Selitys yksinkertaisimpien trigonometristen yhtälöiden ratkaisusta. Menetelmät Trigonometristen yhtälöiden ratkaisemiseksi

Kun ratkaistaan \u200b\u200bmonia matemaattiset tehtävät Erityisesti enintään 10 luokan, suoritettujen toimien menettely, joka johtaa tavoitteeseen, on ehdottomasti määritelty. Näihin tehtäviin kuuluu esimerkiksi lineaarinen ja quadratic yhtälöt, lineaarinen ja neliön epätasa-arvo, murtoyhtälöt ja yhtälöt, jotka vähennetään neliöön. Kunkin mainittujen tehtävien onnistuneen ratkaisun periaate on seuraava: On tarpeen määrittää, miten tyyppi on ratkaistu tehtävä, muistuttaa tarvittavaa toimintaa, joka johtaa haluttuun tulokseen, ts. Vastaus ja suorita nämä toimet.

On selvää, että menestys tai epäonnistuminen yhden tai muun tehtävän ratkaisemisessa riippuu pääasiassa siitä, kuinka oikein yhtälön tyyppi määritellään, kuinka oikein sen liuoksen kaikkien vaiheiden sekvenssi toistetaan. Tietenkin on tarpeen omistaa Täytäntöönpanon taito identtiset muutokset ja laskelmat.

Muu tilanne saadaan trigonometriset yhtälöt. Perustetaan se, että yhtälö on trigonometrinen, ei ole vaikeaa. Vaikeudet näkyvät määritettäessä toimien järjestystä, jotka johtaisivat oikeaan vastaukseen.

Mennessä ulkomuoto Yhtälöt joskus on vaikea määrittää sen tyyppiä. Ja ei tiedä yhtälön tyyppiä, on lähes mahdotonta valita useista tusinaa trigonometrisista kaavoista.

Trigonometrisen yhtälön ratkaisemiseksi sinun täytyy kokeilla:

1. Luo kaikki yhtälöön sisältyvät toiminnot "samat kulmat";
2. Luo yhtälö "identtisille toiminnoille";
3. Aseta tehtaan yhtälön vasen osa jne.

Harkita perusmenetelmät Trigonometristen yhtälöiden ratkaisemiseksi.

I. Yksinkertaisimpien trigonometristen yhtälöiden tuominen

Kaavamainen ratkaisu

Vaihe 1. Ilmaista trigonometrinen toiminto Tunnettujen komponenttien kautta.

Vaihe 2. Etsi argumentti toiminto kaavoittain:

cos x \u003d a; x \u003d ± arccos a + 2πn, n єz.

sIN X \u003d A; X \u003d (-1) n arcsin A + πn, n є z.

tG X \u003d A; x \u003d arctg a + πn, n є z.

cTG X \u003d A; x \u003d arcctg a + πn, n є z.

Vaihe 3. Etsi tuntematon muuttuja.

Esimerkki.

2 cos (3x - π / 4) \u003d -√2.

Päätös.

1) Cos (3x - π / 4) \u003d -√2 / 2.

2) 3x - π / 4 \u003d ± (π - π / 4) + 2πn, n є z;

3x - π / 4 \u003d ± 3π / 4 + 2πn, n є Z.

3) 3x \u003d ± 3π / 4 + π / 4 + 2πn, n є z;

x \u003d ± 3π / 12 + π / 12 + 2πn / 3, n є z;

x \u003d ± π / 4 + π / 12 + 2πn / 3, n є z.

Vastaus: ± π / 4 + π / 12 + 2πN / 3, n є z.

II. Vaihtelun vaihtaminen

Kaavamainen ratkaisu

Vaihe 1. Luo yhtälö algebraaliseen muotoon suhteessa johonkin trigonometrisen toiminnasta.

Vaihe 2. Nimeä muuttujan T (tarvittaessa kirjoittamalla rajoitukset T).

Vaihe 3. Tallentaa ja ratkaista tuloksena oleva algebraalinen yhtälö.

Vaihe 4. Korvaa.

Vaihe 5. Ratkaise yksinkertaisin trigonometrinen yhtälö.

Esimerkki.

2COS 2 (x / 2) - 5Sin (x / 2) - 5 \u003d 0.

Päätös.

1) 2 (1 - SIN 2 (X / 2)) - 5SIN (x / 2) - 5 \u003d 0;

2Sin 2 (x / 2) + 5Sin (x / 2) + 3 \u003d 0.

2) Anna sin (x / 2) \u003d t, missä | t | ≤ 1.

3) 2T 2 + 5T + 3 \u003d 0;

t \u003d 1 tai E \u003d -3/2, ei täytä tilaa | t | ≤ 1.

