Harkitse akselin rajoittama kaurava trapezion, käyrä y \u003d f (x) ja kaksi suoraa: x \u003d A ja X \u003d B (kuva 85). Ota mielivaltainen arvo X (vain ei ja ei b). Annamme hänelle lisäyksen H \u003d DX ja harkitse Straight AV: n ja CD: n rajoittamaa nauhaa, OH: n akseli ja kaareva Bd, joka kuuluu käyrään. Soitamme tämän nauhan elementaarisella nauhalla. Alkuperäisen nauhan alue poikkeaa ACQB-suorakulmion alueesta Curvilinear Triangle BQD: lle ja jälkimmäisen alue on pienempi kuin BQDM-suorakulmion alue sivuilla Bq \u003d \u003d H \u003d DX) qd \u003d AY ja Alue, joka on yhtä suuri kuin heinää \u003d ay dx. Osa H: n väheneminen kauko-ohjaimen puolelle vähennetään ja samanaikaisesti H: n kanssa, joka pyrkii nollaan. Siksi BQDM-alue on äärettömän pieni toinen järjestys. Alkuperäisen nauhan alue on alueen lisäys ja ACQB: n suorakulmion pinta-ala, joka on yhtä suuri kuin AV-puheen \u003d\u003d / (x) DX\u003e on differentiaalinen alue. Näin ollen löydän itseensä integroimalla sen eron. Kyseessä olevassa kuvassa riippumaton muuttuja L: vaihtelee a - b, joten haluttu alue 5 on 5 \u003d \\ f (x) DX. I) Esimerkki 1. Laske Parabolan rajoittama alue - 1 s *, suora X \u003d - fj-, x \u003d 1 ja * (kuvio 86). Kuviossa 1 87. KUVA. 86. 1 Täällä F (x) \u003d 1 - l?, Integraation rajat A \u003d - ja £ \u003d 1, joten J [* -T] \\ - -fl - M -1- ± L_ 1V1 -LL-II- ^ 3) | _ 2 3V 2 / J 3 24 24 * Esimerkki 2. Laske Sinusoid y \u003d sinx-akselin ja suoraan (kuva 87) rajoittama alue (kuva 87). Kaavan (I) avulla saamme L 2 S \u003d J SINXDX \u003d [-COS X] Q \u003d 0 - (- 1) \u003d LF Esimerkki 3. Laske alue, rajoitettu kaari Sinusoidit ^ Y \u003d Sin JC, joka on tehty kahden vierekkäisen Risteyspisteitä akselilla OH (esimerkiksi koordinaattien alku ja kohta abscissa i). Huomaa, että geometrisista näkökohdista ilmenee, että tämä alue on kaksi kertaa enemmän kuin edellisen esimerkin alueet. Tehdimme kuitenkin laskennan: Olen 5 \u003d | S \\ nxdx \u003d [- cosh) * - - cos i - (- cos 0) \u003d 1 + 1 \u003d 2. Oi todella, meidän oletus osoittautui oikeudenmukaiseksi. Esimerkki 4. Laske Sinusoidin ja ^ akselin kautta rajoittama alue yhdelle ne Rioood (kuva 88). Alustava RAF-riisi ehdottaa, että alue on neljä kertaa enemmän kuin Ave. 2. Kuitenkin laskelmien tekeminen, saamme "I g, * i s - \\ sin x dx \u003d [- cos x] 0 \u003d \u003d - cos 2L - ( - COS 0) \u003d - 1 + 1 \u003d 0. Tämä tulos vaatii selvennystä. Tapauksen olemuksen määrittämiseksi laskemme saman sinusoidisen y \u003d sin l: ja akselin, joka vaihtelee L: stä 2: een. Kaavan (I) avulla saat 2 litraa $ 2L SIN XDX \u003d [- COSX] L \u003d -COS 2, ~) -C05Y \u003d - 1-1 \u003d -2. Tällä tavoin näemme, että tämä alue osoittautui negatiiviseksi. Vertaamalla sitä Ave. 3: ssa laskettuun alueeseen, saamme, että niiden absoluuttiset arvot ovat samat, ja merkit ovat erilaiset. Jos käytät V-ominaisuutta (ks. Xi, § 4), sain 2 litraa 2L J SIN XDX \u003d J SIN * DX [SIN X DX \u003d 2 + (- 2) \u003d 0, mitä tässä esimerkissä tapahtui Onnettomuus. Aina Akselin alapuolella oleva alue edellyttäen, että riippumattomat muuttujat muuttuvat vasemmalta oikealle, käy ilmi, kun lasketaan negatiivisten integraalien kanssa. Tässä kurssissa harkitaan aina neliöitä ilman merkkejä. Siksi vastaus vain purettuna esimerkkinä on näin: haluttu alue on 2 + | -2 | \u003d 4. Esimerkki 5. Laske kuviossa 1 määritetty OAV-alue. 89. Tämä alue rajoittuu akseliin Oh, parabola y \u003d - xg ja suora Y - \u003d -X + \\. Curvilinear Trapeziumin alue haluttu OAV: n alue koostuu kahdesta osasta: OAM ja MAV. Koska kohta A on parabolan leikkauspiste ja suora, sen koordinaatit löytävät yhtälöjärjestelmän ratkaisemisen 3 2 y \u003d tx. (Meidän on löydettävä vain ABSCISSA-piste A). Järjestelmän ratkaiseminen, löydämme L; \u003d ~. Siksi alue on laskettava osissa, ensimmäinen pl. OAM ja sitten pl. MAV: ... g 3 2, 3 g HP 3 1/2 2. Qam- ^ x ja ei muuta merkkiään (Kuva 1).Curvilinear trapetsiumin alue voidaan merkitä S (g).

