Neliö Trapezium Integral. Tietty kiinteä. Kuinka laskea kuvion pinta-ala

Kuva, joka rajoittaa jatkuvasti ei-negatiivinen segmentti $$ Toiminnot $ f (x) $ ja Direct $ y \u003d 0, \\ x \u003d $ ja $ x \u003d b $, kutsutaan curvilinear trapeziumiksi.

Asianmukainen alue curvilinear trapetsium Laskettu kaava:

$ S \u003d \\ int \\ LIMITS_ (A) ^ (b) (f (x) DX). $ (*)

Tehtävät Curvilinear Trapeziumin alueen löytämiseksi jaetaan ehdollisesti $ 4 $ tyypistä. Harkitse kutakin Lue lisää.

I TYYPPI: Curvilinear trapezium on selvästi asetettu. Käytä sitten välittömästi kaavaa (*).

Löydä esimerkiksi Curvilinear Trapeziumin alue, jota rajoittavat funktiota $ y \u003d 4- (x-2) ^ (2) ja suora $ y \u003d 0, \\ x \u003d 1 $ ja $ x \u003d $ 3.

Piirrä tämä kaareva trapetsium.

Kaavan (*) avulla löydämme tämän kaarevan trapeziumin alueen.

$ S \u003d \\ int \\ LIMITS_ (1) ^ (3) (vasemmalla (4- (x-2) ^ (2) oikealla) DX) \u003d \\ int \\ Limits_ (1) ^ (3) (4DX) - \\ int \\ Limits_ (1) ^ (3) ((x-2) ^ (2) dx) \u003d 4x | _ (1) ^ (3) - Vasen. \\ Frac ((X-2) ^ (3) ) (3) oikealla | _ (1) ^ (3) \u003d $

$ \u003d 4 (3-1) - \\ frac (1) (3) Vasen ((3-2) ^ (3) - (1-2) ^ (3) oikealla) \u003d 4 \\ CDOT 2 - FRAC (1) (3) Vasen ((1) ^ (3) - (- 1) ^ (3) oikealla) \u003d 8 - frac (1) (3) (1 + 1) \u003d $

$ \u003d 8- frac (2) (3) \u003d 7 frac (1) (3) $ (yksikkö $ ^ (2) $).

II Tyyppi: Curvilinear trapezoidi määritellään implisiittisesti. Tämä tapaus ei yleensä määritä tai määritetään osittain suoraan $ x \u003d a, \\ x \u003d b $. Tällöin sinun on löydettävä toimintojen risteyspisteet $ y \u003d f (x) $ ja $ y \u003d 0 $. Nämä kohdat ovat pistettä $ ja $ b $.

Löydä esimerkiksi faught-ohjelmien rajoittavan kuvan alue $ y \u003d 1-x ^ (2) $ ja $ y \u003d 0 $.

Etsi risteyspisteitä. Voit tehdä tämän oikeat toiminnot.

Siten $ a \u003d -1 $ ja $ b \u003d 1 $. Piirrä tämä kaareva trapetsium.

Etsi tämän kaarevan trapezionin alue.

$ S \u003d \\ int \\ radits _ (- 1) ^ (1) (vasemmalle (1-x ^ (2) oikea) dx) \u003d \\ int \\ radits _ (- 1) ^ (1) (1DX) - \\ int \\ radits _ (- 1) ^ (1) (x ^ (2) dx) \u003d x | _ (- 1) ^ (1) - Vasen. \\ frac (x ^ (3)) (3) \\ t Oikea | _ (-1) ^ (1) \u003d $

$ \u003d (1 - 1)) - \\ flac (1) (3) \\ Vasen (1 ^ (3) - (- 1) ^ (3) oikealla) \u003d 2 - frac (1) (3) Vasen (1 + 1 korkki) \u003d 2 - frac (2) (3) \u003d 1 frac (1) (3) $ (yksiköt $ ^ (2) $).

III Tyyppi: Kuvioalue, rajoitettu kahden jatkuvan ei-negatiivisen toiminnon risteyksessä. Tämä luku ei ole kaareva trapeöljy, ja siksi kaavan (*) avulla sen alue ei laske. Kuinka olla?On osoittautunut, että tämän kuvion alue voidaan löytää eron yläpuolisen toiminnon rajoittavien kaarevien trapeattien alueilla ja $ y \u003d 0 $ ($ s_ (UF) $) ja alempi toiminto ja $ y \u003d 0 $ ($ s_ (lf) $), missä roolissa $ x \u003d a, \\ x \u003d b $, koordinaatti on koordinaatit $ x $ näiden toimintojen risteyksestä, ts.

$ S \u003d s_ (UF) -S_ (LF) $. (**)

Tärkein asia, kun lasketaan tällaisia \u200b\u200balueita, ei ole "Miss", kun valinta on ylempi ja alempi toiminto.

