کاربردهای فیزیکی کار انتگرال قطعی یک نیروی متغیر. کاربردهای مکانیکی انتگرال معین سطح چرخش

انتگرال معین (OI) به طور گسترده در کاربردهای عملی ریاضیات و فیزیک استفاده می شود.

به طور خاص، در هندسه، با کمک ROI، نواحی اشکال ساده و سطوح پیچیده، حجم اجسام چرخشی و اجسام با شکل دلخواه، طول منحنی ها در صفحه و در فضا یافت می شود.

در فیزیک و مکانیک نظری، RI برای محاسبه گشتاورهای ساکن، جرم ها و مراکز جرم منحنی ها و سطوح مواد، برای محاسبه کار نیروی متغیر در طول مسیر منحنی و غیره استفاده می شود.

مساحت یک شکل صاف

اجازه دهید مقداری صفحه در سیستم مختصات مستطیلی دکارتی $xOy$ از بالا با منحنی $y=y_(1) \left(x\right)$، از پایین توسط منحنی $y=y_(2) \left محدود شود. (x\right)$ و در سمت چپ و راست به ترتیب با خطوط عمودی $x=a$ و $x=b$. به طور کلی، مساحت چنین شکلی با استفاده از OR $S=\int \limits _(a)^(b)\left(y_(1) \left(x\right)-y_(2) بیان می شود. \left(x\right)\right)\cdot dx $.

اگر مقداری مسطح در سیستم مختصات مستطیلی دکارتی $xOy$ در سمت راست با منحنی $x=x_(1) \left(y\right)$ محدود شود، در سمت چپ - توسط منحنی $x=x_(2) محدود شود. ) \left(y\right) $ و در پایین و بالا به ترتیب با خطوط افقی $y=c$ و $y=d$، سپس مساحت چنین رقمی با استفاده از OI $S=\int بیان می شود. \limits _(c)^(d)\left(x_(1) \left(y\right)-x_(2) \left(y\right)\right)\cdot dy $.

اجازه دهید یک شکل صفحه (قطعه منحنی) در نظر گرفته شده در یک سیستم مختصات قطبی توسط نمودار تابع پیوسته $\rho =\rho \left(\phi \right)$ و همچنین توسط دو پرتوی که در زاویه $ عبور می کنند تشکیل شود. به ترتیب \phi =\alpha $ و $\phi =\beta $. فرمول محاسبه مساحت چنین بخش منحنی این است: $S=\frac(1)(2) \cdot \int \limits _(\alpha)^(\beta)\rho ^(2) \left (\phi \right )\cdot d\phi $.

طول قوس منحنی

اگر در بخش $\left[\alpha ,\; منحنی \beta \right]$ با معادله $\rho =\rho \left(\phi \right)$ در مختصات قطبی داده می‌شود، سپس طول قوس آن با استفاده از OR $L=\int \limits _ محاسبه می‌شود. (\alpha)^ (\beta)\sqrt(\rho ^(2) \left(\phi \right)+\rho "^(2) \left(\phi \right)) \cdot d\phi $.

اگر منحنی قسمت $\left$ با معادله $y=y\left(x\right)$ داده شود، طول قوس آن با استفاده از OR $L=\int \limits _(a) محاسبه می‌شود. ^(b)\sqrt(1 +y"^(2) \left(x\right)) \cdot dx $.

اگر در بخش $\left[\alpha ,\; \beta \right]$ منحنی به صورت پارامتری داده می‌شود، یعنی $x=x\left(t\right)$, $y=y\left(t\right)$، سپس طول قوس آن با استفاده از OR محاسبه می‌شود. $L=\ int \limits _(\alpha )^(\beta )\sqrt(x"^(2) \left(t\right)+y"^(2) \left(t\right)) \cdot dt $.

محاسبه حجم بدن از ناحیه مقاطع موازی

لازم است حجم یک جسم فضایی را پیدا کنیم که مختصات نقطه‌اش شرایط $a\le x\le b$ را برآورده می‌کند، و برای آن سطح مقطع $S\left(x\right)$ توسط صفحات عمود بر آن محور $Ox$ شناخته شده است.

فرمول محاسبه حجم چنین جسمی $V=\int \limits _(a)^(b)S\left(x\right)\cdot dx $ است.

حجم بدنه انقلاب

اجازه دهید یک تابع پیوسته غیرمنفی $y=y\left(x\right)$ روی بخش $\left$ داده شود و یک ذوزنقه منحنی (KrT) را تشکیل دهد. اگر این CRT را حول محور $Ox$ بچرخانیم، جسمی تشکیل می شود که به آن بدنه انقلاب می گویند.

محاسبه حجم یک جسم چرخشی یک مورد خاص از محاسبه حجم یک جسم از مناطق شناخته شده مقاطع موازی آن است. فرمول مربوطه $V=\int \limits _(a)^(b)S\left(x\right)\cdot dx =\pi \cdot \int \limits _(a)^(b)y^( 2) \left(x\right)\cdot dx$.