Erityinen integraali ʃ A B F (X) DX funktio f (x), joka on jatkuva ja ei-negatiivinen segmentillä [A; B], ja vastaavan kaarevan trapetsiumin alue on.

Toisin sanoen löytää kuvion g, rajoittaa linjat Y \u003d F (X), Y \u003d 0, X \u003d A ja X \u003d B, on välttämätöntä laskea tietty integraali ʃ AB F (x ) DX.

Tällä tavalla, S (G) \u003d ʃ A B F (X) DX.

Jos toiminto y \u003d f (x) ei ole positiivinen [a; b], sitten kaarevan trapetsiumin alue löytyy kaavasta S (g) \u003d -ʃ A B F (X) DX.

Esimerkki 1.

Laske linjojen Y \u003d X3 rajoittavan kuvion alue; Y \u003d 1; x \u003d 2.

Päätös.

Määritetyt viivat muodostavat ABC-kuvan, joka näytetään siitos kuva. 2.

Haluttu alue on yhtä suuri kuin Dace Curvilinear Trapezium -alueiden ja Dabe-neliön välinen ero.

Kaavan S \u003d ʃ a b f (x) dx \u003d s (b) - s (A) avulla löydämme integraatiorajoitukset. Voit tehdä tämän ratkaista kahden yhtälön järjestelmä:

(y \u003d x 3,
(Y \u003d 1.

Siten meillä on x 1 \u003d 1 - alaraja ja x \u003d 2 - yläraja.

Joten, s \u003d s DACE - S DABE \u003d ʃ 1 2 x 3 DX - 1 \u003d X 4/4 | 1 2 - 1 \u003d (16 - 1) / 4 - 1 \u003d 11/4 (sq.).

Vastaus: 11/4 kV. yksiköt.

Esimerkki 2.

Laske rivien rajoittama luku, jonka linjat Y \u003d √h; Y \u003d 2; x \u003d 9.

Päätös.

Määritetyt rivit muodostavat ABC: n kuvan, joka rajoittuu kaavion yläpuolelta

y \u003d √h, ja toiminnon y \u003d 2. kaavion alapuolella. Tuloksena oleva luku näkyy siitos kuva. 3.

Haluttu alue on s \u003d ʃ A B (√X - 2). Löydämme integraatiorajat: B \u003d 9, jotta löydettäisiin a, ratkaisemalla kahden yhtälön järjestelmä:

(Y \u003d √h,
(Y \u003d 2.

Siten meillä on, että X \u003d 4 \u003d A on alaraja.

Joten, s \u003d ∫ 4 9 (√x - 2) dx \u003d ∫ 4 9 √x dx-∫ 4 9 2dx \u003d 2/3 x√ x | 4 9 - 2x | 4 9 \u003d (18 - 16/3) - (18 - 8) \u003d 2 2/3 (sq.).

Vastaus: S \u003d 2 2/3 neliömetriä. yksiköt.

Esimerkki 3.

Laske kuvion pinta-ala, jota rajoittavat rivit Y \u003d x 3 - 4x; Y \u003d 0; x ≥ 0.

Päätös.

Rakentamme kaavion toiminnasta y \u003d x 3 - 4x x ≥ 0. Tätä varten löytää ":

y '\u003d 3x 2 - 4, Y' \u003d 0 x \u003d ± 2 / √3 ≈ 1.1 - Kriittiset kohdat.

Jos kuvaat kriittisiä pisteitä numeeriselle akselilla ja aseta johdannaisen merkit, saamme, että toiminto laskee nollasta 2 / √3 ja kasvaa 2 / √3 ja infinity. Sitten x \u003d 2 / √3 on vähimmäispiste, toiminnon vähimmäisarvo min \u003d -16 / (3√3) ≈ -3.

