Oppitunti "keskenään käänteiset numerot". Käänteiset numerot

Johtuu siitä, että lähes kaikissa modernit koulut on tarvittavat varusteet, jotta lapsille voidaan näyttää videoita ja erilaisia ​​sähköisiä oppimisresursseja oppituntien aikana, on mahdollista kiinnostaa oppilaita paremmin tietystä aiheesta tai tietystä aiheesta. Tämän seurauksena oppilaiden suorituskyky ja koulun yleinen sijoitus paranevat.

Ei ole mikään salaisuus, että oppitunnin aikana tapahtuva visuaalinen esittely auttaa paremmin muistamaan ja omaksumaan määritelmiä, tehtäviä ja teoriaa. Jos tähän liittyy vokalisointi, niin visuaalinen kuin kuuloinenkin muisti toimivat opiskelijalle samanaikaisesti. Siksi video -opetusohjelmia pidetään yhtenä eniten tehokkaita materiaaleja koulutusta varten.

On olemassa useita sääntöjä ja vaatimuksia, jotka videotunneilla on täytettävä, jotta ne olisivat mahdollisimman tehokkaita ja hyödyllisiä sopivan ikäisille opiskelijoille. Tekstin tausta ja väri on valittava asianmukaisesti, kirjasinkoko ei saa olla liian pieni, jotta heikko näköiset opiskelijat voisivat lukea tekstiä, eivätkä liian suuret ärsyttämään silmiä ja aiheuttamaan haittaa jne. Erityistä huomiota kiinnitetään kuvituksiin - niiden tulee olla maltillisia eikä häiritä pääteemaa.

Video -opetusohjelma "Mutually Inverse Numbers" on erinomainen esimerkki tällaisesta oppimisresurssista. Hänen ansiostaan ​​6. luokan oppilas voi täysin ymmärtää, mitkä ovat keskenään käänteisiä numeroita, miten ne tunnistetaan ja miten heidän kanssaan voidaan työskennellä.

Oppitunti alkaa yksinkertainen esimerkki, jossa kaksi murtoa 8/15 ja 15/8 kerrotaan toisilla. On mahdollista muistaa sääntö, jolla, kuten aiemmin tutkittiin, jakeet tulisi kertoa. Toisin sanoen osoittajaan tulee kirjoittaa lukijoiden tulo ja nimittäjään nimittäjien tulo. Vähennyksen tuloksena, joka on myös syytä muistaa, saadaan yksi.

Jälkeen tämä esimerkki, kuuluttaja antaa yleisen määritelmän, joka näytetään rinnakkain näytöllä. Siinä sanotaan, että numeroita, jotka kerrottuna toisilla saadaan yhdeksi, kutsutaan toisiinsa päinvastaisiksi. Määritelmä on helppo muistaa, mutta se säilyy varmemmin muistissa, jos annat joitain esimerkkejä.

Kun keskinäisesti käänteislukujen käsite on määritelty, näytöllä näkyy joukko numerotuloksia, jotka näin ollen antavat yhden.

Anna yleinen esimerkki, joka ei ole riippuvainen tietyistä numeeriset arvot, käytetään muuttujia a ja b, jotka ovat erilaisia ​​kuin 0. Miksi? Loppujen lopuksi luokan 6 koululaisten pitäisi tietää täydellisesti, että minkään murtoluvun nimittäjä ei voi olla nolla, ja jotta voidaan näyttää vastavuoroisia lukuja, ei voida tehdä ilman näiden arvojen sijaintia nimittäjässä.

Kun tämä kaava on näytetty ja kommentoitu, puhuja alkaa pohtia ensimmäistä tehtävää. Tärkeintä on, että on tarpeen löytää käänteinen annetusta sekoitettu fraktio... Sen ratkaisemiseksi murtoluku kirjoitetaan väärään muotoon ja osoittaja ja nimittäjä vaihdetaan. Tulos on vastaus. Opiskelija voi itsenäisesti tarkistaa sen käyttämällä vastavuoroisten numeroiden määritelmää.

