طرح درس جبر (پایه ششم) با موضوع: "اعداد متقابل". اعداد معکوس

با توجه به اینکه تقریباً همه مدارس مدرنوجود دارد تجهیزات لازمبه منظور نشان دادن فیلم ها و منابع مختلف یادگیری الکترونیکی به کودکان در طول درس، علاقه بهتر دانش آموزان به یک موضوع خاص یا در یک موضوع خاص امکان پذیر می شود. در نتیجه پیشرفت دانش آموزان و رتبه کلی مدرسه افزایش می یابد.

بر کسی پوشیده نیست که نمایش تصویری در طول درس به یادآوری و جذب بهتر تعاریف، وظایف و تئوری کمک می کند. اگر این با صداگذاری همراه باشد، حافظه دیداری و شنیداری همزمان برای دانش‌آموز کار می‌کند. بنابراین آموزش های تصویری یکی از بهترین ها محسوب می شوند مواد موثربرای آموزش.

یک سری قوانین و الزامات وجود دارد که دروس ویدیویی باید از آنها پیروی کنند تا تا حد امکان برای دانش آموزان در سنین مناسب مؤثر و مفید باشند. پس زمینه و رنگ متن باید بر این اساس انتخاب شود، اندازه قلم نباید خیلی کوچک باشد تا متن حتی برای دانش آموزان کم بینا قابل خواندن باشد، و نه خیلی بزرگ باشد که بینایی را تحریک کند و ناراحتی ایجاد کند و غیره. توجه ویژه ای به تصاویر می شود - آنها باید در حد اعتدال باشند و از موضوع اصلی منحرف نشوند.

آموزش تصویری "اعداد متقابل" یک نمونه عالی از چنین منبع آموزشی است. به لطف او، دانش آموز کلاس ششم می تواند به طور کامل بفهمد که اعداد متقابل چیست، چگونه آنها را تشخیص دهد و چگونه با آنها کار کند.

درس با شروع می شود یک مثال ساده، که در آن دو کسر معمولی 15/8 و 8/15 در یکدیگر ضرب می شوند. می توان قاعده ای را به خاطر آورد که همانطور که قبلاً مطالعه شد ، کسری ها باید ضرب شوند. یعنی صورت باید حاصل ضرب مصدرها باشد و مخرج هم حاصل ضرب مخرج ها باشد. در نتیجه کاهش، که همچنین قابل یادآوری است، یک واحد به دست می آید.

بعد از این مثال، بلندگو یک تعریف کلی ارائه می دهد که به صورت موازی روی صفحه نمایش داده می شود. بیان می کند که اعدادی که با ضرب در یکدیگر به یک می رسند، متقابل معکوس نامیده می شوند. یادآوری این تعریف بسیار آسان است، اما اگر چند مثال بزنید، با اطمینان بیشتری در حافظه باقی می ماند.

در صفحه، پس از تعریف مفهوم اعداد متقابل، یک سری حاصل از اعداد نمایش داده می شود که در نتیجه یک واحد تولید می کنند.

برای آوردن یک مثال کلی که به معینی بستگی ندارد مقادیر عددی، از متغیرهای a و b استفاده می شود که با 0 متفاوت است. چرا؟ از این گذشته ، دانش آموزان کلاس ششم باید به خوبی بدانند که مخرج هر کسری نمی تواند برابر با صفر باشد و برای نشان دادن اعداد متقابل ، نمی توان بدون قرار دادن این مقادیر در مخرج انجام داد.

پس از استخراج این فرمول و اظهار نظر در مورد آن، گوینده شروع به بررسی اولین کار می کند. نکته اصلی این است که شما باید معکوس یک داده را پیدا کنید کسر مختلط. برای حل آن، کسر به شکل اشتباه نوشته می شود و صورت و مخرج برعکس می شوند. نتیجه به دست آمده پاسخ است. دانش آموز می تواند به طور مستقل آن را با استفاده از تعریف اعداد متقابل بررسی کند.

