Vinogradov Mathematical Encyclopedia. Mathematical encyclopedia. Luma at bagong klasipikasyon ng matematika

Ang nilalaman ng artikulo

MATHS. Karaniwang binibigyang kahulugan ang matematika sa pamamagitan ng paglilista ng mga pangalan ng ilan sa mga tradisyonal na sangay nito. Una sa lahat, ito ay aritmetika, na tumatalakay sa pag-aaral ng mga numero, ang mga ugnayan sa pagitan nila at ang mga patakaran para sa pagtatrabaho sa mga numero. Ang mga katotohanan ng arithmetic ay bukas sa iba't ibang kongkretong interpretasyon; halimbawa, ang ratio na 2 + 3 = 4 + 1 ay tumutugma sa pahayag na ang dalawa at tatlong aklat ay gumagawa ng kasing dami ng mga aklat bilang apat at isa. Anumang kaugnayan tulad ng 2 + 3 = 4 + 1, i.e. tinatawag na abstract ang ugnayan sa pagitan ng purong matematikal na mga bagay na walang sanggunian sa anumang interpretasyon mula sa pisikal na mundo. Ang abstract na kalikasan ng matematika ay nagpapahintulot na magamit ito sa paglutas ng malawak na iba't ibang mga problema. Halimbawa, ang algebra, na tumatalakay sa mga operasyon sa mga numero, ay nagbibigay-daan sa iyong lutasin ang mga problema na higit pa sa aritmetika. Ang isang mas tiyak na sangay ng matematika ay geometry, ang pangunahing gawain kung saan ay ang pag-aaral ng mga sukat at hugis ng mga bagay. Ang kumbinasyon ng mga pamamaraang algebraic na may mga geometriko ay humahantong, sa isang banda, sa trigonometrya (orihinal na nakatuon sa pag-aaral ng mga geometric na tatsulok, at ngayon ay sumasaklaw sa mas malawak na hanay ng mga isyu), at sa kabilang banda, sa analytic geometry, kung saan Ang mga geometric na katawan at mga numero ay pinag-aaralan ng mga pamamaraang algebraic. Mayroong ilang mga sangay ng mas mataas na algebra at geometry na may mas mataas na antas ng abstraction at hindi nakikitungo sa pag-aaral ng mga ordinaryong numero at ordinaryong geometric figure; ang pinaka-abstract ng mga geometric na disiplina ay tinatawag na topology.

Ang pagsusuri sa matematika ay tumatalakay sa pag-aaral ng mga dami na nagbabago sa espasyo o oras, at umaasa sa dalawang pangunahing konsepto - function at limitasyon, na hindi matatagpuan sa higit pang elementarya na seksyon ng matematika. Sa una, ang mathematical analysis ay binubuo ng differential at integral calculus, ngunit kasama na ngayon ang iba pang mga seksyon.

Mayroong dalawang pangunahing bahagi ng matematika - purong matematika, kung saan ang diin ay sa deduktibong pangangatwiran, at inilapat na matematika. Ang terminong "applied mathematics" minsan ay tumutukoy sa mga sangay ng matematika na partikular na nilikha upang matugunan ang mga pangangailangan at pangangailangan ng agham, at kung minsan sa mga seksyon ng iba't ibang agham (physics, economics, atbp.) na gumagamit ng matematika bilang isang paraan ng paglutas kanilang mga gawain. Maraming karaniwang maling kuru-kuro tungkol sa matematika ang nagmumula sa pagkalito sa pagitan ng dalawang interpretasyong ito ng "inilapat na matematika". Ang aritmetika ay maaaring maging halimbawa ng inilapat na matematika sa unang kahulugan, at accounting sa pangalawa.

Taliwas sa popular na paniniwala, ang matematika ay patuloy na mabilis na umuunlad. Ang Mathematical Review ay naglalathala taun-taon ca. 8000 maikling buod ng mga artikulo na naglalaman ng mga pinakabagong resulta - bagong matematikal na katotohanan, bagong patunay ng mga lumang katotohanan, at kahit na impormasyon tungkol sa ganap na bagong mga larangan ng matematika. Ang kasalukuyang kalakaran sa edukasyon sa matematika ay upang ipakilala ang mga mag-aaral sa moderno, mas abstract na mga ideya sa matematika sa isang mas maagang yugto sa pagtuturo ng matematika. Tingnan din KASAYSAYAN NG MATHEMATICS. Ang matematika ay isa sa mga pundasyon ng sibilisasyon, ngunit kakaunti ang mga tao ang may ideya ng kasalukuyang kalagayan ng agham na ito.

Ang matematika ay dumaan sa napakalaking pagbabago sa nakalipas na daang taon, kapwa sa mga tuntunin ng paksa at pamamaraan ng pag-aaral. Sa artikulong ito, susubukan naming magbigay ng isang pangkalahatang ideya ng mga pangunahing yugto sa ebolusyon ng modernong matematika, ang mga pangunahing resulta na maaaring isaalang-alang, sa isang banda, isang pagtaas sa agwat sa pagitan ng dalisay at inilapat na matematika, at sa kabilang banda, isang kumpletong muling pag-iisip ng mga tradisyonal na larangan ng matematika.

PAG-UNLAD NG MATHEMATICAL METHOD

Ang pagsilang ng matematika.

Mga 2000 BC napansin na sa isang tatsulok na may mga gilid ng 3, 4 at 5 na mga yunit ng haba, ang isa sa mga anggulo ay katumbas ng 90 ° (pinadali ng pagmamasid na ito ang pagbuo ng tamang anggulo para sa mga praktikal na pangangailangan). Napansin mo ba noon ang kaugnayan 5 2 = 3 2 + 4 2 ? Wala kaming anumang impormasyon tungkol dito. Pagkalipas ng ilang siglo, natuklasan ang isang pangkalahatang tuntunin: sa anumang tatsulok ABC na may tamang anggulo sa itaas A at mga partido b = AC At c = AB, sa pagitan ng kung saan ang anggulong ito ay nakapaloob, at ang gilid sa tapat nito a = BC ang ratio a 2 = b 2 + c 2. Masasabing ang agham ay nagsisimula kapag ang isang masa ng mga indibidwal na obserbasyon ay ipinaliwanag ng isang pangkalahatang batas; kaya't ang pagtuklas ng "Pythagorean theorem" ay makikita bilang isa sa mga unang kilalang halimbawa ng isang tunay na tagumpay sa siyensya.

Ngunit ang mas mahalaga para sa agham sa pangkalahatan at para sa matematika sa partikular ay ang katotohanan na, kasama ang pagbabalangkas ng isang pangkalahatang batas, ang mga pagtatangka upang patunayan na ito ay lumitaw, i.e. ipakita na ito ay kinakailangang sumusunod mula sa iba pang mga geometric na katangian. Ang isa sa mga "patunay" sa Silangan ay partikular na graphic sa pagiging simple nito: apat na tatsulok na katumbas ng isang ibinigay na isa ay nakasulat sa isang parisukat BCDE tulad ng ipinapakita sa pagguhit. parisukat na lugar a Ang 2 ay nahahati sa apat na pantay na tatsulok na may kabuuang sukat na 2 bc at parisukat AFGH lugar ( b – c) 2 . Sa ganitong paraan, a 2 = (b – c) 2 + 2bc = (b 2 + c 2 – 2bc) + 2bc = b 2 + c 2. Ito ay nakapagtuturo upang magpatuloy ng isang hakbang at alamin nang mas tiyak kung aling mga "nakaraang" pag-aari ang dapat na malaman. Ang pinaka-halatang katotohanan ay na mula noong mga tatsulok BAC At BEF tiyak, nang walang mga puwang at magkakapatong, "nakabit" sa mga gilid BA At bf, na nangangahulugan na ang dalawang sulok sa vertices B At MULA SA sa isang tatsulok ABS magkasama ay bumubuo ng isang anggulo ng 90° at samakatuwid ang kabuuan ng lahat ng tatlong mga anggulo nito ay 90° + 90° = 180°. Ginagamit din ng "patunay" sa itaas ang formula ( bc/2) para sa lugar ng isang tatsulok ABC na may 90° anggulo sa itaas A. Sa katunayan, ang iba pang mga pagpapalagay ay ginamit din, ngunit kung ano ang sinabi ay sapat na upang malinaw nating makita ang mahalagang mekanismo ng mathematical proof - deductive reasoning, na nagpapahintulot sa paggamit ng mga lohikal na argumento (batay sa maayos na inihanda na materyal, sa ating halimbawa - paghahati ang parisukat) upang mahihinuha mula sa mga kilalang resulta ang mga bagong katangian, bilang panuntunan, ay hindi direktang sumusunod sa magagamit na data.

Axioms at pamamaraan ng patunay.

Ang isa sa mga pangunahing tampok ng pamamaraang matematika ay ang proseso ng paglikha, sa tulong ng maingat na binuo na puro lohikal na mga argumento, isang hanay ng mga pahayag kung saan ang bawat sunud-sunod na link ay konektado sa mga nauna. Ang unang medyo halatang pagsasaalang-alang ay ang anumang chain ay dapat may unang link. Ang sitwasyong ito ay naging halata sa mga Griyego nang simulan nilang i-systematize ang code ng mga argumentong matematika noong ika-7 siglo. BC. Ito ay kinuha ng mga Greeks approx. 200 taong gulang, at ang mga nakaligtas na dokumento ay nagbibigay lamang ng isang magaspang na ideya kung paano sila kumilos. Mayroon kaming tumpak na impormasyon lamang tungkol sa huling resulta ng pananaliksik - ang sikat Mga simula Euclid (c. 300 BC). Nagsisimula ang Euclid sa pamamagitan ng pag-enumerate ng mga unang posisyon, kung saan ang lahat ng iba ay hinuhusgahan sa isang lohikal na paraan. Ang mga probisyong ito ay tinatawag na mga axiom o postulates (ang mga termino ay halos mapagpapalit); ipinapahayag nila ang alinman sa napakapangkalahatan at medyo malabo na mga katangian ng mga bagay ng anumang uri, tulad ng "ang kabuuan ay mas malaki kaysa sa bahagi," o ilang partikular na katangiang matematika, tulad ng katotohanan na para sa alinmang dalawang punto ay mayroong isang tuwid na linya na nagkokonekta sa kanila. . Wala rin kaming anumang impormasyon tungkol sa kung ang mga Griyego ay nag-attach ng anumang mas malalim na kahulugan o kahalagahan sa "katotohanan" ng mga axiom, bagama't may ilang mga pahiwatig na tinalakay ng mga Griyego ang mga ito nang ilang panahon bago tanggapin ang ilang mga axiom. Sa Euclid at sa kanyang mga tagasunod, ang mga axiom ay ipinakita lamang bilang mga panimulang punto para sa pagbuo ng matematika, nang walang anumang komento sa kanilang kalikasan.

Tulad ng para sa mga pamamaraan ng patunay, sila, bilang isang patakaran, ay nabawasan sa direktang paggamit ng mga dati nang napatunayang theorems. Minsan, gayunpaman, ang lohika ng pangangatwiran ay naging mas kumplikado. Babanggitin natin dito ang paboritong paraan ni Euclid, na naging bahagi ng pang-araw-araw na pagsasanay ng matematika - hindi direktang patunay, o patunay sa pamamagitan ng kontradiksyon. Bilang isang elementarya na halimbawa ng patunay sa pamamagitan ng kontradiksyon, ipapakita namin na ang isang chessboard kung saan ang dalawang sulok na patlang ay pinutol, na matatagpuan sa magkabilang dulo ng dayagonal, ay hindi maaaring sakop ng mga domino, na ang bawat isa ay katumbas ng dalawang patlang. (Ipinapalagay na ang bawat parisukat ng chessboard ay dapat sakupin nang isang beses lamang.) Ipagpalagay na ang kabaligtaran ("kabaligtaran") na pahayag ay totoo, i.e. na ang tabla ay maaaring takpan ng mga domino. Sinasaklaw ng bawat tile ang isang itim at isang puting parisukat, kaya kahit saan ilagay ang mga domino, nasasaklawan ng mga ito ang pantay na bilang ng mga itim at puting parisukat. Gayunpaman, dahil naalis ang dalawang sulok na parisukat, ang chessboard (na orihinal na may kasing daming itim na parisukat gaya ng mga puting parisukat) ay may dalawa pang parisukat ng isang kulay kaysa sa mga parisukat ng kabilang kulay. Nangangahulugan ito na ang aming orihinal na palagay ay hindi maaaring totoo, dahil ito ay humahantong sa isang kontradiksyon. At dahil ang magkasalungat na mga proposisyon ay hindi maaaring maging mali sa parehong oras (kung ang isa sa mga ito ay mali, kung gayon ang kabaligtaran ay totoo), ang aming orihinal na palagay ay dapat na totoo, dahil ang magkasalungat na palagay ay mali; samakatuwid, ang isang chessboard na may dalawang cut-out na sulok na mga parisukat na inilagay sa pahilis ay hindi maaaring takpan ng mga domino. Kaya, upang patunayan ang isang tiyak na pahayag, maaari nating ipagpalagay na ito ay mali, at mahihinuha mula sa palagay na ito ang isang pagkakasalungatan sa ilang iba pang pahayag, na ang katotohanan ay nalalaman.

