معنی عبارت را در چه عباراتی بیابید. تبدیل عبارات نظریه تفصیلی (2019)

به عنوان یک قاعده، کودکان شروع به یادگیری جبر در کلاس های ابتدایی می کنند. پس از تسلط بر اصول اولیه کار با اعداد، مثال هایی را با یک یا چند متغیر مجهول حل می کنند. یافتن معنایی از این نوع می تواند بسیار دشوار باشد، اما اگر آن را با استفاده از دانش دوره ابتدایی ساده کنید، همه چیز به سرعت و به راحتی حل می شود.

معنای یک عبارت چیست

یک عبارت عددی نامیده می شود نماد جبری، متشکل از اعداد، کروشه ها و علائم، اگر منطقی باشد.

به عبارت دیگر، اگر بتوان معنای یک عبارت را یافت، رکورد خالی از معنا نیست و بالعکس.

نمونه‌هایی از ورودی‌های زیر ساختارهای عددی معتبری هستند:

3*8-2;
15/3+6;
0,3*8-4/2;
3/1+15/5;

یک عدد واحد نیز یک عبارت عددی مانند 18 از مثال بالا خواهد بود.
نمونه‌هایی از ساختارهای عددی نامعتبر که منطقی نیستند:

*7-25);
16/0-;
(*-5;

مثال های عددی نادرست فقط مجموعه ای از نمادهای ریاضی هستند و هیچ معنایی ندارند.

چگونه معنی یک عبارت را پیدا کنیم

از آنجایی که چنین مثال هایی حاوی علائم حسابی هستند، می توانیم نتیجه بگیریم که آنها به شما امکان می دهند محاسبات حسابی را انجام دهید. برای محاسبه علائم یا به عبارت دیگر برای یافتن مقدار یک عبارت، باید دستکاری های حسابی مربوطه را انجام داد.

به عنوان مثال، ساختار زیر را در نظر بگیرید: (120-30) / 3 = 30. عدد 30 مقدار عبارت عددی (120-30) / 3 خواهد بود.

دستورالعمل ها:

مفهوم برابری عددی

تساوی عددی وضعیتی است که دو قسمت از یک مثال با علامت "=" از هم جدا شوند. یعنی یک قسمت کاملاً برابر (یکسان) با قسمت دیگر است، حتی اگر به صورت ترکیبی از نمادها و اعداد دیگر نمایش داده شود.
به عنوان مثال، هر ساختاری مانند 2 + 2 = 4 را می توان یک برابری عددی نامید، زیرا حتی اگر قطعات معکوس شوند، معنی آن تغییر نخواهد کرد: 4 = 2 + 2. همین امر در مورد ساختارهای پیچیده تر مانند پرانتز، تقسیم، ضرب، کسر و غیره صدق می کند.

چگونه معنی یک عبارت را به درستی پیدا کنیم

برای یافتن صحیح مقدار یک عبارت، لازم است محاسبات را طبق ترتیب خاصی از اقدامات انجام دهید. این ترتیب حتی در درس ریاضی و بعداً در درس جبر در درس تدریس می شود دبستان... به پله های عملیات حسابی نیز معروف است.

مراحل حسابی:

مرحله اول جمع و تفریق اعداد است.
مرحله دوم تقسیم و ضرب است.
مرحله سوم - اعداد مربع یا مکعب هستند.

با رعایت قوانین زیر، همیشه می توانید معنای عبارت را به درستی تعیین کنید:

اگر در مثال پرانتز وجود نداشت، از مرحله 3 به مرحله 1 بروید. یعنی ابتدا مربع یا مکعب، سپس تقسیم یا ضرب کنید و فقط بعد جمع و تفریق کنید.
در ساخت و سازهای با براکت، ابتدا اقدامات داخل براکت را انجام دهید و سپس به ترتیبی که در بالا توضیح داده شد، عمل کنید. اگر بیش از یک پرانتز وجود دارد، از روش پاراگراف اول نیز استفاده کنید.
در مثال های کسری ابتدا نتیجه را از صورت و سپس در مخرج دریابید و سپس اولی را بر دوم تقسیم کنید.

در صورت تسلط بر دانش ابتدایی دروس ابتدایی جبر و ریاضی، یافتن معنای عبارت دشوار نخواهد بود. با هدایت اطلاعاتی که در بالا توضیح داده شد، می توانید هر مشکلی را حل کنید، حتی با افزایش پیچیدگی.

رمز عبور را از VK با دانستن ورود پیدا کنید

(34 ∙ 10 + (489-296) ∙ 8): 4-410. مسیر عمل را مشخص کنید. مرحله اول را در براکت های داخلی 489-296 = 193 انجام دهید. سپس، 193 ∙ 8 = 1544 و 34 ∙ 10 = 340 را ضرب کنید. اقدام بعدی: 340 + 1544 = 1884. سپس، 1884 را تقسیم کنید: 4 = 461 و سپس 461-410 = 60 را کم کنید. شما معنی این عبارت را پیدا کرده اید.

مثال. مقدار عبارت 2sin 30º ∙ cos 30º ∙ tg 30º ∙ ctg 30º را بیابید. این عبارت را ساده کنید. برای این کار از فرمول tg α ∙ ctg α = 1 استفاده کنید. دریافت: 2sin 30º ∙ cos 30º ∙ 1 = 2sin 30º ∙ cos 30º. مشخص است که sin 30º = 1/2 و cos 30º = √3 / 2. بنابراین، 2sin 30º ∙ cos 30º = 2 ∙ 1/2 ∙ √3 / 2 = √3 / 2. شما معنی این عبارت را پیدا کرده اید.

مقدار یک عبارت جبری از. برای یافتن مقدار یک عبارت جبری برای متغیرهای داده شده، عبارت را ساده کنید. مقادیر خاص را جایگزین متغیرها کنید. اقدامات لازم را انجام دهد. در نتیجه یک عدد دریافت خواهید کرد که مقدار عبارت جبری برای متغیرهای داده شده خواهد بود.