4) Sin (x / 2) \u003d 1.

5) x / 2 \u003d π / 2 + 2πn, n є z;

x \u003d π + 4πn, n є z.

Vastaus: X \u003d π + 4πn, n є z.

III. Menetelmä yhtälön järjestyksen laskemiseksi

Kaavamainen ratkaisu

Vaihe 1. Vaihda tämä lineaarinen yhtälö käyttämällä tämän asteen vähennyskaavaa tätä varten:

sIN 2 x \u003d 1/2 · (1 - COS 2X);

cos 2 x \u003d 1/2 · (1 + cos 2x);

tG 2 X \u003d (1 - COS 2X) / (1 + COS 2X).

Vaihe 2. Ratkaise saatu yhtälö käyttäen menetelmiä I ja II.

Esimerkki.

cos 2x + cos 2 x \u003d 5/4.

Päätös.

1) COS 2X + 1/2 · (1 + COS 2X) \u003d 5/4.

2) COS 2X + 1/2 + 1/2 · COS 2x \u003d 5/4;

3/2 · cos 2x \u003d 3/4;

2x \u003d ± π / 3 + 2πn, n є z;

x \u003d ± π / 6 + πn, n є z.

Vastaus: X \u003d ± π / 6 + πn, n є z.

IV. Yhdenmukaiset yhtälöt

Kaavamainen ratkaisu

Vaihe 1. Tuo tämä yhtälö lomakkeeseen

a) SIN X + B COS X \u003d 0 (Ensimmäisen asteen homogeeninen yhtälö)

tai näkyviin

b) SIN 2 x + b SIN X · COS X + C COS 2 x \u003d 0 (toisen asteen homogeeninen yhtälö).

Vaihe 2. Jaa yhtälön molemmat osat

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

ja saat yhtälön suhteessa TG X: hen:

a) Tg x + b \u003d 0;

b) Tg 2 x + b arctg x + c \u003d 0.

Vaihe 3. Ratkaise yhtälö tunnetuilla menetelmillä.

Esimerkki.

5SIN 2 X + 3SIN X · COS X - 4 \u003d 0.

Päätös.

1) 5Sin 2 x + 3Sin X · COS X - 4 (SIN 2 x + COS 2 x) \u003d 0;

5Sin 2 x + 3Sin X · COS X - 4SIN² X - 4COS 2 x \u003d 0;

sIN 2 X + 3SIN X · COS X - 4COS 2 x \u003d 0 / COS 2 x ≠ 0.

2) TG 2 x + 3TG x - 4 \u003d 0.

3) Anna tg x \u003d t, sitten

t 2 + 3T - 4 \u003d 0;

t \u003d 1 tai t \u003d -4, sitten

tG X \u003d 1 tai TG X \u003d -4.

Ensimmäisestä yhtälöstä X \u003d π / 4 + πn, n є z; Toisesta yhtälöstä X \u003d -arctg 4 + πK, k є z.

Vastaus: X \u003d π / 4 + πn, n є z; X \u003d -arct 4 + πk, k є z.

V. Menetelmä yhtälön muuntamiseksi trigonometristen kaavojen avulla

Kaavamainen ratkaisu

Vaihe 1. Käyttämällä kaikenlaisia trigonometriset kaavat, Anna tämä yhtälö yhtälöön, ratkaistu menetelmiä I, II, III, IV.

Vaihe 2. Ratkaise tuloksena olevat yhtälön tunnetut menetelmät.

Esimerkki.

sIN X + SIN 2X + SIN 3X \u003d 0.

Päätös.

1) (SIN X + SIN 3X) + SIN 2x \u003d 0;

2SIN 2X · COS X + SIN 2X \u003d 0.

2) sIN 2X · (2COS X + 1) \u003d 0;

sIN 2X \u003d 0 tai 2COS X + 1 \u003d 0;

Ensimmäisestä yhtälöstä 2x \u003d π / 2 + πn, n є z; Toisesta yhtälöstä COS X \u003d -1/2.

Meillä on x \u003d π / 4 + πn / 2, n є z; Toisesta yhtälöstä X \u003d ± (π - π / 3) + 2πk, k є z.

Tämän seurauksena X \u003d π / 4 + πn / 2, n є z; x \u003d ± 2π / 3 + 2πk, k є z.

Vastaus: X \u003d π / 4 + πn / 2, n є z; x \u003d ± 2π / 3 + 2πk, k є z.

Taidot ratkaisevat trigonometriset yhtälöt ovat erittäin tärkeää, niiden kehitys edellyttää huomattavia ponnisteluja sekä opiskelija että opettajalta.

