Alue curvilinear trapetsium Numeerisesti yhtä suuri tietty kiinteä

Mikä tahansa erityinen integraali (joilla on olemassa) on erittäin hyvä geometrinen merkitys. Oppitunnin, sanoin, että tietty kiinteä on numero. Ja nyt on aika ilmoittaa vielä yksi hyödyllinen tosiasia. Geometrian näkökulmasta tietty kiinteä on alue.

Toisin sanoen erityinen integraali (jos se on olemassa) geometrisesti vastaa jonkinlaisen alueen. Harkitse esimerkiksi tiettyä integraalia. Integraand-toiminto asettaa jonkin verran käyrää tasossa (se voidaan aina vetää haluttaessa) ja tietty integraali itsessään on numeerisesti yhtä suuri kuin vastaavan kaaren trapetsiumin alue.

Esimerkki 1.

Tämä on tyypillinen tehtäväformulaatio. Ensin minä. tärkein hetki Ratkaisut - Rakennuspiirustus. Ja piirustus on rakennettava Oikea.

Kun rakennat piirustusta, suosittelen seuraavassa järjestyksessä: ensimmäinen On parempi rakentaa kaikki suorat (jos ne ovat) ja vain myöhemmin - Parabolat, hyperbolat, muiden toimintojen aikataulut. Toimintokuviot ovat kannattavampia rakentaa potochoe, kun tekniikka sisäänkirjautumistekniikka löytyy viitemateriaali.

Siellä voit myös löytää erittäin hyödyllisen materiaalin suhteessa oppitunnimme materiaaliin - miten nopeasti rakentaa parabola.

Tässä tehtävässä päätös voi näyttää siltä.
Suorita piirustus (huomaa, että yhtälö asettaa akselin):

En aivohalvaus Curvilinear Trapeze, täällä on selvää mistä alueesta tämä on puhe. Päätös jatkuu näin:

Segmentin aikataulussa Toiminto sijaitsee yli akselin, niin:

Vastaus:

Kenellä on vaikeuksia laskettaessa tiettyä kiinteää ja Newton-Leibnian kaavan käyttöä , katso luento Tietty kiinteä. Esimerkkejä ratkaisuista.

Kun tehtävä on valmis, on aina hyödyllistä katsoa piirustusta ja arvioita, todellinen osoittautunut. Tässä tapauksessa "silmissä" lasketaan solujen lukumäärä piirustuksessa - No, noin 9 lentää, se näyttää totuudelta. On aivan selvää, että jos meillä olisi, sanoa, vastaus: 20 neliön yksikköä, on selvää, että jonnekin - 20 solujen lukuja ei selvästikään ole asennettu tusinan vahvuudesta. Jos vastaus osoittautui negatiiviseksi, tehtävänä on myös virheellisesti.

Esimerkki 2.

Laske muoto, rajoitettu linjat ja akseli

Tämä on esimerkki itsepäätös. Täydellinen ratkaisu Ja vastaus oppitunnin lopussa.

Mitä tehdä, jos Curvilinear Trapezium sijaitsee akselin alla?

Esimerkki 3.

Laske muoto, rajoitettu viivat ja koordinaatti-akselit.

Ratkaisu: Suorita piirustus:

Jos curvilinear trapezium täysin sijoitettu akselin alla, sitten sen alue löytyy kaava:
Tässä tapauksessa:

Huomio! Älä sekoita kahta tehtävätyyppiä:

1) Jos sinua pyydetään ratkaisemaan yksinkertainen integraali ilman geometrista merkitystä, niin se voi olla negatiivinen.

2) Jos sinua pyydetään löytämään kuvan hahmolla tietyn integraalin avulla, alue on aina positiivinen! Siksi vain katsottu kaava näkyy miinus.

Käytännössä luku sijaitsee useimmiten ylä- ja alareunassa, ja siksi yksinkertaisimmista koulutaulukkoista mennä mielekkäisiin esimerkkeihin.

Esimerkki 4.

Etsi tasainen luku, rajalliset viivat ,.

Ratkaisu: Ensin sinun täytyy piirtää piirustus. Yleisesti ottaen, kun rakennat piirustuksen tehtäviin alueelle, olemme eniten kiinnostuneita linjojen risteyksistä. Etsi Parabolan leikkauspistettä ja suoraa. Tämä voidaan tehdä kahdella tavalla. Ensimmäinen menetelmä on analyyttinen. Ratkaisemme yhtälön:

Joten alhaisempi integraatioraja, integraation yläraja.
Tämä tapa on parempi, jos mahdollista, älä käytä.

On paljon kannattavampaa ja nopeampaa rakentaa linjan linjat, kun taas integraatiorajoitukset selkeytetään ikään kuin "itse". Erilaisten kaavioiden lopettamisen tekniikkaa tarkastellaan yksityiskohtaisesti apuun Perustoimintojen kaaviot ja ominaisuudet. Kuitenkin analyyttinen tapa löytää rajoitukset loppujen lopuksi, on joskus tarpeen soveltaa, jos esimerkiksi aikataulu on riittävän suuri tai koulutettu rakenne ei paljastanut integraatiorajoituksia (ne voivat olla murto- tai irrationaalisia). Ja niin esimerkki, harkitsemme myös.

