Suuntaissuuntaisen vektorin projektiot sen reunoille. Parallelepiped ja kuutio. Visuaalinen opas (2019). Henkilötietojen suojaaminen

KOLMAS LUKU

Polytopes

1. RYHMÄKUULLINEN JA PYRAMIDI

Laatikon kasvot ja diagonaaliset ominaisuudet

72. Lause. Rinnakkaisputkessa:

1)vastakkaiset pinnat ovat yhtä suuret ja yhdensuuntaiset;

2) kaikki neljä lävistäjää leikkaavat yhdessä kohdassa ja jakautuvat siinä puoliksi.

1) Pinnat (kuva 80) BB 1 C 1 C ja AA 1 D 1 D ovat yhdensuuntaisia, koska yhden pinnan kaksi leikkaavaa linjaa BB 1 ja B 1 C 1 ovat yhdensuuntaisia kahden leikkaavan suoran AA 1 ja A 1 D 1 kanssa. toisesta (§ 15); nämä kasvot ja ovat yhtä suuret, koska B 1 C 1 = A 1 D 1, B 1 B = A 1 A (rinnakkaismuotojen vastakkaisina puolina) ja / BB 1 C 1 = / AA 1 D 1.

2) Ota (kuva 81) mitkä tahansa kaksi diagonaalia, esimerkiksi AC 1 ja BD 1, ja piirrä apuviivat AD 1 ja BC 1.

Koska reunat AB ja D1C1 ovat vastaavasti ja yhdensuuntaiset reunan DC kanssa, ne ovat yhtä suuria ja yhdensuuntaisia toistensa kanssa; Tämän seurauksena kuva AD 1 C 1 B on suuntakulma, jossa suorat C 1 A ja BD 1 ovat diagonaaleja ja rinnakkaisviivassa diagonaalit jaetaan puoliksi leikkauspisteessä.

Otetaan nyt yksi näistä lävistäjistä, esimerkiksi AC 1, kolmannella diagonaalilla, oletetaan B 1 D. Samalla tavalla voimme todistaa, että ne jakautuvat puoliksi leikkauspisteessä. Näin ollen diagonaalit B 1 D ja AC 1 sekä diagonaalit AC 1 ja BD 1 (jotka otimme aiemmin) leikkaavat samassa kohdassa, tarkasti keskellä diagonaalia
AC 1. Lopuksi, kun otetaan sama diagonaali AC 1 ja neljäs diagonaali A 1 C, osoitamme myös, että ne puolitetaan. Näin ollen tämän lävistäjäpisteen leikkauspiste on lävistäjän AC 1 keskellä. Siten kaikki neljä rinnakkaissärmiön diagonaalia leikkaavat samassa kohdassa ja puolittuvat tähän pisteeseen.

73. Lause. Suorakulmaisessa suuntaissärmäisessä neliössä mikä tahansa lävistäjä (AC 1, piirustus 82) yhtä suuri kuin sen kolmen ulottuvuuden neliöiden summa .

Kun olemme piirtäneet AC: n kannan diagonaalin, saamme kolmiot AC 1 C ja ACB. Molemmat ovat suorakulmaisia: ensimmäinen, koska suuntaissärmiö on suora ja siksi reuna CC 1 on kohtisuorassa pohjaan nähden; toinen, koska suuntaissärmiö on suorakulmainen ja siksi sen suorassa on suorakulmio. Näistä kolmioista löydämme:

AC 1 2 = AC 2 + CC 1 2 ja AC 2 = AB 2 + BC 2

Siten,

AC 1 2 = AB 2 + BC 2 + CC 1 2 = AB 2 + AD 2 + AA 1 2.

Seuraus.Suorakulmaisessa suuntaissärmässä kaikki lävistäjät ovat yhtä suuret.

Vanhemmille opiskelijoille on hyödyllistä oppia ratkaisemaan USE -ongelmat löytääkseen suorakulmaisen suuntaissärmiön äänenvoimakkuuden ja muut tuntemattomat parametrit. Aiempien vuosien kokemus vahvistaa sen, että tällaiset tehtävät ovat melko vaikeita monille valmistuneille.

Samaan aikaan lukiolaisten, joilla on mikä tahansa koulutus, tulisi ymmärtää, kuinka löytää suorakulmaisen suuntaissärmiön tilavuus tai alue. Vain tässä tapauksessa he voivat odottaa saavansa kilpailupisteitä matematiikan yhtenäisen valtion kokeen läpäisemisen perusteella.

