Logaritmin absoluuttinen luku. Mikä on logaritmi

\(a^(b)=c\) \(\Leftrightarrow\) \(\log_(a)(c)=b\)

Selitetään se helpommin. Esimerkiksi \(\log_(2)(8)\) on yhtä suuri kuin potenssi \(2\) on nostettava, jotta saadaan \(8\). Tästä on selvää, että \(\log_(2)(8)=3\).

Esimerkkejä:		\(\log_(5)(25)=2\)		koska \(5^(2)=25\)
		\(\log_(3)(81)=4\)		koska \(3^(4)=81\)
		\(\log_(2)\)\(\frac(1)(32)\) \(=-5\)		koska \(2^(-5)=\)\(\frac(1)(32)\)

Argumentti ja logaritmin kanta

Jokaisella logaritmilla on seuraava "anatomia":

Logaritmin argumentti kirjoitetaan yleensä sen tasolla ja kanta kirjoitetaan alaindeksillä lähempänä logaritmin etumerkkiä. Ja tämä merkintä luetaan näin: "kahdeskymmenesviiden logaritmi viiden kantaan."

Miten logaritmi lasketaan?

Logaritmin laskemiseksi sinun on vastattava kysymykseen: missä määrin kantaa tulisi nostaa argumentin saamiseksi?

esimerkiksi, laske logaritmi: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\) sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

a) Mihin potenssiin \(4\) on nostettava, jotta saadaan \(16\)? Ilmeisesti toinen. Niin:

\(\log_(4)(16)=2\)

\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

c) Mihin tehoon \(\sqrt(5)\) on nostettava, jotta saadaan \(1\)? Ja mikä aste tekee mistä tahansa numerosta yksikön? Nolla tietysti!

\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)

d) Mihin tehoon \(\sqrt(7)\) on nostettava, jotta saadaan \(\sqrt(7)\)? Ensimmäisessä - mikä tahansa numero ensimmäisessä asteessa on yhtä suuri kuin itsensä.

\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

e) Mihin potenssiin \(3\) on nostettava, jotta saadaan \(\sqrt(3)\)? Siitä tiedämme mikä on murto-aste, joka tarkoittaa Neliöjuuri on aste \(\frac(1)(2)\) .

\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

Esimerkki : Laske logaritmi \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

Ratkaisu :

\(\log_(4\sqrt(2))(8)=x\)		Meidän on löydettävä logaritmin arvo, merkitään se x:llä. Käytetään nyt logaritmin määritelmää: \(\log_(a)(c)=b\) \(\nuoli vasen oikealle\) \(a^(b)=c\)
\((4\sqrt(2))^(x)=8\)		Mitkä linkit \(4\sqrt(2)\) ja \(8\)? Kaksi, koska molemmat numerot voidaan esittää kahdella: \(4=2^(2)\) \(\sqrt(2)=2^(\frac(1)(2))\) \(8=2^(3)\)
\(((2^(2)\cdot2^(\frac(1)(2))))^(x)=2^(3)\)		Vasemmalla käytämme asteominaisuuksia: \(a^(m)\cdot a^(n)=a^(m+n)\) ja \((a^(m))^(n)=a ^(m\cdot n)\)
\(2^(\frac(5)(2)x)=2^(3)\)		Perusteet ovat samat, siirrymme indikaattoreiden tasa-arvoon
\(\frac(5x)(2)\) \(=3\)		Kerro yhtälön molemmat puolet \(\frac(2)(5)\)
		Tuloksena oleva juuri on logaritmin arvo

Vastaus : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

Miksi logaritmi keksittiin?

Tämän ymmärtämiseksi ratkaistaan ​​yhtälö: \(3^(x)=9\). Yhdistä vain \(x\), jotta tasa-arvo toimii. Tietenkin \(x=2\).

Ratkaise nyt yhtälö: \(3^(x)=8\. Mikä on x yhtä suuri? Se on asian ydin.

Nerokkain sanoo: "X on hieman vähemmän kuin kaksi." Miten tämä luku oikein kirjoitetaan? Vastatakseen tähän kysymykseen he keksivät logaritmin. Hänen ansiostaan ​​vastaus tähän voidaan kirjoittaa muodossa \(x=\log_(3)(8)\).