Video -opetusohjelma ei rajoitu tähän esimerkkiin. Edellisen jälkeen näytöllä näkyy toinen tehtävä, jossa on tarpeen löytää kolmen murto -osan tulo. Jos oppilas on tarkkaavainen, hän huomaa, että kaksi näistä murto -osista on vastavuoroisia lukuja, joten heidän tuloksensa on yhtä. Kerto -ominaisuuden perusteella voidaan ensinnäkin kertoa keskenään vastavuoroiset jakeet ja lopuksi kertoa tulos eli 1 ensimmäisellä murto -osalla. Ilmoittaja selittää yksityiskohtaisesti ja esittelee koko prosessin alusta loppuun näytöllä askel askeleelta. Lopuksi annetaan teoreettinen yleistetty selitys kerto -ominaisuudesta, jota käytettiin esimerkin ratkaisemiseen.

Tietojen vahvistamiseksi varmasti kannattaa yrittää vastata kaikkiin kysymyksiin, jotka näytetään oppitunnin lopussa.

Kunnan oppilaitos "Parkanskajan lukio nro 2 nimetty DI. Mishchenko

6. luokan matematiikan oppitunti aiheesta

"Vastavuoroiset luvut"

Kapellimestari

matematiikka ja tietojenkäsittelytiede

I pätevyysluokka

Balan V.M.

Parkans 2011

P.S. Tiedoston enimmäiskoon (enintään 3 Mt) rajoitusten vuoksi esitys on jaettu kahteen osaan. Diat on kopioitava peräkkäin yhteen esitykseen.

Matematiikan oppitunti 6. luokalla aiheesta "Vastavuoroiset luvut"

Kohde:

1. Esittele keskinäisesti käänteisten lukujen käsite.
2. Opi tunnistamaan keskenään vastavuoroisten numeroiden parit.
3. Toista fraktioiden kertominen ja pienentäminen.

Oppitunnin tyyppi : uuden tiedon opiskelu ja ensisijainen vahvistaminen.

Laitteet:

• tietokoneet;
• signaalikortit;
• työkirjat, harjoituskirjat, oppikirja;
• piirustus tarvikkeet;
• esitys oppitunnille (ks.Sovellus ).

Yksilötehtävä:yksikön viesti.

Luentojen aikana

1. Organisaation hetki.(3 minuuttia)

Hei kaverit, istukaa alas! Aloitetaan oppitunti! Tänään tarvitset huomiota, keskittymistä ja tietysti kurinalaisuutta.(Dia 1 )

Tämän päivän oppitunnin epigrafina otin sanat:

Usein sanotaan, että numerot hallitsevat maailmaa;

ainakaan ei ole epäilystäkään

että numerot osoittavat, miten sitä hallitaan.

Ja hauskat pikku ihmiset kiirehtivät minua avuksi: Lyijykynä ja Samodelkin. He auttavat minua opettamaan tämän oppitunnin.(Dia 2 )

Kynän ensimmäinen tehtävä on ratkaista anagrammit. (Dia 3 )

Muistetaan yhdessä, mikä on anagrammi? (Anagrammi on sanan kirjainten permutaatio, joka muodostaa toisen sanan. Esimerkiksi "nurina" - "kirves").

(Lapset vastaavat anagrammiin ja arvaavat sanat.)

Hyvin tehty! Tämän päivän oppitunnin aihe on "Vastavuoroiset numerot".

Avaamme muistikirjat, kirjoitamme muistiin oppitunnin numeron, luokkatyön ja aiheen. (Dia 4 )

Kaverit, kertokaa minulle, mitä teidän pitäisi oppia tänään oppitunnilla?

(Lapset nimeävät oppitunnin tarkoituksen.)

Oppituntimme tarkoitus:

• Selvitä, mitä numeroita kutsutaan toisiinsa päinvastaisiksi.
• Opi löytämään keskenään vastavuoroisia numeroita.
• Toista murto- ja pienentämissääntö.
• Kehittää opiskelijoiden loogista ajattelua.

2. Työskentelemme suullisesti.(3 minuuttia)

Toistetaan murtoluvun kertosääntö. (Dia 5 )

Tehtävä Samodelkinilta (lapset lukevat esimerkkejä ja suorittavat kertomisen):

Mitä sääntöä käytimme?

Lyijykynä valmisti vaikeamman tehtävän (Dia 6 ):

Mitä tällainen työ on verrattavissa?

Kaverit, toistimme vaiheiden kertomisen ja peruuttamisen vaiheet, joita et voi tehdä ilman uutta aihetta.

3. Selitys uudesta materiaalista.(15 minuuttia) ( Dia 7 )

1. Ota murtoluku 8/17, aseta nimittäjä osoittajan sijaan ja päinvastoin. Määrä on 17/8.

Kirjoitamme: murto -osaa 17/8 kutsutaan jakeen 8/17 käänteiseksi.

