Kulmien poistamisen tärkein ominaisuus on määritelmä. Määritelmä. Aksioomit - Geometria - Upea hakuteos koululaisille. Suorien viivojen keskinäinen järjestely tasossa

AIHE "Segmentin perusominaisuudet"

Esimerkkinä sähköisen oppikirjan käytöstä 7. luokan geometrian tunneilla analysoidaan, miten käsite "Segmentin perusominaisuudet" otetaan käyttöön.

Tämä valinta johtuu seuraavista näkökohdista:

1. Tämä on yksi tärkeimmistä käsitteistä sekä alku- että systemaattisissa geometrian kursseissa;

2. Jaksolla, toisin kuin esimerkiksi säteellä tai suoralla, on metrinen ominaisuus - pituus.

Nykyinen matematiikan ohjelma antaa seuraavat suositukset:

1. Aineiston opiskelu on järjestetty opiskelijoiden elämänkokemuksen ja käytännön taitojen perusteella;

2. Segmentin tunnusomaiset ominaisuudet havaitaan tehtävien ratkaisun ja konstruoinnin aikana;

3. Päähuomio kiinnitetään segmenttien mittaamiseen ja rakentamiseen viivaimen avulla.

Geometrisen materiaalin opiskelun seurauksena nykyisen ohjelman mukaisesti opiskelijoiden tulisi tietää:

1. Että on olemassa yksi jana, joka yhdistää kaksi tason pistettä;

2. Jana on rajattu molemmilta puolilta ja se on osa suoraa linjaa;

3. Yhdenvertaisten segmenttien määrittely;

4. Janan pituuden ominaisuus - segmenttien summan pituus on yhtä suuri kuin segmenttien summan pituuksien summa.

Opiskelijoiden tulee kyetä:

1. Tunnista segmentit, mukaan lukien ne, jotka sisältyvät erilaisiin geometrisiin muotoihin;

2. Rakenna segmenttejä, määrittele ja mittaa ne;

3. Vertaa segmenttejä.

Perinteisessä esittelyssä tämän materiaalin tutkimus suoritetaan seuraavan järjestelmän mukaisesti:

1. Segmentin rakentaminen;

2. segmentin nimitys;

3. Jakson pituus, pituusyksiköt;

4. Irtisanomisen ominaisuudet;

5. Segmenttien summan pituuden selvittäminen.

Nykyisissä oppikirjoissa ja opetusvälineissä olevat harjoitukset voidaan luokitella seuraaviin tyyppeihin:

a) segmenttien rakentaminen;

b) segmenttien nimeäminen;

c) segmenttien mittaus ja vertailu;

d) katkoviivan pituuden tai monikulmion kehän löytäminen;

e) segmenttien summan pituuden löytäminen.

Siten "segmentin" käsite liittyy suoraan sen pituuteen. "Segmentin" käsitteen tarkastelu alkaa sellaisten tunnusomaisten ominaisuuksien allokoinnilla, jotka eivät liity mittaukseen. Nämä ovat ominaisuuksia, joiden avulla voit määrittää segmentin samankaltaisuuden muiden geometristen muotojen kanssa, sen eron niistä, eli sisällyttää segmentin ajatuksen olemassa olevaan opiskelijoiden geometristen esitysten järjestelmään.

Janan pääominaisuudet - suoruus ja rajallisuus kahteen suuntaan - paljastuvat, kun sitä verrataan suoraan tai säteeseen.

Näiden ominaisuuksien avulla voit mitata segmentin eli verrata sen pituutta pituusstandardiin.

Itse asiassa suoran ja säteen pituutta ei voida mitata niiden rajattomuuden vuoksi. Kaarevalla viivalla suora pituuden mittaaminen on vaikeaa sen mielivaltaisen muodon vuoksi. Vaikka käyrän pituus olisi tiedossa, tämä luku ei kuitenkaan kerro mitään sen muodosta, koska tietyn pituisia kaarevia viivoja on ääretön määrä. Segmentin pituus määrittelee sen yksiselitteisesti geometriseksi kuvioksi.

Tässä asiakirjassa ehdotetaan "segmentin" käsitteen tutkimista seuraavan kaavion mukaisesti:

1. segmentin rakentaminen;

2. segmentin nimitys;

3. segmentin ei-metriset perusominaisuudet;

4. segmentin lykkäämisen pääominaisuus;

5. segmentin pituus, pituusyksiköt;

6. yhtäläiset segmentit, segmenttien vertailu pituussuunnassa;

7. segmenttien summan pituuden löytäminen.

