Ang lahat ng panig ng isang quadrangle ay nasa isang bilog. Ang nakasulat at inilarawan na mga quadrilateral at ang kanilang mga katangian ay mga materyales para sa paghahanda para sa pagsusulit sa matematika. Criterion na ang isang may apat na gilid na binubuo ng dalawang tatsulok ay nakasulat sa ilang bilog

Teorama 1. Ang kabuuan ng magkasalungat na mga anggulo ng isang nakasulat na may apat na gilid ay 180°.

Hayaang nakalagay ang quadrilateral ABCD sa isang bilog na may gitnang O (Larawan 412). Kinakailangang patunayan na ∠A + ∠C = 180° at ∠B + ∠D = 180°.

∠A, gaya ng nakasulat sa bilog O, ay may sukat na 1 / 2 \(\breve(BCD)\).

Ang ∠С, tulad ng nakasulat sa parehong bilog, ay sinusukat ng 1 / 2 \(\breve(BAD)\).

Samakatuwid, ang kabuuan ng mga anggulo A at C ay sinusukat ng kalahati ng kabuuan ng mga arko BCD at BAD; sa kabuuan, ang mga arko na ito ay bumubuo ng isang bilog, i.e. may 360°.

Kaya naman ∠A + ∠C = 360°: 2 = 180°.

Parehong napatunayan na ∠B + ∠D = 180°. Gayunpaman, maaari rin itong makuha sa ibang paraan. Alam natin na ang kabuuan ng mga panloob na anggulo ng isang matambok na may apat na gilid ay 360°. Ang kabuuan ng mga anggulo A at C ay 180°, na nangangahulugan na ang kabuuan ng iba pang dalawang anggulo ng quadrilateral ay nananatiling 180°.

Theorem 2 (baligtad). Kung ang kabuuan ng dalawang magkasalungat na anggulo sa isang may apat na gilid ay 180° , kung gayon ang isang bilog ay maaaring circumscribed tungkol sa naturang quadrilateral.

Hayaang ang kabuuan ng magkasalungat na mga anggulo ng may apat na gilid ABCD ay 180°, ibig sabihin

∠A + ∠C = 180° at ∠B + ∠D = 180° (Larawan 412).

Patunayan natin na ang isang bilog ay maaaring circumscribed sa naturang quadrilateral.

Patunay. Ang isang bilog ay maaaring iguhit sa anumang 3 vertices ng quadrilateral na ito, halimbawa, sa pamamagitan ng mga punto A, B at C. Saan matatagpuan ang punto D?

Ang punto D ay maaari lamang tumagal ng isa sa sumusunod na tatlong posisyon: nasa loob ng bilog, nasa labas ng bilog, nasa circumference ng bilog.

Ipagpalagay natin na ang vertex ay nasa loob ng bilog at pumuwesto D' (Fig. 413). Pagkatapos sa quadrilateral ABCD' magkakaroon tayo ng:

∠B + ∠D' = 2 d.

Ang pagpapatuloy ng gilid AD 'sa intersection sa bilog sa punto E at pagkonekta sa mga punto E at C, nakuha namin ang inscribed quadrilateral ABCE, kung saan, ayon sa direktang teorama

∠B + ∠E = 2 d.

Mula sa dalawang pagkakapantay-pantay na ito ay sumusunod:

∠D' = 2 d-∠B;

∠E = 2 d-∠B;

ngunit hindi ito maaaring, dahil ang ∠D', bilang panlabas sa tatsulok na CD'E, ay dapat na mas malaki kaysa sa anggulo E. Samakatuwid, ang punto D ay hindi maaaring nasa loob ng bilog.

Pinatunayan din na ang vertex D ay hindi maaaring sakupin ang posisyon D" sa labas ng bilog (Larawan 414).

Ito ay nananatiling kilalanin na ang vertex D ay dapat na nasa circumference ng bilog, ibig sabihin, nag-tutugma sa punto E, na nangangahulugan na ang isang bilog ay maaaring circumscribed malapit sa quadrilateral ABCD.

Mga kahihinatnan.

1. Ang isang bilog ay maaaring circumscribed sa paligid ng anumang parihaba.

2. Ang isang bilog ay maaaring circumscribed sa paligid ng isang isosceles trapezoid.

Sa parehong mga kaso, ang kabuuan ng magkasalungat na mga anggulo ay 180°.

Theorem 3. Sa circumscribed quadrilateral, ang mga kabuuan ng magkasalungat na panig ay pantay. Hayaang ang quadrilateral ABCD ay circumscribed tungkol sa isang bilog (Fig. 415), iyon ay, ang mga gilid nito AB, BC, CD at DA ay padaplis sa bilog na ito.

Kinakailangang patunayan na ang AB + CD = AD + BC. Tukuyin natin ang mga punto ng pakikipag-ugnay sa mga titik M, N, K, P. Batay sa mga katangian ng mga tangent na iginuhit sa bilog mula sa isang punto, mayroon tayong:

Idagdag natin ang mga pagkakapantay-pantay na ito sa bawat termino. Nakukuha namin ang:

AR + BP + DN + CN = AK + BM + DK + SM,

ibig sabihin, AB + CD = AD + BC, na dapat patunayan.

Iba pang mga materyales

Mahalaga sa amin ang iyong privacy. Para sa kadahilanang ito, bumuo kami ng Patakaran sa Privacy na naglalarawan kung paano namin ginagamit at iniimbak ang iyong impormasyon. Mangyaring basahin ang aming patakaran sa privacy at ipaalam sa amin kung mayroon kang anumang mga katanungan.

Pagkolekta at paggamit ng personal na impormasyon

Ang personal na impormasyon ay tumutukoy sa data na maaaring magamit upang makilala o makipag-ugnayan sa isang partikular na tao.

Maaaring hilingin sa iyo na ibigay ang iyong personal na impormasyon anumang oras kapag nakipag-ugnayan ka sa amin.

Ang mga sumusunod ay ilang halimbawa ng mga uri ng personal na impormasyon na maaari naming kolektahin at kung paano namin magagamit ang naturang impormasyon.

Anong personal na impormasyon ang aming kinokolekta:

• Kapag nagsumite ka ng aplikasyon sa site, maaari kaming mangolekta ng iba't ibang impormasyon, kabilang ang iyong pangalan, numero ng telepono, email address, atbp.

Paano namin ginagamit ang iyong personal na impormasyon:

• Ang personal na impormasyong kinokolekta namin ay nagpapahintulot sa amin na makipag-ugnayan sa iyo at ipaalam sa iyo ang tungkol sa mga natatanging alok, promosyon at iba pang mga kaganapan at paparating na mga kaganapan.
• Paminsan-minsan, maaari naming gamitin ang iyong personal na impormasyon upang magpadala sa iyo ng mahahalagang paunawa at mensahe.
• Maaari rin kaming gumamit ng personal na impormasyon para sa mga panloob na layunin, tulad ng pagsasagawa ng mga pag-audit, pagsusuri ng data at iba't ibang pananaliksik upang mapabuti ang mga serbisyong ibinibigay namin at mabigyan ka ng mga rekomendasyon tungkol sa aming mga serbisyo.
• Kung sasali ka sa isang premyo na draw, paligsahan o katulad na insentibo, maaari naming gamitin ang impormasyong ibibigay mo upang pangasiwaan ang mga naturang programa.

Pagbubunyag sa mga ikatlong partido

Hindi namin ibinubunyag ang impormasyong natanggap mula sa iyo sa mga ikatlong partido.

Mga pagbubukod:

• Kung kinakailangan - alinsunod sa batas, utos ng hudikatura, sa mga ligal na paglilitis, at / o batay sa mga pampublikong kahilingan o kahilingan mula sa mga katawan ng estado sa teritoryo ng Russian Federation - ibunyag ang iyong personal na impormasyon. Maaari rin kaming magbunyag ng impormasyon tungkol sa iyo kung matukoy namin na ang naturang pagsisiwalat ay kinakailangan o naaangkop para sa seguridad, pagpapatupad ng batas, o iba pang mga dahilan ng pampublikong interes.
• Kung sakaling magkaroon ng muling pagsasaayos, pagsasanib o pagbebenta, maaari naming ilipat ang personal na impormasyong kinokolekta namin sa may-katuturang kahalili ng third party.

Proteksyon ng personal na impormasyon

Gumagawa kami ng mga pag-iingat - kabilang ang administratibo, teknikal at pisikal - upang protektahan ang iyong personal na impormasyon mula sa pagkawala, pagnanakaw, at maling paggamit, pati na rin mula sa hindi awtorisadong pag-access, pagsisiwalat, pagbabago at pagkasira.

Pagpapanatili ng iyong privacy sa antas ng kumpanya

Upang matiyak na ligtas ang iyong personal na impormasyon, ipinapaalam namin ang mga kasanayan sa privacy at seguridad sa aming mga empleyado at mahigpit na ipinapatupad ang mga kasanayan sa privacy.

Mga Seksyon: matematika, Kumpetisyon "Pagtatanghal para sa aralin"

Paglalahad para sa aralin

Bumalik pasulong

Pansin! Ang slide preview ay para sa mga layuning pang-impormasyon lamang at maaaring hindi kumakatawan sa buong lawak ng pagtatanghal. Kung interesado ka sa gawaing ito, mangyaring i-download ang buong bersyon.

Mga layunin.

Pang-edukasyon. Paglikha ng mga kondisyon para sa matagumpay na asimilasyon ng konsepto ng inilarawan na quadrilateral, mga katangian nito, mga tampok at mastering ang mga kasanayan upang mailapat ang mga ito sa pagsasanay.

Nagpapaunlad. Ang pagbuo ng mga kakayahan sa matematika, ang paglikha ng mga kondisyon para sa kakayahang gawing pangkalahatan at ilapat ang direkta at baligtad na tren ng pag-iisip.

Pang-edukasyon. Ang pagpapataas ng isang pakiramdam ng kagandahan sa mga aesthetics ng mga guhit, sorpresa sa hindi pangkaraniwang

desisyon, pagbuo ng organisasyon, responsibilidad para sa mga resulta ng kanilang trabaho.

1. Pag-aralan ang kahulugan ng circumscribed quadrilateral.

2. Patunayan ang pag-aari ng mga gilid ng circumscribed quadrilateral.

3. Ipakilala ang duality ng mga katangian ng mga kabuuan ng magkasalungat na gilid at magkasalungat na anggulo ng inscribed at circumscribed quadrilaterals.

4. Upang magbigay ng karanasan sa praktikal na aplikasyon ng mga itinuturing na theorems sa paglutas ng mga problema.

5. Magsagawa ng pangunahing kontrol sa antas ng asimilasyon ng bagong materyal.

Kagamitan:

• computer, projector;
• aklat-aralin na “Geometry. Baitang 10-11” para sa pangkalahatang edukasyon. institusyon: basic at profile. mga antas ng sasakyan. A.V. Pogorelov.

Software: Microsoft Word, Microsoft Power Point.

Paggamit ng kompyuter sa paghahanda ng guro para sa isang aralin.

Gamit ang karaniwang programa ng Windows operating system na nilikha para sa aralin:

1. Pagtatanghal.
2. Mga mesa.
3. Mga blueprint.
4. Handout.

Lesson plan

Oras ng pag-aayos. (2 minuto.)

Sinusuri ang takdang-aralin. (5 minuto.)

Pag-aaral ng bagong materyal. (28 min.)

Pansariling gawain. (7 min.)

Takdang-Aralin.(1 min.)

Buod ng aralin. (2 minuto.)

Sa panahon ng mga klase

1. Organisasyon sandali. Pagbati. Mensahe tungkol sa paksa at layunin ng aralin. Isulat sa kuwaderno ang petsa at paksa ng aralin.

2. Pagsusuri ng takdang-aralin.

3. Pag-aaral ng bagong materyal.

Gawin ang konsepto ng circumscribed polygon.

Kahulugan. Ang polygon ay tinatawag inilarawan sa paligid ng bilog kung lahat kanyang panig alalahanin ilang bilog.