مثال. مقدار عبارت 7 (a + y) –3 (2a + 3y) را با a = 21 و y = 10 بیابید. این عبارت را ساده کنید، به دست آورید: a – 2y. مقادیر مربوط به متغیرها را وصل کنید و محاسبه کنید: a – 2y = 21–2 ∙ 10 = 1. این معنای عبارت 7 (a + y) –3 (2a + 3y) با a = 21 و y = 10 است.

توجه داشته باشید

عبارات جبری وجود دارد که برای برخی از مقادیر متغیرها معنی ندارد. برای مثال، عبارت x / (7 – a) اگر a = 7 باشد، بی معنی است، زیرا در این حالت، مخرج کسری ناپدید می شود.

منابع:

پیدا کردن کوچکترین ارزشاصطلاحات
مقادیر عبارات c 14 را بیابید

یادگیری ساده سازی عبارات در ریاضیات به منظور حل صحیح و سریع مسائل، معادلات مختلف، به سادگی ضروری است. ساده کردن یک عبارت به معنای مراحل کمتر است که محاسبات را آسان‌تر می‌کند و در زمان صرفه‌جویی می‌کند.

دستورالعمل ها

آموزش محاسبه درجه با. وقتی توان ها با ضرب شوند، اعدادی به دست می آیند که پایه آن ها یکسان است و توان ها b ^ m + b ^ n = b ^ (m + n) جمع می شوند. هنگام تقسیم قدرت با بر همین اساستوان عددی به دست می آید که پایه آن ثابت می ماند و توان ها کم می شوند و توان مقسوم علیه b ^ m از شاخص سود کم می شود: b ^ n = b ^ (m-n). هنگام افزایش توان به توان، توان یک عدد به دست می آید که پایه آن ثابت می ماند و توان ها ضرب می شوند (b ^ m) ^ n = b ^ (mn) هنگام افزایش به توان ، هر عامل به این قدرت بالا می رود (Abc) ^ m = a ^ m * b ^ m * c ^ m

چند جمله ای های عاملی، یعنی. آنها را به عنوان محصول چندین عامل - و تک اسم ها در نظر بگیرید. عامل مشترک را فاکتور بگیرید. فرمول های ضرب خلاصه شده اصلی را بیاموزید: تفاوت مربع ها، مجذور اختلاف، مجموع، تفاضل مکعب ها، مکعب مجموع و تفاوت. برای مثال، m ^ 8 + 2 * m ^ 4 * n ^ 4 + n ^ 8 = (m ^ 4) ^ 2 + 2 * m ^ 4 * n ^ 4 + (n ^ 4) ^ 2. این فرمول ها در ساده سازی اصلی ترین فرمول ها هستند. از روش انتخاب مربع کامل در سه جمله ای به شکل ax ^ 2 + bx + c استفاده کنید.

تا جایی که ممکن است کسرها را کاهش دهید. به عنوان مثال، (2 * a ^ 2 * b) / (a ^ 2 * b * c) = 2 / (a * c). اما به یاد داشته باشید که فقط عوامل را می توان لغو کرد. اگر صورت و مخرج یک کسر جبری در همان عدد غیر صفر ضرب شود، مقدار آن کسر تغییر نخواهد کرد. دو راه برای تبدیل عبارات وجود دارد: زنجیره ای و عملی. روش دوم ارجح است، زیرا بررسی نتایج اقدامات میانی آسان تر است.

اغلب نیاز به استخراج ریشه در عبارات است. حتی ریشه ها فقط از عبارات یا اعداد غیر منفی استخراج می شوند. ریشه های فرد از هر عبارتی استخراج می شود.

منابع:

ساده سازی عبارات قدرت

توابع مثلثاتی برای اولین بار به عنوان ابزاری برای محاسبات ریاضی انتزاعی وابستگی مقادیر زوایای تند ظاهر شدند. راست گوشهاز طول اضلاع آن در حال حاضر آنها بسیار گسترده در هر دو علمی و حوزه های فنیفعالیت انسانی برای محاسبات عملی توابع مثلثاتیاز آرگومان های داده شده می توانید استفاده کنید ابزارهای مختلف- در زیر برخی از در دسترس ترین آنها آورده شده است.

دستورالعمل ها

به عنوان مثال، از یک نصب شده به طور پیش فرض همراه با سیستم عاملبرنامه ماشین حساب با انتخاب مورد "Calculator" در پوشه "System Tools" از زیربخش "Standard" واقع در بخش "All Programs" باز می شود. این بخش با کلیک بر روی دکمه "شروع" منوی اصلی اتاق عمل باز می شود. اگر از ویندوز 7 استفاده می‌کنید، می‌توانید به سادگی در قسمت «یافتن برنامه‌ها و فایل‌ها» در منوی اصلی، «Calculator» را وارد کنید و سپس روی پیوند مربوطه در نتایج جستجو کلیک کنید.

عدد را بشمار اقدامات لازمو به ترتیبی که باید اجرا شوند فکر کنید. اگر شما را سخت می کند این سواللطفاً توجه داشته باشید که ابتدا اقدامات داخل پرانتز انجام می شود، سپس تقسیم و ضرب. و تفریق آخر انجام می شود. برای سهولت در به خاطر سپردن الگوریتم اقدامات انجام شده، در عبارت بالای هر علامت عملگر اعمال (+، -، *، :)، از یک مداد نازک برای نوشتن اعداد مربوط به عملکرد اقدامات استفاده کنید.

با رعایت نظم تعیین شده، مرحله اول را ادامه دهید. اگر مراحل به صورت شفاهی آسان است، در ذهن خود حساب کنید. اگر محاسبات مورد نیاز است (در یک ستون)، آنها را در زیر عبارت بنویسید، نشان می دهد شماره سریالاقدامات.