Huomio! Jakeen m / n käänteistä kutsutaan murto -osaksi n / m. (Dia 8 )

Kaverit, kuinka saatte tämän murto -osan käänteisen tästä murto -osasta?(Lapset vastaavat.)

2. Tehtävä Samodelkinilta:

Mikä on tämän murto -osan käänteisarvo?(Lapset soittavat.)

Tällaisten murto -osien sanotaan olevan käänteisiä toisilleen! (Dia 9 )

Mitä sitten voidaan sanoa jakeista 8/17 ja 17/8?

Vastaus: käänteinen toisilleen (kirjoita muistiin).

3. Mitä tapahtuu, jos kerrot kaksi käänteistä murto -osaa?

(Työskentely diojen kanssa. (Dia 10 ))

Pojat! Katso ja kerro minulle, mikä ei voi olla yhtä kuin m ja n?

Toistan vielä kerran, että minkä tahansa käänteisen murto -osan tulo on 1. (Dia 11 )

4. Osoittautuu, että yksi on maaginen numero!

Ja mitä tiedämme yksiköstä?

Mielenkiintoisia arvioita numeroiden maailmasta on tullut meille läpi vuosisatojen Pythagoraan koulusta, josta Boyanzhi Nadia kertoo meille (lyhyt viesti).

5. Pysähdyimme siihen, että minkä tahansa käänteisluvun tulo on 1.

Miten näitä numeroita kutsutaan?(Määritelmä.)

Tarkistetaan, ovatko murtoluvut 1,25 ja 0,8 toisiinsa päinvastaisia. (Dia 12 )

Voit tarkistaa toisella tavalla, ovatko numerot toisiinsa päinvastaisia ​​(2 -suuntaisia).

Tehdään johtopäätös kaverit:

Kuinka tarkistaa, ovatko numerot toisiinsa päinvastaisia?(Lapset vastaavat.)

6. Katsotaan nyt useita esimerkkejä vastavuoroisten lukujen löytämisestä (harkitse kahta esimerkkiä). (Dia 13)

4. Ankkurointi. (10 minuuttia)

1. Työskentele signaalikorttien kanssa. Pöydälläsi on signaalikortteja. (Dia 14)

Punainen - ei. Vihreä - kyllä.

(Viimeinen esimerkki on 0,2 ja 5.)

Hyvin tehty! Osaa tunnistaa keskinäisesti vastavuoroisten numeroiden parit.

2. Huomio näyttöön! - työskentelemme suullisesti. (Dia 15)

Etsi tuntematon luku (ratkaisemme yhtälöt, viimeiset 1/3 x = 1).

Huomio kysymys: Milloin kaksi numeroa tuotteessa antaa 1?(Lapset vastaavat.)

5. Liikunnan minuutti.(2 minuuttia)

Pidä nyt tauko näytöstä - lepäämme!

1. Sulje silmäsi, sulje silmäsi erittäin tiukasti, avaa silmäsi terävästi. Tee tämä 4 kertaa.
2. Pidämme päämme suorana, silmät ylös, alas, katsomme vasemmalle, katsomme oikealle (4 kertaa).
3. Kallista päätäsi taaksepäin, laske se eteenpäin niin, että leuka lepää rintaasi (2 kertaa).

6. Jatkamme uuden materiaalin lujittamista [3], [4].(5 minuuttia)

Lepää ja nyt uuden materiaalin vakiinnuttaminen.

Oppikirjassa # 563, # 564 - liitutaululla. (Dia 16)

7. Oppitunnin yhteenveto, kotitehtävät. (3 minuuttia)

Oppituntimme lähestyy loppuaan. Kerro kaverit, mitä olemme oppineet tänään oppitunnilla?

1. Kuinka saada vastavuoroiset numerot?
2. Mitä numeroita kutsutaan toistensa käänteisiksi?
3. Kuinka löytää sekoitetun numeron vastavuoroisuus desimaali?

Olemmeko saavuttaneet oppitunnin tarkoituksen?

Avaa päiväkirjat, kirjoita kotitehtävät muistiin: # 591 (a), 592 (a, b), 595 (a), s.16.

Ja nyt pyydän teitä ratkaisemaan tämän palapelin (jos on aikaa).

