Parallella linjer, tecken och förutsättningar för parallellitet av linjer. Parallella linjer

KAPITEL 1 ATT SLÄPTA STRÖMLINJEN (ANSLAGSRADEN) Denna princip uttrycks av folkvisdom: "Kom inte på rasen." Rojon är en insats som en dåre går direkt till, det vill säga direkt. I allmänhet är en frontal attack i bokstavlig och figurativ mening en otacksam och traumatisk affär i livet. På

Din integritet är viktig för oss. Av denna anledning har vi utvecklat en sekretesspolicy som beskriver hur vi använder och lagrar din information. Läs vår integritetspolicy och meddela oss om du har några frågor.

Insamling och användning av personlig information

Personlig information avser data som kan användas för att identifiera en specifik person eller kontakta honom.

Du kan bli ombedd att lämna din personliga information när som helst när du kontaktar oss.

Nedan följer några exempel på de typer av personlig information vi kan samla in och hur vi kan använda sådan information.

Vilka personuppgifter vi samlar in:

• När du lämnar en begäran på webbplatsen kan vi samla in olika uppgifter, inklusive ditt namn, telefonnummer, e -postadress etc.

Hur vi använder din personliga information:

• Den personliga information vi samlar in gör att vi kan kontakta dig och rapportera unika erbjudanden, kampanjer och andra evenemang och kommande evenemang.
• Då och då kan vi använda din personliga information för att skicka viktiga meddelanden och meddelanden.
• Vi kan också använda personlig information för interna ändamål, till exempel genomföra revisioner, dataanalys och olika undersökningar för att förbättra de tjänster vi tillhandahåller och ge dig rekommendationer angående våra tjänster.
• Om du deltar i en lottning, tävling eller liknande reklamevenemang kan vi använda informationen du tillhandahåller för att administrera dessa program.

Utlämnande av information till tredje part

Vi lämnar inte ut information från dig till tredje part.

Undantag:

• Om det är nödvändigt - i enlighet med lag, domstolsbeslut, i domstolsförfaranden och / eller på grundval av offentliga begäranden eller begäranden från myndigheter på Ryska federationens territorium - att lämna ut dina personuppgifter. Vi kan också lämna ut information om dig om vi finner att sådant avslöjande är nödvändigt eller lämpligt för säkerhet, brottsbekämpning eller andra socialt viktiga skäl.
• I händelse av en omorganisation, fusion eller försäljning kan vi överföra den personliga information som vi samlar in till lämplig tredje part - den juridiska efterträdaren.

Skydd av personuppgifter

Vi vidtar försiktighetsåtgärder - inklusive administrativ, teknisk och fysisk - för att skydda din personliga information från förlust, stöld och missbruk, samt från obehörig åtkomst, avslöjande, ändring och förstörelse.

Respektera din integritet på företagsnivå

För att säkerställa att din personliga information är säker tar vi med sekretess- och säkerhetsreglerna till våra anställda och övervakar strikt genomförandet av sekretessåtgärder.

Parallelllinjer koncept

Definition 1

Parallella linjer- linjer som ligger i samma plan sammanfaller inte och har inte gemensamma punkter.

Om linjerna har en gemensam punkt, då de korsas.

Om alla punkter är raka match, då har vi i huvudsak en rak linje.

Om de raka linjerna ligger på olika plan, är förutsättningarna för deras parallellitet något större.

När man betraktar raka linjer på ett plan kan följande definition ges:

Definition 2

Två raka linjer i planet kallas parallell om de inte överlappar varandra.

I matematik betecknas parallella linjer vanligtvis med parallelltecknet "$ \ parallel $". Till exempel betecknas det faktum att rad $ c $ är parallell med linje $ d $ enligt följande:

$ c \ parallell d $.

Begreppet parallella linjer övervägs ofta.

Definition 3

De två segmenten kallas parallell om de ligger på parallella linjer.

Till exempel i figuren är segmenten $ AB $ och $ CD $ parallella sedan de tillhör parallella linjer:

$ AB \ parallell CD $.

Samtidigt är segmenten $ MN $ och $ AB $ eller $ MN $ och $ CD $ inte parallella. Detta faktum kan skrivas med hjälp av symboler enligt följande:

$ MN ∦ AB $ och $ MN ∦ CD $.