Löydä esimerkiksi foment rajoitettu alue $ y \u003d x ^ (2) $ ja $ y \u003d x + $ 6.

Etsi näiden kaavioiden risteyskohdat:

Vieta teoremissa,

$ x_ (1) \u003d - 2, \\ x_ (2) \u003d 3. $

Eli $ a \u003d -2, \\ b \u003d $ 3. Näytän kuvan:

Siten ylempi toiminta on $ y \u003d x + $ 6, ja alempi on $ y \u003d x ^ (2) $. Seuraavaksi löydämme $ s_ (UF) $ ja $ s_ (lf) $ Formula (*).

$ S_ (UF) \u003d \\ int \\ radits _ (- 2) ^ (3) ((x + 6) dx) \u003d \\ int \\ radits _ (- 2) ^ (3) (XDX) + \\ int \\ radits _ (- 2) ^ (3) (6DX) \u003d vasemmalle. \\ Frac (x ^ (2)) (2) oikealla | _ (- 2) ^ (3) + 6x | _ (- 2) ^ ) \u003d 32, $ 5 (yksikkö $ ^ (2) $).

$ S_ (lf) \u003d \\ int \\ radits _ (- 2) ^ (3) (x ^ (2) dx) \u003d vasemmalla. \\ Frac (x ^ (3)) (3) oikealla | _ (- 2 ) ^ (3) \u003d \\ frac (35) (3) $ (yksikkö $ ^ (2) $).

Korjaamme löytyy (**) ja saamme:

$ S \u003d 32.5- \\ frac (35) (3) \u003d \\ frac (125) (6) $ (yksikkö $ ^ (2) $).

IV Tyyppi: Kuvaalue, rajoitettu toiminto (t), ei tyydyttävä (t) ei-negatiivisuuden edellytys. Jotta löydettäisiin tällaisen kuvan, tarvitset symmetrisesti suhteessa $ Ox $ Axis ( toisin sanoen, Laita "miinus" ennen toimintoja) näyttämään alueen ja käyttämällä tyypissä I-III esitettyjä menetelmiä, etsi näytetyn alueen alue. Tämä alue on haluttu alue. Aikaisemmin saatat joutua löytämään funktioiden kaavioiden leikkauspisteen.

Löydä esimerkiksi faught rajoittavan kuvan alueella $ y \u003d x ^ (2) -1 $ ja $ y \u003d 0 $.

Etsi toimintojen kaavioiden leikkauspiste:

nuo. $ A \u003d -1 $ ja $ b \u003d 1 $. Luukku alue.

Symmetrisesti näyttää alue:

$ y \u003d 0 \\ \\ rikkareita \\ y \u003d -0 \u003d 0 $

$ y \u003d x ^ (2) -1 \\ \\ reunaajan \\ y \u003d - (x ^ (2) -1) \u003d 1 - x ^ (2) $.

Se osoittautuu Curvilinear Trapezion, jota rajoittavat funktion $ y \u003d 1-x ^ (2) $ ja $ y \u003d 0 $. Tämä on tehtävä löytää toisen tyypin kaareva trapetsium. Olemme jo ratkaisseet sen. Vastaus oli sellainen: $ s \u003d 1 frac (1) (3) $ (yksikkö $ ^ (2) $). Se tarkoittaa, että halutun kaarevan trapetsiumin alue on yhtä suuri kuin:

$ S \u003d 1 frac (1) (3) $ (yksikkö $ ^ (2) $).

Tietty kiinteä. Kuinka laskea kuvion pinta-ala

Mene olennaisista sovelluksista. Tässä oppitunnissa analysoimme tyypillisen ja yleisen tehtävän. - Kuinka laskea tason muotoinen tietty integraali. Viimeinkin nähdä merkityksen Korkeimmassa matematiikassa - anna hänen löytää sen. Vähän. Meidän täytyy tuoda lähemmäksi elämää maa mökki alue Elementary-toiminnot ja löytää alueensa tietyn integraalin avulla.

Onnistuneen materiaalin kehittämisen kannalta on tarpeen:

1) ymmärtää epävarma integraali ainakin keskimääräisellä tasolla. Siten teekannosten pitäisi olla perehtynyt oppitunnille Ei.

2) käytettäväksi Newtonin kaava-leibyn soveltamiseen ja lasketaan tietty kiinteä. Luodaan lämmin ystävälliset suhteet Tiettyjen integraalien avulla voit sivulla Tietty kiinteä. Esimerkkejä ratkaisuista.