Tanong. Alin sa mga iminungkahing polygon ang circumscribed at alin ang hindi, at bakit?

<Презентация. Слайд №2>

Patunay ng mga katangian ng circumscribed quadrilateral.

<Презентация. Слайд №3>

Teorama. Sa circumscribed quadrilateral, ang mga kabuuan ng magkabilang panig ay pantay.

Ang mga mag-aaral ay nagtatrabaho sa aklat-aralin, isulat ang pagbabalangkas ng teorama sa isang kuwaderno.

1. Ilahad ang pahayag ng theorem sa anyo ng isang conditional sentence.

2. Ano ang kondisyon ng theorem?

3. Ano ang konklusyon ng theorem?

Sagot. Kung may apat na gilid na nakapaligid sa isang bilog, pagkatapos ang mga kabuuan ng magkabilang panig ay pantay.

Ang patunay ay isinasagawa, ang mga mag-aaral ay gumagawa ng mga tala sa isang kuwaderno.

<Презентация. Слайд №4>

Guro. Tandaan duality mga sitwasyon para sa mga gilid at anggulo ng mga circumscribed at inscribed na quadrilaterals.

Pagsasama-sama ng nakuhang kaalaman.

Mga gawain.

Ang magkasalungat na gilid ng circumscribed quadrilateral ay 8 m at 12 m. Mahahanap mo ba ang perimeter?

Mga gawain ayon sa mga guhit na handa.<Презентация. Слайд №5>

Sagot. 1. 10 m 2. 20 m 3. 21 m

Patunay ng katangian ng circumscribed quadrilateral.

Sabihin ang inverse theorem.

Sagot. Kung ang mga kabuuan ng magkasalungat na panig sa isang may apat na gilid ay pantay, kung gayon ang isang bilog ay maaaring nakasulat dito. (Bumalik sa slide 2, Fig. 7) <Презентация. Слайд №2>

Guro. Pinuhin ang pagbabalangkas ng teorama.

Teorama. Kung ang mga kabuuan ng magkasalungat na panig matambok quadrilaterals ay pantay, pagkatapos ay isang bilog ay maaaring inscribed sa loob nito.

Makipagtulungan sa aklat-aralin. Upang maging pamilyar sa patunay ng tanda ng inilarawan na quadrangle ayon sa aklat-aralin.

Paglalapat ng nakuhang kaalaman.

3. Mga gawain ayon sa mga guhit na handa na.

1. Posible bang mag-inscribe ng bilog sa quadrilateral na may magkabilang panig na 9 m at 4 m, 10 m at 3 m?

2. Posible bang mag-inscribe ng isang bilog sa isang isosceles trapezoid na may mga base na 1 m at 9 m, taas na 3 m?

<Презентация. Слайд №6>

Nakasulat na gawain sa mga kuwaderno

.

Isang gawain. Hanapin ang radius ng isang bilog na nakasulat sa isang rhombus na may mga dayagonal na 6 m at 8 m.

<Презентация. Слайд № 7>

4. Malayang gawain.

1 opsyon

1. Posible bang mag-inscribe ng bilog

1) sa isang parihaba na may mga gilid na 7 m at 10 m,

2. Ang magkasalungat na gilid ng isang may apat na gilid na nakapaligid sa isang bilog ay 7 m at 10 m.

Hanapin ang perimeter ng quadrilateral.

3. Ang isosceles trapezoid na may mga base na 4 m at 16 m ay nakapaligid sa isang bilog.

1) ang radius ng inscribed na bilog,

Opsyon 2

1. Posible bang mag-inscribe ng isang bilog:

1) sa isang paralelogram na may mga gilid na 6 m at 13 m,

2) sa isang parisukat?

2. Ang magkasalungat na gilid ng isang may apat na gilid na nakapaligid sa isang bilog ay 9 m at 11 m. Hanapin ang perimeter ng quadrilateral.

3. Ang isang isosceles trapezoid na may lateral na gilid na 5 m ay nakapaligid sa isang bilog na may radius na 2 m.

1) ang base ng trapezoid,

2) ang radius ng circumscribed na bilog.

5. Takdang-Aralin. P.86, No. 28, 29, 30.

6. Ang resulta ng aralin. Sinusuri ang independiyenteng trabaho, binibigyan ng mga marka.

<Презентация. Слайд № 8>

Mula sa Wikipedia, ang malayang ensiklopedya

• Sa Euclidean geometry, may nakasulat na may apat na gilid ay isang quadrilateral kung saan ang lahat ng vertices ay nakahiga sa parehong bilog. Ang bilog na ito ay tinatawag na circumscribed na bilog quadrilateral, at ang mga vertices ay sinasabing nakahiga sa parehong bilog. Ang gitna ng bilog na ito at ang radius nito ay tinatawag ayon sa pagkakabanggit gitna At radius circumscribed na bilog. Iba pang mga termino para sa quadrilateral na ito: quadrilateral ay namamalagi sa parehong bilog, ang mga gilid ng huling quadrilateral ay ang mga chord ng bilog. Karaniwang ipinapalagay na ang convex quadrilateral ay isang convex quadrilateral. Ang mga formula at katangian na ibinigay sa ibaba ay wasto sa convex case.
• Sabi nila kung ang isang bilog ay maaaring paligiran sa isang may apat na gilid, pagkatapos ang may apat na gilid ay nakasulat sa bilog na ito, at kabaliktaran.

Pangkalahatang pamantayan para sa isang quadrilateral na isusulat

• Tungkol sa isang matambok na may apat na gilid $\backslash pi$ radian), iyon ay:

$\backslash angle\; A+\backslash angle\; C\; =\; \backslash angle\; B\; +\; \backslash angle\; D\; =\; 180^\backslash circ$

o sa notasyon ng figure:

$\backslash alpha\; +\; \backslash gamma\; =\; \backslash beta\; +\; \backslash delta\; =\; \backslash pi\; =\; 180^(\backslash circ).$

• Posibleng ilarawan ang isang bilog sa paligid ng anumang quadrilateral, kung saan ang apat na perpendicular bisector ng mga gilid nito (o mga mediatrice ng mga gilid nito, iyon ay, mga patayo sa mga gilid na dumadaan sa kanilang mga midpoint) ay nagsalubong sa isang punto.
• Posibleng i-circumscribe ang isang bilog tungkol sa anumang quadrilateral na may isang panlabas na anggulo na katabi ibinigay na panloob na anggulo, eksaktong katumbas ng isa pang panloob na anggulo sa tapat ibinigay na panloob na sulok. Sa katunayan, ang kundisyong ito ay ang kondisyon ng antiparallelism ng dalawang magkasalungat na gilid ng quadrilateral. Sa fig. ang panlabas at katabing panloob na sulok ng berdeng pentagon ay ipinapakita sa ibaba.

$\backslash displaystyle\; AX\backslash cdot\; XC\; =\; BX\backslash cdot\; XD.$

• interseksyon X maaaring panloob o panlabas sa bilog. Sa unang kaso, makuha namin ang inscribed quadrilateral ay A B C D, at sa huling kaso nakakakuha tayo ng inscribed quadrilateral ABCC. Kapag tumatawid sa loob ng isang bilog, ang pagkakapantay-pantay ay nagsasabi na ang produkto ng mga haba ng mga segment kung saan ang punto X divides isang dayagonal ay katumbas ng produkto ng mga haba ng mga segment kung saan ang punto X hinahati ang iba pang dayagonal. Ang kundisyong ito ay kilala bilang "intersecting chords theorem". Sa aming kaso, ang mga diagonal ng inscribed quadrilateral ay ang mga chord ng bilog.
• Isa pang pamantayan sa pagiging karapat-dapat. Matambok na may apat na gilid A B C D ang isang bilog ay nakasulat kung at kung lamang

$\backslash tan(\backslash frac(\backslash alpha)(2))\backslash tan(\backslash frac(\backslash gamma)(2))=\backslash tan(\backslash frac(\backslash beta)(2))\backslash tan(\backslash frac(\backslash delta)(\; 2))=1.$

Partikular na pamantayan para sa isang quadrilateral na isusulat

Ang naka-inscribe na simple (walang mga intersection sa sarili) na may apat na gilid ay matambok. Ang isang bilog ay maaaring bilugan sa isang matambok na may apat na gilid kung at kung ang kabuuan ng magkasalungat na mga anggulo nito ay 180° ( $\backslash pi$ radian). Maaari mong ilarawan ang isang bilog sa paligid:

• anumang antiparalelogram
• anumang parihaba (isang espesyal na kaso ng isang parisukat)
• anumang isosceles trapezoid
• anumang quadrilateral na may dalawang magkasalungat na anggulo sa kanan.

Ari-arian

Mga formula na may diagonal

$ef=ac+bd$; $\backslash frac(e)(f)\; =\; \backslash frac(a\backslash cdot\; d+b\backslash cdot\; c)(a\backslash cdot\; b+c\backslash cdot\; d).$

Sa huling formula ng pares ng mga katabing gilid ng numerator a At d, b At c ipahinga ang kanilang mga dulo sa isang dayagonal na haba e. Ang isang katulad na pahayag ay may hawak para sa denominator.

• Mga Formula para sa Diagonal na Haba(mga kahihinatnan ):

$e\; =\; \backslash sqrt(\backslash frac((ac+bd)(ad+bc))(ab+cd))$ At $f\; =\; \backslash sqrt(\backslash frac((ac+bd)(ab+cd))(ad+bc))$

Mga formula na may mga sulok

Para sa isang inscribed quadrilateral na may pagkakasunod-sunod ng mga gilid a , b , c , d, na may semiperimeter p at anggulo A sa pagitan ng mga partido a At d, trigonometriko function ng anggulo A ay ibinigay ng mga formula

$\backslash cos\; A\; =\; \backslash frac(a^2\; +\; d^2\; -\; b^2\; -\; c^2)(2(ad\; +\; bc)),$ $\backslash sin\; A\; =\; \backslash frac(2\backslash sqrt((p-a)(p-b)(p-c)(p-d)))((ad+bc)),$ $\backslash tan\; \backslash frac(A)(2)\; =\; \backslash sqrt(\backslash frac((p-a)(p-d))((p-b)(p-c))).$

Iniksyon θ sa pagitan ng mga dayagonal ay :p.26

$\backslash tan\; \backslash frac(\backslash theta)(2)\; =\; \backslash sqrt(\backslash frac((p-b)(p-d))((p-a)(p-c))).$

• Kung magkabilang panig a At c bumalandra sa isang anggulo φ , pagkatapos ito ay katumbas ng

$\backslash cos(\backslash frac(\backslash varphi)(2))=\backslash sqrt(\backslash frac((p-b)(p-d)(b+d)^2)((ab+cd)(ad+bc))),$

saan p ay isang semi-perimeter. :p.31

Radius ng isang bilog na nakapaligid sa isang quadrilateral

Formula ng Parameshvara (Parameshvara)

Kung may apat na gilid na may magkasunod na panig a , b , c , d at semiperimeter p ang isang bilog ay nakasulat, pagkatapos ay ang radius nito ay Parameswar formula:p. 84

$R=\; \backslash frac(1)(4)\; \backslash sqrt(\backslash frac((ab+cd)(ad+bc)(ac+bd))((p-a)(p-b)(p-c)(p-d))).$

Ito ay binuo ng Indian mathematician na si Parameswar noong ika-15 siglo (c. 1380-1460)

• Isang matambok na quadrilateral (tingnan ang figure sa kanan) na nabuo ng apat na data diretso kay Mikel, ay nakasulat sa isang bilog kung at kung ang Miquel ay tumuturo M ng may apat na gilid ay namamalagi sa linya na nagkokonekta sa dalawa sa anim na punto ng intersection ng mga linya (yaong mga hindi vertices ng quadrilateral). Ibig sabihin, kapag M namamalagi sa EF.