Kiitos oppitunnista! (Dia 17)

Kirjallisuus:

1. Matematiikka 5-6: oppikirja-kumppani. L.N. Shevrin, A.G. Gein, I.O. Korjakov, M.V. Volkov, - M.: Koulutus, 1989.
2. Matematiikka Luokka 6: oppitunnit N.Ya: n oppikirjan mukaan Vilenkina, V.I. Zhokhov. LA. Tapilina, T.L. Afanasjev. - Volgograd: Opettaja, 2006.
3. Matematiikka: Oppikirja, luokka 6. N. Ya Vilenkin, V.I. Zhokhov, A.S. Chesnokov, S.I. Schwarzburd. - M: Mnemosina, 1997.
4. Lyijykynän ja Samodelkinin matka. Yu Druzhkov. - M.: Dragonfly press, 2003.

Esikatselu:

Jos haluat käyttää esitysten esikatselua, luo itsellesi Google -tili (tili) ja kirjaudu siihen: https://accounts.google.com

Dian kuvatekstit:

1 ”Usein sanotaan, että numerot hallitsevat maailmaa; ainakin ei ole epäilystäkään siitä, että numerot osoittavat, miten sitä hallitaan. ”JOHANN WOLFGANG GÖTHE

3 Ymmärtääksesi tämän päivän oppitunnin aiheen, sinun on ymmärrettävä ANAGRAMIT! 1) ICHLAS -NUMEROT 2) TORVAN MURTA 3) KÄÄNTÄMINEN PALAUTUS 4) OVATKO MUUT MUUT MUITA? JA POISTA NYT LISÄSANA, TILAA LOPPU OIKEASSA TILAUKSESSA!

4 KESKINÄINEN KÄÄNTÖNUMERO

5 VAIKUTUSTEN LASKEMINEN SUULLISESTI: Hyvin tehty!

6 NYT TYÖ ON ERI ERI! Laske: HYVÄT MIEHET!

1 Mitä tapahtuu, jos kerrot kaksi käänteistä murto -osaa? Katsotaanpa (kirjoita kanssani): HUOMIO! MUUTTUJEN TUOTANTO TAKAISIN TOISELLE ON YHTEENSÄ! MITÄ TIEDÄMME LAITTEESTA? MUISTAA!

2 KAKSI NUMEROA, TUOTETTA, JOIDEN YHTEEN VASTAAVAA TUOTETTA, KUIN KÄYTÄNNÖLLÄ KÄÄNTÄVÄT NUMEROT TARKISTAMME, OLEVAT KESKINÄIN KÄÄNTÄVÄT MUUT MÄÄRÄT: 1,25 JA 0,8 KIRJOITA ALKUPERÄINEN kertolasku:

3 Todistetaan, että käänteinen 0,75. Kirjoitamme :, ja sen käänteinen Etsi kirjoittamamme luvun käänteisluku sekava numero virheellisenä murto -osana: Tämä luku käännetään

4 TYÖSKELEMME SIGNAALIKORTTIJALLA KYLLÄ EI OLEKO NUMEROJA MUUTTAMAAN?

5 TYÖSKENTELY Suullisesti: LÖYDÄ TUNNETON NUMERO:

6 KÄYTTÄMINEN MUISTIKIRJOISSA. TEKSTIKIRJAN SIVU 8 9 nro 5 63

7 KIITOS TUNNISTA?

Esikatselu:

Analyysi

Matematiikan 6. luokka

Kunnan oppilaitos "Parkanskajan lukio nro 2 nimetty D.I.Mishchenko "

Opettaja Balan V.M.

Oppitunnin aihe: "Vastavuoroiset luvut".

Oppitunti perustuu aiempiin oppitunteihin, opiskelijoiden tietämystä testattiin eri menetelmillä sen selvittämiseksi, miten oppilaat ovat oppineet edellisen materiaalin ja miten tämä oppitunti "toimii" seuraavilla oppitunneilla.

Oppitunnin vaiheet on loogisesti jäljitetty, sujuva siirtyminen yhdestä toiseen. Voit jäljittää oppitunnin eheyden ja täydellisyyden. Uuden materiaalin omaksuminen tapahtui luomisen aikana itsenäisesti ongelmatilanne ja hänen ratkaisunsa. Uskon, että oppitunnin valittu rakenne on järkevä, koska sen avulla voidaan toteuttaa kokonaisuudessaan kaikki oppitunnin tavoitteet.

Tällä hetkellä tieto- ja viestintätekniikan käyttöä käytetään erittäin aktiivisesti luokkahuoneessa, joten V. M. Balan. sovellettu multimedia selkeyden parantamiseksi.

