Yhtälöä, joka sisältää muuttujan eksponentissa, kutsutaan. Eksponenttiyhtälöiden ratkaisu. Esimerkkejä
Eksponenttiyhtälöiden ratkaisu. Esimerkkejä.
Huomio!
On ylimääräisiä
materiaalit erityisosassa 555.
Niille, jotka ovat hyvin "ei kovin ..."
Ja niille, jotka ovat "hyvin tasaisia ...")
Mitä eksponentiaalinen yhtälö? Tämä on yhtälö, jossa tuntemattomat (x) ja niiden kanssa käytetyt lausekkeet ovat indikaattoreita joitakin asteita. Ja vain siellä! On tärkeää.
Siellähän sinä olet esimerkkejä eksponentiaaliset yhtälöt :
3 x 2 x = 8 x + 3
Huomautus! Asteiden perusteissa (alla) - vain numeroita... V indikaattoreita astetta (yllä) - monenlaisia lausekkeita x: llä. Jos yhtäkkiä yhtälössä näkyy x jossain muualla kuin indikaattorissa, esimerkiksi:
tämä on jo sekatyyppinen yhtälö. Tällaisilla yhtälöillä ei ole selkeitä sääntöjä ratkaisemiseksi. Emme ota niitä vielä huomioon. Täällä käsittelemme ratkaisemalla eksponentiaaliset yhtälöt puhtaimmassa muodossaan.
Itse asiassa edes puhtaita eksponentiaalisia yhtälöitä ei aina ratkaista selvästi. Mutta on olemassa tietyntyyppisiä eksponentiaalisia yhtälöitä, jotka voidaan ja pitäisi ratkaista. Harkitsemme näitä tyyppejä.
Yksinkertaisimpien eksponenttiyhtälöiden ratkaisu.
Aloitetaan jostakin hyvin perustavanlaatuisesta. Esimerkiksi:
Jopa ilman teorioita, yksinkertaisesta valinnasta käy ilmi, että x = 2. Ei enää, eikö!? Ei muita x -arvon rullia. Katsotaanpa nyt tämän ovelan eksponentiaalisen yhtälön ratkaisun tietuetta:
Mitä me olemme tehneet? Itse asiassa me vain heitimme samat emäkset (kolmoset). Heitetty kokonaan ulos. Ja mikä miellyttää, osu merkkiin!
Itse asiassa jos eksponentiaalinen yhtälö vasemmalla ja oikealla sisältää sama lukuja millä tahansa teholla, nämä numerot voidaan poistaa ja eksponentit rinnastaa. Matematiikka sallii. Vielä on ratkaistava paljon yksinkertaisempi yhtälö. Hienoa, eikö?)
Muistakaamme kuitenkin ironisesti: voit poistaa emäkset vain, kun vasemmalla ja oikealla olevat perusnumerot ovat loistavassa eristyksessä! Ilman naapureita ja kertoimia. Sanotaan yhtälöissä:
2 x +2 x + 1 = 2 3, tai
kakkosia ei voi poistaa!
No, olemme oppineet tärkeimmän asian. Kuinka siirtyä pahoista eksponentiaalisista lausekkeista yksinkertaisempiin yhtälöihin.
"Nämä ovat aikoja!" - sinä sanot. "Kuka antaa niin alkeellisen testissä ja kokeissa!?"
Minun on oltava samaa mieltä. Kukaan ei anna. Mutta nyt tiedät minne pyrkiä ratkaislessasi hämmentäviä esimerkkejä. Se on saatettava lomakkeelle, kun sama perusnumero on vasemmalla - oikealla. Sitten kaikki on helpompaa. Itse asiassa tämä on matematiikan klassikoita. Otamme alkuperäisen esimerkin ja muutamme sen halutuksi. MEILLE mieli. Matematiikan sääntöjen mukaan tietysti.
Katsotaanpa esimerkkejä, jotka vaativat lisätoimia niiden yksinkertaistamiseksi. Soitetaan heille yksinkertaisia eksponentiaalisia yhtälöitä.
Yksinkertaisten eksponenttiyhtälöiden ratkaiseminen. Esimerkkejä.
Kun ratkaistaan eksponentiaalisia yhtälöitä, tärkeimmät säännöt ovat - toimia asteilla. Ilman näiden toimien tuntemusta mikään ei toimi.
Henkilökohtainen havainto ja kekseliäisyys on lisättävä toimiin, joilla on tutkinto. Tarvitsemmeko samat perusnumerot? Joten etsimme niitä esimerkistä selkeässä tai salatussa muodossa.
Katsotaan kuinka tämä tehdään käytännössä?
Annetaan meille esimerkki:
2 2x - 8x + 1 = 0
Ensimmäinen vilkas katse on perusteet. He ... He ovat erilaisia! Kaksi ja kahdeksan. Mutta on liian aikaista lannistua. On aika muistaa se
Kaksi ja kahdeksan ovat sukulaisia.) On täysin mahdollista kirjoittaa ylös:
8 x + 1 = (2 3) x + 1
Jos muistat kaavan toimista, joilla on valtuuksia:
(a n) m = nm,
yleisesti ottaen siitä tulee loistava:
8 x + 1 = (2 3) x + 1 = 2 3 (x + 1)
Alkuperäinen esimerkki näyttää nyt tältä:
2 2x - 2 3 (x + 1) = 0
Siirrämme 2 3 (x + 1) oikealle (kukaan ei peruuttanut matematiikan perustoimintoja!), Saamme:
2 2x = 2 3 (x + 1)
Siinä käytännössä kaikki. Poistamme pohjat:
Ratkaisemme tämän hirviön ja saamme
Tämä on oikea vastaus.
Tässä esimerkissä kahden voiman tunteminen auttoi meitä. Me tunnistettu kahdeksassa on salattu kaksi. Tämä tekniikka (yhteisten emästen salaaminen eri numeroilla) on erittäin suosittu tekniikka eksponentiaalisissa yhtälöissä! Ja myös logaritmeissa. On voitava tunnistaa numeroina muiden numeroiden voimat. Tämä on erittäin tärkeää eksponentiaalisten yhtälöiden ratkaisemiseksi.
Tosiasia on, että minkä tahansa numeron nostaminen mille tahansa teholle ei ole ongelma. Kerro vaikka paperille, ja siinä kaikki. Esimerkiksi jokainen voi nostaa 3 viidenteen potenssiin. 243 toimii, jos tiedät kertotaulukon.) Mutta eksponentiaalisissa yhtälöissä on paljon useammin välttämätöntä olla nostamatta potenssiin, vaan päinvastoin ... mikä luku missä määrin on piilotettu numeron 243 tai esimerkiksi 343 taakse ... Mikään laskin ei auta sinua tässä.
Sinun täytyy tietää joidenkin numeroiden voimat näkökyvystä, kyllä ... Harjoitellaanko?
Määritä mitkä tehot ja mitkä numerot ovat numeroita:
2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.
Vastaukset (epäjärjestyksessä, luonnollisesti!):
5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .
Jos katsot tarkasti, näet outon tosiasian. Vastauksia on huomattavasti enemmän kuin tehtäviä! No, se tapahtuu ... Esimerkiksi 2 6, 4 3, 8 2 ovat kaikki 64.
Oletetaan, että olet ottanut huomioon tiedot numeroiden tuntemuksesta.) Haluan muistuttaa sinua siitä, että eksponentiaalisten yhtälöiden ratkaisemiseksi käytämme koko varastossa matemaattista tietoa. Sisältää junior-keskiluokan edustajat. Et mennyt heti lukioon, vai mitä?)
Esimerkiksi kun ratkaistaan eksponentiaalisia yhtälöitä, se auttaa usein asettamaan yhteisen tekijän sulkeiden ulkopuolelle (hei 7. luokka!). Katsotaanpa esimerkkiä:
3 2x + 4-11 9 x = 210
Ja jälleen, ensi silmäyksellä - perustuksilla! Tutkintojen perusteet ovat erilaiset ... Kolme ja yhdeksän. Ja haluamme niiden olevan samanlaisia. No, tässä tapauksessa halu on varsin mahdollista!) Koska:
9 x = (3 2) x = 3 2x
Noudattamalla samoja sääntöjä tutkintojen käsittelyssä:
3 2x + 4 = 3 2x 3 4
Hienoa, voit kirjoittaa:
3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210
Olemme antaneet esimerkin samat perusteet... Eli mitä seuraavaksi !? Kolmia ei saa heittää pois ... umpikuja?