På samma sätt bestäms parallelliteten hos en rak linje och ett segment, en rak linje och en stråle, ett segment och en stråle eller två strålar.

Historisk referens

Från det grekiska språket översätts begreppet "parallelos" med "att gå sida vid sida" eller "hållas bredvid varandra". Denna term användes i den gamla skolan i Pythagoras redan innan parallella linjer definierades. Enligt historiska fakta av Euclid i $ III $ c. FÖRE KRISTUS. i hans verk avslöjades ändå betydelsen av begreppet parallella linjer.

I antiken hade tecknet för att beteckna parallella linjer en annan typ av vad vi använder i modern matematik. Till exempel den antika grekiska matematikern Pappus i $ III $ c. AD parallellitet betecknades med ett likhetstecken. De där. det faktum att raden $ l $ är parallell med raden $ m $ betecknades tidigare "$ l = m $". Senare började det välkända "$ \ parallella $" -tecknet användas för att beteckna parallellitet hos raka linjer, och likhetstecknet började användas för att beteckna lika tal och uttryck.

Parallella linjer i livet

Ofta märker vi inte att vi i vardagen är omgiven av ett stort antal parallella linjer. Till exempel, i en musikbok och en sångbok med noter, görs personalen med parallella linjer. Parallella linjer finns också i musikinstrument (till exempel harpsträngar, gitarrsträngar, pianotangenter, etc.).

Elektriska ledningar som går längs gator och vägar går också parallellt. Tunnelbanans och järnvägslinjernas skenor är parallella.

Förutom vardagen finns parallella linjer i måleri, i arkitektur, i byggandet av byggnader.

Parallella linjer inom arkitektur

I de presenterade bilderna innehåller arkitektoniska strukturer parallella raka linjer. Användningen av parallellitet av raka linjer i konstruktionen bidrar till att öka livslängden för sådana strukturer och ger dem enastående skönhet, attraktivitet och storhet. Kraftledningar körs också medvetet parallellt för att undvika att korsa eller vidröra dem, vilket skulle leda till kortslutning, avbrott och ingen elektricitet. Så att tåget kan röra sig fritt, är rälsen också gjorda i parallella linjer.

I målningen avbildas parallella linjer som konvergerande till en linje eller nära det. Denna teknik kallas perspektiv, vilket följer av synens illusion. Om du tittar in på avståndet under lång tid kommer parallelllinjerna att se ut som två konvergerande linjer.

Denna artikel handlar om parallella linjer och parallella linjer. Först ges definitionen av parallella linjer på ett plan och i rymden, beteckningar introduceras, exempel och grafiska illustrationer av parallella linjer ges. Vidare analyseras tecknen och förutsättningarna för parallellitet av raka linjer. Sammanfattningsvis visas lösningar av typiska problem för att bevisa parallellitet hos raka linjer, som ges av vissa ekvationer för en rak linje i ett rektangulärt koordinatsystem på ett plan och i tredimensionellt utrymme.

Sidnavigering.

Parallella linjer - grundläggande information.

Definition.

Två raka linjer på ett plan anropas parallell om de inte har några gemensamma punkter.

Definition.

Två raka linjer i tredimensionellt utrymme kallas parallell om de ligger i samma plan och inte har några gemensamma punkter.

Observera att klausulen "om de ligger i samma plan" i definitionen av parallella linjer i rymden är mycket viktig. Låt oss förtydliga denna punkt: två raka linjer i tredimensionellt utrymme som inte har några gemensamma punkter och inte ligger i samma plan är inte parallella, men skär varandra.

Här är några exempel på parallella linjer. De motsatta kanterna på anteckningsboken ligger på parallella raka linjer. De raka linjer längs vilka husväggens plan skär väggarna i taket och golvet är parallella. Järnvägsspår på plan mark kan också ses som parallella raka linjer.

Använd symbolen "" för att beteckna parallella linjer. Det vill säga, om raka linjer a och b är parallella, kan vi kort skriva a b.

Obs: om linjerna a och b är parallella, kan vi säga att linje a är parallell med linje b, och även att linje b är parallell med linje a.

