Kuinka ratkaista ohjeelliset epätasa-arvot esimerkit liuoksella. Ohjeelliset yhtälöt ja eriarvoisuudet

Jos $ B $: n rooli voi olla yhteinen numero ja ehkä jotain muuta. Esimerkkejä? Kyllä kiitos:

\\ [Aloita (kohdistus) & ((2) ^ (x)) \\ GT 4; \\ quad (2) ^ (x - 1)) \\ le \\ frac (1) (\\ sqrt (2)); \\ Quad ((2) ^ (((x) ^ (2)) - 7x + 14)) \\ LT 16; \\\\ & ((0.1) ^ (1-x)) \\ LT 0.01; \\ quad (2) ^ (\\ frac (x) (2))) \\ LT ((4) ^ (\\ FRAC (4) ( x))). \\\\\\ Lopeta (kohdistus) \\]

Mielestäni merkitys on selvä: on ohjeellinen funktio $ (a) ^ (x)), verrattuna johonkin, ja pyydetään sitten löytämään $ x $. Erityisesti kliiniset tapaukset muuttujan sijasta $ x $, jotkut funktiot $ f vasemmalle (x \\ oikea) $ ja siten hieman epätasa-arvo. :)

Tietenkin joissakin tapauksissa epätasa-arvo voi näyttää vakavalta. Esimerkiksi:

\\ [((9) ^ (x)) + 8 \\ GT ((3) ^ (x + 2)) \\]

Tai jopa täällä:

Yleensä tällaisten epätasa-arvojen monimutkaisuus voi olla erilainen, mutta lopulta ne vähennetään edelleen yksinkertaiseen $ (a) ^ (x)) \\ GT B $. Ja tällainen muotoilu, jota jotenkin ymmärrämme (erityisesti kliiniset tapaukset, kun mikään ei tule mieleen, Logaritmit auttavat meitä). Siksi mainitsemme tällaisia \u200b\u200byksinkertaisia \u200b\u200bmalleja.

Yksinkertaisimman esittelyn eriarvoisuuden ratkaisu

Harkitse mitään melko yksinkertaista. Esimerkiksi tämä on:

\\ [((2) ^ (x)) \\ GT 4 \\]

On selvää, että oikean lukumäärä voidaan kirjoittaa uudelleen kahdella tasolla: $ 4 \u003d ((2) ^ (2)) $. Näin ollen alkuperäinen eriarvoisuus kirjoittaa erittäin miellyttävässä muodossa:

\\ [((2) ^ (x)) \\ GT ((2) ^ (2)) \\]

Ja nyt kädet ovat naarmuuntumista "Cross" Twos seisoo asteina, jotta saat vastauksen $ x $ 2. Mutta ennen kuin huijata siellä, muistamme asteet:

\\ [((2) ^ (1)) \u003d 2; \\ quad (((2) ^ (2)) \u003d 4; \\ quad (2) ^ (3) \u003d 8; \\ quad ((2) ^ (4)) \u003d 16; ... \\]

Kuten näemme, suurempi numero on indikaattori laajuudessa, sitä enemmän numero poistumisessa. "Kiitos, korkki!" - Hävitä joku opetuslapsista. Onko se erilainen? Valitettavasti se tapahtuu. Esimerkiksi:

\\ [((vasemmalle (\\ frac (1) (2) oikea)) ^ (1)) \u003d \\ frac (1) (2); \\ quad ((\\ FRAC (1) (2) \\ Oikealla)) ^ (2)) \u003d \\ frac (1) (4); \\ quad ((vasemmalla (\\ frac (1) (2))) ^ (3)) \u003d \\ frac (1) (8 ); ... \\]

Täällä myös kaikki on loogista: enemmän tutkinto, sitä enemmän kertaa numero 0,5 kerrotaan itsessään (toisin sanoen se on jaettu puoliksi). Siten tuloksena oleva numeron sekvenssi pienenee ja ensimmäisen ja toisen sekvenssin välinen ero koostuu vain pohjalla:

• Jos asteen perusta $ 1 $ 1, kun merkkivalo kasvaa $ n $ numero $ ((a) ^ (n)) $ kasvaa myös;
• Ja päinvastoin, jos $ 0 \\ ltin $ 1 $, koska indikaattori kasvaa $ n $ numero $ ((a) ^ (n)) $ laskee.

Yhteenveto näistä tosiasioista, saamme tärkein lausunto, josta kaikki perustuu ohjeellinen eriarvoisuus:

Jos $ A \\ GT $ 1, niin epätasa-arvo $ (a) ^ (x)) \\ g (a) ^ (n)) $ vastaa epätasa-arvoa $ x \\ GT n $. Jos $ 0 \\ lt 1 $, sitten epätasa-arvo on $ (a) ^ (x)) \\ GT (a) ^ (n)) $ vastaa $ x \\ lt n $.

Toisin sanoen, jos perusta on suurempi kuin yksikkö, se voidaan poistaa yksinkertaisesti - epätasa-arvon merkki ei muutu. Ja jos pohja on pienempi kuin yksi, se voidaan myös poistaa, mutta samalla sinun on muutettava epätasa-arvon merkki.

Huomaa: Emme pitäneet vaihtoehtoja $ a \u003d 1 $ ja $ a \\ le 0 $. Koska näissä tapauksissa epävarmuus syntyy. Oletetaan, miten voit ratkaista eriarvoisuus $ ((1) ^ (x)) \\ GT $ 3? Yksikkö millään määrin antaa yksikön uudelleen - emme koskaan saa kolminkertaista tai enemmän. Nuo. Ratkaisuja ei ole.

Negatiivisten syiden kanssa se on vielä mielenkiintoisempaa. Harkitse esimerkkiä tällainen epätasa-arvo:

\\ [((vasen (-2 \\ reitit) ^ (x)) \\ g 4 \\]

Ensi silmäyksellä kaikki on yksinkertaista:

Oikea? Ja tässä ei ole! Riittää korvaavan sijasta $ x $ pari valmiina ja pari paritonta numeroa varmistaakseen, että päätös on virheellinen. Katso:

\\ [Aloita (kohdistus) & x \u003d 4 \\ Orgarrow ((vasen (-2 \\ reitit)) ^ (4)) \u003d 16 \\ GT 4; \\\\ & x \u003d 5 \\ raakain ((vasen (-2 \\ reitit)) ^ (5)) \u003d - 32 \\ LT 4; \\\\ & x \u003d 6 \\ raakain ((vasen (-2 \\ reitit)) ^ (6)) \u003d 64 \\ GT 4; \\\\ & X \u003d 7 \\ Orgarrow ((vasen (-2 \\ reitit)) ^ (7)) \u003d - 128 \\ lt 4. \\\\\\ loppu (kohdakka) \\]

Kuten näet, merkitsee varajäsenten. Mutta on olemassa enemmän murtoja ja muita tina. Kuinka esimerkiksi laskea $ ((vasemmalle (-2)) ^ (\\ sqrt (7))) $ (miinus kahdesti seitsemän pisteeseen)? Kyllä, mitään!

Siksi varmuudella uskotaan, että kaikissa ohjeellisissa eriarvoisuudessa (ja yhtälöissä, muualla) $ 1 \\ ne a \\ g 0 $. Ja sitten kaikki ratkaistaan \u200b\u200bhyvin yksinkertaisesti:

\\ [(a) ^ (x)) \\ GT (a) ^ (n)) \\ rikari - vasen [Aloitus (kohdistus) & x \\ GT N \\ quad \\ Vasen (A \\ GT 1 \\ Right), \\\\ & x \\ lt n \\ quad \\ vasen (0 \\ lt 1 \\ End (kohdista) oikea. \\]

Yleensä taas muistaa tärkein sääntö: jos alustava yhtälö on suurempi kuin yksi, se voidaan yksinkertaisesti poistaa; Ja jos pohja on pienempi kuin yksi, se voidaan myös poistaa, mutta epätasa-arvon merkki muuttuu.

Esimerkkejä ratkaisuista

Joten harkitse yksinkertaisia \u200b\u200besittelyn eriarvoisuutta:

\\ [Aloita (kohdistus) & ((2) ^ (x - 1)) \\ le \\ frac (1) (\\ sqrt (2)); \\\\ & ((0,1) ^ (1 - x)) \\ LT 0,01; \\\\ & ((2) ^ (((x) ^ (2)) - 7x + 14)) \\ LT 16; \\\\ & ((0.2) ^ (1 + ((x) ^ (2)))) \\ GE \\ frac (1) (25). \\\\\\ Lopeta (kohdistus) \\]

Ensisijainen tehtävä kaikissa tapauksissa on sama: vähentää epätasa-arvoa yksinkertaisimmalle $ (a) ^ (x)) \\ g (a) ^ (n)) $. Tätä nyt tehdään jokaisen epätasa-arvon ja samalla toistuvat asteiden ominaisuudet ja ohjeellinen toiminta. Mennään siis!

\\ [(2) ^ (x - 1)) \\ le \\ frac (1) (\\ sqrt (2)) \\]

Mitä voin tehdä täällä? No, vasemmalla, meillä on esittelyn ilmaisu, ei ole tarpeen muuttaa mitään. Mutta oikealla on jonkinlainen paska: murto ja jopa nimittäjä juuri!