Criterion na ang isang may apat na gilid na binubuo ng dalawang tatsulok ay nakasulat sa ilang bilog

$f^2\; =\; \backslash frac((ac+bd)(ad+bc))((ab+cd)).$

• Ang huling kundisyon ay nagbibigay ng isang expression para sa dayagonal f isang may apat na gilid na nakasulat sa isang bilog, sa mga haba ng apat na gilid nito ( a, b, c, d). Ang formula na ito ay agad na sumusunod kapag nagpaparami at nagtutumbas sa isa't isa sa kaliwa at kanang bahagi ng mga formula na nagpapahayag ng kakanyahan. Ang una at pangalawang teorema ni Ptolemy(tingnan sa itaas).

Criterion na ang isang quadrilateral na pinutol ng isang tuwid na linya mula sa isang tatsulok ay nakasulat sa ilang bilog

• Ang isang tuwid na linya, antiparallel sa gilid ng tatsulok at intersecting ito, ay pinuputol ang isang may apat na gilid mula dito, sa paligid kung saan ang isang bilog ay maaaring palaging circumscribed.
• Bunga. Malapit sa isang antiparallelogram, kung saan ang dalawang magkabilang panig ay antiparallel, palaging posible na ilarawan ang isang bilog.

Lugar ng isang quadrilateral na nakasulat sa isang bilog

Mga variant ng Brahmagupta Formula

$S=\backslash sqrt((p-a)(p-b)(p-c)(p-d)),$ kung saan ang p ay ang semiperimeter ng quadrilateral. $S=\; \backslash frac(1)(4)\; \backslash sqrt(-\; \backslash begin(vmatrix)$

a & b & c & -d \\ b & a & -d & c \\ c & -d & a & b \\ -d & c & b & a \end(vmatrix))

Iba pang mga formula ng lugar

$S\; =\; \backslash tfrac(1)(2)(ab+cd)\backslash sin(B)$ $S\; =\; \backslash tfrac(1)(2)(ac+bd)\backslash sin(\backslash theta),$

saan θ alinman sa mga anggulo sa pagitan ng mga dayagonal. Sa kondisyon na ang anggulo A ay hindi tuwid, ang lugar ay maaari ding ipahayag bilang :p.26

$S\; =\; \backslash tfrac(1)(4)(a^2-b^2-c^2+d^2)\backslash tan(A).$ $\backslash displaystyle\; S=2R^2\backslash sin(A)\backslash sin(B)\backslash sin(\backslash theta),$

saan R ay ang radius ng circumscribed circle. Bilang direktang resulta, mayroon tayong hindi pagkakapantay-pantay

$S\backslash le\; 2R^2,$

kung saan ang pagkakapantay-pantay ay posible kung at tanging kung ang quadrilateral na ito ay isang parisukat.

Quadrangles ng Brahmagupta

Brahmagupta Quadrangle ay isang quadrilateral na nakasulat sa isang bilog na may mga integer na haba ng gilid, integer diagonal, at integer area. Lahat ng posibleng Brahmagupta quadrilaterals na may mga gilid a , b , c , d, na may mga dayagonal e , f, na may lugar S, at ang radius ng circumscribed na bilog R ay maaaring makuha sa pamamagitan ng pag-alis ng mga denominator ng mga sumusunod na expression na kinasasangkutan ng mga rational parameter t , u, At v :

$a=$ $b=(1+u^2)(v-t)(1+tv)$ $c=t(1+u^2)(1+v^2)$ $d=(1+v^2)(u-t)(1+tu)$ $e=u(1+t^2)(1+v^2)$ $f=v(1+t^2)(1+u^2)$ $S=uv$ $4R=(1+u^2)(1+v^2)(1+t^2).$

Mga halimbawa

• Ang mga pribadong quadrilateral na nakasulat sa isang bilog ay: parihaba, parisukat, isosceles o isosceles trapezoid, antiparallelogram.

Mga quadrilateral na nakasulat sa isang bilog na may patayo na mga diagonal (nakalagay na orthodiagonal quadrilaterals)

Mga katangian ng mga quadrilateral na nakasulat sa isang bilog na may mga patayong diagonal

Radius ng circumscribed na bilog at lugar

Para sa isang may apat na gilid na nakasulat sa isang bilog na may patayo na mga dayagonal, ipagpalagay na ang intersection ng mga dayagonal ay naghahati ng isang dayagonal sa mga bahagi ng haba. p 1 at p 2 , at hinahati ang iba pang dayagonal sa mga segment ng haba q 1 at q 2. Pagkatapos (Ang unang pagkakapantay-pantay ay ang Proposisyon 11 sa Archimedes " Aklat ng Lemmas)

$D^2=p\_1^2+p\_2^2+q\_1^2+q\_2^2=a^2+c^2=b^2+d^2,$

saan D- diameter ng bilog. Ito ay totoo dahil ang mga dayagonal ay patayo sa chord ng bilog. Mula sa mga equation na ito ay sumusunod na ang radius ng circumscribed na bilog R maaaring isulat sa anyo

$R=\backslash tfrac(1)(2)\backslash sqrt(p\_1^2+p\_2^2+q\_1^2+q\_2^2)$

o sa mga tuntunin ng mga gilid ng isang quadrilateral sa anyo

$R=\backslash tfrac(1)(2)\backslash sqrt(a^2+c^2)=\backslash tfrac(1)(2)\backslash sqrt(b^2+d^2).$

Ito rin ay sumusunod mula dito na

$a^2+b^2+c^2+d^2=8R^2.$

• Para sa inscribed orthodiagonal quadrilaterals, ang theorem ni Brahmagupta ay nagtataglay ng:

Kung ang isang naka-inscribe na quadrilateral ay may mga perpendicular diagonal na nagsa-intersect sa isang punto $M$, pagkatapos ay dalawang pares ng antimediatris dumaan sa punto $M$.

Magkomento. Sa teorama na ito, antimediatris unawain ang segment $F.E.$ quadrilateral sa figure sa kanan (sa pamamagitan ng pagkakatulad sa perpendicular bisector (mediatrix) sa gilid ng tatsulok). Ito ay patayo sa isang gilid at sabay-sabay na dumadaan sa midpoint ng kabaligtaran na bahagi ng quadrilateral.

Sumulat ng isang pagsusuri sa artikulong "Mga Quadangle na nakasulat sa isang bilog"

Mga Tala

1. Bradley, Christopher J. (2007), Ang Algebra ng Geometry: Cartesian, Areal at Projective Co-Ordinates, Highperception, p. 179, ISBN 1906338000, OCLC
2. . May nakasulat na mga quadrilateral.
3. Siddons, A. W. & Hughes, R. T. (1929), Trigonometry, Cambridge University Press, p. 202, OCLC
4. Durell, C.V. & Robson, A. (2003), Courier Dover, ISBN 978-0-486-43229-8 ,
5. Alsina, Claudi & Nelsen, Roger B. (2007), "", Forum Geometricorum T. 7: 147–9 ,
6. Johnson, Roger A., Advanced na Euclidean Geometry, Dover Publ., 2007 (orig. 1929).
7. Hoehn, Larry (Marso 2000), "Circumradius ng isang cyclic quadrilateral", Mathematical Gazette T. 84 (499): 69–70
8. .
9. Altshiller-Court, Nathan (2007), College Geometry: Isang Panimula sa Modernong Geometry ng Triangle at ng Circle(2nd ed.), Courier Dover, ss. 131, 137–8, ISBN 978-0-486-45805-2, OCLC
10. Honsberger, Ross (1995), . Mga Episode sa Nineteenth at Twentieth Century Euclidean Geometry, vol. 37, New Mathematical Library, Cambridge University Press, pp. 35–39, ISBN 978-0-88385-639-0
11. Weisstein, Eric W.(Ingles) sa website ng Wolfram MathWorld.
12. Bradley, Christopher (2011) ,
13. .
14. Coxeter, Harold Scott MacDonald at Greitzer, Samuel L. (1967), . Muling binisita ang Geometry, Mathematical Association of America, pp. 57, 60, ISBN 978-0-88385-619-2
15. .
16. Andreescu, Titu & Enescu, Bogdan (2004), . Mga Kayamanan sa Mathematical Olympiad, Springer, ss. 44–46, 50, ISBN 978-0-8176-4305-8
17. .
18. Buchholz, R. H. & MacDougall, J. A. (1999), "", Bulletin ng Australian Mathematical Society T. 59(2): 263–9 , DOI 10.1017/S0004972700032883
19. .
20. Johnson, Roger A., Advanced na Euclidean Geometry, Dover Publ. co., 2007
21. , mula sa. 74.
22. .
23. .
24. .
25. Peter, Thomas (Setyembre 2003), "Pag-maximize sa lugar ng isang quadrilateral", Ang College Mathematics Journal T. 34 (4): 315–6
26. Prasolov, Victor, ,
27. Alsina, Claudi & Nelsen, Roger (2009), , , Mathematical Association of America, p. 64, ISBN 978-0-88385-342-9 ,
28. Sastry, K.R.S. (2002). "" (PDF). Forum Geometricorum 2 : 167–173.
29. Posamentier, Alfred S. & Salkind, Charles T. (1970), . Mga Mapanghamong Problema sa Geometry(2nd ed.), Courier Dover, ss. 104–5, ISBN 978-0-486-69154-1
30. .
31. .
32. .

