaaren pituus. Kolmiosta MNM " Löydämme soinnon pituuden :.

Geometrisistä näkökohdista seuraa

toisin sanoen äärettömän pienet kaarulinjat ja hänen soinnunsa tiukentaminen vastaa.

Muuntimme kaavan, joka ilmaisee soinnon pituuden:

Tämän tasa-arvon rajan kääntäminen, saamme kaavan johdannaisfunktiolle s \u003d S (x):

josta löydämme

Tämä kaava ilmaisee kaaren eron tasaiselle käyrille ja siinä on yksinkertainen geometrinen merkitys: Ilmaisee pythagoran teoreen äärettömän pienen kolmion MTN. (dS \u003d MT., ).

Spatiaaliset käyräkaariset erot, jotka on määritetty kaavan mukaan

Harkitse parametristen yhtälöiden antamaa paikkatietolinjan kaaria

missä α ≤ t ≤ β, φ i (t) (i \u003d 1, 2, 3) - Differentiaali-argumenttitoiminnot t.T.

Tämän tasa-arvon integrointi intervallisella [ α, β ], saamme kaavan tämän rivin pituuden laskemiseksi

Jos linja sijaitsee koneessa Oksi-T. z \u003d 0. ollenkaan t∈ [α, β], niin

Tapauksessa, kun yhtälö asetetaan tasainen linja y \u003d f (x) (a≤x≤B.), missä f (x) - Odotettava toiminto, viimeinen kaava on lomakkeen

Anna tasainen linja asettaa yhtälöllä ρ=ρ(φ) (α≤φ≤β ) Polar-koordinaateissa. Tässä tapauksessa meillä on parametriset linjan yhtälöt x \u003d ρ (φ) cos φ, y \u003d ρ (φ) sin φjossa polaarinen kulma otetaan parametriksi φ . Sikäli kuin

sitten kaava ilmaisee kaaren linjan pituuden ρ=ρ(φ) (α≤φ≤β ) Polar-koordinaateissa on lomake

Kehon määrä

Etsi kehon tilavuus, jos tämän kehon poikkileikkauksen alue tunnetaan kohtisuoraan johonkin suuntaan.

Jaamme tämän kehon peruskerroksille, joissa on kohtisuorassa akselin kohtisuorassa HÄRKÄ. ja määritelty yhtälöt x \u003d Const.. Kaikki kiinteät x∈. Tunnettu neliö S \u003d S (x) tämän kehon poikkileikkaus.

Elementary kerros katkaise tasoilla x \u003d X K-1, x \u003d x k (k \u003d 1, ..., n, x 0 \u003d a, x n \u003d b), vaihda sylinteri korkeudella ΔX K \u003d X K-X K-1 ja säätiöalue S (ξ k), ξ k ∈.

Määritetyn perussylinterin tilavuus ilmaistaan \u200b\u200bkaavalla Δv k \u003d e (ξ k) Δx k. Muodostavat kaikkien tällaisten teosten määrä

tämän toiminnon integroitu määrä S \u003d S (x) Segmentillä [ a, B.]. Se ilmaisee tehostetun rungon tilavuuden, joka koostuu perussylintereistä ja korvaa noin tämän kehon.

Tämän kehon tilavuutta kutsutaan ilmoitetun askeleen rajana, kun λ→0 missä λ - Elementary-segmenttien suurimman pituus ΔX K.. Merkitä V. tämän kehon tilavuus, sitten määritelmän mukaan

Toisaalta,

Näin ollen määritetyn poikkileikkauksen mukaisen kehon tilavuus lasketaan kaavalla

Jos runko on muodostettu pyörimällä akselin ympäri HÄRKÄ. Curvilinear Trapezium Limited jatkuvasta kaaresta y \u003d f (x)missä a≤x≤B.T. S (x) \u003d πf 2 (x) Ja viimeinen kaava on lomakkeen:

Kommentti. Curvilinear Trapeziumin pyörimisnopeuden tilavuus rajoitetaan oikeaan aikatauluun x \u003d φ (y) (c ≤ x ≤ d), akselin ympäri Oy. Lasketaan kaavalla

Pinta-ala

Harkitse linjan kaaren pyörimisen pintaa y \u003d f (x) (a≤x≤B.) Akselin ympäri HÄRKÄ. (Oletetaan, että toiminto y \u003d f (x) Se on jatkuva johdannainen). Korjata arvo x∈., toiminnon argumentti antaa lisäystä dX.joka vastaa "elementtirengasta", joka on saatu elementaarisen kaaren kiertämällä Δl.. Tämä on "rengas" korvaamalla sylinterimäinen rengas - rungon sivupinta, joka on muodostettu suorakulmion pyörimisellä pohjalla, joka on yhtä suuri kuin kaaren differentiaalinen dlja korkea h \u003d f (x). Viimeisen renkaan leikkaaminen ja sen kääntäminen, saamme nauhan leveyden dl ja pituus 2πymissä y \u003d f (x).

Näin ollen differentiaali pinta-ala ilmaisee kaavan

Tämä kaava ilmaisee pinta-alan, joka saadaan linjan kaaren pyörimisellä y \u003d f (x) (a≤x≤B.) Akselin ympäri HÄRKÄ..

Etusivu\u003e Luento

Luento 18. Erityisen integraalin sovellukset.

18.1. Tason kuvioiden laskeminen.

Tiedetään, että segmentin tietty kiinteistö on kaarevan kappaleen trapezoidin alue, joka rajoittaa funktion f (x) kaavio. Jos aikataulu sijaitsee Akselin alapuolella, ts. f (x)< 0, то площадь имеет знак “-“, если график расположен выше оси Ох, т.е. f(x) > 0, sitten alueella on "+" merkki.

Kokonaispinnan löytämiseksi käytetään kaavaa.

Joidenkin linjojen rajoittaman kuvan alue löytyy tiettyihin integraaleihin, jos näiden linjojen yhtälöt tunnetaan.

Esimerkki. Löydä kuvan rajoitettu alue riviin y \u003d x, y \u003d x 2, x \u003d 2.

Haluttu alue (varjostettu kuvassa) löytyy kaavasta:

18.2. Curvilinear-sektorin alueen löytäminen.

Löydämme Curvilinear-sektorin alueen, esitämme Polar Coordinate -järjestelmän. Tässä koordinaattijärjestelmässä rajoitetun käyrän yhtälössä on muoto  \u003d f (), jossa  - säteen pituus - vektori, joka yhdistää napa käyrän mielivaltaisella kohdalla ja  on kulma Tämän säteen kaltevuus - vektori polaariseen akseliin.

Curvilinear-sektorin alue löytyy kaava

18.3. ARC-käyrän pituuden laskeminen.

y y \u003d f (x)

s i y i

Katkoviivan pituus, joka vastaa kaaria, voidaan löytää
.

Sitten kaaren pituus on yhtä suuri
.

Geometrisistä näkökohdista:

Samaan aikaan

Sitten voit osoittaa sen

Nuo.

Jos käyrän yhtälö asetetaan parametriseksi, ottaen huomioon säännöt parametrisesti määritetyn parametrisesti määritetyn johdannaisen laskemiseksi

jossa x \u003d  (t) ja y \u003d  (t).

Jos asetus spatiaalinen käyräja x \u003d  (t), y \u003d  (t) ja z \u003d z (t), sitten

Jos käyrä on asetettu polaarikoordinaatitT.

,  \u003d f ().

Esimerkki: Etsi ympyrän pituus, jonka yhtälö X 2 + Y 2 \u003d R2.

1 tavalla. Ilmaista muuttuja yhtälöstä.

Etsi johdannainen

Sitten s \u003d 2r. Sai tunnetun kehän pituuden tunnetun kaavan.