توالی اقدامات انجام شده را به وضوح دنبال کنید، ارزیابی کنید که چه چیزی را از چه چیزی کم کنید، چه چیزی را به چه چیزی تقسیم کنید و غیره. اغلب اوقات، پاسخ در بیان به دلیل اشتباهات انجام شده در این مرحله نادرست است.

ویژگی متمایزبیان وجود عملیات ریاضی است. تعیین شده است نشانه های خاص(ضرب، تقسیم، تفریق یا جمع). توالی انجام اقدامات ریاضی در صورت لزوم توسط براکت ها تصحیح می شود. انجام ریاضی یعنی پیدا کردن.

چیزی که بیان نیست

هر نماد ریاضی را نمی توان به تعداد عبارات نسبت داد.

برابرها عبارت نیستند. اینکه آیا عملیات ریاضی در برابر وجود دارد یا نه، مهم نیست. به عنوان مثال، a = 5 یک برابر است، نه یک عبارت، اما 8 + 6 * 2 = 20 نیز نمی تواند یک عبارت در نظر گرفته شود، اگرچه حاوی ضرب است. این مثال نیز در دسته برابری ها قرار می گیرد.

بیان و برابری متقابل نیستند، اولی بخشی از دومی است. علامت مساوی دو عبارت را به هم متصل می کند:
5+7=24:2

می توانید این برابری را ساده کنید:
5+7=12

یک عبارت همیشه فرض می کند که عملیات ریاضی ارائه شده در آن قابل انجام است. 9 +: - 7 یک عبارت نیست، اگرچه نشانه هایی از اعمال ریاضی وجود دارد، زیرا انجام این اعمال غیرممکن است.

برخی از ریاضیات نیز وجود دارد که به طور رسمی عبارت هستند، اما معنی ندارند. نمونه ای از چنین عبارتی:
46:(5-2-3)

عدد 46 باید بر نتیجه اعمال داخل پرانتز تقسیم شود و برابر با صفر است. شما نمی توانید بر صفر تقسیم کنید، عمل ممنوع تلقی می شود.

عبارات عددی و جبری

دو نوع عبارت ریاضی وجود دارد.

اگر یک عبارت فقط شامل اعداد و نشانه های عملیات ریاضی باشد، عبارت عددی نامیده می شود. اگر در عبارت، همراه با اعداد، متغیرهایی وجود داشته باشد که با حروف مشخص می شوند یا اصلا عددی وجود نداشته باشد، عبارت فقط از متغیرها و نشانه های عملیات ریاضی تشکیل شده باشد، به آن جبری می گویند.

تفاوت اساسی مقدار عددیاز جبری این است که یک عبارت عددی فقط یک معنی دارد. به عنوان مثال، مقدار یک عبارت عددی 56-2 * 3 همیشه 50 خواهد بود، هیچ چیز قابل تغییر نیست. یک عبارت جبری می تواند معانی زیادی داشته باشد، زیرا به جای آن می توانید هر عددی را جایگزین کنید. بنابراین، اگر در عبارت b – 7 به جای b جایگزین 9 شود، مقدار عبارت 2 و اگر 200 باشد، 193 خواهد بود.

منابع:

عبارات عددی و جبری

نمادی که متشکل از اعداد، علائم و کروشه است و همچنین منطقی است، یک عبارت عددی نامیده می شود.

به عنوان مثال، ورودی های زیر:

(100-32)/17,
2*4+7,
4*0.7 -3/5,
1/3 +5/7

عبارات عددی خواهد بود.باید درک کرد که یک عدد واحد نیز یک عبارت عددی خواهد بود. در مثال ما، این عدد 13 است.

و به عنوان مثال، ورودی های زیر

100 - *9,
/32)343

عبارات عددی نخواهند بود،زیرا آنها بی معنی هستند و فقط مجموعه ای از اعداد و نشانه ها هستند.

مقدار بیان عددی

از آنجایی که علائم عملیات حسابی به عنوان نشانه در عبارات عددی گنجانده می شود، می توانیم مقدار یک عبارت عددی را محاسبه کنیم. برای انجام این کار، باید اقدامات مشخص شده را انجام دهید.

مثلا،

(100-32) / 17 = 4، یعنی برای عبارت (100-32) / 17، مقدار این عبارت عددی عدد 4 خواهد بود.

2 * 4 + 7 = 15، عدد 15 مقدار عبارت عددی 2 * 4 + 7 خواهد بود.

اغلب، برای اختصار، ارزش کامل یک عبارت عددی را نمی نویسند، بلکه صرفاً "ارزش عبارت" را می نویسند و کلمه "عددی" را حذف می کنند.

برابری عددی

اگر دو عبارت عددی با علامت مساوی نوشته شوند، این عبارات یک برابری عددی را تشکیل می دهند. به عنوان مثال، عبارت 2 * 4 + 7 = 15 یک برابری عددی است.

همانطور که در بالا ذکر شد، پرانتز را می توان در عبارات عددی استفاده کرد. همانطور که می دانید، پرانتز بر ترتیب اعمال تأثیر می گذارد.

به طور کلی تمام اقدامات به چند مرحله تقسیم می شوند.

اقدامات مرحله اول: جمع و تفریق.
اعمال مرحله دوم: ضرب و تقسیم.
اقدامات مرحله سوم به صورت مربع و مکعب است.

قوانینی برای ارزیابی مقادیر عبارات عددی

هنگام محاسبه مقادیر عبارات عددی، قوانین زیر باید رعایت شود.