Tingnan din

Sa bilang ng mga panig Tama mga tatsulok Quadrilaterals Tingnan din

Ang artikulo ay naglalaman ng maiikling ("Harvard") na mga sanggunian sa mga publikasyong hindi nakalista o hindi wastong inilarawan sa seksyon ng bibliograpiya. Listahan ng mga hindi gumaganang link: , , , , , , , , , , - Well, ano, Cossack ko? (Tinawag ni Marya Dmitrievna si Natasha na isang Cossack) - aniya, hinahaplos si Natasha gamit ang kanyang kamay, na lumapit sa kanyang kamay nang walang takot at masayang. - Alam kong babae ang gayuma, ngunit mahal ko ito. Mula sa kanyang malaking reticule, naglabas siya ng mga hikaw na yakhon na may mga peras at, binigay ito kay Natasha, na namumula at namumula sa kanyang kaarawan, agad na tumalikod sa kanya at bumaling kay Pierre. – Eh, eh! mabait! halika rito," sabi niya sa isang mapanuksong tahimik at manipis na boses. - Halika, aking mahal... At ibinulong niya ang kanyang manggas nang mas mataas pa. Lumapit si Pierre, walang muwang na nakatingin sa kanya sa pamamagitan ng kanyang salamin. "Halika, halika, mahal!" Sinabi ko sa iyong ama ang katotohanan nang nag-iisa, nang siya ay nangyari, at pagkatapos ay iniutos ka ng Diyos. Huminto siya. Ang lahat ay tahimik, naghihintay sa kung ano ang darating, at pakiramdam na mayroon lamang paunang salita. - Okay, walang sasabihin! mabuting bata! ... Ang ama ay nakahiga sa kama, at nilibang niya ang kanyang sarili, inilagay niya ang quarter sa isang oso na nakasakay sa kabayo. Mahiya ka, dad, mahiya ka! Mas mabuting pumunta sa digmaan. Tumalikod siya at nag-alok ng kamay sa konte, na halos hindi mapigilang matawa. - Well, well, sa mesa, mayroon akong tsaa, oras na ba? sabi ni Marya Dmitrievna. Nagpatuloy ang pagbibilang kay Marya Dmitrievna; pagkatapos ay ang kondesa, na pinamumunuan ng isang hussar koronel, ang tamang tao kung kanino dapat maabutan ni Nikolai ang rehimyento. Kasama ni Anna Mikhailovna si Shinshin. Inilahad ni Berg ang kanyang kamay kay Vera. Nakangiting pumunta si Julie Karagina kasama si Nikolai sa mesa. Sa likod nila ay dumating ang iba pang mga mag-asawa, na nag-uunat sa bulwagan, at sa likod nilang lahat ay nag-iisa, mga bata, tagapag-alaga at mga tagapamahala. Ang mga waiter ay gumalaw, ang mga upuan ay nagkakalansing, tumugtog ang musika sa mga stall ng koro, at ang mga panauhin ay nanirahan. Ang mga tunog ng home music ng count ay napalitan ng mga tunog ng kutsilyo at tinidor, boses ng mga bisita, tahimik na yabag ng mga waiter. Sa isang dulo ng mesa, nakaupo ang kondesa sa ulunan. Sa kanan ay si Marya Dmitrievna, sa kaliwa ay si Anna Mikhailovna at iba pang mga bisita. Sa kabilang dulo ay nakaupo ang isang bilang, sa kaliwa ay isang hussar koronel, sa kanan Shinshin at iba pang mga bisitang lalaki. Sa isang gilid ng mahabang mesa, ang nakatatandang kabataan: si Vera sa tabi ni Berg, si Pierre sa tabi ni Boris; sa kabilang banda, mga bata, tagapagturo at tagapamahala. Mula sa likod ng kristal, mga bote at mga plorera ng prutas, sinulyapan ng konte ang kanyang asawa at ang kanyang high cap na may mga asul na laso at masipag na nagbuhos ng alak sa kanyang mga kapitbahay, hindi nakakalimutan ang kanyang sarili. Ang Countess, din, dahil sa mga pinya, na hindi nakakalimutan ang kanyang mga tungkulin bilang isang babaing punong-abala, ay nagbigay ng makabuluhang mga sulyap sa kanyang asawa, na ang kalbo ng ulo at mukha, tila sa kanya, ay malinaw na nakikilala sa pamamagitan ng kanilang pamumula mula sa kulay-abo na buhok. Nagkaroon ng isang regular na babble sa ladies 'end; palakas ng palakas ang mga tinig na narinig sa lalaki, lalo na ang hussar colonel, na kumain at uminom ng marami, namumula nang parami na ang bilang ay naging halimbawa na sa ibang mga panauhin. Si Berg, na may banayad na ngiti, ay nagsalita kay Vera tungkol sa katotohanan na ang pag-ibig ay isang pakiramdam na hindi makalupa, ngunit makalangit. Tinawag ni Boris ang kanyang bagong kaibigan na si Pierre ang mga panauhin na nasa mesa at nakipagpalitan ng tingin kay Natasha, na nakaupo sa tapat niya. Bahagyang nagsalita si Pierre, tumingin sa mga bagong mukha at kumain ng marami. Simula sa dalawang sopas, kung saan pumili siya ng a la tortue, [pagong,] at kulebyaki, at hanggang sa grouse, hindi niya pinalampas ang isang ulam at ni isang alak, na misteryosong inilabas ng mayordomo sa isang bote na nakabalot sa isang napkin. mula sa balikat ng kanyang kapitbahay, na nagsasabi o “drey Madeira, o Hungarian, o Rhine na alak. Pinalitan niya ang una sa apat na kristal na baso ng monogram ng count, na nakatayo sa harap ng bawat aparato, at uminom nang may kasiyahan, na tumitingin nang higit at mas kaaya-aya sa mga panauhin. Si Natasha, na nakaupo sa tapat niya, ay tumingin kay Boris, habang ang mga batang babae na labintatlo ay tumitingin sa batang lalaki na una nilang nahalikan at kung kanino sila umiibig. Ang parehong hitsura niya kung minsan ay bumaling kay Pierre, at sa ilalim ng hitsura ng nakakatawa, masiglang batang babae na ito ay gusto niyang matawa sa kanyang sarili, hindi alam kung bakit. Si Nikolai ay nakaupo sa malayo mula sa Sonya, sa tabi ni Julie Karagina, at muli, na may parehong hindi sinasadyang ngiti, may sinabi siya sa kanya. Matamis na ngumiti si Sonya, ngunit tila pinahirapan siya ng paninibugho: namutla siya, pagkatapos ay namula, at buong lakas ay nakinig sa sinasabi nina Nikolai at Julie sa isa't isa. Ang governess ay tumingin sa paligid na hindi mapakali, na parang inihahanda ang kanyang sarili para sa isang pagtanggi, kung may naisip na saktan ang mga bata. Sinubukan ng tutor ng Aleman na kabisaduhin ang mga kategorya ng mga pagkain, dessert at alak upang mailarawan ang lahat nang detalyado sa isang liham sa kanyang pamilya sa Alemanya, at labis na nasaktan sa katotohanan na ang butler, na may bote na nakabalot sa isang napkin, ay napapalibutan. kanya. Sumimangot ang Aleman, sinubukang ipakita na ayaw niyang tumanggap ng alak na ito, ngunit nasaktan dahil walang gustong maunawaan na kailangan niya ng alak hindi upang pawiin ang kanyang uhaw, hindi dahil sa kasakiman, ngunit dahil sa kuryusidad. Sa dulong lalaki ng mesa ay lalong naging masigla ang usapan. Sinabi ng koronel na ang manifesto na nagdedeklara ng digmaan ay nailabas na sa Petersburg, at ang kopya, na siya mismo ang nakakita, ay naihatid na ngayon sa pamamagitan ng courier sa commander-in-chief. - At bakit mahirap para sa atin na makipaglaban kay Bonaparte? sabi ni Shinshin. - II a deja rabattu le caquet a l "Autriche. Je crains, que cette fois ce ne soit notre tour. [Ibinagsak na niya ang pagmamataas mula sa Austria. Natatakot ako na hindi tayo dumating ngayon.] Ang koronel ay isang matapang, matangkad at mapagmahal na Aleman, halatang nangangampanya at isang makabayan. Nasaktan siya sa sinabi ni Shinshin. "At pagkatapos, kami ay isang matabang soberanya," sabi niya, binibigkas ang e sa halip na e at b sa halip na b. "Pagkatapos, na alam ito ng emperador. Sinabi niya sa kanyang manifesto na hindi siya maaaring tumingin nang walang pakialam sa mga panganib na nagbabanta sa Russia, at na ang seguridad ng imperyo, ang dignidad nito at ang kabanalan ng mga alyansa, "sabi niya, sa ilang kadahilanan lalo na nakasandal. sa salitang "mga unyon", na parang ito ang buong diwa ng bagay. At sa kanyang hindi nagkakamali, opisyal na memorya, inulit niya ang mga pambungad na salita ng manifesto ... "at ang pagnanais, ang nag-iisa at kailangang-kailangan na layunin ng soberanya, ay ang magtatag ng kapayapaan sa Europa sa matatag na batayan - nagpasya silang magpadala ng bahagi ng hukbo ngayon sa ibang bansa at gumawa ng mga bagong pagsisikap upang makamit ang " hangaring ito ". "Narito kung bakit, kami ay isang karapat-dapat na soberanya," pagtatapos niya, na may pagtuturo na umiinom ng isang baso ng alak at lumingon sa bilang para sa pampatibay-loob. - Connaissez vous le proverbe: [Alam mo ang salawikain:] “Yerema, Yerema, kung uupo ka sa bahay, patalasin mo ang mga spindle mo,” sabi ni Shinshin, nanginginig at nakangiti. – Cela nous convient a merveille. [This is by the way for us.] Bakit Suvorov - at nahati siya, isang plate couture, [sa ulo,] at nasaan na ang mga Suvorov natin ngayon? Je vous demande un peu, [Tinatanong kita] - palagi siyang tumalon mula sa Ruso hanggang Pranses, aniya. "Dapat tayong lumaban hanggang sa araw pagkatapos ng patak ng dugo," sabi ng koronel, na humampas sa mesa, "at mamatay para sa ating emperador, at pagkatapos ay magiging maayos ang lahat." At upang makipagtalo hangga't maaari (lalo niyang inilabas ang kanyang boses sa salitang "posible"), hangga't maaari," natapos niya, muling bumaling sa bilang. - Kaya hinuhusgahan namin ang mga lumang hussars, iyon lang. At paano mo hahatulan, binata at batang hussar? idinagdag niya, na lumingon kay Nikolai, na, nang marinig na ang bagay ay tungkol sa digmaan, iniwan ang kanyang kausap at tumingin sa lahat ng kanyang mga mata at nakinig nang buong tainga sa koronel. "Lubos akong sumasang-ayon sa iyo," sagot ni Nikolai, namumula ang lahat, pinihit ang plato at muling inayos ang mga baso na may determinado at desperado na hitsura, na tila sa kasalukuyang sandali ay nasa malaking panganib siya, "Kumbinsido ako na ang mga Ruso ay dapat mamatay o manalo,” aniya, na nararamdaman niya pati na rin ang iba, pagkatapos na sabihin ang salita, na ito ay masyadong masigasig at magarbo para sa kasalukuyang okasyon at samakatuwid ay awkward. - C "est bien beau ce que vous venez de dire, [Kahanga-hanga! Kahanga-hanga ang sinabi mo,] sabi ni Julie, na nakaupo sa tabi niya, bumuntong-hininga. Nanginginig si Sonya at namula sa tenga, sa likod ng tenga at sa ang kanyang leeg at balikat, habang nagsasalita si Nikolai. Nakinig si Pierre sa mga talumpati ng koronel at tumango bilang pagsang-ayon. "Ang ganda," sabi niya. "Isang tunay na hussar, binata," sigaw ng koronel, muling hinampas ang mesa. - Anong pinagsasabi mo diyan? Biglang narinig ang bass voice ni Marya Dmitrievna sa kabilang mesa. Ano bang pinaghahampas mo sa mesa? lumingon siya sa hussar, “kanino ka natutuwa? tama, sa tingin mo na ang Pranses ay nasa harap mo? "Sinasabi ko ang totoo," nakangiting sabi ng hussar. "It's all about the war," sigaw ng count sa kabilang mesa. "Pagkatapos ng lahat, ang aking anak na lalaki, si Marya Dmitrievna, ang aking anak ay darating. - At mayroon akong apat na anak na lalaki sa hukbo, ngunit hindi ako nagdadalamhati. Ang lahat ay kalooban ng Diyos: mamamatay ka na nakahiga sa kalan, at ang Diyos ay maawa sa labanan, "ang makapal na tinig ni Marya Dmitrievna ay tumunog nang walang anumang pagsisikap, mula sa kabilang dulo ng mesa. - Ito ay totoo. At muling tumutok ang pag-uusap - ang mga babae sa kanilang dulo ng mesa, ang mga lalaki sa kanila. "Ngunit hindi ka magtatanong," sabi ng nakababatang kapatid kay Natasha, "ngunit hindi ka magtatanong!" "Magtatanong ako," sagot ni Natasha. Biglang nagliwanag ang mukha niya, na nagpapahayag ng desperado at masayang determinasyon. Bumangon siya sa kalahati, inanyayahan si Pierre, na nakaupo sa tapat niya, upang makinig nang may isang sulyap, at lumingon sa kanyang ina: - Inay! ang parang bata niyang boses sa dibdib ay umalingawngaw sa buong mesa. - Anong gusto mo? takot na tanong ng kondesa, ngunit, nang makita sa mukha ng kanyang anak na ito ay isang kalokohan, mahigpit niyang iwinagayway ang kanyang kamay, gumawa ng pananakot at negatibong kilos sa kanyang ulo. Natahimik ang usapan. - Inay! anong cake ang magiging? - Ang boses ni Natasha ay naging mas matatag, nang hindi nabasag. Gustong sumimangot ng Countess, ngunit hindi niya magawa. Inalog ni Marya Dmitrievna ang kanyang makapal na daliri. "Cossack," pagbabanta niya. Karamihan sa mga bisita ay tumingin sa mga matatanda, hindi sigurado kung paano gawin ang pagkabansot na ito. - Narito ako! sabi ng Countess. - Inay! ano ang magiging cake? Sumigaw na si Natasha nang buong tapang at kapritsoso nang masigla, tiwala nang maaga na ang kanyang panlilinlang ay matatanggap na mabuti. Si Sonya at ang matabang Petya ay nagtatago sa tawanan. "Kaya nagtanong ako," bulong ni Natasha sa kanyang nakababatang kapatid na lalaki at kay Pierre, na muli niyang tiningnan. "Ice cream, ngunit hindi ka nila ibibigay," sabi ni Marya Dmitrievna. Nakita ni Natasha na walang dapat ikatakot, at samakatuwid ay hindi rin siya natatakot kay Marya Dmitrievna. — Marya Dmitrievna? anong ice cream! Ayoko ng butter. - Karot. - Hindi ano? Marya Dmitrievna, alin? halos mapasigaw siya. - Gusto ko malaman! Si Marya Dmitrievna at ang kondesa ay tumawa, at sumunod ang lahat ng mga panauhin. Ang lahat ay hindi tumawa sa sagot ni Marya Dmitrievna, ngunit sa hindi maintindihan na katapangan at kagalingan ng babaeng ito, na alam kung paano at nangahas na tratuhin si Marya Dmitrievna sa ganitong paraan. Nahuli lamang si Natasha nang sabihin sa kanya na magkakaroon ng pinya. Inihain ang champagne bago ang ice cream. Muli ay nagsimulang tumugtog ang musika, hinalikan ng konde ang kondesa, at ang mga panauhin, bumangon, ay bumati sa kondesa, nag-clink ng mga baso sa mesa kasama ang bilang, ang mga bata, at ang isa't isa. Muling nagsitakbuhan ang mga waiter, ang mga upuan ay nagkakalansing, at sa parehong pagkakasunud-sunod, ngunit may mas mapupulang mukha, ang mga bisita ay bumalik sa silid guhitan at ang pag-aaral ng konde. Ang mga mesa sa Boston ay pinaghiwalay, ang mga party ay ginawa, at ang mga bisita ng count ay pinapasok sa dalawang sala, isang sofa room at isang library. Ang bilang, na ikinakalat ang kanyang mga baraha na parang isang tagahanga, ay halos hindi mapigilan ang ugali ng isang pag-idlip sa hapon at pinagtatawanan ang lahat. Ang kabataan, na inuudyukan ng kondesa, ay nagtipon sa paligid ng clavichord at alpa. Si Julie ang una, sa kahilingan ng lahat, na tumugtog ng isang piyesa na may mga pagkakaiba-iba sa alpa at, kasama ang iba pang mga batang babae, ay nagsimulang magtanong kina Natasha at Nikolai, na kilala sa kanilang musika, na kumanta ng isang bagay. Si Natasha, na tinawag na isang malaki, ay tila ipinagmamalaki ito, ngunit sa parehong oras ay nahihiya siya. - Ano ang kakantahin natin? tanong niya. "Ang susi," sagot ni Nikolai. - Well, bilisan natin. Boris, halika rito, - sabi ni Natasha. - Nasaan si Sonya? Luminga-linga siya sa paligid at, nang makitang wala sa silid ang kanyang kaibigan, hinabol siya. Tumakbo sa silid ni Sonya at hindi nahanap ang kanyang kaibigan doon, tumakbo si Natasha sa nursery - at wala si Sonya. Napagtanto ni Natasha na si Sonya ay nasa koridor sa isang dibdib. Ang dibdib sa koridor ay ang lugar ng kalungkutan ng babaeng kabataang henerasyon ng bahay ng mga Rostov. Sa katunayan, si Sonya, sa kanyang mahangin na kulay rosas na damit, dinurog ito, ay humiga sa maruming guhit na balahibo ng yaya, sa dibdib, at, tinakpan ang kanyang mukha ng kanyang mga daliri, umiyak nang mapait, nanginginig sa kanyang hubad na mga balikat. Ang mukha ni Natasha, masigla, buong araw, ay biglang nagbago: ang kanyang mga mata ay huminto, pagkatapos ay ang kanyang malapad na leeg ay nanginginig, ang mga sulok ng kanyang mga labi ay lumuhod. – Sonya! ano ka?... Ano, ano ang problema mo? Woo wow!