Tunti on varattu perehtymiseen aiheeseen ”Segmentti ja sen ominaisuudet”.

Oppitunti "Segmenttien perusominaisuudet."

Oppitunnin tarkoitus: muodostaa opiskelijoiden ajatuksia segmentistä rajoitettuna suoraviivaisena geometrisena kuviona ja pisteiden suhteellisesta sijainnista tasossa.

I. Valmistautuminen uuden materiaalin opiskeluun.

Oppilaat tuntevat segmentin, sen rakentamisen ja mittaamisen peruskoulusta lähtien. Siksi oppitunnin alussa oppilaat muistavat erilaiset tavat muodostaa segmentti viivaimen ja sen merkinnän avulla.

Kertaus:

Tapa 1: Rakennamme viivaimen avulla suoran, merkitsemme siihen kaksi pistettä A ja B, jotka määrittävät janan AB.

Jakso AB - osa suoraa,

A B rajattu pisteillä.

osio AB

Tapa 2: Merkitsemme tasoon kaksi pistettä A ja B. Yhdistämme ne viivainta pitkin, joka ei ylitä pisteitä A ja B.

Segmentti AB koostuu kaikista pisteistä

suora viiva pisteiden välillä

MUTTA SISÄÄN A ja B sekä itse pisteet.

osio AB

Oppilaat muistavat kaiken, mitä he tietävät segmentistä: 1) segmentti on litteä hahmo (se sijaitsee tasossa); 2) se on osa suoraa; 3) jana koostuu äärettömästä joukosta pisteitä; 4) se on rajoitettu molemmilta puolilta; 5) janan jokainen piste sijaitsee kahden tietyn pisteen välissä, joita kutsutaan janan päiksi.

Opiskelijat muistavat kaiken tämän sähköisen oppikirjan perusteella avaamalla ”segmentti”-sivun. (Kuva 8)

Kuva 8

Uuden materiaalin esittely. EUP:n "Planimetry" -sivun käyttäminen: "Segmentin perusominaisuudet"

Kun opiskelijat ovat muistaneet ja toistaneet, mitä he tiesivät jaosta, opettaja sanoo: että janan päitä kutsutaan rajapisteiksi ja kaikki niiden välissä olevat ovat janan sisäisiä pisteitä.

Tämän jälkeen opettaja pyytää lapsia kääntymään sähköisen opetusvälineen puoleen, jossa näkyy kuva ja selitys, joka johdattaa opiskelijat segmentin mittaamisen ja lykkäämisen perusominaisuuksiin.

II. Ankkurointi

Opiskelijoita pyydetään suorittamaan useita tehtäviä pisteiden kuulumisesta segmentteihin, segmenttien kuulumiseen suoriin ja säteisiin sekä niiden rakentamiseen, muotoon:

1. Merkitse muistikirjaasi pisteet K ja M. Muodosta KM-segmentti viivaimella. Merkitse tähän segmenttiin pisteet P ja T. Nimeä segmentit, joihin nämä pisteet jakavat KM-segmentin. Mihin osiin piste T jakaa janan KM?

2. Mikä kuvassa ilmoitetuista kohdista? kuuluvat segmenttiin CD, ja mitkä niistä eivät kuulu?

Yhdistämistä koskevia kysymyksiä:

1. Miten pisteet ja viivat merkitään?

2. Mitkä kuvassa merkityt pisteet ovat suoralla a, mitkä suoralla c? Missä kohdassa suorat a ja b leikkaavat?

3. Muotoile segmenttien laskeuman pääominaisuudet.

4. Muotoile mittaussegmenttien pääominaisuus.

>>Matematiikka luokka 7. Suorita oppitunnit >>Geometria: Janaosien ja kulmien kerrostaminen. Täydelliset oppitunnit

Linjojen ja kulmien asettaminen

Kuvassa näkyy kuinka käyttää hallitsijat puoliviivalle a, jonka aloituspiste on A, voit piirtää 3 cm pitkän janan.