Määritämme kaavion risteyskohdat koordinaattien akseleilla:

jos x \u003d 0, sitten y \u003d 0 ja siksi ja (0; 0) - risteyspiste OU-akselin kanssa;

jos y \u003d 0, sitten x 3 - 4x \u003d 0 tai x (x 2 - 4) \u003d 0 tai x (x - 2) (x + 2) \u003d 0, jossa x 1 \u003d 0, x 2 \u003d 2, x 3 \u003d -2 (ei sopiva, koska x ≥ 0).

Pisteet a (0; 0) ja in (2; 0) - kaavion risteyskohdat akselilla Oh.

Määritetyt viivat muodostavat OAV: n kuvan, joka on esitetty siitos kuva. neljä.

Koska toiminto y \u003d x 3 - 4x ottaa (0; 2) negatiivinen arvo, sitten

S \u003d | ʃ 0 2 (x 3 - 4x) DX |.

Meillä on: ʃ 0 2 (x 3 - 4x) dx \u003d (x 4/4 - 4x 2/2) | 0 2 \u003d -4, mistä s \u003d 4 neliömetriä. yksiköt.

Vastaus: S \u003d 4 neliömetriä. yksiköt.

Esimerkki 4.

Etsi kuvion rajoitettu alue parabola y \u003d 2x 2 - 2x + 1, suora x \u003d 0, y \u003d 0 ja tämän parabolin tangentti kohdassa ABSCISSA X 0 \u003d 2: n kanssa.

Päätös.

Ensinnäkin yhtälö on tangentti parabole y \u003d 2x 2 - 2x + 1 kohdalla ABSCISSA X: n \u003d 2: n kanssa.

Koska johdannainen Y '\u003d 4x - 2, sitten x 0 \u003d 2, saamme k \u003d y' (2) \u003d 6.

Löydämme koordinaattisen kosketuksen: 0 \u003d 2 · 2 2 - 2 · 2 + 1 \u003d 5.

Näin ollen tangentin yhtälöllä on muoto: Y - 5 \u003d 6 (X - 2) tai Y \u003d 6X - 7.

Rakenna kuvio rajoitettu rivi:

y \u003d 2x 2 - 2x + 1, y \u003d 0, x \u003d 0, y \u003d 6x - 7.

G y \u003d 2x 2 - 2x + 1 - Parabola. Koordinaatti-akselit: A (0; 1) - OU-akselilla; Akselilla Oh - ei ole risteyspisteitä, koska Yhtälö 2x 2 - 2x + 1 \u003d 0 ei ole ratkaisuja (D< 0). Найдем вершину параболы:

x b \u003d 2/4 \u003d 1/2;

y B \u003d 1/2, toisin sanoen Vertex parabola piste B on koordinoi (1/2; 1/2).

Joten luku, jonka alueen on määritettävä, näkyy siitos kuva. viisi.

Meillä on: S O A D \u003d S OABC - S ADBC.

Löydämme kohta D: n koordinaatit tilasta:

6x - 7 \u003d 0, ts. X \u003d 7/6, se tarkoittaa DC \u003d 2 - 7/6 \u003d 5/6.

DBC Triangle -alue löytää kaavan S adbc \u003d 1/2 · dc · bc. Tällä tavalla,

S ADBC \u200b\u200b\u003d 1/2 · 5/6 · 5 \u003d 25/12 KV. yksiköt.

S OABC \u003d ʃ 0 2 (2x 2 - 2x + 1) DX \u003d (2x 3/3 - 2x 2/2 + x) | 0 2 \u003d 10/3 (sq. Ruoka.).

Saat vihdoin: s o a d \u003d s oabc - s adbc \u003d 10/3 - 25/12 \u003d 5/4 \u003d 1 1/4 (Sq. M. UZH).

Vastaus: S \u003d 1 1/4 KV. yksiköt.

Päätämme esimerkkejä määritellyillä riveillä rajoittavat kuvioiden neliöt. Voit menestyksekkäästi ratkaista tällaisia \u200b\u200btehtäviä, sinun on voitava rakentaa linjan tasoa ja toimintojen kaavioita, löytää viivojen leikkauspistettä, soveltaa kaavaa alueen löytämiseksi, mikä merkitsee taidon ja taitojen läsnäoloa tiettyjen Integraalit.

sivusto, jolla on täysi tai osittainen kopiointi materiaalin viittauksen alkuperäiseen lähteeseen.

Mikä tahansa erityinen integraali (joilla on olemassa) on erittäin hyvä geometrinen merkitys. Oppitunnin, sanoin, että tietty kiinteä on numero. Ja nyt on aika ilmoittaa toinen hyödyllinen tosiasia. Geometrian näkökulmasta tietty kiinteä on alue.