Oppitunti pidettiin 6. luokalla, jossa suoritustaso kognitiivinen kiinnostus ja muisti ei ole kovin korkea, on joitain kavereita, joilla on puutteita tosiasioissa. Siksi oppitunnin kaikissa vaiheissa erilaisia ​​menetelmiä aktivoivat oppilaat, mikä ei antanut heidän kyllästyä materiaalin yksitoikkoisuuteen.

Oppilaiden tietämyksen tarkistamiseksi ja arvioimiseksi käytettiin dioja, joissa oli valmiita vastauksia, itsearviointiin ja keskinäiseen tenttiin.

Oppitunnin aikana opettaja pyrki aktivoimaan oppilaiden ajattelutoiminnan käyttämällä seuraavia tekniikoita ja menetelmiä: anagrammi oppitunnin alussa, keskustelu, oppilaiden tarina "mitä tiedämme yksiköstä? ", selkeys, työskentele signaalikorttien kanssa.

Uskon siis, että luova oppitunti on kiinteä järjestelmä... Oppitunnilla asetetut tavoitteet on saavutettu.

1. luokan matematiikan opettaja / Kurteva F.I. /

Antakaamme määritelmä ja esimerkkejä keskinäisistä vastavuoroisista numeroista. Mieti, kuinka löytää luonnollisen luvun käänteisarvo ja tavallisen murto -osan käänteinen. Lisäksi kirjoitamme muistiin ja todistamme eriarvoisuuden, joka heijastaa vastavuoroisesti käänteisten lukujen summan omaisuutta.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Vastavuoroiset numerot. Määritelmä

Määritelmä. Vastavuoroiset luvut

Keskinäisesti käänteisluvut ovat numeroita, joiden tulo antaa yhden.

Jos a · b = 1, voimme sanoa, että luku a on käänteinen lukuun b, aivan kuten luku b on käänteinen lukuun a.

Yksinkertaisin esimerkki vastavuoroisesti käänteisistä numeroista on kaksi. Itse asiassa 1 · 1 = 1, joten a = 1 ja b = 1 ovat keskenään käänteisiä lukuja. Toinen esimerkki on numerot 3 ja 1 3, - 2 3 ja - 3 2, 6 13 ja 13 6, log 3 17 ja log 17 3. Minkä tahansa yllä olevien numeroiden parin tulo on yhtä. Jos tämä ehto ei täyty, kuten esimerkiksi numeroille 2 ja 2 3, luvut eivät ole toisiinsa päinvastaisia.

Vastavuoroisten lukujen määritelmä koskee kaikkia numeroita - luonnollisia, kokonaislukuja, todellisia ja monimutkaisia ​​numeroita.

Kuinka löytää tietyn luvun käänteisluku

Harkitse yleinen tapaus... Jos alkuperäinen numero on a, sen käänteinen kirjoitetaan 1a tai a - 1. Itse asiassa a 1 a = a a - 1 = 1.

Luonnollisille numeroille ja tavalliset murtoluvut vastavuoroisuuden löytäminen on melko yksinkertaista. Voisi jopa sanoa, että se on selvää. Jos löydät irrationaalisen tai kompleksisen luvun käänteisen, sinun on tehtävä useita laskelmia.

Tarkastellaan useimmin löydettyjä käytännön tapauksia käänteinen numero.

Tavallisen murto -osan vastavuoroisuus

On selvää, että tavallisen murto -osan a b käänteisarvo on murto b a. Joten löytääksesi vastavuoroisen luvun, sinun tarvitsee vain kääntää murto -osa. Eli vaihda osoittaja ja nimittäjä.

Tämän säännön mukaan voit kirjoittaa minkä tahansa tavallisen murto -osan vastavuoroisuuden lähes välittömästi. Joten murtoluvulle 28 57 vastavuoroisuus on murto 57 28 ja murtoluvulle 789 256 - luku 256789.

Luonnonluvun käänteisluku

Löydät minkä tahansa luonnollisen luvun käänteisarvon samalla tavalla kuin murto -osan käänteisen. Riittää, että luonnollinen luku a esitetään tavallisena murto -osana a 1. Sitten luku 1 a on sen käänteinen. Varten luonnollinen luku 3, sen vastavuoroisuus on murto 1 3, 666, vastavuoroinen on 1 666 ja niin edelleen.