Tärkeimmät vivahteet muistaa

Suuntakaaviot, jotka muodostavat suuntaissärmiön, ovat sen kasvot, sivut reunat. Näiden lukujen kärkien katsotaan olevan itse monikulmion kärkiä.
Kaikki suorakulmaisen suuntaissärmiön diagonaalit ovat yhtä suuret. Koska tämä on suora monikulmio, sivupinnat ovat suorakulmioita.
Koska suuntaissärmiö on prisma, jonka pohjassa on suunnikassuunta, tällä kuviolla on kaikki prisman ominaisuudet.
Suorakulmaisen suuntaissärmiön sivureunat ovat kohtisuorassa pohjaan nähden. Siksi ne ovat hänen korkeutensa.

Valmistaudu tenttiin yhdessä Shkolkovon kanssa!

Jotta tuntisi olisivat mahdollisimman helppoja ja tehokkaita, valitse matematiikkaportaalimme. Täältä löydät kaikki tarvittavat materiaalit, joita tarvitaan yhtenäisen valtion kokeen valmisteluvaiheessa.

Shkolkovo -koulutusprojektin asiantuntijat ehdottavat siirtymistä yksinkertaisesta monimutkaiseksi: ensin annamme teorian, peruskaavat ja perusongelmat ratkaisulla ja siirrymme sitten asteittain asiantuntijatason tehtäviin. Voit harjoitella esim.

Löydät tarvittavat perustiedot "Teoreettinen viite" -osiosta. Voit myös heti aloittaa ongelmien ratkaisemisen aiheesta "Suorakulmainen suuntaissärmiö" verkossa. Luettelo -osio sisältää laajan valikoiman vaikeusasteisia harjoituksia. Tehtäväkantaa päivitetään säännöllisesti.

Tarkista, löydätkö helposti suorakulmaisen suuntaissärmiön tilavuuden juuri nyt. Pura mikä tahansa tehtävä. Jos harjoitus on sinulle helppo, siirry vaikeampiin tehtäviin. Ja jos sinulla on tiettyjä vaikeuksia, suosittelemme, että suunnittelet päiväsi niin, että aikataulusi sisältää Shkolkovo -etäportaalin luokat.

Prismaa kutsutaan suuntaissärmiö jos sen kantat ovat suuntakulmaisia. Cm. Kuva 1.

Laatikon ominaisuudet:

Rinnakkaisputken vastakkaiset pinnat ovat yhdensuuntaiset (eli sijaitsevat yhdensuuntaisilla tasoilla) ja yhtä suuret.

Rinnakkaisputkien diagonaalit leikkaavat yhdessä kohdassa ja puolittuvat tähän pisteeseen.

Rinnakkaisputken vierekkäiset kasvot- kaksi kasvoja, joilla on yhteinen reuna.

Rinnakkaisputken vastakkaiset kasvot- kasvot, joilla ei ole yhteisiä reunoja.

Rinnakkaisputken vastakkaiset pisteet- kaksi kärkeä, jotka eivät kuulu samaan pintaan.

Rinnakkaisputken halkaisija- segmentti, joka yhdistää vastakkaiset kärkipisteet.

Jos sivureunat ovat kohtisuorassa pohjien tasoihin nähden, rinnakkaisputkea kutsutaan suoraan.

Suoraa suuntaissärmiötä, jonka pohjat ovat suorakulmioita, kutsutaan suorakulmainen... Prismaa, jonka kaikki kasvot ovat neliöitä, kutsutaan kuutio.

Suuntaissärmiö- prisma, jonka kanta on rinnan suuntainen.

Suorakulmainen- suuntaissärmiö, jonka sivureunat ovat kohtisuorassa alustan tasoon nähden.

Suorakulmainen suuntaissärmiö Onko suora suuntaissärmiö, jonka pohjat ovat suorakulmioita.

Kuutio- suorakulmainen suuntaissärmiö, jonka reunat ovat samat.

Suuntaissärmiö kutsutaan prismaksi, jonka pohja on suunnikas; täten rinnakkaisputkella on kuusi kasvoa, ja ne ovat kaikki yhdensuuntaisia.

Vastakkaiset kasvot ovat pareittain yhtä suuret ja yhdensuuntaiset. Rinnakkaisputkessa on neljä lävistäjää; ne kaikki leikkaavat yhdessä kohdassa ja jakautuvat siinä puoliksi. Mitä tahansa kasvoja voidaan käyttää pohjana; tilavuus on yhtä suuri kuin perusalueen tulo korkeudella: V = Sh.