Toisin sanoen erityinen integraali (jos se on olemassa) geometrisesti vastaa jonkinlaisen alueen. Harkitse esimerkiksi tiettyä integraalia. Integraand-toiminto asettaa jonkin verran käyrää tasossa (se voidaan aina vetää haluttaessa) ja tietty integraali itsessään on numeerisesti yhtä suuri kuin vastaavan kaaren trapetsiumin alue.

Esimerkki 1.

Tämä on tyypillinen tehtäväformulaatio. Päätöksen ensimmäinen ja tärkein kohta - piirustuksen rakentaminen. Ja piirustus on rakennettava Oikea.

Kun rakennat piirustusta, suosittelen seuraavaa tilausta: ensimmäinen On parempi rakentaa kaikki suorat (jos ne ovat) ja vain myöhemmin - Parabolat, hyperbolat, muiden toimintojen aikataulut. Toimintokuviot ovat kannattavampia rakentaa potochoeSisäänkirjautumistekniikan tekniikka löytyy vertailumateriaalista.

Siellä voit myös löytää erittäin hyödyllisen materiaalin suhteessa oppitunnimme materiaaliin - miten nopeasti rakentaa parabola.

Tässä tehtävässä päätös voi näyttää siltä.
Suorita piirustus (huomaa, että yhtälö asettaa akselin):

En aivohalvaus Curvilinear Trapeze, on selvää, mistä alueesta on puhe. Päätös jatkuu näin:

Segmentin aikataulussa Toiminto sijaitsee yli akselin, niin:

Vastaus:

Kenellä on vaikeuksia laskettaessa tiettyä kiinteää ja Newton-Leibnian kaavan käyttöä , katso luento Tietty kiinteä. Esimerkkejä ratkaisuista.

Kun tehtävä on valmis, on aina hyödyllistä katsoa piirustusta ja arvioita, todellinen osoittautunut. Tässä tapauksessa "silmissä" lasketaan solujen lukumäärä piirustuksessa - No, noin 9 lentää, se näyttää totuudelta. On aivan selvää, että jos meillä olisi, sanoa, vastaus: 20 neliön yksikköä, on selvää, että jonnekin - 20 solujen lukuja ei selvästikään ole asennettu tusinan vahvuudesta. Jos vastaus osoittautui negatiiviseksi, tehtävänä on myös virheellisesti.

Esimerkki 2.

Laske muoto, rajoitettu linjat ja akseli

Tämä on esimerkki itsenäisestä ratkaisusta. Täydellinen ratkaisu ja vastaus oppitunnin lopussa.

Mitä tehdä, jos Curvilinear Trapezium sijaitsee akselin alla?

Esimerkki 3.

Laske muoto, rajoitettu viivat ja koordinaatti-akselit.

Ratkaisu: Suorita piirustus:

Jos curvilinear trapezium täysin sijoitettu akselin alla, sitten sen alue löytyy kaava:
Tässä tapauksessa:

Huomio! Älä sekoita kahta tehtävätyyppiä:

1) Jos sinua pyydetään ratkaisemaan yksinkertainen integraali ilman geometrista merkitystä, niin se voi olla negatiivinen.

2) Jos sinua pyydetään löytämään kuvan hahmolla tietyn integraalin avulla, alue on aina positiivinen! Siksi vain katsottu kaava näkyy miinus.

Käytännössä luku sijaitsee useimmiten ylä- ja alareunassa, ja siksi yksinkertaisimmista koulutaulukkoista mennä mielekkäisiin esimerkkeihin.

Esimerkki 4.

Etsi tasainen luku, rajalliset viivat ,.

Ratkaisu: Ensin sinun täytyy piirtää piirustus. Yleisesti ottaen, kun rakennat piirustuksen tehtäviin alueelle, olemme eniten kiinnostuneita linjojen risteyksistä. Etsi Parabolan leikkauspistettä ja suoraa. Tämä voidaan tehdä kahdella tavalla. Ensimmäinen menetelmä on analyyttinen. Ratkaisemme yhtälön:

Joten alhaisempi integraatioraja, integraation yläraja.
Tämä tapa on parempi, jos mahdollista, älä käytä.

On paljon kannattavampaa ja nopeampaa rakentaa linjan linjat, kun taas integraatiorajoitukset selkeytetään ikään kuin "itse". Erilaisten kaavioiden lopettamisen tekniikkaa tarkastellaan yksityiskohtaisesti apuun Perustoimintojen kaaviot ja ominaisuudet. Kuitenkin analyyttinen tapa löytää rajoitukset loppujen lopuksi, on joskus tarpeen soveltaa, jos esimerkiksi aikataulu on riittävän suuri tai koulutettu rakenne ei paljastanut integraatiorajoituksia (ne voivat olla murto- tai irrationaalisia). Ja niin esimerkki, harkitsemme myös.