Tämä kuva näyttää kuinka käyttää astelevy syrjään puolilinjasta a ylätasoon kulma, jonka astemitta on 60°


Muotoillaan segmenttien ja kulmien laskeutumisen pääominaisuudet:

1. mille tahansa puoliviivalle sen aloituspisteestä voidaan piirtää tietyn pituinen segmentti ja vain yksi;
2. mistä tahansa puoliviivasta tiettyyn puolitasoon, voit asettaa sivuun kulman tietyllä astemitalla, alle 180 °.

Esimerkki ongelmanratkaisusta.

Säteelle AB piirretään segmentti AC, joka on pienempi kuin segmentti AB. Mikä kolmesta pisteestä A, B, C on kahden muun välissä?

Ratkaisu.
Koska pisteet B ja C ovat samalla puoliviivalla alkupisteen A kanssa, se tarkoittaa, että piste A ei erota niitä, eli piste A ei ole pisteiden B ja C välissä.

Jos piste B on pisteiden A ja C välissä, yhtälö olisi totta: AB+BC=AC. Tämä on mahdotonta, koska segmentti AC on ehdon mukaan pienempi kuin segmentti AB. Siksi piste C ei ole pisteiden A ja C välissä.

Kolmesta pisteestä A, B, C vain yksi on kahden muun välissä. Meidän tapauksessamme: piste C sijaitsee pisteiden A ja B välissä.

Säde.

Piirrä viiva a ja merkitse siihen piste O (kuva 11).

Tämä piste jakaa suoran kahteen osaan, joista kutakin kutsutaan pisteestä O lähteväksi säteeksi (kuvassa 11 yksi säteistä on merkitty lihavoidulla viivalla). Pistettä O kutsutaan jokaisen säteen alusta. Yleensä säde merkitään joko pienellä latinalaisella kirjaimella (esimerkiksi säde h kuvassa 12, a) tai kahdella suurella latinalaiskirjaimella, joista ensimmäinen osoittaa säteen alkua ja toinen - jotakin kohtaa palkki (esimerkiksi palkki OA kuvassa 12, b).

Injektio.

Muista, että kulma on geometrinen kuvio, joka koostuu pisteestä ja kahdesta tästä pisteestä lähtevästä säteestä. Säteitä kutsutaan kulman sivuiksi, ja niiden yhteinen alkupiste on kulman kärki. Kuvassa 13 on kulma, jonka kärkipiste on O ja sivut h ja k. Sivuille on merkitty pisteet A ja B. Tämä kulma on merkitty seuraavasti: hk, tai AOB tai O.

Kulmaa kutsutaan kulmaksi jos molemmat puolet ovat samalla linjalla. Voimme sanoa, että kehitetyn kulman kumpikin puoli on jatkoa toiselle puolelle. Kuvassa 14 on suoristettu kulma, jonka kärkipiste C ja sivut p ja q.

Mikä tahansa kulma jakaa tason kahteen osaan. Jos kulmaa ei kehitetä, kutsutaan yhtä osista sisäinen, ja se toinen ulkoinen tämän kulman pinta-ala (kuva 15, a). Kuva 15b esittää taittamattoman kulman. Pisteet A, B, C ovat tämän kulman sisällä (eli kulman sisäalueella), pisteet D ja E sijaitsevat kulman sivuilla ja pisteet P ja Q sijaitsevat kulman ulkopuolella (eli ulkoalueella). kulmasta). Jos kulma kehittyy, mitä tahansa kahdesta osasta, joihin se jakaa tason, voidaan pitää kulman sisäpuolena. Figuuria, joka koostuu kulmasta ja sen sisältä, kutsutaan myös kulmaksi.

Jos säde tulee kiertämättömän kulman kärjestä ja kulkee kulman sisällä, se jakaa tämän kulman kahteen kulmaan. Kuvassa (16, a) säde OS jakaa kulman AOB kahteen kulmaan: AOC ja COB. Jos kulma AOB kehitetään, niin mikä tahansa säde OS, joka ei ole sama kuin säteet OA ja OB, jakaa tämän kulman kahteen kulmaan: AOC ja COB (kuva 16, b).


Segmenttien ja kulmien vertailu.

Kuvio 20, a esittää kaksi segmenttiä. Sen selvittämiseksi, ovatko ne yhtä suuret vai eivät, asetetaan yksi segmentti toisen päälle niin, että yhden segmentin pää on kohdistettu toisen pään kanssa (kuva 20, b). Jos samaan aikaan myös kaksi muuta päätä ovat yhteensopivia, segmentit ovat täysin yhteensopivia ja siksi ne ovat samanarvoisia. Jos kaksi muuta päätä eivät täsmää, segmenttiä, joka muodostaa osan toisesta, pidetään pienempänä. Kuvassa 20 segmentti AC on osa segmenttiä AB, joten segmentti AC on pienempi kuin segmentti AB (kirjoitettuna näin: AC<АВ).

