عدد مطلق لگاریتم. لگاریتم چیست

\(a^(b)=c\) \(\فلش راست چپ\) \(\log_(a)(c)=b\)

بیایید آن را راحت تر توضیح دهیم. به عنوان مثال، \(\log_(2)(8)\) برابر با توانی است که \(2\) باید افزایش یابد تا \(8\) به دست آید. از اینجا مشخص است که \(\log_(2)(8)=3\).

مثال ها:	\(\log_(5)(25)=2\)	زیرا \(5^(2)=25\)
	\(\log_(3)(81)=4\)	زیرا \(3^(4)=81\)
	\(\log_(2)\)\(\frac(1)(32)\) \(=-5\)	زیرا \(2^(-5)=\)\(\frac(1)(32)\)

استدلال و پایه لگاریتم

هر لگاریتمی دارای "آناتومی" زیر است:

آرگومان لگاریتم معمولاً در سطح آن نوشته می‌شود و پایه به صورت زیرنویس نزدیک‌تر به علامت لگاریتم نوشته می‌شود. و این مدخل به این صورت خوانده می شود: «لگاریتم بیست و پنج تا پایه پنج».

چگونه لگاریتم را محاسبه کنیم؟

برای محاسبه لگاریتم، باید به این سوال پاسخ دهید: برای بدست آوردن آرگومان، پایه تا چه حد باید افزایش یابد؟

برای مثال، لگاریتم را محاسبه کنید: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\ sqrt (5))(1)\) د) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

الف) برای بدست آوردن \(16\) باید \(4\) را به چه قدرتی رساند؟ بدیهی است که دومی بنابراین:

\(\log_(4)(16)=2\)

\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

ج) برای بدست آوردن \(1\) \(\sqrt(5)\) باید به چه قدرتی افزایش یابد؟ و چه درجه ای هر عددی را واحد می کند؟ صفر البته!

\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)

د) برای بدست آوردن \(\sqrt(7)\) باید \(\sqrt(7)\) را به چه قدرتی افزایش داد؟ در اول - هر عدد در درجه اول با خودش برابر است.

\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

ه) برای بدست آوردن \(\sqrt(3)\) \(3\) باید به چه قدرتی افزایش یابد؟ از ما می دانیم که چیست درجه کسری، که به معنی ریشه دومدرجه \(\frac(1)(2)\) است.

\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

مثال : محاسبه لگاریتم \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

راه حل :

\(\log_(4\sqrt(2))(8)=x\)		باید مقدار لگاریتم را پیدا کنیم، بیایید آن را x نشان دهیم. حالا بیایید از تعریف لگاریتم استفاده کنیم: \(\log_(a)(c)=b\) \(\فلش راست چپ\) \(a^(b)=c\)
\((4\sqrt(2))^(x)=8\)		چه پیوندهایی \(4\sqrt(2)\) و \(8\) دارند؟ دو، زیرا هر دو عدد را می توان با دو نشان داد: \(4=2^(2)\) \(\sqrt(2)=2^(\frac(1)(2)) \(8=2^(3)\)
\(((2^(2)\cdot2^(\frac(1)(2)))^(x)=2^(3)\)		در سمت چپ، از ویژگی های درجه استفاده می کنیم: \(a^(m)\cdot a^(n)=a^(m+n)\) و \((a^(m))^(n)=a ^(m\cdot n)\)
\(2^(\frac(5)(2)x)=2^(3)\)		مبانی برابر است، ما به سمت برابری شاخص ها پیش می رویم
\(\frac(5x)(2)\) \(=3\)		دو طرف معادله را در \(\frac(2)(5)\) ضرب کنید
		ریشه حاصل مقدار لگاریتم است

پاسخ : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

چرا لگاریتم اختراع شد؟

برای درک این موضوع، اجازه دهید معادله \(3^(x)=9\) را حل کنیم. فقط \(x\) را مطابقت دهید تا برابری عمل کند. البته \(x=2\).

حالا معادله \(3^(x)=8\) را حل کنید x برابر چیست؟ نکته همین است.

باهوش ترین خواهد گفت: "X کمی کمتر از دو است." این عدد دقیقاً چگونه باید نوشته شود؟ برای پاسخ به این سوال، آنها لگاریتم را ارائه کردند. با تشکر از او، پاسخ در اینجا می تواند به صورت \(x=\log_(3)(8)\) نوشته شود.