Paluu meidän tehtävämme: Lisää järkevää ensin rakentaa suoraviiva ja vain sitten parabola. Suorita piirustus:

Toistan, että nykyisessä rakenteessa integraatiorajat havaitsevat useimmiten "automaattiset".

Ja nyt työsuoma: Jos segmentillä on jatkuva toiminta enemmän tai yhtä suuri Jotkut jatkuvat toiminnot, vastaavan kuvan pinta-ala on kaava:

Täällä ei ole enää välttämätöntä ajatella, missä kuvio sijaitsee - akselin tai akselin alla ja suunnilleen, tärkeää, mikä on kaavio edellä(suhteessa toiseen aikatauluun) ja mitä - alla.

Tässä esimerkissä on selvää, että Parabolan segmentissä on suoran yläpuolella, ja siksi on tarpeen vähentää

Ratkaisun loppuun saattaminen voi näyttää tältä:

Haluttu luku rajoittuu parabolaan yläpuolelta ja suoraa pohjaa.
Segmentillä vastaavan kaavan mukaan:

Vastaus:

Itse asiassa koulun kaava alueelle kaareva trapezium alemmassa puolitasolla (ks. Yksinkertainen esimerkki nro 3) - yksityiskohtainen tapaus Kaavat . Koska akseli määritellään yhtälöllä ja toimintokuvake sijaitsee akselin alapuolella,

Ja nyt pari esimerkkiä itsenäisestä päätöksestä

Esimerkki 5.

Esimerkki 6.

Etsi luku rajoitetun rivin alue ,.

Tehtävien ratkaisemisessa alan laskemiseksi tietyn kiinteän aineen vuoksi hauska tapaus tapahtuu joskus. Piirustus on valmis oikein, laskelmat - oikea, mutta tehostettu ... löytyi alue ei ole kuvaNäin nöyrä palvelija oli pakattu. Tässä on todellinen tapaus elämästä:

Esimerkki 7.

Laske muoto, rajoitettu rivi ,,,,.

Suorita ensin piirustus:

Kuva, jonka alueemme meidän on löydettävä, on varjostettu sininen(Katso huolellisesti tilan, kuin kuvio on rajallinen!). Mutta käytännössä huomaamatta on usein, että on tarpeen löytää luku, joka on varjostettu vihreä!

Tämä esimerkki on myös hyödyllinen siinä, että sitä pidetään siinä, että se on kaksi erityistä integraalia. Todella:

1) Suora aikataulu sijaitsee segmentillä akselin yli;

2) Segmentillä akselin yli on kaavio hyperboleista.

On selvää, että neliö voi hajottaa, niin:

Vastaus:

Esimerkki 8.

Laske muodon alue, rajalliset viivat,
Kuvittele yhtälö "koulu" -lomakkeessa ja suorita nykyinen piirustus:

Piirustuksesta on selvää, että yläraja meillä on "hyvä" :.
Mutta mikä on alaraja?! On selvää, että tämä ei ole kokonaisluku, vaan mitä? Voi olla ? Mutta missä takaa, että piirustus tehdään täydellisellä tarkkuudella, se voi olla se. Tai root. Ja jos olemme yleensä sopimattomasti rakennettu aikataulu?

Tällaisissa tapauksissa sinun on käytettävä ylimääräistä aikaa ja määritellä analyyttisesti integraatiorajat.

Etsi suoran ja parabolin risteyskohdat.
Voit tehdä tämän ratkaista yhtälö:

Siksi ,.

Lisäliuos on vähäpätöinen, tärkein asia ei ole hämmentynyt korvaamaan ja merkkejä, laskelmat eivät ole yksinkertaisin.

Leikattu Vastaavan kaavan mukaan:

Vastaus:

No, ja oppitunnin päätteeksi harkitsee kaksi tehtävää vaikeampaa.

Esimerkki 9.

Laske muoto, rajoitettu linjat,

Ratkaisu: Näytä tämä muoto piirustuksessa.

Voit tarkistaa piirustuksen, sinun täytyy tietää ulkomuoto Sinusoidit (ja on yleensä hyödyllistä tietää kaikista perustoiminnot) sekä joitakin sinusarvoja, ne löytyvät trigonometrinen pöytä . Joissakin tapauksissa (kuten tässä), on voitava rakentaa kaavamainen piirros, johon kaaviot ja integraatiorajat on otettava huomioon periaatteessa.

Integraation rajoissa ei ole ongelmia, ne tulevat suoraan tilasta: - "X" vaihtelee nollasta "Pi". Luomme lisäyksen:

Segmentillä toiminto kaavio sijaitsee akselin yläpuolella, joten:

(1) Miten integroida sinusit ja kosutineita parittomat asteet voidaan katsella oppitunnissa Integrals OT. trigonometriset toiminnot . Tämä on tyypillinen vastaanotto, painamalla yhtä sinus.