Låt oss uttrycka ett uttalande som spelar en viktig roll i studiet av parallella linjer på ett plan: genom en punkt som inte ligger på en given linje finns det en enda linje parallell med en given. Detta uttalande tas som ett faktum (det kan inte bevisas på grundval av planimetriens välkända axiom), och det kallas axiom för parallella linjer.

För fallet i rymden är följande sats sant: genom vilken punkt i rymden som inte ligger på en given rak linje finns det en enda rak linje parallell med den givna. Denna sats kan enkelt bevisas med hjälp av ovannämnda axiom för parallella linjer (du hittar dess bevis i lärobok för geometri för årskurs 10-11, vilket anges i slutet av artikeln i bibliografin).

För fallet i rymden är följande sats sant: genom vilken punkt i rymden som inte ligger på en given rak linje finns det en enda rak linje parallell med den givna. Denna sats kan enkelt bevisas med hjälp av ovanstående axiom för parallella linjer.

Parallelism med raka linjer - tecken och villkor för parallellism.

Parallellism med raka linjerär en tillräcklig förutsättning för parallellism av linjer, det vill säga ett sådant villkor, vars uppfyllelse garanterar parallellitet av linjer. Med andra ord är uppfyllandet av detta villkor tillräckligt för att ange att parallella linjer är raka.

Det finns också nödvändiga och tillräckliga förutsättningar för parallellitet av raka linjer på planet och i tredimensionellt utrymme.

Låt oss klargöra innebörden av frasen "ett nödvändigt och tillräckligt villkor för parallellitet av raka linjer."

Vi har redan räknat ut tillräcklig förutsättning för parallellitet av raka linjer. Men vad är det "nödvändiga villkoret för parallellism av raka linjer"? Med namnet "nödvändigt" är det klart att uppfyllandet av detta villkor är nödvändigt för parallellitet av raka linjer. Med andra ord, om det nödvändiga villkoret för linjernas parallellitet inte är uppfyllt, är linjerna inte parallella. Således, nödvändigt och tillräckligt villkor för parallellitet av raka linjerÄr ett villkor, vars uppfyllande är både nödvändigt och tillräckligt för parallellitet av raka linjer. Det vill säga, å ena sidan är detta ett tecken på parallellitet hos raka linjer, och å andra sidan är det en egenskap som parallella raka linjer har.

Innan du formulerar en nödvändig och tillräcklig förutsättning för parallellitet av raka linjer, är det lämpligt att komma ihåg flera hjälpdefinitioner.

Sekant linjeÄr en linje som skär var och en av de två angivna icke-sammanfallande linjerna.

När två raka sekanter skär varandra bildas åtta outvecklade. Den så kallade kors och tvärs, motsvarande och ensidiga hörn... Låt oss visa dem på ritningen.

Sats.

Om två raka linjer på ett plan skärs av en sekant, är det för deras parallellitet nödvändigt och tillräckligt att de tvärgående vinklarna är lika, eller motsvarande vinklar är lika, eller summan av ensidiga vinklar är lika med 180 grader.

Låt oss visa en grafisk illustration av denna nödvändiga och tillräckliga förutsättning för parallellitet av raka linjer på ett plan.

Bevis på dessa villkor för parallellitet av raka linjer finns i geometri läroböcker för årskurserna 7-9.

Observera att dessa förhållanden kan användas i tredimensionellt utrymme - det viktigaste är att de två linjerna och sekanten ligger i samma plan.

Här är några fler satser som ofta används för att bevisa parallellen hos raka linjer.

Sats.

Om två raka linjer i planet är parallella med den tredje raka linjen, så är de parallella. Beviset för detta kriterium följer av parallelllinjen axiom.

Det finns ett liknande villkor för parallellism av raka linjer i tredimensionellt utrymme.

Sats.

Om två linjer i rymden är parallella med den tredje raden, så är de parallella. Beviset för detta tecken beaktas i geometrilektioner i årskurs 10.

Låt oss illustrera de angivna satserna.

Låt oss presentera ytterligare ett teorem som gör att vi kan bevisa parallelliteten hos raka linjer i planet.

Sats.