آموزش ویدیویی به این مثال محدود نمی شود. به دنبال مورد قبلی، کار دیگری روی صفحه نمایش داده می شود که در آن باید حاصل ضرب سه کسر را پیدا کرد. اگر دانش آموز دقت کند متوجه می شود که دو عدد از این کسرها متقابل هستند بنابراین حاصل ضرب آنها برابر با یک می شود. بر اساس خاصیت ضرب، اول از همه می توان کسرهای معکوس متقابل را ضرب کرد، و در آخر، نتیجه، یعنی 1 را در کسر اول ضرب کرد. بلندگو با جزئیات توضیح می دهد و کل فرآیند را مرحله به مرحله روی صفحه نمایش از ابتدا تا انتها نشان می دهد. در نهایت، یک توضیح تعمیم یافته نظری برای خاصیت ضرب ارائه شده است که در حل مثال به آن تکیه شده است.

برای تثبیت دانش مطمئناً ، ارزش تلاش برای پاسخگویی به تمام سؤالاتی را دارد که در پایان درس نمایش داده می شود.

اعداد معکوس - یا متقابل - به جفت اعدادی گفته می شود که وقتی ضرب شوند، به خودی خود 1 می دهند. نمای کلیاعداد معکوس می شوند مشخصه مورد خاصاعداد متقابل - یک جفت. معکوس ها مثلاً اعداد هستند. .

چگونه متقابل را پیدا کنیم

قانون: باید 1 (یک) را بر عدد داده شده تقسیم کنید.

مثال شماره 1.

عدد 8 داده شده است. معکوس آن 1:8 یا (گزینه دوم ارجح است، زیرا چنین نمادی از نظر ریاضی صحیح تر است).

هنگامی که به دنبال متقابل از کسر مشترک، پس تقسیم آن بر 1 خیلی راحت نیست، زیرا ضبط دست و پا گیر می شود در این مورد، انجام در غیر این صورت بسیار ساده تر است: کسر به سادگی برگردانده می شود و صورت و مخرج را عوض می کند. اگر کسری صحیح داده شود، پس از برگرداندن آن، کسری نامناسب به دست می آید، یعنی. یکی که می توان یک قسمت کامل از آن استخراج کرد. برای انجام یا عدم انجام این کار، باید به صورت موردی تصمیم بگیرید. بنابراین، اگر مجبور شوید با کسر معکوس به دست آمده، اعمالی را انجام دهید (مثلاً ضرب یا تقسیم)، پس نباید کل قسمت را انتخاب کنید. اگر کسر حاصل نتیجه نهایی باشد، شاید انتخاب قسمت صحیح مطلوب باشد.

مثال شماره 2.

با توجه به کسری. معکوس به آن:.

اگر می خواهید متقابل را پیدا کنید کسر اعشاری، سپس باید از قانون اول (تقسیم 1 بر یک عدد) استفاده کنید. در این شرایط می توانید به یکی از 2 روش عمل کنید. اولین مورد این است که به سادگی 1 را بر این عدد به یک ستون تقسیم کنید. دوم این است که کسری از 1 در صورت و اعشاری در مخرج تشکیل دهید و سپس صورت و مخرج را در 10، 100 یا عدد دیگری متشکل از 1 و هر تعداد صفر که لازم است ضرب کنید تا از شر اعشار خلاص شوید. در مخرج نتیجه یک کسر معمولی خواهد بود که نتیجه است. در صورت لزوم، ممکن است لازم باشد آن را کوتاه کنید، یک قسمت صحیح از آن استخراج کنید یا آن را به شکل اعشاری تبدیل کنید.

مثال شماره 3.

عدد داده شده 0.82 است. متقابل آن این است: . حال بیایید کسر را کاهش دهیم و قسمت صحیح را انتخاب کنیم: .

چگونه بررسی کنیم که آیا دو عدد متقابل هستند یا خیر

اصل راستی آزمایی بر اساس تعریف متقابل است. یعنی برای اطمینان از معکوس بودن اعداد باید آنها را ضرب کنید. اگر نتیجه یک باشد، اعداد متقابلا معکوس هستند.

مثال شماره 4.

با توجه به اعداد 0.125 و 8. آیا آنها متقابل هستند؟

معاینه. لازم است حاصل ضرب 0.125 و 8 را پیدا کنیم. برای وضوح، این اعداد را به عنوان کسرهای معمولی ارائه می کنیم: (کسر 1 را 125 کاهش می دهیم). نتیجه گیری: اعداد 0.125 و 8 معکوس هستند.

