پیش بینی بردار مورب یک موازی بر روی لبه های آن. Parallelepiped و مکعب. Visual Guide (2019). حفاظت از اطلاعات شخصی

فصل سه

پلی پتو

1. PARALLELEPIPEDUS و PYRAMID

خصوصیات چهره ها و مورب های یک موازی

72. قضیه. در یک موازی:

1) چهره های مخالف برابر و موازی هستند؛

2) هر چهار مورب در یک نقطه به هم می رسند و به دو نیم تقسیم می شوند.

1) چهره ها (شکل 80) BB 1 C 1 C و AA 1 D 1 D موازی هستند ، زیرا دو خط متقاطع BB 1 و B 1 C 1 یک چهره به موازات دو خط مستقیم متقاطع AA 1 و A 1 D 1 صورت دیگر (15 ) این چهره ها و برابر هستند ، زیرا B 1 C 1 \u003d A 1 D 1 ، B 1 B \u003d A 1 A (به عنوان طرف مخالف موازی) و / BB 1 C 1 \u003d / AA 1 D 1.

2) هر دو مورب (شکل 81) را بگیرید ، به عنوان مثال AC 1 و BD 1 ، و خطوط کمکی AD 1 و BC 1 را بکشید.

از آنجا که لبه های AB و D 1 C 1 به ترتیب با لبه DC برابر و موازی هستند ، برابر و موازی یکدیگر هستند. در نتیجه ، شکل AD 1 C 1 B یک موازی است ، که در آن خطوط مستقیم C 1 A و BD 1 مورب هستند و در موازی نمودار ، مورب ها در نقطه تقاطع به نصف تقسیم می شوند.

بیایید اکنون یکی از این مورب ها را بگیریم ، به عنوان مثال AC 1 ، با مورب سوم که قرار داده ایم ، با B 1 D. به همین ترتیب ، می توانیم ثابت کنیم که آنها در نقطه تقاطع به نصف تقسیم شده اند. در نتیجه ، مورب های B 1 D و AC 1 و مورب های AC 1 و BD 1 (که قبلاً گرفتیم) در همان نقطه دقیقاً در وسط مورب تلاقی می کنند
AC 1 سرانجام ، با گرفتن همان AC 1 مورب با مورب چهارم A 1 C ، ما نیز نصف خواهیم شد. از این رو ، نقطه تلاقی این جفت مورب در وسط AC 1 مورب قرار دارد. بنابراین ، هر چهار مورب قطر موازی در یک نقطه قطع می شوند و توسط این نقطه به نصف تقسیم می شوند.

73. قضیه. در یک موازی مستطیلی شکل ، مربع هر مورب است (AC 1 ، نمودار 82) برابر با مجمع مربع های سه بعد آن است .

پس از رسم مورب پایه AC ، مثلث AC 1 C و ACB بدست می آوریم. هر دوی آنها مستطیل شکل هستند: اولی به دلیل اینکه موازی منظر مستقیم است و بنابراین ، لبه CC 1 عمود بر پایه است. مورد دوم به دلیل اینکه موازی منظر مستطیل است و بنابراین ، یک مستطیل در قاعده آن قرار دارد. از این مثلث ها می یابیم:

AC 1 2 \u003d AC 2 + CC 1 2 و AC 2 \u003d AB 2 + BC 2

از این رو ،

AC 1 2 \u003d AB 2 + BC 2 + CC 1 2 \u003d AB 2 + AD 2 + AA 1 2.

نتیجه.در یک موازی مستطیلی شکل ، همه موربها برابر هستند.

برای دانش آموزان ارشد یادگیری نحوه حل مشکلات USE برای یافتن حجم و سایر پارامترهای ناشناخته یک موازی مستطیلی مفید خواهد بود. تجربه سالهای گذشته این واقعیت را تأیید می کند که چنین کارهایی برای بسیاری از فارغ التحصیلان کاملاً دشوار است.

در همان زمان ، دانش آموزان دبیرستانی با هر سطح آموزش باید درک کنند که چگونه حجم یا مساحت یک موازی مستطیل شکل را پیدا کنند. فقط در این صورت آنها می توانند انتظار داشته باشند که براساس نتایج قبولی در آزمون دولت واحد در ریاضیات ، امتیازات رقابتی دریافت کنند.