… At si Natasha, na ikinakalat ang kanyang malaking bibig at naging ganap na pangit, umungal na parang bata, hindi alam ang dahilan at dahil lamang sa pag-iyak ni Sonya. Gustong iangat ni Sonya ang kanyang ulo, gustong sumagot, ngunit hindi niya magawa at lalo pang nagtago. Umiiyak si Natasha, nakaupo sa isang asul na featherbed at niyakap ang kaibigan. Inipon ang kanyang lakas, tumayo si Sonya, nagsimulang punasan ang kanyang mga luha at sinabi. - Si Nikolenka ay pupunta sa isang linggo, ang kanyang ... papel ... lumabas ... sinabi niya sa akin mismo ... Oo, hindi ako iiyak ... (ipinakita niya ang papel na hawak niya sa kanyang kamay: ito ay tula na isinulat ni Nikolai) Hindi ako iiyak, ngunit hindi mo magagawa... walang makakaunawa... kung anong uri ng kaluluwa ang mayroon siya. At muli siyang umiyak dahil napakabuti ng kanyang kaluluwa. "Ito ay mabuti para sa iyo ... hindi ako inggit ... mahal kita, at si Boris din," sabi niya, na iniipon ng kaunti ang kanyang lakas, "ang cute niya ... walang mga hadlang para sa iyo. At pinsan ko si Nikolai... kailangan... ang metropolitan mismo... at imposible iyon. At pagkatapos, kung ang aking ina ... (itinuring ni Sonya ang kondesa at tinawag ang kanyang ina), sasabihin niya na sinisira ko ang karera ni Nikolai, wala akong puso, na hindi ako nagpapasalamat, ngunit tama ... sa pamamagitan ng Diyos ... ( she crossed herself) Mahal na mahal ko rin siya , at kayong lahat, isa lang si Vera ... Para saan? Anong ginawa ko sa kanya? Lubos akong nagpapasalamat sa iyo na ikalulugod kong isakripisyo ang lahat, ngunit wala akong ... Hindi na nakapagsalita si Sonya at muling itinago ang kanyang ulo sa kanyang mga kamay at feather bed. Nagsimulang kumalma si Natasha, ngunit malinaw sa kanyang mukha na naiintindihan niya ang kahalagahan ng kalungkutan ng kanyang kaibigan. – Sonya! bigla niyang sabi na parang hinuhulaan ang totoong dahilan ng pagdadalamhati ng pinsan. “Tama, kinausap ka ba ni Vera pagkatapos kumain?” Oo? - Oo, si Nikolai mismo ang sumulat ng mga tula na ito, at isinulat ko ang iba; natagpuan niya ang mga ito sa aking mesa at sinabi na ipapakita niya ang mga ito kay mama, at sinabi rin na hindi ako nagpapasalamat, na hinding-hindi siya papayagan ni mama na pakasalan ako, at pakakasalan niya si Julie. Nakita mo kung paano niya kasama siya buong araw ... Natasha! Para saan?… At muli siya ay umiyak ng mapait. Binuhat siya ni Natasha, niyakap at, nakangiti sa pamamagitan ng kanyang mga luha, sinimulan siyang aliwin. “Sonya, huwag kang magtiwala sa kanya, mahal, huwag. Naaalala mo ba kung paano kaming tatlo ay nag-usap ni Nikolenka sa sofa room; remember after dinner? Pagkatapos ng lahat, napagpasyahan namin kung paano ito magiging. Hindi ko matandaan kung paano, ngunit tandaan kung paano maayos ang lahat at posible ang lahat. Ang kapatid ni Uncle Shinshin ay kasal sa isang pinsan, at kami ay pangalawang pinsan. At sinabi ni Boris na ito ay posible. Alam mo, sinabi ko sa kanya ang lahat. At siya ay napakatalino at napakahusay," sabi ni Natasha ... "Ikaw, Sonya, huwag kang umiyak, mahal ko, sinta, Sonya. At hinalikan siya nito, tumatawa. - Ang pananampalataya ay masama, ang Diyos ay sumama sa kanya! At magiging maayos ang lahat, at hindi niya sasabihin sa kanyang ina; Sasabihin ni Nikolenka sa kanyang sarili, at hindi man lang niya inisip si Julie. At hinalikan siya nito sa ulo. Bumangon si Sonya, at ang kuting ay lumakas, ang kanyang mga mata ay kumikinang, at tila handa siyang iwagayway ang kanyang buntot, tumalon sa kanyang malambot na mga paa at muling laruin ang bola, dahil ito ay nararapat para sa kanya. - Sa tingin mo? tama? Sa Diyos? aniya, mabilis na inayos ang damit at buhok. - Tama, sa Diyos! - sagot ni Natasha, itinuwid ang kanyang kaibigan sa ilalim ng isang scythe isang hibla ng magaspang na buhok na nalaglag. At nagtawanan silang dalawa. - Well, kantahin natin ang "Key". - Pumunta tayo sa. - At alam mo, ang matabang Pierre na ito, na nakaupo sa tapat ko, ay nakakatawa! Biglang sabi ni Natasha, napatigil. - Napakasaya ko! At tumakbo si Natasha sa corridor. Si Sonya, na pinupunasan ang himulmol at itinatago ang mga tula sa kanyang dibdib, sa leeg na may nakausli na mga buto ng dibdib, na may magaan, masayang mga hakbang, na may namumula na mukha, ay tumakbo pagkatapos ni Natasha sa kahabaan ng koridor patungo sa sofa. Sa kahilingan ng mga panauhin, kinanta ng mga kabataan ang "Key" quartet, na labis na nagustuhan ng lahat; pagkatapos ay kinanta muli ni Nikolai ang kantang natutunan niya. Sa isang magandang gabi, sa liwanag ng buwan, Isipin na masaya ka Na may ibang tao sa mundo Sino ang nag-iisip tungkol sa iyo! Na siya, na may magandang kamay, Naglalakad kasama ang gintong alpa, Sa marubdob nitong pagkakaisa Tumatawag sa sarili, tumatawag sa iyo! Isa pang araw, dalawa, at ang paraiso ay darating ... Pero ah! hindi mabubuhay ang kaibigan mo! At hindi pa niya natatapos ang pag-awit ng mga huling salita, nang sa bulwagan ay naghanda ang mga kabataan para sa pagsasayaw at ang mga musikero sa mga koro ay nagkalat ang kanilang mga paa at umubo. Nakaupo si Pierre sa sala, kung saan si Shinshin, tulad ng isang bisita mula sa ibang bansa, ay nagsimula ng isang pag-uusap sa politika sa kanya na nakakainip para kay Pierre, na sinamahan ng iba. Nang magsimula ang musika, pumasok si Natasha sa sala at, dumiretso kay Pierre, tumatawa at namumula, sinabi: “Sinabi sa akin ni Nanay na yayain kang sumayaw. "Natatakot akong malito ang mga pigura," sabi ni Pierre, "ngunit kung gusto mong maging guro ko ... At binigay niya ang makapal niyang kamay, ibinaba iyon sa payat na babae. Habang nagse-set up ang mga mag-asawa at nagtatayo ang mga musikero, naupo si Pierre kasama ang kanyang maliit na ginang. Si Natasha ay ganap na masaya; nakipagsayaw siya sa isang malaking galing sa ibang bansa. Umupo siya sa harap ng lahat at nakipag-usap sa kanya na parang isang malaki. May hawak siyang pamaypay, na ibinigay sa kanya ng isang binibini upang hawakan. At, ang pagkuha ng pinaka-sekular na pose (alam ng Diyos kung saan at kailan niya ito natutunan), siya, pinapaypayan ang sarili gamit ang isang pamaypay at nakangiti sa pamaypay, ay nakipag-usap sa kanyang ginoo. - Ano ito, ano ito? Tingnan mo, tingnan mo, - sabi ng matandang kondesa, dumaan sa bulwagan at itinuro si Natasha. Namula si Natasha at tumawa. - Aba, ano ka, nanay? Well, ano ang hinahanap mo? Ano ang nakakagulat dito? Sa gitna ng ikatlong ecossaise, nagsimulang gumalaw ang mga upuan sa drawing-room kung saan naglalaro ang konte at si Marya Dmitrievna, at karamihan sa mga pinarangalan na panauhin at matatandang lalaki, na nag-uunat pagkatapos ng mahabang pag-upo at naglalagay ng mga pitaka at pitaka sa kanilang bulsa, lumabas sa mga pintuan ng bulwagan. Si Marya Dmitrievna ay lumakad sa harap kasama ang bilang, kapwa may masayang mukha. Ang bilang, na may mapaglarong kagandahang-loob, na parang sa isang ballet na paraan, ay iniabot ang kanyang bilugan na kamay kay Marya Dmitrievna. Siya ay tumuwid, at ang kanyang mukha ay lumiwanag sa isang partikular na magiting na mapait na ngiti, at sa sandaling ang huling pigura ng ecossaise ay naisayaw, ipinalakpak niya ang kanyang mga kamay sa mga musikero at sumigaw sa mga koro, na bumaling sa unang biyolin: - Semyon! Kilala mo ba si Danila Kupor? Iyon ang paboritong sayaw ng konte, sinayaw niya noong kabataan niya. (Si Daniel Kupor ay talagang isang Anglaise figure.) "Tingnan mo si tatay," sigaw ni Natasha sa buong bulwagan (ganap na nakakalimutan na siya ay sumasayaw kasama ang isang malaki), yumuko ang kanyang kulot na ulo sa kanyang mga tuhod at sumabog sa kanyang malakas na tawa sa buong bulwagan. Sa katunayan, lahat ng tao sa bulwagan ay tumingin nang may ngiti ng kagalakan sa masayang matandang lalaki, na, sa tabi ng kanyang marangal na ginang, si Marya Dmitrievna, na mas matangkad sa kanya, ay binilog ang kanyang mga braso, nanginginig ang mga ito sa oras, itinuwid ang kanyang mga balikat, pinaikot ang kanyang binti, bahagyang itinadyakan ang kanyang mga paa, at may lalong namumulaklak na ngiti sa kanyang mabilog na mukha ay inihanda niya ang madla para sa mga darating. Sa sandaling narinig ang masasayang, mapanghamon na tunog ni Danila Kupor, katulad ng isang masayang kalansing, ang lahat ng mga pinto ng bulwagan ay biglang ginawa, sa isang banda, ng lalaki, sa kabilang banda, ng mga babaeng nakangiting mukha ng mga patyo na dumating. palabas para tingnan ang masayang ginoo. - Atin ang ama! Agila! malakas na sabi ni yaya mula sa isang pinto. Mahusay na sumayaw at alam ito ng konte, ngunit hindi alam ng kanyang ginang kung paano at ayaw niyang sumayaw nang mahusay. Ang kanyang malaking katawan ay nakatayo nang patayo habang ang kanyang malalakas na braso ay nakababa (ibinigay niya ang pitaka sa kondesa); tanging ang kanyang mabagsik ngunit magandang mukha lamang ang sumayaw. Ano ang ipinahayag sa buong bilog na pigura ng bilang, kasama si Marya Dmitrievna ay ipinahayag lamang sa isang mas at mas nakangiting mukha at isang kibot na ilong. Ngunit sa kabilang banda, kung ang bilang, lalo pang nagkakalat, ay nakabihag sa madla sa hindi inaasahang mga pandaraya at magaan na pagtalon ng kanyang malambot na mga binti, si Marya Dmitrievna, na may kaunting kasigasigan sa paggalaw ng kanyang mga balikat o pag-ikot ng kanyang mga braso nang paikot-ikot at stomping, gumawa ng walang gaanong impresyon sa merito, na pinahahalagahan ng lahat sa kanyang katapangan at walang hanggang kalubhaan. Lalong naging masigla ang sayaw. Ang mga katapat ay hindi makatawag pansin sa kanilang sarili sa loob ng isang minuto at hindi man lang sinubukang gawin ito. Ang lahat ay inookupahan ng count at Marya Dmitrievna. Hinila ni Natasha ang mga manggas at damit ng lahat ng naroroon, na hindi na inalis ang tingin sa mga mananayaw, at hiniling na tumingin sila kay papa. Sa mga pagitan ng sayaw, huminga ng malalim ang konte, kumaway at sumigaw sa mga musikero na tumugtog nang mas mabilis. Pabilis nang pabilis, pabilis ng pabilis, parami nang parami, ang bilang ay nabuksan, ngayon ay naka-tiptoe, ngayon ay naka-takong, nagmamadaling umikot kay Marya Dmitrievna at, sa wakas, ibinaling ang kanyang ginang sa kanyang pwesto, ginawa ang huling hakbang, itinaas ang kanyang malambot na binti pataas mula sa sa likod, nakayuko ang pawis na ulo na may nakangiting mukha at pabilog na winawagayway ang kanang kamay sa gitna ng dagundong ng palakpakan at tawanan, lalo na si Natasha. Parehong huminto ang mga mananayaw, huminga ng malalim at nagpupunas ng mga panyo ng cambric. "Ganito sila sumayaw noong panahon natin, ma chere," sabi ng konde. - Ay oo Danila Kupor! ' sabi ni Marya Dmitrievna, nagpakawala ng kanyang hininga nang mabigat at tuloy-tuloy, at itinaas ang kanyang mga manggas. Habang ang ikaanim na anglaise ay isinasayaw sa bulwagan ng mga Rostov sa mga tunog ng mga pagod na musikero na wala sa tono, at ang mga pagod na waiter at kusinero ay naghahanda ng hapunan, ang ikaanim na stroke ay naganap kasama si Count Bezukhim. Inihayag ng mga doktor na walang pag-asa na gumaling; ang pasyente ay binigyan ng isang bingi na pag-amin at pakikipag-isa; Ang mga paghahanda ay ginawa para sa unction, at ang bahay ay puno ng kaguluhan at pagkabalisa ng pag-asa, karaniwan sa gayong mga sandali. Sa labas ng bahay, sa likod ng mga tarangkahan, nagsisiksikan ang mga tagapangasiwa, nagtatago sa paparating na mga karwahe, naghihintay ng mayamang utos para sa libing ng konde. Ang Commander-in-Chief ng Moscow, na patuloy na nagpadala ng mga adjutant upang malaman ang tungkol sa posisyon ng bilang, nang gabing iyon siya mismo ay dumating upang magpaalam sa sikat na maharlika ni Catherine, Count Bezukhim. Puno ang napakagandang reception room. Magalang na tumayo ang lahat nang ang punong komandante, pagkatapos ng halos kalahating oras na pag-iisa sa pasyente, ay lumabas doon, bahagyang sumasagot sa mga busog at sinubukan sa lalong madaling panahon na lampasan ang mga mata ng mga doktor, klero at mga kamag-anak. nakaayos sa kanya. Si Prinsipe Vasily, na naging payat at mas maputla sa mga araw na ito, ay nakita ang kumander-in-chief at tahimik na inulit ang isang bagay sa kanya ng ilang beses. Matapos makita ang commander-in-chief, si Prinsipe Vasily ay naupo mag-isa sa bulwagan sa isang upuan, itinapon ang kanyang mga binti nang mataas sa kanyang mga binti, ipinatong ang kanyang siko sa kanyang tuhod at ipinikit ang kanyang mga mata gamit ang kanyang kamay. Pagkaraan ng ilang oras na pag-upo sa ganito, bumangon siya at sa hindi pangkaraniwang pagmamadali na mga hakbang, tumingin sa paligid na may takot na mga mata, dumaan sa isang mahabang koridor sa likod na kalahati ng bahay, patungo sa matandang prinsesa. Ang mga nasa madilim na silid ay nagsalita sa hindi pantay na bulong sa kanilang mga sarili at tumahimik sa bawat oras, at sa mga mata na puno ng pagtatanong at pag-asa ay lumingon sa pintuan na patungo sa mga silid ng naghihingalong lalaki at gumawa ng mahinang tunog nang may isang tao. iniwan ito o pinasok ito. "Ang limitasyon ng tao," sabi ng matandang lalaki, isang klerigo, sa ginang na umupo sa tabi niya at walang muwang nakinig sa kanya, "ang limitasyon ay nakatakda, ngunit hindi mo ito malalampasan." - Sa tingin ko hindi pa huli ang lahat para mag-unction? - pagdaragdag ng isang espirituwal na titulo, tanong ng ginang, na parang wala siyang opinyon sa bagay na ito.