1. اگر عبارت فاقد پرانتز باشد، باید اقداماتی را که از بالاترین سطوح شروع می شود انجام داد: مرحله سوم، مرحله دوم و مرحله اول. اگر چندین عمل در یک مرحله وجود داشته باشد، آنها به ترتیبی که نوشته شده اند، یعنی از چپ به راست انجام می شوند.
2. اگر عبارت حاوی براکت باشد، ابتدا اقدامات در براکت ها انجام می شود و تنها پس از آن تمام اقدامات فولادی به ترتیب معمول انجام می شود. هنگام انجام اقدامات در براکت، اگر چندین مورد از آنها وجود دارد، باید از ترتیب شرح داده شده در بند 1 استفاده کنید.
3. اگر عبارت کسری باشد، ابتدا مقادیر موجود در صورت و مخرج محاسبه می شود و سپس صورت بر مخرج تقسیم می شود.
4. اگر عبارت حاوی پرانتزهای تو در تو باشد، اقدامات باید از پرانتز داخلی انجام شود.

بنابراین، اگر یک عبارت عددی از اعداد و علامت های +، -، · و: تشکیل شده باشد، به ترتیب از چپ به راست، ابتدا باید ضرب و تقسیم و سپس جمع و تفریق را انجام دهید که به شما امکان می دهد مورد دلخواه را پیدا کنید. ارزش بیان

بیایید برای روشن شدن یک راه حل مثال بزنیم.

مثال.

مقدار عبارت 14-2 · 15: 6-3 را ارزیابی کنید.

راه حل.

برای یافتن مقدار یک عبارت، باید تمام اقدامات مشخص شده در آن را مطابق با ترتیب پذیرفته شده انجام این اقدامات انجام دهید. ابتدا به ترتیب از چپ به راست، ضرب و تقسیم را انجام می دهیم، به دست می آوریم 14-215: 6-3 = 14-30: 6-3 = 14-5-3... اکنون، همچنین، به ترتیب از چپ به راست، اعمال باقی مانده را انجام می دهیم: 14-5-3 = 9-3 = 6. بنابراین مقدار عبارت اصلی را پیدا کردیم، آن 6 است.

پاسخ:

14-215: 6-3 = 6.

مثال.

معنی عبارت را پیدا کنید.

راه حل.

V این مثالابتدا باید ضرب 2 · (-7) و تقسیم و ضرب را در عبارت انجام دهیم. با یادآوری نحوه انجام آن، 2 (-7) = - 14 را پیدا می کنیم. و برای انجام اعمال در بیان ابتدا ، سپس ، و اجرا کنید: .

مقادیر به دست آمده را با عبارت اصلی جایگزین کنید:.

اما اگر یک عبارت عددی زیر علامت ریشه وجود داشته باشد چه؟ برای به دست آوردن ارزش چنین ریشه ای، ابتدا باید ارزش عبارت رادیکال را با رعایت ترتیب پذیرفته شده اجرای اقدامات پیدا کنید. مثلا، .

در عبارات عددی، ریشه ها باید به عنوان برخی اعداد درک شوند و توصیه می شود بلافاصله ریشه ها را با مقادیر آنها جایگزین کنید و سپس مقدار عبارت حاصل را بدون ریشه پیدا کنید و اقدامات را در دنباله پذیرفته شده انجام دهید.

مثال.

معنی عبارت را با ریشه پیدا کنید.

راه حل.

ابتدا مقدار ریشه را پیدا می کنیم ... برای انجام این کار، ابتدا مقدار عبارت رادیکال را محاسبه می کنیم -2 3-1 + 60: 4 = -6-1 + 15 = 8... و ثانیاً ارزش ریشه را پیدا می کنیم.

حال بیایید مقدار ریشه دوم را از عبارت اصلی محاسبه کنیم:.

در نهایت، می‌توانیم با جایگزین کردن ریشه‌ها با مقادیر آنها، مقدار عبارت اصلی را پیدا کنیم.

پاسخ:

اغلب اوقات، برای اینکه بتوان ارزش یک عبارت را با ریشه پیدا کرد، ابتدا باید آن را تغییر داد. بیایید راه حل یک مثال را نشان دهیم.

مثال.

معنای بیان چیست .

راه حل.

ما نمی توانیم ریشه سه را با مقدار دقیق آن جایگزین کنیم، که به ما اجازه نمی دهد مقدار این عبارت را به روشی که در بالا توضیح دادیم محاسبه کنیم. با این حال، ما می توانیم مقدار این عبارت را با انجام تبدیل های ساده محاسبه کنیم. مناسب فرمول تفاوت مربع ها: با در نظر گرفتن، دریافت می کنیم ... بنابراین، مقدار عبارت اصلی 1 است.

پاسخ:

با مدرک

اگر مبنا و توان اعداد باشند، مقدار آنها مطابق با تعریف توان محاسبه می شود، به عنوان مثال، 3 2 = 3 · 3 = 9 یا 8-1 = 1/8. همچنین رکوردهایی وجود دارد که پایه و / یا توان برخی از عبارات باشند. در این موارد، باید مقدار عبارت را در مبنا، مقدار عبارت را در توان پیدا کنید و سپس مقدار خود درجه را محاسبه کنید.

مثال.

مقدار یک عبارت را با قدرت های فرم پیدا کنید 2 3 4-10 + 16 (1-1 / 2) 3.5-2 1/4.

راه حل.

در عبارت اصلی، دو درجه 2 3 4-10 و (1-1 / 2) 3.5-2 1/4 است. مقادیر آنها باید قبل از انجام هر مرحله دیگر محاسبه شود.

بیایید با توان 2 3 4-10 شروع کنیم. در نشانگر آن یک عبارت عددی وجود دارد، مقدار آن را محاسبه می کنیم: 3 4-10 = 12-10 = 2. اکنون می توانید مقدار خود درجه را پیدا کنید: 2 3 4−10 = 2 2 = 4.

در پایه و توان (1-1 / 2) 3.5-2 ما داریم (1-1 / 2) 3.5-21 / 4 = (1/2) 3 = 1/8.