Haluan korostaa, että \(\log_(3)(8)\), samoin kuin mikä tahansa logaritmi on vain luku. Kyllä, se näyttää epätavalliselta, mutta se on lyhyt. Koska jos halusimme kirjoittaa sen muotoon desimaaliluku, se näyttäisi tältä: \(1.892789260714.....\)

Esimerkki : Ratkaise yhtälö \(4^(5x-4)=10\)

Ratkaisu :

\(4^(5x-4)=10\)		\(4^(5x-4)\) ja \(10\) eivät voi pelkistää samaan kantaan. Joten tässä et voi tehdä ilman logaritmia. Käytetään logaritmin määritelmää: \(a^(b)=c\) \(\Leftrightarrow\) \(\log_(a)(c)=b\)
\(\log_(4)(10)=5x-4\)		Käännä yhtälö niin, että x on vasemmalla
\(5x-4=\log_(4)(10)\)		Ennen meitä. Siirrä \(4\) oikealle. Älä pelkää logaritmia, vaan käsittele sitä tavallisena numerona.
\(5x=\log_(4)(10)+4\)		Jaa yhtälö 5:llä
\(x=\)\(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)		Tässä on juuremme. Kyllä, se näyttää epätavalliselta, mutta vastausta ei valita.

Vastaus : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

Desimaali- ja luonnonlogaritmit

Kuten logaritmin määritelmässä todetaan, sen kanta voi olla mikä tahansa positiivinen luku paitsi yksi \((a>0, a\neq1)\). Ja kaikkien joukossa mahdollisista syistä kaksi esiintyy niin usein, että logaritmille keksittiin erityinen lyhyt merkintätapa niiden kanssa:

Luonnollinen logaritmi: logaritmi, jonka kanta on Eulerin luku \(e\) (suunnilleen \(2,7182818…\)), ja logaritmi kirjoitetaan muodossa \(\ln(a)\).

Tuo on, \(\ln(a)\) on sama kuin \(\log_(e)(a)\)

Desimaalilogaritmi: Logaritmi, jonka kantaluku on 10, kirjoitetaan \(\lg(a)\).

Tuo on, \(\lg(a)\) on sama kuin \(\log_(10)(a)\), jossa \(a\) on jokin luku.

Peruslogaritminen identiteetti

Logaritmeilla on monia ominaisuuksia. Yksi niistä on nimeltään "Peruslogaritminen identiteetti" ja näyttää tältä:

\(a^(\log_(a)(c))=c\)

Tämä ominaisuus seuraa suoraan määritelmästä. Katsotaanpa, kuinka tämä kaava tarkalleen ilmestyi.

Muistetaan lyhyt muistiinpano logaritmien määritelmät:

jos \(a^(b)=c\), niin \(\log_(a)(c)=b\)

Eli \(b\) on sama kuin \(\log_(a)(c)\). Sitten voimme kirjoittaa \(\log_(a)(c)\) \(b\) sijasta kaavaan \(a^(b)=c\) . Kävi ilmi, että \(a^(\log_(a)(c))=c\) - tärkein logaritminen identiteetti.

Löydät loput logaritmien ominaisuudet. Niiden avulla voit yksinkertaistaa ja laskea lausekkeiden arvot logaritmeilla, joita on vaikea laskea suoraan.

Esimerkki : Etsi lausekkeen arvo \(36^(\log_(6)(5))\)

Ratkaisu :

Vastaus : \(25\)

Kuinka kirjoittaa luku logaritmina?

Kuten edellä mainittiin, mikä tahansa logaritmi on vain numero. Päinvastoin on myös totta: mikä tahansa luku voidaan kirjoittaa logaritmina. Tiedämme esimerkiksi, että \(\log_(2)(4)\) on yhtä kuin kaksi. Sitten voit kirjoittaa \(\log_(2)(4)\) kahden sijaan.

Mutta \(\log_(3)(9)\) on myös yhtä suuri kuin \(2\), joten voit kirjoittaa myös \(2=\log_(3)(9)\) . Vastaavasti \(\log_(5)(25)\) ja \(\log_(9)(81)\) jne. Eli käy ilmi

\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)

Siten, jos tarvitsemme, voimme kirjoittaa nämä kaksi logaritmina millä tahansa kantalla missä tahansa (jopa yhtälössä, jopa lausekkeessa, jopa epäyhtälössä) - kirjoitamme vain neliön kantaluvun argumentiksi.