Trigonometristen yhtälöiden ratkaisu, monet stereometrian haasteet, fysiikka ja muut liittyvät tällaisten tehtävien ratkaisemiseen, kuten se oli, päättelee monia tietoja ja taitoja, jotka ostetaan Trigonometrian elementtien tutkimuksessa.

Trigonometriset yhtälöt ovat tärkeässä paikassa oppimisen matematiikan ja persoonallisuuden kehityksen prosessissa kokonaisuutena.

Onko sinulla kysymyksiä? En tiedä miten ratkaista trigonometriset yhtälöt?
Saadaksesi ohjaajan help - Rekisteröidy.
Ensimmäinen oppitunti on ilmainen!

sivusto, jolla on täysi tai osittainen kopiointi materiaalin viittauksen alkuperäiseen lähteeseen.

Se edellyttää trigonometrian peruskaavojen tuntemusta - sinus- ja kosinin neliöiden summa, tangentin ilmaus sinus ja kosini ja muut. Niille, jotka unohtaneet heidät tai eivät tiedä, suosittelemme lukemaan artikkelia "".
Joten tiedämme Trigonometriset kaavat, on aika käyttää niitä käytännössä. Trigonometristen yhtälöiden ratkaiseminen Oikealla lähestymistavalla melko jännittävä toiminta, kuten esimerkiksi Rubikin kuutio.

Perustuu nimenomaisesti, voidaan nähdä, että trigonometrinen yhtälö on yhtälö, jossa tuntematon on trigonometrisen toiminnan alapuolella.
On niin sanottuja yksinkertaisia \u200b\u200btrigonometrisia yhtälöitä. Tässä on mitä he näyttävät: SINH \u003d A, COS X \u003d A, TG X \u003d A. Harkita miten ratkaista tällaiset trigonometriset yhtälötSelvyyden vuoksi käytämme jo tuttua trigonometristä ympyrää.

sinh \u003d a.

cos x \u003d a

tG X \u003d A

cOT X \u003d A

Jokainen trigonometrinen yhtälö ratkaista kahdessa vaiheessa: anna yhtälö yksinkertaisimmalle muotolle ja ratkaista se yksinkertaisimmaksi trigonometriseksi yhtälöksi.
On 7 perusmenetelmää, joiden kanssa trigonometriset yhtälöt ratkaistaan.

1. Menetelmä muuttujan ja korvaamisen korvaamiseksi

Ratkaise yhtälö 2COS 2 (X + / 6) - 3Sin (/ 3 - X) +1 \u003d 0

Kaavojen avulla saat:

2COS 2 (x + / 6) - 3cos (x + / 6) +1 \u003d 0

Vaihda cos (x + / 6) y yksinkertaistaa ja saada tavanomainen neliön yhtälö:

2Y 2 - 3Y + 1 + 0

Juuret, joiden y 1 \u003d 1, y 2 \u003d 1/2

Nyt menemme päinvastaisessa järjestyksessä

Korvaamme y ja saat kaksi vastausta:

2. Trigonometristen yhtälöiden ratkaiseminen kertojien hajoamisen kautta

Kuinka ratkaista yhtälön synti x + cos x \u003d 1?

Siirrämme kaiken vasemmalle oikealle jäännökseksi 0:

sIN X + COS X - 1 \u003d 0

Käytämme korotettuja identiteettiä yhtälön yksinkertaistamiseksi:

sIN X - 2 SIN 2 (x / 2) \u003d 0

Teemme lisääntymisen lisääntymistä:

2sin (x / 2) * cos (x / 2) - 2 sin 2 (x / 2) \u003d 0

2sin (x / 2) * \u003d 0

Saamme kaksi yhtälöä

3. Antaa homogeeninen yhtälö

Yhtälö on homogeeninen suhteessa sinukseen ja kosiniin, jos kaikki sen jäsenet suhteessa sinuson ja kosiniin samalla tasolla sama kulma. Syötä homogeenisen yhtälön ratkaisemiseksi seuraavasti:

a) siirtää kaikki jäsenet vasemmalle puolelle;

b) tehdä kaikki yhteiset kannattimet;

c) yhtä suuret kaikki kertojat ja kannattimet 0;

d) suluissa saatiin homogeenisen yhtälön vähäisemmässä määrin, se vuorostaan \u200b\u200bjaetaan sinus- tai kosiniin korkeaan asteeseen;

e) Ratkaise tuloksena oleva yhtälö suhteessa TG: hen.

