Trigonometrinen yhtälöpöytä. Menetelmät Trigonometristen yhtälöiden ratkaisemiseksi

Videopurssi "Hanki viisi" sisältää kaikki matematiikan onnistuneelle tentille tarvittavat teemat 60-65 pistettä. Täysin kaikki tehtävät 1-13 profiilikokeet matematiikassa. Se soveltuu myös Matematiikan perus EGE: n käyttöönottoon. Jos haluat siirtää tentti 90-100 pistettä, sinun on ratkaista osa 1 30 minuutissa ja ilman virheitä!

Kurssin valmistelu tenttiä varten 10-11-luokalle sekä opettajille. Kaikki, mitä sinun tarvitsee ratkaista EGE: n osa 1 matematiikassa (ensimmäiset 12 tehtävät) ja tehtävä 13 (trigonometria). Ja tämä on yli 70 pistettä tentissä, ja ilman niitä ei ole tekemässä stufferin eikä humanitaran kanssa.

Kaikki tarvittava teoria. Quick tapoja selvittää, ansoja ja salaisuuksia tentti. Kaikki osan 1 todelliset tehtävät OppI-tehtävien pankista puretaan. Kurssi noudattaa täysin EGE-2018: n vaatimuksia.

Kurssi sisältää 5 suurta aihetta, 2,5 tuntia kukin. Jokainen aihe annetaan tyhjästä, vain ja ymmärrettävältä.

Sadat tehtävät tenttiin. Tekstin tehtävät ja todennäköisyyden teoria. Yksinkertainen ja helposti ikimuistoinen tehtävä, joka ratkaisee algoritmeja. Geometria. Teoria, vertailumateriaali, kaikenlaisten käyttötarkoitusten analyysi. Stereometria. Kiinnitystekniikat ratkaisut, hyödylliset pinnasängyt, spatiaalisen mielikuvituksen kehittäminen. Trigonometria tyhjästä - tehtävään 13. Shout of Shock. Monimutkaisten käsitteiden visuaalinen selitys. Algebra. Juuret, asteet ja logaritmit, toiminta ja johdannainen. Pohja monimutkaisten tehtävien ratkaisemiseksi 2 tenttiä.

Se edellyttää trigonometrian peruskaavojen tuntemusta - sinus- ja kosinin neliöiden summa, tangentin ilmaus sinus ja kosini ja muut. Niille, jotka unohtaneet heidät tai eivät tiedä, suosittelemme lukemaan artikkelia "".
Joten tiedämme Trigonometriset kaavat, on aika käyttää niitä käytännössä. Trigonometristen yhtälöiden ratkaiseminen Oikealla lähestymistavalla melko jännittävä toiminta, kuten esimerkiksi Rubikin kuutio.

Perustuu nimenomaisesti, voidaan nähdä, että trigonometrinen yhtälö on yhtälö, jossa tuntematon on trigonometrisen toiminnan alapuolella.
On niin sanottuja yksinkertaisia \u200b\u200btrigonometrisia yhtälöitä. Tässä on mitä he näyttävät: SINH \u003d A, COS X \u003d A, TG X \u003d A. Harkita miten ratkaista tällaiset trigonometriset yhtälötSelvyyden vuoksi käytämme jo tuttua trigonometristä ympyrää.

sinh \u003d a.

cos x \u003d a

tG X \u003d A

cOT X \u003d A

Jokainen trigonometrinen yhtälö ratkaista kahdessa vaiheessa: anna yhtälö yksinkertaisimmalle muotolle ja ratkaista se yksinkertaisimmaksi trigonometriseksi yhtälöksi.
On 7 perusmenetelmää, joiden kanssa trigonometriset yhtälöt ratkaistaan.

1. Menetelmä muuttujan ja korvaamisen korvaamiseksi

Ratkaise yhtälö 2COS 2 (X + / 6) - 3Sin (/ 3 - X) +1 \u003d 0

Kaavojen avulla saat:

2COS 2 (x + / 6) - 3cos (x + / 6) +1 \u003d 0

Vaihda cos (x + / 6) y yksinkertaistaa ja saada tavanomainen neliön yhtälö:

2Y 2 - 3Y + 1 + 0

Juuret, joiden y 1 \u003d 1, y 2 \u003d 1/2

Nyt menemme päinvastaisessa järjestyksessä

Korvaamme y ja saat kaksi vastausta:

2. Trigonometristen yhtälöiden ratkaiseminen kertojien hajoamisen kautta

Kuinka ratkaista yhtälön synti x + cos x \u003d 1?