اجازه دهید مقداری صفحه در سیستم مختصات مستطیلی دکارتی $xOy$ از بالا با منحنی $y=y_(1) \left(x\right)$، از پایین توسط منحنی $y=y_(2) \left محدود شود. (x\right)$ ، که $y_(1) \left(x\right)$ و $y_(2) \left(x\right)$ توابع پیوسته غیر منفی هستند و خطوط عمودی $x=a$ و $x=b$ به ترتیب. سپس حجم جسمی که از چرخش این شکل به دور محور $Ox$ تشکیل شده است با OR $V=\pi \cdot \int \limits _(a)^(b)\left(y_(1) بیان می شود. ^(2) \left(x \right)-y_(2)^(2) \left(x\right)\right)\cdot dx $.

اجازه دهید مقداری صفحه در سیستم مختصات مستطیلی دکارتی $xOy$ در سمت راست با منحنی $x=x_(1) \left(y\right)$، در سمت چپ - توسط منحنی $x=x_(2) محدود شود. ) \left(y\right)$ ، که $x_(1) \left(y\right)$ و $x_(2) \left(y\right)$ توابع پیوسته غیر منفی و خطوط افقی $y هستند به ترتیب =c$ و $y= d$. سپس حجم جسمی که از چرخش این شکل حول محور $Oy$ تشکیل شده است با OI $V=\pi \cdot \int \limits _(c)^(d)\left(x_(1) بیان می شود. ^(2) \left(y \right)-x_(2)^(2) \left(y\right)\right)\cdot dy $.

سطح یک بدنه انقلاب

اجازه دهید یک تابع غیرمنفی $y=y\left(x\right)$ با مشتق پیوسته $y"\left(x\right)$ روی بخش $\left$ داده شود. این تابع یک KrT را تشکیل می دهد. ما این KrT را حول محور $Ox $ می چرخانیم، سپس خود بدنه چرخشی را تشکیل می دهد و قوس KrT سطح آن است. مساحت سطح چنین جسم چرخشی با فرمول $Q=2\cdot بیان می شود. \pi \cdot \int \limits _(a)^(b)y\left(x\right)\cdot \sqrt(1+y"^(2) \left(x\right)) \cdot dx $.

فرض کنید منحنی $x=\phi \left(y\right)$، که در آن $\phi \left(y\right)$ یک تابع غیرمنفی است که در بخش $c\le y\le d$ تعریف شده است. حول محور $Oy$ می چرخد. در این مورد، سطح بدنه تشکیل شده از چرخش به صورت OR $Q=2\cdot \pi \cdot \int \limits _(c)^(d)\phi \left(y\right) بیان می‌شود. \cdot \sqrt(1+\phi "^(2) \left(y\right)) \cdot dy $.

کاربردهای فیزیکی OI

برای محاسبه مسافت طی شده در زمان $t=T$ با سرعت متغیر $v=v\left(t\right)$ از نقطه مادی که در زمان $t=t_(0) $ شروع به حرکت کرده است، از OR $ استفاده کنید. S =\int \limits _(t_(0) )^(T)v\left(t\right)\cdot dt $.
برای محاسبه کار نیروی متغیر $F=F\left(x\right)$ اعمال شده به نقطه مادی که در امتداد یک مسیر مستطیل در امتداد محور $Ox$ از نقطه $x=a$ تا نقطه $x= حرکت می کند. b$ (جهت نیرو با جهت حرکت منطبق است) از ROI $A=\int \limits _(a)^(b)F\left(x\right)\cdot dx $ استفاده کنید.
گشتاورهای ایستا در مورد محورهای مختصات منحنی ماده $y=y\left(x\right)$ در بازه $\left$ با فرمول $M_(x) =\rho \cdot \int \limits _ بیان می شود. (a)^(b)y \left(x\right)\cdot \sqrt(1+y"^(2) \left(x\right)) \cdot dx $ و $M_(y) =\rho \ cdot \int \limits _(a)^(b)x\cdot \sqrt(1+y"^(2) \left(x\right)) \cdot dx $، که در آن چگالی خطی $\rho $ این منحنی ثابت فرض می شود.
مرکز جرم یک منحنی مادی نقطه‌ای است که کل جرم آن بطور مشروط به گونه‌ای متمرکز شود که گشتاورهای ساکن نقطه نسبت به محورهای مختصات برابر با گشتاورهای ساکن متناظر کل منحنی باشد.

فرمول های محاسبه مختصات مرکز جرم یک منحنی صفحه عبارتند از x_(C) =\frac(\int \limits _(a)^(b)x\cdot \sqrt(1+y"^(2) ) \left(x\ right)) \cdot dx )(\int \limits _(a)^(b)\sqrt(1+y"^(2) \left(x\right)) \cdot dx ) $ و $y_(C) =\frac(\int \limits _(a)^(b)y\left(x\right)\cdot \sqrt(1+y"^(2) \left(x\right) ) \cdot dx )( \int \limits _(a)^(b)\sqrt(1+y"^(2) \left(x\right)) \cdot dx) $.