Ratkaise yhtälö 3Sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x \u003d 2

Käytämme SIN 2 x + COS 2 x \u003d 1 kaava ja päästä eroon avoimesta kahdesti oikealle:

3Sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x \u003d 2Sin 2 x + 2cos 2 x

sIN 2 X + 4 SIN X COS X + 3 COS 2 x \u003d 0

Me jakaamme COS X:

tG 2 x + 4 TG x + 3 \u003d 0

Korvataan TG X: n ja saamme neliön yhtälön:

y 2 + 4Y +3 \u003d 0, juuret, joiden y 1 \u003d 1, y 2 \u003d 3

Täältä löydämme kaksi lähdeyhtälön ratkaisuja:

x 2 \u003d ARCTG 3 + K

4. Yhtälöiden ratkaiseminen siirtymällä puolikultaan

Ratkaise yhtälö 3Sin X - 5COS X \u003d 7

Siirry X / 2:

6sin (x / 2) * cos (x / 2) - 5cos 2 (x / 2) + 5Sin 2 (x / 2) \u003d 7Sin 2 (x / 2) + 7cos 2 (x / 2)

Kaikki vasemmalle:

2Sin 2 (x / 2) - 6sin (x / 2) * cos (x / 2) + 12cos 2 (x / 2) \u003d 0

Jaamme COS (X / 2):

tG 2 (x / 2) - 3TG (x / 2) + 6 \u003d 0

5. Lisäkulman käyttöönotto

Ottaa huomioon lomakkeen yhtälö: SIN X + B COS X \u003d C,

jos A, B, C on joitain mielivaltaisia \u200b\u200bkertoimia, ja X on tuntematon.

Molemmat yhtälön osat on jaettu:



Nyt yhtälön kertoimet Trigonometristen kaavojen mukaan ovat syntiä ja COS: n ominaisuuksia, nimittäin: niiden moduuli ei ole yli 1 ja neliöiden summa \u003d 1. merkitse ne vastaavasti, kuten COS ja SIN, missä se on ns. Lisäkulma. Sitten yhtälö ottaa lomakkeen:

cos * sin x + sin * cos x \u003d c

tai sin (x +) \u003d c

Tämän yksinkertaisen trigonometrisen yhtälön ratkaisu on

x \u003d (-1) k * arcsin c - + k, missä



On huomattava, että Cosin ja synnin nimitykset ovat vaihdettavissa.

Ratkaise sin 3x yhtälö - cos 3x \u003d 1

Tässä yhtälössä kertoimet:

a \u003d, b \u003d -1, joten jaamme molemmat osat \u003d 2

Käsite trigonometristen yhtälöiden ratkaisemisesta.

• Trigonometrisen yhtälön ratkaisemiseksi muuntaa se yhteen tai useampaan tärkeimpiin trigonometrisiin yhtälöihin. Trigonometrisen yhtälön ratkaisu vähenee viime kädessä neljän tärkeimmän trigonometrisen yhtälön ratkaisemiseksi.

Tärkeimmät trigonometriset yhtälöt.

• Trigonometriset yhtälöt ovat 4 erilaista:
• sIN X \u003d A; Cos x \u003d a
• tG X \u003d A; CTG X \u003d A
• Päämittareiden yhtälöiden ratkaisu merkitsee erilaisten säännösten "X" huomioon ottaminen yhdellä ympyrällä sekä konversiotaulukon (tai laskin).
• Esimerkki 1. SIN X \u003d 0,866. Muuntopöydän (tai laskin) avulla saat vastauksen: x \u003d π / 3. Yksi ympyrä antaa toisen vastauksen: 2π / 3. Muista: Kaikki trigonometriset toiminnot ovat säännöllisiä, eli niiden arvot toistetaan. Esimerkiksi SIN X: n X ja COS X-taajuus on 2πN ja TG X: n ja CTG: n taajuus on yhtä suuri kuin πn. Siksi vastaus on kirjoitettu seuraavasti:
• x1 \u003d π / 3 + 2πn; x2 \u003d 2π / 3 + 2πn.
• Esimerkki 2. Cos X \u003d -1/2. Muuntopöydän (tai laskimen) käyttäminen saat vastauksen: x \u003d 2π / 3. Yksi ympyrä antaa toisen vastauksen: -2π / 3.
• x1 \u003d 2π / 3 + 2π; x2 \u003d -2π / 3 + 2π.
• Esimerkki 3. TG (x - π / 4) \u003d 0.
• Vastaus: X \u003d π / 4 + πn.
• Esimerkki 4. CTG 2x \u003d 1,732.
• Vastaus: X \u003d π / 12 + πn.

Trigonometristen yhtälöiden ratkaisemisessa käytetty muutos.