اکنون به عبارت اصلی برمی گردیم، قدرت های موجود در آن را با مقادیر آنها جایگزین می کنیم و مقدار عبارت مورد نیاز خود را پیدا می کنیم: 2 3 4-10 + 16 (1-1 / 2) 3.5-2 1/4 = 4 + 16 1/8 = 4 + 2 = 6.

پاسخ:

2 3 4-10 + 16 (1-1 / 2) 3.5-2 1/4 = 6.

شایان ذکر است که موارد رایج تری وجود دارد که توصیه می شود مقدماتی انجام شود ساده سازی بیان با قدرتروی پایه .

مثال.

معنی عبارت را پیدا کنید .

راه حل.

با قضاوت بر اساس توان در این عبارت، مقادیر دقیق نماها را نمی توان به دست آورد. بیایید سعی کنیم عبارت اصلی را ساده کنیم، شاید این به یافتن معنای آن کمک کند. ما داریم

پاسخ:

درجه در عبارات اغلب با لگاریتم همراه است، اما ما در مورد یافتن مقادیر عبارات با لگاریتم در یکی از آنها صحبت خواهیم کرد.

یافتن مقدار یک عبارت با کسری

عبارات عددی در نماد خود می توانند شامل کسری باشند. هنگامی که شما نیاز به یافتن معنای چنین عبارتی دارید، قبل از انجام بقیه مراحل، کسرهای غیر از کسرهای معمولی باید با مقادیر آنها جایگزین شوند.

صورت و مخرج کسرها (که با کسرهای معمولی متفاوت هستند) می تواند هم شامل اعداد و هم عبارات باشد. برای محاسبه مقدار چنین کسری، باید مقدار عبارت را در صورت محاسبه کنید، مقدار عبارت را در مخرج محاسبه کنید و سپس مقدار خود کسری را محاسبه کنید. این ترتیب با این واقعیت توضیح داده می شود که کسری a / b، که در آن a و b برخی از عبارات هستند، اساساً یک ضریب شکل (a) :(b) است، زیرا.

بیایید راه حل یک مثال را در نظر بگیریم.

مثال.

معنی یک عبارت را با کسری پیدا کنید .

راه حل.

در عبارت عددی اصلی، سه کسر و . برای یافتن مقدار عبارت اصلی، ابتدا به این کسرها نیاز داریم، آنها را با مقادیر جایگزین کنید. بیایید آن را انجام دهیم.

صورت و مخرج کسر حاوی اعداد است. برای یافتن مقدار چنین کسری، میله کسری را با علامت تقسیم جایگزین کنید و این عمل را انجام دهید: .

شمارنده کسری شامل عبارت 7-2 · 3 است، مقدار آن به راحتی پیدا می شود: 7-2 · 3 = 7-6 = 1. بدین ترتیب، . می توانید به یافتن مقدار کسر سوم ادامه دهید.

کسر سوم در صورت و مخرج شامل عبارات عددی است، بنابراین، ابتدا باید مقادیر آنها را محاسبه کنید و این به شما امکان می دهد مقدار خود کسر را پیدا کنید. ما داریم .

باقی مانده است که مقادیر یافت شده را در عبارت اصلی جایگزین کنید و اقدامات باقی مانده را انجام دهید:.

پاسخ:

اغلب، هنگام یافتن مقادیر عبارات با کسری، باید انجام دهید ساده سازی عبارات کسری بر اساس انجام اعمال با کسر و کاهش کسر.

مثال.

معنی عبارت را پیدا کنید .

راه حل.

ریشه پنج به طور کامل استخراج نشده است، بنابراین برای یافتن مقدار عبارت اصلی، اجازه دهید ابتدا آن را ساده کنیم. برای این بی منطقی را در مخرج خلاص کنیدکسر اول: ... پس از آن، عبارت اصلی شکل خواهد گرفت ... پس از تفریق کسرها، ریشه ها ناپدید می شوند، که به ما امکان می دهد مقدار عبارت مشخص شده در ابتدا را پیدا کنیم.

پاسخ:

با لگاریتم

اگر عبارت عددی شامل، و اگر امکان خلاص شدن از آنها وجود دارد، این کار قبل از انجام بقیه اقدامات انجام می شود. به عنوان مثال، هنگام یافتن مقدار عبارت log 2 4 + 2 + 6 = 8.

هنگامی که عبارات عددی زیر علامت لگاریتم و / یا در پایه آن وجود دارد، ابتدا مقادیر آنها پیدا می شود و پس از آن مقدار لگاریتم محاسبه می شود. برای مثال، عبارتی را با لگاریتم شکل در نظر بگیرید ... در پایه لگاریتم و زیر علامت آن عبارات عددی وجود دارد، مقادیر آنها را پیدا می کنیم:. اکنون لگاریتم را پیدا می کنیم، پس از آن محاسبات را کامل می کنیم:.

اگر لگاریتم ها دقیقاً محاسبه نشده باشند، ساده کردن عبارت اولیه با استفاده از آن می تواند به یافتن مقدار عبارت اصلی کمک کند. در عین حال باید به مطالب مقاله تسلط کافی داشته باشید. تبدیل عبارات لگاریتمی.

مثال.

مقدار یک عبارت را با لگاریتم پیدا کنید .

راه حل.

بیایید با محاسبه log 2 (log 2 256) شروع کنیم. از آنجایی که 256 = 2 8، پس log 2 256 = 8، بنابراین log 2 (log 2 256) = log 2 8 = log 2 2 3 = 3.

لگاریتم های log 6 2 و log 6 3 را می توان گروه بندی کرد. مجموع لگاریتم های log 6 2 + log 6 3 برابر است با لگاریتم حاصلضرب log 6 (2 3) ، بنابراین log 6 2 + log 6 3 = log 6 (2 3) = log 6 6 = 1.

حال به کسری می پردازیم. برای شروع، پایه لگاریتم را در مخرج بازنویسی می کنیم کسر مشترکبه عنوان 1/5، پس از آن از خواص لگاریتم استفاده می کنیم که به ما امکان می دهد مقدار کسری را بدست آوریم:
.