Ang mga halimbawa ng quadrilaterals na inilarawan ay mga deltoid, na kinabibilangan ng mga rhombus, na kinabibilangan ng mga parisukat. Ang mga deltoid ay eksaktong mga naka-circumscribed na quadrilaterals na orthodiagonal din. Kung ang quadrilateral ay isang circumscribed at inscribed quadrilateral, ito ay tinatawag bicentral.

Ari-arian

Sa inilarawang quadrilateral, apat na bisector ang nagsalubong sa gitna ng bilog. Sa kabaligtaran, ang isang matambok na may apat na gilid kung saan ang apat na bisector ay nagsalubong sa isang punto ay dapat na circumscribed, at ang intersection point ng mga bisector ay ang sentro ng naka-inscribe na bilog.

Kung magkasalungat ang mga gilid sa isang matambok na may apat na gilid A B C D(na hindi isang trapezoid) ay bumalandra sa mga punto E At F, pagkatapos sila ay padaplis sa bilog kung at kung lamang

B E + B F = D E + D F (\displaystyle \displaystyle BE+BF=DE+DF) A E − E C = A F − F C . (\displaystyle \displaystyle AE-EC=AF-FC.)

Ang pangalawang pagkakapantay-pantay ay halos kapareho ng pagkakapantay-pantay sa Ang teorama ni Urquhart. Ang pagkakaiba ay nasa mga palatandaan lamang - sa teorama ni Urquhart, ang mga kabuuan, at narito ang mga pagkakaiba (tingnan ang pigura sa kanan).

Ang isa pang kinakailangan at sapat na kondisyon ay isang matambok na may apat na gilid A B C D ay inilalarawan kung at kung ang mga nakasulat na tatsulok ABC At ADC magkadikit ang mga bilog.

Paglalarawan sa mga sulok na nabuo sa pamamagitan ng dayagonal BD na may mga gilid ng isang quadrilateral A B C D, ay nabibilang sa Iosifescu. Pinatunayan niya noong 1954 na ang isang convex quadrilateral ay may incircle kung at kung lamang

tan ⁡ ∠ A B D 2 ⋅ tan ⁡ ∠ B D C 2 = tan ⁡ ∠ A D B 2 ⋅ tan ⁡ ∠ D B C 2 . (\displaystyle \tan (\frac (\angle ABD)(2))\cdot \tan (\frac (\angle BDC)(2))=\tan (\frac (\angle ADB)(2))\cdot \tan (\frac (\angle DBC)(2)).) R a R c = R b R d (\displaystyle R_(a)R_(c)=R_(b)R_(d)),

saan R a , R b , R c , R d ay ang radii ng mga bilog na panlabas na padaplis sa mga gilid a, b, c, d ayon sa pagkakabanggit at ang mga pagpapatuloy ng mga katabing panig sa bawat panig.

Ang ilang iba pang mga paglalarawan ay kilala para sa apat na tatsulok na nabuo ng mga dayagonal.

Mga espesyal na hiwa

Walo padaplis na mga segment ng circumscribed quadrilateral ay ang mga segment sa pagitan ng vertices at ng mga punto ng contact sa mga gilid. Ang bawat vertex ay may dalawang magkaparehong tangent na mga segment.

Ang mga punto ng contact ay bumubuo ng isang nakasulat na quadrilateral.

Lugar

Mga formula na hindi trigonometric

K = 1 2 p 2 q 2 − (ac − bd) 2 (\displaystyle K=(\tfrac (1)(2))(\sqrt (p^(2)q^(2)-(ac-bd) ^(2)))),

pagbibigay ng lugar sa mga tuntunin ng mga dayagonal p, q at mga partido a, b, c, d padaplis na may apat na gilid.

Ang lugar ay maaari ding kinakatawan sa mga tuntunin ng mga tangent na segment (tingnan sa itaas). Kung ang mga ito ay tinutukoy ng e, f, g, h, pagkatapos ay ang tangent quadrilateral ay may lugar

K = (e + f + g + h) (e f g + f g h + g h e + h e f) . (\displaystyle K=(\sqrt ((e+f+g+h)(efg+fgh+ghe+hef))).)

Bukod dito, ang lugar ng isang tangent quadrilateral ay maaaring ipahayag sa mga tuntunin ng mga panig a B C D at katumbas na haba ng mga padaplis na segment e, f, g, h

K = a b c d − (e g − f h) 2 . (\displaystyle K=(\sqrt (abcd-(eg-fh)^(2))).)

Sa abot ng hal = fh kung at kung ito ay nakasulat din, makuha namin na ang maximum na lugar a b c d (\displaystyle (\sqrt(abcd))) maaari lamang makamit sa mga quadrilateral na parehong naka-circumscribe at naka-inscribe sa parehong oras.

Mga formula ng trigonometriko

K = a b c d sin ⁡ A + C 2 = a b c d sin ⁡ B + D 2 . (\displaystyle K=(\sqrt (abcd))\sin (\frac (A+C)(2))=(\sqrt (abcd))\sin (\frac (B+D)(2)).)

Para sa isang partikular na produkto ng mga gilid, ang lugar ay magiging maximum kapag ang quadrilateral ay isa ring inscribed. Sa kasong ito K = a b c d (\displaystyle K=(\sqrt (abcd))), dahil ang magkasalungat na mga anggulo ay komplementaryo. Ito ay mapapatunayan sa ibang paraan, gamit ang mathematical analysis.

Ang isa pang formula para sa lugar ng isang circumscribed quadrilateral A B C D, gamit ang dalawang magkasalungat na anggulo

K = (OA ⋅ OC + OB ⋅ OD) kasalanan ⁡ A + C 2 (\displaystyle K=\left(OA\cdot OC+OB\cdot OD\right)\sin (\frac (A+C)(2) )),

saan O ay ang sentro ng nakasulat na bilog.

Sa katunayan, ang lugar ay maaari lamang ipahayag sa mga tuntunin ng dalawang magkatabing panig at dalawang magkasalungat na anggulo.

K = a b kasalanan ⁡ B 2 csc ⁡ D 2 kasalanan ⁡ B + D 2 . (\displaystyle K=ab\sin (\frac (B)(2))\csc (\frac (D)(2))\sin (\frac (B+D)(2)).) K = 1 2 | (a c − b d) tan ⁡ θ | , (\displaystyle K=(\tfrac (1)(2))|(ac-bd)\tan (\theta )|,)

saan θ anggulo (anuman) sa pagitan ng mga dayagonal. Ang formula ay hindi naaangkop sa kaso ng mga deltoid, dahil sa kasong ito θ ay 90° at ang padaplis ay hindi tinukoy.

hindi pagkakapantay-pantay

Tulad ng nabanggit sa pagpasa sa itaas, ang lugar ng isang tangent polygon na may mga gilid a, b, c, d natutugunan ang hindi pagkakapantay-pantay

K ≤ a b c d (\displaystyle K\leq (\sqrt (abcd)))

at ang pagkakapantay-pantay ay makakamit kung at kung ang may apat na gilid ay bicentral.

Ayon kay T. A. Ivanova (1976), ang semiperimeter s circumscribed quadrilateral satisfies the inequality

s ≥ 4r (\displaystyle s\geq 4r),

saan r ay ang radius ng inscribed na bilog. Ang hindi pagkakapantay-pantay ay nagiging pagkakapantay-pantay kung at kung ang quadrilateral ay isang parisukat. Ibig sabihin para sa lugar K = rs, ang hindi pagkakapantay-pantay

K ≥ 4 r 2 (\displaystyle K\geq 4r^(2))

na may paglipat sa pagkakapantay-pantay kung at kung ang may apat na gilid ay isang parisukat.

Mga katangian ng mga bahagi ng isang quadrilateral

Apat na mga segment ng linya sa pagitan ng gitna ng inscribed na bilog at ang mga punto ng contact ay hatiin ang quadrilateral sa apat rectangular deltoid?!.

Kung ang isang tuwid na linya ay naghahati sa circumscribed quadrilateral sa dalawang polygon na may pantay na mga lugar at pantay na mga perimeter, ang linyang ito ay dumadaan sa incenter.

May nakasulat na radius ng bilog

Radius ng inscribed na bilog ng isang inscribed quadrilateral na may mga gilid a, b, c, d ibinigay ng formula

r = K s = K a + c = K b + d (\displaystyle r=(\frac (K)(s))=(\frac (K)(a+c))=(\frac (K)( b+d))),

saan K ay ang lugar ng quadrilateral, at s- semiperimeter. Para sa mga circumscribed quadrangle na may isang partikular na semiperimeter, ang radius ng inscribed na bilog ay pinakamataas kapag ang quadrilateral ay isa ring inscribed.

Sa mga tuntunin ng tangent segment, ang radius ng inscribed na bilog.

r = e f g + f g h + g h e + h e f e + f + g + h . (\displaystyle \displaystyle r=(\sqrt (\frac (efg+fgh+ghe+hef)(e+f+g+h))).)

Ang radius ng inscribed na bilog ay maaari ding ipahayag sa mga tuntunin ng distansya mula sa incenter O sa vertices ng circumscribed quadrilateral A B C D. Kung u = AO, v=BO, x=CO At y=GAWIN, pagkatapos

r = 2 (σ − uvx) (σ − vxy) (σ − xyu) (σ − yuv) uvxy (uv + xy) (ux + vy) (uy + vx) (\displaystyle r=2(\sqrt (\ frac ((\sigma -uvx)(\sigma -vxy)(\sigma -xyu)(\sigma -yuv))(uvxy(uv+xy)(ux+vy)(uy+vx))))),

saan σ = 1 2 (u v x + v x y + x y u + y u v) (\displaystyle \sigma =(\tfrac (1)(2))(uvx+vxy+xyu+yuv)) .

Mga formula para sa mga anggulo

Kung e, f, g At h padaplis na mga segment mula sa mga vertex A, B, C At D ayon sa pagkakabanggit sa mga punto ng tangency ng bilog sa pamamagitan ng quadrilateral A B C D, kung gayon ang mga anggulo ng quadrilateral ay maaaring kalkulahin ng mga formula

kasalanan ⁡ A 2 = efg + fgh + ghe + hef (e + f) (e + g) (e + h) , (\displaystyle \sin (\frac (A)(2))=(\sqrt (\frac (efg+fgh+ghe+hef)((e+f)(e+g)(e+h)))),) kasalanan ⁡ B 2 = efg + fgh + ghe + hef (f + e) ​​​​(f + g) (f + h) , (\displaystyle \sin (\frac (B)(2))=(\sqrt ( \frac (efg+fgh+ghe+hef)((f+e)(f+g)(f+h)))),) kasalanan ⁡ C 2 = efg + fgh + ghe + hef (g + e) ​​​​(g + f) (g + h), (\displaystyle \sin (\frac (C)(2))=(\sqrt ( \frac (efg+fgh+ghe+hef)((g+e)(g+f)(g+h)))),) kasalanan ⁡ D 2 = e f g + f g h + g h e + h e f (h + e) ​​​​(h + f) (h + g) . (\displaystyle \sin (\frac (D)(2))=(\sqrt (\frac (efg+fgh+ghe+hef)((h+e)(h+f)(h+g)))) .)

Anggulo sa pagitan ng mga chord KM At LN ibinigay ng formula (tingnan ang figure)

kasalanan ⁡ φ = (e + f + g + h) (e f g + f g h + g h e + h e f) (e + f) (f + g) (g + h) (h + e) ​​​​. (\displaystyle \sin (\varphi )=(\sqrt (\frac ((e+f+g+h)(efg+fgh+ghe+hef))((e+f)(f+g)(g+ h )(h+e)))).)

Mga dayagonal

Kung e, f, g At h ay mga segment ng tangents mula sa A, B, C At D sa mga punto ng tangency ng inscribed na bilog sa pamamagitan ng quadrilateral A B C D, pagkatapos ay ang mga haba ng mga dayagonal p=AC At q=BD pantay

p = e + gf + h ((e + g) (f + h) + 4 fh) , (\displaystyle \displaystyle p=(\sqrt ((\frac (e+g)(f+h))(\ Malaki ()(e+g)(f+h)+4fh(\Big)))),) q = f + h e + g ((e + g) (f + h) + 4 e g) . (\displaystyle \displaystyle q=(\sqrt ((\frac (f+h)(e+g))(\Big ()(e+g)(f+h)+4eg(\Big)))). )

Touch point chords

Kung e, f, g At h ay mga segment mula sa vertices hanggang sa tangent point, pagkatapos ay ang haba ng chords hanggang sa magkasalungat na tangent point ay

k = 2 (efg + fgh + ghe + hef) (e + f) (g + h) (e + g) (f + h), (\displaystyle \displaystyle k=(\frac (2(efg+fgh+ ghe) +hef))(\sqrt ((e+f)(g+h)(e+g)(f+h)))),) l = 2 (efg + fgh + ghe + hef) (e + h) (f + g) (e + g) (f + h), (\displaystyle \displaystyle l=(\frac (2(efg+fgh+ ghe) +hef))(\sqrt ((e+h)(f+g)(e+g)(f+h)))),)

nasaan ang chord k nag-uugnay sa mga gilid sa mga haba a = e + f At c = g + h, at ang chord l nag-uugnay sa mga gilid na may haba b = f + g At d = h + e. Ang parisukat ng ratio ng mga chord ay nakakatugon sa kaugnayan

k 2 l 2 \u003d b d a c. (\displaystyle (\frac (k^(2))(l^(2)))=(\frac (bd)(ac)).)

Dalawang chord

Chord sa pagitan ng mga gilid AB At CD sa circumscribed quadrilateral A B C D mas mahaba kaysa sa chord sa pagitan ng mga gilid BC At DA kung at kung ang panggitna na linya sa pagitan ng mga gilid AB At CD mas maikli kaysa sa median na linya sa pagitan ng mga gilid BC At DA .

Kung ang circumscribed quadrilateral A B C D may mga punto ng kontak M sa AB At N sa CD at chord MN tumatawid sa dayagonal BD sa punto P, pagkatapos ay ang ratio ng mga segment ng tangents B M D N (\displaystyle (\tfrac (BM)(DN))) ay katumbas ng ratio B P D P (\displaystyle (\tfrac (BP)(DP))) diagonal na mga segment BD.

mga collinear na puntos

Kung M1 At M2 ay ang mga midpoint ng mga diagonal AC At BD ayon sa pagkakabanggit sa circumscribed quadrilateral A B C D O, at ang mga pares ng magkasalungat na gilid ay nagsalubong sa mga punto E At F At M3- gitna ng segment EF, pagkatapos ay ang mga puntos M3, M1, O, At M2 nakahiga sa isang tuwid na linya.Ang tuwid na linya na nagdudugtong sa mga puntong ito ay tinatawag na Newton line ng quadrilateral.

E At F, at ang mga extension ng magkabilang panig ng quadrilateral na nabuo ng mga punto ng contact ay nagsalubong sa mga punto T At S, pagkatapos ay apat na puntos E, F, T At S kasinungalingan sa parehong linya

AB, BC, CD, DA sa mga punto M, K, N At L ayon sa pagkakabanggit, at kung T M, T K, T N, T L ay isotomically conjugate point ng mga puntong ito (i.e. AT M = BM atbp.), pagkatapos Nagel point tinukoy bilang intersection ng mga linya T N T M At T K T L. Ang parehong mga linyang ito ay naghahati sa perimeter ng quadrilateral sa dalawang pantay na bahagi. Higit sa lahat, gayunpaman, ang punto ng Nagel Q, "area centroid" G at ang gitna ng nakasulat na bilog O humiga sa parehong tuwid na linya, at QG = 2GO. Ang linyang ito ay tinatawag diretsong Nagel circumscribed quadrilateral.