Se on sama kolminkertaisen kanssa - se voidaan kirjoittaa muodossa \(\log_(2)(8)\), tai \(\log_(3)(27)\) tai \(\log_(4)( 64) \) ... Kirjoita tähän kuution kanta argumentiksi:

\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)

Ja neljällä:

\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)

Ja miinuksella yksi:

\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1) )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1) (7)\)\(...\)

Ja yhdellä kolmanneksella:

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

Mikä tahansa luku \(a\) voidaan esittää logaritmina, jonka kanta on \(b\): \(a=\log_(b)(b^(a))\)

Esimerkki : Etsi lausekkeen arvo \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)

Ratkaisu :

Vastaus : \(1\)

Yksi primitiivisen tason algebran elementeistä on logaritmi. Nimi tuli kreikkalainen sanasta "numero" tai "teho" ja tarkoittaa tehoa, johon on tarpeen nostaa numero pohjassa lopullisen luvun löytämiseksi.

Logaritmien tyypit

• log a b on luvun b logaritmi kantaan a (a > 0, a ≠ 1, b > 0);
• lg b - desimaalilogaritmi (logaritmin kantaluku 10, a = 10);
• ln b - luonnollinen logaritmi (logaritmin kanta e, a = e).

Kuinka ratkaista logaritmit?

Luvun b logaritmi kantaan a on eksponentti, mikä edellyttää, että kanta a nostetaan luvuksi b. Tulos lausutaan näin: "b:n logaritmi a:n kantaan". Ratkaisu logaritmisihin ongelmiin on, että sinun on määritettävä annettu aste määritetyillä luvuilla olevilla luvuilla. On olemassa joitakin perussääntöjä logaritmin määrittämiseen tai ratkaisemiseen sekä itse merkinnän muuntamiseen. Niitä käyttämällä syntyy ratkaisu logaritmiset yhtälöt, derivaatat löydetään, integraalit ratkaistaan ​​ja monia muita operaatioita suoritetaan. Pohjimmiltaan ratkaisu logaritmiin itsessään on sen yksinkertaistettu merkintä. Alla on tärkeimmät kaavat ja ominaisuudet:

Kaikille a ; a > 0; a ≠ 1 ja mille tahansa x:lle; y > 0.

• a log a b = b on logaritminen perusidentiteetti
• log a 1 = 0
• log a a = 1
• log a (x y ) = log a x + log a y
• log a x/ y = log a x – log a y
• log a 1/x = -log a x
• log a x p = p log a x
• log a k x = 1/k log a x , kun k ≠ 0
• log a x = log a c x c
• log a x \u003d log b x / log b a - uuteen kantaan siirtymisen kaava
• log a x = 1/log x a

Logaritmien ratkaiseminen - vaiheittaiset ratkaisuohjeet

• Kirjoita ensin vaadittu yhtälö.

Huomaa: jos peruslogaritmi on 10, tietuetta lyhennetään, saadaan desimaalilogaritmi. Jos kannattaa luonnollinen luku e, sitten kirjoitetaan muistiin, vähennetään luonnolliseen logaritmiin. Se tarkoittaa, että kaikkien logaritmien tulos on potenssi, johon perusluku nostetaan luvun b saamiseksi.

Suoraan ratkaisu on tämän asteen laskemisessa. Ennen lausekkeen ratkaisemista logaritmilla se on yksinkertaistettava säännön mukaan eli kaavoilla. Löydät tärkeimmät identiteetit palaamalla artikkelissa hieman taaksepäin.

Logaritmien lisääminen ja vähentäminen kahdella erilaisia ​​numeroita, mutta samoilla kantaluvuilla, korvaa yhdellä logaritmilla lukujen b ja c tulolla tai jaolla. Tässä tapauksessa voit soveltaa siirtymäkaavaa toiseen kantaan (katso yllä).

Jos käytät lausekkeita logaritmin yksinkertaistamiseksi, on joitain rajoituksia huomioitava. Ja se on: logaritmin a kanta on vain positiivinen luku, mutta ei yhtä suuri kuin yksi. Numeron b, kuten a, on oltava suurempi kuin nolla.

On tapauksia, joissa lausekkeen yksinkertaistamisen jälkeen et voi laskea logaritmia numeerisessa muodossa. Tapahtuu, että sellaisessa lausekkeessa ei ole järkeä, koska monet asteet ovat irrationaalisia lukuja. Jätä tässä tilanteessa luvun potenssi logaritmiksi.

Logaritmeja, kuten mitä tahansa lukua, voidaan lisätä, vähentää ja muuntaa kaikin mahdollisin tavoin. Mutta koska logaritmit eivät ole aivan tavallisia lukuja, tässä on säännöt, joita kutsutaan perusominaisuudet.

Nämä säännöt on tunnettava - ilman niitä ei voida ratkaista vakavaa logaritmista ongelmaa. Lisäksi niitä on hyvin vähän - kaikki voidaan oppia yhdessä päivässä. Joten aloitetaan.