Rinnakkaisputkea, jonka neljä sivupintaa ovat suorakulmioita, kutsutaan suoriksi.

Suorakulmaista, jossa kaikki kuusi kasvot ovat suorakulmioita, kutsutaan suorakulmaiseksi. Cm. Kuva 2.

Suoran suuntaissärmiön tilavuus (V) on yhtä suuri kuin perusalueen (S) ja korkeuden (h) tulo: V = Sh .

Suorakulmaisen suuntaissärmiön lisäksi suoritetaan seuraava kaava V = abc, jossa a, b, c ovat reunoja.

Suorakulmaisen suuntaissärmiön diagonaali (d) liittyy sen reunoihin suhteella d 2 = a 2 + b 2 + c 2 .

Suorakulmainen suuntaissärmiö- suuntaissärmiö, jonka sivureunat ovat kohtisuorassa pohjaan nähden ja pohjat ovat suorakulmioita.

Suorakulmaisen suuntaissärmiön ominaisuudet:

Suorakulmaisessa suuntaissärmässä kaikki kuusi kasvot ovat suorakulmioita.

Suorakulmaisen suuntaissärmiön kaikki kaksikulmaiset kulmat ovat suoria.

Suorakulmaisen suuntaissärmiön diagonaalin neliö on yhtä suuri kuin sen kolmen ulottuvuuden neliöiden summa (kolmen reunan pituudet, joilla on yhteinen kärki).

Suorakulmaisen suuntaissärmiön diagonaalit ovat yhtä suuret.

Suorakulmaista suuntaissärmiötä, jonka kaikki kasvot ovat neliöitä, kutsutaan kuutioksi. Kaikki kuution reunat ovat yhtä suuret; kuution tilavuus (V) ilmaistaan kaavalla V = a 3, missä a on kuution reuna.

Tällä oppitunnilla jokainen voi tutkia aihetta "Suorakulmainen suuntaissärmiö". Oppitunnin alussa toistamme, mitä mielivaltaiset ja suorat rinnakkaismieliset ovat, muistamme niiden vastakkaisten pintojen ja suuntaissärmiön ominaisuudet. Sitten tarkastelemme, mikä on suorakulmainen suuntaissärmiö, ja keskustelemme sen pääominaisuuksista.

Aihe: Viivojen ja tasojen kohtisuora

Oppitunti: Suorakulmainen yhdensuuntainen

Pinta, joka koostuu kahdesta yhtä suuresta rinnakkaisesta ABCD: stä ja A 1 B 1 C 1 D 1: stä ja neljästä suunnasta ABB 1 A 1, BCC 1 B 1, CDD 1 C 1, DAA 1 D 1, kutsutaan suuntaissärmiö(kuva 1).

Riisi. 1 Rinnakkaissärmäinen

Eli meillä on kaksi yhtäsuurta suorakulmiota ABCD ja A 1 B 1 C 1 D 1 (pohja), ne sijaitsevat yhdensuuntaisilla tasoilla siten, että sivureunat AA 1, BB 1, DD 1, CC 1 ovat yhdensuuntaisia. Siten kutsutaan suunnikasta koostuvaa pintaa suuntaissärmiö.

Täten suuntaissärmiön pinta on kaikkien suuntaissärmiöiden muodostamien rinnakkaisviivojen summa.

1. Laatikon vastakkaiset pinnat ovat yhdensuuntaiset ja yhtä suuret.

(muodot ovat yhtä suuret, eli ne voidaan yhdistää päällekkäin)

Esimerkiksi:

ABCD = A 1 B 1 C 1 D 1 (määritelmän mukaan yhtä suuret suuntakaaviot),

AA 1 B 1 B = DD 1 C 1 C (koska AA 1 B 1 B ja DD 1 C 1 C ovat suuntaissärmiön vastakkaiset pinnat),

AA 1 D 1 D = BB 1 C 1 C (koska AA 1 D 1 D ja BB 1 C 1 C ovat suuntaissärmiön vastakkaiset pinnat).

2. Rinnakkaisputkien diagonaalit leikkaavat yhdessä kohdassa ja puolittuvat tähän pisteeseen.

Rinnakkaisputkien AC 1, B 1 D, A 1 C, D 1 B lävistäjät leikkaavat yhdessä pisteessä O, ja jokainen lävistäjä jaetaan tällä pisteellä puoleen (kuva 2).