Ang isang mahusay na halimbawa ng patunay sa pamamagitan ng kontradiksyon, na naging isa sa mga milestone sa pag-unlad ng sinaunang Griyegong matematika, ay ang patunay na hindi isang rational na numero, i.e. hindi kinakatawan bilang isang fraction p/q, saan p At q- buong mga numero. Kung , pagkatapos ay 2 = p 2 /q 2 , saan p 2 = 2q 2. Ipagpalagay na mayroong dalawang integer p At q, para sa p 2 = 2q 2. Sa madaling salita, ipinapalagay namin na mayroong isang integer na ang parisukat ay dalawang beses ang parisukat ng isa pang integer. Kung ang anumang integer ay nakakatugon sa kundisyong ito, kung gayon ang isa sa mga ito ay dapat na mas mababa kaysa sa lahat ng iba pa. Tumutok tayo sa pinakamaliit sa mga numerong ito. Hayaan itong maging isang numero p. Mula noong 2 q Ang 2 ay isang even na numero at p 2 = 2q 2 , pagkatapos ay ang numero p 2 ay dapat na pantay. Dahil ang mga parisukat ng lahat ng mga kakaibang numero ay kakaiba, at ang parisukat p 2 ay pantay, kaya ang numero mismo p dapat maging pantay. Sa madaling salita, ang numero p dalawang beses ilang integer r. kasi p = 2r At p 2 = 2q 2, mayroon kaming: (2 r) 2 = 4r 2 = 2q 2 at q 2 = 2r 2. Ang huling pagkakapantay-pantay ay may parehong anyo ng pagkakapantay-pantay p 2 = 2q 2 , at maaari nating, ulitin ang parehong pangangatwiran, ipakita na ang bilang q ay pantay at mayroong ganoong integer s, Ano q = 2s. Ngunit pagkatapos q 2 = (2s) 2 = 4s 2 , at mula noon q 2 = 2r 2, napagpasyahan namin na 4 s 2 = 2r 2 o r 2 = 2s 2. Kaya nakakakuha tayo ng pangalawang integer na nakakatugon sa kondisyon na ang parisukat nito ay dalawang beses ang parisukat ng isa pang integer. Ngunit pagkatapos p hindi maaaring ang pinakamaliit na bilang (dahil r = p/2), bagaman sa una ay ipinapalagay namin na ito ang pinakamaliit sa mga bilang. Samakatuwid, ang aming orihinal na palagay ay mali, dahil ito ay humahantong sa isang kontradiksyon, at samakatuwid ay walang ganoong mga integer. p At q, para sa p 2 = 2q 2 (ibig sabihin, ganoon ). At nangangahulugan ito na ang bilang ay hindi maaaring maging makatwiran.

Mula sa Euclid hanggang sa simula ng ika-19 na siglo.

Sa panahong ito, malaki ang pagbabago sa matematika bilang resulta ng tatlong inobasyon.

(1) Sa kurso ng pagbuo ng algebra, isang paraan ng simbolikong notasyon ang naimbento, na naging posible upang kumatawan sa lalong kumplikadong mga ugnayan sa pagitan ng mga dami sa isang pinaikling anyo. Bilang halimbawa ng abala na lalabas kung walang ganoong "cursive writing", subukan nating ihatid sa mga salita ang ratio ( a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2: "Ang lugar ng isang parisukat na may gilid na katumbas ng kabuuan ng mga gilid ng dalawang ibinigay na mga parisukat ay katumbas ng kabuuan ng kanilang mga lugar kasama ng dalawang beses ang lugar ng isang parihaba na ang mga panig ay katumbas ng mga gilid ng ang ibinigay na mga parisukat."

(2) Paglikha sa unang kalahati ng ika-17 siglo. analytical geometry, na naging posible upang bawasan ang anumang problema ng classical geometry sa ilang algebraic na problema.

(3) Ang paglikha at pag-unlad sa pagitan ng 1600 at 1800 ng infinitesimal calculus, na naging posible upang madali at sistematikong malutas ang daan-daang mga problema na may kaugnayan sa mga konsepto ng limitasyon at pagpapatuloy, iilan lamang sa mga ito ang nalutas nang napakahirap ng sinaunang Griyego. mga mathematician. Ang mga sangay na ito ng matematika ay isinasaalang-alang nang mas detalyado sa mga artikulong ALGEBRA; ANALYTIC GEOMETRY ; MATHEMATICAL ANALYSIS ; HEOMETRI REVIEW.

Simula noong ika-17 siglo. unti-unting nililinaw ang tanong, na hanggang ngayon ay nanatiling hindi nareresolba. Ano ang matematika? Bago ang 1800 ang sagot ay sapat na simple. Sa oras na iyon, walang malinaw na mga hangganan sa pagitan ng iba't ibang mga agham, ang matematika ay bahagi ng "natural na pilosopiya" - ang sistematikong pag-aaral ng kalikasan sa pamamagitan ng mga pamamaraan na iminungkahi ng mga dakilang repormador ng Renaissance at unang bahagi ng ika-17 siglo. - Galileo (1564–1642), F. Bacon (1561–1626) at R. Descartes (1596–1650). Ito ay pinaniniwalaan na ang mga mathematician ay may sariling larangan ng pag-aaral - mga numero at geometric na bagay, at ang mga mathematician ay hindi gumamit ng eksperimentong pamamaraan. Gayunpaman, si Newton at ang kanyang mga tagasunod ay nag-aral ng mechanics at astronomy gamit ang axiomatic method, katulad ng paraan ng pagpapakita ng geometry ni Euclid. Sa pangkalahatan, kinikilala na ang anumang agham kung saan ang mga resulta ng isang eksperimento ay maaaring katawanin gamit ang mga numero o sistema ng mga numero ay nagiging lugar ng aplikasyon ng matematika (sa pisika, ang ideyang ito ay itinatag lamang noong ika-19 na siglo).

Ang mga lugar ng pang-eksperimentong agham na sumailalim sa pagpoproseso ng matematika ay madalas na tinutukoy bilang "inilapat na matematika"; ito ay isang napaka-kapus-palad na pangalan, dahil hindi sa pamamagitan ng klasiko o sa pamamagitan ng modernong mga pamantayan sa mga application na ito ay may (sa mahigpit na kahulugan) tunay na mga argumento sa matematika, dahil ang mga bagay na hindi pang-matematika ay ang paksa ng pag-aaral sa kanila. Kapag naisalin na ang eksperimental na data sa wika ng mga numero o equation (ang ganitong "pagsasalin" ay kadalasang nangangailangan ng mahusay na katalinuhan sa bahagi ng isang "inilapat" na matematiko), lilitaw ang posibilidad ng malawak na aplikasyon ng mga teorema sa matematika; ang resulta ay isinalin pabalik at inihambing sa mga obserbasyon. Ang katotohanan na ang terminong "matematika" ay inilapat sa isang proseso ng ganitong uri ay isa sa mga pinagmumulan ng walang katapusang hindi pagkakaunawaan. Sa "klasikal" na mga panahon na pinag-uusapan natin ngayon, ang ganitong uri ng hindi pagkakaunawaan ay hindi umiral, dahil ang parehong mga tao ay parehong "inilapat" at "purong" mathematician, sabay-sabay na nakikitungo sa mga problema ng mathematical analysis o number theory, at mga problema. ng dynamics o optika. Gayunpaman, ang pagtaas ng espesyalisasyon at ang pagkahilig na paghiwalayin ang mga "puro" at "inilapat" na mga mathematician ay makabuluhang nagpapahina sa dati nang umiiral na tradisyon ng pagiging pangkalahatan, at ang mga siyentipiko na, tulad ni J. von Neumann (1903–1957), ay nagawang magsagawa ng mga aktibong aktibidad na pang-agham kapwa sa inilapat at sa purong matematika, ay naging eksepsiyon sa halip na panuntunan.

Ano ang likas na katangian ng mga bagay sa matematika - mga numero, puntos, linya, anggulo, ibabaw, atbp., na kung saan ang pag-iral ay kinuha natin para sa ipinagkaloob? Ano ang ibig sabihin ng konsepto ng "katotohanan" kaugnay ng mga naturang bagay? Medyo tiyak na mga sagot ang ibinigay sa mga tanong na ito sa klasikal na panahon. Siyempre, malinaw na naunawaan ng mga siyentipiko noong panahong iyon na sa mundo ng ating mga sensasyon ay walang mga bagay tulad ng "walang katapusan na pinalawak na tuwid na linya" ni Euclid o "puntong walang sukat", tulad ng walang "mga purong metal", "monochromatic na ilaw." ", "heat-insulated system", atbp. .d., na pinapatakbo ng mga eksperimento sa kanilang pangangatwiran. Ang lahat ng mga konseptong ito ay "Platonic na mga ideya", i.e. isang uri ng mga generative na modelo ng mga empirical na konsepto, bagama't may kakaibang kalikasan. Gayunpaman, lihim na ipinapalagay na ang pisikal na "mga imahe" ng mga ideya ay maaaring magkalapit sa mga ideya mismo. Sa lawak na masasabi ang anumang bagay tungkol sa kalapitan ng mga bagay sa mga ideya, ang "mga ideya" ay sinasabing, wika nga, "naglilimita sa mga kaso" ng mga pisikal na bagay. Mula sa puntong ito ng pananaw, ang mga axioms ni Euclid at ang mga theorems na nagmula sa kanila ay nagpapahayag ng mga katangian ng "ideal" na mga bagay, na dapat tumutugma sa predictable experimental facts. Halimbawa, ang pagsukat sa pamamagitan ng mga optical na pamamaraan ng mga anggulo ng isang tatsulok na nabuo ng tatlong puntos sa espasyo, sa "ideal na kaso" ay dapat magbigay ng kabuuan na katumbas ng 180 °. Sa madaling salita, ang mga axiom ay inilalagay sa parehong antas ng mga pisikal na batas, at samakatuwid ang kanilang "katotohanan" ay nakikita sa parehong paraan tulad ng katotohanan ng mga pisikal na batas; mga. ang mga lohikal na kahihinatnan ng mga axiom ay napapailalim sa pagpapatunay sa pamamagitan ng paghahambing sa pang-eksperimentong data. Siyempre, ang kasunduan ay maaari lamang maabot sa loob ng mga limitasyon ng error na nauugnay sa parehong "di-perpekto" na katangian ng aparatong pagsukat at ang "hindi perpektong kalikasan" ng bagay na sinusukat. Gayunpaman, palaging ipinapalagay na kung ang mga batas ay "totoo", kung gayon ang mga pagpapabuti sa mga proseso ng pagsukat ay maaaring, sa prinsipyo, gawin ang error sa pagsukat na kasing liit ng ninanais.

Sa buong ika-18 siglo parami nang parami ang katibayan na ang lahat ng mga kahihinatnan na nagmula sa mga pangunahing axiom, lalo na sa astronomiya at mekanika, ay pare-pareho sa pang-eksperimentong data. At dahil ang mga kahihinatnan na ito ay nakuha gamit ang mathematical apparatus na umiral noong panahong iyon, ang mga tagumpay na nakamit ay nag-ambag sa pagpapalakas ng opinyon tungkol sa katotohanan ng mga axioms ni Euclid, na, tulad ng sinabi ni Plato, "malinaw sa lahat" at hindi napapailalim sa talakayan.

Mga pagdududa at bagong pag-asa.

Non-Euclidean geometry.

Sa mga postulate na ibinigay ni Euclid, ang isa ay hindi halata na kahit na ang mga unang mag-aaral ng dakilang matematiko ay itinuturing itong isang mahinang punto sa sistema. Nagsimula. Ang axiom na pinag-uusapan ay nagsasaad na sa pamamagitan ng isang puntong nakahiga sa labas ng isang naibigay na linya, isang linya lamang ang maaaring iguguhit parallel sa ibinigay na linya. Karamihan sa mga geometer ay naniniwala na ang axiom ng mga parallel ay mapapatunayan gamit ang iba pang mga axiom, at si Euclid ay nagbalangkas ng assertion ng mga parallel bilang isang postulate dahil lamang sa nabigo siyang makabuo ng gayong patunay. Ngunit, kahit na sinubukan ng pinakamahusay na mga matematiko na lutasin ang parallel na problema, wala sa kanila ang nagtagumpay na malampasan ang Euclid. Sa wakas, sa ikalawang kalahati ng ika-18 siglo. Ang mga pagtatangka ay ginawa upang patunayan ang postulate ng mga parallel ni Euclid sa pamamagitan ng kontradiksyon. Iminungkahi na ang parallel axiom ay mali. Sa isang priori, ang postulate ni Euclid ay maaaring lumabas na mali sa dalawang kaso: kung imposibleng gumuhit ng isang parallel na linya sa isang punto sa labas ng ibinigay na linya; o kung maraming magkatulad na linya ang maaaring iguhit sa pamamagitan nito. Ito ay lumabas na ang unang a priori na posibilidad ay pinasiyahan ng iba pang mga axiom. Ang pagkakaroon ng pinagtibay ng isang bagong axiom sa halip na ang tradisyunal na axiom tungkol sa mga parallel (na sa pamamagitan ng isang punto sa labas ng isang naibigay na linya, maraming mga linya parallel sa isang ibinigay na isa ay maaaring iguguhit), sinubukan ng mga mathematician na kumuha mula dito ng isang pahayag na sumasalungat sa iba pang mga axiom, ngunit nabigo: gaano man nila sinubukang kunin ang mga kahihinatnan mula sa bagong "anti-Euclidean" o "non-Euclidean" axiom, hindi lumitaw ang kontradiksyon. Sa wakas, hiwalay sa isa't isa, napagtanto nina NI Lobachevsky (1793–1856) at J. Bolyai (1802–1860) na ang postulate ni Euclid tungkol sa mga parallel ay hindi mapapatunayan, o, sa madaling salita, hindi lalabas ang isang kontradiksyon sa "hindi Euclidean geometry" .