• Trigonometristen yhtälöiden muuttaminen käytetään algebrallisia transformaatioita (kertoimien hajoaminen, homogeenisten jäsenten tuominen jne.) Ja trigonometriset identiteettiteet.
• Esimerkki 5. Käytä trigonometriset identiteetit, yhtälö SIN X + SIN 2X + SIN 3x \u003d 0 muunnetaan 4COS X * SIN yhtälön (3X / 2) * COS (X / 2) \u003d 0. Näin ollen seuraavat pääasialliset trigonometriset yhtälöt olisi ratkaista: cos x \u003d 0; SIN (3x / 2) \u003d 0; Cos (x / 2) \u003d 0.

• Kulmien löytäminen tunnetuilla toiminnoilla.

  • Ennen kuin opiskelet trigonometristen yhtälöiden ratkaisemismenetelmiä, sinun on opittava, kuinka löytää kulmat tunnettujen toimintojen arvojen mukaan. Tämä voidaan tehdä käyttämällä muuntamista tai laskintaulukkoa.
  • Esimerkki: COS X \u003d 0,732. Laskin antaa vastauksen x \u003d 42,95 astetta. Yksi ympyrä antaa lisää kulmia, joiden kosiini on myös 0,732.

• Pyydä päätös yhdestä ympyrästä.

  • Voit lykätä trigonometrisen yhtälön ratkaisuja yhdellä ympyrällä. Trigonometrisen yhtälön ratkaisut yhdellä ympyrällä ovat oikean monikulmion pisteitä.
  • Esimerkki: Ratkaisut x \u003d π / 3 + πn / 2 yhdellä ympyrällä ovat neliön pisteitä.
  • Esimerkki: Ratkaisut x \u003d π / 4 + πn / 3 yhdellä ympyrällä ovat oikean kuusikulun pisteitä.

• Menetelmät Trigonometristen yhtälöiden ratkaisemiseksi.

  • Jos tämä trigonometrinen yhtälö sisältää vain yhden trigonometrisen toiminnon, päättää, että tämä yhtälö on perusmittausyhtälö. Jos tämä yhtälö sisältää kaksi tai useampia trigonometrisia toimintoja, on olemassa 2 menetelmää tällaisen yhtälön ratkaisemiseksi (riippuen sen muutoksen mahdollisuudesta).
    • Menetelmä 1.
  • Muunna tämä yhtälö lomakkeen yhtälöön: f (x) * g (x) * h (x) \u003d 0, jossa f (x), g (x), H (X) on tärkeimmät trigonometriset yhtälöt.
  • Esimerkki 6. 2COS X + SIN 2x \u003d 0. (0< x < 2π)
  • Päätös. Käyttämällä kaksinkertaisen kulman SIN 2x \u003d 2 * SIN X * COS X, vaihda SIN 2X.
  • 2SOS X + 2 * SIN X * COS X \u003d 2COS X * (SIN X + 1) \u003d 0. Nyt päättää kaksi tärkeintä trigonometrista yhtälöä: COS X \u003d 0 ja (SIN X + 1) \u003d 0.
  • Esimerkki 7. COS X + COS 2X + COS 3X \u003d 0. (0< x < 2π)
  • Ratkaisu: Käyttämällä trigonometriset identiteetit, muuntaa tämän yhtälön yhtälö on muotoa: COS 2X (2cos x + 1) \u003d 0. Nyt päättää kaksi trigonometriset yhtälöt: COS 2X \u003d 0 ja (2cos X + 1) \u003d 0.
  • Esimerkki 8. SIN X - SIN 3X \u003d COS 2X. (0.< x < 2π)
  • Ratkaisu: Trigonometristen identiteettien käyttäminen, Muunna tämä yhtälö lomakkeen yhtälöön: -COS 2X * (2SIN X + 1) \u003d 0. Nyt päättää kaksi tärkeintä trigonometrista yhtälöä: COS 2X \u003d 0 ja (2SIN X + 1) \u003d 0 .
    • Tapa 2.
  • Muunna tämä trigonometrinen yhtälö yhtälöön, joka sisältää vain yhden trigonometrisen toiminnan. Vaihda sitten tämä trigonometrinen toiminto joihinkin tuntemattomaan, esimerkiksi T (SIN X \u003d T; COS X \u003d T, COS 2x \u003d T, TG X \u003d T; TG (x / 2) \u003d T jne.).
  • Esimerkki 9. 3Sin ^ 2 x - 2cos ^ 2 x \u003d 4Sin x + 7 (0< x < 2π).
  • Päätös. Tässä yhtälössä vaihda (COS ^ 2 x) ON (1 - SIN ^ 2 X) (identiteetin mukaan). Transformoitu yhtälö on:
  • 3SIN ^ 2 x - 2 + 2SIN ^ 2 x - 4SIN X - 7 \u003d 0. Vaihda SIN X päälle t. Nyt yhtälö näyttää: 5t ^ 2 - 4t - 9 \u003d 0. Tämä on neliöyhtälö, jossa on kaksi juuria: T1 \u003d -1 ja T2 \u003d 9/5. Toinen root T2 ei täytä toimintojen arvojen arvoja (-1< sin x < 1). Теперь решите: t = sin х = -1; х = 3π/2.
  • Esimerkki 10. TG X + 2 TG ^ 2 x \u003d CTG x + 2
  • Päätös. Vaihda TG X T. Vapauta alkuperäinen yhtälö seuraavassa muodossa: (2T + 1) (T ^ 2 - 1) \u003d 0. Nyt Etsi T ja etsi sitten x t \u003d TG X.