Ei lainkaan. Muistetaan monipuolisin ja tehokkain päätöksen sääntö kaikista matemaattiset tehtävät:
Jos et tiedä mitä tarvitaan, tee se mitä voit!
Katsokaa, kaikki muodostuu).
Mitä tässä eksponentiaalisessa yhtälössä on voi tehdä? Kyllä, vasemmassa osassa se pyytää suoraan sulkeita! Yhteinen tekijä 3 2x viittaa tähän selvästi. Kokeillaan ja sitten nähdään:
3 2x (3 4-11) = 210
3 4 - 11 = 81 - 11 = 70
Esimerkki paranee koko ajan!
Muista, että perusteiden poistamiseksi tarvitsemme puhtaan asteen ilman kertoimia. Numero 70 on tiellämme. Joten jaamme yhtälön molemmat puolet 70: llä, saamme:
Oho! Kaikki sujui!
Tämä on lopullinen vastaus.
On kuitenkin mahdollista, että rullaaminen samoilla perusteilla saadaan, mutta niiden poistaminen ei. Tämä tapahtuu toisen tyyppisissä eksponentiaalisissa yhtälöissä. Hallitaan tämä tyyppi.
Muuttujan muutos eksponentiaalisten yhtälöiden ratkaisemisessa. Esimerkkejä.
Ratkaistaan yhtälö:
4 x - 3 2 x +2 = 0
Ensinnäkin, kuten tavallista. Siirrytään yhteen tukikohtaan. Kahdelle.
4 x = (2 2) x = 2 2x
Saamme yhtälön:
2 2x - 3 2 x +2 = 0
Ja täällä jäädytetään. Aiemmat temput eivät toimi, vaikka kuinka siistiä. Meidän on hankittava toinen mahtava ja universaali tapa... Sitä kutsutaan muuttujan vaihto.
Menetelmän ydin on yllättävän yksinkertainen. Yhden monimutkaisen kuvakkeen (meidän tapauksessamme 2 x) sijasta kirjoitamme toisen, yksinkertaisemman (esimerkiksi t). Tällainen näennäisesti järjetön korvaaminen johtaa uskomattomiin tuloksiin!) Kaikki vain tulee selväksi ja ymmärrettäväksi!
Joten anna
Sitten 2 2x = 2 x2 = (2 x) 2 = t 2
Korvaa kaikki yhtälön tehot x: llä t:
No, se koittaa?) Oletko unohtanut toisen asteen yhtälöt vielä? Ratkaisemme syrjijän kautta, saamme:
Tässä tärkeintä ei ole pysähtyä, kuten se tapahtuu ... Tämä ei ole vielä vastaus, tarvitsemme X: n, ei t: n. Palaamme X: ään, ts. tehdä käänteinen vaihto... Ensimmäinen t 1: lle:
Tuo on,
Löytyi yksi juuri. Etsimme toista, alkaen t 2:
Hmm ... Vasen 2 x, oikea 1 ... Ongelma? Ei lainkaan! Riittää, kun muistaa (tehtävistä, joilla on valtuuksia, kyllä ...), että sellainen on minkä tahansa numero nolla asteeseen. Kuka tahansa. Toimitamme tarvittavan. Tarvitsemme kaksikon. Tarkoittaa:
Nyt se on siinä. Meillä on 2 juuria:
Tämä on vastaus.
Klo ratkaista eksponentiaalisia yhtälöitä lopulta joskus saamme jonkinlaisen hankalan ilmaisun. Tyyppi:
Seitsemästä kahteen yksinkertainen tutkinto ei toimi. He eivät ole sukulaisia ... Kuinka olla täällä? Joku voi olla hämmentynyt ... Mutta henkilö, joka luki tällä sivustolla aiheen "Mikä on logaritmi?" , hymyilee vain säästeliäästi ja kirjoittaa vankalla kädellä ylös ehdottomasti oikean vastauksen:
Tällaista vastausta ei voi olla tentin tehtävissä "B". Siellä tarvitaan tietty numero. Mutta tehtävissä "C" - helposti.
Tämä oppitunti tarjoaa esimerkkejä yleisimpien eksponentiaalisten yhtälöiden ratkaisemisesta. Korostetaan pääasia.
1. Ensinnäkin katsomme perustukset astetta. Mietimme, onko niiden tekeminen mahdollista sama. Yritämme tehdä tämän käyttämällä aktiivisesti toimia asteilla.Älä unohda, että luvut ilman x: ää voidaan muuntaa myös potensseiksi!
2. Yritämme pienentää eksponentiaalisen yhtälön muotoon, kun vasen ja oikea ovat sama numeroita missä tahansa määrin. Käytämme toimia asteilla ja tekijä. Mitä voidaan laskea numeroina - me laskemme.
3. Jos toinen kärki ei toiminut, yritämme käyttää muuttuvaa korvaamista. Lopputulos on yhtälö, joka voidaan helposti ratkaista. Useimmiten se on neliö. Tai murtoluku, joka myös pienenee neliöksi.
4. Jotta voit ratkaista eksponentiaaliset yhtälöt, sinun on tiedettävä joidenkin numeroiden tehot "näkökyvystä".
Kuten tavallista, oppitunnin lopussa sinua pyydetään päättämään hieman.) Yksin. Yksinkertaisesta monimutkaiseen.
Ratkaise eksponentiaaliset yhtälöt:
Vaikeampaa:
2 x + 3 - 2 x + 2 - 2 x = 48
9 x - 8 3 x = 9
2 x - 2 0,5x + 1-8 = 0
Etsi juurien tuote:
2 3-x + 2 x = 9
Tapahtuiko?
No sitten vaikein esimerkki(kuitenkin mielessä ratkaistu ...):
7 0,13x + 13 0,7x + 1 + 2 0,5x + 1 = -3
Mikä on mielenkiintoisempaa? Tässä on sinulle huono esimerkki. Se on varsin houkutteleva lisääntyneisiin vaikeuksiin. Vihjaan, että tässä esimerkissä kekseliäisyys säästää ja eniten universaali sääntö kaikki matemaattiset ongelmat.)
2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x
Esimerkki on yksinkertaisempi lepoa varten):
9 2 x - 4 3 x = 0
Ja jälkiruoaksi. Etsi yhtälön juurten summa:
x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0
Kyllä kyllä! Tämä on sekava yhtälö! Mitä emme ottaneet huomioon tässä oppitunnissa. Ja että ne on otettava huomioon, ne on ratkaistava!) Tämä oppitunti riittää yhtälön ratkaisemiseen. No, taitoa tarvitaan ... Ja auttakoon seitsemäs luokka sinua (tämä on vihje!).
Vastaukset (epäjärjestyksessä, puolipiste erotettuna):
1; 2; 3; 4; ei ratkaisuja; 2; -2; -5; 4; 0.
Onko kaikki hyvin? Hieno.
On ongelma? Ei ongelmaa! Erityisosassa 555 kaikki nämä eksponentiaaliset yhtälöt ratkaistaan yksityiskohtaisia selityksiä... Mitä, miksi ja miksi. Ja tietysti on lisäarvoa tietoa kaikenlaisten eksponentiaalisten yhtälöiden käsittelystä. Ei vain näitä.)
Viimeinen hauska kysymys pohdittavaksi. Tässä opetusohjelmassa työskentelimme eksponentiaalisten yhtälöiden kanssa. Miksi en sanonut täällä sanaakaan ODZ: sta? Yhtälöissä tämä on muuten erittäin tärkeä asia ...
Jos pidät tästä sivustosta ...
Muuten, minulla on pari mielenkiintoista sivustoa sinulle.)
Voit harjoitella esimerkkien ratkaisua ja selvittää tasosi. Välitön validointitesti. Oppiminen - mielenkiinnolla!)
voit tutustua toimintoihin ja johdannaisiin.
Tämä oppitunti on tarkoitettu niille, jotka ovat vasta alkamassa oppia eksponentiaalisia yhtälöitä. Kuten aina, aloitetaan määritelmällä ja yksinkertaisilla esimerkeillä.
Jos luet tätä oppituntia, epäilen, että sinulla on jo ainakin vähäinen ymmärrys yksinkertaisimmista yhtälöistä - lineaarinen ja neliö: $ 56x -11 = $ 0; $ ((x) ^ (2)) + 5x + 4 = 0 $; $ ((x) ^ (2)) - 12x + 32 = 0 $ jne. Tällaisten rakenteiden ratkaiseminen on ehdottoman välttämätöntä, jotta ei "juutu" aiheeseen, josta nyt keskustellaan.