Logaritmien yhteen- ja vähennyslasku

Tarkastellaan kahta logaritmia, joilla on sama kanta: log a x ja kirjaudu sisään a y. Sitten ne voidaan lisätä ja vähentää, ja:

1. Hirsi a x+loki a y= loki a (x · y);
2. Hirsi a x-loki a y= loki a (x : y).

Joten logaritmien summa on yhtä suuri kuin tuotteen logaritmi, ja ero on osamäärän logaritmi. merkintä: avainhetki täällä - samoilla perusteilla. Jos perusteet ovat erilaiset, nämä säännöt eivät toimi!

Nämä kaavat auttavat sinua laskemaan logaritminen lauseke vaikka sen yksittäisiä osia ei oteta huomioon (katso oppitunti "Mikä on logaritmi"). Katso esimerkkejä ja katso:

loki 6 4 + loki 6 9.

Koska logaritmien kantaluvut ovat samat, käytämme summakaavaa:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Tehtävä. Etsi lausekkeen arvo: log 2 48 − log 2 3.

Perusteet ovat samat, käytämme erokaavaa:
log 2 48 - log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Tehtävä. Etsi lausekkeen arvo: log 3 135 − log 3 5.

Jälleen, perusteet ovat samat, joten meillä on:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Kuten näet, alkuperäiset lausekkeet koostuvat "huonoista" logaritmeista, joita ei käsitellä erikseen. Mutta muunnosten jälkeen tulee melko normaaleja lukuja. Tämän tosiasian perusteella monet koepaperit. Kyllä, kontrolli - samanlaisia ​​ilmaisuja kaikessa vakavuudessa (joskus - käytännössä ilman muutoksia) tarjotaan kokeessa.

Eksponentin poistaminen logaritmista

Monimutkaistaan ​​nyt tehtävää hieman. Entä jos logaritmin kantaosassa tai argumentissa on aste? Sitten tämän asteen eksponentti voidaan ottaa pois logaritmin etumerkistä seuraavien sääntöjen mukaisesti:

On helppo nähdä, että viimeinen sääntö seuraa heidän kahta ensimmäistä. Mutta on parempi muistaa se joka tapauksessa - joissain tapauksissa se vähentää merkittävästi laskelmien määrää.

Tietenkin kaikki nämä säännöt ovat järkeviä, jos ODZ-logaritmia noudatetaan: a > 0, a ≠ 1, x> 0. Ja vielä yksi asia: opettele soveltamaan kaikkia kaavoja ei vain vasemmalta oikealle, vaan myös päinvastoin, ts. voit syöttää logaritmin etumerkkiä edeltävät luvut itse logaritmiin. Tätä vaaditaan useimmiten.

Tehtävä. Etsi lausekkeen arvo: log 7 49 6 .

Päästään eroon argumentin asteesta ensimmäisen kaavan mukaan:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Tehtävä. Etsi lausekkeen arvo:

[Kuvan kuvateksti]

Huomaa, että nimittäjä on logaritmi, jonka kanta ja argumentti ovat tarkat potenssit: 16 = 2 4 ; 49 = 72. Meillä on:

[Kuvan kuvateksti]

Mielestäni viimeinen esimerkki kaipaa selvennystä. Mihin logaritmit ovat kadonneet? Viimeiseen hetkeen asti työskentelemme vain nimittäjällä. He esittivät siellä seisovan logaritmin kannan ja argumentin asteiden muodossa ja ottivat indikaattorit - he saivat "kolmikerroksisen" murto-osan.

Katsotaan nyt pääosaa. Osoittajalla ja nimittäjällä on sama luku: log 2 7. Koska log 2 7 ≠ 0, voimme pienentää murto-osaa - 2/4 jää nimittäjään. Aritmeettisten sääntöjen mukaan neljä voidaan siirtää osoittajaan, mikä tehtiin. Tuloksena on vastaus: 2.

Siirtyminen uudelle perustalle

Puhuessani logaritmien yhteen- ja vähennyssäännöistä korostin erityisesti, että ne toimivat vain samoilla perusteilla. Entä jos pohjat ovat erilaiset? Entä jos ne eivät ole täsmälleen saman luvun potenssit?