Riisi. 2 Rinnakkaisputken diagonaalit leikkaavat ja leikkauspiste puolittaa ne.

3. On kolme nelinkertaista yhtäsuuntaista ja yhdensuuntaista rinnakkaisreunaista: 1 - AB, A 1 B 1, D 1 C 1, DC, 2 - AD, A 1 D 1, B 1 C 1, BC, 3 - AA 1, BB 1, CC 1, DD 1.

Määritelmä. Rinnakkaisputkea kutsutaan suoraksi, jos sen sivureunat ovat kohtisuorassa pohjaan nähden.

Olkoon sivureuna AA 1 kohtisuorassa pohjaan nähden (kuva 3). Tämä tarkoittaa, että suora AA 1 on kohtisuorassa suoriin linjoihin AD ja AB, jotka sijaitsevat pohjan tasossa. Tämä tarkoittaa, että suorakulmiot sijaitsevat sivupinnoissa. Ja pohjalla ovat mielivaltaiset rinnakkaiset. Merkitse, ∠BAD = φ, kulma φ voi olla mikä tahansa.

Riisi. 3 Suorakulmainen

Suora suuntaissärmiö on siis suuntaissärmiö, jossa sivureunat ovat kohtisuorassa rinnepohjan pohjaan nähden.

Määritelmä. Rinnakkaisputkea kutsutaan suorakulmaiseksi, jos sen kylkiluut ovat kohtisuorassa pohjaan nähden. Pohjat ovat suorakulmioita.

Rinnakkaissärmäinen ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - suorakulmainen (kuva 4), jos:

1. AA 1 ⊥ ABCD (sivureuna kohtisuorassa pohjan tasoon nähden, eli suora suuntaissärmiö).

2. ADBAD = 90 °, eli pohjassa on suorakulmio.

Riisi. 4 Suorakulmainen suuntaissärmiö

Suorakulmaisella rinnakkaisputkella on kaikki mielivaltaisen suuntaissärmiön ominaisuudet. Mutta on myös muita ominaisuuksia, jotka johdetaan suorakulmaisen suuntaissärmiön määritelmästä.

Niin, suorakulmainen suuntaissärmiö on suuntaissärmiö, jonka sivureunat ovat kohtisuorassa pohjaan nähden. Suorakulmaisen suuntaissärmiön pohja on suorakulmio.

1. Suorakulmaisessa suuntaissärmässä kaikki kuusi kasvot ovat suorakulmioita.

ABCD ja A 1 B 1 C 1 D 1 - suorakulmiot määritelmän mukaan.

2. Sivuraidat ovat kohtisuorassa pohjaan nähden... Tämä tarkoittaa, että suorakulmaisen suuntaissärmiön kaikki sivupinnat ovat suorakulmioita.

3. Suorakulmaisen suuntaissärmiön kaikki kaksikulmaiset kulmat ovat suoria.

Tarkastellaan esimerkiksi reunan AB suorakulmaisen suuntaissärmiön kaksikulmaista kulmaa eli tasojen ABB 1 ja ABC välistä kaksikulmaista kulmaa.

AB on reuna, piste A 1 sijaitsee tasossa ABB 1 ja piste D toisessa tasossa A 1 B 1 C 1 D 1. Tällöin tarkasteltava kaksikulmainen kulma voidaan myös merkitä seuraavasti: ∠A 1 ABD.

Ota piste A reunasta AB. AA 1 - kohtisuorassa reunassa AB tasossa ABB -1, AD kohtisuorassa reunassa AB tasossa ABC. Näin ollen ∠А 1 АD on annetun kaksikulmaisen kulman lineaarinen kulma. 1А 1 АD = 90 °, mikä tarkoittaa, että kaksikulmainen kulma reunassa AB on 90 °.

∠ (ABB 1, ABC) = ∠ (AB) = ∠A 1 ABD = ∠A 1 AD = 90 °.

Samalla tavalla todistetaan, että suorakulmaisen suuntaissärmiön kaikki kaksikulmaiset kulmat ovat suoria.

Suorakulmaisen suuntaissärmiön diagonaalin neliö on yhtä suuri kuin sen kolmen ulottuvuuden neliöiden summa.

Huomautus. Suorakulmion yhdestä kärjestä lähtevien kolmen reunan pituudet ovat suorakulmaisen suuntaissärmiön mitat. Niitä kutsutaan joskus pituudeksi, leveydeksi, korkeudeksi.

Annettu: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - suorakulmainen suuntaissärmiö (kuva 5).

Todistaa: .