Yksikköön on kiinnitettävä erityistä huomiota, koska se on yksikkö joille vastavuoroisuus on sama kuin itsensä.

Ei ole muita pareittain käänteisiä numeroita, joissa molemmat komponentit ovat yhtä suuret.

Sekamäärän käänteisluku

Sekamäärä on b c. Sen käänteisluvun löytämiseksi on välttämätöntä edustaa sekamäärä väärän murtoluvun puolella ja valita käänteinen luku tuloksena olevalle murto -osalle.

Etsitään esimerkiksi vastavuoroinen 7 2 5. Kuvittele ensin 7 2 5 vääränä murto -osana: 7 2 5 = 7 5 + 2 5 = 37 5.

Väärän murtoluvun 37 5 osalta vastavuoroisuus on 5 37.

Desimaaliluvun käänteisarvo

Desimaali voidaan esittää myös murto -osana. Numeron käänteisluvun löytäminen pelkistetään desimaalin esittämiseksi tavallisena murto -osana ja vastavuoroisuuden löytäminen sille.

Esimerkiksi murto -osa 5, 128. Etsitään sen käänteisluku. Ensin muunnamme desimaalin murto -osaksi tavalliseksi: 5, 128 = 5 128 1000 = 5 32250 = 5 16125 = 641125. Tuloksena olevan jakeen osalta vastavuoroinen on murto 125 641.

Otetaan toinen esimerkki.

Esimerkki. Desimaalin käänteisluvun löytäminen

Etsi vastavuoroinen jaksolliselle desimaalille 2, (18).

Muunnamme desimaalin murto -osaksi tavalliseksi:

2, 18 = 2 + 18 10-2 + ​​18 10-4 +. ... ... = 2 + 18 10-2 1 1-10 - 2 = 2 + 18 99 = 2 + 2 11 = 24 11

Käännöksen jälkeen voimme helposti kirjoittaa vastavuoroisen murtoluvulle 24 11. Tämä luku on ilmeisesti 11 24.

Ääretön ja ei-jaksollinen desimaalimurto, vastavuoroinen kirjoitetaan murto-osana ja yksikönä osoittajaan ja murto-osa nimittäjään. Esimerkiksi ääretön jae 3, 6025635789. ... ... vastavuoroisuus on 1 3, 6025635789. ... ... ...

Samoin varten järjettömät luvut, joka vastaa jaksottaisia ​​äärettömiä murto-osia, vastavuoroiset luvut kirjoitetaan murto-lausekkeiden muodossa.

Esimerkiksi vastinarvo π + 3 3 80 on 80 π + 3 3 ja numerolle 8 + e 2 + e vastavuoroinen on murto -osa 1 8 + e 2 + e.

Vastavuoroiset luvut juurineen

Jos kahden numeron muoto eroaa a: sta ja 1 a: sta, ei ole aina helppoa määrittää, ovatko numerot toisiinsa päinvastaisia. Tämä pätee erityisesti numeroihin, joiden merkinnöissä on juurimerkki, koska yleensä on tapana päästä eroon nimittäjän juurista.

Siirrytään harjoitteluun.

Vastataan kysymykseen: ovatko luvut 4 - 2 3 ja 1 + 3 2 toisiinsa päinvastaisia?

Jos haluat selvittää, ovatko luvut toisiinsa päinvastaisia, lasketaan niiden tuote.

4 - 2 3 1 + 3 2 = 4 - 2 3 + 2 3 - 3 = 1

Tuote on yhtä kuin yksi, mikä tarkoittaa, että luvut ovat toisiinsa päinvastaisia.

Otetaan toinen esimerkki.

Esimerkki. Vastavuoroiset luvut juurineen

Kirjoita vastine 5 3 + 1.

Voit heti kirjoittaa muistiin, että vastavuoro on yhtä kuin murtoluku 1 5 3 + 1. Kuitenkin, kuten olemme jo sanoneet, on tapana päästä eroon nimittäjän juurista. Voit tehdä tämän kertomalla osoittimen ja nimittäjän 25 3 - 5 3 + 1. Saamme:

1 5 3 + 1 = 25 3 - 5 3 + 1 5 3 + 1 25 3 - 5 3 + 1 = 25 3 - 5 3 + 1 5 3 3 + 1 3 = 25 3 - 5 3 + 1 6

Vastavuoroiset luvut voimilla

Oletetaan, että on luku, joka on yhtä suuri kuin jonkin luvun a teho. Toisin sanoen luku a korotettiin tehoon n. Käänteinen n on a - n. Tarkistetaan se. Todellakin: a n a - n = a n 1 1 a n = 1.