Siirrämme kaiken vasemmalle oikealle jäännökseksi 0:

sIN X + COS X - 1 \u003d 0

Käytämme korotettuja identiteettiä yhtälön yksinkertaistamiseksi:

sIN X - 2 SIN 2 (x / 2) \u003d 0

Teemme lisääntymisen lisääntymistä:

2sin (x / 2) * cos (x / 2) - 2 sin 2 (x / 2) \u003d 0

2sin (x / 2) * \u003d 0

Saamme kaksi yhtälöä

3. Antaa homogeeninen yhtälö

Yhtälö on homogeeninen suhteessa sinukseen ja kosiniin, jos kaikki sen jäsenet suhteessa sinuson ja kosiniin samalla tasolla sama kulma. Syötä homogeenisen yhtälön ratkaisemiseksi seuraavasti:

a) siirtää kaikki jäsenet vasemmalle puolelle;

b) tehdä kaikki yhteiset kannattimet;

c) yhtä suuret kaikki kertojat ja kannattimet 0;

d) suluissa saatiin homogeenisen yhtälön vähäisemmässä määrin, se vuorostaan \u200b\u200bjaetaan sinus- tai kosiniin korkeaan asteeseen;

e) Ratkaise tuloksena oleva yhtälö suhteessa TG: hen.

Ratkaise yhtälö 3Sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x \u003d 2

Käytämme SIN 2 x + COS 2 x \u003d 1 kaava ja päästä eroon avoimesta kahdesti oikealle:

3Sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x \u003d 2Sin 2 x + 2cos 2 x

sIN 2 X + 4 SIN X COS X + 3 COS 2 x \u003d 0

Me jakaamme COS X:

tG 2 x + 4 TG x + 3 \u003d 0

Korvataan TG X: n ja saamme neliön yhtälön:

y 2 + 4Y +3 \u003d 0, juuret, joiden y 1 \u003d 1, y 2 \u003d 3

Täältä löydämme kaksi lähdeyhtälön ratkaisua:

x 2 \u003d ARCTG 3 + K

4. Yhtälöiden ratkaiseminen siirtymällä puolikultaan

Ratkaise yhtälö 3Sin X - 5COS X \u003d 7

Siirry X / 2:

6sin (x / 2) * cos (x / 2) - 5cos 2 (x / 2) + 5Sin 2 (x / 2) \u003d 7Sin 2 (x / 2) + 7cos 2 (x / 2)

Kaikki vasemmalle:

2Sin 2 (x / 2) - 6sin (x / 2) * cos (x / 2) + 12cos 2 (x / 2) \u003d 0

Jaamme COS (X / 2):

tG 2 (x / 2) - 3TG (x / 2) + 6 \u003d 0

5. Lisäkulman käyttöönotto

Ottaa huomioon lomakkeen yhtälö: SIN X + B COS X \u003d C,

jos A, B, C on joitain mielivaltaisia \u200b\u200bkertoimia, ja X on tuntematon.

Molemmat yhtälön osat on jaettu:



Nyt yhtälön kertoimet Trigonometristen kaavojen mukaan ovat syntiä ja COS: n ominaisuuksia, nimittäin: niiden moduuli ei ole yli 1 ja neliöiden summa \u003d 1. merkitse ne vastaavasti, kuten COS ja SIN, missä se on ns. Lisäkulma. Sitten yhtälö ottaa lomakkeen:

cos * sin x + sin * cos x \u003d c

tai sin (x +) \u003d c

Tämän yksinkertaisen trigonometrisen yhtälön ratkaisu on

x \u003d (-1) k * arcsin c - + k, missä



On huomattava, että Cosin ja synnin nimitykset ovat vaihdettavissa.

Ratkaise sin 3x yhtälö - cos 3x \u003d 1

Tässä yhtälössä kertoimet:

a \u003d, b \u003d -1, joten jaamme molemmat osat \u003d 2

Oppitunti integroidun tiedon soveltamiseen.