Om två raka linjer i planet är vinkelräta mot den tredje raka linjen, så är de parallella.

Det finns en liknande sats för linjer i rymden.

Sats.

Om två raka linjer i tredimensionellt utrymme är vinkelräta mot samma plan, så är de parallella.

Låt oss rita bilder som motsvarar dessa satser.

Alla satser, kriterier och nödvändiga och tillräckliga förhållanden som formulerats ovan är utmärkta för att bevisa parallellitet av linjer med geometriska metoder. Det vill säga, för att bevisa parallelliteten hos två givna linjer är det nödvändigt att visa att de är parallella med den tredje raden, eller för att visa likhet mellan skärande vinklar etc. Många liknande problem löses på geometrilektioner i gymnasiet. Det bör dock noteras att det i många fall är bekvämt att använda koordinatmetoden för att bevisa parallelliteten hos raka linjer på ett plan eller i tredimensionellt utrymme. Låt oss formulera de nödvändiga och tillräckliga förutsättningarna för parallellitet av raka linjer, som ges i ett rektangulärt koordinatsystem.

Parallelism med raka linjer i ett rektangulärt koordinatsystem.

Vid denna punkt i artikeln kommer vi att formulera nödvändiga och tillräckliga förutsättningar för parallellitet av linjer i ett rektangulärt koordinatsystem, beroende på vilken typ av ekvationer som bestämmer dessa raka linjer, och vi ger också detaljerade lösningar på typiska problem.

Låt oss börja med villkoret för parallellitet för två raka linjer på ett plan i ett rektangulärt koordinatsystem Oxy. Hans bevis baseras på definitionen av riktningsvektorn för en rak linje och definitionen av den normala vektorn för en rak linje på ett plan.

Sats.

För parallelliteten mellan två icke-sammanfallande raka linjer på planet är det nödvändigt och tillräckligt att riktningsvektorerna för dessa raka linjer är kollinära, eller de normala vektorerna för dessa raka linjer är kollinära, eller riktningsvektorn för en rak linje är vinkelrätt mot den normala vektorn för den andra raka linjen.

Uppenbarligen reduceras tillståndet för parallellitet för två raka linjer på ett plan till (riktningsvektorer för raka linjer eller normala vektorer av raka linjer) eller till (riktningsvektor för en rak linje och normalvektor för den andra raka linjen). Således, om och är riktningsvektorer för raka linjer a och b, och och är normala vektorer för linjerna a respektive b, då kan det nödvändiga och tillräckliga villkoret för parallellitet av linjerna a och b skrivas som , eller , eller, där t är ett verkligt tal. I sin tur finns koordinaterna för guiderna och (eller) normala vektorerna för de raka linjerna a och b från de välkända ekvationerna för de raka linjerna.

I synnerhet om den raka linjen a i det rektangulära koordinatsystemet Oxy på planet definieras av den allmänna ekvationen för formens raka linje och rad b - , då har de normala vektorerna för dessa linjer koordinater och, respektive, och villkoret för parallellitet av linjerna a och b kommer att skrivas som.

Om den raka linjen a motsvarar ekvationen för en rak linje med en lutning av formen och till en rak linje b -, så har de normala vektorerna för dessa raka linjer koordinater och och villkoret för parallelliteten hos dessa raka linjer tar formen ... Därför, om de raka linjerna på planet i ett rektangulärt koordinatsystem är parallella och kan specificeras med ekvationer av raka linjer med lutningskoefficienter, så kommer lutningskoefficienterna för de raka linjerna att vara lika. Och vice versa: om felaktiga raka linjer på ett plan i ett rektangulärt koordinatsystem kan specificeras med ekvationer för en rak linje med lika lutningskoefficienter, så är sådana raka linjer parallella.

Om rät linje a och rak linje b i ett rektangulärt koordinatsystem bestäms av de kanoniska ekvationerna för en rak linje i formens plan och , eller parametriska ekvationer för en rak linje på formens plan och följaktligen har riktningsvektorerna för dessa linjer koordinater och, och villkoret för parallellitet av linjerna a och b är skrivet som.

Låt oss titta på lösningarna för flera exempel.

Exempel.

Är linjerna parallella och?

Lösning.