Kun ratkaistaan \u200b\u200bmonia matemaattiset tehtävätErityisesti enintään 10 luokan, suoritettujen toimien menettely, joka johtaa tavoitteeseen, on ehdottomasti määritelty. Tällaisia \u200b\u200btavoitteita ovat esimerkiksi lineaariset ja neliön yhtälöt, lineaariset ja neliön epätasa-arvot, murto-yhtälöt ja yhtälöt, jotka vähennetään neliöön. Kunkin mainittujen tehtävien onnistuneen ratkaisun periaate on seuraava: On tarpeen määrittää, miten tyyppi on ratkaistu tehtävä, muistuttaa tarvittavaa toimintaa, joka johtaa haluttuun tulokseen, ts. Vastaus ja suorita nämä toimet.

On selvää, että menestys tai epäonnistuminen yhden tai muun tehtävän ratkaisemisessa riippuu pääasiassa siitä, kuinka oikein yhtälön tyyppi määritellään, kuinka oikein sen liuoksen kaikkien vaiheiden sekvenssi toistetaan. Tietenkin on tarpeen omistaa samanlaiset muutokset ja laskelmat.

Muu tilanne saadaan trigonometriset yhtälöt. Perustetaan se, että yhtälö on trigonometrinen, ei ole vaikeaa. Vaikeudet näkyvät määritettäessä toimien järjestystä, jotka johtaisivat oikeaan vastaukseen.

Yhtälön ulkonäön mukaan joskus sen tyyppiä on vaikea määrittää. Ja ei tiedä yhtälön tyyppiä, on lähes mahdotonta valita useista tusinaa trigonometrisista kaavoista.

Trigonometrisen yhtälön ratkaisemiseksi sinun täytyy kokeilla:

1. Luo kaikki yhtälöön sisältyvät toiminnot "samat kulmat";
2. Luo yhtälö "identtisille toiminnoille";
3. Aseta tehtaan yhtälön vasen osa jne.

Harkita perusmenetelmät Trigonometristen yhtälöiden ratkaisemiseksi.

I. Yksinkertaisimpien trigonometristen yhtälöiden tuominen

Kaavamainen ratkaisu

Vaihe 1. Express Trigonometrinen toiminta tunnettujen komponenttien kautta.

Vaihe 2. Etsi argumentti toiminto kaavoittain:

cos x \u003d a; x \u003d ± arccos a + 2πn, n єz.

sIN X \u003d A; X \u003d (-1) n arcsin A + πn, n є z.

tG X \u003d A; x \u003d arctg a + πn, n є z.

cTG X \u003d A; x \u003d arcctg a + πn, n є z.

Vaihe 3. Etsi tuntematon muuttuja.

Esimerkki.

2 cos (3x - π / 4) \u003d -√2.

Päätös.

1) Cos (3x - π / 4) \u003d -√2 / 2.

2) 3x - π / 4 \u003d ± (π - π / 4) + 2πn, n є z;

3x - π / 4 \u003d ± 3π / 4 + 2πn, n є Z.

3) 3x \u003d ± 3π / 4 + π / 4 + 2πn, n є z;

x \u003d ± 3π / 12 + π / 12 + 2πn / 3, n є z;

x \u003d ± π / 4 + π / 12 + 2πn / 3, n є z.

Vastaus: ± π / 4 + π / 12 + 2πN / 3, n є z.

II. Vaihtelun vaihtaminen

Kaavamainen ratkaisu

Vaihe 1. Luo yhtälö algebraaliseen muotoon suhteessa johonkin trigonometrisen toiminnasta.

Vaihe 2. Nimeä muuttujan T (tarvittaessa kirjoittamalla rajoitukset T).

Vaihe 3. Tallentaa ja ratkaista tuloksena oleva algebraalinen yhtälö.

Vaihe 4. Korvaa.

Vaihe 5. Ratkaise yksinkertaisin trigonometrinen yhtälö.

Esimerkki.

2COS 2 (x / 2) - 5Sin (x / 2) - 5 \u003d 0.

Päätös.