Sa circumscribed quadrilateral A B C D sa gitna ng nakasulat na bilog O P, hayaan H M, H K, H N, H L ay ang mga orthocenter ng mga tatsulok AOB, BOC, COD At DOA ayon sa pagkakabanggit. Tapos yung points P, H M, H K, H N At H L kasinungalingan sa parehong linya.

Competitive at perpendicular na mga linya

Dalawang diagonal ng isang quadrilateral at dalawang chord na nag-uugnay sa magkasalungat na mga punto ng contact (kabaligtaran ng mga vertices ng isang naka-inscribe na quadrilateral) ay magkadikit (ibig sabihin, nag-intersect sila sa isang punto). Upang maipakita ito, maaari tayong gumamit ng isang espesyal na kaso ng Brianchon's theorem, na nagsasaad na ang isang heksagono, ang lahat ng panig nito ay padaplis sa isang conic na seksyon, ay may tatlong diagonal na nagsalubong sa isang punto. Mula sa inilarawang quadrilateral, madaling makakuha ng hexagon na may dalawang 180° na anggulo sa pamamagitan ng pagpasok ng dalawang bagong vertices sa magkasalungat na tangent point. Ang lahat ng anim na gilid ng resultang hexagon ay padaplis sa incircle, upang ang mga diagonal nito ay magsalubong sa isang punto. Ngunit ang dalawang diagonal ng hexagon ay nag-tutugma sa mga diagonal ng quadrilateral, at ang ikatlong dayagonal ay dumadaan sa magkasalungat na punto ng contact. Inuulit ang parehong pangangatwiran para sa iba pang dalawang touch point, makuha namin ang kinakailangang resulta.

Kung ang nakasulat na bilog ay padaplis sa mga gilid AB, BC, CD At DA sa mga punto M, K, N, L ayon sa pagkakabanggit, pagkatapos ay mga tuwid na linya MK, LN At AC mapagkumpitensya.

Kung ang mga extension ng magkasalungat na gilid ng circumscribed quadrilateral ay nagsalubong sa mga punto E At F, at ang mga diagonal ay nagsalubong sa isang punto P, pagkatapos ay ang tuwid na linya EF patayo sa pagpapatuloy OP, saan O ay ang sentro ng nakasulat na bilog.

Naka-inscribe na mga katangian ng bilog

Ang ratio ng dalawang magkasalungat na gilid ng circumscribed quadrilateral ay maaaring ipahayag sa mga tuntunin ng mga distansya mula sa gitna ng inscribed na bilog O sa mga kaugnay na partido

A B C D = O A ⋅ O B O C ⋅ O D , B C D A = O B ⋅ O C O D ⋅ O A . (\displaystyle (\frac (AB)(CD))=(\frac (OA\cdot OB)(OC\cdot OD)),\quad \quad (\frac (BC)(DA))=(\frac ( OB\cdot OC)(OD\cdot OA)).)

Ang produkto ng dalawang magkatabing gilid ng isang circumscribed quadrilateral A B C D sa gitna ng nakasulat na bilog O nagbibigay-kasiyahan sa relasyon

A B ⋅ B C = O B 2 + O A ⋅ O B ⋅ O C O D . (\displaystyle AB\cdot BC=OB^(2)+(\frac (OA\cdot OB\cdot OC)(OD)).)

Kung O- ang gitna ng inscribed na bilog ng quadrilateral A B C D, pagkatapos

O A ⋅ O C + O B ⋅ O D = A B ⋅ B C ⋅ C D ⋅ D A . (\displaystyle OA\cdot OC+OB\cdot OD=(\sqrt (AB\cdot BC\cdot CD\cdot DA)).)

Gitna ng nakasulat na bilog O tumutugma sa "centroid vertices" ng quadrilateral kung at kung lamang

O A ⋅ O C = O B ⋅ O D . (\displaystyle OA\cdot OC=OB\cdot OD.)

Kung M1 At M2 ay ang mga midpoint ng mga diagonal AC At BD ayon sa pagkakabanggit, kung gayon

OM 1 OM 2 = OA ⋅ OCOB ⋅ OD = e + gf + h , (\displaystyle (\frac (OM_(1))(OM_(2)))=(\frac (OA\cdot OC)(OB\cdot OD))=(\frac (e+g)(f+h)),)

saan e, f, g At h- mga segment ng tangents sa vertices A, B, C At D ayon sa pagkakabanggit. Ang pagsasama-sama ng unang pagkakapantay-pantay sa huling isa, nakuha namin na ang "centroid ng mga vertices" ng circumscribed quadrilateral ay tumutugma sa gitna ng inscribed na bilog kung at kung ang gitna ng inscribed na bilog ay nasa kalagitnaan sa pagitan ng mga midpoint ng mga diagonal.

1 r 1 + 1 r 3 = 1 r 2 + 1 r 4 . (\displaystyle (\frac (1)(r_(1)))+(\frac (1)(r_(3)))=(\frac (1)(r_(2)))+(\frac (1 )(r_(4))).)

Ang ari-arian na ito ay napatunayan limang taon na ang nakaraan ni Weinstein. Sa paglutas ng kanyang problema, isang katulad na pag-aari ang ibinigay nina Vasiliev at Senderov. Kung sa pamamagitan ng h M , h K , h N at h Tinutukoy ng L ang mga taas ng parehong mga tatsulok (nahulog mula sa intersection ng mga diagonal P), pagkatapos ay ang quadrilateral ay circumscribed kung at kung lamang

1 h M + 1 h N = 1 h K + 1 h L . (\displaystyle (\frac (1)(h_(M)))+(\frac (1)(h_(N)))=(\frac (1)(h_(K)))+(\frac (1 )(h_(L))).)

Ang isa pang katulad na ari-arian ay nalalapat sa radii ng mga excircles r M , r K , r N At r L para sa parehong apat na tatsulok (apat na excircles ay padaplis sa bawat isa sa mga gilid ng quadrilateral at ang mga extension ng mga diagonal). Ang isang quadrilateral ay circumscribed kung at kung lamang

1 r M + 1 r N = 1 r K + 1 r L . (\displaystyle (\frac (1)(r_(M)))+(\frac (1)(r_(N)))=(\frac (1)(r_(K)))+(\frac (1 )(r_(L))).)

Kung R M , R K , R N at R L - radii ng circumcircles ng triangles APB, BPC, CPD At DPA ayon sa pagkakabanggit, pagkatapos ay ang tatsulok A B C D ay inilalarawan kung at kung lamang

R M + R N = R K + R L . (\displaystyle R_(M)+R_(N)=R_(K)+R_(L).)

Noong 1996, lumilitaw na si Weinstein ang unang nagpatunay ng isa pang kahanga-hangang pag-aari ng circumscribed quadrilaterals, na kalaunan ay lumabas sa ilang mga magazine at website. Ang ari-arian ay nagsasaad na kung ang isang matambok na may apat na gilid ay nahahati sa apat na hindi magkakapatong na tatsulok sa pamamagitan ng mga dayagonal nito, ang mga sentro ng pabilog ng mga tatsulok na iyon ay nasa parehong bilog kung at kung ang may apat na gilid lamang ay isang bilog. Sa katunayan, ang mga gitna ng mga naka-inscribe na bilog ay bumubuo ng isang orthodiagonal inscribed apat na sulok. Dito ang mga nakasulat na bilog ay maaaring mapalitan ng mga excircles (tangent sa mga gilid at pagpapatuloy ng mga diagonal ng quadrilateral). Pagkatapos ay ang isang matambok na may apat na gilid ay circumscribed kung at kung ang mga sentro ng mga excircles ay ang mga vertices ng inscribed na may apat na gilid.

Matambok na may apat na gilid A B C D kung saan ang mga diagonal ay nagsalubong sa isang punto P, ay circumscribed kung at kung ang apat na sentro ng triangles ay excircles APB, BPC, CPD At DPA nakahiga sa parehong bilog (dito ang mga excircles ay bumalandra sa mga gilid ng quadrilateral, sa kaibahan sa analogous na pahayag sa itaas, kung saan ang mga excircles ay namamalagi sa labas ng quadrilateral). Kung Rm, R n, Rk At Rl- radii ng excircles APB, BPC, CPD At DPA ayon sa pagkakasunod-sunod sa tapat ng vertices B At D, kung gayon ang isa pang kinakailangan at sapat na kundisyon para ma-circumscribe ang quadrilateral ay

1 R m + 1 R n = 1 R k + 1 R l . (\displaystyle (\frac (1)(R_(m)))+(\frac (1)(R_(n)))=(\frac (1)(R_(k)))+(\frac (1 )(R_(l))).) m △ (APB) + n △ (CPD) = k △ (BPC) + l △ (DPA) (\displaystyle (\frac (m)(\triangle (APB)))+(\frac (n)(\triangle (CPD)))=(\frac (k)(\triangle (BPC)))+(\frac (l)(\triangle (DPA))))

saan m, k, n, l- haba ng gilid AB, BC, CD At DA, at ∆( APB) - lugar ng isang tatsulok APB.

Tukuyin natin ang mga segment kung saan ang punto P hinahati ang dayagonal AC paano AP = p a at PC = p c. Sa parehong paraan P hatiin ang dayagonal BD sa mga segment BP = p b at PD = p d. Pagkatapos ang quadrilateral ay circumscribed kung at kung ang isa sa mga pagkakapantay-pantay ay mayroong:

m p c p d + n p a q b = k p a p d + l p c p b (\displaystyle mp_(c)p_(d)+np_(a)q_(b)=kp_(a)p_(d)+lp_(c)p_(b)) (pa + pb − m) (pc + pd − n) (pa + pb + m) (pc + pd + n) = (pc + pb − k) (pa + pd − l) (pc + pb + k) (pa + pd + l) (\displaystyle (\frac ((p_(a)+p_(b)-m)(p_(c)+p_(d)-n))((p_(a)+p_( b)+m)(p_(c)+p_(d)+n)))=(\frac ((p_(c)+p_(b)-k)(p_(a)+p_(d)-l ))((p_(c)+p_(b)+k)(p_(a)+p_(d)+l)))) (m + pa − pb) (n + pc − pd) (m − pa + pb) (n − pc + pd) = (k + pc − pb) (l + pa − pd) (k − pc + pb) (l − pa + pd) . (\displaystyle (\frac ((m+p_(a)-p_(b))(n+p_(c)-p_(d)))((m-p_(a)+p_(b))(n -p_(c)+p_(d))))=(\frac ((k+p_(c)-p_(b))(l+p_(a)-p_(d)))((k-p_ (c)+p_(b))(l-p_(a)+p_(d)))).)

Mga kundisyon para ang circumscribed quadrilateral ay isa pang uri ng quadrilateral

rhombus kung at kung ang magkasalungat na mga anggulo ay pantay.

Kung ang nakasulat na bilog ay padaplis sa mga gilid AB, BC, CD, DA sa mga punto M, K, N, L ayon sa pagkakabanggit, kung gayon A B C D ay isa ring inscribed quadrilateral kung at kung lamang

Ang una sa tatlong pahayag na ito ay nangangahulugan na pindutin ang may apat na gilid MKNL ay orthodiagonal.

Ang circumscribed quadrilateral ay bicentric (i.e. circumscribed at inscribed at the same time) kung at kung ang radius ng inscribed na bilog ay ang pinakamalaki sa lahat ng circumscribed quadrilateral na may parehong pagkakasunod-sunod ng mga haba ng gilid .

Ang inilarawang quadrilateral ay isang deltoid kung at kung ang alinman sa mga sumusunod na kondisyon ay natutugunan:

• Ang lugar ay kalahati ng produkto ng mga dayagonal
• Ang mga diagonal ay patayo
• Ang dalawang segment ng linya na nagkokonekta sa magkabilang punto ng contact ay magkapareho ang haba
• Ang isang pares ng magkasalungat na mga segment mula sa vertex hanggang sa punto ng contact ay may parehong haba
• Ang mga gitnang linya ay pareho ang haba
• Ang mga produkto ng magkabilang panig ay pantay
• Ang gitna ng inscribed na bilog ay namamalagi sa dayagonal, na siyang axis ng simetrya.