Låt oss skriva om ekvationen för en rak linje i segment i form av en allmän ekvation för en rak linje: ... Nu kan du se att det är den normala vektorn för den raka linjen , a är den normala vektorn för en rak linje. Dessa vektorer är inte kollinära, eftersom det inte finns något verkligt tal t för vilket jämlikheten ( ). Följaktligen är det nödvändiga och tillräckliga villkoret för parallellitet av linjer på planet inte uppfyllt, därför är de givna linjerna inte parallella.

Svar:

Nej, linjerna är inte parallella.

Exempel.

Är raka och parallella?

Lösning.

Låt oss föra den kanoniska ekvationen för den raka linjen till ekvationen för den raka linjen med lutningen :. Uppenbarligen är ekvationerna för de raka linjerna och inte desamma (i detta fall skulle de givna raka linjerna vara desamma) och lutningskoefficienterna för de raka linjerna är lika, därför är de ursprungliga raka linjerna parallella.

Definiera parallella linjer. Parallellt är två raka linjer som ligger i samma plan och inte skär varandra i hela sin längd.

Raka linjer AB och CD (Fig. 57) kommer att vara parallella. Att de är parallella uttrycks ibland skriftligt: ​​AB || CD.

Sats 34. Två raka linjer vinkelrätt mot samma tredje är parallella.

Med tanke på raka linjer CD och EF vinkelrätt mot AB (bild 58)

CD ⊥ AB och EF ⊥ AB.

Det krävs för att bevisa att CD || EF.

Bevis... Om linjerna CD och EF inte var parallella skulle de skär varandra någon gång M. I det här fallet skulle två vinkelrätter tappas från punkt M till linje AB, vilket är omöjligt (sats 11), därav rad CD || EF (CHTD).

Sats 35. Två raka linjer, varav en är vinkelrät och den andra lutande mot den tredje, skär alltid.

Två raka linjer EF och CG ges, varav EF ⊥ AB och CG lutar mot AB (fig. 59).

Du vill bevisa att CG möter linje EF eller att CG inte är parallellt med EF.

Bevis... Från punkt C höjer vi den vinkelräta CD: n till linje AB, sedan bildas vid punkt C en vinkel DCG, som vi kommer att upprepa så många gånger så att linje CK faller under linje AB. Antag att för detta upprepar vi vinkeln DCG n gånger, som det

På samma sätt skjuter vi på linje AB linje CE också n gånger så att CN = nCE.

Rekonstruera vinkelrätterna LL ", MM", NN "från punkterna C, E, L, M, N. Utrymmet mellan de två parallella segmenten CD, NN” och segmentet CN kommer att vara n gånger större än utrymmet mellan de två vinkelräta CD, EF och segment CE, så DCNN "= nDCEF.

Utrymmet i hörnet DCK innehåller utrymmet DCNN ", därför

DCK> CDNN "eller
nDCG> nDCEF, varifrån
DCG> DCEF.

Den sista ojämlikheten kan endast ske när linjen CG lämnar gränserna för DCEF under dess fortsättning, det vill säga när linjen CG möter linjen EF, därför är linjen CG inte parallell med CF (CGT).

Sats 36. En rak linje vinkelrätt mot en av parallellerna, vinkelrät mot den andra.

Med tanke på två parallella raka linjer AB och CD och en rak linje EF vinkelrätt mot CD (fig. 60).

AB || CD, EF ⊥ CD

Det krävs att bevisa att EF ⊥ AB.

Bevis... Om linje AB lutade till EF, skulle två rader CD och AB korsas, eftersom CD ⊥ EF och AB lutar till EF (sats 35), och raderna AB och CD inte skulle vara parallella, vilket skulle motsäga detta villkor, därför, rät linje EF är vinkelrät mot CD (CTD).

Vinklar som bildas genom skärningspunkten mellan två linjer på den tredje linjen... Vid skärningspunkten mellan två raka linjer AB och CD för den tredje raka linjen EF (fig. 61) bildas åtta vinklar α, β, γ, δ, λ, μ, ν, ρ. Dessa hörn får speciella namn.

De fyra vinklarna α, β, ν och ρ kallas extern.

De fyra vinklarna γ, δ, λ, μ kallas inre.