(2) Käytämme tärkeintä trigonometristä identiteettiä muodossa

(3) Korvataan muuttujan, sitten:

Uusi muutosintegraatio:

Kenellä on erittäin huonoja asioita, joissa on korvauksia, mene oppitunnille Vaihtomenetelmä määräämättömässä integraalissa. Joka ei ole kovin selvää korvaavalle algoritmille tietyssä kiinteässä, käy sivulla Tietty kiinteä. Esimerkkejä ratkaisuista.

Esimerkki1 . Laske kuvion alue, rajalliset viivat: X + 2U - 4 \u003d 0, Y \u003d 0, X \u003d -3 ja X \u003d 2

Suoritamme kuvan rakentamisen (ks.) Rakennamme suora X + 2U - 4 \u003d 0 kahdella pisteellä A (4; 0) ja (0; 2). Ekspressoi y: n kautta x, saamme y \u003d -0,5x + 2. kaavalla (1), jossa f (x) \u003d -0,5x + 2 ja \u003d -3, b \u003d 2 löydämme

S \u003d \u003d [-0.25 \u003d 11,25 kV. Elf

Esimerkki 2. Laske kuvion alue, rajoitettu rivi: X - 2AU + 4 \u003d 0, X + Y - 5 \u003d 0 ja Y \u003d 0.

Päätös. Suorittaa kuvan rakenne.

Rakentamme suora X - 2AU + 4 \u003d 0: Y \u003d 0, X \u003d - 4, A (-4; 0); x \u003d 0, y \u003d 2, in (0; 2).

Rakentamme suorat x + y - 5 \u003d 0: y \u003d 0, x \u003d 5, c (5; 0), x \u003d 0, y \u003d 5, d (0; 5).

Löydämme välittömän, yhtälöiden järjestelmän ratkaisupisteen:

x \u003d 2, y \u003d 3; M (2; 3).

Halutun alueen laskemiseksi rikkoo AMS-kolmioa AMN: n ja NMS: n kolmioon, koska X: n muutos A - N: sta alue on rajoitettu suoraan ja kun X N: stä C: stä

AMN Triangle meillä on:; Y \u003d 0,5x + 2, eli f (x) \u003d 0,5 x + 2, a \u003d - 4, b \u003d 2.

Triangle NMS: lle meillä on: Y \u003d - X + 5, eli f (x) \u003d - x + 5, a \u003d 2, b \u003d 5.

Laskemalla kunkin kolmiota ja taetetaan tulokset, löytää:

sq. yksiköt.

sq. yksiköt.

9 + 4, 5 \u003d 13,5 neliömetriä. yksiköt. Tarkista: \u003d 0.5AS \u003d 0,5 kV. yksiköt.

Esimerkki 3. Laske kuvion alue, rajoitettu rivi: y \u003d x 2 , Y \u003d 0, X \u003d 2, X \u003d 3.

Tässä tapauksessa sen on laskettava kaarevan trapetsiarin alue, jota rajoittaa parabola y \u003d x 2 , Straight X \u003d 2 ja X \u003d 3 ja OH (katso kuva) Kaavan (1) avulla löydämme Curvilinear Trapeziumin alueen

\u003d \u003d 6kv. yksiköt.

Esimerkki 4. Laske kuvion alue, rajoitettu rivi: y \u003d - x 2 + 4 ja y \u003d 0

Suorittaa kuvan rakenne. Haluttu alue tehdään parabolan y \u003d - x välillä 2 + 4 ja akseli Oh.

Etsi Parabolan risteyksestä akselin oh. Uskoo Y \u003d 0, löydämme X \u003d Koska tämä luku on symmetrinen suhteessa OU-akseliin, lasketaan OU-akselin oikealla puolella olevan kuvan alueen ja tuloksena oleva tulos on kaksinkertaisesti: \u003d + + + 4x] kV. yksiköt. 2 \u003d 2 kV. yksiköt.

Esimerkki 5. Laske kuvan alue, rajalliset viivat: y 2 \u003d x, yx \u003d 1, x \u003d 4

Se vaatii Curvilinear Trapeziumin alueen laskemisen rajoitettu parabolian yläreunaan 2 \u003d X, akseli Oh ja suora X \u003d 1 ja \u003d 4 (katso kuva)

Kaava (1), jossa f (x) \u003d a \u003d 1 ja b \u003d 4 meillä on \u003d (\u003d sq.

Esimerkki 6. . Laske kuvion alue, rajoitettu rivi: y \u003d sinx, y \u003d 0, x \u003d 0, x \u003d.

Haluttu alue rajoittuu puoli-aallon sinimuosi ja akseli Oh (katso kuvio).

Meillä on - cosx \u003d - cos \u003d 1 + 1 \u003d 2 kV. yksiköt.

Esimerkki 7. Laske kuvion alue, rajoitettu rivi: y \u003d - 6x, y \u003d 0 ja x \u003d 4.

Kuva sijaitsee akselin kautta (katso kuvio).