Janan pistettä, joka jakaa sen kahtia eli kahteen yhtä suureen osaan, kutsutaan janan keskipisteeksi. Kuvassa 21 piste C on janan AB keskikohta.

Kuva 22, a esittää avatut kulmat 1 ja 2. Sen määrittämiseksi, ovatko ne yhtä suuret vai eivät, asetamme yhden kulman toiselle siten, että yhden kulman sivu on kohdistettu toisen sivun kanssa ja kaksi muuta ovat samalla puolella kohdistettuja sivuja (kuva 22, b). Jos myös kaksi muuta sivua ovat yhteneväisiä, niin kulmat ovat täysin yhtenevät ja siksi ne ovat yhtä suuret. Jos nämä sivut eivät täsmää, pienemmän kulman katsotaan olevan osa toista. Kuvassa (22,b) kulma 1 on osa kulmaa 2, joten 1<2.

Taitettu kulma On osa käyttöön otettuja(Kuva 23), joten kehitetty kulma on suurempi kuin kehittymätön kulma. Mitkä tahansa kaksi suoraa kulmaa ovat selvästi yhtä suuret.

Kutsutaan sädettä, joka lähtee kulman kärjestä ja jakaa sen kahteen yhtä suureen kulmaan puolittaja kulma. Kuvassa 24 säde l- kulman hk puolittaja.

Kysymyksiä:

1. Kuinka monta astetta on kulma?
2. Mikä on puolittaja?
3. Mihin kuljettaja on tarkoitettu?

Luettelo käytetyistä lähteistä:

1. P. I. Altynov, Geometria luokat 7-9. Moskova. Kustantaja "Drofa", 2005.
2. Oppilaitosten ohjelmat. Geometria luokat 7-9. Kokoonpano: S.A. Burmistrov. Moskova. "Valaistuminen", 2009.
3. Sanomalehti "Mathematics" nro 19, 2000.
4. Atanasyan, Geometria luokat 7-9.
5. Pavlov A. N. Geometria: Planimetria opinnäytetöissä ja ratkaisuissa.
6. Muokannut ja lähettänyt Potunak S.A.

Työskenteli oppitunnilla:

Poturnak S.A.

Kuvassa 18 näkyy, kuinka viivaimen avulla puoliviivalla a, jonka aloituspiste on A, voit asettaa sivuun tietyn pituisen (3 cm) janan.

Katso kuvaa 19. a, jatkuu aloituspisteen A jälkeen, jakaa tason kahteen puolitasoon. Kuvassa näkyy, kuinka astemittaria käyttämällä voidaan asettaa sivuun puoliviivasta a ylempään puolitasoon kulma tietyllä astemitalla (60 °).

Kutsumme seuraavia ominaisuuksia segmenttien ja kulmien purkamisen pääominaisuuksiksi:

VI. Millä tahansa puoliviivalla sen aloituspisteestä voit lykätä tietyn pituisen segmentin ja vain yhden.

VII. Mistä tahansa puoliviivasta annettuunpuolitasoon mahdollista lykätä kulmaa tietyllä astemitalla alle 180 °, ja vain yksi.

Ongelma (30). Säteelle AB piirretään segmentti AC, joka on pienempi kuin segmentti AB. Mikä kolmesta pisteestä A, B, C on kahden muun välissä? Selitä vastaus.

Liuos (kuva 20). Koska pisteet B ja C ovat samalla puoliviivalla alkupisteen A kanssa, niitä ei erottaa piste A, eli piste A ei ole pisteiden B ja C välissä.

Voiko piste B olla pisteiden A ja C välissä? Jos se olisi pisteiden A ja C välissä, se olisi AB + BC = AC.

Mutta tämä on mahdotonta, koska ehdolla osio AC on pienempi kuin segmentti AB. Piste B ei siis ole pisteiden A ja C välissä.
Kolmesta pisteestä A, B, C yksi on kahden muun välissä. Siksi piste C on pisteiden A ja B välissä.

A. V. Pogorelov, Geometria luokille 7-11, Oppikirja oppilaitoksille