من می خواهم تأکید کنم که \(\log_(3)(8)\) و همچنین هر لگاریتمی فقط یک عدد است. بله، غیر معمول به نظر می رسد، اما کوتاه است. چون اگر بخواهیم آن را در فرم بنویسیم کسر اعشاری، پس به این شکل می شود: \(1.892789260714.....\)

مثال : حل معادله \(4^(5x-4)=10\)

راه حل :

\(4^(5x-4)=10\)		\(4^(5x-4)\) و \(10\) را نمی توان به یک پایه کاهش داد. بنابراین در اینجا شما نمی توانید بدون لگاریتم انجام دهید. بیایید از تعریف لگاریتم استفاده کنیم: \(a^(b)=c\) \(\فلش راست چپ\) \(\log_(a)(c)=b\)
\(\log_(4)(10)=5x-4\)		معادله را برگردانید تا x در سمت چپ باشد
\(5x-4=\log_(4)(10)\)		قبل از ما. \(4\) را به سمت راست حرکت دهید. و از لگاریتم نترسید، مانند یک عدد معمولی با آن رفتار کنید.
\(5x=\log_(4)(10)+4\)		معادله را بر 5 تقسیم کنید
\(x=\)\(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)		ریشه ما اینجاست. بله، غیر معمول به نظر می رسد، اما پاسخ انتخاب نشده است.

پاسخ : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

لگاریتم های اعشاری و طبیعی

همانطور که در تعریف لگاریتم بیان شد، پایه آن می تواند هر عدد مثبتی باشد به جز یک \((a>0, a\neq1)\). و در میان همه زمینه های ممکندو مورد وجود دارد که به قدری اتفاق می افتد که یک نماد کوتاه خاص برای لگاریتم با آنها اختراع شد:

لگاریتم طبیعی: لگاریتمی که پایه آن عدد اویلر \(e\) است (تقریباً برابر با \(2.7182818…\)) و لگاریتم به صورت \(\ln(a)\ نوشته می شود).

به این معنا که، \(\ln(a)\) همان \(\log_(e)(a)\) است.

لگاریتم اعشاری: لگاریتمی که پایه آن 10 است \(\lg(a)\) نوشته می شود.

به این معنا که، \(\lg(a)\) همان \(\log_(10)(a)\) است، جایی که \(a\) تعدادی عدد است.

هویت لگاریتمی پایه

لگاریتم ها خواص زیادی دارند. یکی از آنها "هویت لگاریتمی پایه" نام دارد و به شکل زیر است:

\(a^(\log_(a)(c))=c\)

این ویژگی مستقیماً از تعریف ناشی می شود. بیایید ببینیم این فرمول دقیقا چگونه ظاهر شد.

به یاد بیاوریم یادداشت کوتاهتعاریف لگاریتم:

اگر \(a^(b)=c\)، سپس \(\log_(a)(c)=b\)

یعنی \(b\) همان \(\log_(a)(c)\) است. سپس می توانیم به جای \(b\) در فرمول \(a^(b)=c\) \(\log_(a)(c)\) بنویسیم. معلوم شد \(a^(\log_(a)(c))=c\) - هویت لگاریتمی اصلی.

شما می توانید بقیه خواص لگاریتم را پیدا کنید. با کمک آنها می توانید مقادیر عبارات را با لگاریتم ساده و محاسبه کنید که محاسبه مستقیم آنها دشوار است.

مثال : مقدار عبارت \(36^(\log_(6)(5)) را پیدا کنید

راه حل :

پاسخ : \(25\)

چگونه یک عدد را به صورت لگاریتمی بنویسیم؟

همانطور که در بالا ذکر شد، هر لگاریتمی فقط یک عدد است. عکس آن نیز صادق است: هر عددی را می توان به صورت لگاریتم نوشت. به عنوان مثال، می دانیم که \(\log_(2)(4)\) برابر با دو است. سپس می توانید به جای دو، \(\log_(2)(4)\) بنویسید.

اما \(\log_(3)(9)\) نیز برابر با \(2\) است، بنابراین می توانید \(2=\log_(3)(9)\) را نیز بنویسید. به طور مشابه با \(\log_(5)(25)\)، و با \(\log_(9)(81)\) و غیره. یعنی معلوم می شود

\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)

بنابراین، در صورت نیاز، می‌توانیم این دو را به‌عنوان لگاریتم با هر مبنایی در هر جایی بنویسیم (حتی در یک معادله، حتی در یک عبارت، حتی در یک نامساوی) - ما فقط پایه مربع را به عنوان یک آرگومان می‌نویسیم.