Sa pagdating ng non-Euclidean geometry, maraming problemang pilosopikal ang agad na lumitaw. Dahil ang pag-angkin sa isang priori na pangangailangan ng mga axiom ay nawala, ang tanging paraan upang subukan ang kanilang "katotohanan" ay nanatili - sa eksperimentong paraan. Ngunit, gaya ng binanggit ni A. Poincaré (1854–1912), sa paglalarawan ng anumang kababalaghan ay napakaraming pisikal na pagpapalagay na nakatago na walang eksperimento ang makapagbibigay ng nakakumbinsi na patunay ng katotohanan o kamalian ng isang mathematical axiom. Bukod dito, kahit na ipagpalagay natin na ang ating mundo ay "hindi Euclidean", sumusunod ba ito na ang lahat ng geometry ng Euclidean ay mali? Sa pagkakaalam, walang mathematician ang nag-isip nang seryoso sa gayong haka-haka. Iminungkahi ng Intuition na ang parehong Euclidean at non-Euclidean geometries ay mga halimbawa ng ganap na matematika.

Mga halimaw sa matematika.

Sa hindi inaasahan, ang parehong mga konklusyon ay nagmula sa isang ganap na magkakaibang direksyon - natuklasan ang mga bagay na bumulusok sa mga mathematician noong ika-19 na siglo. nagulat at binansagang "math monsters". Ang pagtuklas na ito ay direktang nauugnay sa napaka banayad na mga tanong ng mathematical analysis na lumitaw lamang sa kalagitnaan ng ika-19 na siglo. Ang mga paghihirap ay lumitaw kapag sinusubukang makahanap ng eksaktong matematikal na analogue ng eksperimentong konsepto ng isang curve. Ano ang kakanyahan ng konsepto ng "patuloy na paggalaw" (halimbawa, ang dulo ng isang drawing pen na gumagalaw sa isang sheet ng papel) ay napapailalim sa tumpak na kahulugan ng matematika, at ang layuning ito ay nakamit nang ang konsepto ng pagpapatuloy ay nakakuha ng isang mahigpit na matematikal. ibig sabihin ( cm. din KURBA). Intuitively, tila ang "curve" sa bawat isa sa mga punto nito ay may, kumbaga, isang direksyon, i.e. sa pangkalahatang kaso, sa isang kapitbahayan ng bawat isa sa mga punto nito, ang kurba ay kumikilos halos sa parehong paraan bilang isang tuwid na linya. (Sa kabilang banda, madaling isipin na ang isang kurba ay may hangganan na bilang ng mga punto ng sulok, "kinks", tulad ng isang polygon.) Ang pangangailangang ito ay maaaring mabalangkas sa matematika, ibig sabihin, ang pagkakaroon ng isang tangent sa kurba ay ipinapalagay , at hanggang sa kalagitnaan ng ika-19 na siglo. pinaniniwalaan na ang "kurba" ay may tangent sa halos lahat ng mga punto nito, marahil maliban sa ilang "espesyal" na mga punto. Samakatuwid, ang pagtuklas ng "mga kurba" na walang tangent sa anumang punto ay nagdulot ng isang tunay na iskandalo ( cm. din TEORYANG FUNCTIONS). (Ang mambabasa na pamilyar sa trigonometry at analytic geometry ay madaling ma-verify na ang curve na ibinigay ng equation y = x kasalanan(1/ x), ay walang tangent sa pinanggalingan, ngunit ang pagtukoy ng curve na walang tangent sa alinman sa mga punto nito ay mas mahirap.)

Medyo mamaya, isang mas "pathological" na resulta ang nakuha: posible na bumuo ng isang halimbawa ng isang curve na ganap na pumupuno sa parisukat. Mula noon, daan-daang mga ganitong "halimaw" ang naimbento, taliwas sa "common sense". Dapat itong bigyang-diin na ang pagkakaroon ng gayong hindi pangkaraniwang mga bagay sa matematika ay sumusunod sa mga pangunahing axiom bilang mahigpit at lohikal na walang kamali-mali gaya ng pagkakaroon ng isang tatsulok o isang ellipse. Dahil ang mga "halimaw" sa matematika ay hindi maaaring tumutugma sa anumang bagay na pang-eksperimento, at ang tanging posibleng konklusyon ay ang mundo ng mga "ideya" sa matematika ay mas mayaman at mas hindi pangkaraniwan kaysa sa inaasahan ng isa, at kakaunti sa kanila ang may mga sulat sa mundo ng ating mga sensasyon. . Ngunit kung ang mathematical na "mga halimaw" ay lohikal na sumusunod mula sa mga axiom, kung gayon maaari pa rin bang ituring na totoo ang mga axiom?

Mga bagong bagay.

Ang mga resulta sa itaas ay nakumpirma mula sa ibang panig: sa matematika, pangunahin sa algebra, ang mga bagong bagay sa matematika ay nagsimulang lumitaw nang sunud-sunod, na mga generalization ng konsepto ng numero. Ang mga ordinaryong integer ay medyo "intuitive" at hindi mahirap makarating sa isang eksperimentong konsepto ng isang fraction (bagaman dapat aminin na ang operasyon ng paghahati ng isang yunit sa maraming pantay na bahagi at pagpili ng ilan sa mga ito ay likas na naiiba sa proseso. ng pagbibilang). Matapos maging malinaw na ang isang numero ay hindi maaaring katawanin bilang isang fraction, ang mga Griyego ay pinilit na isaalang-alang ang hindi makatwiran na mga numero, ang tamang kahulugan kung saan, gamit ang isang walang katapusang pagkakasunod-sunod ng mga pagtatantya sa pamamagitan ng mga makatwirang numero, ay nabibilang sa pinakamataas na tagumpay ng pag-iisip ng tao, ngunit halos hindi tumutugma sa anumang bagay na totoo sa ating pisikal na mundo (kung saan ang anumang pagsukat ay palaging napapailalim sa mga pagkakamali). Gayunpaman, ang pagpapakilala ng mga hindi makatwirang numero ay naganap nang higit pa o mas kaunti sa diwa ng "idealisasyon" ng mga pisikal na konsepto. Ngunit ano ang tungkol sa mga negatibong numero, na dahan-dahan, na nakakatugon sa mahusay na pagtutol, ay nagsimulang pumasok sa siyentipikong paggamit na may kaugnayan sa pag-unlad ng algebra? Maaari itong sabihin nang may buong katiyakan na walang handa na mga pisikal na bagay, simula kung saan maaari tayong bumuo ng konsepto ng isang negatibong numero gamit ang proseso ng direktang abstraction, at sa pagtuturo ng isang elementarya na kurso sa algebra kailangan nating ipakilala ang maraming auxiliary at medyo kumplikadong mga halimbawa (oriented na mga segment, temperatura, utang, atbp.) upang ipaliwanag kung ano ang mga negatibong numero. Ang posisyong ito ay napakalayo sa pagiging "malinaw sa lahat" gaya ng hinihingi ni Plato sa mga ideyang pinagbabatayan ng matematika, at karaniwan nang makatagpo ang mga nagtapos sa kolehiyo kung saan ang panuntunan ng mga palatandaan ay isang misteryo pa rin (- a)(–b) = ab. Tingnan din NUMBER .

Ang sitwasyon ay mas masahol pa sa mga "haka-haka", o "kumplikadong" mga numero, dahil may kasama silang "numero" i, ganyan i 2 = -1, na isang malinaw na paglabag sa panuntunan sa pag-sign. Gayunpaman, ang mga mathematician mula sa katapusan ng ika-16 na siglo. huwag mag-atubiling magsagawa ng mga kalkulasyon na may mga kumplikadong numero na parang "may kabuluhan" ang mga ito, bagaman 200 taon na ang nakalilipas hindi nila matukoy ang mga "bagay" na ito o mabigyang-kahulugan ang mga ito gamit ang anumang pantulong na konstruksyon, dahil, halimbawa, ang mga ito ay binibigyang kahulugan gamit ang mga nakadirekta na mga segment na negatibong numero . (Pagkatapos ng 1800, ilang mga interpretasyon ng mga kumplikadong numero ang iminungkahi, ang pinakasikat ay sa pamamagitan ng mga vector sa eroplano.)

modernong axiomatics.

Ang rebolusyon ay naganap sa ikalawang kalahati ng ika-19 na siglo. At kahit na hindi ito sinamahan ng pag-ampon ng mga opisyal na pahayag, sa katotohanan ito ay tungkol sa proklamasyon ng isang uri ng "deklarasyon ng kalayaan." Higit na partikular, tungkol sa proklamasyon ng isang de facto na deklarasyon ng kalayaan ng matematika mula sa labas ng mundo.

Mula sa puntong ito, ang mga "mga bagay" sa matematika, kung makatuwirang sabihin ang kanilang "pag-iral" sa lahat, ay mga dalisay na likha ng isip, at mayroon ba silang anumang "mga korespondensiya" at kung pinapayagan nila ang anumang "interpretasyon" sa pisikal na mundo, para sa matematika ay hindi mahalaga (bagaman ang tanong mismo ay kawili-wili).

Ang "Totoo" na mga pahayag tungkol sa naturang "mga bagay" ay lahat ng parehong lohikal na kahihinatnan mula sa mga axiom. Ngunit ngayon ang mga axiom ay dapat ituring na ganap na arbitraryo, at samakatuwid ay hindi na kailangan para sa kanila na maging "halata" o mababawas mula sa pang-araw-araw na karanasan sa pamamagitan ng "idealisasyon". Sa pagsasagawa, ang ganap na kalayaan ay nililimitahan ng iba't ibang pagsasaalang-alang. Siyempre, ang mga "klasikal" na bagay at ang kanilang mga axiom ay nananatiling hindi nagbabago, ngunit ngayon ay hindi na sila maituturing na tanging mga bagay at axiom ng matematika, at ang ugali ng pagtatapon o muling paggawa ng mga axiom upang posible itong magamit sa iba't ibang paraan, gaya ng ginawa sa panahon ng transisyon, ay pumasok sa pang-araw-araw na kasanayan.mula sa Euclidean hanggang non-Euclidean geometry. (Ito ay kung gaano karaming mga variant ng "non-Euclidean" na mga geometry maliban sa Euclidean geometry at Lobachevsky-Bolyai geometry ang nakuha; halimbawa, mayroong mga non-Euclidean geometry kung saan walang mga parallel na linya.)

Gusto kong bigyang-diin lalo na ang isang pangyayari na sumusunod mula sa bagong diskarte sa matematikal na "mga bagay": ang lahat ng mga patunay ay dapat na nakabatay lamang sa mga axiom. Kung aalalahanin natin ang kahulugan ng isang mathematical proof, kung gayon ang gayong pahayag ay maaaring magmukhang isang pag-uulit. Gayunpaman, ang panuntunang ito ay bihirang sinusunod sa klasikal na matematika dahil sa "intuitive" na katangian ng mga bagay o axiom nito. Kahit sa Mga simula Euclid, para sa lahat ng kanilang tila "kahigpitan", maraming mga axiom ay hindi malinaw na nabalangkas at maraming mga katangian ay alinman sa tahimik na ipinapalagay o ipinakilala nang walang sapat na katwiran. Upang mailagay ang Euclidean geometry sa isang matatag na pundasyon, kinakailangan ang isang kritikal na rebisyon sa mismong mga prinsipyo nito. Hindi na kailangang sabihin, ang pedantic na kontrol sa pinakamaliit na detalye ng patunay ay bunga ng paglitaw ng "mga halimaw" na nagturo sa mga modernong mathematician na maging maingat sa kanilang mga konklusyon. Ang pinaka-hindi nakapipinsala at "malinaw sa sarili" na pahayag tungkol sa mga klasikal na bagay, tulad ng pagsasabi na ang isang kurba na nag-uugnay sa mga punto na matatagpuan sa magkabilang panig ng isang tuwid na linya, ay kinakailangang mag-intersect sa tuwid na linya na ito, sa modernong matematika ay nangangailangan ng isang mahigpit na pormal na patunay.

Ito ay maaaring tila kabalintunaan upang sabihin na ito ay tiyak dahil sa kanyang pagsunod sa mga axiom na ang modernong matematika ay nagsisilbing isang malinaw na halimbawa ng kung ano ang anumang agham. Gayunpaman, ang pamamaraang ito ay naglalarawan ng isang katangian ng isa sa mga pinakapangunahing proseso ng siyentipikong pag-iisip - pagkuha ng tumpak na impormasyon sa isang sitwasyon ng hindi kumpletong kaalaman. Ang siyentipikong pag-aaral ng isang partikular na klase ng mga bagay ay nagmumungkahi na ang mga tampok na ginagawang posible na makilala ang isang bagay mula sa isa pa ay sadyang nakalimutan, at tanging ang mga pangkalahatang tampok ng mga bagay na isinasaalang-alang ang napanatili. Ang pinagkaiba ng matematika mula sa pangkalahatang hanay ng mga agham ay ang mahigpit na pagsunod sa programang ito sa lahat ng mga punto nito. Ito ay pinaniniwalaan na ang mga bagay sa matematika ay ganap na tinutukoy ng mga axiom na ginamit sa teorya ng mga bagay na ito; o, sa mga salita ni Poincaré, ang mga axiom ay nagsisilbing "mga depinisyon sa disguise" ng mga bagay na kanilang tinutukoy.