Muistakaamme kuitenkin säännöt fraktioiden ja asteiden käsittelyyn:

\\ [Aloita (kohdistus) & \\ frac (1) (((a) ^ (n)) \u003d (a) ^ (- n)); \\\\ \\ sqrt [k] (a) \u003d ((a) ^ (\\ frac (1) (k))). \\\\\\ Lopeta (kohdistus) \\]

Mitä se tarkoittaa? Ensinnäkin voimme helposti päästä eroon fraktiosta ja kääntää sen tutkintoon negatiivisella indikaattorilla. Ja toiseksi, koska juuret ovat nimittäjän, olisi mukavaa kääntää se tutkintoon - tällä kertaa murto-indikaattorilla.

Käytä näitä toimia johdonmukaisesti epätasa-arvon oikealla puolella ja katso, mitä tapahtuu:

\\ [FRAC (1) (\\ SQRT (2)) \u003d ((\\ SQRT (2) Oikea)) ^ (- 1)) \u003d ((vasemmalla ((((((2) ^ ( 1) (3))) oikealla)) ^ (- 1)) \u003d ((2) ^ (\\ frac (1) (3) \\ CDOT \\ Recle (-1 \\ Right))) \u003d ((2) ^ (- \\ frac (1) (3))) \\]

Älä unohda, että kun eritteet näiden tutkintojen indikaattoreiden asteina. Yleensä, kun työskentelet ohjeellisten yhtälöiden ja eriarvoisuuksien kanssa, on ehdottoman välttämätöntä tietää ainakin yksinkertaisimmat säännöt tutkintojen kanssa:

\\ [Aloita (kohdistus) & ((a) ^ (x)) \\ CDOT ((a) ^ (y)) \u003d ((a) ^ (x + y)); \\\\ \\ frac ((a) ^ (x))) ((a) ^ (y))) \u003d ((a) ^ (x-y)); \\\\ & ((Vasen ((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((( \\\\\\ Lopeta (kohdistus) \\]

Itse asiassa viimeinen sääntö, jota käytämme juuri. Siksi ensimmäinen epätasa-arvoamme uudelleenkirjoittaminen seuraavasti:

\\ [(2) ^ (x - 1)) \\ le \\ frac (1) (\\ sqrt (2)) \\ raaka ((2) ^ (x - 1)) \\ le ((2) ^ Frac (1) (3))) \\]

Päästä nyt eroon kahdesta pohjasta. Koska 2\u003e 1 epätasa-arvo on sama:

\\ [Aloita (kohdistus) & X-1 \\ le - \\ FRAC (1) (3) \\ Righrarrow X \\ Le 1- \\\\ & x \\ Vasen (- \\ infty; \\ frac (2) (3) oikealla]. \\\\\\ End (kohdakka) \\]

Se on kaikki päätös! Tärkein vaikeus ei ole lainkaan vaikutustoiminnossa, vaan alkuperäisen lausekkeen toimivaltainen muutos: sinun on huolellisesti ja maksimoida se, jotta se voi tuoda sen yksinkertaisimmalle mielelle.

Harkitse toinen epätasa-arvo:

\\ [((0,1) ^ (1 - x)) \\ LT 0.01 \\]

Niin. Täällä odotamme desimaalien fraktioita. Kuten olen jo puhunut monta kertaa, missään asteen ilmaisuissa sinun pitäisi päästä eroon desimaalien fraktioista - on usein mahdollista nähdä nopea ja yksinkertainen ratkaisu. Joten pääsemme eroon:

\\ [Aloita (kohdistus) & 0.1 \u003d \\ frac (1) (10); \\ quad 0,01 \u003d \\ frac (1) (100) \u003d ((\\ Lef (1 Frac (1) (10) \\ T ) ^ (2)); \\\\ & (0.1) ^ (1 - x)) \\ Lt 0.01 \\ Ripillinen ((\\ frac (1) (1))) ^ (1 - x)) \\ lt (( \\ Frac (1) (10) oikean)) ^ (2)). \\\\\\ Lopeta (kohdistus) \\]

Meillä on äskettäin yksinkertaisin epätasa-arvo, ja jopa 1/10, toisin sanoen. Pienet yksiköt. No, poistamme säätiöt, siirtämällä merkki "vähemmän" kohtaan "enemmän", ja saamme:

\\ [Aloita (kohdistus) & 1-X \\ GT 2; \\\\ & -X \\ GT 2-1; \\\\ & -X \\ GT 1; \\\\ & x \\ LT -1. \\\\\\ Lopeta (kohdistus) \\]

Vastaanotettu lopullinen vastaus: $ X \\ Vasen (- \\ infty, -1 oikea) $. Huomaa: vastaus on juuri asetettu ja ei missään tapauksessa $ x \\ LT-$ $. Koska muodollisesti tällainen muotoilu ei ole paljon, ja epätasa-arvo suhteessa $ x $ muuttujaan. Kyllä, se on hyvin yksinkertaista, mutta tämä ei ole vastaus!

Tärkeä muistiinpano. Tämä epätasa-arvo voitaisiin ratkaista eri tavalla - tuomalla molemmat osat tutkinnon perusteella, suuri yksikkö. Katso:

\\ [\\ FRAC (1) (10) \u003d (((10) ^ (- 1)) \\ rightarrow ((\\ vasemmalle (((10) ^ (- 1)) \\ oikea)) ^ (1-x)) \\ Lt ((vasemmalle (((((((((((((((((((((((((((10)) \\ oikea)) ^ (2)) \\ raaka ((10) ^ (- 1 \\ cdot \\ vasen (1-x \\ reitit))) \\ LT ((10) ^ (- 1 \\ CDOT 2)) \\]

Tällaisen muunnoksen jälkeen saamme jälleen demonstrative epätasa-arvo, mutta pohja 10\u003e 1. tarkoittaa, että voit yksinkertaisesti ylittää kymmenen parasta - epätasa-arvon merkki ei muutu. Saamme:

\\ [Aloita (kohdistus) & -1 \\ Cdot \\ Vasen (1-x oikea) \\ LT -1 \\ CDOT 2; \\\\ & X-1 \\ LT -2; \\\\ & X \\ LT -2 + 1 \u003d -1; \\\\ & x \\ LT -1. \\\\\\ Lopeta (kohdistus) \\]

Kuten näette, vastaus osoittautui samaksi. Samaan aikaan pelastimme itsesi tarpeesta muuttaa merkkiä ja muistaa yleensä joitain sääntöjä. :)

\\ [((2) ^ (((x) ^ (2)) - 7x + 14)) \\ LT 16 \\]

Olkoon kuitenkin peloissaan. Joten indikaattoreissa ei ole mikään ei ole sama kuin epätasa-arvon ratkaiseminen on sama. Siksi huomaamme, että se alkaa, että 16 \u003d 2 4. Kirjoitan alkuperäisen epätasa-arvon uudelleen ottaen huomioon tämän tosiasian:

\\ [Aloita (kohdistus) & ((2) ^ (((x) ^ (2)) - 7x + 14)) \\ LT ((2) ^ (4)); \\\\ & (x) ^ (2)) - 7x + 14 \\ LT 4; \\\\ & ((x) ^ (2)) - 7x + 10 \\ lt 0. \\\\\\ End (kohdakka) \\]

Hurraa! Saimme tavallisen neliön epätasa-arvo! Merkki ei ole muuttunut missään, koska pohjalla on kaksi kertaa - useita yksiköitä.

Nolla toimii numeerisella suoralla

Asetamme toiminnon merkkejä $ f vasemmalle (x) ^ (2)) - 7x + $ 10 - Ilmeisesti se on paraboli, jolla on oksat, joten siellä on "Pluses" . Olemme kiinnostuneita alueesta, jossa toiminta on alle nolla, ts. $ X \\ Vasen (2; 5 \\ Right) $ on vastaus alkuperäiseen tehtävään.

Lopuksi harkita toista epätasa-arvoa:

\\ [((0,2) ^ (1 + ((x) ^ (2)))) \\ GE \\ frac (1) (25) \\]

Jälleen kerran näet ohjeellinen toiminta Desimaalifraktiolla pohjassa. Siirrä tämä fraktio tavalliseen:

\\ [\\ Begin (Kohdista) ja 0,2 \u003d \\ FRAC (2) (10) \u003d \\ FRAC (1) (5) \u003d ((5) ^ (- 1)) \\ rightarrow \\\\ & \\ rightarrow ((0, 2 ) ^ (1 + ((x) ^ (2))) \u003d ((vasemmalle (((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((x) ^ (2) ))) \u003d ((5) ^ (- 1 \\ CDOT \\ Vasen (1 + ((x) ^ (2)))))))))

Tässä tapauksessa, me käytti aikaisemmin annettu huomautukset - emäs pelkistettiin numero 5\u003e 1 yksinkertaistamiseksi edelleen päätöksen. Samalla tavalla ja oikealla puolella:

\\ [\\ Flac (1) (25) \u003d ((vasemmalle (\\ frac (1) (5) oikealla) ^ (2)) \u003d (((vasemmalla ((((5) ^ (- 1)) \\ Oikea)) ^ (2)) \u003d ((5) ^ (- 1 \\ cdot 2)) \u003d ((5) ^ (- 2)) \\]

Kirjoitan alkuperäisen epätasa-arvon uudelleen ottaen huomioon molemmat muutokset:

\\ [(((0,2) ^ (1 + ((x) ^ (2)))) \\ GE \\ FRAC (1) (25) \\ rightarrow ((5) ^ (- 1 \\ cdot \\ vasemmalle (1+ ( (x) ^ (2)) oikealla)))) \\ GE ((5) ^ (- 2)) \\]