Paluu meidän tehtävämme: Lisää järkevää ensin rakentaa suoraviiva ja vain sitten parabola. Suorita piirustus:

Toistan, että nykyisessä rakenteessa integraatiorajat havaitsevat useimmiten "automaattiset".

Ja nyt työsuoma: Jos segmentillä on jatkuva toiminta enemmän tai yhtä suuri Jotkut jatkuvat toiminnot, vastaavan kuvan pinta-ala on kaava:

Täällä ei ole enää välttämätöntä ajatella, missä kuvio sijaitsee - akselin tai akselin alla ja suunnilleen, tärkeää, mikä on kaavio edellä(suhteessa toiseen aikatauluun) ja mitä - alla.

Tässä esimerkissä on selvää, että Parabolan segmentissä on suoran yläpuolella, ja siksi on tarpeen vähentää

Ratkaisun loppuun saattaminen voi näyttää tältä:

Haluttu luku rajoittuu parabolaan yläpuolelta ja suoraa pohjaa.
Segmentillä vastaavan kaavan mukaan:

Vastaus:

Itse asiassa koulun kaava kaarevan trapetsiarin alueen alemmassa puolitasossa (ks. Yksinkertainen esimerkki nro 3) - erityinen kaavan . Koska akseli määritellään yhtälöllä ja toimintokuvake sijaitsee akselin alapuolella,

Ja nyt pari esimerkkiä itsenäisestä päätöksestä

Esimerkki 5.

Esimerkki 6.

Etsi luku rajoitetun rivin alue ,.

Tehtävien ratkaisemisessa alan laskemiseksi tietyn kiinteän aineen vuoksi hauska tapaus tapahtuu joskus. Piirustus on valmis oikein, laskelmat - oikea, mutta tehostettu ... löytyi alue ei ole kuvaNäin nöyrä palvelija oli pakattu. Tässä on todellinen tapaus elämästä:

Esimerkki 7.

Laske muoto, rajoitettu rivi ,,,,.

Suorita ensin piirustus:

Kuva, jonka alueemme meidän on löydettävä, on varjostettu sininen(Katso huolellisesti tilan, kuin kuvio on rajallinen!). Mutta käytännössä huomaamatta on usein, että on tarpeen löytää luku, joka on varjostettu vihreällä!

Tämä esimerkki on myös hyödyllinen siinä, että sitä pidetään siinä, että se on kaksi erityistä integraalia. Todella:

1) Suora aikataulu sijaitsee segmentillä akselin yli;

2) Segmentillä akselin yli on kaavio hyperboleista.

On selvää, että neliö voi hajottaa, niin:

Vastaus:

Esimerkki 8.

Laske muodon alue, rajalliset viivat,
Kuvittele yhtälö "koulu" -lomakkeessa ja suorita nykyinen piirustus:

Piirustuksesta on selvää, että yläraja meillä on "hyvä" :.
Mutta mikä on alaraja?! On selvää, että tämä ei ole kokonaisluku, vaan mitä? Voi olla ? Mutta missä takaa, että piirustus tehdään täydellisellä tarkkuudella, se voi olla se. Tai root. Ja jos olemme yleensä sopimattomasti rakennettu aikataulu?

Tällaisissa tapauksissa sinun on käytettävä ylimääräistä aikaa ja määritellä analyyttisesti integraatiorajat.

Etsi suoran ja parabolin risteyskohdat.
Voit tehdä tämän ratkaista yhtälö:

Siksi ,.

Lisäliuos on vähäpätöinen, tärkein asia ei ole hämmentynyt korvaamaan ja merkkejä, laskelmat eivät ole yksinkertaisin.

Leikattu Vastaavan kaavan mukaan:

Vastaus:

No, ja oppitunnin päätteeksi harkitsee kaksi tehtävää vaikeampaa.

Esimerkki 9.

Laske muoto, rajoitettu linjat,

Ratkaisu: Näytä tämä muoto piirustuksessa.

Piirustuksen nykyiselle rakenteelle on välttämätöntä tietää sinosoidien ulkonäkö (ja on yleensä hyödyllistä tietää kaikista perustoiminnot) sekä joitakin sinusarvoja, ne löytyvät trigonometrinen pöytä. Joissakin tapauksissa (kuten tässä), on voitava rakentaa kaavamainen piirros, johon kaaviot ja integraatiorajat on otettava huomioon periaatteessa.