De fyra vinklarna β, γ, μ, ν och de fyra vinklarna α, δ, λ, ρ kallas ensidig, eftersom de ligger på ena sidan av den raka linjen EF.

Dessutom är vinklarna, när de tas i par, namngivna enligt följande:

Vinklarna β och μ kallas respektive ... Förutom detta par kommer samma motsvarande vinklar att vara par av vinklar:γ och ν, α och λ, δ och ρ.

Vinkelparen δ och μ, liksom γ och λ, kallas internt tvärgående .

Vinkelparen β och ρ, liksom α och ν, kallas yttre tvärgående .

Vinkelparen γ och μ, liksom δ och λ, kallas inhemsk ensidig .

Vinkelparen β och ν, liksom α och ρ, kallas extern ensidig .

Villkor för parallellitet av två linjer

Sats 37. Två raka linjer är parallella om de vid skärningspunkten mellan deras tredje har samma: 1) motsvarande vinklar, 2) det inre tvärläget, 3) det yttre tvärläget, och slutligen om 4) summan av inre ensidig är lika med två raka linjer, 5) summan av den yttre ensidiga är lika med två raka linjer.

Låt oss bevisa var och en av dessa delar av satsen separat.

1: a fallet. Motsvarande vinklar är lika(Fig. 62).

Given. Vinklarna β och μ är lika.

Bevis... Om linjerna AB och CD skärs i punkt Q, då skulle vi få en triangel GQH, vars yttre vinkel β skulle vara lika med den inre vinkeln μ, vilket skulle motsäga sats 22, därför skär linjerna AB och CD inte varandra eller AB || CD (CHTD).

2: a fallet. De inre tvärgående hörnen är lika, det vill säga δ = μ.

Bevis... δ = β som vertikal, δ = μ genom hypotes, därav β = μ. Det vill säga att motsvarande vinklar är lika, och i detta fall är linjerna parallella (första fallet).

3: e fallet. Utanför kors och tvärgående hörn är lika, det vill säga β = ρ.

Bevis... β = ρ med hypotes, μ = ρ som vertikal, därför β = μ, eftersom motsvarande vinklar är lika. Därför följer att AB || CD (första fodralet).

4: e fallet. Summan av inre ensidiga är lika med två raka linjer eller γ + μ = 2d.

Bevis... β + γ = 2d som summan av intilliggande, γ + μ = 2d genom hypotes. Därför är β + γ = γ + μ, varifrån β = μ. Motsvarande vinklar är därför lika med AB || CD.

5: e fallet. Summan av den yttre ensidiga är lika med två raka linjer, det vill säga β + v = 2d.

Bevis... μ + ν = 2d som summan av intilliggande, β + ν = 2d genom hypotes. Därför är μ + ν = β + ν, varifrån μ = β. Motsvarande vinklar är därför lika med AB || CD.

I alla fall AB || CD (CHTD).

Sats 38(omvänd 37). Om två raka linjer är parallella, då när deras tredje raka linje skär varandra, kommer de att vara lika: 1) interna tvärgående vinklar, 2) yttre tvärgående, 3) motsvarande vinklar och är lika med två raka linjer 4) summan av inre ensidiga och 5) summan av yttre ensidiga vinklar.

Två parallella linjer AB och CD ges, det vill säga AB || CD (bild 63).

Det krävs att bevisa att alla ovanstående villkor är uppfyllda.

1: a fallet... Vi skär två parallella linjer AB och CD för den tredje lutande linjen EF. Låt G och H beteckna skärningspunkterna för linjerna AB och CD för linjen EF. Från punkten O på mittpunkten för linjen GH tappar vi vinkelrätt mot linjen CD och förlänger den till skärningspunkten med linjen AB vid punkten P. Linjen OQ vinkelrätt mot CD är också vinkelrät mot AB (sats 36). Rätvinkliga trianglar OPG och OHQ är lika, eftersom OG = OH genom konstruktion, ∠ HOQ = ∠ POG som vertikala vinklar, därav OP = OQ.

Därför följer att δ = μ, d.v.s. de inre tvärgående vinklarna är.