Näin ollen sen alue löytyy kaavasta (3)

= =

Esimerkki 8. Laske kuvion pinta-ala, rajalliset viivat: y \u003d ja x \u003d 2. Käyrä Y \u003d konstrukti pistettä (katso kuvio). Näin ollen luvut löytyvät kaavasta (4)

Esimerkki 9. .

h. 2 + U. 2 \u003d R. 2 .

Se edellyttää alueen laskemista, rajoitettu ympyrä x 2 + U. 2 \u003d R. 2 , ts. Säde-ympyrän alue R keskusta koordinaattien alussa. Löydämme tämän alueen neljännen osan ottamalla integraatiorajoitukset 0: sta

dor; Meillä on: 1 = = [

Siten, 1 =

Esimerkki 10. Laske kuvion alue, rajoitettu rivi: y \u003d x 2 ja y \u003d 2x

Tämä luku on rajoitettu parabolaan y \u003d x 2 ja suora y \u003d 2x (katso kuva) määritetyn rivien risteyspisteiden määrittämiseksi ratkaisemalla yhtälöjärjestelmä: X 2 - 2x \u003d 0 x \u003d 0 ja x \u003d 2

Käyttämällä alueen löytämistä alueen kaavan (5) löytämiseksi

\u003d (Curvilinear Trapezium Base) on n yhtäläiset osat; Tämä osio suoritetaan pisteiden X 1, X 2, ... X K, ... X N-1. Vietämme suoraan suorat, rinnakkaiset akselit. Sitten määritetyt CURVILINEAR TRAPEZIUM BRACKS ON N-osissa, n kapeilla sarakkeilla. Koko Trapeziumin pinta-ala on yhtä suuri kuin sarakkeiden alueen summa.

Harkitse erillistä K-B-väriä, ts. Curvilinear Trapezium, jonka pohja, jonka segmentti palvelee. Vaihda se suorakulmiolla, jolla on sama pohja ja korkeus f (x k) (katso kuva). Suorakulmion pinta-ala on yhtä suuri kuin \\ (f (x_K) \\ CDOT \\ Delta X_K \\), jossa \\ (\\ DELTA X_K \\) on segmentin pituus; Luonnollisesti kannattaa koostua työstä K-T-sarakkeen alueen likimääräisellä arvolla.

Jos nyt teet samoin kaikkien muiden sarakkeiden kanssa, tulemme seuraaviin tuloksiin: tietyn kaarevan trapezionin pinta-ala on suunnilleen yhtä suuri kuin N N porrastettu kuvio, joka koostuu n suorakulmioista (ks. Kuva):
\\ (S_n \u003d f (x_0) \\ DELTA X_0 + \\ DOTS + F (X_K) \\ DELTA X_K + \\ DOTS + F (X_ (n - 1)) \\ DELTA X_ (N-1) \\)
Tässä nimeämisen yhtenäisyyden vuoksi uskomme, että A \u003d X 0, B \u003d X N; \\ (\\ DELTA X_0 \\) - Segmentin pituus, \\ (\\ DELTA X_1 \\) - pituus jne.; Samaan aikaan, kuten olemme sopineet edellä, \\ (\\ DELTA X_0 \u003d \\ DOTS \u003d \\ DELTA X_ (N-1) \\)

Joten, \\ (s \\ noin s_n \\), ja tämä on likimääräinen tasa-arvo, sitä tarkemmin, sitä enemmän n.
Määritelmän mukaan uskotaan, että curvilinear trapetsiumin haluttu alue on yhtä suuri kuin sekvenssiraja (S N):
$$ s \u003d \\ lim_ (n \\ \\ infty) s_n $$

Tehtävä 2. (Tietoja liikkuvasta pisteestä)
Materiaalipiste liikkuu suorassa. Nopeuden riippuvuus ajoissa ilmaistaan \u200b\u200bkaavalla V \u003d V (t). Etsi pisteen liike ajanjaksolla [a; b].
Päätös. Jos liike oli yhtenäinen, tehtävä olisi hyvin yksinkertainen: S \u003d VT, ts. S \u003d V (B - A). Epätasainen liikennettä varten sinun on käytettävä samoja ajatuksia, joihin edellisen tehtävän päätös perustui.
1) Me jakaamme aikaväli [a; b] N-tasoilla.
2) Harkitse aikaväliä ja oletamme, että tämän ajan kuluessa nopeus oli vakio, kuten t k: n aikana. Joten uskomme, että v \u003d v (t k).
3) Etsi pisteen liikkeen likimääräinen arvo aikavälillä, tämä on likimääräinen arvo, joka ilmaisee s k
\\ (S_K \u003d V (T_K) \\ Delta T_K \\)
4) Etsi S: n likimääräinen liike
\\ (s "s_n \\) missä
\\ (S_N \u003d S_0 + \\ DOTS + S_ (N-1) \u003d V (T_0) \\ DELTA T_0 + \\ DOTS + V (T_ (n - 1)) \\ DELTA T_ (N - 1) \\)
5) Haluttu liike on yhtä suuri kuin sekvenssiraja (t):
$$ s \u003d \\ lim_ (n \\ \\ infty) s_n $$

Yhteenveto. Eri tehtävien ratkaisut ovat ajoivat samaan matemaattiseen malliin. Monet haasteet eri tieteen ja teknologian aloista johtavat saman mallin ratkaisemisessa. Joten tämä matemaattinen malli on opittava nimenomaan.