MODERNANG MATHEMATICS

Kahit na ang pagkakaroon ng anumang axioms ay theoretically posible, lamang ng isang maliit na bilang ng axioms ay iminungkahi at pinag-aralan sa ngayon. Karaniwan, sa kurso ng pagbuo ng isa o higit pang mga teorya, napansin na ang ilang mga scheme ng patunay ay paulit-ulit sa higit pa o hindi gaanong katulad na mga kondisyon. Matapos matuklasan ang mga pag-aari na ginamit sa pangkalahatang mga scheme ng mga patunay, ang mga ito ay nabuo sa anyo ng mga axiom, at ang mga kahihinatnan ng mga ito ay binuo sa isang pangkalahatang teorya na hindi direktang nauugnay sa mga tiyak na konteksto kung saan nakuha ang mga axiom. Ang mga pangkalahatang theorems kaya nakuha ay naaangkop sa anumang matematikal na sitwasyon kung saan mayroong mga sistema ng mga bagay na nagbibigay-kasiyahan sa kaukulang axioms. Ang pag-uulit ng parehong mga scheme ng patunay sa iba't ibang mga sitwasyon sa matematika ay nagpapahiwatig na tayo ay nakikitungo sa iba't ibang mga concretization ng parehong pangkalahatang teorya. Nangangahulugan ito na pagkatapos ng angkop na interpretasyon, ang mga axiom ng teoryang ito ay nagiging theorems sa bawat sitwasyon. Ang anumang ari-arian na hinuhusgahan mula sa mga axiom ay magiging totoo sa lahat ng mga sitwasyong ito, ngunit hindi na kailangan ng hiwalay na patunay para sa bawat kaso. Sa ganitong mga kaso, ang mga mathematical na sitwasyon ay sinasabing may parehong mathematical na "structure".

Ginagamit namin ang konsepto ng istraktura sa bawat hakbang sa aming pang-araw-araw na buhay. Kung ang thermometer ay bumabasa ng 10°C at hinuhulaan ng tanggapan ng pagtataya ang pagtaas ng temperatura na 5°C, inaasahan namin ang temperaturang 15°C nang walang anumang kalkulasyon. Kung ang aklat ay bubuksan sa pahina 10 at hihilingin sa amin na tumingin pa ng 5 pahina, hindi kami nag-aatubiling buksan ito sa ika-15 na pahina, nang hindi binibilang ang mga intermediate na pahina. Sa parehong mga kaso, naniniwala kami na ang pagdaragdag ng mga numero ay nagbibigay ng tamang resulta, anuman ang kanilang interpretasyon - sa anyo ng temperatura o mga numero ng pahina. Hindi namin kailangang matuto ng isang aritmetika para sa mga thermometer at isa pa para sa mga numero ng pahina (bagama't gumagamit kami ng isang espesyal na aritmetika para sa mga orasan, kung saan 8 + 5 = 1, dahil ang mga orasan ay may ibang istraktura kaysa sa mga pahina ng isang libro). Ang mga istruktura ng interes sa mga mathematician ay nakikilala sa pamamagitan ng isang medyo mas mataas na kumplikado, na madaling makita mula sa mga halimbawa, ang pagsusuri kung saan ay nakatuon sa susunod na dalawang seksyon ng artikulong ito. Ang isa sa mga ito ay tumatalakay sa teorya ng mga grupo at ang matematikal na konsepto ng mga istruktura at isomorphism.

Teorya ng pangkat.

Upang mas maunawaan ang prosesong binalangkas sa itaas, bigyan natin ng kalayaang tumingin sa laboratoryo ng modernong mathematician at masusing tingnan ang isa sa kanyang mga pangunahing kasangkapan - teorya ng grupo ( cm. din ALGEBRA ABSTRACT). Ang grupo ay isang koleksyon (o "set") ng mga bagay G, kung saan tinukoy ang isang operasyon na nag-uugnay ng anumang dalawang bagay o elemento a, b mula sa G, kinuha sa tinukoy na pagkakasunud-sunod (ang una ay ang elemento a, ang pangalawa ay ang elemento b), ang ikatlong elemento c mula sa G ayon sa isang mahigpit na tinukoy na tuntunin. Para sa kaiklian, tinutukoy namin ang elementong ito a*b; ang asterisk (*) ay nangangahulugang ang pagpapatakbo ng komposisyon ng dalawang elemento. Ang operasyong ito, na tatawagin nating group multiplication, ay dapat matugunan ang mga sumusunod na kundisyon:

(1) para sa anumang tatlong elemento a, b, c mula sa G ang pag-aari ng asosasyon ay nasiyahan: a* (b*c) = (a*b) *c;

(2) sa G may ganyang elemento e, na para sa anumang elemento a mula sa G may relasyon e*a = a*e = a; elementong ito e ay tinatawag na pagkakakilanlan o neutral na elemento ng grupo;

(3) para sa anumang elemento a mula sa G may ganyang elemento a¢, tinatawag na inverse o simetriko sa elemento a, Ano a*aў = aў* a = e.

Kung ang mga katangiang ito ay kukunin bilang mga axiom, kung gayon ang mga lohikal na kahihinatnan ng mga ito (independiyente sa anumang iba pang mga axiom o theorems) ay magkakasamang bumubuo ng karaniwang tinatawag na teorya ng grupo. Ang pagkakaroon ng mga kahihinatnan na ito minsan at para sa lahat ay napatunayang lubhang kapaki-pakinabang, dahil ang mga grupo ay malawakang ginagamit sa lahat ng sangay ng matematika. Sa libu-libong posibleng mga halimbawa ng mga grupo, pipili lang tayo ng ilan sa mga pinakasimple.

(a) Mga Fraction p/q, saan p At q ay mga di-makatwirang integer i1 (para sa q= 1 nakakakuha tayo ng mga ordinaryong integer). Mga Fraction p/q bumuo ng isang pangkat na may kinalaman sa pagpaparami ng pangkat ( p/q) *(r/s) = (pr)/(qs). Ang mga katangian (1), (2), (3) ay sumusunod mula sa mga axiom ng arithmetic. Talaga, [( p/q) *(r/s)] *(t/u) = (prt)/(qsu) = (p/q)*[(r/s)*(t/u)]. Ang elemento ng pagkakakilanlan ay ang numero 1 = 1/1, mula noong (1/1)*( p/q) = (1H p)/(1H q) = p/q. Panghuli, ang elemento ay inverse sa fraction p/q, ay isang fraction q/p, dahil ( p/q)*(q/p) = (pq)/(pq) = 1.

(b) Isaalang-alang bilang G set ng apat na integer 0, 1, 2, 3, at bilang a*b- natitira sa dibisyon a + b 4. Ang mga resulta ng operasyon na ipinakilala ay ipinakita sa Talahanayan. 1 (elemento a*b nakatayo sa intersection ng linya a at kolum b). Madaling suriin na ang mga katangian (1)–(3) ay nasiyahan, at ang numero 0 ay ang elemento ng yunit.

(c) Pinipili namin bilang G set ng mga numero 1, 2, 3, 4, at bilang a*b- natitira sa dibisyon ab(ordinaryong produkto) ng 5. Bilang resulta, nakukuha natin ang talahanayan. 2. Madaling suriin kung ang mga katangian (1)–(3) ay nasiyahan, at ang 1 ay ang elemento ng pagkakakilanlan.

(d) Apat na bagay, tulad ng apat na numero 1, 2, 3, 4, ay maaaring isaayos sa isang hilera sa 24 na paraan. Ang bawat lokasyon ay maaaring makita bilang isang pagbabagong nagsasalin ng "natural" na lokasyon sa isang ibinigay na lokasyon; halimbawa, ang lokasyon 4, 1, 2, 3 ay nakuha bilang resulta ng pagbabago

S: 1 ® 4, 2 ® 1, 3 ® 2, 4 ® 3,

na maaaring isulat sa mas maginhawang anyo

Para sa alinmang dalawang ganitong pagbabago S, T tutukuyin natin S*T bilang isang pagbabagong magreresulta mula sa sunud-sunod na pagpapatupad T, at pagkatapos S. Halimbawa, kung , pagkatapos . Sa ganitong kahulugan, lahat ng 24 na posibleng pagbabago ay bumubuo ng isang grupo; ang elemento ng pagkakakilanlan nito ay , at ang elemento ay kabaligtaran sa S, ay nakuha sa pamamagitan ng pagpapalit ng mga arrow sa kahulugan S sa kabaligtaran; halimbawa, kung , pagkatapos .

Madaling makita iyon sa unang tatlong halimbawa a*b = b*a; sa mga ganitong pagkakataon ang grupo o pagpaparami ng grupo ay sinasabing commutative. Sa kabilang banda, sa huling halimbawa , at samakatuwid T*S naiiba mula sa S*T.

Ang pangkat mula sa halimbawa (d) ay isang espesyal na kaso ng tinatawag na. symmetric group, na ang saklaw ng mga aplikasyon ay kinabibilangan, bukod sa iba pang mga bagay, mga pamamaraan para sa paglutas ng mga algebraic equation at ang pag-uugali ng mga linya sa spectra ng mga atom. Ang mga pangkat sa mga halimbawa (b) at (c) ay may mahalagang papel sa teorya ng numero; sa halimbawa (b) ang numero 4 ay maaaring palitan ng anumang integer n, at mga numero mula 0 hanggang 3 - mga numero mula 0 hanggang n– 1 (kailan n= 12 makuha namin ang sistema ng mga numero na nasa mukha ng orasan, tulad ng nabanggit namin sa itaas); sa halimbawa (c) ang numero 5 ay maaaring palitan ng anumang prime number R, at mga numero mula 1 hanggang 4 - mga numero mula 1 hanggang p – 1.

Mga istruktura at isomorphism.

Ang mga nakaraang halimbawa ay nagpapakita kung gaano pagkakaiba-iba ang katangian ng mga bagay na bumubuo sa isang pangkat. Ngunit sa katunayan, sa bawat kaso, ang lahat ay bumaba sa parehong senaryo: sa mga katangian ng isang hanay ng mga bagay, isinasaalang-alang lamang namin ang mga gumagawa ng set na ito sa isang grupo (ito ay isang halimbawa ng hindi kumpletong kaalaman!). Sa ganitong mga kaso, sinasabi namin na isinasaalang-alang namin ang isang istraktura ng pangkat na ibinigay ng aming napiling pagpaparami ng pangkat.

Ang isa pang halimbawa ng isang istraktura ay ang tinatawag na. kaayusan ng pagkakasunud-sunod. Maraming E pinagkalooban ng isang kaayusan ng kaayusan, o iniutos kung sa pagitan ng mga elemento a è b kabilang sa E, ang ilang kaugnayan ay ibinigay, na tinutukoy namin R (a,b). (Ang ganitong relasyon ay dapat magkaroon ng kahulugan para sa anumang pares ng mga elemento mula sa E, ngunit sa pangkalahatan ito ay mali para sa ilang mga pares at totoo para sa iba, halimbawa, ang kaugnayan 7

(1) R (a,a) ay totoo para sa bawat isa ngunit pag-aari ni E;

(2) labas R (a,b) At R (b,a) kasunod nito a = b;

(3) labas R (a,b) At R (b,c) dapat R (a,c).

Magbigay tayo ng ilang mga halimbawa mula sa isang malaking bilang ng iba't ibang mga order na set.

(ngunit) E binubuo ng lahat ng integer, R (a,b) ay ang kaugnayan " ngunit mas mababa sa o katumbas ng b».

(b) E binubuo ng lahat ng integer >1, R (a,b) ay ang kaugnayan " ngunit naghahati b o katumbas b».

Bilang huling halimbawa ng isang istraktura, binanggit namin ang istraktura ng isang sukatan na espasyo; tulad ng isang istraktura ay ibinigay sa set E, kung ang bawat pares ng mga elemento a At b kabilang sa E, maaari mong itugma ang numero d (a,b) i 0 nagbibigay-kasiyahan sa mga sumusunod na katangian:

(1) d (a,b) = 0 kung at kung lamang a = b;

(2) d (b,a) = d (a,b);

(3) d (a,c) Ј d (a,b) + d (b,c) para sa anumang tatlong ibinigay na elemento a, b, c mula sa E.

Magbigay tayo ng mga halimbawa ng mga metric space:

(a) ang karaniwang "three-dimensional" na espasyo, kung saan d (a,b) ay ang karaniwang (o "Euclidean") na distansya;

(b) ang ibabaw ng isang globo, kung saan d (a,b) ay ang haba ng pinakamaliit na arko ng isang bilog na nagdudugtong sa dalawang puntos a At b sa globo;

Ang eksaktong kahulugan ng konsepto ng istraktura ay medyo mahirap. Nang walang mga detalye, masasabi natin iyon sa set E ang isang istraktura ng isang tiyak na uri ay ibinibigay kung sa pagitan ng mga elemento ng set E(at kung minsan ang iba pang mga bagay, halimbawa, mga numero, na gumaganap ng isang pantulong na papel) ay ibinibigay na mga relasyon na nagbibigay-kasiyahan sa ilang nakapirming hanay ng mga axiom na nagpapakilala sa istruktura ng uri na isinasaalang-alang. Sa itaas ay nagbigay kami ng mga axiom ng tatlong uri ng mga istruktura. Siyempre, maraming iba pang mga uri ng mga istruktura na ang mga teorya ay ganap na binuo.

