Algebran tuntisuunnitelma (luokka 6) aiheesta: "Käänteisluvut." Käänteiset numerot

Johtuen siitä, että melkein kaikki nykyaikaiset koulut on tarvittavat varusteet Jotta lapsille voidaan näyttää videoita ja erilaisia ​​sähköisiä oppimisresursseja oppituntien aikana, on mahdollista saada oppilaita kiinnostamaan paremmin tietystä aiheesta tai aiheesta. Tämän seurauksena oppilaiden saavutukset ja koulun kokonaisarvosanat kohoavat.

Ei ole mikään salaisuus, että visuaalinen esittely oppitunnin aikana auttaa paremmin muistamaan ja omaksumaan määritelmiä, tehtäviä ja teoriaa. Jos tähän liittyy äänestystä, niin visuaalinen ja kuulomuisti toimivat opiskelijalle samanaikaisesti. Siksi video-opetusohjelmia pidetään yhtenä suosituimmista tehokkaita materiaaleja oppimista varten.

Videotuntien on noudatettava useita sääntöjä ja vaatimuksia, jotta ne olisivat mahdollisimman tehokkaita ja hyödyllisiä sopivan ikäisille opiskelijoille. Tekstin tausta ja väri tulee valita sopivasti, kirjasinkoko ei saa olla liian pieni, jotta näkövammaiset oppilaat voivat lukea tekstiä, eikä liian suuri, jotta se ärsyttäisi näköä ja aiheuttaisi haittaa jne. Kuviin kiinnitetään erityistä huomiota - niiden tulisi olla maltillisia, eivätkä ne saa häiritä pääteemaa.

Opetusvideo "Reciprocal Numbers" on loistava esimerkki tällaisesta oppimisresurssista. Hänen ansiostaan ​​6. luokan oppilas voi täysin ymmärtää, mitä vastavuoroiset luvut ovat, kuinka ne tunnistaa ja kuinka työskennellä niiden kanssa.

Oppitunti alkaa yksinkertainen esimerkki, jossa kaksi tavallista murtolukua 8/15 ja 15/8 kerrotaan keskenään. On mahdollista muistaa sääntö, jolla, kuten aiemmin tutkittiin, murtoluvut tulisi kertoa. Toisin sanoen osoittajan tulee olla osoittajien tulo ja nimittäjän tulee olla nimittäjien tulos. Vähennyksen tuloksena, joka on myös syytä muistaa, saadaan yksikkö.

Jälkeen tämä esimerkki, kaiutin antaa yleisen määritelmän, joka näkyy rinnakkain näytöllä. Siinä sanotaan, että lukuja, jotka kerrottuna toisillaan johtavat yhteen, kutsutaan keskenään käänteisiksi. Määritelmä on erittäin helppo muistaa, mutta se pysyy varmemmin muistissa, jos annat joitain esimerkkejä.

Käänteislukujen käsitteen määrittämisen jälkeen näytöllä näkyy sarja numeroiden tuloja, jotka antavat tuloksena yksikön.

Annan yleisen esimerkin, joka ei riipu tietyistä numeerisia arvoja, käytetään muuttujia a ja b, jotka eroavat 0:sta. Miksi? Loppujen lopuksi kuudennen luokan koululaisten tulisi olla hyvin tietoisia siitä, että minkä tahansa murtoluvun nimittäjä ei voi olla yhtä suuri kuin nolla, ja vastavuoroisten lukujen näyttämiseksi ei voida tehdä ilman näiden arvojen sijoittamista nimittäjään.

Johtettuaan tämän kaavan ja kommentoituaan sitä, julistaja alkaa pohtia ensimmäistä tehtävää. Tärkeintä on, että sinun on löydettävä annetun käänteisarvo sekoitettu fraktio. Sen ratkaisemiseksi murtoluku kirjoitetaan väärään muotoon ja osoittaja ja nimittäjä käännetään. Saatu tulos on vastaus. Opiskelija osaa tarkistaa sen itsenäisesti käyttämällä keskinäisten käänteislukujen määritelmää.

Opetusvideo ei rajoitu tähän esimerkkiin. Edellisen jälkeen näytölle tulee toinen tehtävä, jossa on tarpeen löytää kolmen murtoluvun tulo. Jos opiskelija on tarkkaavainen, hän huomaa, että kaksi näistä murtoluvuista on käänteislukuja, joten niiden tulo on yhtä suuri kuin yksi. Kertolaskuominaisuuden perusteella voidaan ensin kertoa keskenään käänteiset murtoluvut ja lopuksi kertoa tulos, eli 1, ensimmäisellä murtoluvulla. Puhuja selittää yksityiskohtaisesti ja esittelee koko prosessin vaihe vaiheelta näytöllä alusta loppuun. Lopuksi annetaan teoreettinen yleistetty selitys kertolaskuominaisuudelle, johon nojauduttiin esimerkkiä ratkottaessa.

Tietämyksen vahvistamiseksi varmasti kannattaa yrittää vastata kaikkiin kysymyksiin, jotka näytetään oppitunnin lopussa.

Käänteisiä - tai käänteislukuja - kutsutaan lukupariksi, joka kerrottuna antaa 1. yleisnäkymä numerot ovat käänteisiä. Ominaista erikoistapaus käänteisluvut - pari. Käänteiset ovat esimerkiksi numeroita; .

Kuinka löytää vastavuoroisuus

Sääntö: sinun on jaettava 1 (yksi) annetulla numerolla.

Esimerkki #1.

Annetaan luku 8. Sen käänteissuhde on 1:8 tai (toinen vaihtoehto on parempi, koska tällainen merkintä on matemaattisesti oikeampi).

Kun etsit vastavuoroisuutta murtoluku, sen jakaminen 1:llä ei ole kovin kätevää, koska tallentamisesta tulee hankalaa. Tässä tapauksessa on paljon helpompi tehdä toisin: murto-osa yksinkertaisesti käännetään vaihtamalla osoittaja ja nimittäjä. Jos annetaan oikea murto-osa, niin sen kääntämisen jälkeen saadaan väärä murto-osa, ts. sellainen, josta voidaan irrottaa kokonainen osa. Voit tehdä tämän vai ei, sinun on päätettävä tapauskohtaisesti. Joten jos joudut suorittamaan joitain toimintoja tuloksena olevalla käänteisellä murtoluvulla (esimerkiksi kerto- tai jakolasku), sinun ei pitäisi valita koko osaa. Jos tuloksena oleva murto-osa on lopputulos, niin ehkä kokonaislukuosan valinta on toivottavaa.

Esimerkki #2.

Annettu murto-osa. Käänteinen:.

Jos haluat löytää vastavuoroisuuden desimaaliluku, sinun tulee käyttää ensimmäistä sääntöä (jakamalla 1 numerolla). Tässä tilanteessa voit toimia kahdella tavalla. Ensimmäinen on yksinkertaisesti jakaa 1 tällä numerolla sarakkeeseen. Toinen on muodostaa murto luvusta 1 osoittajassa ja desimaaliluvusta nimittäjässä, ja sitten kertoa osoittaja ja nimittäjä 10:llä, 100:lla tai toisella luvulla, joka koostuu 1:stä ja niin monesta nollista kuin on tarpeen desimaalipilkun poistamiseksi. nimittäjässä. Tuloksena on tavallinen murto-osa, joka on tulos. Tarvittaessa saatat joutua lyhentämään sitä, poimimaan siitä kokonaisluvun tai muuttamaan sen desimaalimuotoon.

Esimerkki #3.

Annettu luku on 0,82. Sen vastavuoroisuus on: . Nyt pienennetään murto-osaa ja valitaan kokonaislukuosa: .

Kuinka tarkistaa, ovatko kaksi lukua käänteislukuja

Todentamisen periaate perustuu vastavuoroisuuden määritelmään. Toisin sanoen, jotta voit varmistaa, että luvut ovat käänteisiä toisilleen, sinun on kerrottava ne. Jos tulos on yksi, niin luvut ovat keskenään käänteisiä.

Esimerkki numero 4.

Annettu luvut 0,125 ja 8. Ovatko ne käänteislukuja?

Tutkimus. On löydettävä lukujen 0,125 ja 8 tulo. Selvyyden vuoksi esitämme nämä luvut tavallisina murtolukuina: (pienennetään 1. murtoluku 125:llä). Johtopäätös: luvut 0,125 ja 8 ovat käänteisiä.

Käänteisten ominaisuudet

Kiinteistö nro 1

Käänteisluku on olemassa mille tahansa muulle luvulle kuin 0.

Tämä rajoitus johtuu siitä, että nollalla jakaminen on mahdotonta, ja nollan käänteislukua määritettäessä se on vain siirrettävä nimittäjään, ts. itse asiassa jakaa sillä.

Kiinteistö nro 2

Käänteislukuparin summa ei ole koskaan pienempi kuin 2.

Matemaattisesti tämä ominaisuus voidaan ilmaista epäyhtälöllä: .

Kiinteistö nro 3

Lukujen kertominen kahdella vastavuoroiset numerot vastaa kertomista yhdellä. Ilmaistaan ​​tämä ominaisuus matemaattisesti: .

Esimerkki numero 5.

Etsi lausekkeen arvo: 3,4 0,125 8. Koska luvut 0,125 ja 8 ovat käänteislukuja (katso esimerkki 4), 3,4:ää ei tarvitse kertoa luvulla 0,125 ja sitten 8:lla. Joten vastaus tässä on 3.4.

Annamme määritelmän ja esimerkkejä käänteisluvuista. Mieti, kuinka löytää luonnollisen luvun käänteisluku ja tavallisen murtoluvun käänteisluku. Lisäksi kirjoitetaan ja todistetaan epäyhtälö, joka heijastaa käänteislukujen summan ominaisuutta.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Vastavuoroiset numerot. Määritelmä

Määritelmä. Vastavuoroiset numerot

Käänteisluvut ovat niitä lukuja, joiden tulo antaa yhden.

Jos a · b = 1, niin voidaan sanoa, että luku a on luvun b käänteisluku, aivan kuten luku b on luvun a käänteisluku.

Yksinkertaisin esimerkki käänteisluvuista on kaksi ykköstä. Todellakin, 1 1 = 1, joten a = 1 ja b = 1 ovat keskenään käänteisiä lukuja. Toinen esimerkki ovat luvut 3 ja 1 3 , - 2 3 ja - 3 2 , 6 13 ja 13 6 , log 3 17 ja log 17 3 . Minkä tahansa yllä olevien lukujen parin tulo on yhtä suuri kuin yksi. Jos tämä ehto ei täyty, kuten esimerkiksi luvut 2 ja 2 3 , luvut eivät ole keskenään käänteisiä.

Käänteislukujen määritelmä pätee kaikille luvuille - luonnollisille, kokonaislukuille, todellisille ja komplekseille.

Kuinka löytää tietyn luvun käänteisluku

Harkitse yleinen tapaus. Jos alkuperäinen luku on yhtä suuri kuin a , sen käänteisluku kirjoitetaan 1 a tai a - 1 . Todellakin, a · 1 a = a · a - 1 = 1 .

Luonnollisten lukujen ja yhteisten murtolukujen käänteisluvun löytäminen on melko helppoa. Voidaan jopa sanoa, että se on ilmeistä. Jos löydetään luku, joka on irrationaalisen tai kompleksiluvun käänteisluku, on suoritettava useita laskelmia.

Harkitse yleisimpiä tapauksia käytännössä vastavuoroisuuden löytämiseksi.

Yhteisen murtoluvun käänteisluku

On selvää, että yhteisen murtoluvun a b käänteisluku on murto-osa b a . Joten, jotta voit löytää murtoluvun käänteisluvun, sinun tarvitsee vain kääntää murtoluku. Eli vaihda osoittaja ja nimittäjä.

Tämän säännön mukaan voit kirjoittaa minkä tahansa tavallisen murtoluvun käänteisluvun lähes välittömästi. Joten murto-osan 28 57 käänteisluku on murto-osa 57 28 ja murto-osalle 789 256 - luku 256 789.

Luonnollisen luvun käänteisluku

Voit löytää minkä tahansa luonnollisen luvun käänteisluvun samalla tavalla kuin murtoluvun käänteisluvun. Riittää, että luonnollinen luku a esitetään tavallisena murtolukuna a 1 . Silloin sen käänteisluku on 1 a . varten luonnollinen luku 3:n käänteisluku on 1 3 , 666:n käänteisluku on 1 666 ja niin edelleen.

Laitteeseen tulee kiinnittää erityistä huomiota, koska se on yksikkö, jonka käänteisluku on yhtä suuri kuin hän itse.

Ei ole olemassa muita käänteislukupareja, joissa molemmat komponentit ovat yhtä suuret.

Sekaluvun käänteisluku

Sekaluku on muotoa a b c . Löytääksesi sen vastavuoroisuuden, sinun on sekoitettu numero esitä siemenessä väärä jae ja valitse tuloksena olevalle osuudelle käänteisluku.

Etsitään esimerkiksi käänteisluku 7 2 5 . Esitetään ensin 7 2 5 vääränä murtolukuna: 7 2 5 = 7 5 + 2 5 = 37 5 .

Väärän murtoluvun 37 5 käänteisluku on 5 37 .

Desimaaliluvun käänteisluku

Desimaaliluku voidaan esittää myös yhteisenä murtolukuna. Luvun desimaalimurtoluvun käänteisluvun löytäminen tarkoittaa, että desimaalimurto esitetään yhteisenä murtolukuna ja löydetään sen käänteisluku.

Esimerkiksi murto-osa on 5, 128. Etsitään sen vastavuoroisuus. Ensin muunnetaan desimaaliluku yhteiseksi murtoluvuksi: 5, 128 = 5 128 1000 = 5 32 250 = 5 16 125 = 641 125. Tuloksena olevan murtoluvun käänteisluku on murto-osa 125641.

Tarkastellaanpa vielä yhtä esimerkkiä.

Esimerkki. Desimaaliluvun käänteisluvun löytäminen

Etsi jaksollisen desimaaliluvun käänteisluku 2 , (18) .

Muunna desimaali tavalliseksi:

2, 18 = 2 + 18 10 - 2 + 18 10 - 4 +. . . = 2 + 18 10 - 2 1 - 10 - 2 = 2 + 18 99 = 2 + 2 11 = 24 11

Käännöksen jälkeen voimme helposti kirjoittaa muistiin murtoluvun 24 11 käänteisluvun. Tämä luku on ilmeisesti 11 24 .

Äärettömälle ja toistumattomalle desimaaliluvulle käänteisluku kirjoitetaan murtolukuna, jonka osoittajassa on yksikkö ja nimittäjässä itse murtoluku. Esimerkiksi äärettömälle murtoluvulle 3 6025635789 . . . käänteisluku on 1 3 , 6025635789 . . . .

Samoin varten irrationaalisia lukuja, jotka vastaavat ei-jaksollisia äärettömiä murtolukuja, käänteisluvut kirjoitetaan murtolukulausekkeina.

Esimerkiksi π + 3 3 80:n käänteisluku on 80 π + 3 3 ja 8 + e 2 + e käänteisluku on 1 8 + e 2 + e.

Käänteisluvut juurineen

Jos kahden luvun muoto on eri kuin a ja 1 a , ei ole aina helppoa määrittää, ovatko luvut keskenään käänteisiä. Tämä pätee erityisesti lukuihin, joiden merkinnöissä on juurimerkki, koska nimittäjässä on yleensä tapana päästä eroon juuresta.

Siirrytään harjoituksiin.

Vastataan kysymykseen: ovatko luvut 4 - 2 3 ja 1 + 3 2 vastavuoroisia.

Selvittääksemme ovatko luvut keskenään käänteisiä, laskemme niiden tulon.

4 - 2 3 1 + 3 2 = 4 - 2 3 + 2 3 - 3 = 1

Tulo on yhtä suuri kuin yksi, mikä tarkoittaa, että luvut ovat keskenään käänteisiä.

Tarkastellaanpa vielä yhtä esimerkkiä.

Esimerkki. Käänteisluvut juurineen

Kirjoita ylös käänteisluku 5 3 + 1 .

Voit heti kirjoittaa, että käänteisluku on yhtä suuri kuin murto-osa 1 5 3 + 1. Kuitenkin, kuten olemme jo sanoneet, on tapana päästä eroon nimittäjän juuresta. Tee tämä kertomalla osoittaja ja nimittäjä luvulla 25 3 - 5 3 + 1 . Saamme:

1 5 3 + 1 = 25 3 - 5 3 + 1 5 3 + 1 25 3 - 5 3 + 1 = 25 3 - 5 3 + 1 5 3 3 + 1 3 = 25 3 - 5 3 + 1 6

Käänteisluvut potenssien kanssa

Oletetaan, että on luku, joka on yhtä suuri kuin jokin luvun a potenssi. Toisin sanoen luku a korotetaan potenssiin n. Arvon a n käänteisluku on a - n . Katsotaanpa se. Todellakin: a n a - n = a n 1 1 a n = 1 .

Esimerkki. Käänteisluvut potenssien kanssa

Etsi käänteisluku 5 - 3 + 4 .

Yllä olevan mukaan haluttu luku on 5 - - 3 + 4 = 5 3 - 4

Käänteisluvut logaritmeilla

Lukujen a logaritmissa kantaan b käänteisluku on luku, yhtä suuri kuin logaritmi numerot b pohjaan a .

log a b ja log b a ovat keskenään käänteislukuja.

Katsotaanpa se. Logaritmin ominaisuuksista seuraa, että log a b = 1 log b a , mikä tarkoittaa log a b · log b a .

Esimerkki. Käänteisluvut logaritmeilla

Etsi log 3 5 - 2 3 käänteisluku.

Logaritmin 3 käänteiskanta 3 5 - 2 on logaritmi 3 5 - 2 kantaan 3.

Kompleksiluvun käänteisluku

Kuten aiemmin todettiin, käänteislukujen määritelmä ei päde vain reaalilukuille, vaan myös kompleksisille luvuille.

Yleensä kompleksiluvut esitetään algebrallisessa muodossa z = x + i y . Tämän käänteisluku on murto-osa

1 x + i y. Mukavuussyistä tätä lauseketta voidaan lyhentää kertomalla osoittaja ja nimittäjä x - i y:llä.

Esimerkki. Kompleksiluvun käänteisluku

Olkoon kompleksiluku z = 4 + i . Etsitään sen vastavuoroisuus.

Arvon z = 4 + i käänteisluku on yhtä suuri kuin 1 4 + i .

Kerro osoittaja ja nimittäjä luvulla 4 - i ja saat:

1 4 + i \u003d 4 - i 4 + i 4 - i \u003d 4 - i 4 2 - i 2 \u003d 4 - i 16 - (- 1) \u003d 4 - i 17.

Algebrallisen muotonsa lisäksi kompleksiluku voidaan esittää trigonometrisessa tai eksponentiaalisessa muodossa seuraavasti:

z = r cos φ + i sin φ

z = r e i φ

Vastaavasti käänteisnumero näyttää tältä:

1 r cos (- φ) + i sin (- φ)

Varmistetaan tämä:

r cos φ + i sin φ 1 r cos (- φ) + i sin (- φ) = r r cos 2 φ + sin 2 φ = 1 r e i φ 1 r e i (- φ) = r r e 0 = 1

Harkitse esimerkkejä kompleksilukujen esittämisestä trigonometrisessa ja eksponentiaalisessa muodossa.

Etsi käänteisarvo 2 3 cos π 6 + i · sin π 6 .

Ottaen huomioon, että r = 2 3, φ = π 6, kirjoitetaan käänteisluku

3 2 cos - π 6 + i sin - π 6

Esimerkki. Etsi kompleksiluvun käänteisluku

Mikä on käänteisarvo 2 · e i · - 2 π 5 .

Vastaus: 1 2 e i 2 π 5

Käänteislukujen summa. Epätasa-arvo

On olemassa lause kahden käänteisluvun summasta.

Keskinäisten käänteislukujen summa

Kahden positiivisen ja käänteisluvun summa on aina suurempi tai yhtä suuri kuin 2.

Esitämme lauseen todisteen. Kuten tiedät, kaikkien positiivisten lukujen a ja b aritmeettinen keskiarvo on suurempi tai yhtä suuri kuin geometrinen keskiarvo. Tämä voidaan kirjoittaa epätasa-arvoksi:

a + b 2 ≥ a b

Jos otamme luvun b sijasta a:n käänteisarvon, epäyhtälö saa muodon:

a + 1 a 2 ≥ a 1 a a + 1 a ≥ 2

Q.E.D.

Annetaan käytännön esimerkki havainnollistaen tätä ominaisuutta.

Esimerkki. Etsi käänteislukujen summa

Lasketaan lukujen 2 3 summa ja sen käänteisluku.

2 3 + 3 2 = 4 + 9 6 = 13 6 = 2 1 6

Kuten lause sanoo, tuloksena oleva luku on suurempi kuin kaksi.

Jos huomaat tekstissä virheen, korosta se ja paina Ctrl+Enter