Tietyn kiinteän integraalin käsite

Me annamme matemaattisen kuvauksen mallista, joka on rakennettu kolmessa tarkastellussa tehtävässä Y \u003d F (x), jatkuva (mutta ei välttämättä nonnegatiivinen, koska se oletettiin käsiteltävissä tehtävissä) segmentillä [a; B]:
1) jakaa segmentti [A; b] N-tasoilla;
2) Teemme summan $$ s_n \u003d f (x_0) \\ DELTA X_0 + F (X_1) \\ DELTA X_1 + \\ DOTS + F (X_ (N-1)) \\ DELTA X_ (N-1) $$
3) Laske $$ \\ lim_ (n \\ \\ infty) s_n $$

Matemaattisen analyysin aikana on osoitettu, että tämä raja jatkuvan (tai palasen jatkuvan) toiminnon tapauksessa on olemassa. Hän on kutsuttu tietty integraali toiminnasta y \u003d f (x) segmentillä [a; b] Ja merkitsee:
\\ (\\ IT \\ LIMITS_A ^ B F (x) DX \\)
Numerot A ja B kutsutaan integraation rajoituksiksi (vastaavasti alemmalla ja ylemmällä).

Palaa edellä mainittuihin tehtäviin. Tehtävässä 1 annetun alueen määritelmä voi nyt kirjoittaa seuraavasti:
\\ (S \u003d \\ int \\ LIMITS_A ^ b f (x) DX \\)
Tässä on edellä kuvatussa kuvassa kuvatun kaarevan trapezoidin pinta-ala. Tämä koostuu erityisen integraalin geometrinen merkitys.

Liikkeen pisteen määrittäminen, joka liikkuu suorassa linjassa nopeudella V \u003d V (t) T \u003d A - T \u003d B annetun ajanjakson aikana, joka annetaan tehtävässä 2, voit kirjoittaa sen uudelleen:

Newtonin Formula - Leibnia

Aluksi he vastaavat kysymykseen: Mikä on erityinen integraali ja primitiivinen suhde?

Vastaus löytyy ongelmasta 2. Toisaalta liikkeen piste siirtyy suorassa linjassa nopeudella v \u003d V (t) ajanjakson aikana T \u003d A - T \u003d B ja lasketaan kaava
\\ (S \u003d \\ int \\ LIMITS_A ^ B V (t) DT \\)

Toisaalta liikkuvan pisteen koordinaatti on primitiivinen nopeudella - merkitsee sen s (t); Se tarkoittaa, että liikkeen S ilmaisee kaava S \u003d S (B) - S (A). Tämän seurauksena saamme:
\\ (S \u003d \\ int \\ LIMITS_A ^ B V (t) DT \u003d S (b) -S (A) \\)
jossa s (t) on alkeellinen V (t).

Seuraava teorema on osoittautunut matemaattisen analyysin aikana.
Lause. Jos toiminto y \u003d f (x) on jatkuva segmentillä [A; b], sitten kaava on voimassa
\\ (S \u003d \\ int \\ LIMITS_A ^ b f (x) dx \u003d f (b) -f (a) \\)
jossa f (x) on primitiivinen f (x).

Saatua kaavaa kutsutaan yleensä newton Formula - Leibnia Isaac Newtonin englantilaisen fysiikan (1643-1727) ja Gottfried Leibnitsan (1646-1716) saksalaisen filosofin kunniaksi, joka sai sen itsenäisesti toisistaan \u200b\u200bja lähes samanaikaisesti.

Käytännössä f b (b) - f (a), he käyttävät ennätyksen \\ (vasen. F (x) oikean | _a ^ b \\) (sitä kutsutaan joskus kaksinkertainen korvaus) Ja näin ollen Rewrite Newtonin kaava - Leibnitsa tässä muodossa:
\\ (S \u003d \\ int \\ LIMITS_A ^ b f (x) dx \u003d vasen. F (x) oikean | _a ^ b \\)

Erityisen integraalin laskeminen, ensin löytää primitiivinen ja suorita sitten kaksinkertainen substituutio.

Newtonin kaavaan - Leibnitsa, voit saada kaksi ominaisuutta tiettyyn kiinteistöön.