خواص متقابل

ملک شماره 1

متقابل برای هر عددی غیر از 0 وجود دارد.

این محدودیت به این دلیل است که تقسیم بر 0 غیرممکن است و هنگام تعیین متقابل صفر، فقط باید به مخرج منتقل شود، یعنی. در واقع با آن تقسیم کنید

ملک شماره 2

مجموع یک جفت اعداد متقابل هرگز کمتر از 2 نیست.

از نظر ریاضی، این ویژگی را می توان با نابرابری بیان کرد: .

ملک شماره 3

ضرب یک عدد در دو اعداد متقابلمعادل ضرب در یک است. بیایید این ویژگی را به صورت ریاضی بیان کنیم: .

مثال شماره 5.

مقدار عبارت را پیدا کنید: 3.4 0.125 8. از آنجایی که اعداد 0.125 و 8 متقابل هستند (به مثال شماره 4 مراجعه کنید)، نیازی به ضرب 3.4 در 0.125 و سپس در 8 نیست. بنابراین پاسخ در اینجا 3.4 است.

تعریف می کنیم و مثال هایی از اعداد متقابل می زنیم. نحوه یافتن متقابل یک عدد طبیعی و متقابل یک کسری معمولی را در نظر بگیرید. علاوه بر این، نابرابری را می نویسیم و ثابت می کنیم که خاصیت مجموع اعداد متقابل را منعکس می کند.

Yandex.RTB R-A-339285-1

اعداد متقابل تعریف

تعریف. اعداد متقابل

اعداد متقابل به اعدادی گفته می شود که حاصل ضرب آنها یک می شود.

اگر a · b = 1 باشد، می توان گفت که عدد a متقابل عدد b است، همانطور که عدد b متقابل عدد a است.

ساده ترین مثال اعداد متقابل دو یک است. در واقع، 1 1 = 1، بنابراین a = 1 و b = 1 اعداد متقابل معکوس هستند. مثال دیگر اعداد 3 و 1 3 , - 2 3 و - 3 2 , 6 13 و 13 6 , log 3 17 و log 17 3 هستند. حاصل ضرب هر جفت از اعداد فوق برابر با یک است. اگر این شرط برقرار نباشد، مثلاً با اعداد 2 و 2 3، آنگاه اعداد متقابلا معکوس نیستند.

تعریف اعداد متقابل برای هر اعداد - طبیعی، صحیح، واقعی و مختلط معتبر است.

نحوه یافتن متقابل یک عدد معین

در نظر گرفتن مورد کلی. اگر عدد اصلی برابر با a باشد، عدد متقابل آن به صورت 1 a یا a-1 نوشته می شود. در واقع، a · 1 a = a · a - 1 = 1 .

برای اعداد طبیعی و کسرهای معمولی، یافتن متقابل نسبتاً آسان است. حتی ممکن است کسی بگوید که واضح است. در صورت پیدا کردن عددی که معکوس یک عدد غیر منطقی یا مختلط است، باید تعدادی محاسبات انجام شود.

رایج ترین موارد در عمل یافتن متقابل را در نظر بگیرید.

متقابل کسری مشترک

بدیهی است که متقابل کسر مشترک a b کسری b a است. بنابراین، برای یافتن متقابل یک کسری، فقط باید کسر را برگردانید. یعنی صورت و مخرج را عوض کنید.

طبق این قانون، تقریباً بلافاصله می توانید متقابل هر کسری معمولی را بنویسید. بنابراین، برای کسر 28 57، متقابل کسری 57 28 خواهد بود، و برای کسری 789 256 - عدد 256 789.

متقابل یک عدد طبیعی

شما می توانید متقابل هر عدد طبیعی را مانند متقابل یک کسری پیدا کنید. کافی است یک عدد طبیعی a را به عنوان کسری معمولی a 1 نشان دهیم. سپس متقابل آن 1 a خواهد بود. برای عدد طبیعی 3 دارای یک متقابل 1 3 است، برای 666 متقابل 1 666 است و به همین ترتیب.

توجه ویژه ای باید به واحد شود، زیرا چنین است مفرد، که متقابل آن برابر با خودش است.

هیچ جفت دیگری از اعداد متقابل وجود ندارد که هر دو جزء برابر باشند.