Integraation rajoissa ei ole ongelmia, ne tulevat suoraan tilasta: - "X" vaihtelee nollasta "Pi". Luomme lisäyksen:

Segmentillä toiminto kaavio sijaitsee akselin yläpuolella, joten:

(1) Miten integroida sinusit ja kosutineita parittomat asteet voidaan katsella oppitunnissa Trigonometristen toimintojen integraalit. Tämä on tyypillinen vastaanotto, painamalla yhtä sinus.

(2) Käytämme tärkeintä trigonometristä identiteettiä muodossa

(3) Korvataan muuttujan, sitten:

Uusi muutosintegraatio:

Kenellä on erittäin huonoja asioita, joissa on korvauksia, mene oppitunnille Vaihtomenetelmä määräämättömässä integraalissa. Joka ei ole kovin selvää korvaavalle algoritmille tietyssä kiinteässä, käy sivulla Tietty kiinteä. Esimerkkejä ratkaisuista.

Johdanto

Johdannaisen F "(x) tai differentiaali DF \u003d F" (x) DX -funktion f (x) löytäminen on ero differentiaalisen laskennan päätehtävä. Integraalisessa laskelmassa käänteinen ongelma ratkaistaan: tietyn toiminnon F (x) mukaan sen on löydettävä tällainen funktio f (x), joka F "(x) \u003d f (x) tai f (x) \u003d f "(x) dx \u003d f (x) DX. Siten integraalisen laskennan päätehtävä on toiminnon F (x) palauttaminen tämän toiminnon tunnetun johdannaisen (differentiaalisen) mukaisesti. Integrative laskelmassa on lukuisia sovelluksia geometriassa, mekaniikassa, fysiikkeessä ja tekniikassa. Se antaa yleisen menetelmän tilaa, volyymiä, painovoiman jne.

Matemaattisen analyysin kulku sisältää erilaisia \u200b\u200bmateriaaleja, mutta yksi sen keskeisistä osioista on erityinen integraali. Monien toimintojen integrointi on joskus yksi matemaattisen analyysin vaikeimmista ongelmista.

Erityisen integraalin laskeminen ei ole pelkästään teoreettinen etu. Sitä pienennetään joskus laskentaan, henkilöiden käytännön toimintaan liittyvät tehtävät vähenevät.

Myös tiettyä integraalia koskevaa käsitettä käytetään laajalti fysiikassa.

Curvilinear trapeziumin alueen löytäminen

Curvilinear trapeziumia kutsutaan luvuksi, joka sijaitsee suorakaiteen muotoisessa koordinaattijärjestelmässä ja rajoitettu abscissan akseli, suora x \u003d A. ja x \u003d B. ja käyrä ja ei-negatiivinen segmentillä. Noin alueen kaareva trapetsiumia voidaan löytää näin:

1. jakaa abscissan akselin leikkaus n. yhtäläiset segmentit;

2. Suorita segmenttien kohdat, jotka ovat kohtisuorassa abscissan akseliin nähden, käyrän kanssa;

3. Vaihda tuloksena olevat suorakulmion pylväät pohjalla ja korkeudella, joka on yhtä suuri kuin toiminnon arvo f. kunkin segmentin vasemmassa päässä;

4. Etsi näiden suorakulmioiden neliöiden summa.

Mutta löydät Curvilinearin alueen muutoin: Formula Newton Labitsan mukaan. Todistamaan kaava, joka alkaa, todistimme, että kaarevan trapetsiarin alue on yhtä suuri kuin - missä - mikä tahansa primitiiviset toiminnot, joiden kaavio rajoittaa kaarevaa trapetsiumia.

Curvilinear Trapeziumin alueen laskeminen kirjoitetaan seuraavasti:

1. Alkeellisista toiminnoista on jotain.

2. Tallennettu. - Tämä on Newton-Leibniz-kaava.

Curvilinear-sektorin alueen löytäminen

Harkitse käyrä? \u003d? (?) Polar-koordinaattijärjestelmässä, missä? (?) - Jatkuva ja ei-negatiivinen [?; ?] Toiminto. Kuva, rajoitettu käyrä? (?) ja säteet? \u003d?,? \u003d?, kutsutaan curvilinear-sektori. Curvilinear-sektorin alue on yhtä suuri kuin

ARC-käyrän pituuden löytäminen

Suorakulmaiset koordinaatit

Oletetaan suorakaiteen muotoisista koordinaateista, jotka on annettu tasainen käyrä AB, yhtälö, jonka Y \u003d F (x), jossa a? X? b. (Kuva 2)

ARC-pituuden mukaan AB ymmärretään rajana, johon rikkoutuneen rivin pituus, joka on merkitty tässä kaaressa, kun rikki linkkien määrä kasvaa yhä enemmän ja suurimman linkin pituuden pitäisi pyrkiä nollaan.

Käytä järjestelmää I (summaus).