تفاوت های ظریف اصلی را به یاد داشته باشید

• متوازی الاضلاع که یک موازی را تشکیل می دهد صورت های آن است ، اضلاع آنها لبه است. رئوس این شکل ها راس های خود چند وجهی در نظر گرفته شده است.
• تمام موربهای یک موازی مستطیلی مستطیل برابر هستند. از آنجا که این یک چند وجهی مستقیم است ، وجه های کناری مستطیل هستند.
• از آنجا که یک موازی یک منشور است که در پایه آن یک متوازی الاضلاع است ، این شکل دارای تمام خصوصیات منشور است.
• لبه های کناری موازی مستطیلی شکل عمود بر پایه هستند. بنابراین ، اوج او هستند.

همراه با Shkolkovo برای آزمون آماده شوید!

برای اینکه کلاس های خود را تا حد ممکن آسان و کارآمد کنید ، پورتال ریاضی ما را انتخاب کنید. در اینجا تمام مطالب لازم را که در مرحله آماده سازی برای آزمون دولت واحد مورد نیاز است ، پیدا خواهید کرد.

متخصصان پروژه آموزشی Shkolkovo پیشنهاد می کنند از ساده به پیچیده تبدیل شوند: اول ، ما تئوری ، فرمول های اساسی و مشکلات اساسی را با یک راه حل ارائه می دهیم ، و سپس به تدریج به وظایف سطح متخصص می پردازیم. مثلاً می توانید با آن تمرین کنید.

شما می توانید اطلاعات اولیه لازم را در بخش "مرجع نظری" پیدا کنید. همچنین می توانید بلافاصله حل مشکلات مربوط به موضوع "موازی مستطیلی مستطیلی" را بصورت آنلاین آغاز کنید. بخش فهرست شامل تعداد زیادی تمرین از درجه های مختلف دشواری است. پایگاه تلاش به طور منظم به روز می شود.

بررسی کنید آیا اکنون می توانید به راحتی حجم یک موازی مستطیلی مستطیلی را پیدا کنید. هر کاری را جدا کنید. اگر تمرین برای شما آسان است ، به سراغ کارهای دشوارتر بروید. و اگر مشکلات خاصی دارید ، توصیه می کنیم روز خود را به گونه ای برنامه ریزی کنید که برنامه شما کلاس هایی با پورتال راه دور Shkolkovo داشته باشد.

منشور نامیده می شود متوازیالسطوحاگر پایه های آن متوازی الاضلاع باشد. سانتی متر. عکس. 1.

خواص جعبه:

چهره های مخالف یک موازی موازی هستند (یعنی در صفحات موازی قرار بگیرند) و برابر هستند.

مورب های موازی در یک نقطه قطع می شوند و توسط این نقطه نصف می شوند.

چهره های مجاور یک موازی - دو چهره که دارای لبه مشترک هستند.

چهره های مخالف یک موازی - چهره هایی که لبه های مشترک ندارند.

راسهای مخالف یک موازی - دو راس که متعلق به یک صورت نیستند.

مورب یک موازی - یک بخش خط که رئوس مخالف را به هم متصل می کند.

اگر لبه های کناری عمود بر صفحات پایه ها باشند ، آنگاه موازی پایدار نامیده می شود مستقیم.

یک موازی مستقیم که پایه های آن مستطیل است ، نامیده می شود مستطیل شکل... منشوری که تمام صورتهای آن مربع است ، نامیده می شود مکعب.

متوازیالسطوح - منشوری که پایه های آن متوازی الاضلاع است.

موازی موازی مستقیم - یک موازی با لبه های جانبی عمود بر صفحه پایه.

موازی مستطیل شکل یک موازی مستقیم است که پایه های آن مستطیل است.

مکعب - موازی مستطیلی با لبه های برابر.

متوازیالسطوح منشور نامیده می شود ، پایه آن یک موازی است. بنابراین ، یک موازی دارای شش صورت است و همه آنها متوازی الاضلاع هستند.

چهره های مخالف به صورت جفتی برابر و موازی هستند. این موازی دارای چهار مورب است. همه آنها در یک نقطه تلاقی می یابند و در آن به نصف تقسیم می شوند. هر صورت را می توان به عنوان پایه در نظر گرفت. حجم برابر است با ارتفاع محصول منطقه پایه: V \u003d Sh.

یک موازی ، که چهار وجه کناری آن مستطیل است ، مستقیم نامیده می شود.

یک موازی مستقیم که در آن هر شش صورت مستطیل است ، مستطیل نامیده می شود. سانتی متر. شکل 2.