Tavoitteet oppitunti.

1. Harkitse erilaisia \u200b\u200bmenetelmiä trigonometristen yhtälöiden ratkaisemiseksi.
2. Opiskelijan luovien kykyjen kehittäminen ratkaisemalla yhtälöt.
3. Opiskelijoiden kehottaminen itsekontrolliin, toisiinsa liitettynä, tutkimustoimintaansa.

Laitteet: näyttö, projektori, vertailumateriaali.

Luokkien aikana

Johdantokeskustelu.

Trigonometristen yhtälöiden ratkaisemiseksi tärkein menetelmä on niiden yksinkertaisimmista tiedoista. Tällöin käytetään tavallisia menetelmiä, esimerkiksi kertoimien hajoamista sekä tekniikoita, joita käytetään vain trigonometristen yhtälöiden ratkaisemiseksi. Nämä tekniikat ovat melko paljon, esimerkiksi erilaisia \u200b\u200btrigonometrisia substituutioita, kulmien muuntaminen, trigonometristen toimintojen muuntaminen. Minkä tahansa trigonometrisen muunnoksen häiriöt eivät yleensä yksinkertaista yhtälöä, ja se vaikeuttaa tuhoisasti. Yleisesti ottaen Yhtälöratkaisut suunnitelvat, ääriviivat yhtälön polku yksinkertaisimpiin, on ensinnäkin analysoitava näkökulmia - yhtälöön sisältyvien trigonometristen toimintojen väitteet.

Tänään puhumme trigonometristen yhtälöiden ratkaisemisesta. Oikeasti valittu menetelmä mahdollistaa usein ratkaisun yksinkertaistamisen, joten kaikki menetelmät, joita olemme oppineet aina pitämään huomionsa vyöhykkeessä ratkaista trigonometriset yhtälöt sopivimman menetelmän.

II. (Projektorin avulla toistumme yhtälöiden ratkaisemismenetelmät.)

1. Menetelmä trigonometrisen yhtälön tuomiseksi algebracille.

On tarpeen ilmaista kaikki trigonometriset toiminnot yhdellä, jolla on sama argumentti. Tämä voidaan tehdä tärkeimmän trigonometrisen identiteetin ja sen seurausten avulla. Saamme yhtälön yhden trigonometrisen toiminnon kanssa. Kun olet hyväksynyt uuden tuntemattoman, saamme algebrallisen yhtälön. Me löydämme sen juuret ja palata vanhalle tuntemattomalle, ratkaisemalla yksinkertaisimmat trigonometriset yhtälöt.

2. Menetelmä hajoamismenetelmällä.

Kulun vaihtaminen, kaavat, summat ja argumenttien eroja sekä kaavaa trigonometristen toimintojen määrän (eron) muuttamiseen työssä ja päinvastoin, ovat usein hyödyllisiä.

sIN X + SIN 3X \u003d SIN 2X + SIN4X

3. Menetelmä ylimääräisen kulman tuomiseksi.

4. Menetelmä universaalisen korvaamisen käyttämiseksi.

Muodon f (SINX, COSX, TGX) yhtälöt vähennetään algebraaliksi yleismaailmallisen trigonometrisen substituution avulla

Ekspressoi sinus, kosini ja tangentti puoli kulman tangentin läpi. Tämä tekniikka voi johtaa korkean tason yhtälöön. Jonka ratkaisu on vaikeaa.

Kun ratkaistaan \u200b\u200bmonia matemaattiset tehtävätErityisesti enintään 10 luokan, suoritettujen toimien menettely, joka johtaa tavoitteeseen, on ehdottomasti määritelty. Tällaisia \u200b\u200btavoitteita ovat esimerkiksi lineaariset ja neliön yhtälöt, lineaariset ja neliön epätasa-arvot, murto-yhtälöt ja yhtälöt, jotka vähennetään neliöön. Kunkin mainittujen tehtävien onnistuneen ratkaisun periaate on seuraava: On tarpeen määrittää, miten tyyppi on ratkaistu tehtävä, muistuttaa tarvittavaa toimintaa, joka johtaa haluttuun tulokseen, ts. Vastaus ja suorita nämä toimet.

On selvää, että menestys tai epäonnistuminen yhden tai muun tehtävän ratkaisemisessa riippuu pääasiassa siitä, kuinka oikein yhtälön tyyppi määritellään, kuinka oikein sen liuoksen kaikkien vaiheiden sekvenssi toistetaan. Tietenkin on tarpeen omistaa samanlaiset muutokset ja laskelmat.

Muu tilanne saadaan trigonometriset yhtälöt. Perustetaan se, että yhtälö on trigonometrinen, ei ole vaikeaa. Vaikeudet näkyvät määritettäessä toimien järjestystä, jotka johtaisivat oikeaan vastaukseen.

Yhtälön ulkonäön mukaan joskus sen tyyppiä on vaikea määrittää. Ja ei tiedä yhtälön tyyppiä, on lähes mahdotonta valita useista tusinaa trigonometrisista kaavoista.

Trigonometrisen yhtälön ratkaisemiseksi sinun täytyy kokeilla:

1. Luo kaikki yhtälöön sisältyvät toiminnot "samat kulmat";
2. Luo yhtälö "identtisille toiminnoille";
3. Aseta tehtaan yhtälön vasen osa jne.

Harkita perusmenetelmät Trigonometristen yhtälöiden ratkaisemiseksi.

I. Yksinkertaisimpien trigonometristen yhtälöiden tuominen

Kaavamainen ratkaisu

Vaihe 1. Express Trigonometrinen toiminta tunnettujen komponenttien kautta.

Vaihe 2. Etsi argumentti toiminto kaavoittain:

cos x \u003d a; x \u003d ± arccos a + 2πn, n єz.

sIN X \u003d A; X \u003d (-1) n arcsin A + πn, n є z.

tG X \u003d A; x \u003d arctg a + πn, n є z.

cTG X \u003d A; x \u003d arcctg a + πn, n є z.

Vaihe 3. Etsi tuntematon muuttuja.

Esimerkki.

2 cos (3x - π / 4) \u003d -√2.

Päätös.

1) Cos (3x - π / 4) \u003d -√2 / 2.

2) 3x - π / 4 \u003d ± (π - π / 4) + 2πn, n є z;

3x - π / 4 \u003d ± 3π / 4 + 2πn, n є Z.

3) 3x \u003d ± 3π / 4 + π / 4 + 2πn, n є z;

x \u003d ± 3π / 12 + π / 12 + 2πn / 3, n є z;

x \u003d ± π / 4 + π / 12 + 2πN / 3, n є z.

Vastaus: ± π / 4 + π / 12 + 2πN / 3, n є z.

II. Vaihtelun vaihtaminen

Kaavamainen ratkaisu

Vaihe 1. Luo yhtälö algebraaliseen muotoon suhteessa johonkin trigonometrisen toiminnasta.

Vaihe 2. Nimeä muuttujan T (tarvittaessa kirjoittamalla rajoitukset T).

Vaihe 3. Tallentaa ja ratkaista tuloksena oleva algebraalinen yhtälö.

Vaihe 4. Korvaa.

Vaihe 5. Ratkaise yksinkertaisin trigonometrinen yhtälö.

Esimerkki.

2COS 2 (x / 2) - 5Sin (x / 2) - 5 \u003d 0.

Päätös.

1) 2 (1 - SIN 2 (X / 2)) - 5SIN (x / 2) - 5 \u003d 0;

2Sin 2 (x / 2) + 5Sin (x / 2) + 3 \u003d 0.

2) Anna sin (x / 2) \u003d t, missä | t | ≤ 1.

3) 2T 2 + 5T + 3 \u003d 0;

t \u003d 1 tai E \u003d -3/2, ei täytä tilaa | t | ≤ 1.

4) Sin (x / 2) \u003d 1.

5) x / 2 \u003d π / 2 + 2πn, n є z;

x \u003d π + 4πn, n є z.

Vastaus: X \u003d π + 4πn, n є z.

III. Menetelmä yhtälön järjestyksen laskemiseksi

Kaavamainen ratkaisu

Vaihe 1. Vaihda tämä lineaarinen yhtälö käyttämällä tämän asteen vähennyskaavaa tätä varten:

sIN 2 x \u003d 1/2 · (1 - COS 2X);

cos 2 x \u003d 1/2 · (1 + cos 2x);

tG 2 X \u003d (1 - COS 2X) / (1 + COS 2X).

Vaihe 2. Ratkaise saatu yhtälö käyttäen menetelmiä I ja II.

Esimerkki.

cos 2x + cos 2 x \u003d 5/4.

Päätös.

1) COS 2X + 1/2 · (1 + COS 2X) \u003d 5/4.

2) COS 2X + 1/2 + 1/2 · COS 2x \u003d 5/4;

3/2 · cos 2x \u003d 3/4;

2x \u003d ± π / 3 + 2πn, n є z;

x \u003d ± π / 6 + πn, n є z.

Vastaus: X \u003d ± π / 6 + πn, n є z.

IV. Yhdenmukaiset yhtälöt

Kaavamainen ratkaisu

Vaihe 1. Tuo tämä yhtälö lomakkeeseen

a) SIN X + B COS X \u003d 0 (Ensimmäisen asteen homogeeninen yhtälö)

tai näkyviin

b) SIN 2 x + b SIN X · COS X + C COS 2 x \u003d 0 (toisen asteen homogeeninen yhtälö).

Vaihe 2. Jaa yhtälön molemmat osat

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

ja saat yhtälön suhteessa TG X: hen:

a) Tg x + b \u003d 0;

b) Tg 2 x + b arctg x + c \u003d 0.

Vaihe 3. Ratkaise yhtälö tunnetuilla menetelmillä.

Esimerkki.

5SIN 2 X + 3SIN X · COS X - 4 \u003d 0.

Päätös.

1) 5Sin 2 x + 3Sin X · COS X - 4 (SIN 2 x + COS 2 x) \u003d 0;

5Sin 2 x + 3Sin X · COS X - 4SIN² X - 4COS 2 x \u003d 0;

sIN 2 X + 3SIN X · COS X - 4COS 2 x \u003d 0 / COS 2 x ≠ 0.

2) TG 2 x + 3TG x - 4 \u003d 0.

3) Anna tg x \u003d t, sitten

t 2 + 3T - 4 \u003d 0;

t \u003d 1 tai t \u003d -4, sitten

tG X \u003d 1 tai TG X \u003d -4.

Ensimmäisestä yhtälöstä X \u003d π / 4 + πn, n є z; Toisesta yhtälöstä X \u003d -arctg 4 + πK, k є z.

Vastaus: X \u003d π / 4 + πn, n є z; X \u003d -arct 4 + πk, k є z.

V. Menetelmä yhtälön muuntamiseksi trigonometristen kaavojen avulla

Kaavamainen ratkaisu

Vaihe 1. Kaikenlaisten trigonometristen kaavojen käyttäminen johtaa yhtälöön yhtälöön, ratkaistuihin menetelmiin I, II, III, IV.

Vaihe 2. Ratkaise tuloksena olevat yhtälön tunnetut menetelmät.

Esimerkki.

sIN X + SIN 2X + SIN 3X \u003d 0.

Päätös.

1) (SIN X + SIN 3X) + SIN 2x \u003d 0;

2SIN 2X · COS X + SIN 2X \u003d 0.

2) sIN 2X · (2COS X + 1) \u003d 0;

sIN 2X \u003d 0 tai 2COS X + 1 \u003d 0;

Ensimmäisestä yhtälöstä 2x \u003d π / 2 + πn, n є z; Toisesta yhtälöstä COS X \u003d -1/2.

Meillä on x \u003d π / 4 + πn / 2, n є z; Toisesta yhtälöstä X \u003d ± (π - π / 3) + 2πk, k є z.

Tämän seurauksena X \u003d π / 4 + πn / 2, n є z; x \u003d ± 2π / 3 + 2πk, k є z.

Vastaus: X \u003d π / 4 + πn / 2, n є z; x \u003d ± 2π / 3 + 2πk, k є z.

Taitoja ja taitoja trigonometristen yhtälöiden ratkaisemiseksi ovat hyvin tärkeää, niiden kehitys edellyttää huomattavia ponnisteluja sekä opiskelija että opettajalta.