تنها باقی می ماند که نتایج به دست آمده را با عبارت اصلی جایگزین کنیم و مقدار آن را به پایان برسانیم:

پاسخ:

چگونه مقدار یک عبارت مثلثاتی را پیدا کنم؟

هنگامی که یک عبارت عددی حاوی یا و غیره باشد، مقادیر آنها قبل از انجام سایر اقدامات محاسبه می شود. اگر عبارات عددی زیر علامت توابع مثلثاتی وجود داشته باشد، ابتدا مقادیر آنها محاسبه می شود و پس از آن مقادیر توابع مثلثاتی پیدا می شود.

مثال.

معنی عبارت را پیدا کنید .

راه حل.

با مراجعه به مقاله دریافت می کنیم و cosπ = -1. ما این مقادیر را به عبارت اصلی جایگزین می کنیم، شکل می گیرد ... برای پیدا کردن مقدار آن، ابتدا باید قدرت را انجام دهید و سپس محاسبات را به پایان برسانید:.

پاسخ:

لازم به ذکر است که محاسبه مقادیر عبارات با سینوس، کسینوس و غیره. اغلب نیاز به قبل دارد تبدیل عبارت مثلثاتی.

مثال.

مقدار یک عبارت مثلثاتی چقدر است .

راه حل.

ما عبارت اصلی را با استفاده از تبدیل می کنیم، در این مورد، به فرمول کسینوس زاویه دوتایی و فرمول کسینوس مجموع نیاز داریم:

تبدیل های انجام شده به ما کمک کرد تا معنای عبارت را پیدا کنیم.

پاسخ:

مورد عمومی

V مورد کلییک عبارت عددی می تواند شامل ریشه، توان، کسر، توابع و براکت باشد. برای یافتن مقادیر چنین عباراتی باید موارد زیر را انجام دهید:

ریشه های اول، توان ها، کسرها و غیره با ارزش های خود جایگزین می شوند،
اقدامات بعدی در پرانتز،
و به ترتیب از چپ به راست ، عملیات باقی مانده انجام می شود - ضرب و تقسیم و به دنبال آن جمع و تفریق.

اقدامات ذکر شده تا حصول نتیجه نهایی انجام می شود.

مثال.

معنی عبارت را پیدا کنید .

راه حل.

شکل این عبارت نسبتاً پیچیده است. در این عبارت، کسر، ریشه، درجه، سینوس و لگاریتم را می بینیم. معنی آن را چگونه می یابید؟

با حرکت در امتداد رکورد از چپ به راست، با کسری از فرم مواجه می شویم ... ما می دانیم که هنگام کار با کسری نوع پیچیده، باید مقدار عدد را جداگانه محاسبه کنیم ، مخرج را جداگانه محاسبه کنیم و در نهایت مقدار کسری را پیدا کنیم.

در صورت حساب یک ریشه از فرم داریم ... برای تعیین مقدار آن، ابتدا باید مقدار عبارت رادیکال را محاسبه کنید ... اینجا یک سینوس وجود دارد. فقط پس از محاسبه مقدار عبارت می توانیم مقدار آن را پیدا کنیم ... ما میتونیم این کارو انجام بدیم:. سپس، از کجا و .

مخرج ساده است:.

بدین ترتیب، .

پس از جایگزینی این نتیجه به عبارت اصلی، شکل خواهد گرفت. عبارت حاصل شامل درجه است. برای پیدا کردن مقدار آن، ابتدا باید مقدار اندیکاتور را پیدا کنید، ما داریم .

بنابراین، .

پاسخ:

اگر نمی توان مقادیر دقیق ریشه ها، درجات و غیره را محاسبه کرد، می توانید سعی کنید با استفاده از برخی تبدیل ها از شر آنها خلاص شوید و سپس به محاسبه مقدار مطابق با طرح مشخص شده بازگردید.

روش های منطقی برای محاسبه مقادیر عبارات

محاسبه مقادیر عبارات عددی مستلزم سازگاری و دقت است. بله، شما باید به دنباله اقدامات نوشته شده در پاراگراف های قبلی پایبند باشید، اما نیازی به انجام کورکورانه و مکانیکی ندارید. منظور ما این است که اغلب می توان فرآیند یافتن معنای یک عبارت را منطقی کرد. به عنوان مثال، برخی از ویژگی‌های اعمال با اعداد می‌توانند به طور قابل توجهی یافتن مقدار یک عبارت را تسریع و ساده کنند.

به عنوان مثال، ما این خاصیت ضرب را می دانیم: اگر یکی از عوامل در حاصل ضرب صفر باشد، مقدار حاصلضرب صفر است. با استفاده از این خاصیت بلافاصله می توان گفت که مقدار عبارت 0 (2 3 + 893-3234: 54 65-79 56 2.2)(45 36-2 4 + 456: 3 43) برابر با صفر است. اگر به ترتیب استاندارد انجام اقدامات پایبند بودیم، ابتدا باید مقادیر عبارات حجیم داخل پرانتز را محاسبه کنیم و این زمان زیادی می برد و نتیجه همچنان صفر خواهد بود.

استفاده از ویژگی تفریق نیز راحت است اعداد مساوی: اگر یک عدد مساوی را از یک عدد کم کنید، نتیجه صفر می شود. این ویژگی را می توان به طور گسترده تری در نظر گرفت: تفاوت بین دو عبارت عددی یکسان صفر است. به عنوان مثال، بدون ارزیابی مقادیر عبارات داخل پرانتز، می توانید مقدار عبارت را پیدا کنید. (54 6-12 47362: 3) - (54 6-12 47362: 3)، برابر با صفر است، زیرا عبارت اصلی تفاوت همان عبارات است.