در مورد سه گانه هم همینطور است - می توان آن را به صورت \(\log_(2)(8)\)، یا به صورت \(\log_(3)(27)\) یا به صورت \(\log_(4)( نوشت 64) \) ... در اینجا پایه را در مکعب به عنوان آرگومان می نویسیم:

\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)

و با چهار:

\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)

و با منفی یک:

\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1) )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\)\(...\)

و با یک سوم:

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

هر عدد \(a\) را می توان به صورت لگاریتمی با پایه \(b\) نشان داد: \(a=\log_(b)(b^(a))\)

مثال : مقدار یک عبارت را بیابید \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)

راه حل :

پاسخ : \(1\)

یکی از عناصر جبر سطح ابتدایی لگاریتم است. نام از یونانیاز کلمه "عدد" یا "قدرت" گرفته شده است و به معنای قدرتی است که برای یافتن عدد نهایی باید عدد را در پایه بالا برد.

انواع لگاریتم

log a b لگاریتم عدد b به پایه a است (a > 0، a ≠ 1، b > 0).
lg b - لگاریتم اعشاری (پایه لگاریتم 10، a = 10)؛
ln b - لگاریتم طبیعی (پایه لگاریتم e، a = e).

چگونه لگاریتم ها را حل کنیم؟

لگاریتم عدد b به پایه a یک توان است که مستلزم آن است که پایه a به عدد b افزایش یابد. نتیجه به این صورت تلفظ می شود: "لگاریتم b به پایه a". راه حل مسائل لگاریتمی این است که باید درجه داده شده را با اعداد با اعداد مشخص شده تعیین کنید. برخی از قوانین اساسی برای تعیین یا حل لگاریتم و همچنین تبدیل خود نماد وجود دارد. با استفاده از آنها راه حلی ساخته می شود معادلات لگاریتمی، مشتقات پیدا می شوند، انتگرال ها حل می شوند و بسیاری از عملیات های دیگر انجام می شوند. اساساً راه حل خود لگاریتم نمادگذاری ساده شده آن است. در زیر فرمول ها و خواص اصلی آورده شده است:

برای هر یک a > 0; a ≠ 1 و برای هر x ; y > 0.

a log a b = b هویت لگاریتمی پایه است
1 = 0 را ثبت کنید
log a a = 1
log a (x y ) = log a x + log a y
log a x/y = log a x – log a y
log a 1/x = -log a x
log a x p = p log a x
log a k x = 1/k log a x، برای k ≠ 0
log a x = log a c x c
log a x \u003d log b x / log b a - فرمول انتقال به یک پایه جدید
log a x = 1/log x a

نحوه حل لگاریتم - دستورالعمل گام به گام برای حل

ابتدا معادله مورد نیاز را یادداشت کنید.

لطفا توجه داشته باشید: اگر لگاریتم پایه 10 باشد، رکورد کوتاه می شود، لگاریتم اعشاری به دست می آید. اگر ارزش دارد عدد طبیعی e، سپس یادداشت می کنیم و به لگاریتم طبیعی تقلیل می دهیم. به این معنی که حاصل همه لگاریتم ها توانی است که عدد پایه به آن افزایش می یابد تا عدد b به دست آید.

به طور مستقیم، راه حل در محاسبه این درجه نهفته است. قبل از حل یک عبارت با لگاریتم، باید آن را طبق قانون ساده کرد، یعنی با استفاده از فرمول. با کمی برگشت در مقاله می توانید هویت های اصلی را پیدا کنید.

جمع و تفریق لگاریتم با دو اعداد مختلف، اما با پایه های یکسان، به ترتیب حاصل ضرب یا تقسیم اعداد b و c را با یک لگاریتم جایگزین کنید. در این مورد، می توانید فرمول انتقال را به پایه دیگری اعمال کنید (به بالا مراجعه کنید).

اگر از عبارات برای ساده کردن لگاریتم استفاده می کنید، محدودیت هایی وجود دارد که باید از آنها آگاه باشید. و آن این است: پایه لگاریتم a فقط یک عدد مثبت است، اما برابر با یک نیست. عدد b نیز مانند a باید بزرگتر از صفر باشد.

مواردی وجود دارد که با ساده کردن عبارت، نمی توانید لگاریتم را به صورت عددی محاسبه کنید. این اتفاق می افتد که چنین عبارتی معنی ندارد، زیرا بسیاری از درجات اعداد غیر منطقی هستند. در این شرایط، توان عدد را به عنوان لگاریتم بگذارید.

لگاریتم ها مانند هر عددی را می توان به هر طریق ممکن اضافه، تفریق و تبدیل کرد. اما از آنجایی که لگاریتم ها اعداد کاملاً معمولی نیستند، قوانینی در اینجا وجود دارد که نامیده می شوند خواص اساسی.

این قوانین باید شناخته شوند - هیچ مشکل لگاریتمی جدی بدون آنها قابل حل نیست. علاوه بر این، تعداد بسیار کمی از آنها وجود دارد - همه چیز را می توان در یک روز یاد گرفت. پس بیایید شروع کنیم.

جمع و تفریق لگاریتم ها

دو لگاریتم با پایه یکسان را در نظر بگیرید: log آ ایکسو وارد شوید آ y. سپس می توان آنها را جمع و تفریق کرد و:

ورود به سیستم آ ایکس+log آ y= ورود آ (ایکس · y);
ورود به سیستم آ ایکس-ورود آ y= ورود آ (ایکس : y).

پس مجموع لگاریتم ها برابر لگاریتم حاصلضرب است و تفاوت آن لگاریتم ضریب است. توجه داشته باشید: لحظه کلیدیاینجا - همین زمینه ها. اگر پایه ها متفاوت است، این قوانین کار نمی کند!

این فرمول ها به شما کمک می کند محاسبه کنید بیان لگاریتمیحتی زمانی که تک تک اجزای آن در نظر گرفته نشده باشد (به درس "لگاریتم چیست" مراجعه کنید). به نمونه ها دقت کنید و ببینید:

log 6 4 + log 6 9.

از آنجایی که پایه های لگاریتم یکسان است، از فرمول جمع استفاده می کنیم:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

وظیفه. مقدار عبارت را پیدا کنید: log 2 48 − log 2 3.

پایه ها یکسان هستند، ما از فرمول تفاوت استفاده می کنیم:
log 2 48 - log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

وظیفه. مقدار عبارت را پیدا کنید: log 3 135 − log 3 5.

باز هم پایه ها یکسان هستند، بنابراین داریم:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

همانطور که می بینید، عبارات اصلی از لگاریتم های "بد" تشکیل شده اند که به طور جداگانه در نظر گرفته نمی شوند. اما پس از تبدیل، اعداد کاملاً عادی به دست می‌آیند. بر اساس این واقعیت، بسیاری از اوراق تست. بله، کنترل - عبارات مشابه با جدیت تمام (گاهی اوقات - تقریباً بدون تغییر) در امتحان ارائه می شود.

حذف توان از لگاریتم

حالا بیایید کار را کمی پیچیده کنیم. اگر درجه ای در پایه یا آرگومان لگاریتم وجود داشته باشد چه؟ سپس توان این درجه را می توان طبق قوانین زیر از علامت لگاریتم خارج کرد:

به راحتی می توان فهمید که آخرین قانون از دو قانون اول پیروی می کند. اما به هر حال بهتر است آن را به خاطر بسپارید - در برخی موارد به میزان قابل توجهی مقدار محاسبات را کاهش می دهد.

البته، اگر لگاریتم ODZ رعایت شود، همه این قوانین منطقی هستند: آ > 0, آ ≠ 1, ایکس> 0. و یک چیز دیگر: یاد بگیرید که همه فرمول ها را نه تنها از چپ به راست، بلکه برعکس اعمال کنید، i.e. می توانید اعداد قبل از علامت لگاریتم را در خود لگاریتم وارد کنید. این چیزی است که اغلب مورد نیاز است.

وظیفه. مقدار عبارت log 7 49 6 را بیابید.

بیایید با توجه به فرمول اول از درجه در استدلال خلاص شویم:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

وظیفه. مقدار عبارت را پیدا کنید:
[شرح تصویر]

توجه داشته باشید که مخرج لگاریتمی است که پایه و آرگومان آن توان های دقیق هستند: 16 = 2 4 ; 49 = 72. ما داریم:

[شرح تصویر]

فکر می کنم مثال آخر نیاز به توضیح دارد. لگاریتم ها کجا رفته اند؟ تا آخرین لحظه فقط با مخرج کار می کنیم. آنها پایه و استدلال لگاریتم ایستاده در آنجا را به صورت درجه ارائه کردند و شاخص ها را بیرون آوردند - آنها یک کسری "سه طبقه" گرفتند.

حالا بیایید به کسر اصلی نگاه کنیم. صورت و مخرج عدد یکسانی دارند: log 2 7. از آنجایی که log 2 7 ≠ 0، می توانیم کسر را کاهش دهیم - 2/4 در مخرج باقی می ماند. با توجه به قواعد حساب، چهار را می توان به صورتگر منتقل کرد که انجام شد. نتیجه این است که: 2.