Maraming abstract na konsepto ang malapit na nauugnay sa konsepto ng istraktura; Pangalanan lamang natin ang isa sa pinakamahalaga - ang konsepto ng isomorphism. Alalahanin ang halimbawa ng mga pangkat (b) at (c) mula sa nakaraang seksyon. Madaling suriin iyon mula sa Tab. 1 sa mesa. 2 ay maaaring i-navigate gamit ang pagtutugma

0 ® 1, 1 ® 2, 2 ® 4, 3 ® 3.

Sa kasong ito, sinasabi namin na ang mga ibinigay na grupo ay isomorphic. Sa pangkalahatan, dalawang grupo G At Gў ay isomorphic kung nasa pagitan ng mga elemento ng pangkat G at mga elemento ng pangkat G¢ posibleng magtatag ng tulad ng isa-sa-isang sulat a « a¢ paano kung c = a*b, pagkatapos cў = aў* b¢ para sa mga kaugnay na elemento Gў. Anumang pahayag mula sa teorya ng grupo na totoo para sa isang grupo G, ay nananatiling wasto para sa grupo G¢, at kabaliktaran. Algebraically mga pangkat G At G¢ hindi makilala.

Madaling makikita ng mambabasa na sa eksaktong parehong paraan ay maaaring tukuyin ng isa ang dalawang isomorphic ordered set o dalawang isomorphic metric space. Maipapakita na ang konsepto ng isomorphism ay umaabot sa mga istruktura ng anumang uri.

PAG-UURI

Luma at bagong klasipikasyon ng matematika.

Ang konsepto ng istraktura at iba pang mga konsepto na nauugnay dito ay nakakuha ng isang sentral na lugar sa modernong matematika, kapwa mula sa isang purong "teknikal" at mula sa isang pilosopikal at metodolohikal na pananaw. Ang mga pangkalahatang teorema ng mga pangunahing uri ng mga istruktura ay nagsisilbing lubhang makapangyarihang mga kasangkapan ng matematikal na "teknikal". Sa tuwing ang isang matematiko ay nagtagumpay sa pagpapakita na ang mga bagay na kanyang pinag-aaralan ay nakakatugon sa mga axiom ng isang tiyak na uri ng istraktura, sa gayon ay pinatutunayan niya na ang lahat ng mga teorema ng teorya ng istraktura ng ganitong uri ay naaangkop sa mga partikular na bagay na kanyang pinag-aaralan (nang walang mga pangkalahatang teorema na ito, siya malamang na hindi makita ang kanilang mga partikular na variant o mapipilitang pasanin ang kanilang pangangatwiran ng mga hindi kinakailangang pagpapalagay). Katulad nito, kung ang dalawang istruktura ay napatunayang isomorphic, ang bilang ng mga theorem ay agad na dumoble: ang bawat teorama na napatunayan para sa isa sa mga istruktura ay agad na nagbibigay ng kaukulang teorama para sa isa pa. Hindi kataka-taka, samakatuwid, na mayroong napakasalimuot at mahirap na mga teorya, halimbawa, ang "class field theory" sa teorya ng numero, ang pangunahing layunin nito ay patunayan ang isomorphism ng mga istruktura.

Mula sa isang pilosopikal na pananaw, ang malawakang paggamit ng mga istruktura at isomorphism ay nagpapakita ng pangunahing tampok ng modernong matematika - ang katotohanan na ang "kalikasan" ng mga "bagay" sa matematika ay hindi mahalaga, tanging ang mga ugnayan sa pagitan ng mga bagay ay makabuluhan (isang uri ng ang prinsipyo ng hindi kumpletong kaalaman).

Sa wakas, imposibleng hindi banggitin na ang konsepto ng istraktura ay naging posible upang pag-uri-uriin ang mga seksyon ng matematika sa isang bagong paraan. Hanggang sa kalagitnaan ng ika-19 na siglo. magkaiba sila ayon sa paksa ng pag-aaral. Ang aritmetika (o teorya ng numero) ay tumatalakay sa mga buong numero, ang geometry ay tumatalakay sa mga linya, anggulo, polygon, bilog, lugar, at iba pa. Halos eksklusibo ang Algebra sa mga pamamaraan para sa paglutas ng mga numerical equation o sistema ng mga equation; ang analytic geometry ay nakabuo ng mga pamamaraan para sa pagbabago ng mga geometric na problema sa katumbas na algebraic na problema. Ang hanay ng mga interes ng isa pang mahalagang sangay ng matematika, na tinatawag na "mathematical analysis", kasama ang pangunahin na differential at integral calculus at ang iba't ibang aplikasyon ng mga ito sa geometry, algebra, at even number theory. Ang bilang ng mga application na ito ay tumaas, at ang kanilang kahalagahan ay tumaas din, na humantong sa paghahati ng mathematical analysis sa mga subsection: ang teorya ng mga function, differential equation (ordinary at partial derivatives), differential geometry, calculus of variations, atbp.

Para sa maraming modernong mathematician, ang pamamaraang ito ay nagpapaalala sa kasaysayan ng pag-uuri ng mga hayop ng mga unang naturalista: minsan ang pawikan at tuna ay itinuturing na isda dahil sila ay nabubuhay sa tubig at may mga katulad na katangian. Ang modernong diskarte ay nagturo sa amin upang makita hindi lamang kung ano ang namamalagi sa ibabaw, ngunit din upang tumingin ng mas malalim at subukang kilalanin ang mga pangunahing istruktura na nasa likod ng mapanlinlang na hitsura ng mga bagay sa matematika. Mula sa puntong ito, mahalagang pag-aralan ang pinakamahalagang uri ng mga istruktura. Hindi malamang na mayroon tayong kumpleto at tiyak na listahan ng mga ganitong uri; ang ilan sa mga ito ay natuklasan sa nakalipas na 20 taon, at mayroong lahat ng dahilan upang asahan ang higit pang mga pagtuklas sa hinaharap. Gayunpaman, mayroon na tayong ideya ng maraming pangunahing "abstract" na uri ng mga istruktura. (Ang mga ito ay "abstract" kung ihahambing sa "klasikal" na mga bagay ng matematika, kahit na ang mga iyon ay halos hindi matatawag na "konkreto"; ito ay isang bagay sa antas ng abstraction.)

Ang mga kilalang istruktura ay maaaring uriin ayon sa mga ugnayang nilalaman nito o ayon sa kanilang pagiging kumplikado. Sa isang banda, mayroong isang malawak na bloke ng mga istrukturang "algebraic", isang espesyal na kaso kung saan, halimbawa, isang istraktura ng grupo; bukod sa iba pang mga istrukturang algebraic ay pinangalanan namin ang mga singsing at mga patlang ( cm. din ALGEBRA ABSTRACT). Ang sangay ng matematika na may kinalaman sa pag-aaral ng mga istrukturang algebraic ay tinatawag na "modernong algebra" o "abstract na algebra" sa kaibahan sa kumbensyonal o klasikal na algebra. Ang isang mahalagang bahagi ng Euclidean geometry, non-Euclidean geometry at analytic geometry ay naging bahagi din ng bagong algebra.

Mayroong dalawang iba pang mga bloke ng mga istraktura sa parehong antas ng pangkalahatan. Ang isa sa kanila, na tinatawag na pangkalahatang topology, ay kinabibilangan ng mga teorya ng mga uri ng mga istruktura, isang partikular na kaso kung saan ay ang istraktura ng isang sukatan na espasyo ( cm. TOPOLOHIYA; abstract na mga puwang). Ang ikatlong bloke ay binubuo ng mga teorya ng mga istruktura ng pagkakasunud-sunod at ang kanilang mga extension. Ang "pagpapalawak" ng istraktura ay binubuo sa pagdaragdag ng mga bago sa mga umiiral na axiom. Halimbawa, kung idaragdag natin ang pag-aari ng commutativity sa mga axiom ng pangkat bilang ika-apat na axiom a*b = b*a, pagkatapos ay makuha namin ang istraktura ng isang commutative (o abelian) na pangkat.

Sa tatlong bloke na ito, ang huling dalawa hanggang kamakailan ay nasa relatibong stable na estado, at ang "modernong algebra" na bloke ay mabilis na lumalaki, minsan sa hindi inaasahang direksyon (halimbawa, isang buong sangay ang binuo, na tinatawag na "homological algebra"). Sa labas ng tinatawag. Ang mga "puro" na uri ng mga istruktura ay nasa isa pang antas - ang mga "halo-halong" istruktura, halimbawa, algebraic at topological, kasama ang mga bagong axiom na nag-uugnay sa kanila. Maraming mga ganitong kumbinasyon ang napag-aralan, karamihan sa mga ito ay nahahati sa dalawang malawak na bloke - "topological algebra" at "algebraic topology".

Kung pinagsama-sama, ang mga bloke na ito ay bumubuo ng isang napaka-solid na "abstract" na lugar ng agham sa mga tuntunin ng lakas ng tunog. Maraming mathematician ang umaasa na mas maunawaan ang mga klasikal na teorya at malutas ang mahihirap na problema gamit ang mga bagong tool. Sa katunayan, sa isang naaangkop na antas ng abstraction at generalization, ang mga problema ng mga sinaunang tao ay maaaring lumitaw sa isang bagong liwanag, na gagawing posible upang mahanap ang kanilang mga solusyon. Ang malalaking tipak ng klasikal na materyal ay naimpluwensiyahan ng bagong matematika at binago o pinagsama sa iba pang mga teorya. May nananatiling malalawak na lugar kung saan ang mga makabagong pamamaraan ay hindi pa gaanong nakapasok. Ang mga halimbawa ay ang teorya ng differential equation at isang makabuluhang bahagi ng number theory. Malaki ang posibilidad na ang makabuluhang pag-unlad sa mga lugar na ito ay makakamit pagkatapos matuklasan at maingat na pag-aralan ang mga bagong uri ng istruktura.

MGA KAHIRAP SA PILOSOPIKA

Kahit na ang mga sinaunang Griyego ay malinaw na naunawaan na ang isang matematikal na teorya ay dapat na malaya sa mga kontradiksyon. Nangangahulugan ito na imposibleng mahihinuha bilang isang lohikal na kahihinatnan mula sa mga axiom ang pahayag R at ang pagtanggi nito P. Gayunpaman, dahil pinaniniwalaan na ang mga bagay sa matematika ay may mga sulat sa totoong mundo, at ang mga axiom ay "idealizations" ng mga batas ng kalikasan, walang sinuman ang nag-alinlangan tungkol sa pagkakapare-pareho ng matematika. Sa paglipat mula sa klasikal na matematika tungo sa modernong matematika, ang problema ng pagkakapare-pareho ay nakakuha ng ibang kahulugan. Ang kalayaang pumili ng mga axiom ng anumang teorya sa matematika ay dapat na malinaw na limitado ng kondisyon ng pagkakapare-pareho, ngunit posible bang makatiyak na ang kundisyong ito ay masisiyahan?

Nabanggit na natin ang konsepto ng isang set. Ang konseptong ito ay palaging ginagamit nang higit o hindi gaanong tahasan sa matematika at lohika. Sa ikalawang kalahati ng ika-19 na siglo Ang mga panuntunan sa elementarya para sa pagharap sa konsepto ng isang set ay bahagyang na-systematize, bilang karagdagan, ang ilang mahahalagang resulta ay nakuha, na nabuo ang nilalaman ng tinatawag na. set theory ( cm. din SET THEORY), na naging, kumbaga, ang substratum ng lahat ng iba pang teoryang matematika. Mula noong unang panahon hanggang ika-19 na siglo. may mga takot tungkol sa mga walang katapusang set, halimbawa, na makikita sa mga sikat na kabalintunaan ni Zeno ng Elea (ika-5 siglo BC). Ang mga takot na ito ay bahagyang metapisiko, at bahagyang dahil sa mga paghihirap na nauugnay sa konsepto ng pagsukat ng mga dami (halimbawa, haba o oras). Ito ay pagkatapos lamang ng ika-19 na siglo na ang mga paghihirap na ito ay inalis. ang mga pangunahing konsepto ng mathematical analysis ay mahigpit na tinukoy. Sa pamamagitan ng 1895, ang lahat ng mga takot ay dispelled, at tila na ang matematika ay nagpahinga sa hindi matitinag na pundasyon ng set theory. Ngunit sa susunod na dekada, lumitaw ang mga bagong argumento na tila nagpapakita ng likas na hindi pagkakapare-pareho ng set theory (at lahat ng iba pang matematika).

Ang mga bagong kabalintunaan ay napakasimple. Ang una sa mga ito - ang kabalintunaan ni Russell - ay maaaring isaalang-alang sa isang simpleng bersyon, na kilala bilang "kabalintunaan ng barbero". Sa isang bayan, inaahit ng barbero ang lahat ng mga naninirahan na hindi nag-aahit sa kanilang sarili. Sino mismo ang nag-ahit ng barbero? Kung ang isang barbero ay nag-ahit sa kanyang sarili, kung gayon siya ay nag-ahit hindi lamang sa mga naninirahan na hindi nag-ahit sa kanilang sarili, kundi pati na rin sa isang naninirahan na nag-ahit sa kanyang sarili; kung hindi siya mag-ahit sa kanyang sarili, kung gayon hindi niya inaahit ang lahat ng mga naninirahan sa bayan na hindi nag-ahit sa kanilang sarili. Ang isang kabalintunaan ng ganitong uri ay lumitaw kapag ang konsepto ng "set ng lahat ng hanay" ay isinasaalang-alang. Bagama't ang bagay na ito sa matematika ay tila napakanatural, ang pangangatwiran tungkol dito ay mabilis na humahantong sa mga kontradiksyon.