2 tapa. Jos edustat tietyn yhtälön Polar Coordinate -järjestelmässä, saamme: r 2 cos 2  + R2 SIN 2  \u003d R2, ts. Toiminto  \u003d f () \u003d R,
sitten

18.4. Elimistöjen määrän laskeminen.

Kehon tilavuuden laskeminen tunnetuilla alueillaan.

Olkoon volyymi V. Kehon Q: n pinta-ala tunnetaan jatkuvana funktiona Q \u003d Q (x). Me rikkomme kehon "kerroksilla" poikkileikkauksina, jotka kulkevat pisteiden X ja halkevan segmentin. Koska Osion välituotteen toiminto Q (x) on jatkuva, niin se vie suurimmat ja pienimmät arvot siihen. Merkitse ne vastaavasti, m i ja m i.

Jos rakennamme sylintereitä muodostaen, rinnakkaiset akselit näissä suurimmissa osissa, näiden sylinterien tilavuudet ovat vastaavasti yhtä suuria kuin m i x i ja m i x i täällä x i \u003d x I - x I -1.

Tuottamalla tällaisia \u200b\u200brakenteita kaikeille osion osioille, saamme sylintereitä, joiden tilavuudet ovat yhtä suuret
ja
.

Kun pyritään nolla-osioon vaiheeseen , nämä määrät ovat jaettu raja:

Siten kehon tilavuus löytyy kaavasta:

Tämän kaavan haittana on se, että tunnistettaisiin tilavuuden, jonka haluat tietää toiminnon Q (x), joka on hyvin ongelmallinen monimutkaisille Puh.

Esimerkki: Etsi säteen R. pallon tilavuus

Pallon poikittaisosissa saadaan vaihtelevan säteen piirejä. Riippuen nykyisistä koordinaateista X, tämä säde ilmaisee kaavan
.

Sitten poikkileikkauksen funktiossa on lomake: Q (x) \u003d
.

Hanki pallo:

Esimerkki: Etsi mielivaltaisen pyramidin tilavuus H: n korkeudella ja S.

Kun ylität pyramidia lentokoneilla, kohtisuora korkeus, osiossa saamme samanlaisia \u200b\u200bkuvioita kuin pohja. Näiden kuvioiden samankaltainen suhde on yhtä suuri kuin X / H-suhde, jossa x on etäisyys sekvenssisopimuksesta pyramidin yläosaan.

Geometriasta tunnetaan, että tällaisten lukujen alueiden suhde on yhtä suuri kuin neliön samankaltaisuus, ts.

Täältä saamme toiminnan osa-alueista:

Me löydämme Pyramidin määrän:

18.5. Pyörimiselimiä.

Harkitse yhtälön y \u003d f (x) määrittämä käyrä. Oletetaan, että toiminto f (x) on jatkuva segmentillä. Jos vastaava Curvilinear Trapezium, jossa on emäkset A ja B pyörivät akselin ympäri, niin saamme ns. kierto.

y \u003d f (x)

Koska Jokainen kehon poikkileikkauskone X \u003d Const on säteen ympyrä
Kiertokehon tilavuus voidaan helposti löytää edellä saadun kaavan mukaisesti:

18.6. Pyörivän kehon pintapinta.

M i B.

Määritelmä: Pintapinta-ala Tämän akselin ympärillä oleva AV-käyrä kutsutaan rajana, johon rikki, joka on merkitty AV-käyrään, halutaan nollata näiden rikkien suurimmat pituudet.

Rukoilemme AV: n kaaren N-osista pisteen M 0, m 1, m 2, ..., m n. Tuloksena olevien rikki koordinaatit ovat koordinaatteja x i ja y i. Kun rikki taukoja akselin ympäri, saamme pinnan, joka koostuu katkaistujen kartioiden sivupinnoista, jonka pinta-ala on yhtä kuin p i. Tämä alue löytyy kaava:

Tässä s i on kunkin soinnun pituus.

Levitä Lagrange Theorem (katso Lagrange Theorem) Suhteessa
.