Esimerkki. Vastavuoroiset luvut voimilla

Etsi vastavuoroisuus 5 + 3 + 4.

Edellä mainitun mukaan vaadittu luku on 5 - - 3 + 4 = 5 - 4

Vastavuoroiset luvut logaritmeilla

A: n ja b: n logaritmin osalta käänteinen on luku, yhtä kuin logaritmi numerot b kannassa a.

log a b ja log b a ovat keskenään käänteisiä lukuja.

Tarkistetaan se. Logaritmin ominaisuuksista seuraa, että log a b = 1 log b a, joten kirjaa a b log b a.

Esimerkki. Vastavuoroiset luvut logaritmeilla

Etsi lokin vastavuoroisuus 3 5 - 2 3.

Logaritmin 3 käännös perustaan ​​3 5 - 2 on logaritmi 3 5 - 2 pohjaan 3.

Kompleksiluvun käänteisluku

Kuten aiemmin todettiin, vastavuoroisesti käänteisten lukujen määritelmä pätee paitsi todellisiin numeroihin myös monimutkaisiin numeroihin.

Yleensä kompleksiluvut esitetään algebrallisessa muodossa z = x + i y. Annetun luvun käänteisarvo on murtoluku

1 x + i y. Mukavuuden vuoksi voit lyhentää tätä lauseketta kertomalla osoittimen ja nimittäjän x - i y: llä.

Esimerkki. Kompleksiluvun käänteisluku

Olkoon kompleksiluku z = 4 + i. Löydämme sen käänteisen.

Käänteisarvo z = 4 + i on 1 4 + i.

Kerro lukija ja nimittäjä 4 - i: llä ja saat:

1 4 + i = 4 - i 4 + i 4 - i = 4 - i 4 2 - i 2 = 4 - i 16 - ( - 1) = 4 - i 17.

Algebrallisen muodon lisäksi kompleksiluku voidaan ilmaista trigonometrisessä tai eksponentiaalisessa muodossa seuraavasti:

z = r cos φ + i sin φ

z = r e i φ

Vastaavasti käänteinen luku on:

1 r cos (- φ) + i sin (- φ)

Varmistetaan tämä:

r cos φ + i sin φ 1 r cos (- φ) + i sin (- φ) = rr cos 2 φ + sin 2 φ = 1 r ei φ 1 rei (- φ) = rre 0 = 1

Harkitse esimerkkejä kompleksilukujen esittämisestä trigonometrisessä ja eksponentiaalisessa muodossa.

Etsi käänteisarvo 2 3 cos π 6 + i sin π 6.

Ottaen huomioon, että r = 2 3, φ = π 6, kirjoitamme käänteisluvun

3 2 cos - π 6 + i sin - π 6

Esimerkki. Etsi kompleksiluvun käänteisluku

Mikä on käänteinen 2 · e i · - 2 π 5.

Vastaus: 1 2 e i 2 π 5

Vastavuoroisten lukujen summa. Eriarvoisuus

On lause kahden keskenään vastavuoroisen luvun summasta.

Vastavuoroisten lukujen summa

Kahden positiivisen ja vastavuoroisen luvun summa on aina suurempi tai yhtä suuri kuin 2.

Esitetään lauseen todiste. Kuten tiedätte, positiivisten lukujen a ja b aritmeettinen keskiarvo on suurempi tai yhtä suuri kuin geometrinen keskiarvo. Tämä voidaan kirjoittaa eriarvoisuutena:

a + b 2 ≥ a b

Jos numeron b sijaan otamme käänteisen a: n, eriarvoisuus on muoto:

a + 1 a 2 ≥ a 1 a a + 1 a ≥ 2

Q.E.D.

Annetaan käytännön esimerkki tämän ominaisuuden havainnollistamiseksi.

Esimerkki. Etsi vastavuoroisten lukujen summa

Lasketaan numeroiden 2 3 summa ja sen käänteisarvo.

2 3 + 3 2 = 4 + 9 6 = 13 6 = 2 1 6

Kuten lause sanoo, tuloksena oleva luku on suurempi kuin kaksi.