متقابل یک عدد مختلط

عدد مختلط به شکل a b c است. برای یافتن متقابل آن، شما نیاز دارید شماره های درهمکسر نامناسبی را در پهلو ارائه دهید و کسری متقابل را برای کسر حاصل انتخاب کنید.

برای مثال، بیایید متقابل 7 2 5 را پیدا کنیم. ابتدا، بیایید 7 2 5 را به عنوان یک کسر نامناسب نشان دهیم: 7 2 5 = 7 5 + 2 5 = 37 5 .

برای کسر نامناسب 37 5، متقابل 5 37 است.

متقابل یک اعشار

یک کسر اعشاری را می توان به عنوان یک کسر معمولی نیز نشان داد. یافتن متقابل کسری اعشاری یک عدد به نمایش کسری اعشاری به عنوان کسری مشترک و یافتن متقابل آن می رسد.

به عنوان مثال، یک کسر 5، 128 وجود دارد. بیایید متقابل آن را پیدا کنیم. ابتدا عدد اعشار را به کسری مشترک تبدیل می کنیم: 5, 128 = 5 128 1000 = 5 32 250 = 5 16 125 = 641 125. برای کسر حاصل، متقابل کسری 125641 خواهد بود.

بیایید یک مثال دیگر را در نظر بگیریم.

مثال. پیدا کردن متقابل یک اعشار

متقابل کسر اعشاری تناوبی 2، (18) را بیابید.

تبدیل اعشار به معمولی:

2، 18 = 2 + 18 10 - 2 + 18 10 - 4 + . . . = 2 + 18 10 - 2 1 - 10 - 2 = 2 + 18 99 = 2 + 2 11 = 24 11

پس از ترجمه، به راحتی می توانیم متقابل کسر 24 11 را یادداشت کنیم. این عدد به وضوح 11 24 خواهد بود.

برای کسر اعشاری نامتناهی و غیر تکراری، متقابل به صورت کسری با یک واحد در صورت و خود کسری در مخرج نوشته می شود. به عنوان مثال، برای کسر نامتناهی 3، 6025635789. . . متقابل 1 3 6025635789 خواهد بود. . . .

به طور مشابه برای اعداد گنگ، مربوط به کسرهای نامتناهی غیر تناوبی، متقابل ها به صورت عبارات کسری نوشته می شوند.

به عنوان مثال، متقابل π + 3 3 80 80 π + 3 3 است و برای 8 + e 2 + e متقابل 1 8 + e 2 + e است.

اعداد متقابل با ریشه

اگر شکل دو عدد با a و 1 a متفاوت باشد، تعیین اینکه آیا اعداد متقابلا معکوس هستند یا خیر، همیشه آسان نیست. این امر به ویژه در مورد اعدادی که علامت ریشه در نماد خود دارند صادق است، زیرا معمولاً مرسوم است که از ریشه در مخرج خلاص شود.

بیایید به تمرین روی بیاوریم.

بیایید به این سوال پاسخ دهیم: آیا اعداد 4 - 2 3 و 1 + 3 2 متقابل هستند.

برای اینکه بفهمیم اعداد متقابلا معکوس هستند یا خیر، حاصل ضرب آنها را محاسبه می کنیم.

4 - 2 3 1 + 3 2 = 4 - 2 3 + 2 3 - 3 = 1

حاصل ضرب برابر با یک است، به این معنی که اعداد متقابلا معکوس هستند.

بیایید یک مثال دیگر را در نظر بگیریم.

مثال. اعداد متقابل با ریشه

متقابل 5 3 + 1 را یادداشت کنید.

بلافاصله می توانید بنویسید که متقابل برابر با کسری 1 5 3 + 1 است. با این حال، همانطور که قبلاً گفتیم، مرسوم است که از ریشه در مخرج خلاص شود. برای انجام این کار، صورت و مخرج را در 25 3 - 5 3 + 1 ضرب کنید. ما گرفتیم:

1 5 3 + 1 = 25 3 - 5 3 + 1 5 3 + 1 25 3 - 5 3 + 1 = 25 3 - 5 3 + 1 5 3 3 + 1 3 = 25 3 - 5 3 + 1 6

اعداد متقابل با توان

فرض کنید یک عدد برابر با مقداری توان عدد a وجود دارد. به عبارت دیگر، عدد a به توان n افزایش یافته است. متقابل یک n a - n است . بگذار چک کنیم. در واقع: a n a - n = a n 1 1 a n = 1 .