2: a fallet... Om AB || CD, då δ = μ, och eftersom δ = β, och μ = ρ, då β = ρ, d.v.s. de yttre tvärgående hörnen är lika.

3: e fallet... Om AB || CD, då δ = μ, och eftersom δ = β, då β = μ, därför motsvarande vinklar är.

4: e fallet... Om AB || CD, då δ = μ, och eftersom δ + γ = 2d, då μ + γ = 2d, det vill säga summan av inre ensidiga är lika med två raka linjer.

5: e fallet... Om AB || CD, då δ = μ.

Eftersom μ + ν = 2d, μ = δ = β, därför ν + β = 2d, d.v.s. summan av den yttre ensidiga är lika med två raka linjer.

Dessa satser antyder Följd. Endast en rak linje kan dras genom en punkt, parallell med en annan rak linje.

Sats 39. Två raka linjer, parallella med den tredje, är parallella med varandra.

Tre raka linjer (bild 64) AB, CD och EF ges, varav AB || EF, CD || EF.

Det krävs att bevisa att AB || CD.

Bevis... Vi skär dessa linjer med den fjärde raden GH.

Om AB || EF då ∠ α = ∠ γ efter behov. Om CD || EF då ∠ β = ∠ γ liksom motsvarande. Därav, ∠ α = ∠ β .

Om motsvarande vinklar är lika är de raka linjerna parallella, därför AB || CD (CHTD).

Sats 40. Vinklarna med samma namn med parallella sidor är lika.

Angivna är vinklar med samma namn (både akuta eller båda trubbiga) vinklar ABC och DEF, deras sidor är parallella, det vill säga AB || DE, BC || EF (bild 65).

Det krävs för att bevisa det ∠ B = ∠ E.

Bevis... Förläng sidan DE till dess skärningspunkt med linjen BC vid punkten G, då

∠ E = ∠ G som motsvarar från skärningspunkten mellan sidorna parallellt med BC och EF för den tredje raka linjen DG.

∠ B = ∠ G motsvarande från skärningspunkten mellan parallella sidor AB och DG på linje BC, därför

∠ E = ∠ B (CHTD).

Sats 41. Motsatta vinklar med parallella sidor kompletterar varandra upp till två raka linjer.

Med tanke på två motsatta vinklar ABC och DEF (Fig. 66) med parallella sidor, därför AB || DE och BC || EF.

Det krävs för att bevisa att ABC + DEF = 2d.

Bevis... Förläng linje DE till korsningen med linje BC vid punkt G.

∠ B + ∠ DGB = 2d som summan av de inre ensidiga vinklarna som bildas genom skärningspunkten mellan den tredje linjen BC parallellt med AB och DG.

∠ DGB = ∠ DEF som motsvarande därför

∠ B + ∠ DEF = 2d (CHTD).

Sats 42. Vinklar med samma namn med vinkelräta sidor är lika och motsatta vinklar kompletterar varandra upp till två raka linjer.

Tänk på två fall: när A) vinklarna har samma namn och när B) är motsatta.

1: a fallet... Sidorna på de två hörnen med samma namn DEF och ABC (Fig. 67) är vinkelräta, dvs DE ⊥ AB, EF ⊥ BC.

Det krävs för att bevisa att ∠ DEF = ∠ ABC.

Bevis... Rita från punkt B linjerna BM och BN parallellt med linjerna DE och EF så att

BM || DE, BN || EF.

Dessa linjer är också vinkelräta mot sidorna av en given vinkel ABC, d.v.s.

BM ⊥ AB och BN ⊥ BC.

Eftersom ∠ NBC = d, ∠ MBA = d, då

∠ NBC = ∠ MBA (a)

Att dra från båda sidor av jämlikheten (a) i NBA -hörnet hittar vi

∠ MBN = ∠ ABC

Eftersom vinklarna MBN och DEF har samma namn och med parallella sidor är de lika (sats 40).

∠ MBN = ∠ DEF (b)

Jämlikheter (a) och (b) innebär jämlikhet

∠ ABC = ∠ DEF (CHTD).

2: a fallet... Vinklarna GED och ABC med vinkelräta sidor har olika dimensioner.

Det krävs för att bevisa att ∠ GED + ∠ ABC = 2d (bild 67).