حجم (V) یک موازی مستقیم برابر است با محصول منطقه پایه (S) و ارتفاع (ساعت): V \u003d ش .

علاوه بر این ، برای یک موازی مستطیلی ، فرمول نیز وجود دارد V \u003d abc ، جایی که a ، b ، c لبه هستند.

مورب (d) یک موازی مستطیلی مستطیلی با رابطه به لبه های آن مربوط می شود d 2 \u003d a 2 + b 2 + c 2 .

موازی مستطیل شکل - یک موازی با لبه های جانبی عمود بر پایه ها و پایه ها توسط مستطیل ها.

ویژگی های یک موازی مستطیلی شکل:

در یک موازی مستطیل شکل ، هر شش صورت مستطیل است.

تمام گوشه های دو طرفه یک موازی مستطیلی مستطیل مستقیم هستند.

مربع مورب یک موازی مستطیلی مستطیل برابر است با مجموع مربع های سه بعد آن (طول سه لبه با یک راس مشترک).

مورب های یک موازی مستطیلی مستطیل برابر هستند.

یک موازی مستطیل شکل که همه چهره های آن مربع است ، مکعب نامیده می شود. تمام لبه های مکعب برابر است. حجم (V) مکعب با فرمول بیان می شود V \u003d a 3، جایی که a لبه مکعب است.

در این درس ، همه قادر به مطالعه مبحث "موازی مستطیلی مستطیلی" خواهند بود. در ابتدای درس ، ما آنچه را که یک منظومه شمسی خودسرانه و مستقیم است تکرار می کنیم ، خصوصیات چهره های مخالف آنها و مورب های یک موازی را به یاد می آوریم. سپس ما در نظر می گیریم که یک موازی مستطیلی شکل چیست ، و در مورد خصوصیات اصلی آن بحث خواهیم کرد.

موضوع: عمود بودن خطوط و صفحه ها

درس: Parallelepiped مستطیلی

سطحی که از دو موازی برابر ABCD و A 1 B 1 C 1 D 1 و چهار موازی ABB 1 A 1 ، BCC 1 B 1 ، CDD 1 C 1 ، DAA 1 D 1 تشکیل شده است متوازیالسطوح (عکس. 1).

شکل: 1 Parallelepiped

یعنی: ما دو متوازی الاضلاع ABCD و A 1 B 1 C 1 D 1 (پایه) داریم ، آنها در صفحات موازی قرار دارند به طوری که لبه های جانبی AA 1 ، BB 1 ، DD 1 ، CC 1 موازی هستند. بنابراین ، یک سطح متشکل از متوازی الاضلاع نامیده می شود متوازیالسطوح.

بنابراین ، سطح یک متوازی الاضلاع مجموع همه متوازی الاضلاع است که متوازی الاضلاع را تشکیل می دهد.

1. چهره های مقابل جعبه موازی و برابر هستند.

(اشکال برابر هستند ، یعنی می توان آنها را با هم ترکیب کرد)

برای مثال:

ABCD \u003d A 1 B 1 C 1 D 1 (بر حسب تعریف موازی برابر) ،

AA 1 B 1 B \u003d DD 1 C 1 C (از آنجا که AA 1 B 1 B و DD 1 C 1 C طرف مخالف موازی هستند) ،

AA 1 D 1 D \u003d BB 1 C 1 C (از آنجا که AA 1 D 1 D و BB 1 C 1 C چهره مخالف موازی شکل هستند).

2. مورب های موازی در یک نقطه قطع می شوند و توسط این نقطه نصف می شوند.

مورب های موازی AC 1 ، B 1 D ، A 1 C ، D 1 B در یک نقطه O قطع می شوند و هر مورب توسط این نقطه به نصف تقسیم می شود (شکل 2).

شکل: 2 مورب های موازی با هم تلاقی می کنند و توسط نقطه تقاطع نصف می شوند.

3. سه چهار ضلعی لبه های موازی برابر و موازی وجود دارد: 1 - AB ، A 1 B 1 ، D 1 C 1 ، DC ، 2 - AD ، A 1 D 1 ، B 1 C 1 ، BC ، 3 - AA 1 ، BB 1 ، CC 1 ، DD 1.

تعریف. یک موازی در صورتی که لبه های جانبی آن عمود بر پایه ها باشد ، مستقیم نامیده می شود.