Itse asiassa, jotta löydettäisiin luku, ei ole tällaista tietämystä epävarmasta ja määritellystä kiinteästä. Tehtävä "Laske alue tietyn kiinteän aineen avulla" tarkoittaa aina piirustuksen rakentamista, niin paljon enemmän todellinen kysymys Tietämyksesi ja taitosi rakentaa piirustuksia. Tältä osin on hyödyllistä päivittää tärkeimpien elementtisten toimintojen muistoksi ja ainakin pystyä rakentamaan suora, parabola ja hyperbola. Se voidaan tehdä (monet - tarvitaan) mestaumainen materiaali ja artikkelit geometrisista muutoksista kaavioista.

Itse asiassa tehtävänä löytää alue, jolla on tietty kiinteä, jokainen tuntee koulusta, ja me syömme vähän eteenpäin kouluohjelma. Tämä artikkeli ei voinut edes olla, mutta tosiasia on, että tehtävä löytyy 99 tapauksesta 100: sta, kun opiskelija kärsii vihamielisestä tornista, jossa on innostusta, joka lähtee korkeammasta matematiikan kurssista.

Tämän työpajan materiaalit esitetään yksinkertaisesti yksityiskohtaisesti ja vähintään teorian kanssa.

Aloitetaan curvilinear trapezium.

Curvilinear trapetsium Litteä luku kutsutaan rajoitetuksi akseliksi, suoraksi ja jatkuvaksi aikatauluksi toiminnon segmentissä, joka ei muuta merkkiä tällä aikavälillä. Olkoon tämä luku sijoittaa ei vähempää Abskissa-akseli:

Sitten curvilinear Trapeziumin alue on numeerisesti yhtä suuri kuin tietty integraali. Mikä tahansa erityinen integraali (joilla on olemassa) on erittäin hyvä geometrinen merkitys. Oppitunnin Tietty kiinteä. Esimerkkejä ratkaisuista Sanoin, että tietty kiinteä on numero. Ja nyt on aika ilmoittaa vielä yksi hyödyllinen tosiasia. Geometrian näkökulmasta tietty kiinteä on alue.

Toisin sanoen erityinen integraali (jos se on olemassa) geometrisesti vastaa jonkinlaisen alueen. Harkitse esimerkiksi tiettyä integraalia. Integraandin toiminto asettaa akselin yläpuolella olevan tason käyrän (joka haluaa tehdä piirustuksen) ja itse määritetty integraali on numeerisesti yhtä suuri kuin neliö Vastaava curvilinear trapetsium.

Esimerkki 1.

Tämä on tyypillinen tehtäväformulaatio. Ensin minä. tärkein hetki Ratkaisut - Rakennuspiirustus. Ja piirustus on rakennettava Oikea.

Kun rakennat piirustusta, suosittelen seuraavassa järjestyksessä: ensimmäinen On parempi rakentaa kaikki suorat (jos ne ovat) ja vain myöhemmin - Parabolat, hyperbolat, muiden toimintojen aikataulut. Toimintokuviot ovat kannattavampia rakentaa potochoe, kun tekniikka sisäänkirjautumistekniikka löytyy viitemateriaali Perustoimintojen kaaviot ja ominaisuudet. Siellä voit myös löytää erittäin hyödyllisen materiaalin suhteessa oppitunnimme materiaaliin - miten nopeasti rakentaa parabola.

Tässä tehtävässä päätös voi näyttää tältä.
Suorita piirustus (huomaa, että yhtälö asettaa akselin):

En aivohalvaus Curvilinear Trapeze, täällä on selvää mistä alueesta tämä on puhe. Päätös jatkuu näin:

Segmentin aikataulussa Toiminto sijaitsee yli akselin, niin:

Vastaus:

Kenellä on vaikeuksia laskettaessa tiettyä kiinteää ja Newton-Leibnian kaavan käyttöä , katso luento Tietty kiinteä. Esimerkkejä ratkaisuista.

Kun tehtävä on valmis, on aina hyödyllistä katsoa piirustusta ja arvioita, todellinen osoittautunut. Tässä tapauksessa "silmissä" lasketaan solujen lukumäärä piirustuksessa - No, noin 9 lentää, se näyttää totuudelta. On aivan selvää, että jos meillä olisi, sanoa, vastaus: 20 neliön yksikköä, on selvää, että jonnekin - 20 solujen lukuja ei selvästikään ole asennettu tusinan vahvuudesta. Jos vastaus osoittautui negatiiviseksi, tehtävänä on myös virheellisesti.

Esimerkki 2.

Laske muoto, rajoitettu linjat ja akseli

Tämä on esimerkki itsepäätös. Täydellinen ratkaisu Ja vastaus oppitunnin lopussa.

Mitä tehdä, jos Curvilinear Trapezium sijaitsee akselin alla?

Esimerkki 3.

Laske muoto, rajoitettu viivat ja koordinaatti-akselit.

Päätös: Suorita piirustus:

Jos Curvilinear Trapezium sijaitsee Akselin alla (tai ainakin ei suurempi Tämä akseli), sitten sen alue löytyy kaava:
Tässä tapauksessa:

Huomio! Älä sekoita kahdenlaisia \u200b\u200btehtäviä:

1) Jos sinua pyydetään ratkaisemaan yksinkertainen integraali ilman geometrista merkitystä, niin se voi olla negatiivinen.

2) Jos sinua pyydetään löytämään kuvan hahmolla tietyn integraalin avulla, alue on aina positiivinen! Siksi vain katsottu kaava näkyy miinus.

Käytännössä luku sijaitsee useimmiten ylä- ja alareunassa, ja siksi yksinkertaisimmista koulutaulukkoista mennä mielekkäisiin esimerkkeihin.

Esimerkki 4.

Etsi tasainen luku, rajalliset viivat ,.

Päätös: Ensin sinun täytyy piirtää piirustus. Yleisesti ottaen, kun rakennat piirustuksen tehtäviin alueelle, olemme eniten kiinnostuneita linjojen risteyksistä. Etsi Parabolan leikkauspistettä ja suoraa. Tämä voidaan tehdä kahdella tavalla. Ensimmäinen menetelmä on analyyttinen. Ratkaisemme yhtälön:

Joten alhaisempi integraatioraja, integraation yläraja.
Tämä tapa on parempi, jos mahdollista, älä käytä.

On paljon kannattavampaa ja nopeampaa rakentaa linjan linjat, kun taas integraatiorajoitukset selkeytetään ikään kuin "itse". Erilaisten kaavioiden lopettamisen tekniikkaa tarkastellaan yksityiskohtaisesti apuun Perustoimintojen kaaviot ja ominaisuudet . Kuitenkin analyyttinen tapa löytää rajoitukset loppujen lopuksi, on joskus tarpeen soveltaa, jos esimerkiksi aikataulu on riittävän suuri tai koulutettu rakenne ei paljastanut integraatiorajoituksia (ne voivat olla murto- tai irrationaalisia). Ja niin esimerkki, harkitsemme myös.

Paluu meidän tehtävämme: Lisää järkevää ensin rakentaa suoraviiva ja vain sitten parabola. Suorita piirustus:

Toistan, että nykyisessä rakenteessa integraatiorajat havaitsevat useimmiten "automaattiset".

Ja nyt työkassa: Jos segmentillä on jatkuva toiminta enemmän tai yhtä suuri Jotkut jatkuvat toiminnot, luku, rajoitettu näiden toimintojen kaaviot ja suorat, voidaan löytää kaava:

Täällä ei ole enää välttämätöntä ajatella, missä kuvio sijaitsee - akselin tai akselin alla ja suunnilleen, tärkeää, mikä on kaavio edellä(suhteessa toiseen aikatauluun) ja mitä - alla.

Tässä esimerkissä on selvää, että Parabolan segmentissä on suoran yläpuolella, ja siksi on tarpeen vähentää

Ratkaisun loppuun saattaminen voi näyttää tältä:

Haluttu luku rajoittuu parabolaan yläpuolelta ja suoraa pohjaa.
Segmentillä vastaavan kaavan mukaan:

Vastaus:

Itse asiassa koulun kaava alueelle kaareva trapezium alemmassa puolitasolla (ks. Yksinkertainen esimerkki nro 3) - yksityiskohtainen tapaus Kaavat . Koska akseli määritellään yhtälöllä ja toiminnon kaavio sijaitsee ei suurempi Axis, T.

Ja nyt pari esimerkkiä itsenäisestä päätöksestä

Esimerkki 5.

Esimerkki 6.

Etsi luku rajoitetun rivin alue ,.

Tehtävien ratkaisemisessa alan laskemiseksi tietyn kiinteän aineen vuoksi hauska tapaus tapahtuu joskus. Piirustus on valmis oikein, laskelmat - oikea, mutta tehostettu ... löytyi alue ei ole kuvaNäin nöyrä palvelija oli pakattu. Tässä on todellinen tapaus elämästä:

Esimerkki 7.

Laske muoto, rajoitettu rivi ,,,,.

Päätös: Ensin piirustus:

... Oh, piirustus Khrenovynsky tuli ulos, mutta kaikki näyttää piristyvän.

Kuva, jonka alueemme meidän on löydettävä, on varjostettu sininen (Katso huolellisesti tilan, kuin kuvio on rajallinen!). Mutta käytännössä "häiriö" syntyy usein tietoisuuteen, jota sinun on löydettävä luvun alue, joka on varjostettu vihreä!

Tämä esimerkki on edelleen hyödyllinen ja se, että siinä on siinä, että kuvion alue katsotaan käyttäen kahta erityistä integraalia. Todella:

1) Suora aikataulu sijaitsee segmentillä akselin yli;

2) Segmentillä akselin yli on kaavio hyperboleista.