Bevis... Summan av vinklarna GED och DEF är lika med två raka linjer.

GED + DEF = 2d
DEF = ABC, därför
GED + ABC = 2d (CHTD).

Sats 43. Delar av parallella linjer mellan andra parallella linjer är lika.

Det finns fyra raka linjer AB, BD, CD, AC (Fig. 68), varav AB || CD och BD || AC.

Det krävs för att bevisa att AB = CD och BD = AC.

Bevis... Anslutningspunkt C med punkt B efter segment BC, vi får två lika trianglar ABC och BCD, eftersom

BC - gemensam sida,

∠ α = ∠ β (som intern tvärgående från skärningspunkten mellan parallella linjer AB och CD på den tredje raden BC),

∠ γ = ∠ δ (som interna kors och tvärgående linjer från skärningspunkten mellan parallella linjer BD och AC på linje BC).

Således har trianglar en lika sida och två lika vinklar som ligger på den.

Mittemot de lika vinklarna α och β ligger lika sidor AC och BD, och motsatta lika vinklarna γ och δ - lika sidor AB och CD, därför,

AC = BD, AB = CD (CHTD).

Sats 44. Parallella linjer längs hela deras längd är på lika avstånd från varandra.

Avståndet från en punkt från en rak linje bestäms av längden på den vinkelräta tappade från en punkt till en rak linje. För att bestämma avståndet mellan två punkter A och B parallellt med AB från CD tappar vi vinkelrätterna AC och BD från punkterna A och B.

Med tanke på linje AB parallellt med CD är segmenten AC och BD vinkelräta mot rad -CD, dvs AB || CD, AC ⊥ DC, BD ⊥ CD (bild 69).

Det krävs för att bevisa att AC = BD.

Bevis... Linjerna AC och BD, som båda är vinkelräta mot CD, är parallella, och därför är AC och BD som delar av parallell mellan parallella lika, det vill säga AC = BD (BD).

Sats 45(omvänd 43). Om de motsatta delarna av fyra skärande linjer är lika är dessa delar parallella.

Med tanke på fyra skärande raka linjer, vars motsatta delar är lika: AB = CD och BD = AC (Fig. 68).

Det krävs att bevisa att AB || CD och BD || AC.

Bevis... Låt oss ansluta punkterna B och C med linje BC. Trianglarna ABC och BDC är lika eftersom

BC - gemensam sida,
AB = CD och BD = AC efter villkor.

Härifrån

∠ α = ∠ β , ∠ γ = ∠ δ

Därav,

AC || BD, AB || CD (CHTD).

Sats 46. Summan av vinklarna i en triangel är lika med två rätvinklar.

Med tanke på en triangel ABC (Fig. 70).

Det krävs för att bevisa att A + B + C = 2d.

Bevis... Dra från punkt C en linje CF parallell med sidan AB. Vid punkt C finns det tre vinklar BCA, α och β. Deras summa är lika med två raka linjer:

BCA + a + p = 2d

α = B (som inre tvärgående vinklar vid skärningspunkten mellan parallella linjer AB och CF för linje BC);

β = A (som motsvarande vinklar vid skärningspunkten mellan linjerna AB och CF för linje AD).

Byt ut vinklarna α och β utifrån deras värderingar får vi:

BCA + A + B = 2d (CHTD).

Följande konsekvenser följer av denna sats:

Följande 1. Det yttre hörnet av en triangel är lika med summan av de inre som inte ligger intill den.

Bevis... Från ritning 70,

∠ BCD = ∠ α + ∠ β

Eftersom ∠ α = ∠ B, ∠ β = ∠ A, då

∠ BCD = ∠ A + ∠ B.

Följande 2. I en rätvinklig triangel är summan av de spetsiga vinklarna lika med den rätta vinkeln.

I en rätvinklig triangel (fig. 40)

A + B + C = 2d, A = d, därför
B + C = d.

Följande 3. En triangel kan inte ha mer än en rätt eller en trubbig vinkel.

Följande 4. I en liksidig triangel är varje vinkel 2/3 d .

Faktiskt i en liksidig triangel

A + B + C = 2d.

Eftersom A = B = C, då

3A = 2d, A = 2/3 d.