انتقال به یک پایه جدید

در مورد قوانین جمع و تفریق لگاریتم ها، من به طور خاص تأکید کردم که آنها فقط با پایه های مشابه کار می کنند. اگر پایه ها متفاوت باشد چه؟ اگر آنها قدرت های دقیق یکسان نباشند چه؟

فرمول های انتقال به یک پایگاه جدید به کمک می آیند. ما آنها را در قالب یک قضیه تنظیم می کنیم:

اجازه دهید لگاریتم ثبت شود آ ایکس. سپس برای هر عددی جبه طوری که ج> 0 و ج≠ 1، برابری درست است:
[شرح تصویر]
به ویژه اگر قرار دهیم ج = ایکس، ما گرفتیم:
[شرح تصویر]

از فرمول دوم برمی‌آید که امکان مبادله مبنا و آرگومان لگاریتم وجود دارد، اما در این حالت کل عبارت «برگردانده می‌شود»، یعنی. لگاریتم در مخرج است.

این فرمول ها به ندرت در معمولی یافت می شوند عبارات عددی. ارزیابی راحت بودن آنها فقط هنگام حل معادلات لگاریتمی و نابرابری ها امکان پذیر است.

با این حال، وظایفی وجود دارد که به هیچ وجه نمی توان آنها را حل کرد، مگر با حرکت به یک پایه جدید. بیایید چند مورد از این موارد را در نظر بگیریم:

وظیفه. مقدار عبارت را پیدا کنید: log 5 16 log 2 25.

توجه داشته باشید که آرگومان های هر دو لگاریتم توان های دقیق هستند. بیایید نشانگرها را برداریم: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

حالا بیایید لگاریتم دوم را برگردانیم:

[شرح تصویر]

از آنجایی که حاصلضرب از جایگشت عوامل تغییر نمی کند، ما با آرامش چهار و دو را ضرب کردیم و سپس لگاریتم ها را فهمیدیم.

وظیفه. مقدار عبارت: log 9 100 lg 3 را بیابید.

مبنا و آرگومان لگاریتم اول توان های دقیق هستند. بیایید آن را بنویسیم و از شر شاخص ها خلاص شویم:

[شرح تصویر]

حالا بیایید با حرکت به یک پایه جدید از شر لگاریتم اعشاری خلاص شویم:

[شرح تصویر]

هویت لگاریتمی پایه

اغلب در فرآیند حل، لازم است یک عدد به عنوان لگاریتم به یک پایه معین نشان داده شود. در این مورد، فرمول ها به ما کمک می کنند:

در مورد اول، شماره nبیانگر استدلال می شود. عدد nمی تواند مطلقاً هر چیزی باشد، زیرا فقط مقدار لگاریتم است.

فرمول دوم در واقع یک تعریف بازنویسی شده است. به آن هویت لگاریتمی پایه می گویند.

در واقع، چه اتفاقی خواهد افتاد اگر تعداد ببالا بردن به قدرت به طوری که بتا این حد یک عدد می دهد آ? درست است: این همان عدد است آ. این پاراگراف را دوباره با دقت بخوانید - بسیاری از مردم روی آن "آویزان" هستند.

مانند فرمول های جدید تبدیل پایه، هویت لگاریتمی پایه گاهی تنها راه حل ممکن است.

وظیفه. مقدار عبارت را پیدا کنید:
[شرح تصویر]

توجه داشته باشید که log 25 64 = log 5 8 - فقط مربع را از پایه و آرگومان لگاریتم خارج کرد. با توجه به قوانین ضرب توان با همان پایه، ما گرفتیم:

[شرح تصویر]

اگر کسی نمی داند، این یک کار واقعی از امتحان بود :)

واحد لگاریتمی و صفر لگاریتمی

در پایان، من دو هویت را ارائه خواهم داد که به سختی می توان آنها را ویژگی نامید - بلکه اینها پیامدهای تعریف لگاریتم هستند. آنها دائماً در مشکلات یافت می شوند و در کمال تعجب حتی برای دانش آموزان "پیشرفته" نیز مشکل ایجاد می کنند.

ورود به سیستم آ آ= 1 واحد لگاریتمی است. یک بار برای همیشه به یاد داشته باشید: لگاریتم به هر پایه آاز این پایه خود برابر با یک است.
ورود به سیستم آ 1 = 0 صفر لگاریتمی است. پایه آمی تواند هر چیزی باشد، اما اگر آرگومان یک باشد، لگاریتم صفر است! زیرا آ 0 = 1 نتیجه مستقیم این تعریف است.

این همه خواص است. حتما تمرین کنید که آنها را عملی کنید! برگه تقلب را در ابتدای درس دانلود کرده و پرینت بگیرید و مشکلات را حل کنید.

امروز در مورد آن صحبت خواهیم کرد فرمول های لگاریتمیو نمایش دهد نمونه های راه حل.