Jos huomaat tekstissä virheen, valitse se ja paina Ctrl + Enter

Käänteiset - tai vastavuoroisesti käänteiset - numerot ovat numeroparia, joka kerrottuna antaa 1: n yleisnäkymä käänteisluvut ovat numeroita. Tyypillistä erikoistapaus vastavuoroiset numerot - pari. Käänteiset ovat esimerkiksi luvut; ...

Miten löytää vastavuoroisuus

Sääntö: sinun on jaettava 1 (yksi) annetulla numerolla.

Esimerkki # 1.

Annettu numero 8. Sen kääntöpuoli on 1: 8 tai (toinen vaihtoehto on parempi, koska tällainen merkintä on matemaattisesti oikeampi).

Kun etsit tavallisen murto -osan vastavuoroisuutta, sen jakaminen yhdellä ei ole kovin kätevää, koska tallennus osoittautuu hankalaksi. Tässä tapauksessa on paljon helpompi tehdä toisin: murto muunnetaan yksinkertaisesti käänteiseksi ja muutetaan osoittimen ja nimittäjän paikkoja. Jos annettu murto -osa on oikea, niin murtamisen jälkeen murto on väärä, ts. josta voit valita kokonaisen osan. Onko tämä tehtävä vai ei, on päätettävä kussakin yksittäistapauksessa erikseen. Joten jos sinun on suoritettava joitakin toimintoja tuloksena olevan käänteisen murto -osan kanssa (esimerkiksi kertolasku tai jako), sinun ei pitäisi valita koko osaa. Jos tuloksena oleva murto -osa on lopputulos, on mahdollista, että koko osan valinta on toivottavaa.

Esimerkki # 2.

Murtoluku on annettu. Takaisin hänelle :.

Jos sinun on löydettävä desimaalin murto -osa, käytä ensimmäistä sääntöä (jako 1 luvulla). Tässä tilanteessa voit toimia kahdella tavalla. Ensimmäinen on yksinkertaisesti jakaa 1 tällä numerolla saraketta kohden. Toinen on muodostaa murtoluku 1: stä osoittimessa ja desimaali murto -osassa nimittäjässä ja sitten kertoa osoittaja ja nimittäjä 10: llä, 100: lla tai toisella numerolla, joka koostuu 1: stä ja niin monta nollaa kuin haluat päästä eroon desimaalipiste nimittäjässä. Tuloksena on tavallinen murto, joka on tulos. Tarvittaessa sinun on ehkä lyhennettävä sitä, purettava siitä koko osa tai muutettava se desimaalimuotoon.

Esimerkki nro 3.

Annettu numero 0.82. Käänteinen luku siihen on: ... Nyt vähennämme murto -osaa ja valitsemme koko osan :.

Kuinka tarkistaa, ovatko kaksi numeroa vastavuoroisia

Todentamisperiaate perustuu vastavuoroisten numeroiden määritelmään. Toisin sanoen, jotta voit varmistaa, että numerot ovat käänteisiä toisilleen, sinun on kerrottava ne. Jos tulos on yksi, luvut ovat toisiinsa päinvastaisia.

Esimerkki nro 4.

Annetut luvut 0,125 ja 8. Ovatko ne käänteisiä?

Tentti. On tarpeen löytää tuote 0,125 ja 8. Selvyyden vuoksi esitämme nämä luvut tavallisten murtolukujen muodossa: (pienennämme ensimmäistä murto -osaa 125: llä). Johtopäätös: numerot 0,125 ja 8 ovat käänteisiä.

Käänteisluvun ominaisuudet

Kiinteistön numero 1

Käänteinen on olemassa muille numeroille kuin 0.

Tämä rajoitus johtuu siitä, että et voi jakaa 0: lla, ja kun määrität vastavuoroisen luvun nollalle, sinun on vain siirrettävä se nimittäjään, ts. jaa itse asiassa sillä.

Kiinteistön numero 2

Vastavuoroisten numeroiden parin summa on aina vähintään 2.

Matemaattisesti tämä ominaisuus voidaan ilmaista eriarvoisuudella :.

Kiinteistön numero 3

Numeron kertominen kahdella vastavuoroisella luvulla vastaa kertomista yhdellä. Ilmaistaan ​​tämä ominaisuus matemaattisesti :.

Esimerkki nro 5.

Etsi lausekkeen arvo: 3,4 · 0,125 · 8. Koska numerot 0,125 ja 8 ovat käänteisiä (katso esimerkki # 4), 3,4: ää ei tarvitse kertoa 0,125: llä ja sitten kahdeksalla. Joten vastaus tähän on 3.4.