Molemmilla puolilla olevat perusteet ovat samat ja paremmat kuin yksi. Ei ole muita termejä oikealla ja vasemmalla, joten he yksinkertaisesti "kiristää" viisi ja saada yksinkertainen ilmaisu:

\\ [Aloita (kohdistus) & -1 \\ Cdot \\ Vasen (1 + ((x) ^ (2)) \\ GE -2; \\\\ & -1 - ((x) ^ (2)) \\ GE -2; \\\\ & - ((x) ^ (2)) \\ GE -2 + 1; \\\\ & - ((x) ^ (2)) \\ GE -1; \\ quad \\ left | \\ Cdot \\ Vasen (-1 oikea) oikealla. \\\\ & ((x) ^ (2)) \\ le 1. \\\\\\ loppu (kohdista) \\]

Täällä on tarpeen olla varovainen. Monet opiskelijat rakastavat vain neliöjuuri heidän molemmat osat epätasa-arvon ja kirjoittavat jotain $ X: n hengen hengessä vasemmalla (- - \\ infty; -1 oikealla] $. Voit tehdä tämän missään tapauksessa, koska juuri neliö on moduuli, ja missään tapauksessa ei ole alkuperäistä muuttujaa:

\\ [\\ Sqrt (((x) ^ (2)) \u003d \\ Vasen | X \\ Oikea | \\]

Kuitenkin moduulien työskentely ei ole miellyttävin ammatti, eikö? Joten emme toimi. Ja sen sijaan yksinkertaisesti siirrämme kaikki termit vasemmalle ja ratkaista tavanomaiset väliajat:

$ \\ aloita (kohdistus) & ((x) ^ (2)) - 1 \\ le 0; \\\\ \\ vasemmalle (x-1 \\ oikealle) \\ vasemmalle (x + 1 \\ oikealla) \\ le 0 \\\\ \\ ((x) _ (1)) \u003d 1, \\ quad ((x) _ (2)) \u003d -1; \\\\\\ loppu (kohdista) $

Huomaamme jälleen numeerisessa suorassa ja katsomassa merkkejä:

Koska olemme ratkaisseet uskomattoman eriarvoisuuden, kaikki kaavion kohdat on maalattu. Siksi vastaus on näin: $ X \\ Vasen [-1; 1 \\ reitit] $ - ei väli, nimittäin segmentti.

Yleensä haluaisin huomata, että ohjeellisessa eriarvoisuudessa ei ole mitään monimutkaista. Kaikkien transformien merkitys, jota meitä tehtiin tänään, vähentävät yksinkertaiseen algoritmiin:

• Etsi perusta, johon ratkaisemme kaikki asteet;
• Suorita muuntaminen varovasti niin, että tyypin $ (a) ^ (x)) epätasa-arvo on saatu $ (a) ^ (n)). Tietenkin muuttujien sijasta $ x $ ja $ n $ voi olla paljon enemmän monimutkaiset toiminnotMutta tämän merkitys ei muutu;
• Lyö asteiden perusta. Samaan aikaan epätasa-arvon merkki voi muuttua, jos perusta on $ 1.

Pohjimmiltaan tämä universal Algoritmi Kaikki tällaiset eriarvoisuudet. Ja kaikki, mitä sanotte tästä aiheesta - vain erityiset tekniikat ja temppuja, joiden avulla voit yksinkertaistaa ja nopeuttaa muutosta. Täällä puhumme yhdestä näistä tekniikoista. :)

Rationalisointimenetelmä

Harkitse toista eriarvoja:

\\ [Aloita (kohdista) & ((\\ Teksti) \\! \\ Teksti ()) ^ (x + 7)) \\ GT ((\\ Teksti () \\! \\! \\ PI \\! \\! \\ Teksti ()) ^ (((x) ^ (2)) - 3x + 2)); \\\\ & ((vasemmalle (2 \\ sqrt (3) -3 \\ oikea)) ^ (((x) ^ (2)) - 2x)) \\ LT 1; \\\\ & ((Vasen (\\ frac (1) (3) oikeanpuoleinen)) ^ (((x) ^ (2)) + 2x)) \\ GT ((\\ FRAC (1) (9) Oikealla)) ^ (16 - x)); \\\\ & ((vasemmalla (3-2 \\ sqrt (2) oikealla)) ^ (3x - ((x) ^ (2)))) \\\\\\ End (kohdakka) \\]

Joten mikä on niin erikoista niistä? Ne ovat keuhkoja. Vaikka se pysähtyy! Numero π on rakennettu mihin tahansa asteeseen? Mitä hölynpölyä?

Ja miten rakentaa useita $ 2 \\ sqrt (3) -3 $? Tai $ 3-2 \\ sqrt (2) $? Haasteet ilmeisesti taistelivat "hawthorn" ennen istumista töihin. :)

Itse asiassa ei mitään kauheaa näissä tehtävissä. Haluan muistuttaa teitä: ohjeellinen toiminto kutsutaan tyypin $ (a) ^ (x)) ilmaisuksi, jossa perusta $ A $ on mikä tahansa positiivinen luku, lukuun ottamatta laitetta. Tiedämme myös numeron π positiivisesti. Numbers $ 2 \\ sqrt (3) -3 dollaria ja $ 3-2 \\ sqrt (2) $ ovat myös positiivisia - on helppo varmistaa, että vertailet niitä nollalla.

On osoittautunut, että kaikki nämä "pelottavat" epätasa-arvot eivät eroa yksinkertaisista, keskusteltu edellä? Ja ratkaistaan \u200b\u200bsamalla tavalla? Kyllä, aivan oikein. Esimerkkinä haluaisin kuitenkin harkita yhden vastaanoton, joka säästää aikaa itsenäinen työ ja tentit. Se on noin järkeistämismenetelmää. Niin, huomiota:

Mikä tahansa ohjeellinen epätasa-arvo ((a) ^ (x)) \\ GT (a) ^ (n)) $ vastaa $ vasemmalle (XN \\ Right) \\ CDOT \\ CDOT (A-1 Oikeassa) \\ GT 0 $.

Se on koko menetelmä. :) Ja luulit, että olisi jotain muuta peliä? Mikään näin! Mutta tämä yksinkertainen tosiasia kirjaimellisesti yhdellä rivillä yksinkertaistaa suuresti meitä työtä. Katso:

\\ [Aloita (matriisi) ((\\ t) \\! \\! \\ Teksti ()) ^ (x + 7)) \\ GT (\\ Teksti () \\! \\! \\ PI \\ ! \\! \\ Teksti ()) ^ (((x) ^ (2)) - 3x + 2)) \\\\ \\ Downarrow \\\\ Vasen (X + 7- Vasen (((x) ^ (2) -3x + 2 oikeaa) oikeanpuoleinen) \\ CDOT \\ Vasen (\\ Teksti () \\! \\! \\ Teksti () -1 \\ Teksti) \\ GT 0 \\\\\\ End (Matrix) \\]

Joten ei enää ohjeellisia toimintoja! Ja älä muista: merkki muuttuu tai ei. Mutta syntyy uusi ongelma: Mitä tehdä Fell FACTOR \\ [Vasen (\\ Teksti () \\! \\! \\! \\ Teksti () -1 \\ Oikea) \\]? Emme tiedä, mikä on yhtä suuri kuin numero π. Kapteeni on kuitenkin ilmeinen, koska se vihjeitä:

\\ [Teksti () \\! \\! \\! \\ Teksti () \\ Teksti 3,14 ... \\ GT 3 \\ Rigrarrow \\ Text () \\! \\! \\ PI \\! ) -1 \\ GT 3-1 \u003d 2 \\]

Yleensä π: n tarkka arvo on erityisen erilainen eikä ole, onko se, onko meille vain tärkeää ymmärtää, että missä tahansa tapauksessa $ \\ teksti () \\! \\! -1 $ 2, T .. Tämä on positiivinen vakio, ja voimme jakaa molemmat osa eriarvoisuutta se:

\\ [Aloita (kohdista) vasemmalle (x + 7- Vasen (((x) ^ (2)) - 3x + 2 oikeanpuoleinen) oikea) \\ CDOT \\ Vasen (\\ Teksti () \\! \\! \\ PI \\! \\ Teksti () -1 \\ Oikea) \\ GT 0 \\\\ & X + 7- Vasen (((x) ^ (2)) - 3x + 2 oikeanpuoleinen) \\ GT 0; \\\\ & x + 7 - ((x) ^ (2)) + 3x-2 \\ GT 0; \\\\ & - ((x) ^ (2)) + 4x + 5 \\ g 0; \\ quad \\ vas. | \\ Cdot \\ Vasen (-1 oikea) oikealla. \\\\ & (x) ^ (2)) - 4x-5 \\ LT 0; \\\\ & Vasen (X-5 \\ RIKE) Vasen (x + 1 \\ oikea) \\ Lt 0. \\\\ FI

Kuten näette, tietyssä vaiheessa minun piti jakaa yksikkö miinus - samanaikaisesti epätasa-arvon merkki muuttui. Lopulta olen hajonnut neliön kolminkertainen Vieta Theorem - on selvää, että juuret ovat $ ((x) _ (1)) \u003d 5 $ ja $ ((x) _ (2) \u003d - $ 1. Lisäksi kaikki ratkaistaan \u200b\u200bklassisella aikavälillä:

Kaikki kohdat ovat tiedon, koska alkuperäinen epätasa-arvo on tiukka. Olemme kiinnostuneita alueista, joilla on negatiiviset arvot, joten vastaus on: $ X \\ Vasen (-1, 5 \\ Oikea) $. Se on koko ratkaisu. :)

Käännymme seuraavaan tehtävään:

\\ [((vasemmalla (2 \\ sqrt (3) -3)) ^ (((x) ^ (2)) - 2x)) \\ LT 1 \\]

Täällä kaikki on yksinkertaista, koska oikea on yksikön arvoinen. Ja muistamme, että yksikkö on numero nollaan. Vaikka tämä numero on irrationaalinen ilme, seisoo vasemman alareunassa:

\\ [Aloita (kohdistus) & ((vasemmalle (2 \\ sqrt (3) -3 \\ reitit) ^ (((((((x) ^ (2)) - 2x)) \\ LT 1 \u003d (( 2 \\ sqrt (3) -3 \\ reitit)) ^ (0)); \\\\ \\ (vasen (2 \\ sqrt (3) -3 \\ reitit) ^ (((x) ^ (2)) - 2x)) \\ LT ((\\ SQRT (3) -3 \\ t Oikea)) ^ (0)); \\\\\\ Lopeta (kohdistus) \\]

No, teemme rationalisoinnin:

\\ [\\ Alkaa (kohdistaa) \\ vasemmalle (((x) ^ (2)) - 2x-0 \\ oikealla) \\ cdot \\ vasemmalle (2 \\ SQRT (3) -3-1 \\ OIKEA) \\ LT 0; \\\\ \\ \\ vasemmalle (((x) ^ (2)) - 2x-0 \\ oikea) \\ cdot \\ vasemmalle (2 \\ SQRT (3) -4 \\ OIKEA) \\ LT 0; \\\\ \\ vasemmalle (((x) ^ (2)) - 2x-0 \\ oikea) \\ cdot 2 \\ Vasen (\\ SQRT (3) -2 \\ OIKEA) \\ LT 0. \\\\\\ End (Kohdista) \\]

Se on edelleen vain merkkejä. $ 2 \\ vasen reilin (\\ sqrt (3) -2 oikea) $ ei sisällä muuttujaa $ x $ on vain vakio, ja meidän on selvitettävä merkki. Tehdä tämä, huomaamme seuraavat:

\\ [Aloita (matriisi) \\ sqrt (3) \\ lt \\ sqrt (4) \u003d 2 \\\\ \\ alannauton \\\\ 2 \\ left (\\ sqrt (3) -2 \\ oikea) \\ lt 2 \\ cdot \\ vasen (2 -2 \\ Oikea) \u003d 0 \\\\\\ End (Matrix) \\]

On osoittautunut, että toinen tekijä ei ole vain vakio, vaan negatiivinen vakio! Ja kun jakautuminen siihen, alkuperäinen epätasa-arvo muuttuu päinvastoin:

\\ [\\ Alkaa (kohdistaa) \\ vasemmalle (((x) ^ (2)) - 2x-0 \\ oikealla) \\ cdot 2 \\ vasemmalle (\\ SQRT (3) -2 \\ OIKEA) \\ LT 0; \\\\ & (x) ^ (2)) - 2x-0 \\ GT 0; \\\\ & X \\ Left (X-2 \\ Right) \\ GT 0. \\\\\\ End (Kohdista) \\]

Nyt kaikki tulee täysin ilmeiseksi. Juuret neliön kolminkertainen, seisoo oikealla: $ ((x) _ (1)) \u003d 0 $ ja $ ((x) _ (2)) \u003d 2 $. Huomaa ne numeerisella suoralla ja katsovat toiminnon merkkejä $ f vasemmalle (x \\ oikea) \u003d x \\ vasen (x-2 \\ oikea) $:

Olemme kiinnostuneita siitä, että "plus" -merkki on merkitty. Se on edelleen vain kirjoittaa vastaus:

Siirry seuraavaan esimerkkiin:

\\ [((\\ Vasemmalle (\\ FRAC (1) (3) \\ OIKEA)) ^ (((x) ^ (2)) + 2x)) \\ gt ((\\ vasemmalle (\\ FRAC (1) (9) \\ Oikea)) ^ (16-x)) \\]

No, kaikki on täysin ilmeinen täällä: syissä on sama määrä. Siksi kirjoitan kaiken lyhyesti:

\\ [Aloita (matriisi) \\ frac (1) (3) \u003d ((3) ^ (- 1)); \\ quad \\ frac (1) (9) \u003d \\ frac (1) (((1) (((3) ^ 2))) \u003d ((3) ^ (- 2)) \\\\ \\ DownArrow \\\\ ((\\ vasemmalle (((3) ^ (- 1)) \\ oikea)) ^ (((x) ^ (2) ) + 2x)) \\ gt ((\\ vasemmalle (((3) ^ (- 2)) \\ oikea)) ^ (16-x)) \\\\\\ End (Matrix) \\]

\\ [Aloita (kohdistus) & ((3) ^ (- 1 \\ cdot \\ (2)) + 2x \\ reitit vasen (16 x \\ oikea))); \\\\ & ((3) ^ (- ((x) ^ (2)) - 2x)) \\ GT ((3) ^ (- 32 + 2x)); \\\\ \\ vasemmalle (- ((x) ^ (2)) - 2X \\ vasemmalle (-32 + 2x \\ oikea) \\ Oikea) \\ cdot \\ vasemmalle (3-1 \\ OIKEA) \\ GT 0; \\\\ & - ((x) ^ (2)) - 2x + 32-2x \\ GT 0; \\\\ & - ((x) ^ (2)) - 4x + 32 \\ GT 0; \\ Quad \\ Vasen | \\ Cdot \\ Vasen (-1 oikea) oikealla. \\\\ & ((x) ^ (2)) + 4x-32 \\ LT 0; \\\\ & \\ Left (X + 8 \\ right) \\ left (X-4 \\ right) \\ LT 0. \\\\\\ End (Kohdista) \\]

Kuten näet, muutokset, joita minun piti moninkertaistaa negatiivinen numero, joten muutin eriarvoisuuden merkkiä. Lopulta asetin uudelleen Vieta: n teorea hajoamaan neliön kolminkertaisen kerran. Tämän seurauksena vastaus on seuraava: $ X \\ Vasen (-8, 4 \\ Oikea) $ - Ne, jotka haluavat varmistaa, että piirtämällä numeerista suoraa ja ottamalla huomioon pisteen ja laskemalla merkkejä. Sillä välin voimme kääntyä viimeiseen eriarvoisuuteen meidän "Set":

\\ [((vasemmalla (3-2 \\ sqrt (2) oikealla)) ^ (3x - ((x) ^ (2))) \\ LT 1 \\]

Kuten näette, alareunassa on taas irrationaalinen numeroJa oikealla on taas yksikkö. Siksi kirjoitamme uudelleen ohjeellisen eriarvoisuutemme seuraavasti:

\\ [((vasemmalle (3-2 \\ sqrt (2) oikea)) ^ (3x - ((x) ^ (2))) \\ LT ((\\ Ti) \\ T Oikea)) ^ (0)) \\]

Käytämme järkeistämistä:

\\ [\\ Alkaa (kohdistaa) \\ vasemmalle (3x - ((x) ^ (2)) - 0 \\ oikealla) \\ cdot \\ vasemmalle (3-2 \\ SQRT (2) -1 \\ OIKEA) \\ LT 0; \\\\ \\ Vasen (3x - ((x) ^ (2)) - 0 korkki) \\\\ \\ Vasen (3x - ((x) ^ (2)) - 0 oikeaa) \\ CDOT 2 Vasen (1- \\ sqrt (2) oikean) \\ lt 0. \\\\

On kuitenkin selvää, että $ 1- \\ sqrt (2) \\ lt 0 $, koska $ \\ sqrt (2) \\ noin 1.4 ... $ 1. Siksi toinen tekijä on äskettäin negatiivinen vakio, johon molemmat eräät-arvoa voidaan jakaa:

\\ [Aloita (matriisi) \\ vasen (3x - ((x) ^ (2)) - 0 oikeaa) \\ CDOT 2 VASEN (1- \\ SQRT (2) Oikea) \\ \\\\ End (Matrix) \\]

\\ [Aloita (kohdistus) & 3x - ((x) ^ (2)) - 0 \\ GT 0; \\\\ & 3x - ((x) ^ (2)) \\ gt 0; \\ quad \\ vas. | \\ Cdot \\ Vasen (-1 oikea) oikealla. \\\\ & (x) ^ (2)) - 3x \\ LT 0; \\\\ & X \\ Vasen (X-3 \\ Right) \\ Lt 0. \\\\ End (Align) \\]

Siirtyminen toiseen pohjaan

Erillinen ongelma ohjeellisen eriarvoisuuden ratkaisemisessa on haku "oikea" pohja. Valitettavasti ei aina, kun katson ensin tehtävää, on selvää, että säätiö, ja mitä tehdä tämän säätiön aste.

Mutta älä huoli: ei ole taikuutta ja "salaisia" teknologioita. Matematiikassa kaikki taitot, joita ei voida algoritmized, voidaan helposti kehittää käytännössä. Mutta tämän on ratkaistava ongelmia eri tasoilla vaikeuksia. Esimerkiksi tässä:

\\ [Aloita (kohdistus) & ((2) ^ (\\ frac (x) (2))) \\ LT ((4) ^ (\\ frac (4) (x)); \\\\ & ((\\ refle (\\ frac (1) (3) oikean)) ^ (\\ flac (3) (x))) \\ g ((3) ^ (2 + x)); \\\\ & ((Vasen (0.16)) ^ (1 + 2x)) \\ CDOT ((Vasen (6.25)) ^ (x)) \\ GE 1; \\\\ & ((\\ refer Lopeta (kohdistus) \\]

Monimutkainen? Pelottava? Kyllä, se on helpompaa kuin kana asfaltilla! Kokeillaan. Ensimmäinen epätasa-arvo:

\\ [((2) ^ (\\ flac (x) (2))) \\ LT ((4) ^ (\\ frac (4) (x))) \\]

No, mielestäni täällä kaikki on selvää täällä:

Kirjoitamme alkuperäisen epätasa-arvon uudelleen, vähentäen kaikkea "Kaksi" pohjalle:

\\ [((2) ^ (\\ flac (x) (2))) \\ LT ((2) ^ (\\ frac (8) (x))) \\ Righrarrow \\ Vasen (\\ frac (x) (2) - \\ Frac (8) (x) oikeanpuoleinen) \\ CDOT vasemmalle (2-1 oikea) \\ Lt 0 \\]

Kyllä, kyllä, kaikki ymmärsivät kaiken: Olen juuri soveltanut edellä kuvattua rationalisointimenetelmää. Nyt sinun täytyy työskennellä huolellisesti: meillä oli murto järkevä eriarvoisuutta (tämä on niin muuttuja nimittäjä), siis ennen rinnastaa jotain nollaan, on tarpeen tuoda kaikki yleisnimittäjä ja päästä eroon jatkuvasta kerroin.

\\ [\\ Begin (Kohdista) ja \\ Vasen (\\ FRAC (X) (2) - \\ FRAC (8) (X) \\ right) \\ cdot \\ vasemmalle (2-1 \\ oikea) \\ LT 0; \\\\ \\ Vasen (\\ flac (((x) ^ (2)) - 16) (2x) oikealla) \\ CDOT 1 \\ LT 0; \\\\ 1 frac (((x) ^ (2)) - 16) (2x) \\ Lt 0. \\\\ End (kohdakka) \\]

Käytä nyt vakiomenetelmä Välein. NUTRIFER ZEROS: $ X \u003d \\ PM $ 4. Nimittäjä viittaa nollaan vain $ x \u003d 0 $. Yhteensä kolme pistettä, jotka olisi huomattava numeerisessa suorassa linjassa (kaikki otolotyin kohdat, koska epätasa-arvon merkki on tiukka). Saamme:

Koska ei ole vaikeaa arvata, siitoslausumille merkitään ne välein, joihin vasemmanpuoleinen ilmaisu ottaa negatiivisia arvoja. Siksi lopullinen vastaus menee kerralla kaksi välein:

Väliaikaisten välineiden loppu ei ole vastauksena, koska alkuperäinen epätasa-arvo oli tiukka. Tästä vasteesta ei tarvita lisätarkastuksia. Tältä osin ohjeellinen epätasa-arvo on paljon helpompaa kuin logaritminen: ei ole rajoituksia jne.

Siirry seuraavaan tehtävään:

\\ [((\\ Vasemmalle (\\ FRAC (1) (3) \\ OIKEA)) ^ (\\ FRAC (3) (x))) \\ GE ((3) ^ (2 + x)) \\]

Täällä ei myöskään ole ongelmia, koska tiedämme jo, että $ + frac (1) (3) \u003d (((3) ^ (- 1)) $, joten kaikki epätasa-arvo voidaan kirjoittaa uudelleen:

\\ [\\ Alkaa (kohdistaa) & ((\\ vasemmalle (((3) ^ (- 1)) \\ oikea)) ^ (\\ FRAC (3) (x))) \\ GE ((3) ^ (2 + x )) Raajan (3) ^ (- \\ flac (3) (x))) \\ GE ((3) ^ (2 + x)); \\\\ \\ \\ Vasen (- \\ flac (3) (x) - Vasen (2 + X \\ Oikea) Oikea) \\ CDOT \\ Levon (3-1 oikea) \\ GE 0; \\\\ & Vasen (- \\ frac (3) (x) -2-x oikea) \\ CDOT 2 \\ GE 0; \\ QUAD \\ Vasen | : Vasen (-2 \\ Oikea) oikein. \\\\ \\ frac (3) (x) + 2 + x \\ le 0; \\\\ \\ frac (((x) ^ (2)) + 2x + 3) (x) \\ le 0. \\\\ End (kohdistus) \\]

Huomaa: Kolmannella rivillä päätin olla kunnossa ja välittömästi jakaa kaiken (-2). Ensimmäinen kiinnike kulki (nyt on pluses kaikkialla), ja kaksi laski jatkuvasti tekijä. Näin on tarpeen tehdä todellisia laskelmia riippumattomille ja testityö - Ei ole tarpeen maalata jokainen toiminta ja muutos.

Lisäksi meille tuttu aikaväli on tulossa. Numeron nollia: ei ole. Koska syrjintä on negatiivinen. Turnisesti nimittäjä nollataan vain $ x \u003d 0 $ - viime kerralla. No, on selvää, että $ x \u003d 0 $ fraktio kestää positiivisia arvoja, ja vasen on negatiivinen. Koska olemme kiinnostuneita tarkalleen negatiivisia arvoja, lopullinen vastaus: $ X \\ Vasen (- \\ Intong, 0 \\ Oikea) $.

\\ [((\\ Vasemmalle (0,16 \\ OIKEA)) ^ (1 + 2 x)) \\ cdot ((\\ vasemmalle (6,25 \\ OIKEA)) ^ (x)) \\ GE 1 \\]

Ja mitä pitäisi tehdä desimaalifraktioiden kanssa ohjeellisessa eriarvoisuudessa? Oikea: päästä eroon heistä, kääntämällä tavalliseksi. Joten siirrämme:

\\ [\\ Alkaa (kohdistaa) ja 0,16 \u003d \\ FRAC (16) (100) \u003d \\ FRAC (4) (25) \\ rightarrow ((\\ vasemmalla (0,16 \\ OIKEA)) ^ (1 + 2 x)) \u003d ((\\ vasemmalle (\\ flac (4) (25) oikea)) ^ (1 + 2x)); \\\\ & 6,25 \u003d \\ FRAC (625) (100) \u003d \\ FRAC (25) (4) \\ rightarrow ((\\ vasen (6,25 \\ OIKEA)) ^ (x)) \u003d ((\\ vasemmalle (\\ FRAC ( 25) (4) oikealla)) ^ (x)). \\\\\\ Lopeta (kohdistus) \\]

Joten mitä me pääsimme ohjeellisten toimintojen perusteella? Ja saimme kaksi toisiaan käänteistä numeroa:

\\ [\\ Flac (25) (4) \u003d ((vasemmalle (\\ frac (4) (25) \\ reitit) ^ (- 1)) \\ Riitaliset ((\\ The Oikea)) ^ (x)) \u003d ((\\ vasen (((\\ left (\\ FRAC (4) (25) \\ right)) ^ (- 1)) \\ oikealla)) ^ (x)) \u003d ((vasen (\\ Flac (4) (25) \\ Oikea)) ^ (- x)) \\]

Näin ollen ensimmäinen epätasa-arvo voidaan kirjoittaa uudelleen:

\\ [Aloita (kohdistus) & (((vasemmalle (\\ frac (4) (25) oikea)) ^ (1 + 2x)) \\ CDOT ((vasemmalle (\\ frac (4) (25) ) ^ (- x)) \\ GE 1; \\\\ & ((\\ vasemmalle (\\ FRAC (4) (25) \\ OIKEA)) ^ (1 + 2x + \\ vasemmalle (-x \\ oikea))) \\ GE ((\\ vasemmalle (\\ FRAC (4) (25 ) \\ right)) ^ (0)); \\\\ \\ (\\ vasemmalle (\\ FRAC (4) (25) \\ oikea)) ^ (x + 1)) \\ ge ((\\ vasemmalle (\\ FRAC (4) (25) \\ OIKEA)) ^ (0)) . \\\\\\ Lopeta (kohdistus) \\]

Tietenkin, kun kerrotaan astetta samalla pohjalla, niiden indikaattorit taitetaan, mikä tapahtui toisella rivillä. Lisäksi esittelimme oikealla puolella olevan yksikön, joka perustuu 4/25 perustuen. Se on edelleen vain järkeistäminen:

\\ [((\\ Vasemmalle (\\ FRAC (4) (25) \\ OIKEA)) ^ (x + 1)) \\ ge ((\\ vasemmalle (\\ FRAC (4) (25) \\ OIKEA)) ^ (0)) \\ Oikea vasen (x + 1-0 \\ reitit) \\ CDOT \\ FRAC (4) (25) -1 oikea) \\ GE 0 \\]

Huomaa, että $ + frac (4) (25) -1 \u003d \\ frac (4-25) (25) \\ Lt 0 $, ts. Toinen tekijä on negatiivinen vakio ja sen jakaminen, epätasa-arvon merkki muuttuu:

\\ [Aloita (kohdistus) & x + 1-0 le 0 \\ kärsineet x \\ le -1; \\\\ & x \\ Vasen (- \\ Intong; -1 \\ Right]. \\\\\\ Lopeta (kohdistus) \\]

Lopuksi viimeinen epätasa-arvo nykyisestä "Kit":

\\ [((\\ refle (\\ frac (27) (\\ sqrt (3)) oikea)) ^ (- x)) \\ LT ((9) ^ (4-2X)) \\ CDOT 81 \\]

Periaatteessa ratkaisu on myös selvää: kaikki epätasa-arvoon sisältyvät ohjeelliset toiminnot on vähennettävä "3": n perusteella. Mutta sillä tämä on Tinker kanssa juuret ja asteet:

\\ [\\ Alkaa (kohdistaa) \\ FRAC (27) (\\ sqrt (3)) \u003d \\ FRAC (((3) ^ (3))) (((3) ^ (\\ FRAC (1) (3))) ) \u003d ((3) ^ (3- \\ FRAC (1) (3))) \u003d ((3) ^ (\\ FRAC (8) (3))); \\\\ & 9 \u003d ((3) ^ (2)); \\ quad 81 \u003d ((3) ^ (4)). \\\\\\ Lopeta (kohdistus) \\]

Ottaen huomioon nämä tosiseikat, alkuperäinen epätasa-arvo voidaan kirjoittaa uudelleen:

\\ [\\ Alkaa (kohdistaa) & ((\\ vasemmalle (((3) ^ (\\ FRAC (8) (3))) \\ oikea)) ^ (- x)) \\ lt ((\\ vasemmalle (((3) ^ (2)) oikealla)) ^ (4-2x)) \\ CDOT ((3) ^ (4)); \\\\ ja ((3) ^ (- \\ FRAC (8X) (3))) \\ lt ((3) ^ (8-4x)) \\ cdot ((3) ^ (4)); \\\\ & ((3) ^ (- \\ flac (8x) (3)) \\ LT ((3) ^ (8-4x + 4)); \\\\ & ((3) ^ (- \\ frac (8x) (3)) \\ LT ((3) ^ (4-4x)). \\\\\\ Lopeta (kohdistus) \\]

Kiinnittää huomiota 2. ja 3. rivi laskelmien: ennen kuin tekee jotain epätasa, varmasti tuo se sama asia, joka puhuimme alusta alkaen oppitunnin: $ ((a) ^ (x)) \\ lt (a) ^ (n)) $. Niin kauan kuin olet jättänyt tai oikealla, on olemassa jäljellä olevia kerroimia, muita vakioita jne., ei järkeistämistä ja "hionta" syytä ei voida suorittaa! Lukemattomat tehtävät johtuivat väärin tämän yksinkertaisen tosiasian väärinkäsityksestä. Olen itse jatkuvasti katsomassa tätä ongelmaa oppilaillani, kun siirrymme ohjeellisen ja logaritmisen epätasa-arvon analyysiin.

Mutta palaa tehtävämme. Kokeile tällä kertaa tehdä rationalisointia. Muistamme: tutkinnon perusta on enemmän kuin yksikkö, joten troikka voi yksinkertaisesti haitata - eriarvoisuuden merkki ei muutu. Saamme:

\\ [Aloita (kohdistus) & - \\ frac (8x) (3) \\ LT 4-4X; \\\\ & 4x- \\ frac (8x) (3) \\ LT 4; \\\\ \\ frac (4x) (3) \\ LT 4; \\\\ & 4x \\ LT 12; \\\\ & x \\ lt 3. \\\\\\ loppu (kohdistus) \\]

Siinä kaikki. Lopullinen vastaus: $ X \\ Vasen (- \\ Intong; 3 \\ Right) $.

Vakaa ilmentäminen ja muuttujan vaihto

Lopuksi ehdotan toisen neljän esittelyn eriarvoisuuden ratkaisemista, jotka ovat jo melko monimutkaisia \u200b\u200bvalmistautuneille opiskelijoille. Voit selviytyä niistä, sinun on muistettava säännöt tutkintojen kanssa. Erityisesti yleisten tekijöiden liikkeeseenlasku suluissa.

Mutta tärkein asia on oppia ymmärtämään: mitä tarkalleen voidaan ottaa pois suluista. Tällaista ilmaisua kutsutaan stabiiliksi - se voidaan merkitä uudella muuttujalla ja siten päästä eroon ohjeellisesta toiminnasta. Katsotaanpa Tehtävät:

\\ [Aloita (kohdistus) & ((5) ^ (x + 2)) + ((5) ^ (x + 1)) \\ GE 6; \\\\ & ((3) ^ (x)) + ((3) ^ (x + 2)) \\ GE 90; \\\\ & (25) ^ (x + 1,5)) - ((5) ^ (2x + 2)) \\ GT 2500; \\\\ \\ (Vasen (0.5)) ^ (- 4x-8)) - ((16) ^ (x + 1,5)) \\ GT 768. \\\\\\ Lopeta (kohdakka) \\]

Aloitetaan ensimmäisellä rivillä. Me kirjoitamme tämän epätasa-arvon erikseen:

\\ [((5) ^ (x + 2)) + ((5) ^ (x + 1)) \\ GE 6 \\]

Huomaa, että $ ((5) ^ (x + 2)) \u003d ((((5) ^ (x + 1 + 1)) \u003d ((((5) ^ (x + 1)) \\ CDOT $ 5, niin oikea -Käsin osa voidaan kirjoittaa:

Huomaa, ettei ole muita ohjeellisia toimintoja, paitsi $ ((5) ^ (x + 1)) $, epätasa-arvoa ei ole. Ja yleensä missään muualla ei ole muuta kuin X $, joten esitämme uuden muuttujan: $ ((5) ^ (x + 1)) \u003d T $. Saat seuraavan mallin:

\\ [Aloita (kohdistus) & 5T + T \\ GE 6; \\\\ & 6T \\ GE 6; \\\\ & T \\ GE 1. \\\\\\ Lopeta (kohdistus) \\]

Palaan alkuperäiseen muuttujaan ($ t \u003d ((((((((((((((((5) ^ (x + 1)) $), ja samanaikaisesti muistamme, että 1 \u003d 5 0. Meillä on:

\\ [Aloita (kohdistus) & ((5) ^ (x + 1)) \\ GE ((5) ^ (0)); \\\\ & x + 1 \\ g 0; \\\\ & X \\ GE -1. \\\\\\ Lopeta (kohdistus) \\]

Se on kaikki päätös! Vastaus: $ X \\ Vasen [-1; + ifty \\ oikea) $. Siirry toiseen epätasa-arvoon:

\\ [((3) ^ (x)) + ((3) ^ (x + 2)) \\ GE 90 \\]

Tässä on kaikki sama. Huomaa, että $ ((3) ^ (x + 2)) \u003d ((((3) ^ (x)) \\ CDOT ((((3) ^ (2)) \u003d 9 \\ CDOT ((3) ^ (x)) $. Sitten vasen osa voidaan kirjoittaa uudelleen:

\\ [Aloita (kohdistus) & ((3) ^ (x)) + 9 \\ CDOT ((3) ^ (x)) \\ GE 90; \\ Quad \\ Vasen | ((3) ^ (x)) \u003d T \\ OIKEA. \\\\ & T + 9T \\ GE 90; \\\\ & 10T \\ GE 90; (3) ^ (3) ^ (x)) \\ GE ((3) ^ (2)); \\\\ & X \\ GE 2 \\ Rikkiraikka X \\ Vasen [2; + \\ Infty \\ Right). \\\\\\ Lopeta (kohdistus) \\]

Näin on tarpeen tehdä päätöstä todellisesta valvonnasta ja itsenäisestä työstä.

No, kokeile jotain monimutkaisempaa. Esimerkiksi tässä on eriarvoisuus:

\\ [((25) ^ (x + 1,5)) - ((5) ^ (2x + 2)) \\ GT 2500 \\]

Mikä on ongelma täällä? Ensinnäkin vasemmalla puolella olevat ohjeelliset toiminnot, eri: 5 ja 25. Kuitenkin 25 \u003d 5 2, joten ensimmäinen termi voidaan muuntaa:

\\ [\\ Alkaa (kohdistaa) & ((25) ^ (x + 1,5)) \u003d ((\\ vasemmalle ((((5) ^ (2)) \\ oikea)) ^ (x + 1,5)) \u003d ((5 ) ^ (2x + 3)); \\\\ & ((5) ^ (2x + 3)) \u003d ((5) ^ (2x + 2 + 1)) \u003d ((5) ^ (2x + 2)) \\ cdot 5. \\\\ End (kohdistaa) \\]

Kuten näette, ensin olemme kaikki johtaneet sama pohjaJa huomasi sitten, että ensimmäinen termi helposti tulee alas toiseen - hajota vain indikaattori. Nyt voit turvallisesti ottaa käyttöön uuden muuttujan: $ ((5) ^ (2x + 2)) \u003d T $ ja kaikki epätasa-arvo uudelleenkirjoittaminen:

\\ [Aloita (kohdistus) & 5T-T \\ GI 2500; \\\\ & 4T \\ GE 2500; \\\\ & T \\ GE 625 \u003d (5) ^ (4)); \\\\ & ((5) ^ (2x + 2)) \\ GE ((5) ^ (4)); \\\\ & 2x + 2 \\ GE 4; \\\\ & 2x \\ GE 2; \\\\ & X \\ GE 1. \\\\\\ Lopeta (kohdistus) \\]

Ja taas ei ole vaikeuksia! Lopullinen vastaus: $ X \\ Vasen [1; + \\ Infty \\ Right) $. Mene lopulliseen epätasa-arvoon tämän päivän oppitunnissa:

\\ [((vasen (0.5)) ^ (- 4x-8)) - ((16) ^ (x + 1,5)) \\ GT 768 \\]

Ensimmäinen asia, joka kiinnittää huomiota, on tietysti desimaali Perustuu ensimmäiseen asteeseen. On välttämätöntä päästä eroon siitä, ja samalla tuoda kaikki ohjeelliset toiminnot samaan pohjaan - numero "2":

\\ [\\ Alkaa (kohdistaa) ja 0,5 \u003d \\ frac (1) (2) \u003d ((2) ^ (- 1)) \\ rightarrow ((\\ vasemmalla (0,5 \\ oikea)) ^ (- 4x- 8)) \u003d ((Vasen (((2) ^ (- 1)) \u003d oikea)) ^ (- 4x-8)) \u003d ((2) ^ (4x + 8)); \\\\ ja 16 \u003d ((2) ^ (4)) \\ rightarrow ((16) ^ (x + 1,5)) \u003d ((\\ vasemmalle ((((2) ^ (4)) \\ oikea)) ^ (x + 1,5)) \u003d ((2) ^ (4x + 6)); \\\\ & (2) ^ (4x + 8)) - ((2) ^ (4x + 6)) \\ GT 768. \\\\\\ Lopeta (kohdistus) \\]

Erinomainen, teimme ensimmäisen askeleen - kaikki johti samaan pohjaan. Nyt on välttämätöntä jakaa vakaa ilme. Huomaa, että $ (2) ^ (4x + 8)) \u003d ((2) ^ (4x + 6 + 2)) \u003d ((2) ^ (4x + 6)) \\ CDOT $ 4. Jos annat uuden muuttujan $ ((2) ^ (4x + 6) \u003d T $, alkuperäinen eriarvoisuus voidaan kirjoittaa uudelleen seuraavasti:

\\ [Aloita (kohdistus) & 4T-T \\ GT 768; \\\\ & 3T \\ GT 768; \\\\ & T \\ GT 256 \u003d (2) ^ (8)); \\\\ & (2) ^ (4x + 6)) \\ GT ((2) ^ (8)); \\\\ & 4x + 6 \\ GT 8; \\\\ & 4x \\ GT 2; \\\\ & X \\ GT \\ Frac (1) (2) \u003d 0,5. \\\\\\ Lopeta (kohdistus) \\]

Luonnollisesti voi syntyä kysymys: Miten havaitsimme, että 256 \u003d 2 8? Valitettavasti sinun tarvitsee vain tietää aste vähennykset (ja samalla kolminkertaisen ja viiden aste). No, tai jakaa 256 - 2 (on mahdollista jakaa 256 pisteen numero), kunnes saamme tuloksen. Se näyttää tältä:

\\ [Aloita (kohdistus) & 256 \u003d 128 \\ CDOT 2 \u003d \\\\ & \u003d 64 \\ CDOT 2 \\ CDOT 2 \u003d \\\\ & \u003d 32 \\ CDOT 2 \\ CDOT 2 \\ cdot 2 \\ cdot 2 \\ cdot 2 \u003d \\\\ & \u003d 8 \\ cdot 2 \\ cdot 2 \\ cdot 2 \\ cdot 2 \\ cdot 2 \u003d \\ cdot 2 \\ cdot 2 \\ cdot 2 \\ cdot 2 \\ cdot 2 \\ cdot 2 \\ cdot 2 \u003d \\\\ & \u003d 2 \\ cdot 2 \\ cdot 2 \\ cdot 2 \\ cdot 2 \\ cdot 2 \\ cdot 2 \\ cdot 2 \u003d \\\\ & \u003d ((2) ^ (8)). \\ ENG (Kohdista) \\ ]

Sama kanssa kolminkertainen (numerot 9, 27, 81 ja 243 ovat sen tutkinnot), ja myös seitsemän (numerot 49 ja 343, olisi myös hyvä muistaa). No, ja yläosat ovat myös "kauniita" tutkintoja:

\\ [Aloita (kohdistus) & ((5) ^ (2)) \u003d 25; \\\\ & (5) ^ (3)) \u003d 125; \\\\ & (5) ^ (4)) \u003d 625; \\\\ & ((5) ^ (5)) \u003d 3125. \\\\\\ Lopeta (kohdistus) \\]

Tietenkin kaikki nämä numerot voidaan palauttaa mielessä haluttaessa, yksinkertaisesti kertoo ne toisiinsa. Kuitenkin, kun sinun on ratkaista useita esittelyn eriarvoisuutta, ja jokainen seuraava on monimutkaisempi kuin edellinen, sitten jälkimmäinen, mitä haluan ajatella - se on joitain numeroita siellä. Ja tässä mielessä nämä tehtävät ovat monimutkaisempia kuin "klassiset" epätasa-arvot, jotka ratkaistaan \u200b\u200baikavälillä.

Ohjeelliset yhtälöt ja eriarvoisuudet pitävät tällaisia \u200b\u200byhtälöitä ja eriarvoisuutta, joissa tuntematon sisältö sisältyy tutkinto-indikaattoriin.

Ohjeellisten yhtälöiden liuos pienenee usein yhtälön X \u003d A B, jossa A\u003e 0 ja ≠ 1, X - tuntematon. Tämä yhtälö on ainoa juuri x \u003d b, koska seuraava lause on totta:

Lause. Jos A\u003e 0, A ≠ 1 ja X 1 \u003d A X2, sitten x 1 \u003d x 2.

Perustella hyväksytty hyväksyntä.

Oletetaan, että tasa-arvoa x 1 \u003d x 2 ei suoriteta, ts. x 1< х 2 или х 1 = х 2 . Пусть, например, х 1 < х 2 . Тогда если а > 1, sitten ohjeellinen toiminta Y \u003d A X kasvaa ja siksi epätasa-arvo ja x 1 olisi suoritettava< а х 2 ; если 0 < а < 1, то функция убывает и должно выполняться неравенство а х 1 > ja x 2. Molemmissa tapauksissa saimme ristiriitaisen tilan x 1 \u003d A x 2: n.

Harkitse useita tehtäviä.

Ratkaise yhtälö 4 ∙ 2 x \u003d 1.

Päätös.

Kirjoitamme yhtälön lomakkeeseen 2 2 ∙ 2 x \u003d 2 0 - 2 x + 2 \u003d 2 0, mistä saat x + 2 \u003d 0, ts. X \u003d -2.

Vastaus. X \u003d -2.

Ratkaise yhtälö 2 3x ∙ 3 x \u003d 576.

Päätös.

Koska 2 3 x \u003d (2 3) x \u003d 8 x, 576 \u003d 24 2 yhtälö voidaan kirjoittaa 8 x ∙ 3 x \u003d 24 2 tai 24 x \u003d 24 2 muodossa.

Tästä saamme x \u003d 2.

Vastaus. x \u003d 2.

Ratkaise yhtälö 3 x + 1 - 2 ∙ 3 \u200b\u200bx - 2 \u003d 25.

Päätös.

Kiinnikkeiden vasemmassa reunassa 3 x - 2: n kokonaisklaski, saamme 3 x - 2 ∙ (3 3 - 2) \u003d 25 - 3 x - 2 ∙ 25 \u003d 25,

missä 3 x - 2 \u003d 1, ts. X - 2 \u003d 0, x \u003d 2.

Vastaus. x \u003d 2.

Ratkaise yhtälö 3 x \u003d 7 x.

Päätös.

Koska 7 x ≠ 0, yhtälö voidaan kirjoittaa 3 x / 7 x \u003d 1, mistä (3/7) x \u003d 1, x \u003d 0.

Vastaus. x \u003d 0.

Ratkaise yhtälö 9 x - 4 ∙ 3 x - 45 \u003d 0.

Päätös.

Vaihto 3 x \u003d ja tämä yhtälö vähennetään neliöyhtälö A 2 - 4A - 45 \u003d 0.

Tämän yhtälön ratkaiseminen löydämme sen juuret: 1 \u003d 9 ja 2 \u003d -5, mistä 3 x \u003d 9, 3 x \u003d -5.

Yhtälö 3 x \u003d 9 on juurella 2 ja yhtälö 3 x \u003d -5 ei ole juuria, koska ohjeellinen toiminta ei voi ottaa negatiivisia arvoja.

Vastaus. x \u003d 2.

Ohjeellisen eriarvoisuuden ratkaisu vähenee usein eriarvoisuuden ratkaisemiseksi X\u003e A B tai X< а b . Эти неравенства решаются с помощью свойства возрастания или убывания показательной функции.

Harkitse joitakin tehtäviä.

Ratkaise epätasa-arvo 3 x< 81.

Päätös.

Kirjoitamme epätasa-arvoa 3 x: n muodossa< 3 4 . Так как 3 > 1, sitten funktio y \u003d 3 x kasvaa.

Näin ollen x: ssä< 4 выполняется неравенство 3 х < 3 4 , а при х ≥ 4 выполняется неравенство 3 х ≥ 3 4 .

Näin ollen x: ssä< 4 неравенство 3 х < 3 4 является верным, а при х ≥ 4 – неверным, т.е. неравенство
3 x< 81 выполняется тогда и только тогда, когда х < 4.

Vastaus. H.< 4.

Ratkaise epätasa-arvo 16 x +4 x - 2\u003e 0.

Päätös.