Ang kabalintunaan ni Berry ay lalong nagbubunyag. Isaalang-alang ang hanay ng lahat ng mga pariralang Ruso na naglalaman ng hindi hihigit sa labimpitong salita; ang bilang ng mga salita sa wikang Ruso ay may hangganan, kaya ang bilang ng naturang mga parirala ay may hangganan din. Pinipili namin sa kanila ang mga natatanging tumutukoy sa ilang integer, halimbawa: "Ang pinakamalaking kakaibang numero na mas mababa sa sampu." Ang bilang ng mga naturang parirala ay may hangganan din; dahil dito, ang hanay ng mga integer na kanilang tinukoy ay may hangganan din. Tukuyin ang isang may hangganang hanay ng mga numerong ito sa pamamagitan ng D. Ito ay sumusunod mula sa axioms ng arithmetic na may mga integer na hindi nabibilang D, at sa mga bilang na ito ay mayroong pinakamaliit na bilang n. Itong numero n ay natatanging tinukoy ng parirala: "Ang pinakamaliit na integer na hindi matutukoy ng isang pariralang binubuo ng hindi hihigit sa labimpitong salitang Ruso." Ngunit ang pariralang ito ay naglalaman ng eksaktong labimpitong salita. Samakatuwid, tinutukoy nito ang numero n, na dapat ay pag-aari D, at dumating tayo sa isang kabalintunaan na kontradiksyon.

Mga Intuitionist at Formalista.

Ang pagkabigla na dulot ng mga kabalintunaan ng set theory ay nagbunga ng iba't ibang reaksyon. Ang ilang mga mathematician ay lubos na determinado at nagpahayag ng opinyon na ang matematika ay nabuo sa maling direksyon mula pa sa simula at dapat na nakabatay sa isang ganap na naiibang pundasyon. Hindi posible na ilarawan ang punto ng pananaw ng gayong mga "intuitionist" (tulad ng sinimulan nilang tawagan ang kanilang sarili) nang may anumang katumpakan, dahil tumanggi silang bawasan ang kanilang mga pananaw sa isang lohikal na pamamaraan. Mula sa pananaw ng mga intuitionist, mali ang paglalapat ng mga lohikal na proseso sa mga bagay na hindi intuitively representable. Ang tanging intuitively malinaw na mga bagay ay natural na mga numero 1, 2, 3,... at may hangganan na mga hanay ng mga natural na numero, "built" ayon sa eksaktong ibinigay na mga panuntunan. Ngunit kahit sa gayong mga bagay, hindi pinahintulutan ng mga intuitionist na mailapat ang lahat ng pagbabawas ng klasikal na lohika. Halimbawa, hindi nila nakilala iyon para sa anumang pahayag R totoo man R, o hindi- R. Sa ganitong limitadong paraan sa kanilang pagtatapon, madali nilang naiwasan ang "mga kabalintunaan", ngunit sa paggawa nito ay itinapon nila sa dagat hindi lamang ang lahat ng modernong matematika, kundi pati na rin ang isang makabuluhang bahagi ng mga resulta ng klasikal na matematika, at para sa mga nananatili pa rin, bago, mas kumplikadong mga patunay ang kailangang matagpuan.

Ang napakalaking mayorya ng mga modernong mathematician ay hindi sumang-ayon sa mga argumento ng mga intuitionist. Napansin ng mga non-intuitionist na mathematician na ang mga argumentong ginamit sa mga kabalintunaan ay malaki ang pagkakaiba sa mga ginagamit sa ordinaryong gawaing matematika na may set theory, at samakatuwid ang mga naturang argumento ay dapat na ipasiya bilang ilegal nang hindi nakompromiso ang mga umiiral na teorya sa matematika. Ang isa pang obserbasyon ay na sa "naive" set theory na umiral bago ang pagdating ng "paradoxes", ang kahulugan ng mga terminong "set", "property", "relation" ay hindi kinuwestiyon - tulad ng sa classical geometry ang "intuitive" likas na katangian ng mga ordinaryong geometric na konsepto. Dahil dito, ang isa ay maaaring magpatuloy sa parehong paraan tulad ng sa geometry, ibig sabihin, upang itapon ang lahat ng mga pagtatangka na mag-apela sa "intuition" at kunin bilang panimulang punto ng set theory ang isang sistema ng mga tiyak na nabuong axioms. Gayunpaman, hindi halata kung paano maaaring alisin ang mga salitang gaya ng "pag-aari" o "relasyon" sa kanilang karaniwang kahulugan; gayunpaman dapat itong gawin kung nais nating ibukod ang mga argumento tulad ng kabalintunaan ni Berry. Ang pamamaraan ay binubuo sa pag-iwas sa paggamit ng ordinaryong wika sa pagbabalangkas ng mga axiom o theorems; ang mga pangungusap lamang na binuo ayon sa isang tahasang sistema ng mahigpit na mga tuntunin ang pinapayagan bilang "mga katangian" o "relasyon" sa matematika at pumasok sa pagbabalangkas ng mga axiom. Ang prosesong ito ay tinatawag na "formalization" ng matematikal na wika (upang maiwasan ang mga hindi pagkakaunawaan na nagmumula sa mga kalabuan ng ordinaryong wika, inirerekumenda na magpatuloy ng isang hakbang at palitan ang mga salita mismo ng mga espesyal na character sa mga pormal na pangungusap, halimbawa, palitan ang connective. "at" na may simbolong &, ang nag-uugnay na "o" - na may simbolong Ъ, "umiiral" na may simbolo na $, atbp.). Ang mga mathematician na tumanggi sa mga pamamaraan na iminungkahi ng mga intuitionist ay tinawag na "mga pormalista."

Gayunpaman, ang orihinal na tanong ay hindi nasagot. Ang "axiomatic set theory" ba ay malaya sa mga kontradiksyon? Ang mga bagong pagtatangka upang patunayan ang pagkakapare-pareho ng "pormal" na mga teorya ay ginawa noong 1920s ni D. Hilbert (1862-1943) at ng kanyang paaralan at tinawag na "metamathematics". Sa esensya, ang metamathematics ay isang sangay ng "applied mathematics" kung saan ang mga bagay kung saan inilalapat ang mathematical reasoning ay ang mga proposisyon ng isang pormal na teorya at ang kanilang lokasyon sa loob ng mga patunay. Ang mga pangungusap na ito ay dapat ituring lamang bilang mga materyal na kumbinasyon ng mga simbolo na ginawa ayon sa ilang itinatag na mga tuntunin, nang walang anumang pagtukoy sa posibleng "kahulugan" ng mga simbolong ito (kung mayroon man). Ang isang laro ng chess ay maaaring magsilbi bilang isang magandang pagkakatulad: ang mga simbolo ay tumutugma sa mga piraso, mga pangungusap sa iba't ibang posisyon sa pisara, at mga hinuha sa mga panuntunan para sa mga gumagalaw na piraso. Upang maitatag ang pagkakapare-pareho ng isang pormal na teorya, sapat na upang ipakita na sa teoryang ito, walang patunay na nagtatapos sa pahayag na 0 Hindi. isang matematikal na teorya; kung ang matematika ay hindi pare-pareho, ang matematikal na mga argumento ay mawawala ang lahat ng puwersa, at tayo ay nasa isang sitwasyon ng isang mabisyo na bilog. Upang sagutin ang mga pagtutol na ito, pinahintulutan ni Hilbert na gamitin sa metamathematics ang napakalimitadong pangangatwiran sa matematika ng uri na itinuturing ng mga intuitionist na katanggap-tanggap. Gayunpaman, sa lalong madaling panahon ipinakita ni K. Godel (1931) na ang pagkakapare-pareho ng aritmetika ay hindi maaaring patunayan sa pamamagitan ng mga limitadong paraan kung ito ay talagang pare-pareho (ang saklaw ng artikulong ito ay hindi nagpapahintulot sa amin na ipakita ang mapanlikhang pamamaraan kung saan ang kahanga-hangang resulta ay nakuha, at ang kasunod na kasaysayan ng metamathematics).

Ang pagbubuod ng kasalukuyang problemang sitwasyon mula sa isang pormalistang pananaw, dapat nating aminin na ito ay malayo pa. Ang paggamit ng konsepto ng isang set ay nalimitahan ng mga reserbasyon na sadyang ipinakilala upang maiwasan ang mga kilalang kabalintunaan, at walang mga garantiya na ang mga bagong kabalintunaan ay hindi lilitaw sa isang axiomatized set theory. Gayunpaman, ang mga limitasyon ng teorya ng axiomatic set ay hindi pumigil sa pagsilang ng mga bagong mabubuhay na teorya.

MATH AT ANG TOTOONG MUNDO

Sa kabila ng mga pag-aangkin ng kalayaan ng matematika, walang sinuman ang tatanggi na ang matematika at ang pisikal na mundo ay may kaugnayan sa isa't isa. Siyempre, ang matematikal na diskarte sa paglutas ng mga problema ng klasikal na pisika ay nananatiling wasto. Totoo rin na sa isang napakahalagang lugar ng matematika, lalo na sa teorya ng differential equation, ordinaryo at partial derivatives, ang proseso ng mutual enrichment ng physics at matematika ay medyo mabunga.

Ang matematika ay kapaki-pakinabang sa pagbibigay-kahulugan sa mga phenomena ng microworld. Gayunpaman, ang mga bagong "aplikasyon" ng matematika ay makabuluhang naiiba mula sa mga klasikal. Ang isa sa pinakamahalagang kasangkapan ng pisika ay naging teorya ng probabilidad, na dati ay ginamit pangunahin sa teorya ng pagsusugal at insurance. Ang mga bagay sa matematika na iniuugnay ng mga pisiko sa "mga estado ng atom" o "mga transisyon" ay napaka-abstract sa kalikasan at ipinakilala at pinag-aralan ng mga mathematician bago pa man dumating ang quantum mechanics. Dapat itong idagdag na pagkatapos ng mga unang tagumpay, lumitaw ang mga malubhang paghihirap. Nangyari ito sa panahong sinusubukan ng mga physicist na ilapat ang mga ideya sa matematika sa mas pinong aspeto ng quantum theory; gayunpaman, maraming physicist pa rin ang umaasa sa mga bagong matematikal na teorya, na naniniwalang makakatulong ang mga ito sa paglutas ng mga bagong problema.

Matematika - agham o sining?

Kahit na isama natin ang probability theory o mathematical logic sa "pure" na matematika, lumalabas na wala pang 50% ng mga kilalang resulta ng matematika ang kasalukuyang ginagamit ng ibang mga agham. Ano ang dapat nating isipin sa natitirang kalahati? Sa madaling salita, ano ang mga motibo sa likod ng mga larangan ng matematika na hindi nauugnay sa solusyon ng mga pisikal na problema?

Nabanggit na natin ang irrationality ng isang numero bilang tipikal na kinatawan ng ganitong uri ng theorems. Ang isa pang halimbawa ay ang theorem na pinatunayan ni J.-L. Lagrange (1736–1813). Halos walang mathematician na hindi tatawag sa kanya na "mahalaga" o "maganda." Ang theorem ni Lagrange ay nagsasaad na ang anumang integer na mas malaki sa o katumbas ng isa ay maaaring katawanin bilang kabuuan ng mga parisukat ng hindi hihigit sa apat na numero; halimbawa, 23 = 3 2 + 3 2 + 2 2 + 1 2 . Sa kasalukuyang estado ng mga gawain, hindi maiisip na ang resultang ito ay maaaring maging kapaki-pakinabang sa paglutas ng anumang pang-eksperimentong problema. Totoo na ang mga physicist ay nakikitungo sa mga integer nang mas madalas ngayon kaysa sa nakaraan, ngunit ang mga integer kung saan sila nagpapatakbo ay palaging limitado (sila ay bihirang lumampas sa ilang daan); samakatuwid, ang isang teorama tulad ng Lagrange ay maaari lamang maging "kapaki-pakinabang" kung ilalapat sa mga integer na hindi lalampas sa ilang hangganan. Ngunit sa sandaling paghigpitan natin ang pagbabalangkas ng theorem ni Lagrange, ito ay agad na titigil na maging interesado sa isang mathematician, dahil ang buong kaakit-akit na kapangyarihan ng theorem na ito ay nakasalalay sa pagiging angkop nito sa lahat ng integers. (Maraming proposisyon tungkol sa mga integer na maaaring masuri ng mga computer para sa napakalaking bilang; ngunit, hangga't walang makikitang pangkalahatang patunay, nananatiling hypothetical ang mga ito at walang interes sa mga propesyonal na mathematician.)