آنها به خودی خود الگوهای حل را مطابق با ویژگی های اصلی لگاریتم ها نشان می دهند. قبل از اعمال فرمول های لگاریتمی برای حل، ابتدا تمام ویژگی ها را برای شما یادآوری می کنیم:

حال بر اساس این فرمول ها (خواص) نشان می دهیم نمونه هایی از حل لگاریتم.

نمونه هایی از حل لگاریتم بر اساس فرمول.

لگاریتمیک عدد مثبت b در پایه a (به log a b نشان داده می شود) توانی است که a باید به آن افزایش یابد تا b به دست آید، با b > 0، a > 0 و 1.

طبق تعریف log a b = x که معادل a x = b است، بنابراین log a x = x.

لگاریتم ها، مثال ها:

log 2 8 = 3، زیرا 2 3 = 8

log 7 49 = 2 زیرا 7 2 = 49

log 5 1/5 = -1، زیرا 5 -1 = 1/5

لگاریتم اعشارییک لگاریتم معمولی است که پایه آن 10 است. با lg نشان داده می شود.

log 10 100 = 2 زیرا 10 2 = 100

لگاریتم طبیعی- همچنین لگاریتم لگاریتم معمولی، اما در حال حاضر با پایه e (e \u003d 2.71828 ... - عدد گنگ). به عنوان ln.

مطلوب است که فرمول ها یا خواص لگاریتم ها را به خاطر بسپاریم، زیرا بعداً هنگام حل لگاریتم، معادلات لگاریتمی و نابرابری ها به آنها نیاز خواهیم داشت. بیایید هر فرمول را دوباره با مثال ها بررسی کنیم.

هویت لگاریتمی پایه
a log a b = b
8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9
لگاریتم حاصلضرب برابر است با مجموع لگاریتم ها
log a (bc) = log a b + log a c
log 3 8.1 + log 3 10 = log 3 (8.1*10) = log 3 81 = 4
لگاریتم ضریب برابر است با اختلاف لگاریتم ها
log a (b/c) = log a b - log a c
9 log 5 50 / 9 log 5 2 = 9 log 5 50- log 5 2 = 9 log 5 25 = 9 2 = 81
ویژگی های درجه یک عدد لگاریتمی و پایه لگاریتم
توان یک عدد لگاریتمی log a b m = mlog a b

نماگر پایه لگاریتم log a n b =1/n*log a b

log a n b m = m/n*log a b,

اگر m = n، log a n b n = log a b دریافت می کنیم

log 4 9 = log 2 2 3 2 = log 2 3
انتقال به یک پایه جدید
log a b = log c b / log c a,
اگر c = b، log b b = 1 را دریافت می کنیم

سپس log a b = 1/log b a

log 0.8 3*log 3 1.25 = log 0.8 3*log 0.8 1.25/log 0.8 3 = log 0.8 1.25 = log 4/5 5/4 = -1

همانطور که می بینید، فرمول های لگاریتمی آنقدرها که به نظر می رسد پیچیده نیستند. حال با در نظر گرفتن مثال هایی از حل لگاریتم، می توانیم به سراغ معادلات لگاریتمی برویم. نمونه هایی از حل معادلات لگاریتمی را با جزئیات بیشتری در مقاله بررسی خواهیم کرد: "". از دست ندهید!

اگر هنوز در مورد راه حل سؤالی دارید، آنها را در نظرات مقاله بنویسید.

توجه: تصمیم گرفتم به عنوان یک گزینه، تحصیل در کلاس دیگری را در خارج از کشور دریافت کنم.

در رابطه با

وظیفه یافتن هر یک از سه عدد از دو عدد دیگر را می توان تنظیم کرد. با توجه به a و سپس N با توان یافت می شود. اگر N داده شود و سپس a با استخراج ریشه توان x (یا توان) پیدا شود. حال این مورد را در نظر بگیرید که با توجه به a و N، لازم است x را پیدا کنید.

عدد N مثبت باشد: عدد a مثبت است و مساوی یک نیست: .

تعریف. لگاریتم عدد N به پایه a، توانی است که برای بدست آوردن عدد N باید a را افزایش دهید. لگاریتم با نشان داده می شود

بنابراین، در برابری (26.1)، توان به عنوان لگاریتم N به پایه a یافت می شود. ورودی های

دارند هم معنی. برابری (26.1) گاهی اوقات هویت اصلی نظریه لگاریتم نامیده می شود. در واقع تعریف مفهوم لگاریتم را بیان می کند. توسط این تعریفپایه لگاریتم a همیشه مثبت و متفاوت از وحدت است. عدد لگاریتمی N مثبت است. اعداد منفی و صفر لگاریتمی ندارند. می توان ثابت کرد که هر عددی با یک پایه معین، لگاریتمی کاملاً مشخص دارد. بنابراین برابری مستلزم آن است. توجه داشته باشید که شرط در اینجا ضروری است، در غیر این صورت نتیجه گیری توجیه نمی شود، زیرا برابری برای هر مقدار x و y صادق است.