Kiinteistö 1. Integraali toimintojen määrästä on yhtä suuri kuin integraalien summa:
\\ (\\ int \\ LIMITS_A ^ B (f (x) + g (x)) DX \u003d \\ int \\ LIMITS_A ^ b f (x) DX + \\ int \\ LIMITS_A ^ b g (x) DX \\)

Kiinteistövälitys 2. Integroitu merkki voidaan saavuttaa pysyvästi:
\\ (\\ IT \\ LIMITS_A ^ B KF (x) DX \u003d K \\ INT \\ LIMITS_A ^ B f (x) DX \\)

Litteiden ominaisuuksien laskeminen tietyn integraalin avulla

Integraalin avulla voit laskea alueen paitsi Curvilinear Trapeats, vaan myös tasaiset luvut enemmän monimutkainen näkymäEsimerkiksi tämä esitetään kuvassa. Kuvio P rajoittuu suoraan X \u003d A, X \u003d B ja jatkuvien toimintojen y \u003d f (x), y \u003d g (x) ja segmentin [a; b] Tehdetään eriarvoisuus \\ (g (x) \\ leq f (x) \\). Lasketaan tällaisen kuvan neliön S, toimimme seuraavasti:
\\ (S \u003d s_ (abcd) \u003d s_ (ADCB) - S_ (AABB) \u003d \\ int \\ LIMITS_A ^ b f (x) DX - \\ int \\ LIMITS_A ^ B g (x) dx \u003d \\)
\\ (\u003d \\ int \\ LIMITS_A ^ B (f (x) -g (x)) DX \\)

Niinpä alue S on suora X \u003d A, X \u003d B ja funktiot Y \u003d F (x), y \u003d g (x), jatkuva segmentistä ja segmentin [ A; b] Esitettävyys \\ (g (x) \\ leq f (x) \\) suoritetaan, lasketaan kaavalla
\\ (S \u003d \\ int \\ LIMITS_A ^ B (k (x) -g (x)) DX \\)

Taulukko määrittelemättömien integraalien (primitiivinen) jotkin toiminnot

$$ \\ int 0 \\ CDOT DX \u003d C $$$$ \\ int 1 \\ CDOT DX \u003d X + C $$$$ \\ int x ^ n dx \u003d \\ frac (x ^ (n + 1)) (n + 1) ) + C \\; \\; (N \\ neq -1) $$$$ \\ int \\ frac (1) (x) dx \u003d \\ ln | x | + C $$$$ \\ int e ^ x dx \u003d e ^ x + c $$$$ \\ int a ^ x dx \u003d \\ frac (a ^ x) (\\ l a) + c \\; \\; (A\u003e 0, \\; \\ n neq 1) $$$$ \\ int \\ cos x dx \u003d \\ sin x + c $$$$ \\ int \\ sin x dx \u003d - - cos x + c $$$ $ \\ int \\ frac (dx) (\\ cos ^ 2 x) \u003d \\ teksti (TG) x + c $$$$ \\ int \\ frac (dx) (\\ st ^ 2 x) \u003d - \\ Teksti (CTG) X + C $$$$ \\ int \\ frac (DX) (\\ sqrt (1-x ^ 2)) \u003d \\ Teksti (ARCSIN) X + C $$$$ \\ int \\ frac (DX) (1 + x ^ 2 ) \u003d \\ Teksti (arctg) x + c $$$$ \\ int \\ teksti (ch) x dx \u003d \\ teksti (sh) x + c $$$$ \\ int \\ teksti (sh) x dx \u003d \\ teksti (CH) ) X + C $$

Kuva, joka rajoittaa jatkuvasti ei-negatiivinen segmentti $$ Toiminnot $ f (x) $ ja Direct $ y \u003d 0, \\ x \u003d $ ja $ x \u003d b $, kutsutaan curvilinear trapeziumiksi.

Vastaavan kappaleen trapeöljyn pinta-ala lasketaan kaavalla:

$ S \u003d \\ int \\ LIMITS_ (A) ^ (b) (f (x) DX). $ (*)

Tehtävät Curvilinear Trapeziumin alueen löytämiseksi jaetaan ehdollisesti $ 4 $ tyypistä. Harkitse kutakin Lue lisää.

I TYYPPI: Curvilinear trapezium on selvästi asetettu. Käytä sitten välittömästi kaavaa (*).

Löydä esimerkiksi Curvilinear Trapeziumin alue, jota rajoittavat funktiota $ y \u003d 4- (x-2) ^ (2) ja suora $ y \u003d 0, \\ x \u003d 1 $ ja $ x \u003d $ 3.

Piirrä tämä kaareva trapetsium.

Kaavan (*) avulla löydämme tämän kaarevan trapeziumin alueen.

$ S \u003d \\ int \\ LIMITS_ (1) ^ (3) (vasemmalla (4- (x-2) ^ (2) oikealla) DX) \u003d \\ int \\ Limits_ (1) ^ (3) (4DX) - \\ int \\ Limits_ (1) ^ (3) ((x-2) ^ (2) dx) \u003d 4x | _ (1) ^ (3) - Vasen. \\ Frac ((X-2) ^ (3) ) (3) oikealla | _ (1) ^ (3) \u003d $

$ \u003d 4 (3-1) - \\ frac (1) (3) Vasen ((3-2) ^ (3) - (1-2) ^ (3) oikealla) \u003d 4 \\ CDOT 2 - FRAC (1) (3) Vasen ((1) ^ (3) - (- 1) ^ (3) oikealla) \u003d 8 - frac (1) (3) (1 + 1) \u003d $

$ \u003d 8- frac (2) (3) \u003d 7 frac (1) (3) $ (yksikkö $ ^ (2) $).