Ang pagtutok sa mga paksang malayo sa mga agarang aplikasyon ay hindi pangkaraniwan para sa mga siyentipiko na nagtatrabaho sa anumang larangan, ito man ay astronomy o biology. Gayunpaman, habang ang pang-eksperimentong resulta ay maaaring pinuhin at pagbutihin, ang mathematical proof ay palaging pinal. Kaya naman mahirap labanan ang tukso na tratuhin ang matematika, o hindi bababa sa bahagi nito na walang kinalaman sa "katotohanan", bilang isang sining. Ang mga problema sa matematika ay hindi ipinapataw mula sa labas, at, kung kukunin natin ang modernong punto ng view, tayo ay ganap na malaya sa pagpili ng materyal. Kapag sinusuri ang ilang gawaing matematika, ang mga mathematician ay walang "layunin" na pamantayan, at sila ay napipilitang umasa sa kanilang sariling "panlasa". Malaki ang pagkakaiba ng panlasa depende sa panahon, bansa, tradisyon at indibidwal. May mga moda at "paaralan" sa modernong matematika. Sa kasalukuyang panahon mayroong tatlong ganoong "paaralan" na para sa kaginhawahan ay tatawagin nating "classicism", "modernism" at "abstractionism". Upang mas maunawaan ang mga pagkakaiba sa pagitan ng mga ito, suriin natin ang iba't ibang pamantayan na ginagamit ng mga mathematician kapag sinusuri ang isang teorama o isang pangkat ng mga teorema.

(1) Ayon sa pangkalahatang opinyon, ang isang "maganda" na resulta sa matematika ay dapat na hindi mahalaga, i.e. hindi dapat isang halatang kahihinatnan ng mga axiom o dati nang napatunayang theorems; ilang bagong ideya ang dapat gamitin sa patunay, o ang mga lumang ideya ay dapat na mapanlikhang gamitin. Sa madaling salita, para sa isang mathematician, hindi ang resulta mismo ang mahalaga, ngunit ang proseso ng pagtagumpayan ng mga paghihirap na naranasan niya sa pagkuha nito.

(2) Anumang problema sa matematika ay may sariling kasaysayan, wika nga, "pedigree", na sumusunod sa parehong pangkalahatang pattern kung saan umuunlad ang kasaysayan ng anumang agham: pagkatapos ng mga unang tagumpay, maaaring lumipas ang isang tiyak na oras bago ang sagot sa tanong pose ay matatagpuan. Kapag ang isang desisyon ay natanggap, ang kuwento ay hindi nagtatapos doon, dahil ang mga kilalang proseso ng pagpapalawak at paglalahat ay nagsisimula. Halimbawa, ang Lagrange theorem na binanggit sa itaas ay humahantong sa tanong na kumakatawan sa anumang integer bilang isang kabuuan ng mga cube, kapangyarihan ng 4, 5, atbp. Ito ay kung paano lumitaw ang "Problema sa Waring", na hindi pa nakakatanggap ng pangwakas na solusyon. Gayundin, kung tayo ay mapalad, ang problemang ating nalutas ay lalabas na may kaugnayan sa isa o higit pang mga pangunahing istruktura, at ito naman, ay hahantong sa mga bagong problema na may kaugnayan sa mga istrukturang ito. Kahit na ang orihinal na teorya sa kalaunan ay "namamatay," ito ay may posibilidad na mag-iwan ng maraming buhay na mga shoots. Ang mga modernong mathematician ay nahaharap sa napakalaking pagkakalat ng mga problema na, kahit na ang lahat ng koneksyon sa eksperimental na agham ay nagambala, ang kanilang solusyon ay aabutin ng ilang higit pang mga siglo.

(3) Bawat mathematician ay sasang-ayon na kapag ang isang bagong problema ay ipinakita sa kanya, ito ay kanyang tungkulin na lutasin ito sa anumang paraan na posible. Kapag ang problema ay may kinalaman sa mga klasikal na bagay sa matematika (ang mga klasiko ay bihirang makitungo sa iba pang mga uri ng mga bagay), sinusubukan ng mga klasiko na lutasin ito gamit lamang ang mga klasikal na paraan, habang ang ibang mga mathematician ay nagpapakilala ng mas maraming "abstract" na mga istruktura upang magamit ang mga pangkalahatang teorema na may kaugnayan sa gawain. Ang pagkakaibang ito sa diskarte ay hindi na bago. Simula noong ika-19 na siglo. Ang mga mathematician ay nahahati sa "mga taktika" na naghahangad na makahanap ng purong puwersang solusyon sa problema, at sa "mga estratehiko" na madaling lumihis ng mga maniobra na ginagawang posible na durugin ang kalaban gamit ang maliliit na pwersa.

(4) Ang isang mahalagang elemento ng "kagandahan" ng isang teorama ay ang pagiging simple nito. Siyempre, ang paghahanap para sa pagiging simple ay likas sa lahat ng siyentipikong pag-iisip. Ngunit ang mga eksperimento ay handang magtiis ng "mga pangit na solusyon" kung malulutas lamang ang problema. Katulad nito, sa matematika, ang mga klasiko at abstractionist ay hindi masyadong nag-aalala tungkol sa hitsura ng mga "pathological" na resulta. Sa kabilang banda, ang mga modernista ay pumunta hanggang sa makita ang hitsura ng "mga pathologies" sa teorya bilang isang sintomas ng di-kasakdalan ng mga pangunahing konsepto.

Mathematical encyclopedia - isang sangguniang libro sa lahat ng sangay ng matematika. Ang Encyclopedia ay batay sa mga artikulo ng pagsusuri na nakatuon sa pinakamahalagang lugar ng matematika. Ang pangunahing kinakailangan para sa mga artikulo ng ganitong uri ay ang posibleng pagkakumpleto ng pagsusuri ng kasalukuyang estado ng teorya na may pinakamataas na accessibility ng pagtatanghal; ang mga artikulong ito ay karaniwang magagamit sa mga senior na mag-aaral sa matematika, nagtapos na mga mag-aaral at mga espesyalista sa mga kaugnay na larangan ng matematika, at sa ilang partikular na kaso sa mga espesyalista sa ibang larangan ng kaalaman na gumagamit ng mga pamamaraang matematika sa kanilang trabaho, mga inhinyero at guro ng matematika. Dagdag pa, ang mga medium-sized na artikulo sa mga indibidwal na partikular na problema at pamamaraan ng matematika ay ibinigay; ang mga artikulong ito ay inilaan para sa isang mas makitid na bilog ng mga mambabasa, kaya ang pagtatanghal sa mga ito ay maaaring hindi gaanong naa-access. Sa wakas, may isa pang uri ng mga artikulo - mga maikling sanggunian-kahulugan. Sa dulo ng huling volume ng Encyclopedia isang subject index ang ilalagay, na isasama hindi lamang ang mga pamagat ng lahat ng mga artikulo, kundi pati na rin ang maraming mga konsepto, ang mga kahulugan nito ay ibibigay sa loob ng mga artikulo ng unang dalawang uri, bilang pati na rin ang pinakamahalagang resulta na binanggit sa mga artikulo. Karamihan sa mga artikulo ng Encyclopedia ay sinamahan ng isang listahan ng mga sanggunian na may mga serial number para sa bawat pamagat, na ginagawang posible na banggitin sa mga teksto ng mga artikulo. Sa dulo ng mga artikulo (bilang panuntunan) ang may-akda o pinagmulan ay ipinahiwatig kung ang artikulo ay nai-publish nang mas maaga (karamihan ito ay mga artikulo ng Great Soviet Encyclopedia). Ang mga pangalan ng dayuhang (maliban sa mga sinaunang) siyentipiko na binanggit sa mga artikulo ay sinamahan ng Latin spelling (kung walang sanggunian sa listahan ng mga sanggunian).

I-download at basahin ang Mathematical Encyclopedia, Volume 3, Vinogradov I.M., 1982

I-download at basahin ang Mathematical Encyclopedia, Volume 2, Vinogradov I.M., 1979

I-download at basahin ang Mathematical Encyclopedia, Volume 1, Vinogradov I.M., 1977

Ang Algebra ay orihinal na sangay ng matematika na may kinalaman sa paglutas ng mga equation. Hindi tulad ng geometry, ang axiomatic construction ng algebra ay hindi umiral hanggang sa kalagitnaan ng ika-19 na siglo, nang lumitaw ang isang panimula na bagong pananaw sa paksa at kalikasan ng algebra. Ang pananaliksik ay nagsimulang higit na tumutok sa pag-aaral ng tinatawag na algebraic structures. Nagkaroon ito ng dalawang benepisyo. Sa isang banda, ang mga lugar kung saan may bisa ang ilang mga theorems ay nilinaw, sa kabilang banda, naging posible na gumamit ng parehong mga patunay sa ganap na magkakaibang mga lugar. Ang dibisyon ng algebra na ito ay tumagal hanggang sa kalagitnaan ng ika-20 siglo at natagpuan ang pagpapahayag nito sa katotohanan na ang dalawang pangalan ay lumitaw: "classical algebra" at "modernong algebra". Ang huli ay mas nailalarawan ng isa pang pangalan: "abstract algebra". Ang katotohanan ay ang seksyong ito - sa unang pagkakataon sa matematika - ay nailalarawan sa pamamagitan ng kumpletong abstraction.

I-download at basahin ang Small Mathematical Encyclopedia, Fried E., Pastor I., Reiman I., Reves P., Ruja I., 1976

"Probability and Mathematical Statistics" - isang sangguniang libro sa teorya ng probabilidad, mga istatistika ng matematika at ang kanilang mga aplikasyon sa iba't ibang larangan ng agham at teknolohiya. Ang encyclopedia ay may dalawang bahagi: ang pangunahing bahagi ay naglalaman ng mga artikulo sa pagsusuri, mga artikulo na nakatuon sa mga indibidwal na partikular na problema at pamamaraan, mga maikling sanggunian na nagbibigay ng mga kahulugan ng mga pangunahing konsepto, ang pinakamahalagang theorems at formula. Isang mahalagang lugar ang ibinibigay sa mga inilapat na isyu - teorya ng impormasyon, teorya ng pagpila, teorya ng pagiging maaasahan, pagpaplano ng eksperimento at mga kaugnay na lugar - pisika, geophysics, genetika, demograpiya, at ilang partikular na seksyon ng teknolohiya. Karamihan sa mga artikulo ay sinamahan ng isang bibliograpiya ng pinakamahalagang papel sa isyung ito. Ang mga pamagat ng mga artikulo ay ibinibigay din sa pagsasalin sa Ingles. Ang ikalawang bahagi - "Reader on Probability Theory and Mathematical Statistics" ay naglalaman ng mga artikulong isinulat para sa mga Russian encyclopedia ng nakaraan, pati na rin ang mga ensiklopedya na materyales na inilathala nang mas maaga sa iba pang mga gawa. Ang encyclopedia ay sinamahan ng isang malawak na listahan ng mga journal, periodical at patuloy na mga publikasyon na sumasaklaw sa mga problema ng probability theory at mathematical statistics.
Ang materyal na kasama sa Encyclopedia ay kinakailangan para sa mga mag-aaral, nagtapos na mga mag-aaral at mga mananaliksik sa larangan ng matematika at iba pang mga agham na gumagamit ng mga probabilistikong pamamaraan sa kanilang pananaliksik at praktikal na gawain.

I-download ang aklat na Mathematical encyclopedia sa 5 volume ganap na libre.

Upang makapag-download ng libro nang libre mula sa pagho-host ng file, mag-click sa mga link kaagad pagkatapos ng paglalarawan ng libreng libro.

Dear readers, kung nabigo ka

i-download ang Mathematical encyclopedia sa 5 volume

Isulat ang tungkol dito sa mga komento at tiyak na tutulungan ka namin.

Umaasa kami na nasiyahan ka sa aklat at nasiyahan sa pagbabasa nito. Bilang pasasalamat, maaari kang mag-iwan ng link sa aming website sa forum o blog :) E-book Ang Mathematical Encyclopedia sa 5 volume ay ibinibigay lamang para sa pagsusuri bago bumili ng papel na libro at hindi isang katunggali sa mga nakalimbag na publikasyon.

Mathematical Encyclopedia

Mathematical Encyclopedia- Sobyet na encyclopedic publication sa limang volume na nakatuon sa mga paksang pangmatematika. Inilabas noong -1985 ng publishing house na "Soviet Encyclopedia". Editor-in-Chief: Academician I. M. Vinogradov.

Ito ay isang pangunahing ilustradong edisyon sa lahat ng pangunahing sangay ng matematika. Ang libro ay naglalaman ng malawak na materyal sa paksa, mga talambuhay ng mga sikat na mathematician, mga guhit, mga graph, mga tsart at mga diagram.

Kabuuang dami: mga 3000 na pahina. Pamamahagi ng mga artikulo ayon sa dami:

Tomo 1: Abacus - Prinsipyo ng Huygens, 576 pp.
Volume 2: D'Alembert Operator - Co-op Game, 552 pp.
Volume 3: Coordinates - Monomial, 592 pp.
Volume 4: The Eye of the Theorem - Complex Function, 608 pp.
Volume 5: Random na Variable - Cell, 623 pp.
Appendix sa volume 5: subject index, listahan ng mga typographical errors na napansin.

Mga link

Pangkalahatan at mga espesyal na sangguniang libro at encyclopedia sa matematika sa portal ng World of Mathematical Equations, kung saan maaari mong i-download ang encyclopedia sa electronic form.

Mga Kategorya:

Mga aklat ayon sa alpabeto
Panitikan sa matematika
mga ensiklopedya
Mga aklat ng publishing house na "Soviet Encyclopedia"
Encyclopedia ng USSR

Wikimedia Foundation. 2010 .