تحولات یکسان می تواند به محاسبه منطقی مقادیر عبارات کمک کند. به عنوان مثال، گروه بندی اصطلاحات و عوامل می تواند مفید باشد، و همچنین اغلب از براکت ها استفاده می شود. بنابراین مقدار عبارت 53 5 + 53 7-53 11 + 5 پس از قرار دادن ضریب 53 در خارج از پرانتز بسیار آسان است: 53 (5 + 7-11) + 5 = 53 1 + 5 = 53 + 5 = 58... محاسبه مستقیم خیلی بیشتر طول می کشد.

در پایان این پاراگراف، اجازه دهید به یک رویکرد منطقی برای محاسبه مقادیر عبارات با کسری توجه کنیم - همان عوامل در صورت و مخرج کسری لغو می شوند. به عنوان مثال، لغو همان عبارات در صورت و مخرج کسری به شما امکان می دهد بلافاصله مقدار آن را که 1/2 است پیدا کنید.

یافتن مقدار یک عبارت تحت اللفظی و یک عبارت با متغیرها

معنای یک عبارت الفبایی و یک عبارت با متغیرها برای مقادیر مشخصی از حروف و متغیرها یافت می شود. به این معنا که، می آیددر مورد یافتن مقدار یک عبارت تحت اللفظی برای مقادیر داده شده حروف یا در مورد یافتن مقدار یک عبارت با متغیرهایی برای مقادیر انتخاب شده از متغیرها.

قانونیافتن مقدار یک عبارت تحت اللفظی یا یک عبارت با متغیرها برای مقادیر داده شده حروف یا مقادیر انتخاب شده متغیرها به شرح زیر است: باید این مقادیر حروف یا متغیرها را در عبارت اصلی جایگزین کنید و مقدار آن را محاسبه کنید. مقدار عبارت عددی حاصل، مقدار مورد نظر است.

مثال.

عبارت 0.5 x − y را در x = 2.4 و y = 5 ارزیابی کنید.

راه حل.

برای یافتن مقدار مورد نیاز عبارت، ابتدا باید این مقادیر متغیرها را با عبارت اصلی جایگزین کنید و سپس مراحل زیر را انجام دهید: 0.5 · 2.4-5 = 1.2-5 = -3.8.

پاسخ:

−3,8 .

در پایان، توجه داشته باشید که گاهی اوقات تحول عبارات حروفو عبارت متغیر به شما امکان می دهد بدون توجه به مقادیر حروف و متغیرها، مقادیر آنها را بدست آورید. به عنوان مثال، عبارت x + 3 - x را می توان ساده کرد، پس از آن به 3 تبدیل می شود. از این رو، می توان نتیجه گرفت که مقدار عبارت x + 3 − x برای هر مقدار متغیر x از محدوده مقادیر مجاز آن (ODV) برابر با 3 است. مثال دیگر: مقدار عبارت 1 برای همه است ارزش های مثبت x، بنابراین محدوده مقادیر مجاز متغیر x در عبارت اصلی مجموعه اعداد مثبت است و برابری در این محدوده اتفاق می افتد.

کتابشناسی - فهرست کتب.

ریاضی: کتاب درسی. برای 5 سی سی آموزش عمومی. موسسات / N. Ya. Vilenkin، V. I. Zhokhov، A. S. Chesnokov، S. I. Shvartsburd. - چاپ بیست و یکم، پاک شده. - M .: Mnemosina, 2007 .-- 280 p .: ill. شابک 5-346-00699-0.
ریاضی.کلاس ششم: کتاب درسی. برای آموزش عمومی مؤسسات / [ن. Ya. Vilenkin و دیگران]. - چاپ بیست و دوم، کشیش. - M .: Mnemosina, 2008 .-- 288 p.: Ill. شابک 978-5-346-00897-2.
جبر:مطالعه. برای 7 سی سی آموزش عمومی. مؤسسات / [یو. N. Makarychev، N. G. Mindyuk، K. I. Neshkov، S. B. Suvorova]؛ ویرایش S. A. Telyakovsky. - ویرایش هفدهم - م.: آموزش و پرورش، 1387 .-- 240 ص. : مریض - شابک 978-5-09-019315-3.
جبر:مطالعه. برای 8 سی سی آموزش عمومی. مؤسسات / [یو. N. Makarychev، N. G. Mindyuk، K. I. Neshkov، S. B. Suvorova]؛ ویرایش S. A. Telyakovsky. - چاپ شانزدهم - م.: آموزش و پرورش، 1387 .-- 271 ص. : مریض - شابک 978-5-09-019243-9.
جبر:پایه نهم: کتاب درسی. برای آموزش عمومی مؤسسات / [یو. N. Makarychev، N. G. Mindyuk، K. I. Neshkov، S. B. Suvorova]؛ ویرایش S. A. Telyakovsky. - چاپ شانزدهم - م.: آموزش و پرورش، 1388 .-- 271 ص. : مریض - شابک 978-5-09-021134-5.
جبرو ابتدای تحلیل: کتاب درسی. برای 10-11 cl. آموزش عمومی. موسسات / A. N. Kolmogorov، A. M. Abramov، Yu. P. Dudnitsyn و دیگران؛ اد. A. N. Kolmogorov. - ویرایش چهاردهم - M.: آموزش و پرورش، 2004. - 384 p.: بیمار - ISBN 5-09-013651-3.

اکنون که یاد گرفتیم چگونه کسرهای فردی را جمع و ضرب کنیم، می توانیم موارد بیشتری را در نظر بگیریم ساختارهای پیچیده... به عنوان مثال، اگر همان مسئله حاوی جمع، تفریق و ضرب کسر باشد، چه؟

اول از همه، شما باید همه کسرها را به کسرهای نادرست ترجمه کنید. سپس اقدامات مورد نیاز را به ترتیب انجام می دهیم - به همان ترتیبی که برای اعداد معمولی است. برای مثال:

قدرت اول انجام می شود - از شر تمام عبارات حاوی شاخص خلاص شوید.
سپس - تقسیم و ضرب;
مرحله آخر جمع و تفریق است.