Merkitse 4 x \u003d t, saamme neliön epätasa-arvo T2 + T - 2\u003e 0.

Tämä epätasa-arvo suoritetaan t< -2 и при t > 1.

Koska T \u003d 4 X, saamme kaksi epätasa-arvoa 4 x< -2, 4 х > 1.

Ensimmäinen epätasa-arvo ei ole ratkaisuja, koska 4 x\u003e 0 kaikille x € R.

Toinen epätasa-arvo kirjataan 4 x\u003e 4 0: n muodossa, jossa x\u003e 0.

Vastaus. X\u003e 0.

Graafisesti ratkaista yhtälö (1/3) x \u003d x - 2/3.

Päätös.

1) Rakentamme funktioista y \u003d (1/3) x ja y \u003d x - 2/3.

2) luottaa piirustuksemme, voidaan päätellä, että tarkasteltujen toimintojen kaaviot leikkaavat kohdalla Abskissa X ≈ 1. Tarkista, että

x \u003d 1 - Tämän yhtälön juuret:

(1/3) 1 \u003d 1/3 ja 1 - 2/3 \u003d 1/3.

Toisin sanoen löysimme yhden yhtälön juurista.

3) Löydämme muita juuria tai todistamaan, että tällaisia. Toiminto (1/3) x vähenee ja toiminto y \u003d x - 2/3 kasvaa. Siksi X\u003e 1: ssä ensimmäisen toiminnon arvot ovat alle 1/3, ja toinen on suurempi kuin 1/3; x.< 1, наоборот, значения первой функции больше 1/3, а второй – меньше 1/3. Геометрически это означает, что графики этих функций при х > 1 ja H.< 1 «расходятся» и потому не могут иметь точек пересечения при х ≠ 1.

Vastaus. X \u003d 1.

Huomaa, että tämän ongelman ratkaisemisesta erityisesti seuraavat, että eriarvoisuus (1/3) X\u003e X - 2/3 suoritetaan x: ssä< 1, а неравенство (1/3) х < х – 2/3 – при х > 1.

sivusto, jolla on täysi tai osittainen kopiointi materiaalin viittauksen alkuperäiseen lähteeseen.

Tässä oppitunnissa tarkastelemme erilaisia \u200b\u200besittelyn eriarvoisuutta ja oppia heitä päättämään yksinkertaisimman esittelyn eriarvoisuuden ratkaisemiseksi

1. Ohjeellisen tehtävän määritelmä ja ominaisuudet

Muista ohjeellisen tehtävän määritelmä ja perusominaisuudet. Ominaisuuksista on, että kaikki ohjeelliset yhtälöt ja eriarvoisuudet perustuvat.

Eksponentti funktio - Tämä on funktio, jossa tutkinnon perusta ja täältä X on itsenäinen muuttuja, väite; Y - riippuvainen muuttuja, toiminto.

Kuva. 1. Ajoittaa ohjeellinen toiminto

Kaavio osoittaa lisäämällä ja pienentämällä näytteilleasettajia, jotka kuvaavat ohjeellista toimintaa suuremman yksikön ja pienemmän yksikön perusteella, mutta suuren nollan vastaavasti.

Molemmat käyrät kulkevat pisteen läpi (0; 1)

Ohjeellisen toiminnon ominaisuudet:

Verkkotunnus :;

Arvoalue:;

Monotonin tehtävä, kasvua vähenee.

Monotonin ominaisuus vie jokaisen oman arvonsa ainoa argumentin arvolla.

Kun argumentti kasvaa miinuksesta plus ääretön, funktio kasvaa nolla ei sisälly plus äärettömään, ts. Näillä väitearvoilla meillä on monotoninen lisääntyvä toiminto (). Päinvastoin, kun argumentti kasvaa miinuksesta plus äärettömään, funktio pienenee äärettömyydestä nollaan, ei ole osallistavaa, ts. Argumentin näiden arvojen kanssa meillä on monotoninen väheneminen ().

2. Yksinkertaisimmat esittelyn eriarvoisuudet, päätöstekniikka, esimerkki

Edellä esitetyn perusteella annamme menetelmän yksinkertaisimman esittelyn eriarvoisuuden ratkaisemiseksi:

Epätasa-arvon ratkaisut:

Tasoittaa asteiden emäkset;

Vertaa indikaattoreita, säästää tai muuttuu vastakkaiseen epätasa-arvoon.

Monimutkaisen esittelyn eriarvoisuuden ratkaisu on pääsääntöisesti tietoisesti yksinkertaisimmalle ohjeelliselle eriarvoisuudelle.

Tutkinnon perusta on suurempi kuin yksikkö, se tarkoittaa, että epätasa-arvon merkki säilyy:

Muutamme oikean puolen asteen ominaisuuksien mukaan:

Tutkinnon perustus on pienempi kuin yksikkö, epätasa-arvon merkki on muutettava päinvastoin:

Neliön epätasa-arvon ratkaiseminen, vastaava neliön yhtälö ratkaistaan:

Vieta Theorem löytää juuret:

Parabolan oksat ohjataan.

Näin ollen meillä on epätasa-arvo:

On helppoa arvata, että oikea osa voidaan edustaa tutkintona, jolla on nolla-indikaattori:

Tutkinnon perusta on yhtenäinen, epätasa-arvon merkki ei muutu, saamme:

Muistuttaa menetelmä tällaisten eriarvoisuuden ratkaisemiseksi.

Pidämme murto-järkevää toimintaa:

Etsi määritelmäalue:

Me löydämme toiminnon juuret:

Toiminnassa on ainoa juurta,

Valitse kohdistuksen välit ja määritä toiminnon merkit kullakin väleillä:

Kuva. 2. Allekirjoita välein

Näin ollen he saivat vastauksen.

Vastaus:

3. Tyypillisten ohjeellisten eriarvoisuuden ratkaisu

Harkitse eriarvoisuutta samoilla indikaattoreilla, mutta erilaisilla pohjalla.

Yksi ohjeellisen toiminnan ominaisuuksista - se vie tiukasti positiivisia arvoja argumentin arvoilla, se tarkoittaa, että ohjeellinen toiminta voidaan jakaa. Suorita tietyn epätasa-arvon jakautuminen oikeaan osaan:

Tutkinnon perusta on yhtenäisempi, eriarvoisuuden merkki säilyy.

Havainnollisemme ratkaisun:

Kuva 6.3 esittää funktioita ja. Ilmeisesti, kun argumentti on suurempi kuin nolla, toiminto kaavio on edellä, tämä ominaisuus on suurempi. Kun argumentin arvot ovat negatiivisia, alla oleva toiminta kulkee, se on vähemmän. Toiminto-argumentin arvo on yhtä suuri, se tarkoittaa, että tämä kohta on myös ratkaisu määritettyyn epätasa-arvoon.

Kuva. 3. Kuva esimerkistä 4

Muunnamme ennalta määrätyn eriarvoisuuden tutkintoominaisuuksien mukaan:

Annamme samanlaisia \u200b\u200bjäseniä:

Jaat molemmat osat:

Nyt jatkamme ratkaisemaan analogisesti esimerkin 4, jaamme molemmat osat:

Tutkinnon perusta on yhtenäisempi, epätasa-arvon merkki säilyy:

4. Ohjeellisen eriarvoisuuden graafinen ratkaisu

Esimerkki 6 - Ratkaise epätasa-arvo graafisesti:

Harkitse vasemman ja oikean osan toimintoja ja rakentaa jokaisen aikataulun.

Toiminto on näytteilleasetta, kasvaa koko määritelmäalueella, ts. Kaikki väitteen kaikki voimassa olevat arvot.

Toiminto on lineaarinen, pienenee koko määritelmäalueella, ts. Kaikki väitteen voimassa olevat arvot.

Jos nämä toiminnot leikkaavat, toisin sanoen järjestelmällä on ratkaisu, niin tällainen liuos on ainoa ja se on helppo arvata. Tee tämä, käy läpi kokonaislukuja ()

On helppo nähdä, että tämän järjestelmän juuret ovat:

Näin ollen kaaviot toiminnasta, jotka leikkaavat pisteen, jonka argumentti on yhtä suuri.

Nyt sinun täytyy saada vastaus. Määritetyn epätasa-arvon merkitys on se, että näytteilleasetta on oltava suurempi tai yhtä suuri kuin lineaarinen toimintoeli on korkeampi tai samanaikainen. Ilmeinen vastaus: (Kuva 6.4)

Kuva. 4. Kuva esimerkistä 6

Joten pidimme erilaisten tyypillisten ohjeellisten eriarvoisuuksien ratkaisua. Seuraavaksi jatkamme monimutkaisempia esittelyn eriarvoisuutta.

Bibliografia

Mordovich A. G. Algebra ja alkoi matemaattinen analyysi. - M.: MNEMOZIN. Muravin G. K., Muravina O. V. Algebra ja alkoi matemaattinen analyysi. - M.: pudota. Kolmogorov A.N., Abramov A. M., Dudnitsyn Yu. P. ja muut. Algebra ja alkoi matemaattinen analyysi. - M.: valaistuminen.

Matematiikka. MD. Matematiikan toisto. Com. Diffur. Kemsu. Ru.

Kotitehtävät

1. Algebra ja aloitusanalyysi, 10-11 luokka (A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. DudNitsyn) 1990, nro 472, 473;

2. Ratkaise epätasa-arvo:

3. Ratkaise epätasa-arvo.