II Tyyppi: Curvilinear trapezoidi määritellään implisiittisesti. Tämä tapaus ei yleensä määritä tai määritetään osittain suoraan $ x \u003d a, \\ x \u003d b $. Tällöin sinun on löydettävä toimintojen risteyspisteet $ y \u003d f (x) $ ja $ y \u003d 0 $. Nämä kohdat ovat pistettä $ ja $ b $.

Löydä esimerkiksi faught-ohjelmien rajoittavan kuvan alue $ y \u003d 1-x ^ (2) $ ja $ y \u003d 0 $.

Etsi risteyspisteitä. Voit tehdä tämän oikeat toiminnot.

Siten $ a \u003d -1 $ ja $ b \u003d 1 $. Piirrä tämä kaareva trapetsium.

Etsi tämän kaarevan trapezionin alue.

$ S \u003d \\ int \\ radits _ (- 1) ^ (1) (vasemmalle (1-x ^ (2) oikea) dx) \u003d \\ int \\ radits _ (- 1) ^ (1) (1DX) - \\ int \\ radits _ (- 1) ^ (1) (x ^ (2) dx) \u003d x | _ (- 1) ^ (1) - Vasen. \\ frac (x ^ (3)) (3) \\ t Oikea | _ (-1) ^ (1) \u003d $

$ \u003d (1 - 1)) - \\ flac (1) (3) \\ Vasen (1 ^ (3) - (- 1) ^ (3) oikealla) \u003d 2 - frac (1) (3) Vasen (1 + 1 korkki) \u003d 2 - frac (2) (3) \u003d 1 frac (1) (3) $ (yksiköt $ ^ (2) $).

III Tyyppi: Kuvioalue, rajoitettu kahden jatkuvan ei-negatiivisen toiminnon risteyksessä. Tämä luku ei ole kaareva trapeöljy, ja siksi kaavan (*) avulla sen alue ei laske. Kuinka olla?On osoittautunut, että tämän kuvion alue voidaan löytää eron yläpuolisen toiminnon rajoittavien kaarevien trapeattien alueilla ja $ y \u003d 0 $ ($ s_ (UF) $) ja alempi toiminto ja $ y \u003d 0 $ ($ s_ (lf) $), missä roolissa $ x \u003d a, \\ x \u003d b $, koordinaatti on koordinaatit $ x $ näiden toimintojen risteyksestä, ts.

$ S \u003d s_ (UF) -S_ (LF) $. (**)

Tärkein asia, kun lasketaan tällaisia \u200b\u200balueita, ei ole "Miss", kun valinta on ylempi ja alempi toiminto.

Löydä esimerkiksi foment rajoitettu alue $ y \u003d x ^ (2) $ ja $ y \u003d x + $ 6.

Etsi näiden kaavioiden risteyskohdat:

Vieta teoremissa,

$ x_ (1) \u003d - 2, \\ x_ (2) \u003d 3. $

Eli $ a \u003d -2, \\ b \u003d $ 3. Näytän kuvan:

Siten ylempi toiminta on $ y \u003d x + $ 6, ja alempi on $ y \u003d x ^ (2) $. Seuraavaksi löydämme $ s_ (UF) $ ja $ s_ (lf) $ Formula (*).

$ S_ (UF) \u003d \\ int \\ radits _ (- 2) ^ (3) ((x + 6) dx) \u003d \\ int \\ radits _ (- 2) ^ (3) (XDX) + \\ int \\ radits _ (- 2) ^ (3) (6DX) \u003d vasemmalle. \\ Frac (x ^ (2)) (2) oikealla | _ (- 2) ^ (3) + 6x | _ (- 2) ^ ) \u003d 32, $ 5 (yksikkö $ ^ (2) $).

$ S_ (lf) \u003d \\ int \\ radits _ (- 2) ^ (3) (x ^ (2) dx) \u003d vasemmalla. \\ Frac (x ^ (3)) (3) oikealla | _ (- 2 ) ^ (3) \u003d \\ frac (35) (3) $ (yksikkö $ ^ (2) $).

Korjaamme löytyy (**) ja saamme:

$ S \u003d 32.5- \\ frac (35) (3) \u003d \\ frac (125) (6) $ (yksikkö $ ^ (2) $).

IV Tyyppi: Kuvaalue, rajoitettu toiminto (t), ei tyydyttävä (t) ei-negatiivisuuden edellytys. Jotta löydettäisiin tällaisen kuvan, tarvitset symmetrisesti suhteessa $ Ox $ Axis ( toisin sanoen, Laita "miinus" ennen toimintoja) näyttämään alueen ja käyttämällä tyypissä I-III esitettyjä menetelmiä, etsi näytetyn alueen alue. Tämä alue on haluttu alue. Aikaisemmin saatat joutua löytämään funktioiden kaavioiden leikkauspisteen.

Löydä esimerkiksi faught rajoittavan kuvan alueella $ y \u003d x ^ (2) -1 $ ja $ y \u003d 0 $.

Etsi toimintojen kaavioiden leikkauspiste:

nuo. $ A \u003d -1 $ ja $ b \u003d 1 $. Luukku alue.

Symmetrisesti näyttää alue:

$ y \u003d 0 \\ \\ rikkareita \\ y \u003d -0 \u003d 0 $

$ y \u003d x ^ (2) -1 \\ \\ reunaajan

Se osoittautuu Curvilinear Trapezion, jota rajoittavat funktion $ y \u003d 1-x ^ (2) $ ja $ y \u003d 0 $. Tämä on tehtävä löytää toisen tyypin kaareva trapetsium. Olemme jo ratkaisseet sen. Vastaus oli sellainen: $ s \u003d 1 frac (1) (3) $ (yksikkö $ ^ (2) $). Se tarkoittaa, että halutun kaarevan trapetsiumin alue on yhtä suuri kuin:

$ S \u003d 1 frac (1) (3) $ (yksikkö $ ^ (2) $).

Sen on laskettava suoran, jota rajoittaa kaarevan trapezionin alue,
,
molemmat käyrä
.

Me rikkomme leikkauksen
puhuttu elementary-segmentit, pituus
th-segmentti
. Palauta kohtisuorassa segmentin erotuspisteistä käyrän kanssa
, Anna olla
. Tämän seurauksena saamme elementary trapeziumit, niiden alueen summa on ilmeisesti yhtä suuri kuin tietyn kaarisen trapetsiumin summa.

Määritämme funktion suurimmat ja pienimmät arvot jokaisella elementaarisella aikavälillä ensimmäisellä aikavälillä.
, toisella
jne. Laske summat

Ensimmäinen summa on kaikkien kuvattujen alueiden alue, toinen - on kaikki merkitty alue suorakulmioiden kaarevan trapezion.

On selvää, että ensimmäinen summa antaa trapezoidin alueen likimääräisen arvon ylimääräisellä ", toisella" epäedullisella tavalla ". Ensimmäinen summa kutsutaan Darbouxin ylempään määrään, toiseksi - Darbouan pienemmän määrän mukaan. Näin ollen kaarevan trapeziumin alue täyttää epätasa-arvon
. Selvitä, miten Darbouxin määrät käyttäytyvät lisäämällä segmentointipisteiden määrää
. Anna osion pisteiden määrä kasvoi yhdellä, ja se on aikaväli
. Nyt numero on yhtä

tarkastettu ja kuvattu suorakulmiot kasvoivat yhdellä. Harkitse, miten Darbun alhaisempi määrä on muuttunut. Neliön sijaan
fisher suorakulmio yhtä suuri
saamme kaksi suorakulmioiden alueita
Koska pituus
ei voi olla vähemmän
toiminnon pienimmät arvot
. Toisaalta,
, siltä osin kuin
ei voi olla enemmän
suurin arvo toiminnon aikavälillä
. Joten uusien segmenttien rikkomuspisteiden lisääminen lisää Darbouxin pohjan määrän arvoa ja vähentää Darbouin ylempää määrää. Samaan aikaan Darbouxin alhaisempi määrä, jolla on mikä tahansa lisäysosan määrän kasvu, ei voi ylittää ylemmän määrän arvoja, koska kuvattujen suorakulmioiden alueiden summa on aina lisää summa Neliöt kirjoittivat suorakulmioiden kaareva trapetsium.

Siten Darbouxin pienempien määrien sekvenssi kasvaa segmentin jakamispisteiden määrän lisäämiseksi ja rajoittuu edellä tunnetun teoreen mukaan, sillä on raja. Tämä raja on tietyn kappaleen trapetsiumin alue.

Vastaavasti Darbouxin ylempien määrien sekvenssi pienenee välein erotuspisteiden määrän kasvusta ja rajoittuu Darbouxin alhaisemman määrän pohjasta, se tarkoittaa, että sillä on myös raja, ja se on myös yhtä suuri kuin Curvilinear Trapeziumin alue.

Siksi curvilinear trapetsiumin alueen laskemiseksi riittää jakamalla aikaväli voidaan määrittää Darbouan alareunan tai ylemmän määrän ja lasketaan sitten
tai
.

Tällainen ratkaisu tehtävänä on kuitenkin millä tahansa, mielivaltaisesti suuri määrä osioita
, Havaitseminen jokaisesta funktion suurimman tai pienimmän arvon alkeiselle aikavälillä, joka on erittäin aikaa vievä tehtävä.

Yksinkertaisempi ratkaisu saadaan Riemannin kiinteällä määrällä, joka on

missä
jokaisen alustavan aikavälin osaa, se on
. Näin ollen Riemannin kiinteä määrä on kaikenlaisten suorakulmioiden alueiden summa ja
. Kuten edellä on esitetty, Darbouxin ylemmän ja pienemmän määrän rajat ovat samoja ja yhtä suuria kuin kaarevan trapetsiumin alue. Käyttämällä jotain toiminnon rajan ominaisuuksista (kahden poliisin säännön), saamme sen, että segmentin jakautuminen
ja valita pisteitä curvilinear trapeziumin pinta-ala voidaan laskea käyttäen kaavaa
.