1) 2 (1 - SIN 2 (X / 2)) - 5SIN (x / 2) - 5 \u003d 0;

2Sin 2 (x / 2) + 5Sin (x / 2) + 3 \u003d 0.

2) Anna sin (x / 2) \u003d t, missä | t | ≤ 1.

3) 2T 2 + 5T + 3 \u003d 0;

t \u003d 1 tai E \u003d -3/2, ei täytä tilaa | t | ≤ 1.

4) Sin (x / 2) \u003d 1.

5) x / 2 \u003d π / 2 + 2πn, n є z;

x \u003d π + 4πn, n є z.

Vastaus: X \u003d π + 4πn, n є z.

III. Menetelmä yhtälön järjestyksen laskemiseksi

Kaavamainen ratkaisu

Vaihe 1. Vaihda tämä lineaarinen yhtälö käyttämällä tämän asteen vähennyskaavaa tätä varten:

sIN 2 x \u003d 1/2 · (1 - COS 2X);

cos 2 x \u003d 1/2 · (1 + cos 2x);

tG 2 X \u003d (1 - COS 2X) / (1 + COS 2X).

Vaihe 2. Ratkaise saatu yhtälö käyttäen menetelmiä I ja II.

Esimerkki.

cos 2x + cos 2 x \u003d 5/4.

Päätös.

1) COS 2X + 1/2 · (1 + COS 2X) \u003d 5/4.

2) COS 2X + 1/2 + 1/2 · COS 2x \u003d 5/4;

3/2 · cos 2x \u003d 3/4;

2x \u003d ± π / 3 + 2πn, n є z;

x \u003d ± π / 6 + πn, n є z.

Vastaus: X \u003d ± π / 6 + πn, n є z.

IV. Yhdenmukaiset yhtälöt

Kaavamainen ratkaisu

Vaihe 1. Tuo tämä yhtälö lomakkeeseen

a) SIN X + B COS X \u003d 0 (Ensimmäisen asteen homogeeninen yhtälö)

tai näkyviin

b) SIN 2 x + b SIN X · COS X + C COS 2 x \u003d 0 (toisen asteen homogeeninen yhtälö).

Vaihe 2. Jaa yhtälön molemmat osat

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

ja saat yhtälön suhteessa TG X: hen:

a) Tg x + b \u003d 0;

b) Tg 2 x + b arctg x + c \u003d 0.

Vaihe 3. Ratkaise yhtälö tunnetuilla menetelmillä.

Esimerkki.

5SIN 2 X + 3SIN X · COS X - 4 \u003d 0.

Päätös.

1) 5Sin 2 x + 3Sin X · COS X - 4 (SIN 2 x + COS 2 x) \u003d 0;

5Sin 2 x + 3Sin X · COS X - 4SIN² X - 4COS 2 x \u003d 0;

sIN 2 X + 3SIN X · COS X - 4COS 2 x \u003d 0 / COS 2 x ≠ 0.

2) TG 2 x + 3TG x - 4 \u003d 0.

3) Anna tg x \u003d t, sitten

t 2 + 3T - 4 \u003d 0;

t \u003d 1 tai t \u003d -4, sitten

tG X \u003d 1 tai TG X \u003d -4.

Ensimmäisestä yhtälöstä X \u003d π / 4 + πn, n є z; Toisesta yhtälöstä X \u003d -arctg 4 + πK, k є z.

Vastaus: X \u003d π / 4 + πn, n є z; X \u003d -arct 4 + πk, k є z.

V. Menetelmä yhtälön muuntamiseksi trigonometristen kaavojen avulla

Kaavamainen ratkaisu

Vaihe 1. Kaikenlaisten trigonometristen kaavojen käyttäminen johtaa yhtälöön yhtälöön, ratkaistuihin menetelmiin I, II, III, IV.

Vaihe 2. Ratkaise tuloksena olevat yhtälön tunnetut menetelmät.

Esimerkki.

sIN X + SIN 2X + SIN 3X \u003d 0.

Päätös.

1) (SIN X + SIN 3X) + SIN 2x \u003d 0;

2SIN 2X · COS X + SIN 2X \u003d 0.

2) sIN 2X · (2COS X + 1) \u003d 0;

sIN 2X \u003d 0 tai 2COS X + 1 \u003d 0;

Ensimmäisestä yhtälöstä 2x \u003d π / 2 + πn, n є z; Toisesta yhtälöstä COS X \u003d -1/2.

Meillä on x \u003d π / 4 + πn / 2, n є z; Toisesta yhtälöstä X \u003d ± (π - π / 3) + 2πk, k є z.

Tämän seurauksena X \u003d π / 4 + πn / 2, n є z; x \u003d ± 2π / 3 + 2πk, k є z.