اجازه دهید لبه جانبی AA 1 عمود بر پایه باشد (شکل 3). این بدان معنی است که خط مستقیم AA 1 عمود بر خطوط مستقیم AD و AB است که در صفحه قاعده قرار دارند. این بدان معنی است که مستطیل ها در صورت های کناری قرار دارند. و پایه ها موازی موازی های دلخواه هستند. ما ∠BAD \u003d φ را نشان می دهیم ، زاویه φ می تواند هر باشد.

شکل: 3 موازی مستقیم

بنابراین ، یک موازی مستقیم یک موازی است که در آن لبه های کناری عمود بر پایه های موازی هستند.

تعریف. موازی شکل را مستطیل می نامند ، اگر دنده های جانبی آن عمود بر پایه باشد. پایه ها مستطیل هستند.

Parallelepiped ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - مستطیل (شکل 4) ، اگر:

1. AA 1 ⊥ ABCD (لبه جانبی عمود بر صفحه پایه ، یعنی یک موازی مستقیم).

2. ∠ بد \u003d 90 درجه ، یعنی یک مستطیل در قاعده وجود دارد.

شکل: 4 موازی مستطیلی

یک موازی مستطیل شکل دارای کلیه خصوصیات یک موازی موازی دلخواه است. اما خصوصیات دیگری نیز وجود دارد که از تعریف یک موازی مستطیلی مستطیل شکل گرفته شده است.

بنابراین، موازی مستطیل شکل یک موازی با لبه های جانبی عمود بر پایه است. قاعده موازی مستطیلی مستطیل مستطیل است.

1. در یک موازی مستطیل شکل ، هر شش صورت مستطیل است.

ABCD و A 1 B 1 C 1 D 1 - بر اساس تعریف مستطیل ها.

2. دنده های کناری عمود بر پایه... این بدان معنی است که تمام وجوه یک موازی مستطیلی مستطیل مستطیل هستند.

3. تمام گوشه های دو طرفه یک موازی مستطیلی مستطیل مستقیم هستند.

به عنوان مثال ، زاویه دو طرفه یک موازی مستطیلی شکل با لبه AB ، یعنی زاویه دو طرفه بین صفحات ABB 1 و ABC را در نظر بگیرید.

AB یک لبه است ، نقطه A 1 در یک صفحه قرار دارد - در صفحه ABB 1 ، و نقطه D در صفحه دیگر - در صفحه A 1 B 1 C 1 D 1. سپس زاویه دوطبقه در نظر گرفته شده نیز می تواند به شرح زیر مشخص شود: ∠A 1 ABD.

نقطه A را در لبه AB قرار دهید. AA 1 - عمود بر لبه AB در صفحه ABB-1 ، AD عمود بر لبه AB در صفحه ABC. از این رو ، ∠А 1 АD زاویه خطی زاویه دو طرفه داده شده است. 1А 1 АD \u003d 90 درجه ، به این معنی که زاویه دو طرفه در لبه AB 90 درجه است.

∠ (ABB 1 ، ABC) \u003d ∠ (AB) \u003d ∠A 1 ABD \u003d ∠A 1 AD \u003d 90 درجه.

به طور مشابه ثابت شده است که هر زاویه دو طرفه یک موازی مستطیل شکل مستقیم است.

مربع مورب یک موازی مستطیلی مستطیل برابر است با مجموع مربع های سه بعد آن.

توجه داشته باشید. طول سه لبه منشعب شده از یک راس مستطیل ابعاد موازی مستطیلی شکل است. به آنها گاهی طول ، عرض ، ارتفاع می گویند.

داده شده: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - موازی مستطیلی (شکل 5).

ثابت كردن:.

شکل: 5 موازی مستطیلی

شواهد و مدارک:

Straight CC 1 عمود بر صفحه ABC است و از این رو به خط مستقیم AC می رسد. این بدان معنی است که مثلث CC 1 A مستطیل است. با قضیه فیثاغورث:

یک مثلث راست قائم الزاویه را در نظر بگیرید. با قضیه فیثاغورث:

اما قبل از میلاد و مسیح اضلاع مخالف مستطیل هستند. از این رو ، قبل از میلاد \u003d میلادی. سپس:

زیرا ، و سپس. از آنجا که CC 1 \u003d AA 1 ، پس چه چیزی برای اثبات مورد نیاز بود.

مورب های یک موازی مستطیلی مستطیل برابر هستند.

بیایید اندازه گیری های ABC موازی را به عنوان a ، b ، c تعیین کنیم (شکل 6 را ببینید) ، سپس AC 1 \u003d CA 1 \u003d B 1 D \u003d DB 1 \u003d