Uuteen tukikohtaan siirtymisen kaavat tulevat apuun. Muotoilemme ne lauseen muodossa:

Anna logaritmin lokikirjautua a x. Siis mille tahansa numerolle c sellasta c> 0 ja c≠ 1, yhtälö on totta:

[Kuvan kuvateksti]

Varsinkin jos laitamme c = x, saamme:

[Kuvan kuvateksti]

Toisesta kaavasta seuraa, että logaritmin kanta ja argumentti voidaan vaihtaa keskenään, mutta tässä tapauksessa koko lauseke "käännetään" ts. logaritmi on nimittäjässä.

Näitä kaavoja löytyy harvoin tavallisista numeerisia lausekkeita. Niiden käyttökelpoisuutta on mahdollista arvioida vain logaritmiset yhtälöitä ja epäyhtälöitä ratkaistaessa.

On kuitenkin tehtäviä, joita ei voida ratkaista ollenkaan muutoin kuin siirtymällä uudelle perustalle. Tarkastellaanpa paria näistä:

Tehtävä. Etsi lausekkeen arvo: log 5 16 log 2 25.

Huomaa, että molempien logaritmien argumentit ovat tarkat eksponentit. Otetaan indikaattorit pois: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2 log 2 5;

Käännetään nyt toinen logaritmi:

[Kuvan kuvateksti]

Koska tulo ei muutu tekijöiden permutaatiosta, kerroimme rauhallisesti neljä ja kaksi ja sitten selvitimme logaritmit.

Tehtävä. Etsi lausekkeen arvo: log 9 100 lg 3.

Ensimmäisen logaritmin kanta ja argumentti ovat tarkat potenssit. Kirjataan se ylös ja päästään eroon indikaattoreista:

[Kuvan kuvateksti]

Nyt päästään eroon desimaalilogaritmista siirtymällä uuteen kantaan:

[Kuvan kuvateksti]

Peruslogaritminen identiteetti

Usein ratkaisuprosessissa on esitettävä luku logaritmina tiettyyn kantaan. Tässä tapauksessa kaavat auttavat meitä:

Ensimmäisessä tapauksessa numero n tulee väitteen eksponentti. Määrä n voi olla mitä tahansa, koska se on vain logaritmin arvo.

Toinen kaava on itse asiassa parafrasoitu määritelmä. Sitä kutsutaan logaritmiseksi perusidentiteetiksi.

Todellakin, mitä tapahtuu, jos numero b nosta valtaan niin, että b tässä määrin antaa numeron a? Aivan oikein: tämä on sama numero a. Lue tämä kappale huolellisesti uudelleen - monet ihmiset "roikkuvat" siinä.

Kuten uudet perusmuunnoskaavat, logaritminen perusidentiteetti on joskus ainoa mahdollinen ratkaisu.

Tehtävä. Etsi lausekkeen arvo:

[Kuvan kuvateksti]

Huomaa, että log 25 64 = log 5 8 - juuri poisti neliön kannasta ja logaritmin argumentin. Ottaen huomioon valtuuksien kertomista koskevat säännöt sama pohja, saamme:

[Kuvan kuvateksti]

Jos joku ei ole perillä, tämä oli todellinen tehtävä kokeesta :)

Logaritminen yksikkö ja logaritminen nolla

Lopuksi annan kaksi identiteettiä, joita on vaikea kutsua ominaisuuksiksi - pikemminkin nämä ovat seurauksia logaritmin määritelmästä. Heitä löytyy jatkuvasti ongelmista ja yllättäen ne aiheuttavat ongelmia jopa "edenneille" opiskelijoille.

1. Hirsi a a= 1 on logaritminen yksikkö. Muista kerta kaikkiaan: logaritmi mihin tahansa kantaan a tästä perustasta itse on yhtä suuri kuin yksi.
2. Hirsi a 1 = 0 on logaritminen nolla. Pohja a voi olla mikä tahansa, mutta jos argumentti on yksi, logaritmi on nolla! koska a 0 = 1 on suora seuraus määritelmästä.

Siinä kaikki ominaisuudet. Muista harjoitella niiden toteuttamista käytännössä! Lataa huijauslehti oppitunnin alussa, tulosta se ja ratkaise ongelmat.

Tänään puhumme aiheesta logaritmikaavat ja antaa esittelyn ratkaisuesimerkkejä.

Ne itsessään merkitsevät ratkaisukuvioita logaritmien perusominaisuuksien mukaisesti. Ennen kuin käytät logaritmikaavoja ratkaisuun, muistamme ensin kaikki ominaisuudet:

Nyt näytämme näiden kaavojen (ominaisuuksien) perusteella esimerkkejä logaritmien ratkaisemisesta.

Esimerkkejä logaritmien ratkaisemisesta kaavojen perusteella.