مثال. اعداد متقابل با توان

متقابل 5 - 3 + 4 را پیدا کنید.

با توجه به موارد فوق عدد مورد نظر 5 - - 3 + 4 = 5 3 - 4 می باشد

متقابل با لگاریتم

برای لگاریتم عدد a به پایه b، متقابل عدد است، برابر با لگاریتماعداد b به پایه a

log a b و log b a اعداد متقابل هستند.

بگذار چک کنیم. از خصوصیات لگاریتم نتیجه می شود که log a b = 1 log b a , که به معنای log a b · log b a است .

مثال. متقابل با لگاریتم

متقابل log 3 5 - 2 3 را بیابید.

متقابل لگاریتم 3 به پایه 3 5 - 2 لگاریتم 3 5 - 2 به پایه 3 است.

متقابل یک عدد مختلط

همانطور که قبلا ذکر شد، تعریف اعداد متقابل نه تنها برای اعداد حقیقی، بلکه برای اعداد مختلط نیز معتبر است.

معمولاً اعداد مختلط به شکل جبری z = x + i y نشان داده می شوند. متقابل این یک کسری خواهد بود

1 x + i y . برای راحتی، این عبارت را می توان با ضرب صورت و مخرج در x - i y کوتاه کرد.

مثال. متقابل یک عدد مختلط

بگذارید یک عدد مختلط z = 4 + i وجود داشته باشد. بیایید متقابل آن را پیدا کنیم.

متقابل z = 4 + i برابر با 1 4 + i خواهد بود.

صورت و مخرج را در 4 - i ضرب کنید و بدست آورید:

1 4 + i \u003d 4 - i 4 + i 4 - i \u003d 4 - i 4 2 - i 2 \u003d 4 - i 16 - (- 1) \u003d 4 - i 17.

یک عدد مختلط علاوه بر شکل جبری آن را می توان به صورت مثلثاتی یا نمایی به صورت زیر نشان داد:

z = r cos φ + i sin φ

z = r e i φ

بر این اساس، عدد متقابل به صورت زیر خواهد بود:

1 r cos (- φ) + i sin (- φ)

بیایید از این مطمئن شویم:

r cos φ + i sin φ 1 r cos (- φ) + i sin (- φ) = rr cos 2 φ + sin 2 φ = 1 r ei φ 1 rei (- φ) = re 0 = 1

مثال هایی را با نمایش اعداد مختلط به صورت مثلثاتی و نمایی در نظر بگیرید.

معکوس 2 3 cos π 6 + i · sin π 6 را پیدا کنید.

با توجه به اینکه r = 2 3 , φ = π 6 , عدد متقابل را می نویسیم

3 2 cos - π 6 + i sin - π 6

مثال. متقابل یک عدد مختلط را پیدا کنید

معکوس 2 · e i · - 2 π 5 چیست.

پاسخ: 1 2 e i 2 π 5

مجموع اعداد متقابل. نابرابری

یک قضیه در مورد مجموع دو عدد متقابل وجود دارد.

مجموع اعداد متقابل

مجموع دو عدد مثبت و متقابل همیشه بزرگتر یا مساوی 2 است.

ما اثبات قضیه را ارائه می کنیم. همانطور که می دانید، برای هر عدد مثبت a و b، میانگین حسابی بزرگتر یا مساوی با میانگین هندسی است. این را می توان به عنوان یک نابرابری نوشت:

a + b 2 ≥ a b

اگر به جای عدد b معکوس a را بگیریم، نابرابری به شکل زیر در می آید:

a + 1 a 2 ≥ a 1 a a + 1 a ≥ 2

Q.E.D.

بیایید یک مثال عملی برای نشان دادن این ویژگی ارائه دهیم.

مثال. مجموع اعداد متقابل را بیابید

بیایید مجموع اعداد 2 3 و متقابل آن را محاسبه کنیم.

2 3 + 3 2 = 4 + 9 6 = 13 6 = 2 1 6

همانطور که قضیه می گوید، عدد حاصل بزرگتر از دو است.

اگر متوجه اشتباهی در متن شدید، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید