Ratkaisu eksponentiaalisista eriarvoisuuksista tehomoduulilla. Eksponentiaalisen eriarvoisuuden ratkaiseminen: perusmenetelmät

Oppitunti ja esitys aiheesta: "Eksponentiaaliset yhtälöt ja eksponentiaaliset eriarvoisuudet"

Lisämateriaalit
Hyvät käyttäjät, älä unohda jättää kommentteja, arvosteluja, toiveita! Kaikki materiaalit on tarkistettu virustorjuntaohjelmalla.

Opetusvälineet ja simulaattorit verkkokaupassa "Integral" luokalle 11
Interaktiivinen opetusohjelma luokille 9-11 "Trigonometria"
Interaktiivinen opetusohjelma luokille 10-11 "Logaritmit"

Eksponentiaalisten yhtälöiden määrittäminen

Kaverit, tutkimme eksponentiaalisia funktioita, opimme niiden ominaisuuksia ja rakensimme kaavioita, analysoimme esimerkkejä yhtälöistä, joissa eksponentiaalisia funktioita havaittiin. Tänään tutkimme eksponentiaalisia yhtälöitä ja eriarvoisuuksia.

Määritelmä. Lomakkeen yhtälöt: $ a ^ (f (x)) = a ^ (g (x)) $, missä $ a> 0 $, $ a ≠ 1 $ kutsutaan eksponenttiyhtälöiksi.

Muistamme lauseet, joita tutkimme aiheessa "Eksponentiaalinen funktio", voimme esitellä uuden lauseen:
Lause. Eksponenttiyhtälö $ a ^ (f (x)) = a ^ (g (x)) $, jossa $ a> 0 $, $ a ≠ 1 $, vastaa yhtälöä $ f (x) = g (x ) $.

Esimerkkejä eksponentiaalisista yhtälöistä

Esimerkki.
Ratkaise yhtälöt:
a) $ 3 ^ (3x-3) = 27 $.
b) $ ((\ frac (2) (3))) ^ (2x + 0,2) = \ sqrt (\ frac (2) (3)) $.
c) $ 5 ^ (x ^ 2-6x) = 5 ^ (- 3x + 18) $.
Ratkaisu.
a) Tiedämme hyvin, että 27 dollaria = 3 ^ 3 $.
Kirjoitetaan yhtälö uudelleen: $ 3 ^ (3x-3) = 3 ^ 3 $.
Käyttämällä yllä olevaa teoriaa havaitsemme, että yhtälömme on pienennetty yhtälöön $ 3x-3 = 3 $, ratkaisemalla tämän yhtälön, saamme $ x = 2 $.
Vastaus: $ x = 2 $.

B) $ \ sqrt (\ frac (2) (3)) = ((\ frac (2) (3))) ^ (\ frac (1) (5)) $.
Sitten yhtälömme voidaan kirjoittaa uudelleen: $ ((\ frac (2) (3))) ^ (2x + 0.2) = ((\ frac (2) (3))) ^ (\ frac (1) (5)) = ((\ frac (2) (3))) ^ (0,2) $.
2x $ + 0.2 = $ 0.2.
$ x = 0 $.
Vastaus: $ x = 0 $.

C) Alkuperäinen yhtälö vastaa yhtälöä: $ x ^ 2-6x = -3x + 18 $.
$ x ^ 2-3x-18 = 0 $.
$ (x-6) (x + 3) = 0 $.
$ x_1 = 6 $ ja $ x_2 = -3 $.
Vastaus: $ x_1 = 6 $ ja $ x_2 = -3 $.

Esimerkki.
Ratkaise yhtälö: $ \ frac ((((0,25))) ^ (x-0,5)) (\ sqrt (4)) = 16 * ((0,0625)) ^ (x + 1) $.
Ratkaisu:
Suoritamme peräkkäin useita toimintoja ja tuomme yhtälömme molemmat puolet samoille perusteille.
Suoritamme sarjan toimintoja vasemmalla puolella:
1) $ ((0,25)) ^ (x-0,5) = ((\ frac (1) (4))) ^ (x-0,5) $.
2) $ \ sqrt (4) = 4 ^ (\ frac (1) (2)) $.
3) $ \ frac ((((0,25))) ^ (x-0,5)) (\ sqrt (4)) = \ frac ((((\ frac (1) (4))) ^ (x-0, 5)) (4 ^ (\ frac (1) (2))) = \ frac (1) (4 ^ (x-0,5 + 0,5)) = \ frac (1) (4 ^ x) = ((\ frac (1) (4))) ^ x $.
Siirrytään oikealle puolelle:
4) $16=4^2$.
5) $ ((0,0625)) ^ (x + 1) = \ frac (1) ((16) ^ (x + 1)) = \ frac (1) (4 ^ (2x + 2)) $.
6) 16 dollaria * ((0,0625)) ^ (x + 1) = \ frac (4 ^ 2) (4 ^ (2x + 2)) = 4 ^ (2-2x-2) = 4 ^ (-2x) = \ frac (1) (4 ^ (2x)) = ((\ frac (1) (4))) ^ (2x) $.
Alkuperäinen yhtälö vastaa yhtälöä:
$ ((\ frac (1) (4))) ^ x = ((\ frac (1) (4))) ^ (2x) $.
$ x = 2x $.
$ x = 0 $.
Vastaus: $ x = 0 $.

Esimerkki.
Ratkaise yhtälö: $ 9 ^ x + 3 ^ (x + 2) -36 = 0 $.
Ratkaisu:
Kirjoitetaan yhtälö uudelleen: $ ((3 ^ 2)) ^ x + 9 * 3 ^ x-36 = 0 $.
$ ((3 ^ x)) ^ 2 + 9 * 3 ^ x-36 = 0 $.
Tehdään muuttujien muutos, olkoon $ a = 3 ^ x $.
Uudessa muuttujien yhtälö on muodossa: $ a ^ 2 + 9a-36 = 0 $.
$ (a + 12) (a-3) = 0 $.
$ a_1 = -12 $ ja $ a_2 = 3 $.
Toteutetaan käänteinen vaihto muuttujat: $ 3 ^ x = -12 $ ja $ 3 ^ x = 3 $.
Viimeisessä oppitunnissa opimme, että ohjeelliset ilmaisut voivat vain kestää positiivisia arvoja, muista aikataulu. Näin ollen ensimmäisellä yhtälöllä ei ole ratkaisuja, toisella yhtälöllä on yksi ratkaisu: $ x = 1 $.
Vastaus: $ x = 1 $.

Kootaan tarkistuslista eksponentiaalisten yhtälöiden ratkaisutavoista:
1. Graafinen menetelmä. Edustamme yhtälön molempia puolia funktioiden muodossa ja rakennamme niiden kuvaajat, löydämme kaavioiden leikkauspisteet. (Käytimme tätä menetelmää viimeisellä oppitunnilla).
2. Indikaattoreiden tasa -arvon periaate. Periaate perustuu siihen tosiasiaan, että kaksi lauseketta, joilla on sama perusta, ovat samat silloin ja vain, jos näiden perusasteiden asteet (indikaattorit) ovat yhtä suuret. $ a ^ (f (x)) = a ^ (g (x)) $ $ f (x) = g (x) $.
3. Vaihteleva korvausmenetelmä. Tämä menetelmä tulisi käyttää, jos yhtälö yksinkertaistaa muotoaan muuttujia muutettaessa ja on paljon helpompi ratkaista.

Esimerkki.
Ratkaise yhtälöjärjestelmä: $ \ begin (tapaukset) (27) ^ y * 3 ^ x = 1, \\ 4 ^ (x + y) -2 ^ (x + y) = 12. \ end (tapaukset) $.
Ratkaisu.
Harkitse järjestelmän yhtälöitä erikseen:
$ 27 ^ y * 3 ^ x = 1 $.
3 $ ^ (3v) * 3 ^ x = 3 ^ 0 $.
3 $ ^ (3v + x) = 3 ^ 0 $.
$ x + 3v = 0 $.
Harkitse toista yhtälöä:
$ 4 ^ (x + y) -2 ^ (x + y) = 12 $.
$ 2 ^ (2 (x + y)) - 2 ^ (x + y) = 12 $.
Käytetään muuttujien muutosmenetelmää, annetaan $ y = 2 ^ (x + y) $.
Sitten yhtälö on muotoa:
$ y ^ 2-y-12 = 0 $.
$ (y-4) (y + 3) = 0 $.
$ y_1 = 4 $ ja $ y_2 = -3 $.
Siirtymällä alkuperäisiin muuttujiin ensimmäisestä yhtälöstä saadaan $ x + y = 2 $. Toisessa yhtälössä ei ole ratkaisuja. Sitten alkuperäinen yhtälöjärjestelmämme vastaa järjestelmää: $ \ begin (tapaukset) x + 3y = 0, \\ x + y = 2. \ end (tapaukset) $.
Kun vähennetään toinen ensimmäisestä yhtälöstä, saadaan: $ \ begin (tapaukset) 2y = -2, \\ x + y = 2. \ end (tapaukset) $.
$ \ begin (tapaukset) y = -1, \\ x = 3. \ end (tapaukset) $.
Vastaus: $ (3; -1) $.

Eksponentiaalinen epätasa -arvo

Siirrytään eriarvoisuuteen. Eriarvoisuuksia ratkaistaessa on kiinnitettävä huomiota tutkinnon perustaan. Tapahtumien kehittymiselle on kaksi mahdollista skenaariota eriarvoisuuden ratkaisemiseksi.

Lause. Jos $ a> 1 $, eksponentiaalinen eriarvo $ a ^ (f (x))> a ^ (g (x)) $ vastaa eriarvoisuutta $ f (x)> g (x) $.
Jos 0 dollaria a ^ (g (x)) $ vastaa eriarvoisuutta $ f (x)

Esimerkki.
Ratkaise eriarvoisuus:
a) $ 3 ^ (2x + 3)> 81 $.
b) $ ((\ frac (1) (4))) ^ (2x-4) c) $ (0,3) ^ (x ^ 2 + 6x) ≤ (0,3) ^ (4x + 15) $ ...
Ratkaisu.
a) $ 3 ^ (2x + 3)> 81 $.
$ 3 ^ (2x + 3)> 3 ^ 4 $.
Eriarvoisuutemme vastaa eriarvoisuutta:
$ 2x + 3> 4 $.
$ 2x> 1 $.
$ x> 0.5 $.

B) $ ((\ frac (1) (4))) ^ (2x-4) $ ((\ frac (1) (4))) ^ (2x-4) Yhtälössämme perusasteen aste on pienempi kuin 1, silloin kun eriarvoisuus korvataan vastaavalla, merkki on muutettava.
$ 2x-4> 2 $.
$ x> 3 $.

C) Eriarvoisuutemme vastaa eriarvoisuutta:
$ x ^ 2 + 6x≥4x + 15 $.
$ x ^ 2 + 2x-15≥0 $.
$ (x-3) (x + 5) ≥0 $.
Käytetään intervalliratkaisumenetelmää:
Vastaus: $ ( - ∞; -5] U

Missä $ b $ rooli voi olla tavallinen luku tai ehkä jotain vaikeampaa. Esimerkkejä? Kyllä kiitos:

\ [\ begin (align) & ((2) ^ (x)) \ gt 4; \ quad ((2) ^ (x-1)) \ le \ frac (1) (\ sqrt (2)); \ quad ((2) ^ ((((x)) ^ (2)) - 7x + 14)) \ lt 16; \\ & ((0,1) ^ (1-x)) \ lt 0,01; \ quad ((2) ^ (\ frac (x) (2))) \ lt ((4) ^ (\ frac (4) (x))). \\\ loppu (kohdista) \]

Mielestäni merkitys on selvä: on eksponentiaalinen funktio $ ((a) ^ (x)) $, sitä verrataan johonkin ja pyydetään sitten löytämään $ x $. Erityisesti kliinisissä tapauksissa muuttujan $ x $ sijasta he voivat työntää jonkin funktion $ f \ left (x \ right) $ ja vaikeuttaa siten hieman eriarvoisuutta. :)

Tietysti eräissä tapauksissa eriarvoisuus voi näyttää vakavammalta. Esimerkiksi:

\ [((9) ^ (x)) + 8 \ gt ((3) ^ (x + 2)) \]

Tai jopa tämä:

Yleensä tällaisten eriarvoisuuksien monimutkaisuus voi olla hyvin erilaista, mutta lopulta ne supistuvat edelleen yksinkertaiseksi rakenteeksi $ ((a) ^ (x)) \ gt b $. Ja me jotenkin selvitämme sen tällaisella rakenteella (erityisesti kliinisissä tapauksissa, kun mitään ei tule mieleen, logaritmit auttavat meitä). Siksi nyt opetamme sinulle, kuinka ratkaista tällaiset yksinkertaiset rakenteet.

Yksinkertaisimpien eksponentiaalisten eriarvoisuuksien ratkaiseminen

Ajatellaanpa jotain varsin yksinkertaista. Esimerkiksi tämä:

\ [((2) ^ (x)) \ gt 4 \]

On selvää, että oikeanpuoleinen numero voidaan kirjoittaa kahden voimaksi: $ 4 = ((2) ^ (2)) $. Siten alkuperäinen eriarvoisuus voidaan kirjoittaa uudelleen erittäin kätevässä muodossa:

\ [((2) ^ (x)) \ gt ((2) ^ (2)) \]

Ja nyt kädet kutinaa "ylittää" astetukikohtien kaksoset saadakseen vastauksen $ x \ gt 2 $. Mutta ennen kuin ylität mitään, muistetaan kahden voima:

\ [((2) ^ (1)) = 2; \ quad ((2) ^ (2)) = 4; \ quad ((2) ^ (3)) = 8; \ quad ((2) ^ ( 4)) = 16; ... \]

Kuten näette, mitä lisää seisoo eksponentissa, sitä suurempi on tulosluku. "Kiitos, Cap!" - yksi oppilaista huudahtaa. Onko se erilaista? Valitettavasti se tapahtuu. Esimerkiksi:

\ [((\ vasen (\ frac (1) (2) \ oikea)) ^ (1)) = \ frac (1) (2); \ quad ((\ vasen (\ frac (1) (2) \ oikea)) ^ (2)) = \ frac (1) (4); \ quad ((\ vasen (\ frac (1) (2) \ oikea)) ^ (3)) = \ frac (1) (8 ); ... \]

Tässäkin kaikki on loogista: mitä suurempi aste, sitä useammin luku 0,5 kerrotaan itsellään (eli jaettuna puoleen). Näin ollen tuloksena oleva numerosarja pienenee ja ensimmäisen ja toisen sekvenssin välinen ero muodostuu vain kannasta:

Jos tutkinnon perusta on $ a \ gt 1 $, niin eksponentin $ n $ kasvaessa myös luku $ ((a) ^ (n)) $ kasvaa;

Päinvastoin, jos $ 0 \ lt a \ lt 1 $, niin eksponentin $ n $ kasvaessa luku $ ((a) ^ (n)) $ pienenee.

Yhteenvetona näistä tosiasioista saamme tärkeimmän lausunnon, johon koko päätös perustuu. eksponentiaalista epätasa -arvoa:

Jos $ a \ gt 1 $, niin eriarvo $ ((a) ^ (x)) \ gt ((a) ^ (n)) $ vastaa eriarvoisuutta $ x \ gt n $. Jos $ 0 \ lt a \ lt 1 $, niin eriarvo $ ((a) ^ (x)) \ gt ((a) ^ (n)) $ vastaa eriarvoisuutta $ x \ lt n $.

Toisin sanoen, jos pohja on suurempi kuin yksi, voit yksinkertaisesti poistaa sen muuttamatta eriarvoisuutta. Ja jos pohja on pienempi kuin yksi, se voidaan myös poistaa, mutta tässä tapauksessa myös eriarvoisuusmerkki on muutettava.

Huomaa: emme ole pohtineet vaihtoehtoja $ a = 1 $ ja $ a \ le 0 $. Koska näissä tapauksissa syntyy epävarmuutta. Sanotaan, kuinka ratkaista eriarvoisuus, kuten $ ((1) ^ (x)) \ gt 3 $? Yksi mistä tahansa asteesta antaa yhden uudelleen - emme koskaan saa kolmea tai enemmän. Nuo. ei ratkaisuja.

Se on vieläkin mielenkiintoisempaa negatiivisista syistä. Ajatellaanpa esimerkiksi tätä eriarvoisuutta:

\ [((\ \ vasen (-2 \ oikea)) ^ (x)) \ gt 4 \]

Ensi silmäyksellä kaikki on yksinkertaista:

Oikein? Mutta ei! Riittää, että korvataan $ x $ pari parillisella ja pari parittomalla numerolla, jotta voidaan varmistaa, että ratkaisu on väärä. Katso:

\ [\ begin (align) & x = 4 \ Rightrerow ((\ left (-2 \ right)) ^ (4)) = 16 \ gt 4; \\ & x = 5 \ Oikea nuoli ((\ vasen (-2 \ oikea)) ^ (5)) = - 32 \ lt 4; \\ & x = 6 \ Oikea nuoli ((\ vasen (-2 \ oikea)) ^ (6)) = 64 \ gt 4; \\ & x = 7 \ Oikea nuoli ((\ vasen (-2 \ oikea)) ^ (7)) = - 128 \ lt 4. \\\ loppu (kohdista) \]

Kuten näette, merkit vaihtelevat. Mutta on vielä murtovoimat ja muuta tinaa. Miten esimerkiksi lasket laskemaan $ ((\ vasen (-2 \ oikea)) ^ (\ sqrt (7))) $ (miinus kaksi seitsemän tarkkuuteen)? Ei todellakaan!

Siksi varmuuden vuoksi oletetaan, että kaikissa eksponentiaalisissa epätasa -arvoissa (ja muuten yhtälöissä) myös $ 1 \ ne a \ gt 0 $. Ja sitten kaikki ratkaistaan hyvin yksinkertaisesti:

\ [(((a) ^ (x)) \ gt ((a) ^ (n)) \ Oikeanuoli \ vasen [\ aloita (kohdista) & x \ gt n \ quad \ vasen (a \ gt 1 \ oikea), \\ & x \ lt n \ quad \ left (0 \ lt a \ lt 1 \ right). \\\ loppu (kohdista) \ oikea. \]

Yleensä, muista jälleen kerran pääsääntö: jos eksponentiaalisen yhtälön perusta on suurempi kuin yksi, voit yksinkertaisesti poistaa sen; ja jos pohja on pienempi kuin yksi, se voidaan myös poistaa, mutta eriarvoisuuden merkki muuttuu.

Esimerkkejä ratkaisuista

Harkitse siis muutamaa yksinkertaista eksponentiaalista epätasa -arvoa:

\ [\ begin (align) & ((2) ^ (x-1)) \ le \ frac (1) (\ sqrt (2)); \\ & ((0,1) ^ (1-x)) \ lt 0,01; \\ & ((2) ^ ((((x)) ^ (2)) - 7x + 14)) \ lt 16; \\ & ((0,2) ^ (1 + ((x) ^ (2)))) \ ge \ frac (1) (25). \\\ loppu (kohdista) \]

Ensisijainen tehtävä kaikissa tapauksissa on sama: vähentää eriarvoisuus yksinkertaisimpaan muotoon $ ((a) ^ (x)) \ gt ((a) ^ (n)) $. Juuri tätä teemme nyt jokaisella eriarvoisuudella, ja samalla toistamme asteiden ja eksponentiaalisen funktion ominaisuudet. Mennään siis!

\ [((2) ^ (x-1)) \ le \ frac (1) (\ sqrt (2)) \]

Mitä tässä voi tehdä? No, vasemmalla meillä on jo paljastava ilmaisu - mitään ei tarvitse muuttaa. Mutta oikealla on jonkinlainen paska: murto -osa ja jopa juuri nimittäjässä!

Muistakaamme kuitenkin murtoluvuilla ja voimilla työskentelyn säännöt:

\ [\ aloita (kohdista) & \ frac (1) (((a) ^ (n))) = ((a) ^ (- n)); \\ & \ sqrt [k] (a) = ((a) ^ (\ frac (1) (k))). \\\ loppu (kohdista) \]

Mitä se tarkoittaa? Ensinnäkin voimme helposti päästä eroon murto -osasta kääntämällä sen tehoksi, jolla on negatiivinen eksponentti. Ja toiseksi, koska nimittäjällä on juuri, olisi mukava muuttaa se myös voimaksi - tällä kertaa murto -osaisella.

Käytämme näitä toimia peräkkäin eriarvoisuuden oikealle puolelle ja katsomme, mitä tapahtuu:

\ [\ frac (1) (\ sqrt (2)) = ((\ vasen (\ sqrt (2) \ oikea)) ^ (- 1)) = ((\ vasen (((2) ^ (\ frac ( 1) (3))) \ oikea)) ^ (- 1)) = ((2) ^ (\ frac (1) (3) \ cdot \ vasen (-1 \ oikea))) = ((2) ^ (- \ frac (1) (3)))]]

Älä unohda, että nostettaessa tutkintoa asteeseen lisätään näiden asteiden indikaattorit. Ja yleensä, kun työskentelemme eksponentiaalisten yhtälöiden ja eriarvoisuuksien kanssa, on ehdottoman välttämätöntä tietää ainakin yksinkertaisimmat säännöt tutkintojen käsittelemiseksi:

\ [\ begin (align) & ((a) ^ (x)) \ cdot ((a) ^ (y)) = ((a) ^ (x + y)); \\ & \ frac ((((a) ^ (x))) (((a) ^ (y))) = ((a) ^ (x-y)); \\ & ((\ vasen ((((a) ^) (x)) \ oikea)) ^ (y)) = ((a) ^ (x \ cdot y)). \\\ loppu (kohdista) \]

Itse asiassa sovelimme vain viimeistä sääntöä. Siksi alkuperäinen epätasa -arvo kirjoitetaan uudelleen seuraavasti:

\ [((2) ^ (x-1)) \ le \ frac (1) (\ sqrt (2)) \ Oikeanuolinen ((2) ^ (x-1)) \ le ((2) ^ (-\ frac (1) (3)))]]

Nyt pääsemme eroon kahdesta pohjasta. Koska 2> 1, eriarvoisuusmerkki pysyy samana:

\ [\ begin (align) & x-1 \ le- \ frac (1) (3) \ Rightrerow x \ le 1- \ frac (1) (3) = \ frac (2) (3); \\ & x \ in \ left (- \ infty; \ frac (2) (3) \ right]. \\\ end (align) \]

Siinä koko ratkaisu! Suurin ongelma ei ole eksponentiaalisessa funktiossa, vaan alkuperäisen lausekkeen pätevässä muunnoksessa: sinun on saatettava se huolellisesti ja mahdollisimman nopeasti yksinkertaisimpaan muotoonsa.

Mieti toista eriarvoisuutta:

\ [((0,1) ^ (1-x)) \ lt 0,01 \]

Niin-niin. Tässä meitä odottavat desimaalimurrot. Kuten olen sanonut monta kertaa, sinun pitäisi päästä eroon desimaalimurroista missä tahansa ilmaisussa, jolla on valtuudet - usein tämä on ainoa tapa nähdä nopea ja helppo ratkaisu. Joten pääsemme eroon:

\ [\ aloita (kohdista) & 0,1 = \ frac (1) (10); \ quad 0,01 = \ frac (1) (100) = ((\ vasen (\ frac (1) (10) \ oikea)) ^ (2)); \\ & ((0,1) ^ (1-x)) \ lt 0,01 \ Oikea nuoli ((\ vasen (\ frac (1) (10) \ oikea)) ^ (1-x)) \ lt ( (\ vasen (\ frac (1) (10) \ oikea)) ^ (2)). \\\ loppu (kohdista) \]

Edessämme on jälleen yksinkertaisin eriarvoisuus, ja jopa 1/10, eli vähemmän kuin yksi. Poistamme pohjat matkan varrella ja vaihdamme merkin "vähemmän" -merkistä "enemmän", ja saamme:

\ [\ begin (align) & 1-x \ gt 2; \\ & -x \ gt 2-1; \\ & -x \ gt 1; \\ & x \ lt -1. \\\ pää (kohdistaa) \]

Saimme lopullisen vastauksen: $ x \ in \ left ( - \ infty; -1 \ right) $. Huomaa: vastaus on täsmälleen valmis, eikä missään nimessä $ x \ lt -1 $ kaltainen rakenne. Koska muodollisesti tällainen rakenne ei ole joukko, vaan eriarvoisuus muuttujan $ x $ suhteen. Kyllä, se on hyvin yksinkertaista, mutta se ei ole vastaus!

Tärkeä muistiinpano... Tämä eriarvoisuus voitaisiin ratkaista toisella tavalla - vähentämällä molemmat osat asteeseen, jonka kanta on suurempi kuin yksi. Katso:

\ [\ frac (1) (10) = ((10) ^ (- 1)) \ Nuoli oikealle ((\ vasen ((((10) ^ (- 1))) \ oikea)) ^ (1-x)) \ lt ((\ vasen ((((10) ^ (- 1))) \ oikea)) ^ (2)) \ Oikeanuoli ((10) ^ (- 1 \ cdot \ vasen (1-x \ oikea))) \ lt ((10) ^ (- 1 \ cdot 2)) \]

Tällaisen muutoksen jälkeen saamme jälleen eksponentiaalisen epätasa -arvon, mutta kanta 10> 1. Tämä tarkoittaa, että voit yksinkertaisesti ylittää kymmenen - eriarvoisuusmerkki ei muutu tässä tapauksessa. Saamme:

\ [\ begin (align) & -1 \ cdot \ left (1 -x \ right) \ lt -1 \ cdot 2; \\ & x -1 \ lt -2; \\ & x \ lt -2 + 1 = -1; \\ & x \ lt -1. \\\ loppu (kohdista) \]

Kuten näette, vastaus on täsmälleen sama. Samalla säästimme itsemme tarpeelta muuttaa merkkiä ja yleensä muistaa joitain sääntöjä siellä. :)

\ [((2) ^ ((((x)) ^ (2)) - 7x + 14)) \ lt 16 \]

Älä kuitenkaan pelkää tätä. Riippumatta indikaattoreista, tekniikka eriarvoisuuden ratkaisemiseksi pysyy samana. Huomaa siis ensin, että 16 = 24. Kirjoitetaan alkuperäinen eriarvoisuus tämän tosiasian mielessä:

\ [\ aloita (kohdista) & ((2) ^ ((((x)) ((2)) - 7x + 14)) \ lt ((2) ^ (4)); \\ & ((x) ^ (2)) - 7x + 14 \ lt 4; \\ & ((x) ^ (2)) - 7x + 10 \ lt 0. \\\ end (align) \]

Hurraa! Meillä on tavallinen neliön epätasa -arvo! Merkki ei muuttunut missään, koska pohjassa on kaksi - numero suurempi kuin yksi.

Toiminto nollia numeroviivalla
Asetamme funktion $ f \ left (x \ right) = ((x) ^ (2)) - 7x + 10 $ merkit - ilmeisesti sen kuvaaja on parabooli, jossa on oksat ylös, joten tulee "plussia" "sivuilla. Olemme kiinnostuneita alueesta, jossa funktio on pienempi kuin nolla, ts. $ x \ in \ left (2; 5 \ right) $ - tämä on vastaus alkuperäiseen ongelmaan.

Harkitse lopuksi toista eriarvoisuutta:

\ [(((0,2) ^ (1 + ((x) ^ (2)))) \ ge \ frac (1) (25) \]

Näemme taas eksponentti funktio jossa desimaali alareunassa. Käännämme tämän murto -osan tavalliseksi:

\ [\ begin (align) & 0,2 = \ frac (2) (10) = \ frac (1) (5) = ((5) ^ (- 1)) \ Rightarrow \\ & \ Rightarrow ((0 , 2) ^ (1 + ((x) ^ (2)))) = ((\ vasen ((((5) ^))) \ oikea)) ^ (1 + ((x) ^ (2) ))) = ((5) ^ (- 1 \ cdot \ left (1 + ((x) ^ (2)) \ right))) \ end (align) \]

Tässä tapauksessa käytimme aiemmin annettua huomautusta - pienensimme kannan lukuun 5> 1 yksinkertaistaaksemme päätöstämme. Tehdään sama oikealla puolella:

\ [\ frac (1) (25) = ((\ vasen (\ frac (1) (5) \ oikea)) ^ (2)) = ((\ vasen (((5) ^ (- 1)) \ oikea)) ^ (2)) = ((5) ^ (- 1 \ cdot 2)) = ((5) ^ (- 2)) \]

Kirjoitetaan uudelleen alkuperäinen eriarvoisuus ottaen huomioon molemmat muunnokset:

\ [(((0,2) ^ (1 + ((x) ^ (2)))) \ ge \ frac (1) (25) \ Oikea nuoli ((5) ^ (- 1 \ cdot \ left (1+) ((x) ^ (2)) \ oikea))) \ ge ((5) ^ (- 2)) \]

Pohjat molemmilla puolilla ovat samat ja ylittävät yhden. Oikealla ja vasemmalla ei ole muita termejä, joten me vain "ylitämme" viisi ja saamme hyvin yksinkertaisen ilmaisun:

\ [\ begin (align) & -1 \ cdot \ left (1 + ((x) ^ (2)) \ right) \ ge -2; \\ & -1 -((x) ^ (2)) \ ge -2; \\ & - ((x) ^ (2)) \ ge -2 + 1; \\ & - ((x) ^ (2)) \ ge -1; \ quad \ left | \ cdot \ vasen (-1 \ oikea) \ oikea. \\ & ((x) ^ (2)) \ le 1. \\\ end (align) \]

Tässä sinun on oltava varovainen. Monet opiskelijat haluavat yksinkertaisesti poimia Neliöjuuri eriarvoisuuden molemmille puolille ja kirjoita jotain $ x \ le 1 \ Rightrerow x \ in \ left ( - \ infty; -1 \ right] $. Tätä ei pitäisi koskaan tehdä, koska tarkan neliön juuri on moduuli, ja ei missään tapauksessa alkuperäinen muuttuja:

\ [\ sqrt ((((x) ^ (2))) = \ vasen | x \ oikea | \]

Moduulien kanssa työskentely ei kuitenkaan ole miellyttävin kokemus, vai mitä? Emme siis lähde töihin. Sen sijaan siirrämme kaikki termit vasemmalle ja ratkaisemme tavanomaisen eriarvoisuuden intervallimenetelmällä:

$ \ begin (align) & ((x) ^ (2)) - 1 \ le 0; \\ & \ vasen (x-1 \ oikea) \ vasen (x + 1 \ oikea) \ le 0 \\ & ((x) _ (1)) = 1; \ quad ((x) _ (2)) = -1; \\\ end (align) $

Merkitse jälleen saadut pisteet numerolinjalle ja katso merkkejä:
Huomaa: pisteet on täytetty
Koska ratkaisimme ei-tiukkaa eriarvoisuutta, kaikki kaavion kohdat täytetään. Siksi vastaus on seuraava: $ x \ in \ left [-1; 1 \ right] $ ei ole väli, vaan segmentti.

Yleisesti ottaen haluaisin huomata, että eksponentiaalisessa epätasa -arvossa ei ole mitään monimutkaista. Kaikkien tänään suorittamiemme muutosten merkitys perustuu yksinkertaiseen algoritmiin:

Etsi perusta, johon vähennämme kaikki asteet;

Suorita muunnokset huolellisesti saadaksesi eriarvoisuuden muodossa $ ((a) ^ (x)) \ gt ((a) ^ (n)) $. Tietenkin muuttujien $ x $ ja $ n $ sijasta voi olla paljon enemmän monimutkaisia toimintoja, mutta merkitys ei muutu tästä;

Yliviivaa emästä astetta. Tässä tapauksessa eriarvoisuuden merkki voi muuttua, jos pohja on $ a \ lt 1 $.

Itse asiassa se on universaali algoritmi ratkaisuja kaikkiin tällaisiin eriarvoisuutta. Ja kaikki, mikä vielä kertoo sinulle tästä aiheesta, on vain erityisiä tekniikoita ja temppuja muutoksen yksinkertaistamiseksi ja nopeuttamiseksi. Puhutaan nyt yhdestä näistä tekniikoista. :)

Rationalisointimenetelmä

Harkitse vielä erää eriarvoisuutta:

\ [\ begin (align) & ((\ text () \! \! \ pi \! \! \ text ()) ^ (x + 7)) \ gt ((\ text () \! \! \ pi \! \! \ text ()) ^ ((((x) ^ (2)) - 3x + 2)); \\ & ((\ vasen (2 \ sqrt (3) -3 \ oikea)) ^ ((((x) ^ (2)) - 2x)) \ lt 1; \\ & ((\ vasen (\ frac (1) (3) \ oikea)) ^ ((((x) ^ (2)) + 2x)) \ gt ((\ vasen (\ frac (1) (9) \ oikea)) ^ (16-x)); \\ & ((\ vasen (3-2 \ sqrt (2) \ oikea)) ^ (3x - ((x) ^ (2)))) \ lt 1. \\\ loppu (kohdista) \]

Joten mikä niissä on niin erikoista? Ne ovat kevyitä. Vaikka, lopeta! Nostetaanko π jossain määrin? Mitä tämä hölynpöly on?

Kuinka nostaa numero $ 2 \ sqrt (3) -3 $ potenssiin? Tai $ 3-2 \ sqrt (2) $? Ongelmakirjoittajat olivat ilmeisesti humalassa Hawthornissa ennen työn aloittamista. :)

Itse asiassa näissä tehtävissä ei ole mitään vikaa. Muistutan teitä: eksponentiaalinen funktio on muotoa $ ((a) ^ (x)) $, jossa pohja $ a $ on mikä tahansa positiivinen luku lukuun ottamatta yhtä. Luku π on positiivinen - tiedämme tämän jo. Numerot $ 2 \ sqrt (3) -3 $ ja $ 3-2 \ sqrt (2) $ ovat myös positiivisia -näet tämän helposti, jos vertaat niitä nollaan.

Osoittautuu, että kaikki nämä "pelottavat" eriarvoisuudet eivät eroa edellä kuvatuista yksinkertaisista? Ja ratkaistaanko ne samalla tavalla? Kyllä se on oikein. Heidän esimerkkinsä avulla haluaisin kuitenkin harkita yhtä tekniikkaa, joka säästää paljon aikaa itsenäinen työ ja tentit. Se keskittyy rationalisointimenetelmään. Eli huomio:

Mikä tahansa eksponentiaalinen epätasa-arvo muodossa $ ((a) ^ (x)) \ gt ((a) ^ (n)) $ vastaa eriarvoisuutta $ \ left (xn \ right) \ cdot \ left (a-1 \ oikea) \ gt 0 $.

Se on koko menetelmä. :) Luulitko, että seuraava peli on tulossa? Ei mitään tällaista! Mutta tämä yksinkertainen tosiasia, joka on kirjoitettu kirjaimellisesti yhdelle riville, yksinkertaistaa huomattavasti työtämme. Katso:

\ [\ begin (matrix) ((\ text () \! \! \ pi \! \! \ text ()) ^ (x + 7)) \ gt ((\ text () \! \! \ pi \ ! \! \ text ()) ^ ((((x) ^ (2)) - 3x + 2)) \\ \ Downarrow \\ \ left (x + 7- \ left (((x) ^ (2)) -3x + 2 \ oikea) \ oikea) \ cdot \ vasen (\ text () \! \! \ Pi \! \! \ Text () -1 \ right) \ gt 0 \\\ end (matrix) \]

Ei ole enää ohjeellisia toimintoja! Ja sinun ei tarvitse muistaa, muuttuuko merkki vai ei. Mutta siellä on uusi ongelma: mitä tehdä vitun kertoimella \ [\ left (\ text () \! \! \ pi \! \! \ text () -1 \ right) \]? Emme tiedä, mikä on π: n tarkka arvo. Kapteeni näyttää kuitenkin vihjaavan ilmeisyyteen:

\ [\ text () \! \! \ pi \! \! \ text () \ noin 3,14 ... \ gt 3 \ Oikeanpuoleinen \ text () \! \! \ pi \! \! \ text () - 1 \ gt 3-1 = 2 \]

Yleensä π: n tarkka arvo ei todellakaan häiritse meitä - on vain tärkeää ymmärtää, että joka tapauksessa $ \ text () \! \! \ Pi \! \! \ Text () -1 \ gt 2 $ eli .e. tämä on positiivinen vakio, ja voimme jakaa sen eriarvoisuuden molemmille puolille:

\ [\ aloita (kohdista) & \ vasen (x + 7- \ vasen (((x) ^ (2)) - 3x + 2 \ oikea) \ oikea) \ cdot \ vasen (\ text () \! \! \ pi \! \! \ text () -1 \ right) \ gt 0 \\ & x + 7- \ left ((((x) ^ (2)) - 3x + 2 \ right) \ gt 0; \\ & x + 7 - ((x) ^ (2)) + 3x -2 \ gt 0; \\ & - ((x) ^ (2)) + 4x + 5 \ gt 0; \ quad \ left | \ cdot \ vasen (-1 \ oikea) \ oikea. \\ & ((x) ^ (2)) - 4x -5 \ lt 0; \\ & \ vasen (x-5 \ oikea) \ vasen (x + 1 \ oikea) \ lt 0. \\\ loppu (kohdista) \]

Kuten näette, jouduin eräällä hetkellä jakamaan miinus yhdellä, ja eriarvoisuusmerkki muuttui. Lopuksi laajensin neliön trinomiaalia Vietan lauseen mukaan - on selvää, että juuret ovat yhtä suuret kuin $ ((x) _ (1)) = 5 $ ja $ ((x) _ (2)) = - 1 $. Sitten kaikki ratkaistaan klassisella aikavälien menetelmällä:
Erotuksen ratkaiseminen intervallimenetelmällä
Kaikki kohdat on puhkaistu, koska alkuperäinen epätasa -arvo on tiukka. Olemme kiinnostuneita alueesta, jolla on negatiiviset arvot, joten vastaus on $ x \ in \ left (-1; 5 \ right) $. Siinä koko ratkaisu. :)

Siirrymme seuraavaan tehtävään:

\ [((\ \ vasen (2 \ sqrt (3) -3 \ oikea)) ^ ((((x) ^ (2) - 2x)) \ lt 1 \]

Yleensä kaikki on täällä yksinkertaista, koska yksi on oikealla. Ja me muistamme, että yksi on mikä tahansa luku nollapisteeseen. Vaikka tämä numero olisi irrationaalinen lauseke vasemmassa alakulmassa:

\ [\ begin (align) & ((\ left (2 \ sqrt (3) -3 \ right)) ^ ((((x) ^ (2)) - 2x)) \ lt 1 = ((\ left (2 \ sqrt (3) -3 \ oikea)) ^ (0)); \\ & ((\ vasen (2 \ sqrt (3) -3 \ oikea)) ^ ((((x) ^ (2) -2x)) \ lt ((\ vasen (2 \ sqrt (3) -3) \ oikea)) ^ (0)); \\\ loppu (kohdista) \]

No järkeistetään:

\ [\ begin (align) & \ left ((((x) ^ (2)) -2x -0 \ right) \ cdot \ left (2 \ sqrt (3) -3-1 \ right) \ lt 0; \\ & \ vasen ((((x) ^ (2)) -2x -0 \ oikea) \ cdot \ vasen (2 \ sqrt (3) -4 \ oikea) \ lt 0; \\ & \ vasen ((((x) ^ (2)) -2x -0 \ oikea) \ cdot 2 \ vasen (\ sqrt (3) -2 \ oikea) \ lt 0. \\\ end (kohdista) \ ]

Jää vain käsitellä merkkejä. Kerroin $ 2 \ left (\ sqrt (3) -2 \ right) $ ei sisällä muuttujaa $ x $ - se on vain vakio, ja meidän on selvitettävä sen merkki. Ota tämä huomioon seuraavasti:

\ [\ begin (matriisi) \ sqrt (3) \ lt \ sqrt (4) = 2 \\ \ Downarrow \\ 2 \ left (\ sqrt (3) -2 \ right) \ lt 2 \ cdot \ left (2 -2 \ oikea) = 0 \\\ end (matriisi) \]

On käynyt ilmi, että toinen tekijä ei ole vain vakio, vaan negatiivinen vakio! Jaettaessa sillä, alkuperäisen eriarvoisuuden merkki muuttuu päinvastaiseksi:

\ [\ begin (align) & \ left ((((x) ^ (2)) -2x -0 \ right) \ cdot 2 \ left (\ sqrt (3) -2 \ right) \ lt 0; \\ & ((x) ^ (2)) - 2x -0 \ gt 0; \\ & x \ vasen (x-2 \ oikea) \ gt 0. \\\ loppu (kohdista) \]

Nyt kaikki tulee aivan ilmeiseksi. Oikealla olevan kolmion kolmion juuret ovat: $ ((x) _ (1)) = 0 $ ja $ ((x) _ (2)) = 2 $. Merkitsemme ne numeroriville ja katsomme funktion $ f \ left (x \ right) = x \ left (x-2 \ right) $ merkkejä:
Tapaus, jossa olemme kiinnostuneita sivuväleistä
Olemme kiinnostuneita plus -merkillä merkityistä aikaväleistä. Jää vain kirjoittaa vastaus muistiin:

Siirrytään seuraavaan esimerkkiin:

\ [((\ \ vasen (\ frac (1) (3) \ oikea)) ^ ((((x) ^ (2)) + 2x)) \ gt ((\ vasen (\ frac (1) (9) \ oikea)) ^ (16-x)) \]

Kaikki on täällä selvää: tukikohdissa on yhtä monta voimaa. Siksi kirjoitan kaiken lyhyesti:

\ [\ begin (matrix) \ frac (1) (3) = ((3) ^ (- 1)); \ quad \ frac (1) (9) = \ frac (1) (((3) ^ ( 2))) = ((3) ^ (- 2)) \\ \ Downarrow \\ ((\ vasen ((((3))))) ((1)) \ oikea)) ^ ((((x) ^ (2) ) + 2x)) \ gt ((\ vasen ((((3))) ^ (- 2)) \ oikea)) ^ (16-x)) \\\ loppu (matriisi) \]

\ [\ begin (align) & ((3) ^ (- 1 \ cdot \ left ((((x) ^) 2 (2)) + 2x \ right))) \ gt ((3) ^ (- 2 \ cdot \ vasen (16 x x oikea))); \\ & ((3) ^ (- ((x) ^ (2))- 2x)) \ gt ((3) ^ (- 32 + 2x)); \\ & \ vasen (- ((x) ^ (2))- 2x- \ vasen (-32 + 2x \ oikea) \ oikea) \ cdot \ vasen (3-1 \ oikea) \ gt 0; \\ & - ((x) ^ (2)) - 2x + 32-2x \ gt 0; \\ & - ((x) ^ (2)) - 4x + 32 \ gt 0; \ quad \ left | \ cdot \ vasen (-1 \ oikea) \ oikea. \\ & ((x) ^ (2)) + 4x-32 \ lt 0; \\ & \ vasen (x + 8 \ oikea) \ vasen (x-4 \ oikea) \ lt 0. \\\ loppu (kohdista) \]

Kuten näette, muutosprosessin aikana meidän piti kertoa negatiivinen luku, joten eriarvoisuusmerkki on muuttunut. Lopussa käytin jälleen Viestan teoriaa neliömäisen trinomiaalin tekijäksi. Tämän seurauksena vastaus on seuraava: $ x \ in \ left (-8; 4 \ right) $ - halukkaat voivat vahvistaa tämän piirtämällä numeroviivan, merkitsemällä pisteet ja laskemalla merkit. Sillä välin siirrymme viimeiseen epätasa -arvoon "joukostamme":

\ [((\ \ vasen (3-2 \ sqrt (2) \ oikea)) ^ (3x - ((x) ^ (2)))) \ lt 1 \]

Kuten näette, tukikohta seisoo jälleen järjetön luku, ja toinen seisoo jälleen oikealla. Siksi kirjoitamme eksponentiaalisen epätasa -arvon uudelleen seuraavasti:

\ [((\ \ vasen (3-2 \ sqrt (2) \ oikea)) ^ (3x-((x) ^ (2)))) \ lt ((\ vasen (3-2 \ sqrt (2) \ oikea)) ^ (0)) \]

Käytämme rationalisointia:

\ [\ begin (align) & \ left (3x - ((x) ^ (2)) - 0 \ right) \ cdot \ left (3-2 \ sqrt (2) -1 \ right) \ lt 0; \\ & \ vasen (3x - ((x) ^ (2)) - 0 \ oikea) \ cdot \ vasen (2-2 \ sqrt (2) \ oikea) \ lt 0; \\ & \ vasen (3x - ((x) ^ (2)) - 0 \ oikea) \ cdot 2 \ vasen (1- \ sqrt (2) \ oikea) \ lt 0. \\\ loppu (kohdista) \ ]

On kuitenkin aivan selvää, että $ 1- \ sqrt (2) \ lt 0 $, koska $ \ sqrt (2) \ noin 1,4 ... \ gt 1 $. Siksi toinen tekijä on jälleen negatiivinen vakio, jolla eriarvoisuuden molemmat puolet voidaan jakaa:

\ [\ aloita (matriisi) \ vasen (3x - ((x) ^ (2)) - 0 \ oikea) \ cdot 2 \ vasen (1- \ sqrt (2) \ oikea) \ lt 0 \\ \ Downarrow \ \\ loppu (matriisi) \]

\ [\ begin (align) & 3x - ((x) ^ (2)) - 0 \ gt 0; \\ & 3x - ((x) ^ (2)) \ gt 0; \ quad \ left | \ cdot \ vasen (-1 \ oikea) \ oikea. \\ & ((x) ^ (2)) - 3x \ lt 0; \\ & x \ vasen (x-3 \ oikea) \ lt 0. \\\ loppu (kohdista) \]

Muutto toiseen tukikohtaan

Erillinen ongelma eksponentiaalisen eriarvoisuuden ratkaisemisessa on ”oikean” perustan etsiminen. Valitettavasti ensisilmäyksellä tehtävässä ei aina ole selvää, mitä perustaa ja mitä tehdä tämän perustan perusteella.

Mutta älä huoli: täällä ei ole taikuutta tai "salaista" tekniikkaa. Matematiikassa mitä tahansa taitoa, jota ei voida algoritmoida, voidaan helposti kehittää käytännössä. Mutta tätä varten sinun on ratkaistava ongelmat eri tasoilla vaikeuksia. Esimerkiksi nämä ovat:

\ [\ begin (align) & ((2) ^ (\ frac (x) (2))) \ lt ((4) ^ (\ frac (4) (x))); \\ & ((\ vasen (\ frac (1) (3) \ oikea)) ^ (\ frac (3) (x))) \ ge ((3) ^ (2 + x)); \\ & ((\ vasen (0,16 \ oikea)) ^ (1 + 2x)) \ cdot ((\ vasen (6,25 \ oikea)) ^ (x)) \ ge 1; \\ & ((\ vasen (\ frac (27) (\ sqrt (3)) \ oikea)) ^ (- x)) \ lt ((9) ^ (4-2x)) \ cdot 81. \\\ loppu (kohdista) \]

Vaikea? Pelokkaasti? Se on helpompaa kuin kana asfaltilla! Kokeillaan. Ensimmäinen eriarvoisuus:

\ [((2) ^ (\ frac (x) (2))) \ lt ((4) ^ (\ frac (4) (x))) \]

No, luulen, että kaikki on selvää ja siili:

Kirjoitamme uudelleen alkuperäisen eriarvoisuuden vähentämällä kaiken pohjaksi "kaksi":

\ [((2) ^ (\ frac (x) (2))) \ lt ((2) ^ (\ frac (8) (x))) \ Oikeanuoli \ vasen (\ frac (x) (2) - \ frac (8) (x) \ oikea) \ cdot \ vasen (2-1 \ oikea) \ lt 0 \]

Kyllä, kyllä, ymmärsit oikein: käytin juuri edellä kuvattua rationalisointimenetelmää. Nyt meidän on työskenneltävä huolellisesti: meillä on murto-rationaalinen eriarvoisuus (tämä on yksi, jossa nimittäjässä on muuttuja), joten ennen kuin asetamme jotain nollaan, on saatettava kaikki yhteiseen nimittäjään ja päästävä eroon vakioista tekijä.

\ [\ begin (align) & \ left (\ frac (x) (2) - \ frac (8) (x) \ right) \ cdot \ left (2-1 \ right) \ lt 0; \\ & \ vasen (\ frac ((((x) ^ (2)) - 16) (2x) \ oikea) \ cdot 1 \ lt 0; \\ & \ frac ((((x) ^ (2)) - 16) (2x) \ lt 0. \\\ end (align) \]

Nyt käytämme standardimenetelmä välein. Osoittimen nollia: $ x = \ pm 4 $. Nimittäjä katoaa vain, kun $ x = 0 $. Yhteensä on kolme pistettä, jotka on merkittävä numeroriville (kaikki pisteet on puhkaistu, koska eriarvoisuusmerkki on tiukka). Saamme:

Lisää vaikea tapaus: kolme juuria
Kuten arvata saattaa, siitosviiva merkitsee ne välit, joilla vasemmalla oleva lauseke saa negatiiviset arvot. Siksi lopulliseen vastaukseen menee kaksi aikaväliä kerralla:

Välien päät eivät sisälly vastaukseen, koska alkuperäinen eriarvoisuus oli tiukka. Tätä vastausta ei tarvitse tarkastaa enempää. Tässä suhteessa eksponentiaaliset eriarvoisuudet ovat paljon yksinkertaisempia kuin logaritmiset: ei ODV: tä, ei rajoituksia jne.

Siirrymme seuraavaan tehtävään:

\ [(((\ vasen (\ frac (1) (3) \ oikea)) ^ (\ frac (3) (x))) \ ge ((3) ^ (2 + x)) \]

Tässäkään ei ole ongelmia, koska tiedämme jo, että $ \ frac (1) (3) = ((3) ^ (- 1)) $, joten koko eriarvoisuus voidaan kirjoittaa uudelleen seuraavasti:

\ [\ aloita (kohdista) & ((\ vasen (((3) ^ (- 1) \ oikea)) ^ (\ frac (3) (x))) \ ge ((3) ^ (2 + x )) \ Oikea nuoli ((3) ^ (- \ frac (3) (x))) \ ge ((3) ^ (2 + x)); \\ & \ vasen (- \ frac (3) (x)- \ vasen (2 + x \ oikea) \ oikea) \ cdot \ vasen (3-1 \ oikea) \ ge 0; \\ & \ vasen (-\ frac (3) (x) -2-x \ oikea) \ cdot 2 \ ge 0; \ quad \ left | : \ vasen (-2 \ oikea) \ oikea. \\ & \ frac (3) (x) + 2 + x \ le 0; \\ & \ frac ((((x) ^ (2)) + 2x + 3) (x) \ le 0. \\\ end (align) \]

Huomaa: kolmannella rivillä päätin, etten tuhlaa aikaa pieniin asioihin ja jaan kaiken heti (−2). Passed meni ensimmäiseen kiinnikkeeseen (nyt on plussia kaikkialla), ja kaksi peruutettiin jatkuvalla kertoimella. Tämä on juuri se, mitä sinun pitäisi tehdä, kun teet todellisia laskelmia riippumattomista ja ohjaus toimii- jokaista toimintaa ja muutosta ei tarvitse maalata suoraan.

Seuraavaksi tulee tuttu välilyöntimenetelmä. Osoittaja nollia: mutta ne eivät ole. Koska syrjijä on negatiivinen. Nimittäjä puolestaan nollataan vain $ x = 0 $ - kuten viimeksi. On selvää, että $ x = 0 $ oikealla puolella murto -osa ottaa positiiviset arvot ja vasemmalla negatiiviset. Koska olemme kiinnostuneita negatiivisista arvoista, lopullinen vastaus on $ x \ in \ left (- \ infty; 0 \ right) $.

\ [((\ \ vasen (0,16 \ oikea)) ^ (1 + 2x)) \ cdot ((\ vasen (6,25 \ oikea)) ^ (x)) \ ge 1 \]

Mutta mitä sinun pitäisi tehdä desimaaliluvuilla eksponentiaalisessa epätasa -arvossa? Se on oikein: päästä eroon niistä kääntämällä ne tavallisiksi. Joten käännämme:

\ [\ begin (align) & 0.16 = \ frac (16) (100) = \ frac (4) (25) \ Rightrerow ((\ left (0.16 \ right)) ^ (1 + 2x)) = ((\ vasen (\ frac (4) (25) \ oikea)) ^ (1 + 2x)); \\ & 6,25 = \ frac (625) (100) = \ frac (25) (4) \ Nuoli oikealle ((\ vasen (6,25 \ oikea)) ^ (x)) = ((\ vasen (\ frac (25)) (4) \ oikea)) ^ (x)). \\\ loppu (kohdista) \]

Joten mitä saimme eksponentiaalisten toimintojen perustaan? Ja saimme kaksi keskenään käänteistä lukua:

\ [\ frac (25) (4) = ((\ vasen (\ frac (4) (25) \ oikea)) ^ (- 1)) \ Oikea nuoli ((\ vasen (\ frac (25) (4) \ oikea)) ^ (x)) = ((\ vasen ((((\ vasen (\ frac (4) (25) \ oikea)) ^ (- 1)) \ oikea)) ^ (x)) = ((\ vasen (\ frac (4) (25) \ oikea)) ^ (- x)) \]

Alkuperäinen eriarvoisuus voidaan siis kirjoittaa seuraavasti:

\ [\ aloita (kohdista) & ((\ vasen (\ frac (4) (25) \ oikea)) ^ (1 + 2x)) \ cdot ((\ vasen (\ frac (4) (25) \ oikea) ) ^ (- x)) \ ge 1; \\ & ((\ vasen (\ frac (4) (25) \ oikea)) ^ (1 + 2x + \ vasen (-x \ oikea))) \ ge ((\ vasen (\ frac (4) (25 ) \ oikea)) ^ (0)); \\ & ((\ vasen (\ frac (4) (25) \ oikea)) ^ (x + 1)) \ ge ((\ vasen (\ frac (4) (25) \ oikea)) ^ (0) ). \\\ loppu (kohdista) \]

Tietenkin, kun astetta, jolla on sama perusta, kerrotaan, niiden indikaattorit lasketaan yhteen, mikä tapahtui toisella rivillä. Lisäksi esittelimme yksikön oikealla puolella, myös tutkinnon muodossa, jonka perusta on 4/25. Jäljellä on vain rationalisointi:

\ [(((\ vasen (\ frac (4) (25) \ oikea)) ^ (x + 1)) \ ge ((\ vasen (\ frac (4) (25) \ oikea)) ^ (0)) \ Oikea nuoli \ vasen (x + 1-0 \ oikea) \ cdot \ vasen (\ frac (4) (25) -1 \ oikea) \ ge 0 \]

Huomaa, että $ \ frac (4) (25) -1 = \ frac (4-25) (25) \ lt 0 $, eli toinen tekijä on negatiivinen vakio, ja jaettuna sillä eriarvoisuusmerkki muuttuu:

\ [\ begin (align) & x + 1-0 \ le 0 \ Rightrerow x \ le -1; \\ & x \ in \ left ( - \ infty; -1 \ right]. \\\ end (align) \]

Lopuksi viimeinen eriarvoisuus nykyisestä "joukosta":

\ [((\ \ vasen (\ frac (27) (\ sqrt (3)) \ oikea)) ^ (- x)) \ lt ((9) ^ (4-2x)) \ cdot 81 \]

Periaatteessa myös ajatus ratkaisusta on selvä: kaikki eriarvoisuuteen kuuluvat eksponentiaaliset funktiot on vähennettävä pohjaan "3". Mutta tätä varten sinun on vähän punnittava juuria ja tutkintoja:

\ [\ begin (align) & \ frac (27) (\ sqrt (3)) = \ frac (((3) ^ (3))) (((3) ^ (\ frac (1) (3)) )) = ((3) ^ (3- frac (1) (3))) = ((3) ^ (\ frac (8) (3))); \\ & 9 = ((3) ^ (2)); \ quad 81 = ((3) ^ (4)). \\\ loppu (kohdista) \]

Nämä tosiasiat huomioon ottaen alkuperäinen eriarvoisuus voidaan kirjoittaa uudelleen seuraavasti:

\ [\ begin (align) & ((\ left ((((3)) ^ (\ frac (8) (3))) \ right)) ^ (- x)) \ lt ((\ left (((3)) ^ (2)) \ oikea)) ^ (4-2x)) \ cdot ((3) ^ (4)); \\ & ((3) ^ (- \ frac (8x) (3))) \ lt ((3) ^ (8-4x)) \ cdot ((3) ^ (4)); \\ & ((3) ^ (- \ frac (8x) (3))) \ lt ((3) ^ (8-4x + 4)); \\ & ((3) ^ (- \ frac (8x) (3))) \ lt ((3) ^ (4-4x)). \\\ loppu (kohdista) \]

Kiinnitä huomiota laskelmien toiseen ja kolmanteen riviin: ennen kuin teet mitään epätasa -arvon kanssa, muista tuoda se muotoon, josta puhuimme oppitunnin alussa: $ ((a) ^ (x)) \ lt ((a) ^ (n)) $. Niin kauan kuin vasemmalla tai oikealla on joitain vasemmanpuoleisia tekijöitä, lisävakioita jne. perusteiden järkeistämistä ja "ylittämistä" ei voida suorittaa! Lukemattomat tehtävät ovat menneet pieleen tämän yksinkertaisen tosiasian väärinkäsityksen vuoksi. Itse havaitsen tätä ongelmaa jatkuvasti oppilaitteni keskuudessa, kun olemme vasta alkamassa analysoida eksponentiaalisia ja logaritmista epätasa -arvoa.

Mutta takaisin ongelmaamme. Yritetään tällä kertaa pärjätä ilman rationalisointia. Muista: tutkinnon perusta on suurempi kuin yksi, joten kolminkertaiset voidaan yksinkertaisesti ylittää - epätasa -arvo ei muutu tässä tapauksessa. Saamme:

\ [\ begin (align) & - \ frac (8x) (3) \ lt 4-4x; \\ & 4x- \ frac (8x) (3) \ lt 4; \\ & \ frac (4x) (3) \ lt 4; \\ & 4x \ lt 12; \\ & x \ lt 3. \\\ loppu (kohdista) \]

Siinä kaikki. Lopullinen vastaus on $ x \ in \ left (- \ infty; 3 \ right) $.

Vakaan lausekkeen korostaminen ja muuttujan korvaaminen

Lopuksi ehdotan, että ratkaistaan vielä neljä eksponentiaalista eriarvoisuutta, jotka ovat jo melko vaikeita kouluttamattomille opiskelijoille. Jotta voisit selviytyä niistä, sinun on muistettava astetta käsittelevät säännöt. Erityisesti yhteisten tekijöiden poistaminen suluista.

Tärkeintä on kuitenkin oppia ymmärtämään, mitä tarkalleen voidaan suluista poistaa. Tällaista lauseketta kutsutaan vakaaksi - se voidaan nimetä uudella muuttujalla ja siten päästä eroon eksponentiaalisesta funktiosta. Katsotaanpa siis tehtäviä:

\ [\ aloita (kohdista) & ((5) ^ (x + 2)) + ((5) ^ (x + 1)) \ ge 6; \\ & ((3) ^ (x)) + ((3) ^ (x + 2)) \ ge 90; \\ & ((25) ^ (x + 1,5)) - ((5) ^ (2x + 2)) \ gt 2500; \\ & ((\ vasen (0,5 \ oikea)) ^ (- 4x-8))- ((16) ^ (x + 1,5)) \ gt 768. \\\ loppu (kohdista) \]

Aloitetaan aivan ensimmäisestä rivistä. Kirjoitetaan tämä eriarvoisuus erikseen:

\ [((5) ^ (x + 2)) + ((5) ^ (x + 1)) \ ge 6 \]

Huomaa, että $ ((5) ^ (x + 2)) = ((5) ^ (x + 1 + 1)) = ((5) ^ (x + 1)) \ cdot 5 $, joten oikea puoli voi kirjoittaa uudelleen:

Huomaa, että eriarvoisuudessa ei ole muita eksponentiaalisia funktioita lukuun ottamatta $ ((5) ^ (x + 1)) $. Ja yleensä muuttujaa $ x $ ei löydy mistään muualta, joten esittelemme uuden muuttujan: $ ((5) ^ (x + 1)) = t $. Saamme seuraavan rakenteen:

\ [\ begin (align) & 5t + t \ ge 6; \\ & 6t \ ge 6; \\ & t \ ge 1. \\\ loppu (kohdista) \]

Palaamme alkuperäiseen muuttujaan ($ t = ((5) ^ (x + 1)) $) ja muistamme samalla, että 1 = 5 0. Meillä on:

\ [\ aloita (kohdista) & ((5) ^ (x + 1)) \ ge ((5) ^ (0)); \\ & x + 1 \ ge 0; \\ & x \ ge -1. \\\ loppu (kohdista) \]

Siinä koko ratkaisu! Vastaus: $ x \ in \ left [-1; + \ infty \ right) $. Siirrymme toiseen eriarvoisuuteen:

\ [((3) ^ (x)) + ((3) ^ (x + 2)) \ ge 90 \]

Kaikki on sama täällä. Huomaa, että $ ((3) ^ (x + 2)) = ((3) ^ (x)) \ cdot ((3) ^ (2)) = 9 \ cdot ((3) ^ (x)) $. .. Sitten vasen puoli voidaan kirjoittaa uudelleen:

\ [\ begin (align) & ((3) ^ (x)) + 9 \ cdot ((3) ^ (x)) \ ge 90; \ quad \ left | ((3) ^ (x)) = t \ oikea. \\ & t + 9t \ ge 90; \\ & 10t \ ge 90; \\ & t \ ge 9 \ Oikea nuoli ((3) ^ (x)) \ ge 9 \ Oikeanuoli ((3) ^ (x)) \ ge ((3) ^ (2)); \\ & x \ ge 2 \ Oikea nuoli x \ in \ vasen [2; + \ infty \ oikea). \\\ loppu (kohdista) \]

Suunnilleen näin sinun on tehtävä päätös todellisesta valvonnasta ja itsenäisestä työstä.

No, yritetään jotain monimutkaisempaa. Esimerkiksi tässä on eriarvoisuus:

\ [((25) ^ (x + 1,5)) - ((5) ^ (2x + 2)) \ gt 2500 \]

Mikä tässä on ongelma? Ensinnäkin vasemmalla olevien eksponenttifunktioiden perusteet ovat erilaiset: 5 ja 25. Kuitenkin 25 = 5 2, joten ensimmäinen termi voidaan muuntaa:

\ [\ aloita (kohdista) & ((25) ^ (x + 1.5)) = ((\ vasen ((((5) ^) 2) \ oikea)) ^ (x + 1.5)) = ((5) ^ (2x + 3)); \\ & ((5) ^ (2x + 3)) = ((5) ^ (2x + 2 + 1)) = ((5) ^ (2x + 2)) \ cdot 5. \\\ end (align ) \]

Kuten näette, aluksi johdimme kaiken samalla perusteella, ja sitten huomasin, että ensimmäinen termi on helppo lyhentää toiseen - riittää vain laajentaa eksponenttia. Nyt voit turvallisesti ottaa käyttöön uuden muuttujan: $ ((5) ^ (2x + 2)) = t $, ja koko eriarvoisuus kirjoitetaan uudelleen seuraavasti:

\ [\ begin (align) & 5t-t \ ge 2500; \\ & 4t \ ge 2500; \\ & t \ ge 625 = ((5) ^ (4)); \\ & ((5) ^ (2x + 2)) \ ge ((5) ^ (4)); \\ & 2x + 2 \ ge 4; \\ & 2x \ ge 2; \\ & x \ ge 1. \\\ loppu (kohdista) \]

Jälleen kerran, ei vaikeuksia! Lopullinen vastaus on $ x \ in \ left [1; + \ infty \ right) $. Siirrymme lopulliseen eriarvoisuuteen tämän päivän oppitunnissa:

\ [((\ \ vasen (0,5 \ oikea)) ^ (- 4x-8))- ((16) ^ (x + 1,5)) \ gt 768 \]

Ensimmäinen asia, johon kannattaa kiinnittää huomiota, on tietysti desimaali ensimmäisen asteen pohjalla. On välttämätöntä päästä eroon siitä ja samalla tuoda kaikki eksponentiaaliset funktiot samaan perustaan - numero "2":

\ [\ begin (align) & 0.5 = \ frac (1) (2) = ((2) ^ (- 1)) \ Rightrerow ((\ left (0.5 \ right)) ^ (- 4x- 8)) = ((\ vasen ((((2)) ^ (- 1)) \ oikea)) ^ (- 4x-8)) = ((2) ^ (4x + 8)); \\ & 16 = ((2) ^ (4)) \ Oikea nuoli ((16) ^ (x + 1,5)) = ((\ vasen (((2) ^ (4)) \ oikea)) ^ ( x + 1,5)) = ((2) ^ (4x + 6)); \\ & ((2) ^ (4x + 8)) - ((2) ^ (4x + 6)) \ gt 768. \\\ end (align) \]

Hienoa, otimme ensimmäisen askeleen - kaikki johti samaan perustaan. Nyt meidän on valittava vakaa lauseke. Huomaa, että $ ((2) ^ (4x + 8)) = ((2) ^ (4x + 6 + 2)) = ((2) ^ (4x + 6)) \ cdot 4 $. Jos otamme käyttöön uuden muuttujan $ ((2) ^ (4x + 6)) = t $, alkuperäinen epätasa -arvo voidaan kirjoittaa uudelleen seuraavasti:

\ [\ begin (align) & 4t-t \ gt 768; \\ & 3t \ gt 768; \\ & t \ gt 256 = ((2) ^ (8)); \\ & ((2) ^ (4x + 6)) \ gt ((2) ^ (8)); \\ & 4x + 6 \ gt 8; \\ & 4x \ gt 2; \\ & x \ gt \ frac (1) (2) = 0,5. \\\ loppu (kohdista) \]

Luonnollisesti voi syntyä kysymys: miten saimme tietää, että 256 = 28? Valitettavasti täällä sinun tarvitsee vain tietää kahden (ja samalla kolmen ja viiden) voimat. Tai jaa 256 kahdella (voit jakaa, koska 256 on parillinen luku), kunnes saamme tuloksen. Se näyttää tältä:

\ [\ begin (align) & 256 = 128 \ cdot 2 = \\ & = 64 \ cdot 2 \ cdot 2 = \\ & = 32 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 = \\ & = 16 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 = \\ & = 8 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 = \\ & = 4 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 = \\ & = 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 = \\ & = ((2) ^ (8)). \ End (kohdista ) \]

Sama koskee kolmea (numerot 9, 27, 81 ja 243 ovat sen valtuuksia) ja seitsemää (numerot 49 ja 343 olisi myös mukava muistaa). No, viiden parhaan joukossa on myös "kauniita" tutkintoja, jotka sinun on tiedettävä:

\ [\ aloita (kohdista) & ((5) ^ (2)) = 25; \\ & ((5) ^ (3)) = 125; \\ & ((5) ^ (4)) = 625; \\ & ((5) ^ (5)) = 3125. \\\ loppu (kohdista) \]

Tietenkin kaikki nämä numerot voidaan haluttaessa rekonstruoida mielessä yksinkertaisesti kertomalla ne peräkkäin. Kuitenkin, kun sinun on ratkaistava useita eksponentiaalisia eriarvoisuuksia ja jokainen seuraava on monimutkaisempi kuin edellinen, viimeinen asia, jota haluat ajatella, on joidenkin numeroiden asteet siellä. Ja tässä mielessä nämä ongelmat ovat monimutkaisempia kuin "klassiset" eriarvoisuudet, jotka ratkaistaan aikaväleillä.

Tässä oppitunnissa tarkastelemme erilaisia eksponentiaalisia eriarvoisuuksia ja opimme ratkaisemaan ne yksinkertaisimpien eksponentiaalisten eriarvoisuuksien ratkaisumenetelmän perusteella

1. Eksponentiaalisen funktion määritelmä ja ominaisuudet

Muistetaanpa eksponenttifunktion määritelmä ja perusominaisuudet. Kaikkien eksponentiaalisten yhtälöiden ja eriarvoisuuksien ratkaisu perustuu ominaisuuksiin.

Eksponentti funktio- on muodon funktio, jossa asteen kanta ja tässä x on riippumaton muuttuja, argumentti; y - riippuvainen muuttuja, funktio.

Riisi. 1. Eksponentiaalinen funktiokaavio

Kaavio näyttää kasvavat ja pienenevät eksponentit, mikä kuvaa eksponentiaalista funktiota, kun kantaluku on suurempi kuin yksi ja pienempi kuin yksi mutta suurempi kuin nolla.

Molemmat käyrät kulkevat pisteen läpi (0; 1)

Eksponentiaaliset funktion ominaisuudet:

Verkkotunnus:;

Arvoalue :;

Toiminto on monotoninen, kun se kasvaa ja pienenee.

Yksitoiminen funktio ottaa kaikki sen arvot yhdelle argumentti -arvolle.

Kun argumentti kasvaa miinuksesta plus -äärettömyyteen, funktio kasvaa nollasta, ei yksinomaan, plus -äärettömyyteen, eli argumentin annetuille arvoille, meillä on yksitoikkoisesti kasvava funktio (). Sillä päinvastoin, kun argumentti kasvaa miinuksesta plus -äärettömyyteen, funktio pienenee äärettömyydestä nollaan, ei sisälly, eli argumentin annetuille arvoille meillä on yksitoikkoisesti pienenevä funktio ().

2. Yksinkertaisin eksponentiaalinen eriarvoisuus, ratkaisutekniikka, esimerkki

Edellä esitetyn perusteella esittelemme tekniikan yksinkertaisimpien eksponentiaalisten eriarvoisuuksien ratkaisemiseksi:

Menetelmät eriarvoisuuden ratkaisemiseksi:

Tasaa asteiden perusteet;

Vertaa indikaattoreita pitämällä tai muuttumalla päinvastaiseksi epätasa -arvon merkkiksi.

Monimutkaisten eksponentiaalisten eriarvoisuuksien ratkaisu koostuu pääsääntöisesti niiden vähentämisestä yksinkertaisimmaksi eksponentiaaliseksi epätasa -arvoksi.

Tutkinnon perusta on suurempi kuin yksi, mikä tarkoittaa, että eriarvoisuusmerkki pysyy:

Muunnamme oikean puolen asteen ominaisuuksien mukaan:

Tutkinnon perusta on pienempi kuin yksi, eriarvoisuusmerkki on käännettävä:

Ratkaistaksesi toisen asteen eriarvoisuuden, ratkaisemme vastaavan toisen asteen yhtälön:

Vieta -lauseen perusteella löydämme juuret:

Paraabelin oksat on suunnattu ylöspäin.

Meillä on siis ratkaisu eriarvoisuuteen:

On helppo arvata, että oikea puoli voidaan esittää tehona, jolla on nollapiste:

Tutkinnon perusta on suurempi kuin yksi, epätasa -arvon merkki ei muutu, saamme:

Muistetaanpa tekniikka tällaisen eriarvoisuuden ratkaisemiseksi.

Harkitse murto -osaista järkevää funktiota:

Löydämme määritelmän alueen:

Etsi funktion juuret:

Funktiolla on yksi juuri,

Valitsemme vakiomerkin välit ja määritämme funktion merkit jokaisella aikavälillä:

Riisi. 2. Vakiovälejä

Joten saimme vastauksen.

Vastaus:

3. Ratkaisu tyypillisiin eksponentiaalisiin epätasa -arvoihin

Harkitse eriarvoisuutta samoilla indikaattoreilla, mutta eri perusteilla.

Yksi eksponentiaalisen funktion ominaisuuksista on se, että se ottaa ehdottomasti positiiviset arvot kaikille argumentin arvoille, mikä tarkoittaa, että se voidaan jakaa eksponentiaaliseen funktioon. Jaetaan annettu epätasa-arvo sen oikealla puolella:

Tutkinnon perusta on suurempi kuin yksi, eriarvoisuusmerkki säilyy.

Havainnollistamme ratkaisua:

Kuva 6.3 esittää funktioiden ja. On selvää, että kun argumentti on suurempi kuin nolla, funktion kuvaaja on korkeampi, tämä funktio on suurempi. Kun argumentin arvot ovat negatiivisia, funktio laskee, se on pienempi. Kun argumentin arvo on sama, funktiot ovat yhtä suuret, mikä tarkoittaa, että tämä piste on myös ratkaisu annettuun eriarvoisuuteen.

Riisi. 3. Esimerkki 4

Muunnamme annetun eriarvoisuuden asteen ominaisuuksien mukaan:

Tässä on vastaavia termejä:

Jaetaan molemmat osat:

Jatkamme ratkaisua samalla tavalla kuin esimerkissä 4, jaa molemmat osat:

Tutkinnon perusta on suurempi kuin yksi, eriarvoisuusmerkki pysyy:

4. Eksponentiaalisen epätasa -arvon graafinen ratkaisu

Esimerkki 6 - Ratkaise eriarvoisuus graafisesti:

Tarkastellaan vasemmalla ja oikealla puolella olevia toimintoja ja piirretään kaavio jokaisesta niistä.

Funktio on eksponentiaalinen, kasvaa koko määrittelyalueellaan, eli kaikkien argumentin todellisten arvojen osalta.

Funktio on lineaarinen, pienenee koko määrittelyalueellaan eli kaikkien argumentin todellisten arvojen osalta.

Jos nämä toiminnot ovat päällekkäisiä eli järjestelmällä on ratkaisu, tällainen ratkaisu on ainutlaatuinen ja helposti arvattava. Tätä varten toistamme kokonaislukuja ()

On helppo nähdä, että tämän järjestelmän juuri on:

Siten funktioiden kuvaajat leikkaavat pisteessä yhden argumentin kanssa.

Nyt meidän on saatava vastaus. Annetun epätasa -arvon tarkoitus on, että eksponentin on oltava suurempi tai yhtä suuri kuin lineaarinen funktio eli olla korkeampi tai samaan aikaan sen kanssa. Ilmeinen vastaus on: (Kuva 6.4)

Riisi. 4. Esimerkki 6

Olemme siis pohtineet ratkaisua useisiin tyypillisiin eksponentiaalisiin epätasa -arvoihin. Seuraavaksi käsittelemme monimutkaisempia eksponentiaalisia epätasa -arvoja.

Bibliografia

Mordkovich A.G. Algebra ja matemaattisen analyysin periaatteet. - M: Mnemosyne. Muravin G. K., Muravina O. V. Algebra ja matemaattisen analyysin periaatteet. - M.: Bustard. Kolmogorov A. N., Abramov A. M., Dudnitsyn Yu. P. et ai. Algebra ja matemaattisen analyysin periaatteet. - M.: Koulutus.

Matematiikka. md. Matematiikka-toisto. com. Diffur. kemsu. ru.

Kotitehtävät

1. Algebra ja analyysin alku, luokat 10-11 (A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn) 1990, nro 472, 473;

2. Ratkaise eriarvoisuus:

3. Ratkaise eriarvoisuus.