Logaritmi positiivinen luku b kannassa a (merkitty log a b) on eksponentti, johon a on nostettava, jotta saadaan b, kun b > 0, a > 0 ja 1.

Määritelmän mukaan log a b = x, joka vastaa a x = b, joten log a a x = x.

Logaritmit, esimerkkejä:

log 2 8 = 3, koska 2 3 = 8

loki 7 49 = 2, koska 7 2 = 49

log 5 1/5 = -1, koska 5-1 = 1/5

Desimaalilogaritmi on tavallinen logaritmi, jonka kanta on 10. Merkitään lg.

log 10 100 = 2, koska 10 2 = 100

luonnollinen logaritmi- myös tavallinen logaritmilogaritmi, mutta jo kantaluvulla e (e \u003d 2,71828 ... - irrationaalinen luku). Kutsutaan nimellä ln.

Logaritmien kaavat tai ominaisuudet on hyvä muistaa, koska niitä tarvitaan myöhemmin ratkottaessa logaritmeja, logaritmia yhtälöitä ja epäyhtälöitä. Käydään jokainen kaava läpi uudelleen esimerkkien avulla.

• Peruslogaritminen identiteetti
  a log a b = b

  8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9

• Tuloksen logaritmi on yhtä suuri kuin logaritmien summa
  log a (bc) = log a b + log a c

  log 3 8,1 + log 3 10 = log 3 (8,1*10) = log 3 81 = 4

• Osamäärän logaritmi on yhtä suuri kuin logaritmien erotus
  log a (b/c) = log a b - log a c

  9 log 5 50 /9 log 5 2 = 9 log 5 50- log 5 2 = 9 log 5 25 = 9 2 = 81

• Logaritmiskelpoisen luvun asteen ja logaritmin kannan ominaisuudet

  Logaritmiluvun eksponentti log a b m = mlog a b

  Logaritmin kantaluvun eksponentti log a n b =1/n*log a b

  log a n b m = m/n*log a b,

  jos m = n, saadaan log a n b n = log a b

  log 4 9 = log 2 2 3 2 = log 2 3

• Siirtyminen uudelle perustalle
  log a b = log c b / log c a,

  jos c = b, saadaan log b b = 1

  sitten log a b = 1/log b a

  log 0,8 3*log 3 1,25 = log 0,8 3*log 0,8 1,25/log 0,8 3 = log 0,8 1,25 = log 4/5 5/4 = -1

Kuten näet, logaritmikaavat eivät ole niin monimutkaisia ​​kuin miltä ne näyttävät. Nyt, kun olemme tarkastelleet esimerkkejä logaritmien ratkaisemisesta, voimme siirtyä logaritmiin yhtälöihin. Tarkastelemme esimerkkejä logaritmisen yhtälöiden ratkaisemisesta yksityiskohtaisemmin artikkelissa: "". Älä missaa!

Jos sinulla on vielä kysyttävää ratkaisusta, kirjoita ne artikkelin kommentteihin.

Huomaa: päätin hankkia toisen luokan koulutuksen ulkomailla vaihtoehtona.

Suhteessa

Tehtävä löytää mikä tahansa kolmesta numerosta kahdesta muusta, voidaan asettaa. Annettu a ja sitten N löytyy eksponentioimalla. Jos N on annettu ja sitten a löydetään erottamalla potenssin x juuri (tai eksponentio). Tarkastellaan nyt tapausta, jossa a:lla ja N:llä on löydettävä x.

Olkoon luku N positiivinen: luku a on positiivinen eikä yhtä suuri kuin yksi: .

Määritelmä. Luvun N logaritmi kantaan a on eksponentti, johon sinun täytyy nostaa a saadaksesi luvun N; logaritmi on merkitty

Siten yhtälössä (26.1) eksponentti löytyy N:n logaritmina kantaan a. merkinnät

omistaa sama merkitys. Tasa-arvoa (26.1) kutsutaan joskus logaritmien teorian perusidentiteetiksi; itse asiassa se ilmaisee logaritmin käsitteen määritelmän. Tekijä: tämä määritelmä logaritmin a kanta on aina positiivinen ja eroaa yksiköstä; logaritmisoitu luku N on positiivinen. Negatiivisilla luvuilla ja nollalla ei ole logaritmeja. Voidaan todistaa, että millä tahansa luvulla, jolla on tietty kanta, on hyvin määritelty logaritmi. Siksi tasa-arvo edellyttää. Huomaa, että ehto on tässä välttämätön, muuten johtopäätös ei olisi perusteltu, koska yhtäläisyys on totta kaikille x:n ja y:n arvoille.

Esimerkki 1. Etsi

Ratkaisu. Saadaksesi numeron, sinun on nostettava kanta 2 tehoon Siksi.

Voit tallentaa kun ratkaiset tällaisia ​​esimerkkejä seuraavassa muodossa:

Esimerkki 2. Etsi .

Ratkaisu. Meillä on

Esimerkeissä 1 ja 2 löysimme helposti halutun logaritmin esittämällä logaritmiskelpoista lukua kantalukuna rationaalisen eksponentin kanssa. V yleinen tapaus, esimerkiksi jne., tätä ei voi tehdä, koska logaritmilla on irrationaalinen arvo. Kiinnittäkäämme huomiota yhteen tähän lausuntoon liittyvään kysymykseen. Kohdassa 12 esitimme käsitteen mahdollisuudesta määrittää mikä tahansa tietyn positiivisen luvun todellinen potenssi. Tämä oli tarpeen logaritmien käyttöön ottamiseksi, jotka yleensä voivat olla irrationaalisia lukuja.

Harkitse joitain logaritmien ominaisuuksia.

Ominaisuus 1. Jos luku ja kanta ovat yhtä suuret, niin logaritmi on yhtä suuri kuin yksi, ja päinvastoin, jos logaritmi on yhtä suuri, luku ja kanta ovat yhtä suuret.

Todiste. Olkoon Logaritmin määritelmän mukaan meillä on ja mistä

Päinvastoin, anna sitten määritelmän mukaan

Ominaisuus 2. Minkä tahansa kantayksikön yksikön logaritmi on nolla.

Todiste. Logaritmin määritelmän mukaan (mikä tahansa positiivisen kannan nollapotenssi on yhtä suuri kuin yksi, katso (10.1)). Täältä

Q.E.D.

Käänteinen väite on myös totta: jos , niin N = 1. Todellakin, meillä on .

Ennen muotoilua seuraava kiinteistö logaritmissa, olemme samaa mieltä siitä, että kaksi lukua a ja b ovat kolmannen luvun c samalla puolella, jos ne ovat molemmat suurempia kuin c tai pienempiä kuin c. Jos toinen näistä luvuista on suurempi kuin c ja toinen pienempi kuin c, niin sanomme, että ne sijaitsevat c:n vastakkaisilla puolilla.

Ominaisuus 3. Jos luku ja kanta ovat samalla yksikön puolella, logaritmi on positiivinen; jos luku ja kanta ovat yksikön vastakkaisilla puolilla, logaritmi on negatiivinen.

Ominaisuuden 3 todiste perustuu siihen, että a:n aste on suurempi kuin yksi, jos kanta on suurempi kuin yksi ja eksponentti on positiivinen tai kanta on pienempi kuin yksi ja eksponentti on negatiivinen. Aste on pienempi kuin yksi, jos kanta on suurempi kuin yksi ja eksponentti on negatiivinen, tai kanta on pienempi kuin yksi ja eksponentti on positiivinen.

Harkittavia tapauksia on neljä:

Rajaudumme analysoimaan niistä ensimmäistä, lukija harkitsee loput itse.

Olkoon sitten yhtälön eksponentti negatiivinen eikä yhtä suuri kuin nolla, joten se on positiivinen, eli se, joka vaadittiin todistettavaksi.

Esimerkki 3. Selvitä, mitkä seuraavista logaritmeista ovat positiivisia ja mitkä negatiivisia:

Ratkaisu, a) koska numero 15 ja kanta 12 sijaitsevat yksikön samalla puolella;

b) , koska 1000 ja 2 sijaitsevat yksikön samalla puolella; samaan aikaan ei ole välttämätöntä, että kanta on suurempi kuin logaritminen luku;

c), koska 3.1 ja 0.8 sijaitsevat ykseyden vastakkaisilla puolilla;

G) ; miksi?

e) ; miksi?

Seuraavia ominaisuuksia 4-6 kutsutaan usein logaritmin säännöiksi: ne mahdollistavat joidenkin lukujen logaritmit tuntemalla löytää jokaisen tulonsa, osamäärän, asteen logaritmit.

Ominaisuus 4 (tulon logaritmin sääntö). Useiden positiivisten lukujen tulon logaritmi tietyssä kannassa on yhtä suuri kuin näiden samassa kannassa olevien lukujen logaritmien summa.

Todiste. Annetaan positiiviset luvut.