Joten eksponentiaaliset yhtälöt. Annan heti pari esimerkkiä:
\ [((2) ^ (x)) = 4; \ quad ((5) ^ (2x -3)) = \ frac (1) (25); \ quad ((9) ^ (x)) = - 3 \]
Jotkut niistä saattavat tuntua sinulle monimutkaisemmilta, toiset - päinvastoin, liian yksinkertaisilta. Mutta niitä kaikkia yhdistää yksi tärkeä piirre: niiden merkinnöissä on eksponentiaalinen funktio $ f \ left (x \ right) = ((a) ^ (x)) $. Esittelemme siis määritelmän:
Eksponentiaalinen yhtälö on mikä tahansa yhtälö, joka sisältää eksponentiaalisen funktion, ts. lauseke kuten $ ((a) ^ (x)) $. Määritetyn funktion lisäksi tällaiset yhtälöt voivat sisältää muita algebrallisia rakenteita - polynomeja, juuria, trigonometriaa, logaritmeja jne.
Hyvä on. Selvitimme määritelmän. Nyt kysymys kuuluu: kuinka ratkaista tämä paska? Vastaus on sekä yksinkertainen että monimutkainen.
Aloitetaan hyvistä uutisista: kokemuksistani monen oppilaan luokista voin sanoa, että useimmille eksponentiaaliset yhtälöt ovat paljon helpompia kuin samat logaritmit ja vielä enemmän trigonometria.
Mutta on myös huonoja uutisia: joskus kaikenlaisten oppikirjojen ja tenttien ongelmien kirjoittajat ovat "innoitettuja", ja heidän aivonsa, jotka ovat tulehtuneet huumeista, alkavat antaa niin julmia yhtälöitä, että niiden ratkaisemisesta tulee ongelmallista paitsi opiskelijoille - jopa monet opettajat jäävät jumiin tällaisiin ongelmiin .
Älkäämme kuitenkaan puhuko surullisista asioista. Ja takaisin niihin kolmeen yhtälöön, jotka annettiin tarinan alussa. Yritetään ratkaista jokainen niistä.
Ensimmäinen yhtälö: $ ((2) ^ (x)) = 4 $. Missä määrin numeroa 2 pitäisi nostaa, jotta numero 4 saadaan? Todennäköisesti toinen? Loppujen lopuksi $ ((2) ^ (2)) = 2 \ cdot 2 = 4 $ - ja saimme oikean numeerisen tasa -arvon, ts. todella $ x = 2 $. Kiitos, korkki, mutta tämä yhtälö oli niin yksinkertainen, että jopa kissani pystyi ratkaisemaan sen. :)
Katsotaanpa seuraavaa yhtälöä:
\ [((5) ^ (2x-3)) = \ frac (1) (25) \]
Ja tässä se on jo hieman monimutkaisempaa. Monet opiskelijat tietävät, että $ ((5) ^ (2)) = 25 $ on kertotaulukko. Jotkut epäilevät myös, että $ ((5) ^ (- 1)) = \ frac (1) (5) $ on olennaisesti negatiivisten voimien määritelmä (samanlainen kuin kaava $ ((a) ^ (- n)) = \ frac (1) (((a) ^ (n))) $).
Lopuksi vain harvat valitsevat, että nämä tosiasiat voidaan yhdistää ja tuloksena saadaan seuraava tulos:
\ [\ frac (1) (25) = \ frac (1) (((5) ^ (2)) = = ((5) ^ (- 2))]]
Siten alkuperäinen yhtälö kirjoitetaan uudelleen seuraavasti:
\ [((5) ^ (2x-3)) = \ frac (1) (25) \ Oikea nuoli ((5) ^ (2x-3)) = ((5) ^ (-2))]
Mutta tämä on jo melko ratkaistavissa! Yhtälön vasemmalla puolella on eksponenttifunktio, yhtälön oikealla puolella on eksponenttifunktio, ei ole mitään muuta kuin ne missä tahansa muualla. Siksi voit "hylätä" perusteet ja tasapainottaa indikaattorit typerästi:
Saimme yksinkertaisimman lineaarisen yhtälön, jonka kuka tahansa oppilas voi ratkaista vain parilla rivillä. Okei, neljällä rivillä:
\ [\ aloita (kohdista) & 2x-3 = -2 \\ & 2x = 3-2 \\ & 2x = 1 \\ & x = \ frac (1) (2) \\\ loppu (kohdista) \]
Jos et ymmärrä, mitä neljällä viimeisellä rivillä tapahtui, palaa aiheeseen "lineaariset yhtälöt" ja toista se. Koska ilman tämän aiheen selvää ymmärtämistä, on liian aikaista käsitellä eksponentiaalisia yhtälöitä.
\ [((9) ^ (x)) = - 3 \]
No miten tämä ratkaistaan? Ensimmäinen ajatus: $ 9 = 3 \ cdot 3 = ((3) ^ (2)) $, joten alkuperäinen yhtälö voidaan kirjoittaa uudelleen näin:
\ [(((\ vasen (((3) ^ (2)) oikea)) ^ (x)) = - 3 \]
Sitten muistamme, että kun nostetaan tehoa tehoksi, indikaattorit kerrotaan:
\ [((\ \ vasen (((3) ^ (2)) oikea)) ^ (x)) = ((3) ^ (2x)) \ Oikeanuoli ((3) ^ (2x)) = - (( 3) ^ (1)) \]
\ [\ aloita (kohdista) & 2x = -1 \\ & x = - \ frac (1) (2) \\\ loppu (kohdista) \]
Ja tällaisesta päätöksestä saamme rehellisesti ansaitun kaksikon. Sillä me Pokemonin tasapainolla lähetimme miinusmerkin kolmen eteen, juuri tämän kolmen asteen verran. Ja et voi tehdä sitä. Ja siksi. Katsokaa tripletin eri voimia:
\ [\ aloita (matriisi) ((3) ^ (1)) = 3 & ((3) ^ (- 1)) = \ frac (1) (3) & ((3) ^ (\ frac (1) (2))) = \ sqrt (3) \\ ((3) ^ (2)) = 9 & (3) ^ (- 2)) = \ frac (1) (9) & (3) ^ (\ frac (1) (3))) = \ sqrt (3) \\ ((3) ^ (3)) = 27 & (3) ^ (- 3)) = \ frac (1) (27) & ((3) ^ (- \ frac (1) (2))) = \ frac (1) (\ sqrt (3)) \\\ end (matriisi) \]
Tätä tablettia laatiessani olin heti perverssi: piti positiivisia asteita ja negatiivisia ja jopa murto -osia ... no, missä on ainakin yksi negatiivinen luku? Hän ei ole siellä! Ja se ei voi olla, koska eksponenttifunktio $ y = ((a) ^ (x)) $, ensinnäkin, kestää aina vain positiivisia arvoja(riippumatta siitä, kuinka paljon yksi kertoo tai jakaa kahdella, se on silti positiivinen luku), ja toiseksi, tällaisen funktion perusta - luku $ a $ - on määritelmän mukaan positiivinen luku!
Miten sitten ratkaista yhtälö $ ((9) ^ (x)) = - 3 $? Mutta ei mitenkään: ei ole juuria. Ja tässä mielessä eksponentiaaliset yhtälöt ovat hyvin samanlaisia kuin toisen asteen yhtälöt - siellä ei myöskään voi olla juuria. Mutta jos toisen asteen yhtälöissä juurien lukumäärän määrää erottelija (positiivinen erottelija - 2 juurta, negatiivinen - ei juuria), niin eksponentiaalisissa yhtälöissä kaikki riippuu siitä, mikä on yhtäläisyysmerkin oikealla puolella.
Siten muotoilemme keskeisen johtopäätöksen: yksinkertaisimmalla eksponenttiyhtälöllä muodossa $ ((a) ^ (x)) = b $ on juuri ja vain jos $ b> 0 $. Tietäen tämän yksinkertaisen tosiasian voit helposti määrittää, onko sinulle ehdotetulla yhtälöllä juuret vai ei. Nuo. kannattaako se ratkaista ollenkaan vai kirjoittaa vain muistiin, ettei juuria ole.