Kimika sa matematika
Mga pundasyon ng matematika ng quantum mechanics

Tingnan kung ano ang "Mathematical Encyclopedia" sa ibang mga diksyunaryo:

lohika ng matematika- (teoretikal na lohika, simbolikong lohika) isang sangay ng matematika na nag-aaral ng mga patunay at tanong ng mga pundasyon ng matematika. "Ang paksa ng modernong matematikal na lohika ay iba-iba." Ayon sa kahulugan ng P. S. Poretsky, "mathematical ... ... Wikipedia

Encyclopedia- (bagong lat. encyclopedia (hindi mas maaga kaysa sa ika-16 na siglo) mula sa ibang Greek ἐγκύκλιος παιδεία "pagsasanay sa isang buong bilog", κύκλος bilog at παιδεία na nagdala sa Wikipedia na pagsasanay / paideia ...)

ENCYCLOPEDIA- (mula sa Griyego. enkyklios paideia pagsasanay sa buong hanay ng kaalaman), siyentipiko. o siyentipiko sikat na sangguniang libro na naglalaman ng systematizir. katawan ng kaalaman. Ang materyal sa E. ay nakaayos ayon sa alpabeto o sistematikong. prinsipyo (sa pamamagitan ng mga sangay ng kaalaman). ... ... Likas na agham. encyclopedic Dictionary

MATHEMATICAL LOGIC- isa sa mga pangalan ng modernong lohika, na dumating sa pangalawa. palapag. 19 maaga ika-20 siglo sa halip na tradisyonal na lohika. Ang terminong simbolikong lohika ay ginagamit din bilang isa pang pangalan para sa modernong yugto sa pag-unlad ng agham ng lohika. Kahulugan…… Philosophical Encyclopedia

MATHEMATICAL INFINITY- karaniwang pangalan dec. mga pagsasakatuparan ng ideya ng kawalang-hanggan sa matematika. Bagaman sa pagitan ng mga kahulugan ng konsepto ng M. b. at iba pang mga kahulugan, kung saan ginagamit ang terminong infinity, walang mahigpit na hangganan (dahil ang lahat ng mga konseptong ito sa huli ay sumasalamin sa napaka ... ... Philosophical Encyclopedia

MATHEMATICAL INDUCTION- kumpletong mathematical induction (sa matematika ito ay madalas na tinatawag na simpleng kumpletong induction; sa kasong ito, ang konsepto na ito ay dapat na makilala mula sa konsepto ng kumpletong induction na isinasaalang-alang sa non-mathematical na pormal na lohika), - ang paraan ng pagpapatunay ng mga pangkalahatang proposisyon sa ... ... Philosophical Encyclopedia

MATHEMATICAL HYPOTHESIS- isang di-umano'y pagbabago sa anyo, uri, kalikasan ng equation na nagpapahayag ng batas ng pinag-aralan na larangan ng mga phenomena, na may layuning palawakin ito sa isang bago, hindi pa natutuklasang larangan bilang isang batas na likas dito. M. ay malawakang ginagamit sa modernong. teoretikal ...... Philosophical Encyclopedia

MATHEMATICAL SCHOOL SA POLITICAL ECONOMY- Ingles. paaralan ng matematika sa ekonomiyang pampulitika; Aleman mathematische Schule in der politischen Okonomie. Ang direksyon sa polit, ekonomiya, na lumitaw sa ikalawang kalahati ng ika-19 na siglo, ang mga kinatawan nito (L. Walras, V. Pareto, O. Jevons, atbp.) ay nagbigay ... ... Encyclopedia of Sociology

MATHEMATICAL SCHOOL SA SOSYOLOHIYA- Ingles. paaralang matematika sa sosyolohiya; Aleman mathematische Schule in der Soziologie. Ang direksyon sa sosyolohiya na lumitaw sa unang kalahati ng ika-20 siglo, ang mga tagapagtatag kung saan (A. Zipf, E. Dodd, at iba pa) ay naniniwala na ang sosyolohista, mga teorya ay umabot sa antas ng ... ... Encyclopedia of Sociology

Modelo ng matematika ng mga gusali at istruktura- Matematika (computer) na modelo ng mga gusali at istruktura - representasyon ng mga gusali at istruktura sa anyo ng isang finite element diagram para sa mga numerical na kalkulasyon kapag nilulutas ang isang hanay ng mga problema na lumitaw sa disenyo, konstruksiyon at ... ... Encyclopedia ng mga termino, kahulugan at paliwanag ng mga materyales sa gusali

Mga libro

Mathematical encyclopedia (set ng 5 libro), . Ang Mathematical Encyclopedia ay isang maginhawang reference na libro sa lahat ng sangay ng matematika. Ang Encyclopedia ay batay sa mga artikulong nakatuon sa pinakamahalagang larangan ng matematika. Prinsipyo ng lokasyon...

Mathematical encyclopedia - isang sangguniang libro sa lahat ng sangay ng matematika. Ang Encyclopedia ay batay sa mga artikulo ng pagsusuri na nakatuon sa pinakamahalagang lugar ng matematika. Ang pangunahing kinakailangan para sa mga artikulo ng ganitong uri ay ang posibleng pagkakumpleto ng pagsusuri ng kasalukuyang estado ng teorya na may pinakamataas na accessibility ng pagtatanghal; ang mga artikulong ito ay karaniwang magagamit sa mga senior na mag-aaral sa matematika, nagtapos na mga mag-aaral at mga espesyalista sa mga kaugnay na larangan ng matematika, at sa ilang partikular na kaso - sa mga espesyalista sa ibang larangan ng kaalaman na gumagamit ng mga pamamaraang matematika sa kanilang trabaho, mga inhinyero at guro ng matematika. Dagdag pa, ang mga medium-sized na artikulo sa mga indibidwal na partikular na problema at pamamaraan ng matematika ay ibinigay; ang mga artikulong ito ay inilaan para sa isang mas makitid na bilog ng mga mambabasa, kaya ang pagtatanghal sa mga ito ay maaaring hindi gaanong naa-access. Sa wakas, may isa pang uri ng mga artikulo - mga maikling sanggunian-kahulugan. Ang ilang mga kahulugan ay ibinigay sa loob ng unang dalawang uri ng mga artikulo. Karamihan sa mga artikulo ng Encyclopedia ay sinamahan ng isang listahan ng mga sanggunian na may mga serial number para sa bawat pamagat, na ginagawang posible na banggitin sa mga teksto ng mga artikulo. Sa dulo ng mga artikulo (bilang panuntunan) ang may-akda o pinagmulan ay ipinahiwatig kung ang artikulo ay nai-publish nang mas maaga (karamihan ito ay mga artikulo ng Great Soviet Encyclopedia). Ang mga pangalan ng dayuhang (maliban sa mga sinaunang) siyentipiko na binanggit sa mga artikulo ay sinamahan ng Latin spelling (kung walang sanggunian sa listahan ng mga sanggunian).

Ang prinsipyo ng pagsasaayos ng mga artikulo sa Encyclopedia ay alphabetical. Kung ang pamagat ng artikulo ay isang termino na may kasingkahulugan, ang huli ay ibibigay pagkatapos ng pangunahing isa. Sa maraming pagkakataon, ang mga pamagat ng artikulo ay binubuo ng dalawa o higit pang mga salita. Sa mga kasong ito, ang mga termino ay ibinibigay alinman sa pinakakaraniwang anyo, o ang pangunahing salita sa kahulugan ay inilalagay sa unang lugar. Kung ang pamagat ng isang artikulo ay may kasamang wastong pangalan, ito ay inilalagay muna (sa listahan ng mga sanggunian para sa mga naturang artikulo, bilang panuntunan, mayroong pangunahing mapagkukunan na nagpapaliwanag sa pangalan ng termino). Ang mga pamagat ng mga artikulo ay kadalasang ibinibigay sa isahan.

Ang Encyclopedia ay malawakang gumagamit ng isang sistema ng mga link sa iba pang mga artikulo, kung saan ang mambabasa ay makakahanap ng karagdagang impormasyon sa paksang tinatalakay. Ang kahulugan ay hindi tumutukoy sa terminong lumalabas sa pamagat ng artikulo.

Upang makatipid ng espasyo sa mga artikulo, ang karaniwang mga pagdadaglat ng ilang mga salita para sa mga encyclopedia ay pinagtibay.

Nagtatrabaho sa volume 1

Mathematics Editorial Board ng Soviet Encyclopedia Publishing House - V. I. BITYUTSKOV (Head of the Editorial Board), M. I. VOITSEHOVSKY (Scientific Editor), Yu. A. GORBKOV (Scientific Editor), A. B. IVANOV (Senior Scientific Editor), O A. IVANOVA ( senior siyentipikong editor), T. Yu. L. R. KHABIB (Associate Editor).

Mga empleyado ng publishing house: E. P. RYABOVA (literary editorial board). E. I. ZHAROVA, A. M. MARTYNOV (bibliograpiya). A. F. DALKOVSKY (transkripsyon). N. A. FEDOROV (Procurement Department). 3. A. SUKHOVA (Mga larawang editoryal). E. I. ALEKSEEVA, N. YU. KRUZHALOV (redaction dictionary). M. V. AKIMOVA, A. F. PROSHKO (pagwawasto). G. V. SMIRNOV (teknikal na edisyon).

Cover ng artist R. I. MALANICHEV.

Karagdagang impormasyon tungkol sa volume 1

Publishing house na "Soviet Encyclopedia"

Mga sangguniang aklat ng mga diksyunaryo ng Encyclopedia

Scientific - editorial board ng publishing house

A. M. PROKHOROV (Chairman), I. V. ABASHIDZE, P. A. AZIMOV, A. P. ALEKSANDROV, V. A. AMBARTZUMYAN, I. I. ARTOBOLEVSKY, A. V. ARTSIKHOVSKY, M. S. ASIMOV , M. P.. , VV Volsky, BM Vul, BG Gafurov, SR Gershberg, MS Gilyarov, VP Glushko, VM Glushkov, G. N GOLIKOV, DB GULIEV, AA GUSEV (Deputy Chairman), VP ELYUTIN, VS EMELYANOV, EM ZHUKOV, AA IMSHENETSKY INOZEMTSEV, M I. Kabachnik, S. V. Kalesnik, G. A. Karavaev, K. K. Karakeev, M. K. Karataev, B. M. Kedrov, G. V. Keldysh, V. A. Kirillin, at I. L KNUNYANTS, SM KOVALEV (Unang Deputy VVKONST Chairman, KUZKONST Chairman), F.VYA. (Deputy Chairman), BV KUKARKIN, VG KULIKOV, I. A. Kutuzov, P. P. Lobanov, G. M. Loza, Yu. E. Maksarev, P. A. Markov, A. I. Markushevich, Yu. Yu. Obichkin, B. E. Paton, V. M. Polevo J, M. A. Prokofiev, Yu. V. Prokhorov, N. F. Rostovtsev, A. M. Rumyantsev, B. A. Rybakov, V. P. Samson, M. I. Sladkovsky, V. I. Smirnov, DN SOLOVIEV (deputy chairman), VG SOLODOVNIKOV, V TERA Sladkovsky, V. I. Smirnov. , SA TOKAREV, VA Trapeznikov, E. K. Fedorov, M. B. Khrapchenko, E. I. Chazov, V. N. Chernigovskii, Ya. E. Shmushkis, at S. I. Yutkevich Kalihim ng Konseho L. V. KIRILLOVA.

Moscow 1977

Mathematical encyclopedia. Volume 1 (A - D)

Editor-in-Chief I. M. VINOGRADOV

pangkat ng editoryal

S. I. ADYAN, P. S. ALEKSANDROV, N. S. BAKHVALOV, V. I. BITYUTSKOV (deputy editor-in-chief), A. V. BITSADZE, L. N. BOLSHEV, A. A. GONCHAR, N. V. Efimov, VA Ilyin, AA Karatsubatantsev LD, A. SP Novikov, at EG Poznyak , Yu. V. PROKHOROV (deputy editor-in-chief), A. G. SVESHNIKOV, A. N. TIKHONOV, P. L. ULYANOV, A. I. SHIRSHOV, S. V. YABLONSKY

Mathematical Encyclopedia. Ed. collegium: I. M. Vinogradov (pinuno ng editor) [at iba pa] T. 1 - M., "Soviet Encyclopedia", 1977

(Encyclopedias. Dictionaries. Reference books), vol. 1. A - G. 1977. 1152 stb. mula sa sakit.

Ibinigay sa set 9. 06. 1976. Nilagdaan para sa paglilimbag 18. 02. 1977. Pag-imprenta ng teksto mula sa mga matrice na ginawa sa First Exemplary Printing House. A. A. Zhdanova. Order of the Red Banner of Labor, publishing house na "Soviet Encyclopedia". 109817. Moscow, Zh - 28, Pokrovsky Boulevard, 8. T - 02616 Circulation 150,000 copies. Order No. 418. Printing paper No. 1. Laki ng papel 84xl08 1/14. Volume 36 pisikal p. l. ; 60, 48 conv. p. l. text. 101, 82 na account - ed. l. Ang presyo ng libro ay 7 rubles. 10 k.

Order of the Red Banner of Labor Moscow Printing House No. 1 "Soyuzpoligrafprom" sa ilalim ng State Committee ng Konseho ng mga Ministro ng USSR para sa Publishing, Printing at Book Trade, Moscow, I - 85, Prospekt Mira, 105. Order No. 865.