On selvää, että neliö voi hajottaa, niin:

Vastaus:

Siirry toiseen aineelliseen tehtävään.

Esimerkki 8.

Laske muodon alue, rajalliset viivat,
Kuvittele yhtälö "koulu" -lomakkeessa ja suorita nykyinen piirustus:

Piirustuksesta on selvää, että yläraja meillä on "hyvä" :.
Mutta mikä on alaraja?! On selvää, että tämä ei ole kokonaisluku, vaan mitä? Voi olla ? Mutta missä takaa, että piirustus tehdään täydellisellä tarkkuudella, se voi olla se. Tai root. Ja jos olemme yleensä sopimattomasti rakennettu aikataulu?

Tällaisissa tapauksissa sinun on käytettävä ylimääräistä aikaa ja määritellä analyyttisesti integraatiorajat.

Etsi suoran ja parabolin risteyskohdat.
Voit tehdä tämän ratkaista yhtälö:

,

Todellakin.

Lisäliuos on vähäpätöinen, tärkein asia ei ole hämmentynyt korvaamaan ja merkkejä, laskelmat eivät ole yksinkertaisin.

Leikattu Vastaavan kaavan mukaan:

Vastaus:

No, ja oppitunnin päätteeksi harkitsee kaksi tehtävää vaikeampaa.

Esimerkki 9.

Laske muoto, rajoitettu linjat,

Päätös: Näytä tämä muoto piirustuksessa.

Damn, unohdin allekirjoittaa aikataulun, mutta tehdä uudelleen kuva, anteeksi, ei hotz. Ei perinnöllinen, lyhyempi, päivä tänään \u003d)

Sisäänkirjautumisen yhteydessä sinun tarvitsee tietää ulkomuoto Sinusoidit (ja on yleensä hyödyllistä tietää kaikista perustoiminnot) sekä joitakin sinusarvoja, ne löytyvät trigonometrinen pöytä. Joissakin tapauksissa (kuten tässä), on voitava rakentaa kaavamainen piirros, johon kaaviot ja integraatiorajat on otettava huomioon periaatteessa.

Integraation rajoissa ei ole ongelmia, ne tulevat suoraan tilasta: - "X" vaihtelee nollasta "Pi". Luomme lisäyksen:

Segmentillä toiminto kaavio sijaitsee akselin yläpuolella, joten:

Curvilinear Trapeziumin alue on numeerisesti yhtä suuri kuin tietty integraali

Mikä tahansa erityinen integraali (joilla on olemassa) on erittäin hyvä geometrinen merkitys. Oppitunnin, sanoin, että tietty kiinteä on numero. Ja nyt on aika ilmoittaa toinen hyödyllinen tosiasia. Geometrian näkökulmasta tietty kiinteä on alue.

Toisin sanoen erityinen integraali (jos se on olemassa) geometrisesti vastaa jonkinlaisen alueen. Harkitse esimerkiksi tiettyä integraalia. Integraand-toiminto asettaa jonkin verran käyrää tasossa (se voidaan aina vetää haluttaessa) ja tietty integraali itsessään on numeerisesti yhtä suuri kuin vastaavan kaaren trapetsiumin alue.

Esimerkki 1.

Tämä on tyypillinen tehtäväformulaatio. Päätöksen ensimmäinen ja tärkein kohta - piirustuksen rakentaminen. Ja piirustus on rakennettava Oikea.

Kun rakennat piirustusta, suosittelen seuraavaa tilausta: ensimmäinen On parempi rakentaa kaikki suorat (jos ne ovat) ja vain myöhemmin - Parabolat, hyperbolat, muiden toimintojen aikataulut. Toimintokuviot ovat kannattavampia rakentaa potochoeSisäänkirjautumistekniikan tekniikka löytyy vertailumateriaalista.

Siellä voit myös löytää erittäin hyödyllisen materiaalin suhteessa oppitunnimme materiaaliin - miten nopeasti rakentaa parabola.

Tässä tehtävässä päätös voi näyttää tältä.
Suorita piirustus (huomaa, että yhtälö asettaa akselin):

En aivohalvaus Curvilinear Trapeze, on selvää, mistä alueesta on puhe. Päätös jatkuu näin:

Segmentin aikataulussa Toiminto sijaitsee yli akselin, niin:

Vastaus:

Kenellä on vaikeuksia laskettaessa tiettyä kiinteää ja Newton-Leibnian kaavan käyttöä , katso luento Tietty kiinteä. Esimerkkejä ratkaisuista.

Esimerkki 2.

Laske muoto, rajoitettu linjat ja akseli

Tämä on esimerkki itsenäisestä ratkaisusta. Täydellinen ratkaisu ja vastaus oppitunnin lopussa.

Mitä tehdä, jos Curvilinear Trapezium sijaitsee akselin alla?

Esimerkki 3.

Laske muoto, rajoitettu viivat ja koordinaatti-akselit.

Ratkaisu: Suorita piirustus:

Jos curvilinear trapezium täysin sijoitettu akselin alla, sitten sen alue löytyy kaava:
Tässä tapauksessa:

Huomio! Älä sekoita kahta tehtävätyyppiä:

1) Jos sinua pyydetään ratkaisemaan yksinkertainen integraali ilman geometrista merkitystä, niin se voi olla negatiivinen.

2) Jos sinua pyydetään löytämään kuvan hahmolla tietyn integraalin avulla, alue on aina positiivinen! Siksi vain katsottu kaava näkyy miinus.

Käytännössä luku sijaitsee useimmiten ylä- ja alareunassa, ja siksi yksinkertaisimmista koulutaulukkoista mennä mielekkäisiin esimerkkeihin.

Esimerkki 4.

Etsi tasainen luku, rajalliset viivat ,.

Ratkaisu: Ensin sinun täytyy piirtää piirustus. Yleisesti ottaen, kun rakennat piirustuksen tehtäviin alueelle, olemme eniten kiinnostuneita linjojen risteyksistä. Etsi Parabolan leikkauspistettä ja suoraa. Tämä voidaan tehdä kahdella tavalla. Ensimmäinen menetelmä on analyyttinen. Ratkaisemme yhtälön:

Joten alhaisempi integraatioraja, integraation yläraja.
Tämä tapa on parempi, jos mahdollista, älä käytä.

On paljon kannattavampaa ja nopeampaa rakentaa linjan linjat, kun taas integraatiorajoitukset selkeytetään ikään kuin "itse". Erilaisten kaavioiden lopettamisen tekniikkaa tarkastellaan yksityiskohtaisesti apuun Perustoimintojen kaaviot ja ominaisuudet. Kuitenkin analyyttinen tapa löytää rajoitukset loppujen lopuksi, on joskus tarpeen soveltaa, jos esimerkiksi aikataulu on riittävän suuri tai koulutettu rakenne ei paljastanut integraatiorajoituksia (ne voivat olla murto- tai irrationaalisia). Ja niin esimerkki, harkitsemme myös.

Ja nyt työsuoma: Jos segmentillä on jatkuva toiminta enemmän tai yhtä suuri Jotkut jatkuvat toiminnot, vastaavan kuvan pinta-ala on kaava:

Tässä esimerkissä on selvää, että Parabolan segmentissä on suoran yläpuolella, ja siksi on tarpeen vähentää

Ratkaisun loppuun saattaminen voi näyttää tältä:

Haluttu luku rajoittuu parabolaan yläpuolelta ja suoraa pohjaa.
Segmentillä vastaavan kaavan mukaan:

Vastaus:

Itse asiassa koulun kaava kaarevan trapetsiarin alueen alemmassa puolitasossa (ks. Yksinkertainen esimerkki nro 3) - erityinen kaavan . Koska akseli määritellään yhtälöllä ja toimintokuvake sijaitsee akselin alapuolella,

Ja nyt pari esimerkkiä itsenäisestä päätöksestä

Esimerkki 5.

Esimerkki 6.

Etsi luku rajoitetun rivin alue ,.

Esimerkki 7.

Laske muoto, rajoitettu rivi ,,,,.

Suorita ensin piirustus:

Kuva, jonka alueemme meidän on löydettävä, on varjostettu sininen(Katso huolellisesti tilan, kuin kuvio on rajallinen!). Mutta käytännössä huomaamatta on usein, että on tarpeen löytää luku, joka on varjostettu vihreällä!

Tämä esimerkki on myös hyödyllinen siinä, että sitä pidetään siinä, että se on kaksi erityistä integraalia. Todella:

1) Suora aikataulu sijaitsee segmentillä akselin yli;

2) Segmentillä akselin yli on kaavio hyperboleista.

On selvää, että neliö voi hajottaa, niin:

Vastaus:

Esimerkki 8.

Tällaisissa tapauksissa sinun on käytettävä ylimääräistä aikaa ja määritellä analyyttisesti integraatiorajat.

Etsi suoran ja parabolin risteyskohdat.
Voit tehdä tämän ratkaista yhtälö:

Siksi ,.

Lisäliuos on vähäpätöinen, tärkein asia ei ole hämmentynyt korvaamaan ja merkkejä, laskelmat eivät ole yksinkertaisin.

Leikattu Vastaavan kaavan mukaan:

Vastaus:

No, ja oppitunnin päätteeksi harkitsee kaksi tehtävää vaikeampaa.

Esimerkki 9.

Laske muoto, rajoitettu linjat,

Ratkaisu: Näytä tämä muoto piirustuksessa.

Piirustuksen nykyiselle rakenteelle on välttämätöntä tietää sinosoidien ulkonäkö (ja on yleensä hyödyllistä tietää kaikista perustoiminnot) sekä joitakin sinusarvoja, ne löytyvät trigonometrinen pöytä . Joissakin tapauksissa (kuten tässä), on voitava rakentaa kaavamainen piirros, johon kaaviot ja integraatiorajat on otettava huomioon periaatteessa.

Integraation rajoissa ei ole ongelmia, ne tulevat suoraan tilasta: - "X" vaihtelee nollasta "Pi". Luomme lisäyksen:

Segmentillä toiminto kaavio sijaitsee akselin yläpuolella, joten:

(1) Miten integroida sinusit ja kosutineita parittomat asteet voidaan katsella oppitunnissa Integrals OT. trigonometriset toiminnot . Tämä on tyypillinen vastaanotto, painamalla yhtä sinus.

(2) Käytämme tärkeintä trigonometristä identiteettiä muodossa

(3) Korvataan muuttujan, sitten:

Uusi muutosintegraatio:

Kenellä on erittäin huonoja asioita, joissa on korvauksia, mene oppitunnille Vaihtomenetelmä määräämättömässä integraalissa. Joka ei ole kovin selvää korvaavalle algoritmille tietyssä kiinteässä, käy sivulla Tietty kiinteä. Esimerkkejä ratkaisuista.

Takaisin eteenpäin

Huomio! Esikatsele diat käytetään yksinomaan informaatiotarkoituksiin, eivätkä ne saa tarjota ideoita kaikista esittelyominaisuuksista. Jos olet kiinnostunut tämä työLataa koko versio.

Avainsanat:integraali, Curvilinear Trapezium, neliöluvut Liljat rajoittavat

Laitteet: Markerboard, tietokone, multimediaprojektori

Oppitunnin tyyppi: Luenton oppitunti

Tavoitteet:

koulutuksellinen:muodostavat henkisen työvoiman kulttuurin, luovat menestystilanteen jokaiselle opiskelijalle, muodostamaan myönteisen motivaation opetukseen; Kehitä kyky puhua ja kuunnella muita.
kehitys: Ajattelevien opiskelijoiden riippumattomuuden muodostaminen tietoon eri tilanteet, kyky analysoida ja tehdä johtopäätöksiä, logiikan kehittäminen, kyky asettaa asianmukaisesti kysymyksiä ja löytää vastauksia niihin. Laskennallisten, selvitystaidon muodostumisen parantaminen, opiskelijoiden ajattelua ehdotettujen tehtävien aikana, algoritmisen kulttuurin kehittämisessä.
koulutuksellinen: Muodostaa Curvilinear Trapeziumin käsitteet, integraali, hallita taidot laskettaessa tasaisia \u200b\u200blukuja

Koulutusmenetelmä:selittävä muotoilu.

Luokkien aikana

Edellisissä luokissa opimme laskemaan lukuja lukuja, joiden rajat ovat rikki. Matematiikassa on menetelmiä, jotka mahdollistavat käyrien rajoittamien lukujen laskemisen. Tällaisia \u200b\u200blukuja kutsutaan curvilinear trapezeiksi ja laskevat alueensa primitiivisen avulla.

Curvilinear trapezium ( slide 1.)

Curvilinear-trapezoidia kutsutaan kuvioksi rajoitetuksi funktion kaaviolla ( sch.m.), suora x \u003d A. ja x \u003d B.ja abscissa-akseli

Erilaisia \u200b\u200bCurvilinear Trapeats ( slide 2)

Meitä pidetään erilaisia Curvilinear TrapeZiums ja HUOMAUTUS: Yksi välittömästä degeneroivasta kohdasta, mikä rooli rajoittaa toiminnon

Curvilinear Trapeziumin neliö (liuku 3)

Korjaa aukon vasen pää mutta,ja oikea H.muutimme, eli siirrämme curvilinear trapetsiumin oikean seinän ja saamme muuttuvan kuvan. Muuttuvan kaareva trapetsiarin alue, joka rajoittaa toimintokaavio, on primitiivinen F. Toiminnasta f.

Ja segmentillä [ a; B.] Toiminnon muodostama Curvilinear trapetsiumin alue f,yhtä suuri kuin primitiivisen tehtävän lisäys:

Harjoitus 1:

Etsi curvilinear trapezoidin alue, jota rajoittavat toiminnon kaavio: f (x) \u003d x 2 Ja suora y \u003d 0, X \u003d 1, X \u003d 2.

Päätös: algoritm Slide 3: n mukaan)

Piirrä toiminto aikataulu ja suora

Löytää yksi voimassa olevat toiminnot f (x) \u003d x 2 :

Itsetesti diassa

Integraali

Harkitse curvilinear trapezion, jonka toiminto on määritetty f. Segmentillä [ a; B.]. Keskustele tästä segmentistä useisiin osiin. Koko Trapeziumin alue hajoaa pienempien kaarevien trapetsien neliöiden määrän. ( slide 5). Jokaista tällaista trapeziumia voidaan suunnitella suorakulmiona. Näiden suorakulmioiden alueen määrä antaa likimääräisen ajatuksen kaarevan trapetsiumin koko alueesta. Mitä pienempi rikkomme segmentin [ a; B.], sitä tarkemmin laskea alue.

Kirjoitamme nämä argumentit kaavan kaavoihin.

Jaamme segmentin [ a; B.] N osat kohdat x 0 \u003d A, X1, ..., XN \u003d B. Pituus k-mENNÄ merkitä xk \u003d xk - xk-1. Tehdään

Geometrisesti tämä määrä on muoto, joka on varjostettu kuvassa ( sch.m..)

Lajin summa kutsutaan integroituksi summat funktiolle. f.. (Sch.m.)

Integraaliset summat antavat alueen likimääräisen arvon. Tarkka arvo saadaan raja-siirtymisellä. Kuvittele, että murskata segmentin jakamista [ a; B.] Joten kaikkien pienten segmenttien pituudet nollaan. Sitten koostuvan kuvion alue lähestyy kaarevan trapeziumin aluetta. Voidaan sanoa, että curvilinear trapetsiumin alue on yhtä suuri kuin kiinteytys summien, Sk.t. (Sch.m.)tai integraali, toisin sanoen,

Määritelmä:

Integraalitoiminto f (x) peräkkäin a. ennen b. Soitti integroidun määrän raja

= (Sch.m.)

Formula Newton Labitsa.

Muista, että integroidun määrän raja on yhtä suuri kuin Curvilinear Trapezionin alue, se tarkoittaa, että voit kirjoittaa:

Sk.t. \u003d. (Sch.m.)

Toisaalta CryVilinear Trapezium-alue lasketaan kaavalla

S k. T. (Sch.m.)

Vertaa näitä kaavoja, saamme:

= (Sch.m.)

Tätä tasa-arvoa kutsutaan Newton Labits Formula.

Laskelmien mukavuuden vuoksi kaava on lomakkeessa:

= = (Sch.m.)

Tehtävät: (Shch.m.)

1. Laske integraali Newton Labits Formula: ( slide 5: n tarkistaminen)

2. Luo integraalit piirustuksen mukaan ( tarkistamme dia 6)

3. Etsi kuvion rajoitettujen rivien alue: y \u003d x 3, y \u003d 0, x \u003d 1, x \u003d 2. ( Slide 7.)

Löydät litteiden kuvien neliöt ( slide 8.)

Kuinka löytää luvut, jotka eivät ole curvilinear trapezeja?

Anna kaksi toimintoa anneta, kaaviot, joista näet dia . (Sch.m.) On tarpeen löytää maalatun kuvan alue . (Sch.m.). Kuva, joka puhuu on kaareva trapetsi? Ja miten löydän alueensa alueen lisäominaisuuteen? Harkitse kahta kaarevaa Trapeatsia ja yksi niistä neliöstä vähentämään toisen alueen ( sch.m.)

Teemme algoritmia löytääkseen dialle animaatioalueen:

Rakentaa funktioita
Kyyhkyset abscissan akselilla olevien kaavioiden leikkauspisteessä
Terävä kuva, joka on saatu kaavioiden ylittäessä
Etsi curvilinear Trapeats, risteys tai yhdistelmä, joka on tietty kuva.
Laske kunkin alue
Etsi eroa tai tilaa

Suullinen tehtävä: Miten saada alueen varjostettu kuva (kerro animaation avulla, slide 8 ja 9)

Kotitehtävät:Työ tiivistelmä, №353 (a), nro 364 (a).

Bibliografia

Algebra ja analyysin alku: oppikirja 9-11-luokan ilta (vaihdettava) koulu / ed. Gd Glaser. - M: koulutus, 1983.
Bashmakov M.I. Algebra ja aloitusanalyysi: opetusohjelma 10-11 kl.sed.shk. / Bashmakov M.I. - M: koulutus, 1991.
Bashmakov M.I. Matematiikka: Tutorial laitoksille alusta. ja media. Prof. Koulutus / M.I. Kengät. - M: Akatemia, 2010.
Kolmogorov A.N. Algebra ja aloitusanalyysi: Tutorial 10-11 solua varten. Koulutuslaitokset / A.N. Kolmogorov. - M: valaistuminen, 2010.
Ostrovsky S.L. Kuinka esittää esityksen oppitunnille? / C.l. Ostrovsky. - M.: Ensimmäinen syyskuuta 2010.