Tämä tieto auttaa meitä monta kertaa, kun meidän on ratkaistava monimutkaisempia ongelmia. Sillä välin riittää sanoituksia - on aika tutkia eksponentiaalisten yhtälöiden ratkaisun perusalgoritmia.
Kuinka ratkaista eksponentiaaliset yhtälöt
Muotoillaan siis ongelma. On välttämätöntä ratkaista eksponentiaalinen yhtälö:
\ [(((a) ^ (x)) = b, \ quad a, b> 0 \]
"Naiivin" algoritmin mukaan, jonka mukaan toimimme aiemmin, on välttämätöntä esittää numero $ b $ luvun $ a $ potenssina:
Lisäksi jos muuttujan $ x $ sijasta on jokin lauseke, saamme uuden yhtälön, joka voidaan jo ratkaista. Esimerkiksi:
\ [\ begin (align) & ((2) ^ (x)) = 8 \ Rightrerow ((2) ^ (x)) = ((2) ^ (3)) \ Rightrerow x = 3; \\ & ((3) ^ ( - x)) = 81 \ Oikeanuolinen ((3) ^ ( - x)) = ((3) ^ (4)) \ Oikeanuoli -x = 4 \ Oikeanuoli x = -4; \\ & ((5) ^ (2x)) = 125 \ Oikeanuoli ((5) ^ (2x)) = ((5) ^ (3)) \ Oikeanuoli 2x = 3 \ Oikeanuoli x = \ frac (3) ( 2). \\\ loppu (kohdista) \]
Ja kummallista kyllä, tämä järjestelmä toimii noin 90% ajasta. Entä sitten loput 10%? Loput 10% ovat hieman "skitsofrenisia" eksponentiaalisia yhtälöitä muodossa:
\ [((2) ^ (x)) = 3; \ quad ((5) ^ (x)) = 15; \ quad ((4) ^ (2x)) = 11 \]
Missä määrin 2 pitäisi nostaa saadakseen 3? Ensimmäinen? Mutta ei: $ ((2) ^ (1)) = 2 $ - ei riitä. Toinen? Ei myöskään: $ ((2) ^ (2)) = 4 $ - vähän liikaa. Kumpi sitten?
Asiantuntevat opiskelijat ovat luultavasti jo arvanneet: tällaisissa tapauksissa, joissa on mahdotonta ratkaista "kauniisti", "raskas tykistö" - logaritmit - liittyy asiaan. Muistutan teitä, että logaritmeja käyttämällä mikä tahansa positiivinen luku voidaan esittää minkä tahansa muun positiivisen luvun potenssina (yhtä lukuun ottamatta):
Muistatko tämän kaavan? Kun kerron oppilailleni logaritmeista, varoitan sinua aina: tämä kaava (se on myös peruslogaritminen identiteetti tai halutessasi logaritmin määritelmä) kummittelee sinua hyvin pitkään ja "ponnahtaa esiin" odottamattomimmat paikat. No, hän nousi pintaan. Katsotaanpa yhtälöämme ja tätä kaavaa:
\ [\ aloita (kohdista) & ((2) ^ (x)) = 3 \\ & a = ((b) ^ (((\ log) _ (b)) a)) \\\ end (kohdista) \]
Jos oletamme, että $ a = 3 $ on alkuperäinen numeromme oikealla ja $ b = 2 $ on pohja eksponentti funktio, johon haluamme niin pienentää oikean puolen, saamme seuraavan:
\ [\ begin (align) & a = ((b) ^ (((\ log) _ (b)) a)) \ Rightrerow 3 = ((2) ^ (((\ log) _ (2)) 3 )); \\ & ((2) ^ (x)) = 3 \ Oikea nuoli ((2) ^ (x)) = ((2) ^ (((\ log) _ (2)) 3)) \ Rightrerow x = ( (\ log) _ (2)) 3. \\\ loppu (kohdista) \]
Saimme hieman outon vastauksen: $ x = ((\ log) _ (2)) 3 $. Jossain muussa tehtävässä, jolla olisi tällainen vastaus, monet olisivat epäilleet ja alkaneet tarkistaa ratkaisunsa: entä jos jossain jossain tapahtuisi virhe? Kiirehdin miellyttääkseni sinua: tässä ei ole virhettä, ja eksponentiaalisten yhtälöiden juurten logaritmit ovat varsin tyypillinen tilanne. Joten tottu siihen. :)
Nyt ratkaistaan loput kaksi yhtälöä analogisesti:
\ [\ begin (align) & ((5) ^ (x)) = 15 \ Rightrerow ((5) ^ (x)) = ((5) ^ (((\ log) _ (5)) 15)) \ Nuolinäppäin x = ((\ log) _ (5)) 15; \\ & ((4) ^ (2x)) = 11 \ Oikea nuoli ((4) ^ (2x)) = ((4) ^ (((\ log) _ (4)) 11)) \ Rightrerow 2x = ( (\ log) _ (4)) 11 \ Oikea nuoli x = \ frac (1) (2) ((\ log) _ (4)) 11. \\\ loppu (kohdista) \]
Siinä kaikki! Muuten, viimeinen vastaus voidaan kirjoittaa eri tavalla:
Otimme kerroimen käyttöön logaritmi -argumentissa. Mutta kukaan ei häiritse meitä ottamasta tätä tekijää pohjaan:
Lisäksi kaikki kolme vaihtoehtoa ovat oikein - se on vain eri muotoja saman numeron tietueet. Kumpi valita ja kirjoittaa tähän ratkaisuun, on sinun tehtäväsi.
Olemme siis oppineet ratkaisemaan kaikki eksponentiaaliset yhtälöt muodossa $ ((a) ^ (x)) = b $, jossa luvut $ a $ ja $ b $ ovat ehdottomasti positiivisia. Maailman karu todellisuus on kuitenkin se, että tällaiset yksinkertaiset tehtävät ovat sinulle hyvin, hyvin harvinaisia. Paljon useammin törmäät tällaiseen:
\ [\ aloita (kohdista) & ((4) ^ (x)) + ((4) ^ (x -1)) = ((4) ^ (x + 1)) - 11; \\ & ((7) ^ (x + 6)) \ cdot ((3) ^ (x + 6)) = ((21) ^ (3x)); \\ & ((100) ^ (x-1)) \ cdot ((2.7) ^ (1-x)) = 0,09. \\\ loppu (kohdista) \]
No miten tämä ratkaistaan? Voiko tämän ratkaista ollenkaan? Ja jos on, niin miten?
Älä panikoi. Kaikki nämä yhtälöt supistuvat nopeasti ja helposti niihin yksinkertaisiin kaavoihin, joita olemme jo tarkastelleet. Sinun tarvitsee vain muistaa pari tekniikkaa algebran kurssilta. Ja tietysti missään ei ole sääntöjä, jotka koskevat tutkintojen käsittelyä. Kerron tästä kaikesta nyt. :)
Eksponenttiyhtälöiden muuntaminen
Ensimmäinen asia, joka on muistettava: mikä tahansa eksponentiaalinen yhtälö, olipa se kuinka monimutkainen tahansa, on jotenkin yksinkertaistettava yksinkertaisimpiin yhtälöihin - samoihin, joita olemme jo tarkastelleet ja jotka osaamme ratkaista. Toisin sanoen kaava minkä tahansa eksponentiaalisen yhtälön ratkaisemiseksi näyttää tältä:
- Kirjoita alkuperäinen yhtälö ylös. Esimerkki: $ ((4) ^ (x)) + ((4) ^ (x -1)) = ((4) ^ (x + 1)) - 11 $;
- Tee jotain käsittämätöntä paskaa. Tai jopa muutama paska nimeltä "muuntaa yhtälöä";
- Hanki tulostuksessa yksinkertaisimmat lausekkeet, kuten $ ((4) ^ (x)) = 4 $ tai jotain muuta sellaista. Lisäksi yksi alkuperäinen yhtälö voi antaa useita tällaisia lausekkeita kerralla.
Ensimmäisessä kohdassa kaikki on selvää - jopa kissani voi kirjoittaa yhtälön paperille. Myös kolmannen kohdan kanssa näyttää olevan enemmän tai vähemmän selvää - olemme jo ratkaisseet koko joukon tällaisia yhtälöitä yllä.
Mutta entä toinen kohta? Millainen muutos? Mitä muuntaa mihin? Ja miten?