Trigonometristen yhtälöiden ratkaisu, monet stereometrian haasteet, fysiikka ja muut liittyvät tällaisten tehtävien ratkaisemiseen, kuten se oli, päättelee monia tietoja ja taitoja, jotka ostetaan Trigonometrian elementtien tutkimuksessa.

Trigonometriset yhtälöt ovat tärkeässä paikassa oppimisen matematiikan ja persoonallisuuden kehityksen prosessissa kokonaisuutena.

Onko sinulla kysymyksiä? En tiedä miten ratkaista trigonometriset yhtälöt?
Saadaksesi ohjaajan help - Rekisteröidy.
Ensimmäinen oppitunti on ilmainen!

sivusto, jolla on täysi tai osittainen kopiointi materiaalin viittauksen alkuperäiseen lähteeseen.

Käsite trigonometristen yhtälöiden ratkaisemisesta.

• Trigonometrisen yhtälön ratkaisemiseksi muuntaa se yhteen tai useampaan tärkeimpiin trigonometrisiin yhtälöihin. Trigonometrisen yhtälön ratkaisu vähenee viime kädessä neljän tärkeimmän trigonometrisen yhtälön ratkaisemiseksi.

Tärkeimmät trigonometriset yhtälöt.

• Trigonometriset yhtälöt ovat 4 erilaista:
• sIN X \u003d A; Cos x \u003d a
• tG X \u003d A; CTG X \u003d A
• Päämittareiden yhtälöiden ratkaisu merkitsee erilaisten säännösten "X" huomioon ottaminen yhdellä ympyrällä sekä konversiotaulukon (tai laskin).
• Esimerkki 1. SIN X \u003d 0,866. Muuntopöydän (tai laskin) avulla saat vastauksen: x \u003d π / 3. Yksi ympyrä antaa toisen vastauksen: 2π / 3. Muista: Kaikki trigonometriset toiminnot ovat säännöllisiä, eli niiden arvot toistetaan. Esimerkiksi SIN X: n X ja COS X-taajuus on 2πN ja TG X: n ja CTG: n taajuus on yhtä suuri kuin πn. Siksi vastaus on kirjoitettu seuraavasti:
• x1 \u003d π / 3 + 2πN; x2 \u003d 2π / 3 + 2πn.
• Esimerkki 2. Cos X \u003d -1/2. Muuntopöydän (tai laskimen) käyttäminen saat vastauksen: x \u003d 2π / 3. Yksi ympyrä antaa toisen vastauksen: -2π / 3.
• x1 \u003d 2π / 3 + 2π; x2 \u003d -2π / 3 + 2π.
• Esimerkki 3. TG (x - π / 4) \u003d 0.
• Vastaus: X \u003d π / 4 + πn.
• Esimerkki 4. CTG 2x \u003d 1,732.
• Vastaus: X \u003d π / 12 + πn.

Trigonometristen yhtälöiden ratkaisemisessa käytetty muutos.

• Trigonometristen yhtälöiden muuttaminen käytetään algebrallisia transformaatioita (kertoimien hajoaminen, homogeenisten jäsenten tuominen jne.) Ja trigonometriset identiteettiteet.
• Esimerkki 5. Käytä trigonometriset identiteetit, yhtälö SIN X + SIN 2X + SIN 3x \u003d 0 muunnetaan 4COS X * SIN yhtälön (3X / 2) * COS (X / 2) \u003d 0. Näin ollen seuraavat pääasialliset trigonometriset yhtälöt olisi ratkaista: cos x \u003d 0; SIN (3x / 2) \u003d 0; Cos (x / 2) \u003d 0.

• Kulmien löytäminen tunnetuilla toiminnoilla.

  • Ennen kuin opiskelet trigonometristen yhtälöiden ratkaisemismenetelmiä, sinun on opittava, kuinka löytää kulmat tunnettujen toimintojen arvojen mukaan. Tämä voidaan tehdä käyttämällä muuntamista tai laskintaulukkoa.
  • Esimerkki: COS X \u003d 0,732. Laskin antaa vastauksen x \u003d 42,95 astetta. Yksi ympyrä antaa lisää kulmia, joiden kosiini on myös 0,732.

• Pyydä päätös yhdestä ympyrästä.

  • Voit lykätä trigonometrisen yhtälön ratkaisuja yhdellä ympyrällä. Trigonometrisen yhtälön ratkaisut yhdellä ympyrällä ovat oikean monikulmion pisteitä.
  • Esimerkki: Ratkaisut x \u003d π / 3 + πn / 2 yhdellä ympyrällä ovat neliön pisteitä.
  • Esimerkki: Ratkaisut x \u003d π / 4 + πn / 3 yhdellä ympyrällä ovat oikean kuusikulun pisteitä.

• Menetelmät Trigonometristen yhtälöiden ratkaisemiseksi.

  • Jos tämä trigonometrinen yhtälö sisältää vain yhden trigonometrisen toiminnon, päättää, että tämä yhtälö on perusmittausyhtälö. Jos tämä yhtälö sisältää kaksi tai useampia trigonometrisia toimintoja, on olemassa 2 menetelmää tällaisen yhtälön ratkaisemiseksi (riippuen sen muutoksen mahdollisuudesta).
    • Menetelmä 1.
  • Muunna tämä yhtälö lomakkeen yhtälöön: f (x) * g (x) * h (x) \u003d 0, jossa f (x), g (x), H (X) on tärkeimmät trigonometriset yhtälöt.
  • Esimerkki 6. 2COS X + SIN 2x \u003d 0. (0< x < 2π)
  • Päätös. Käyttämällä kaksinkertaisen kulman SIN 2x \u003d 2 * SIN X * COS X, vaihda SIN 2X.
  • 2SOS X + 2 * SIN X * COS X \u003d 2COS X * (SIN X + 1) \u003d 0. Nyt päättää kaksi tärkeintä trigonometrista yhtälöä: COS X \u003d 0 ja (SIN X + 1) \u003d 0.
  • Esimerkki 7. COS X + COS 2X + COS 3X \u003d 0. (0< x < 2π)
  • Ratkaisu: Trigonometristen identiteettien avulla muuntaa tämä yhtälö muodon yhtälöön: COS 2X (2COS X + 1) \u003d 0. Nyt päättää kaksi tärkeintä trigonometrista yhtälöä: COS 2X \u003d 0 ja (2COS X + 1) \u003d 0.
  • Esimerkki 8. SIN X - SIN 3X \u003d COS 2X. (0.< x < 2π)
  • Ratkaisu: Trigonometristen identiteettien käyttäminen, Muunna tämä yhtälö lomakkeen yhtälöön: -COS 2X * (2SIN X + 1) \u003d 0. Nyt päättää kaksi tärkeintä trigonometrista yhtälöä: COS 2X \u003d 0 ja (2SIN X + 1) \u003d 0 .
    • Tapa 2.
  • Muunna tämä trigonometrinen yhtälö yhtälöön, joka sisältää vain yhden trigonometrisen toiminnan. Vaihda sitten tämä trigonometrinen toiminto joihinkin tuntemattomaan, esimerkiksi T (SIN X \u003d T; COS X \u003d T, COS 2x \u003d T, TG X \u003d T; TG (x / 2) \u003d T jne.).
  • Esimerkki 9. 3Sin ^ 2 x - 2cos ^ 2 x \u003d 4Sin x + 7 (0< x < 2π).
  • Päätös. Tässä yhtälössä vaihda (COS ^ 2 x) ON (1 - SIN ^ 2 X) (identiteetin mukaan). Transformoitu yhtälö on:
  • 3SIN ^ 2 x - 2 + 2SIN ^ 2 x - 4SIN X - 7 \u003d 0. Vaihda SIN X päälle t. Nyt yhtälö näyttää: 5t ^ 2 - 4t - 9 \u003d 0. Tämä on neliöyhtälö, jossa on kaksi juuria: T1 \u003d -1 ja T2 \u003d 9/5. Toinen root T2 ei täytä toimintojen arvojen arvoja (-1< sin x < 1). Теперь решите: t = sin х = -1; х = 3π/2.
  • Esimerkki 10. TG X + 2 TG ^ 2 x \u003d CTG x + 2
  • Päätös. Vaihda TG X T. Vapauta alkuperäinen yhtälö seuraavassa muodossa: (2T + 1) (T ^ 2 - 1) \u003d 0. Nyt Etsi T ja etsi sitten x t \u003d TG X.