مثال 1. پیدا کنید

راه حل. برای بدست آوردن عدد، باید پایه 2 را به توان برسانید بنابراین.

هنگام حل چنین مثال هایی می توانید به شکل زیر ضبط کنید:

مثال 2. پیدا کنید.

راه حل. ما داریم

در مثال های 1 و 2، ما به راحتی لگاریتم مورد نظر را با نمایش عدد لگاریتمی به عنوان درجه ای از مبنا با توان گویا پیدا کردیم. V مورد کلیبه عنوان مثال، برای غیره، این کار را نمی توان انجام داد، زیرا لگاریتم دارای یک مقدار غیر منطقی است. اجازه دهید به یک سوال مرتبط با این بیانیه توجه کنیم. در § 12 مفهوم امکان تعیین هر توان واقعی یک عدد مثبت داده شده را ارائه کردیم. این برای معرفی لگاریتم ها، که به طور کلی، می توانند اعداد غیر منطقی باشند، ضروری بود.

برخی از خواص لگاریتم را در نظر بگیرید.

خاصیت 1. اگر عدد و مبنا مساوی باشند، لگاریتم برابر با یک است و برعکس، اگر لگاریتم برابر با یک باشد، عدد و مبنا مساوی هستند.

اثبات اجازه دهید با تعریف لگاریتم، ما داریم و از کجا

برعکس، اجازه دهید سپس با تعریف

خاصیت 2. لگاریتم وحدت به هر پایه برابر با صفر است.

اثبات با تعریف لگاریتم (قدرت صفر هر پایه مثبت برابر با یک است، به (10.1) مراجعه کنید). از اینجا

Q.E.D.

گزاره معکوس نیز درست است: اگر، پس N = 1. در واقع، ما داریم.

قبل از تدوین ملک بعدیبا لگاریتم، ما موافقیم که بگوییم دو عدد a و b در یک سمت یک عدد سوم c قرار دارند اگر هر دو بزرگتر از c یا کوچکتر از c باشند. اگر یکی از این اعداد بزرگتر از c و دیگری کوچکتر از c باشد، می گوییم که آنها در طرف مقابل c قرار دارند.

خاصیت 3. اگر عدد و مبنا در یک سمت واحد قرار گیرند، لگاریتم مثبت است. اگر عدد و مبنا در دو طرف وحدت قرار گیرند، لگاریتم منفی است.

اثبات خاصیت 3 بر این اساس استوار است که درجه a بزرگتر از یک است اگر پایه بزرگتر از یک و توان مثبت باشد یا پایه کوچکتر از یک و توان منفی باشد. اگر پایه بزرگتر از یک و توان منفی باشد یا پایه کوچکتر از یک و توان مثبت باشد، درجه کمتر از یک است.

چهار مورد باید در نظر گرفته شود:

ما خود را به تجزیه و تحلیل اولین آنها محدود می کنیم، خواننده بقیه را به تنهایی در نظر می گیرد.

اجازه دهید توان در برابری نه منفی باشد و نه برابر با صفر، بنابراین مثبت است، یعنی باید ثابت شود.

مثال 3. ببینید کدام یک از لگاریتم های زیر مثبت و کدام منفی هستند:

راه حل، الف) از آنجایی که عدد 15 و پایه 12 در یک سمت واحد قرار دارند.

ب) از آنجایی که 1000 و 2 در یک سمت واحد قرار دارند. در عین حال، ضروری نیست که پایه از عدد لگاریتمی بزرگتر باشد.

ج)، از آنجایی که 3.1 و 0.8 در دو طرف وحدت قرار دارند.

ز)؛ چرا؟

ه)؛ چرا؟

خواص زیر 4-6 اغلب قوانین لگاریتم نامیده می شوند: آنها با دانستن لگاریتم برخی از اعداد اجازه می دهند لگاریتم حاصلض، ضریب، درجه هر یک از آنها را بیابند.

خاصیت 4 (قانون لگاریتم محصول). لگاریتم حاصلضرب چند عدد مثبت در یک پایه معین برابر است با مجموع لگاریتم این اعداد در همان پایه.

اثبات بگذارید اعداد مثبت داده شود.

برای لگاریتم حاصل ضرب آنها، برابری (26.1) را برای تعریف لگاریتم می نویسیم:

از اینجا پیدا می کنیم

با مقایسه نماهای اولین و آخرین عبارت، برابری لازم را بدست می آوریم:

توجه داشته باشید که شرط ضروری است. لگاریتم حاصل ضرب دو اعداد منفیمنطقی است، اما در این مورد ما دریافت می کنیم

به طور کلی، اگر حاصل ضرب چند عامل مثبت باشد، لگاریتم آن برابر است با مجموع لگاریتم های ماژول های این عوامل.

خاصیت 5 (قانون لگاریتم ضریب). لگاریتم ضریبی از اعداد مثبت برابر است با اختلاف لگاریتم های تقسیم کننده و مقسوم علیه که در یک پایه گرفته شده اند. اثبات به طور مداوم پیدا کنید

Q.E.D.

خاصیت 6 (قاعده لگاریتم درجه). لگاریتم توان هر عدد مثبت برابر است با لگاریتم آن عدد ضربدر توان.

اثبات دوباره هویت اصلی (26.1) را برای شماره می نویسیم:

Q.E.D.

نتیجه. لگاریتم ریشه یک عدد مثبت برابر است با لگاریتم عدد ریشه تقسیم بر توان ریشه:

با ارائه چگونگی و استفاده از خاصیت 6 می توانیم صحت این نتیجه را اثبات کنیم.

مثال 4. لگاریتم به پایه a:

الف) (فرض می شود که همه مقادیر b، c، d، e مثبت هستند)؛

ب) (فرض می شود که ).

راه حل، الف) به راحتی می توان در این عبارت به توان های کسری منتقل شود:

بر اساس برابری های (26.5) - (26.7) اکنون می توانیم بنویسیم:

متوجه می‌شویم که عملیات ساده‌تری بر روی لگاریتم اعداد نسبت به خود اعداد انجام می‌شود: هنگام ضرب اعداد، لگاریتم‌های آنها اضافه می‌شود، وقتی تقسیم می‌شوند، تفریق می‌شوند و غیره.

به همین دلیل است که لگاریتم ها در عمل محاسباتی استفاده شده اند (به بخش 29 مراجعه کنید).

عمل معکوس لگاریتم را تقویت می گویند، یعنی: توانمندی عملی است که توسط آن خود این عدد توسط لگاریتم داده شده یک عدد پیدا می شود. در اصل، تقویت هیچ اقدام خاصی نیست: به بالا بردن پایه به یک قدرت خلاصه می شود ( برابر با لگاریتمشماره). اصطلاح «تقویت‌سازی» را می‌توان مترادف با واژه «توان‌سازی» دانست.

هنگام تقویت، لازم است از قوانین معکوس قواعد لگاریتم استفاده کنید: مجموع لگاریتم ها را با لگاریتم حاصلضرب، تفاوت لگاریتم ها با لگاریتم ضریب، و غیره را جایگزین کنید. به ویژه، اگر وجود دارد. هر عاملی در مقابل علامت لگاریتم باشد، سپس در هنگام تقویت باید به درجات نشانگر زیر علامت لگاریتم منتقل شود.

مثال 5. اگر معلوم است که N را پیدا کنید

راه حل. در رابطه با قاعده تقویت که ذکر شد، عوامل 2/3 و 1/3 که در مقابل نشانه های لگاریتم در سمت راست این تساوی قرار دارند، به توان های زیر علائم این لگاریتم ها منتقل می شوند. ما گرفتیم

اکنون اختلاف لگاریتم ها را با لگاریتم ضریب جایگزین می کنیم:

برای به دست آوردن آخرین کسر در این زنجیره برابری ها، کسر قبلی را از غیرعقلانی بودن مخرج رها کردیم (بخش 25).

خاصیت 7. اگر پایه بزرگتر از یک باشد، پس بیشتردارای لگاریتم بزرگتر (و عدد کوچکتر دارای یک لگاریتم کوچکتر) است، اگر پایه کمتر از یک باشد، عدد بزرگتر لگاریتم کوچکتری دارد (و عدد کوچکتر دارای یک لگاریتم بزرگتر).

این ویژگی همچنین به عنوان قاعده ای برای لگاریتم نابرابری ها فرموله می شود که هر دو قسمت آن مثبت هستند:

هنگام بردن لگاریتم نامساوی به پایه بزرگتر از یک، علامت نابرابری حفظ می شود و زمانی که لگاریتم را به پایه کمتر از یک می بریم، علامت نابرابری معکوس می شود (همچنین به مورد 80 مراجعه کنید).

اثبات بر اساس خواص 5 و 3 است. موردی را در نظر بگیرید که اگر، سپس و با گرفتن لگاریتم، به دست آوریم

(الف و N/M در یک سمت وحدت قرار دارند). از اینجا

در صورت زیر، خواننده خودش متوجه خواهد شد.