Heidän tulonsa logaritmille kirjoitetaan yhtälö (26.1), joka määrittää logaritmin:

Täältä löydämme

Vertaamalla ensimmäisen ja viimeisen lausekkeen eksponenttia saadaan vaadittu yhtäläisyys:

Huomaa, että ehto on välttämätön; kahden tulon logaritmi negatiivisia lukuja järkevää, mutta tässä tapauksessa saamme sen

Yleensä, jos useiden tekijöiden tulo on positiivinen, niin sen logaritmi on yhtä suuri kuin näiden tekijöiden moduulien logaritmien summa.

Ominaisuus 5 (osamäärälogaritmisääntö). Positiivisten lukujen osamäärän logaritmi on yhtä suuri kuin osingon ja jakajan logaritmien välinen ero samassa kannassa. Todiste. Löytää johdonmukaisesti

Q.E.D.

Ominaisuus 6 (asteen logaritmin sääntö). Minkä tahansa positiivisen luvun potenssin logaritmi on yhtä suuri kuin tämän luvun logaritmi kertaa eksponentti.

Todiste. Kirjoitamme uudelleen päätunnuksen (26.1) numerolle:

Q.E.D.

Seuraus. Positiivisen luvun juuren logaritmi on yhtä suuri kuin juuriluvun logaritmi jaettuna juuren eksponenteilla:

Voimme todistaa tämän seurauksen pätevyyden esittämällä kuinka ja käyttämällä ominaisuutta 6.

Esimerkki 4. Logaritmi a:n kantaan:

a) (oletetaan, että kaikki arvot b, c, d, e ovat positiivisia);

b) (oletetaan, että ).

Ratkaisu, a) Tässä lausekkeessa on kätevää siirtää murtolukupotenssit:

Yhtälöiden (26.5)-(26.7) perusteella voimme nyt kirjoittaa:

Huomaamme, että lukujen logaritmeille tehdään yksinkertaisempia operaatioita kuin itse luvuille: lukuja kerrottaessa niiden logaritmit lasketaan yhteen, jaettuna vähennetään jne.

Tästä syystä laskentakäytännössä on käytetty logaritmeja (ks. luku 29).

Logaritmille käänteistä toimintaa kutsutaan potentioimiseksi, nimittäin: potentioiminen on toimenpide, jolla tämä luku itse löydetään luvun annetulla logaritmilla. Potentioiminen ei ole pohjimmiltaan mitään erityistä toimintaa: se tarkoittaa perustan nostamista valtaan ( yhtä suuri kuin logaritmi numerot). Termiä "potentiointi" voidaan pitää synonyyminä termin "exponsaatio" kanssa.

Potentioinnissa on käytettävä sääntöjä, jotka ovat käänteisiä logaritmin säännöille: korvaa logaritmien summa tulon logaritmilla, logaritmien ero osamäärän logaritmilla jne. Varsinkin jos on mikä tahansa tekijä logaritmin etumerkin edessä, niin se on potentioinnissa siirrettävä indikaattoriasteisiin logaritmin etumerkin alla.

Esimerkki 5. Etsi N, jos se tiedetään

Ratkaisu. Juuri esitetyn potenssisäännön yhteydessä tämän yhtälön oikealla puolella olevien logaritmien etumerkkien edessä olevat kertoimet 2/3 ja 1/3 siirretään näiden logaritmien etumerkkien alla oleviin eksponenteihin; saamme

Nyt korvaamme logaritmien eron osamäärän logaritmilla:

saadaksemme viimeisen murto-osan tässä yhtälöketjussa, vapautimme edellisen murto-osan irrationaalisuudesta nimittäjässä (osio 25).

Ominaisuus 7. Jos kanta on suurempi kuin yksi, niin lisää on suurempi logaritmi (ja pienemmällä on pienempi), jos kanta on pienempi kuin yksi, niin suuremmalla luvulla on pienempi logaritmi (ja pienemmällä on suurempi).

Tämä ominaisuus on myös muotoiltu säännöksi epäyhtälöiden logaritmille, joiden molemmat osat ovat positiivisia:

Kun epäyhtälöiden logaritmi viedään yhtä suurempaan kantaan, epäyhtälisyysmerkki säilyy, ja kun logaritmi viedään yhtä pienempään kantaan, epäyhtälön etumerkki käännetään (katso myös kohta 80).

Todistus perustuu ominaisuuksiin 5 ja 3. Tarkastellaan tapausta, jossa If , sitten ja logaritmin avulla saadaan

(a ja N/M ovat samalla yksikön puolella). Täältä

Tapaus a seuraa, lukija selvittää sen itse.