No, selvitetään se. Ensinnäkin haluaisin huomauttaa seuraavasta. Kaikki eksponentiaaliset yhtälöt on jaettu kahteen tyyppiin:
- Yhtälö koostuu eksponentiaalisista funktioista, joilla on sama perusta. Esimerkki: $ ((4) ^ (x)) + ((4) ^ (x -1)) = ((4) ^ (x + 1)) - 11 $;
- Kaava sisältää eksponentiaalisia funktioita eri syistä... Esimerkkejä: $ ((7) ^ (x + 6)) \ cdot ((3) ^ (x + 6)) = ((21) ^ (3x)) $ ja $ ((100) ^ (x-1) ) \ cdot ((2.7) ^ (1-x)) = 0.09 $.
Aloitetaan ensimmäisen tyyppisistä yhtälöistä - ne on helpoin ratkaista. Ja niiden ratkaisemisessa meitä auttaa sellainen tekniikka kuin vakaiden ilmaisujen korostaminen.
Vakaan lausekkeen korostaminen
Katsotaanpa vielä tätä yhtälöä:
\ [((4) ^ (x)) + ((4) ^ (x -1)) = ((4) ^ (x + 1)) - 11 \]
Mitä näemme? Neljää rakennetaan vaihtelevassa määrin. Mutta kaikki nämä voimat ovat yksinkertaisia summia muuttujasta $ x $ muiden lukujen kanssa. Siksi on tarpeen muistaa tutkintoihin liittyvät säännöt:
\ [\ begin (align) & ((a) ^ (x + y)) = ((a) ^ (x)) \ cdot ((a) ^ (y)); \\ & ((a) ^ (xy)) = ((a) ^ (x)): ((a) ^ (y)) = \ frac (((a) ^ (x))) ((((a ) ^ (y))). \\\ loppu (kohdista) \]
Yksinkertaisesti sanottuna eksponenttien lisääminen voidaan muuntaa voimien tuloksi, ja vähennys voidaan helposti muuntaa jakoksi. Yritetään soveltaa näitä kaavoja yhtälömme voimiin:
\ [\ aloita (kohdista) & ((4) ^ (x-1)) = \ frac ((((4) ^ (x)))) (((4) ^ (1))) = ((4) ^ (x)) \ cdot \ frac (1) (4); \\ & ((4) ^ (x + 1)) = ((4) ^ (x)) \ cdot ((4) ^ (1)) = ((4) ^ (x)) \ cdot 4. \ \\ loppu (kohdista) \]
Kirjoitetaan alkuperäinen yhtälö uudelleen tämän seikan huomioon ottaen ja kerätään sitten kaikki vasemmalla olevat termit:
\ [\ begin (align) & ((4) ^ (x)) + ((4) ^ (x)) \ cdot \ frac (1) (4) = ((4) ^ (x)) \ cdot 4 -yksitoista; \\ & ((4) ^ (x)) + ((4) ^ (x)) \ cdot \ frac (1) (4) - ((4) ^ (x)) \ cdot 4 + 11 = 0. \\\ loppu (kohdista) \]
V neljä ensimmäistä kutsuista on elementti $ ((4) ^ (x)) $ - laita se sulkeiden ulkopuolelle:
\ [\ begin (align) & ((4) ^ (x)) \ cdot \ left (1+ \ frac (1) (4) -4 \ right) + 11 = 0; \\ & ((4) ^ (x)) \ cdot \ frac (4 + 1-16) (4) + 11 = 0; \\ & ((4) ^ (x)) \ cdot \ left ( - \ frac (11) (4) \ right) = - 11. \\\ loppu (kohdista) \]
Jäljellä on jakaa yhtälön molemmat puolet murto -osiin $ - \ frac (11) (4) $, ts. olennaisesti kerrotaan käänteisellä murto -osalla - $ - \ frac (4) (11) $. Saamme:
\ [\ begin (align) & ((4) ^ (x)) \ cdot \ left (- \ frac (11) (4) \ right) \ cdot \ left (- \ frac (4) (11) \ right ) = - 11 \ cdot \ left ( - \ frac (4) (11) \ right); \\ & ((4) ^ (x)) = 4; \\ & ((4) ^ (x)) = ((4) ^ (1)); \\ & x = 1. \\\ loppu (kohdista) \]
Siinä kaikki! Pienensimme alkuperäisen yhtälön yksinkertaisimmaksi ja saimme lopullisen vastauksen.
Samaan aikaan ratkaisuprosessissa löysimme (ja jopa otimme pois suluesta) yhteisen tekijän $ ((4) ^ (x)) $ - tämä on vakaa lauseke. Se voidaan nimetä uudeksi muuttujaksi tai se voidaan yksinkertaisesti ilmaista ja vastata. Joka tapauksessa, avainperiaate ratkaisut ovat seuraavat:
Etsi alkuperäisestä yhtälöstä vakaa lauseke, joka sisältää muuttujan, joka voidaan helposti erottaa kaikista eksponentiaalisista funktioista.
Hyvä uutinen on, että lähes jokainen eksponentiaalinen yhtälö mahdollistaa tällaisen vakaan ilmaisun.
Mutta huono uutinen on, että tällaiset ilmaisut voivat olla hankalia ja niiden valitseminen voi olla hankalaa. Siksi analysoimme vielä yhden tehtävän:
\ [((5) ^ (x + 2)) + ((0,2) ^ (- x-1)) + 4 \ cdot ((5) ^ (x + 1)) = 2 \]
Ehkä jollain on nyt kysymys: ”Pasha, oletko kivitetty? Tässä on erilaisia tukikohtia - 5 ja 0,2 ”. Yritetään kuitenkin muuttaa aste 0,2: sta. Päästämme esimerkiksi eroon desimaaliosasta ja tuomme sen tavalliseen:
\ [(((0,2) ^ (- x-1)) = ((0,2) ^ (- \ vasen (x + 1 \ oikea)))) = ((\ vasen (\ frac (2) (10) ) \ oikea)) ^ (- \ vasen (x + 1 \ oikea)))) = ((\ vasen (\ frac (1) (5) \ oikea)) ^ (- \ vasen (x + 1 \ oikea)) ) \]
Kuten näette, numero 5 ilmestyi edelleen, vaikka nimittäjässä. Samaan aikaan indikaattori kirjoitettiin uudelleen negatiiviseksi. Ja nyt muistamme yhden olennaiset säännöt työskentele tutkintojen kanssa:
\ [(((a) ^ (- n)) = \ frac (1) (((a) ^ (n))) \ Nuoli oikealle ((\ vasen (\ frac (1) (5) \ oikea)) ^ ( - \ vasen (x + 1 \ oikea))) = ((\ vasen (\ frac (5) (1) \ oikea)) ^ (x + 1)) = ((5) ^ (x + 1)) \ ]
Täällä tietysti vähän petin. Koska täydellisen ymmärryksen saamiseksi kaava negatiivisten indikaattoreiden poistamiseksi oli kirjoitettava näin:
\ [(((a) ^ (- n)) = \ frac (1) (((a) ^ (n))) = ((\ vasen (\ frac (1) (a) \ oikea)) ^ (n )) \ Oikea nuoli ((\ vasen (\ frac (1) (5) \ oikea)) ^ (- \ vasen (x + 1 \ oikea)))) = ((\ vasen (\ frac (5) (1) \ oikea)) ^ (x + 1)) = ((5) ^ (x + 1)) \]
Toisaalta mikään ei estänyt meitä toimimasta vain yhden murto -osan kanssa:
\ [((\ \ vasen (\ frac (1) (5) \ oikea)) ^ (- \ vasen (x + 1 \ oikea))) = = ((\ vasen (((5) ^ (- 1)) \ oikea)) ^ (- \ vasen (x + 1 \ oikea)))) = ((5) ^ (\ vasen (-1 \ oikea) \ cdot \ vasen (- \ vasen (x + 1 \ oikea) \ oikea) )) = ((5) ^ (x + 1)) \]
Mutta tässä tapauksessa sinun on kyettävä nostamaan astetta toiseen asteeseen (muista: tässä tapauksessa indikaattorit yhdistyvät). Mutta minun ei tarvinnut "kääntää" murto -osia - ehkä joillekin se on helpompaa. :)
Joka tapauksessa alkuperäinen eksponentiaalinen yhtälö kirjoitetaan uudelleen seuraavasti:
\ [\ begin (align) & ((5) ^ (x + 2)) + ((5) ^ (x + 1)) + 4 \ cdot ((5) ^ (x + 1)) = 2; \\ & ((5) ^ (x + 2)) + 5 \ cdot ((5) ^ (x + 1)) = 2; \\ & ((5) ^ (x + 2)) + ((5) ^ (1)) \ cdot ((5) ^ (x + 1)) = 2; \\ & ((5) ^ (x + 2)) + ((5) ^ (x + 2)) = 2; \\ & 2 \ cdot ((5) ^ (x + 2)) = 2; \\ & ((5) ^ (x + 2)) = 1. \\\ loppu (kohdista) \]
Joten käy ilmi, että alkuperäinen yhtälö on jopa helpompi ratkaista kuin aiemmin pidetty: tässä sinun ei tarvitse edes erottaa vakaata lauseketta - kaikki on vähentynyt itsestään. Jää vain muistaa, että $ 1 = ((5) ^ (0)) $, josta saamme:
\ [\ aloita (kohdista) & ((5) ^ (x + 2)) = ((5) ^ (0)); \\ & x + 2 = 0; \\ & x = -2. \\\ loppu (kohdista) \]
Siinä koko ratkaisu! Saimme lopullisen vastauksen: $ x = -2 $. Samaan aikaan haluaisin huomata yhden tekniikan, joka yksinkertaisti huomattavasti kaikkia laskelmia meille:
Muista päästä eroon eksponentiaalisista yhtälöistä desimaaliluvut, muuntaa ne tavallisiksi. Näin voit nähdä samat perusasteet ja yksinkertaistaa ratkaisua huomattavasti.
Jatketaan enemmän monimutkaisia yhtälöitä, jossa on erilaisia emäksiä, jotka eivät yleensä ole pelkistettävissä toisiinsa asteiden avulla.
Asteen ominaisuuden käyttäminen
Muistutan, että meillä on kaksi erityisen ankaraa yhtälöä:
\ [\ begin (align) & ((7) ^ (x + 6)) \ cdot ((3) ^ (x + 6)) = ((21) ^ (3x)); \\ & ((100) ^ (x-1)) \ cdot ((2.7) ^ (1-x)) = 0,09. \\\ loppu (kohdista) \]
Suurin vaikeus tässä on se, että ei ole selvää, mitä ja mistä syystä johtaa. Missä on asetetut lausekkeet? Missä ovat samat perusteet? Tätä ei ole.
Mutta yritetään mennä toiseen suuntaan. Jos valmiita identtisiä emäksiä ei ole, voit yrittää löytää ne faktoimalla olemassa olevat emäkset.
Aloitetaan ensimmäisestä yhtälöstä:
\ [\ begin (align) & ((7) ^ (x + 6)) \ cdot ((3) ^ (x + 6)) = ((21) ^ (3x)); \\ & 21 = 7 \ cdot 3 \ Oikea nuoli ((21) ^ (3x)) = ((\ \ vasen (7 \ cdot 3 \ oikea)) ^ (3x)) = ((7) ^ (3x)) \ cdot ((3) ^ (3x)). \\\ loppu (kohdista) \]
Mutta voit tehdä päinvastoin - muodosta numero 21 numeroista 7 ja 3. Tämä on erityisen helppoa vasemmalla, koska molempien asteiden indikaattorit ovat samat:
\ [\ begin (align) & ((7) ^ (x + 6)) \ cdot ((3) ^ (x + 6)) = ((\ left (7 \ cdot 3 \ right)) ^ (x + 6)) = ((21) ^ (x + 6)); \\ & ((21) ^ (x + 6)) = ((21) ^ (3x)); \\ & x + 6 = 3x; \\ & 2x = 6; \\ & x = 3. \\\ loppu (kohdista) \]
Siinä kaikki! Otit eksponentin tuotteen ulkopuolelle ja sait heti kauniin yhtälön, joka voidaan ratkaista parilla rivillä.
Nyt käsitellään toista yhtälöä. Täällä kaikki on paljon monimutkaisempaa:
\ [((100) ^ (x-1)) \ cdot ((2.7) ^ (1-x)) = 0.09 \]
\ [((100) ^ (x-1)) \ cdot ((\ vasen (\ frac (27) (10) \ oikea)) ^ (1-x)) = \ frac (9) (100) \]
Tässä tapauksessa jakeet osoittautuivat pelkistämättömiksi, mutta jos jotain voitaisiin vähentää, muista pienentää sitä. Usein tämä luo mielenkiintoisia perusteita työskennellä.
Valitettavasti maassamme ei todellakaan ilmestynyt mitään. Mutta näemme, että tuotteen vasemmalla olevat eksponentit ovat päinvastaisia:
Muistutan teitä: päästäksesi eroon indikaattorin miinusmerkistä sinun tarvitsee vain "kääntää" murto -osa. Kirjoitetaanpa alkuperäinen yhtälö uudelleen:
\ [\ begin (align) & ((100) ^ (x-1)) \ cdot ((\ vasen (\ frac (10) (27) \ right)) ^ (x-1)) = \ frac (9 ) (100); \\ & ((\ vasen (100 \ cdot \ frac (10) (27) \ oikea)) ^ (x-1)) = \ frac (9) (100); \\ & ((\ vasen (\ frac (1000) (27) \ oikea)) ^ (x-1)) = \ frac (9) (100). \\\ loppu (kohdista) \]
Toisella rivillä siirrettiin yksinkertaisesti koko eksponentti tuotteesta hakasen ulkopuolelle säännön $ ((a) ^ (x)) \ cdot ((b) ^ (x)) = ((\ vasen (a \) mukaisesti cdot b \ oikea)) ^ (x)) $, ja jälkimmäisessä he yksinkertaisesti kertoivat luvun 100 murto -osalla.
Huomaa nyt, että numerot vasemmalla (alareunassa) ja oikealla ovat jonkin verran samanlaisia. Miten? Mutta on selvää: ne ovat saman määrän voimia! Meillä on:
\ [\ begin (align) & \ frac (1000) (27) = \ frac ((((10) ^) (3))) (((3) ^ (3))) = ((\ left (\ frac ( 10) (3) \ oikea)) ^ (3)); \\ & \ frac (9) (100) = \ frac (((3) ^ (2))) (((10) ^ (3))) = ((\ vasen (\ frac (3) (10)) \ oikea)) ^ (2)). \\\ loppu (kohdista) \]
Näin ollen yhtälömme kirjoitetaan uudelleen seuraavasti:
\ [((\ \ vasen (((\ vasen (\ frac (10) (3) \ oikea)) ^ (3) \ oikea)) ^ (x-1)) = ((\ vasen (\ frac (3 ) (10) \ oikea)) ^ (2)) \]
\ [((\ \ vasen (((\ vasen (\ frac (10) (3) \ oikea)) ^ (3) \ oikea)) ^ (x-1)) = ((\ vasen (\ frac (10 ) (3) \ oikea)) ^ (3 \ vasen (x-1 \ oikea))) = = ((\ vasen (\ frac (10) (3) \ oikea)) ^ (3x-3)) \]
Tässä tapauksessa oikealta voit myös saada tutkinnon samalla pohjalla, jota varten riittää yksinkertaisesti "kääntää" murto:
\ [((\ \ vasen (\ frac (3) (10) \ oikea)) ^ (2)) = ((\ vasen (\ frac (10) (3) \ oikea)) ^ (- 2)) \]
Lopuksi yhtälömme on muoto:
\ [\ aloita (kohdista) & ((\ vasen (\ frac (10) (3) \ oikea)) ^ (3x-3)) = ((\ vasen (\ frac (10) (3) \ oikea)) ^ (- 2)); \\ & 3x -3 = -2; \\ & 3x = 1; \\ & x = \ frac (1) (3). \\\ loppu (kohdista) \]
Siinä koko ratkaisu. Sen pääidea on se, että vaikka erilaisilla perusteilla yritämme pienentää näitä perusteita yhdellä ja samalla koukulla. Tässä meitä auttavat yhtälöiden ja asteiden käsittelyä koskevien sääntöjen perusmuunnokset.
Mutta mitä sääntöjä ja milloin käyttää? Kuinka ymmärtää, että yhdessä yhtälössä sinun on jaettava molemmat puolet jollakin, ja toisella sinun on otettava huomioon eksponenttifunktion perusta?
Vastaus tähän kysymykseen tulee kokemuksella. Kokeile ensin kättäsi yksinkertaisia yhtälöitä ja sitten monimutkaistaa tehtäviä vähitellen - ja pian taitosi riittävät ratkaisemaan minkä tahansa eksponentiaalisen yhtälön samasta tentistä tai itsenäisestä / testityöstä.
Ja auttaakseni sinua tässä vaikeassa tehtävässä suosittelen lataamaan joukon yhtälöitä itsenäinen päätös... Kaikkiin yhtälöihin on vastauksia, joten voit aina testata itseäsi.
Esimerkkejä:
\ (4 ^ x = 32 \)
\ (5 ^ (2x-1) -5 ^ (2x-3) = 4,8 \)
\ ((\ sqrt (7)) ^ (2x + 2) -50 \ cdot (\ sqrt (7)) ^ (x) + 7 = 0 \)
Kuinka ratkaista eksponentiaaliset yhtälöt
Ratkaistessamme mitä tahansa eksponentiaalista yhtälöä pyrimme saamaan muotoon \ (a ^ (f (x)) = a ^ (g (x)) \) ja siirtymään sitten indikaattoreiden tasa -arvoon, eli:
\ (a ^ (f (x)) = a ^ (g (x)) \) \ (⇔ \) \ (f (x) = g (x) \)
Esimerkiksi:\ (2 ^ (x + 1) = 2 ^ 2 \) \ (⇔ \) \ (x + 1 = 2 \)
Tärkeä! Samasta logiikasta johtuen tällaiselle siirtymiselle on kaksi vaatimusta:
- numero sisään vasemman ja oikean pitäisi olla samat;
- asteen vasemmalla ja oikealla on oltava "puhtaita", eli ei pitäisi olla kertolaskuja, jakoja jne.
Esimerkiksi:
Jos haluat pienentää yhtälön muotoon \ (a ^ (f (x)) = a ^ (g (x)) \), käytä ja.
Esimerkki
... Ratkaise eksponentiaalinen yhtälö \ (\ sqrt (27) 3 ^ (x-1) = ((\ frac (1) (3))) ^ (2x) \)
Ratkaisu:
|
\ (\ sqrt (27) 3 ^ (x-1) = ((\ frac (1) (3))) ^ (2x) \) |
Tiedämme, että \ (27 = 3 ^ 3 \). Tämän mielessä muutamme yhtälön. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
\ (\ sqrt (3 ^ 3) 3 ^ (x-1) = ((\ frac (1) (3))) ^ (2x) \) |
Juuren ominaisuudella \ (\ sqrt [n] (a) = a ^ (\ frac (1) (n)) \) saamme \ (\ sqrt (3 ^ 3) = ((3 ^ 3)) ^ (\ frac (1) (2)) \). Lisäksi käyttämällä asteen ominaisuutta \ ((a ^ b) ^ c = a ^ (bc) \) saadaan \ (((3 ^ 3)) ^ (\ frac (1) (2)) = 3 ^ ( 3 \ cdot \ frac (1) (2)) = 3 ^ (\ frac (3) (2)) \). |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
\ (3 ^ (\ frac (3) (2)) \ cdot 3 ^ (x-1) = (\ frac (1) (3)) ^ (2x) \) |
Tiedämme myös, että \ (a ^ b a ^ c = a ^ (b + c) \). Sovellettaessa tätä vasemmalle puolelle saadaan: \ (3 ^ (\ frac (3) (2)) 3 ^ (x-1) = 3 ^ (\ frac (3) (2) + x-1) = 3 ^ (1,5 + x-1) = 3 ^ (x + 0,5) \). |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
\ (3 ^ (x + 0,5) = (\ frac (1) (3)) ^ (2x) \) |
Muista nyt, että: \ (a ^ (- n) = \ frac (1) (a ^ n) \). Tätä kaavaa voidaan käyttää kääntöpuoli: \ (\ frac (1) (a ^ n) = a ^ (- n) \). Sitten \ (\ frac (1) (3) = \ frac (1) (3 ^ 1) = 3 ^ (- 1) \). |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
\ (3 ^ (x + 0,5) = (3 ^ (- 1)) ^ (2x) \) |
Soveltamalla ominaisuutta \ ((a ^ b) ^ c = a ^ (bc) \) oikealle puolelle saadaan: \ ((3 ^ (- 1)) ^ (2x) = 3 ^ ((- 1) 2x) = 3 ^ (- 2x) \). |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
\ (3 ^ (x + 0,5) = 3 ^ (- 2x) \) |
Ja nyt tukikohtamme ovat yhtä suuret, eikä häiritseviä kertoimia jne. Tämä tarkoittaa, että voimme tehdä muutoksen. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Esimerkki
... Ratkaise eksponentiaalinen yhtälö \ (4 ^ (x + 0,5) -5 2 ^ x + 2 = 0 \)
Vastaus : \(-1; 1\). Kysymys on edelleen - miten ymmärtää, milloin mitä menetelmää sovelletaan? Se tulee kokemuksella. Käytä kunnes käytät sitä yleinen suositus ratkaista monimutkaisia ongelmia - "et tiedä mitä tehdä - tee mitä voit". Eli etsi, miten voit muuttaa yhtälön periaatteessa, ja yritä tehdä se - mitä yhtäkkiä tapahtuu? Tärkeintä on tehdä vain matemaattisesti perusteltuja muutoksia. Eksponentiaaliset yhtälöt ilman ratkaisujaKatsotaanpa vielä kahta tilannetta, jotka usein hämmentävät opiskelijoita: Yritetään ratkaista se raa'alla voimalla. Jos x on positiivinen luku, x: n kasvaessa \ (2 ^ x \): n koko teho kasvaa vain: \ (x = 1 \); \ (2 ^ 1 = 2 \) \ (x = 0 \); \ (2 ^ 0 = 1 \) Myöskin. Negatiivisia x: itä on jäljellä. Muistamme ominaisuuden \ (a ^ (- n) = \ frac (1) (a ^ n) \), tarkistamme: \ (x = -1 \); \ (2 ^ (- 1) = \ frac (1) (2 ^ 1) = \ frac (1) (2) \) Huolimatta siitä, että luku pienenee joka askeleella, se ei koskaan saavuta nollaa. Joten negatiivinen aste ei myöskään pelastanut meitä. Teemme loogisen johtopäätöksen: Positiivinen luku pysyy positiivisena missä tahansa määrin.Näin ollen molemmilla yllä olevilla yhtälöillä ei ole ratkaisua. Eksponentiaaliset yhtälöt, joilla on eri perusteetKäytännössä joskus on olemassa eksponentiaalisia yhtälöitä, joilla on eri kanta, joita ei voi pienentää toisiinsa, ja samaan aikaan samat eksponentit. Ne näyttävät tältä: \ (a ^ (f (x)) = b ^ (f (x)) \), missä \ (a \) ja \ (b \) ovat positiivisia lukuja. Esimerkiksi: \ (7 ^ (x) = 11 ^ (x) \) Tällaiset yhtälöt voidaan helposti ratkaista jakamalla ne yhtälön osilla (yleensä jaettu oikealla puolella, eli \ (b ^ (f (x)) \). Voit jakaa tällä tavalla, koska positiivinen luku on jossain määrin positiivinen (eli emme jaa nollaa). Saamme: \ (\ frac (a ^ (f (x))) (b ^ (f (x))) \) \ (= 1 \) Esimerkki
... Ratkaise eksponentiaalinen yhtälö \ (5 ^ (x + 7) = 3 ^ (x + 7) \)
Vastaus : \(-7\). Joskus eksponenttien "samankaltaisuus" ei ole ilmeinen, mutta tutkinnon ominaisuuksien taitava käyttö ratkaisee tämän ongelman. Esimerkki
... Ratkaise eksponentiaalinen yhtälö \ (7 ^ (2x-4) = (\ frac (1) (3)) ^ (- x + 2) \)
Vastaus : \(2\). |
Viimeisen kokeen valmisteluvaiheessa vanhempien opiskelijoiden on parannettava tietämystään aiheesta "Eksponentiaaliset yhtälöt". Viime vuosien kokemus osoittaa, että tällaiset tehtävät aiheuttavat tiettyjä vaikeuksia koululaisille. Siksi lukion opiskelijoiden on koulutustasostaan riippumatta hallittava teoria perusteellisesti, muistettava kaavat ja ymmärrettävä tällaisten yhtälöiden ratkaisemisen periaate. Opiskelijat ovat oppineet selviytymään tämän tyyppisistä ongelmista ja valmistuneet voivat luottaa korkeisiin pisteisiin matematiikan kokeen läpäisemisen yhteydessä.
Valmistaudu tenttikokeisiin Shkolkovon kanssa!
Tarkastellessaan käsiteltyjä materiaaleja monet opiskelijat kohtaavat ongelman löytää yhtälöiden ratkaisemiseen tarvittavat kaavat. Koulun oppikirja ei ole aina käsillä, ja tarvittavien tietojen valitseminen Internetistä kestää kauan.
Koulutusportaali "Shkolkovo" kutsuu opiskelijoita käyttämään tietopohjaamme. Ymmärrämme täysin uusi menetelmä valmistautuminen loppukokeeseen. Kun opiskelet verkkosivustollamme, voit tunnistaa tiedon puutteet ja kiinnittää huomiota juuri niihin tehtäviin, jotka aiheuttavat suurimmat vaikeudet.
"Shkolkovon" opettajat keräsivät, systematisoivat ja esittelivät kaiken tarvittavan onnistuneelle toimitukselle Tentin materiaali yksinkertaisimmassa ja helposti saatavilla olevassa muodossa.
Perusmääritelmät ja -kaavat on esitetty "Teoreettinen viite" -osiossa.
Materiaalin parempaa omaksumista varten suosittelemme harjoittelemaan tehtäviä. Tarkista esimerkit eksponentiaalisista yhtälöistä tällä sivulla esitetyllä ratkaisulla ymmärtääksesi laskentaalgoritmin. Jatka sen jälkeen "Hakemistot" -osion tehtäviin. Voit aloittaa helpoimmista ongelmista tai siirtyä suoraan ratkaisemaan monimutkaisia eksponentiaalisia yhtälöitä, joissa on useita tuntemattomia tai. Verkkosivustomme harjoituspohjaa täydennetään ja päivitetään jatkuvasti.
Nämä esimerkit, joiden indikaattorit aiheuttivat sinulle vaikeuksia, voidaan lisätä suosikkeihisi. Näin voit löytää ne nopeasti ja keskustella ratkaisusta opettajasi kanssa.
Jotta läpäisit yhtenäisen valtion kokeen, opiskele Shkolkovo -portaalissa joka päivä!
Sivustomme youtube -kanavalla, jotta pysyt ajan tasalla kaikista uusista videotunneista.
Muistetaan aluksi tutkintojen peruskaavat ja niiden ominaisuudet.
Numeron tuote a tapahtuu itselleen n kertaa, voimme kirjoittaa tämän lausekkeen muodossa a ... a = a n
1.a 0 = 1 (a ≠ 0)
3.a n a m = a n + m
4. (a n) m = nm
5.a n b n = (ab) n
7.a n / a m = a n - m
Teho- tai eksponenttiyhtälöt- nämä ovat yhtälöitä, joissa muuttujat ovat potensseissa (tai eksponenteissa) ja perusta on luku.
Esimerkkejä eksponentiaalisista yhtälöistä:
V tämä esimerkki numero 6 on pohja, se on aina alareunassa ja muuttuja x aste tai indikaattori.
Tässä muutama esimerkki eksponentiaalisista yhtälöistä.
2 x * 5 = 10
16 x 4 x 6 = 0
Katsotaan nyt kuinka eksponentiaaliset yhtälöt ratkaistaan?
Otetaan yksinkertainen yhtälö:
2 x = 2 3
Tällainen esimerkki voidaan ratkaista jopa mielessä. Voidaan nähdä, että x = 3. Loppujen lopuksi, jotta vasen ja oikea puoli ovat yhtä suuret, sinun on asetettava numero 3 x: n sijaan.
Katsotaan nyt, miten tämä ratkaisu on virallistettava:
2 x = 2 3
x = 3
Tällaisen yhtälön ratkaisemiseksi poistimme identtiset perusteet(eli kahta) ja kirjoitti muistiin, mitä oli jäljellä, nämä ovat asteita. Saimme halutun vastauksen.
Tehdään nyt yhteenveto päätöksestämme.
Algoritmi eksponentiaalisen yhtälön ratkaisemiseksi:
1. Tarve tarkistaa sama onko yhtälössä perustaa oikealla ja vasemmalla. Jos perusteet eivät ole samat, etsimme vaihtoehtoja tämän esimerkin ratkaisemiseksi.
2. Kun perusasiat ovat samat, rinnastaa astetta ja ratkaise tuloksena oleva uusi yhtälö.
Selvitetään nyt muutama esimerkki:
Aloitetaan yksinkertaisesti.
Vasemman ja oikean puolen pohjat ovat yhtä kuin numero 2, mikä tarkoittaa, että voimme hylätä kannan ja rinnastaa niiden asteet.
x + 2 = 4 Tämä on yksinkertaisin yhtälö.
x = 4-2
x = 2
Vastaus: x = 2
V seuraava esimerkki voidaan nähdä, että emäkset ovat erilaisia, ne ovat 3 ja 9.
3 3x - 9x + 8 = 0
Aluksi siirrämme yhdeksän oikealle puolelle, saamme:
Nyt sinun on tehtävä samat pohjat. Tiedämme, että 9 = 32. Käytetään asteiden kaavaa (a n) m = a nm.
3 3x = (3 2) x + 8
Saamme 9 x + 8 = (3 2) x + 8 = 3 2x + 16
3 3x = 3 2x + 16 nyt näet, että pohjat vasemmalla ja oikealla puolella ovat samat ja yhtä suuret kuin kolme, joten voimme hylätä ne ja rinnastaa asteet.
3x = 2x + 16 sai yksinkertaisimman yhtälön
3x - 2x = 16
x = 16
Vastaus: x = 16.
Katso seuraava esimerkki:
2 2x + 4 - 10 4 x = 2 4
Ensinnäkin tarkastelemme emäksiä, emäkset ovat erilaisia kaksi ja neljä. Ja meidän täytyy olla - samanlaisia. Muunna neljä kaavalla (a n) m = a nm.
4 x = (2 2) x = 2 2x
Ja käytämme myös yhtä kaavaa a n a m = a n + m:
2 2x + 4 = 2 2x 2 4
Lisää yhtälöön:
2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24
Olemme tuoneet esimerkin samoille perusteille. Mutta meitä estävät muut numerot 10 ja 24. Mitä niille tehdä? Jos katsot tarkasti, näet, että vasemmalla puolella toistamme 2 2x, tässä on vastaus - 2 2x voimme ottaa suluista:
2 2x (2 4-10) = 24
Lasketaan lauseke suluissa:
2 4 — 10 = 16 — 10 = 6
Jaa koko yhtälö 6: lla:
Kuvitellaan 4 = 2 2:
2 2x = 2 2 emästä ovat samat, hylkäämme ne ja rinnastamme tehot.
2x = 2 saamme yksinkertaisimman yhtälön. Jaamme sen saamallamme kahdella
x = 1
Vastaus: x = 1.
Ratkaistaan yhtälö:
9 x - 12 * 3 x + 27 = 0
Muutetaan:
9 x = (3 2) x = 3 2x
Saamme yhtälön:
3 2x - 12 3x +27 = 0
Perustamme ovat samat kuin 3. Tässä esimerkissä näet, että kolmella ensimmäisellä on tutkinto kahdesti (2x) kuin toisella (vain x). Tässä tapauksessa voit ratkaista korvaava menetelmä... Numero ja vähiten astetta korvata:
Sitten 3 2x = (3x) 2 = t 2
Korvaa kaikki tehot x: llä yhtälössä t:
t 2-12t + 27 = 0
Saamme toisen asteen yhtälö... Ratkaisemme syrjijän kautta, saamme:
D = 144-108 = 36
t 1 = 9
t 2 = 3
Paluu muuttujaan x.
Otamme t 1:
t 1 = 9 = 3 x
Tuo on,
3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2
Löytyi yksi juuri. Etsimme toista, alkaen t 2:
t 2 = 3 = 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
Vastaus: x 1 = 2; x 2 = 1.
Sivustolla voit esittää kiinnostavia kysymyksiä OHJE RATKAISUA -osiossa, me vastaamme sinulle varmasti.
Liity ryhmään
Kielletty muinainen taikuus ja esivanhemmat loitsut
Nimen Adam Adam perhesuhteen merkitys
Kuinka kuivata miehen rakkaus omenalla