Pisteet X \u003d A, X, ..., X \u003d B (X? X? X \u003d B (x? X0 x) Vaikea segmentti N-osissa. Anna nämä kohdat vastaavat pisteitä M \u003d A, M, ..., M \u003d B AB-käyrässä. Teemme sointuja mm, mm, ..., mm, joiden pituudet merkitään vastaavasti läpi? L ,? l, ...,? L.

Saamme rikki mmm ... mm, jonka pituus on L \u003d? L +? L + ... +? L \u003d? L.

Chordin (tai lymannaya-linkin) pituus? L voidaan löytää pythagoree teoremista kolmiosta tullilla? X ja? Y:

L \u003d missä? X \u003d x - x ,? y \u003d f (x) - f (x).

Lagrange-teoreen mukaan funktion lopullisesta lisäystä

Y \u003d (C) X, jossa C (X, X).

ja kaikkien rikkoutuneiden MMM ... mm on yhtä suuri

AB-käyrän pituus on määritelmän mukaan sama

Huomaa, että kun? L 0 myös ja? X 0 (? L \u003d ja siksi | x |< ?L). Функция непрерывна на отрезке , так как, по условию, непрерывна функция f (X). Следовательно, существует предел интегральной суммы L=?L= , кода max ?X 0:

Niinpä L \u003d DX.

Esimerkki: Etsi säteen R: n ympyrän pituus (Kuva 3)

Löytö? Osa sen pituudesta (0; r) pisteeseen (R; 0). Kuten

№ ____ ________

Aihe:Curvilinear Trapezium ja sen neliö b

Tavoitteet: Anna Curvilinear Trapeziumin ja sen neliön määritelmä, oppia laskemaan Curvilinear Trapeziumin alue.

Luokkien aikana

1. Organisaation hetki.

Tervehdys opiskelijoita, tarkastaa luokan valmiutta oppitunnille, opiskelijoiden huomion järjestämiseen, oppitunnin yleisten tavoitteiden julkistamisesta ja sen suunnitelmasta.

2. Vaihda kotitehtävä.

Tavoitteet: D / S: n kaikkien opiskelijoiden täytäntöönpanon oikeellisuus, täydellisyys ja tietoisuus tunnistavat tietämyksen ja opiskelijoiden toimintatapoja. Määritä vaikeuksien esiintymisen syyt, poistaa havaitut välilyönnit.

3. Top Update.

Tehtävät: Koululaisten opetusten motivaatio, osallistuminen yhteisiin toimintoihin oppitunnin tavoitteiden määrittämiseksi. Toteutettava subjektiivinen opiskelijakokemus.

Muista peruskäsitteitä ja kaavoja.

Määritelmä. Toiminto y \u003d.f.(x), x (A, b), nimeltään primitiivinen toiminto y \u003d f (x), x (A, b), Jos kaikille x. (A, b) Tasa-arvo suoritetaan

F. (x) \u003d f (x).

Kommentti. Jos f.x) Toiminnalle on primitiivinen f (x), sitten mikä tahansa vakio Peräkkäin, F (x) + c on myös primitiivinen f (x).

Tehtävä löytää kaikki primitiiviset toiminnot f (x) kutsutaan integraatioksi, ja kaikkien ensisijaisen joukkoa kutsutaan epävarmaksi integroituksi toiminnasta f (x) mennessä Dx Ja merkitsee

Ominaisuuksiin kuuluu:

1. ;

2. Jos C \u003d.Const, T.
;

3.
.

Kommentti. Matematiikan koulukurssissa ilmaisua "määrittelemätön integraali" ei käytetä sen sijaan, että he sanovat "monia kaikista primordista".

Annamme pöydän epävarmoista integraalista.

Esimerkki 1. Etsi ensisijainen toiminto
kulkee pisteen läpi M.(2;4).

Päätös. Monet kaikista primitiivisistä toiminnoista
On määrittelemätön integraali
. Laskenen sen integraalin 1 ja 2 ominaisuuksilla. Meillä on:

Vastaanotettu, että kaikki primitiiviset joukot antavat toiminnot y \u003d f (x) + c, toisin sanoen y \u003d X. 3 – 2x + C.missä Peräkkäin - mielivaltainen vakio.

Tietäen, että ensisijainen kulku läpi pisteen M.(2; 4), korvaamme koordinaatit edellisessä lausekkeessa ja löydämme Peräkkäin.

4=2 3 –2 2+Peräkkäin  Peräkkäin=4–8+4; Peräkkäin=0.

Vastaus: F (x) \u003d x 3 - 2x. - Haluttu primitiivinen.

4. Uusien käsitteiden ja toimintatapojen muodostaminen.

Tehtävät: Varmista, että opiskelijan käsitys, ymmärrys ja muistaminen tutkittavasta materiaalista. Varmista oppimismenetelmä tutkitun materiaalin lisääntymiselle edistää asianmukaisten käsitteiden, lakien, sääntöjen, kaavojen filosofista ymmärrystä. Voit luoda opiskella olevan materiaalin oikeellisuuden ja tietoisuuden oppiaan tunnistamaan ensisijaisen ymmärryksen aukot, suorittavat korjauksen. Tarjota, että opiskelijat ovat korreloivat subjektiivisen kokemuksensa tieteellisen tietämyksen merkkejä.

Litteiden lukujen löytäminen

Tehtävä löytää alue tasainen luku, joka liittyy läheisesti tehtäväksi löytää alkeellisen (integraation). Nimittäin: Curvilinear Trapezium Limited Graphin aluey \u003d f (x) (f (x)\u003e 0) suorax \u003d A; x \u003d b; Y \u003d. 0, yhtä suuri kuin funktion erotusarvoty \u003d f (x) Kohdissab. jaa. :

S \u003d F (b) -f (a)

Antakaamme tietyn kiinteän aineen määritelmä.

NOIN
suhde. Anna toiminnon y \u003d f (x) Määritelty ja integroitu segmenttiin [ a, B.] Anna olla F (x) - Jotkut hänen primitiivisistä. Sitten numero F (b) -f (a) Soitti integraali OT. mutta ennen b. Toiminnot f (x) Ja merkitsee

.

Tasa-arvo
nimeltään Newton Labitsa Formula.

Tämä kaava yhdistää tehtävän löytää tasainen luku kiinteällä.

Yleensä, jos luku rajoittuu toimintojen kaavioihin y \u003d f (x); Y \u003d g (x) (f (x)\u003e g (x)) Ja suora x \u003d A.; X \u003d B.Sitten sen alue on yhtä suuri:

.

Esimerkki 2. Missä vaiheessa toiminnon aikataulu y \u003d X. 2 + Kuvio 1 on tarpeen pitää tangentti niin, että se katkaisee tämän toiminnon aikataulun mukaisesta kuvasta ja suorasta y \u003d.0, X \u003d0, X \u003d1 Trapezing suurin neliö?

Päätös. Anna olla M. 0 (X. 0 , Y. 0 ) - Toimintografiikkatoiminto y \u003d X. 2 + 1, jossa haluttu tangentti.

Etsi yhtälö tangentti y \u003d y. 0 + F. (X. 0 ) (X-x 0 ) .

Meillä on:

siksi

.

Etsi trapeziumin neliö OAUKS.

.

B. - Tangentin leikkauspiste välittömästi x \u003d.1 

Tehtävä vähennetään funktion suurimman arvon löytämiseksi.

S.(x.)\u003d -X. 2 + X +.1 segmentissä. löytö S. (x.)=– 2x +.1. Etsi kriittinen kohta tilasta S. (x.)= 0  x \u003d..

Näemme, että toiminto saavuttaa suurimman arvon x \u003d.. löytö
.

Vastaus: Tangenttinen tarve viettää pisteessä
.

Huomaa, että integraalin löytäminen löytyy usein niiden geometrisen merkityksen perusteella. Näytä meillä esimerkissä, miten tällainen tehtävä on ratkaistu.

Esimerkki 4. Käyttää integraalin geometrisen merkityksen laskemisen

mutta )
; b)
.

Päätös.

mutta)
- yhtä suuri kuin curvilinear trapetsium, rajalliset viivat.

P uudistaa

- Yläosa ympyrän keskuksen kanssa R(1; 0) ja säde R \u003d.1.

siksi
.

Vastaus:
.

b) väittää samalla tavalla, rakennamme kaavioiden rajoitetun alueen .2 – 2x +.2, tangentti siihen pisteisiin A.
, B.(4;2)

y \u003d.–9x-59, parabola y \u003d.3x. 2 + Ax +.1, jos tiedät, että tangentti parabolaan pisteessä x \u003d - -2 on akselin kanssa HÄRKÄ. Suuruuskulma arctg.6.

Löytää muttaJos tiedetään, että Curvilinear Trapezium Limitedin alue y \u003d.3x. 3 + 2x, X \u003d A, Y \u003d0, yhtä suuri kuin yksi.

Löydä Parabolan rajoittavan kuvan pienin arvo y \u003d X. 2 + 2x-3 ja suora Y \u003d KX +1.

6.Tap tietoja kotitehtävistäsi.

Tehtävät: Varmistaaksesi kotisivun tavoitteiden, sisällön ja menetelmien ymmärtäminen.18, 19,20,21 pariton

7. Oppitunnin.

Tehtävä: antaa laadullisen arvioinnin luokkatyöstä ja yksittäisistä opiskelijoista.