Vastaus: X \u003d π / 4 + πn / 2, n є z; x \u003d ± 2π / 3 + 2πk, k є z.

Taitoja ja taitoja trigonometristen yhtälöiden ratkaisemiseksi ovat hyvin tärkeää, niiden kehitys edellyttää huomattavia ponnisteluja sekä opiskelija että opettajalta.

Trigonometristen yhtälöiden ratkaisu, monet stereometrian haasteet, fysiikka ja muut liittyvät tällaisten tehtävien ratkaisemiseen, kuten se oli, päättelee monia tietoja ja taitoja, jotka ostetaan Trigonometrian elementtien tutkimuksessa.

Trigonometriset yhtälöt ovat tärkeässä paikassa oppimisen matematiikan ja persoonallisuuden kehityksen prosessissa kokonaisuutena.

Onko sinulla kysymyksiä? En tiedä miten ratkaista trigonometriset yhtälöt?
Saada ohjaajan ohje -.
Ensimmäinen oppitunti on ilmainen!

blog.set, tarvitaan kokonaisuudessaan tai osittainen kopiointi materiaalin viittauksen alkuperäiseen lähteeseen.

Tietosuojasi noudattaminen on meille tärkeää. Tästä syystä olemme kehittäneet tietosuojakäytännön, jossa kuvataan ja tallenna tietosi. Lue tietosuojakäytäntö ja ilmoita meille, jos sinulla on kysyttävää.

Henkilötietojen kerääminen ja käyttö

Henkilötiedoissa on tietoja, joita voidaan käyttää tiettyjen henkilöiden tunnistamiseen tai sen kanssa.

Sinua voidaan pyytää antamaan henkilökohtaisia \u200b\u200btietojasi milloin tahansa, kun liität meihin.

Alla on esimerkkejä henkilökohtaisista tiedoista, joita voimme kerätä ja miten voimme käyttää tällaisia \u200b\u200btietoja.

Mitä henkilökohtaisia \u200b\u200btietoja keräämme:

• Kun jätät tarjouksen sivustolle, voimme kerätä erilaisia \u200b\u200btietoja, mukaan lukien nimesi, puhelinnumerosi, osoitteen sähköposti jne.

Kun käytämme henkilökohtaisia \u200b\u200btietojasi:

• Kerää meille henkilökohtaisia \u200b\u200btietoja Antaa meille mahdollisuuden ottaa sinuun yhteyttä ja raportoi ainutlaatuiset tarjoukset, tarjoukset ja muut tapahtumat ja lähimmät tapahtumat.
• Ajoittain voimme käyttää henkilökohtaisia \u200b\u200btietoja lähettämään tärkeitä ilmoituksia ja viestejä.
• Voimme myös käyttää yksilöllisiä tietoja sisäisistä tarkoituksista, kuten tilintarkastuksesta, tietojen analysoinnista ja erilaisista tutkimuksista palveluiden palveluiden parantamiseksi ja palveluiden suositusten antamiseksi.
• Jos osallistut palkintoja, kilpailua tai vastaavaa stimuloivaa tapahtumaa, voimme käyttää antamiasi tietoja tällaisten ohjelmien hallinnoimiseksi.

Tiedon paljastaminen kolmansille osapuolille

Emme paljasta sinulta saatuja tietoja kolmansille osapuolille.

Poikkeukset:

• Jos se on tarpeen - lain, oikeudenkäyntimenettelyn mukaisesti oikeudenkäynnissä ja / tai viranomaisten julkisten kyselyjen tai pyyntöjen perusteella Venäjän federaation alueella - paljastaa henkilökohtaiset tiedot. Voimme myös paljastaa tietoja, jos määritellään, että tällainen julkistaminen on välttämätöntä tai asianmukaista turvallisuuden, lakien ja järjestyksen tai muiden sosiaalisesti tärkeiden tapausten osalta.
• Uudelleenjärjestelyjen, fuusioiden tai myynnin tapauksessa voimme välittää henkilökohtaiset tiedot, jotka keräämme kolmannen osapuolen vastaavan - seuraaja.

Henkilötietojen suojaaminen

Teemme varotoimia - mukaan lukien hallinnolliset, tekniset ja fyysiset - suojata henkilökohtaisia \u200b\u200btietojasi menetyksestä, varastamisesta ja häikäilemättömästä käytöstä sekä luvattomasta pääsystä, paljastamisesta, muutoksista ja hävittämisestä.

Yksityisyyden noudattaminen yhtiön tasolla

Jotta voisimme varmistaa, että henkilökohtaiset tietosi ovat turvallisia, tuodessamme luottamuksellisuutta ja turvallisuutta työntekijöille ja noudata tiukasti toteuttamista.