البته، اگر براکت هایی در عبارت وجود داشته باشد، ترتیب اعمال تغییر می کند - ابتدا باید همه چیزهایی که در داخل براکت ها هستند شمارش شوند. و در مورد کسرهای نادرست به یاد داشته باشید: شما باید کل قسمت را فقط زمانی انتخاب کنید که سایر اقدامات قبلاً تکمیل شده باشند.

بیایید همه کسرها را از عبارت اول به کسرهای نادرست ترجمه کنیم و سپس اقدامات زیر را انجام دهیم:

حالا بیایید مقدار عبارت دوم را پیدا کنیم. در اینجا کسری با کل بخشنه، اما پرانتز وجود دارد، بنابراین ابتدا جمع را انجام می دهیم و فقط بعد تقسیم می کنیم. توجه داشته باشید که 14 = 7 2. سپس:

در نهایت مثال سوم را در نظر بگیرید. در اینجا براکت و مدرک وجود دارد - بهتر است آنها را جداگانه بشمارید. با در نظر گرفتن 9 = 3 3، داریم:

به مثال آخر نگاهی بیندازید. برای افزایش کسری به توان، باید به طور جداگانه صورت را به این توان، و به طور جداگانه - مخرج را افزایش دهید.

شما می توانید به روش دیگری تصمیم بگیرید. اگر تعریف مدرک را به خاطر بیاوریم، مشکل به کاهش می یابد ضرب معمولیکسری:

کسری چند طبقه

تا به حال، ما فقط کسرهای "خالص" را در نظر می گرفتیم، زمانی که صورت و مخرج اعداد معمولی هستند. این کاملاً با تعریف کسر عددی ارائه شده در همان درس اول مطابقت دارد.

اما اگر جسم پیچیده تری در صورت یا مخرج قرار داده شود چه؟ مثلا کسری عددی دیگر؟ چنین سازه هایی اغلب ظاهر می شوند، به خصوص هنگام کار با عبارات طولانی. در اینجا چند نمونه وجود دارد:

تنها یک قانون برای کار با کسری های چند طبقه وجود دارد: باید فوراً از شر آنها خلاص شوید. اگر به یاد داشته باشید که نوار کسری به معنای عملیات تقسیم استاندارد است، حذف طبقات "اضافی" بسیار ساده است. بنابراین، هر کسری را می توان به صورت زیر بازنویسی کرد:

با استفاده از این واقعیت و رعایت ترتیب اعمال، به راحتی می توانیم هر کسر چند سطحی را به یک کسر معمولی کاهش دهیم. به نمونه ها دقت کنید:

وظیفه. کسرهای چند طبقه را به کسرهای معمولی تبدیل کنید:

در هر مورد، کسر اصلی را بازنویسی می کنیم و خط تقسیم را با علامت تقسیم جایگزین می کنیم. همچنین، به یاد داشته باشید که هر عدد صحیح را می توان به صورت کسری با مخرج 1 نشان داد. 12 = 12/1; 3 = 3/1. ما گرفتیم:

در آخرین مثال، کسرها قبل از ضرب نهایی لغو شدند.

مشخصات کار با کسرهای چند سطحی

یک نکته ظریف در کسرهای چند طبقه وجود دارد که همیشه باید به خاطر بسپارید، در غیر این صورت می توانید پاسخ اشتباه را دریافت کنید، حتی اگر همه محاسبات درست باشد. نگاهی بیاندازید:

صورت شامل یک عدد 7 و مخرج شامل کسری 12/5 است.
صورت شامل کسری 7/12 است و مخرج آن عدد واحد 5 است.

بنابراین، برای یک ضبط، دو تفسیر کاملاً متفاوت به دست آوردیم. اگر بشمارید، پاسخ ها نیز متفاوت خواهند بود:

برای اینکه همیشه ورودی را بدون ابهام بخوانید، از یک قانون ساده استفاده کنید: خط جداکننده کسر اصلی باید بلندتر از خط تودرتو باشد. مطلوب است - چندین بار.

اگر از این قانون پیروی کنید، کسرهای بالا باید به صورت زیر نوشته شوند:

بله، ممکن است زشت باشد و فضای زیادی را اشغال کند. اما شما درست حساب خواهید کرد. در نهایت، چند مثال که در آن کسری های چند طبقه واقعاً ایجاد می شوند:

وظیفه. مقادیر عبارات را بیابید:

بنابراین، ما با مثال اول کار می کنیم. بیایید همه کسرها را به کسرهای نامنظم تبدیل کنیم و سپس عملیات جمع و تقسیم را انجام دهیم:

بیایید همین کار را با مثال دوم انجام دهیم. بیایید همه کسرها را به کسرهای نامنظم ترجمه کنیم و عملیات مورد نیاز را انجام دهیم. برای اینکه خواننده را خسته نکنم، برخی از محاسبات بدیهی را حذف می کنم. ما داریم:

با توجه به وجود جمع در صورت و مخرج کسرهای اصلی، قانون نوشتن کسرهای چند طبقه به صورت خودکار رعایت می شود. همچنین در مثال آخر عمداً 46/1 را به صورت کسری رها کردیم تا تقسیم را انجام دهیم.

همچنین توجه داشته باشید که در هر دو مثال، نوار کسری در واقع جایگزین پرانتز می شود: اول از همه، ما مجموع را پیدا کردیم، و تنها پس از آن - ضریب.

برخی استدلال می کنند که انتقال به کسرهای نامناسب در مثال دوم به وضوح اضافی بود. شاید اینطور باشد. اما با این کار خود را در برابر اشتباهات بیمه می کنیم، زیرا دفعه بعد ممکن است مثال بسیار پیچیده تر شود. خودتان انتخاب کنید که کدام مهمتر است: سرعت یا قابلیت اطمینان.