گشتاورهای ساکن یک شکل تخت ماده به شکل KrT نسبت به محورهای مختصات با فرمول $M_(x) =\frac(1)(2) \cdot \rho \cdot \int \limits _(a بیان می‌شود. )^(b)y^(2) \left(x\right)\cdot dx $ و $M_(y) =\rho \cdot \int \limits _(a)^(b)x\cdot y\left (x\right)\cdot dx $.
مختصات مرکز جرم یک شکل مسطح ماده به شکل KrT که توسط منحنی $y=y\left(x\right)$ در بازه $\left$ تشکیل شده است، با فرمول $x_( محاسبه می شود. ج) =\frac(\int \limits _(a)^(b)x\cdot y\left(x\right)\cdot dx)(\int \limits _(a)^(b)y\left( x\right)\cdot dx ) $ و $y_( C) =\frac(\frac(1)(2) \cdot \int \limits _(a)^(b)y^(2) \left(x \right)\cdot dx )(\int \limits _ (a)^(b)y\left(x\right)\cdot dx) $.

مبحث 6.10. کاربردهای هندسی و فیزیکی انتگرال معین

1. مساحت یک ذوزنقه منحنی محدود شده توسط یک منحنی y \u003d f (x) (f (x)> 0)، خطوط مستقیم x \u003d a, x \u003d b و یک پاره [a, b] از محور Ox با فرمول محاسبه می شود

2. مساحت شکل محدود شده توسط منحنی های y = f (x) و y = g (x) (f (x)< g (x)) и прямыми х= a , x = b , находится по формуле

3. اگر منحنی با معادلات پارامتری x \u003d x (t)، y \u003d y (t) داده شود، سپس مساحت ذوزنقه منحنی محدود شده توسط این منحنی و خطوط مستقیم x \u003d a، x \u003d b، با فرمول پیدا می شود

4. فرض کنید S (x) سطح مقطع بدنه توسط صفحه ای عمود بر محور Ox باشد، سپس حجم قسمتی از بدن محصور بین صفحات x \u003d a و x \u003d باشد. عمود بر محور با فرمول پیدا می شود

5. اجازه دهید یک ذوزنقه منحنی که با یک منحنی y \u003d f (x) و خطوط مستقیم y \u003d 0، x \u003d a و x \u003d b محدود شده باشد، حول محور Ox بچرخد، سپس حجم بدنه چرخش برابر است. با فرمول محاسبه می شود

6. اجازه دهید یک ذوزنقه منحنی با یک منحنی x \u003d g (y) محدود شود و

خطوط مستقیم x \u003d 0، y \u003d c و y \u003d d، حول محور О y می چرخد، سپس حجم بدنه چرخش با فرمول محاسبه می شود

7. اگر یک منحنی صفحه مربوط به یک سیستم مختصات مستطیلی باشد و با معادله y \u003d f (x) (یا x \u003d F (y)) داده شود، طول قوس با فرمول تعیین می شود.

1. مساحت یک شکل صاف.

ناحیه یک ذوزنقه منحنی که توسط یک تابع غیرمنفی محدود شده است f(x)، محور آبسیسا و خطوط مستقیم x = a, x = b، به صورت S = ∫ a b f x d x تعریف می شود.

مساحت ذوزنقه منحنی شکل

مساحت یک شکل که توسط یک تابع محدود شده است f(x)تقاطع محور x با فرمول S = ∑ i تعریف می شود: f x ≥ 0 ∫ x i - 1 x i f x d x - ∑ i: f x< 0 ∫ x i - 1 x i | f x | d x , где x iصفر تابع هستند. به عبارت دیگر، برای محاسبه مساحت این رقم، باید بخش را تقسیم کنید تابع صفر f(x)به قطعات، تابع را ادغام کنید fبرای هر یک از بازه های ثبات حاصل، انتگرال ها را به طور جداگانه بر روی بخش هایی که تابع روی آن ها هستند، اضافه کنید. fعلامت های مختلفی می گیرد و دومی را از اولی کم می کند.

2. مساحت یک بخش منحنی.

مساحت یک بخش منحنی یک منحنی را در نظر بگیرید ρ = ρ (φ) در سیستم مختصات قطبی، جایی که ρ (φ) پیوسته و غیر منفی است [α; β] تابع. شکل محدود شده توسط یک منحنی ρ (φ) و پرتوها φ = α , φ = β ، بخش منحنی نامیده می شود. مساحت بخش منحنی برابر با S = 1 2 ∫ α β ρ 2 φ d φ است.

3. حجم یک بدنه انقلاب.

حجم بدنه انقلاب

اجازه دهید بدنه با چرخش حول محور OX یک ذوزنقه منحنی شکل که با یک پیوسته در قسمت محدود شده است، تشکیل شود. تابع f(x). حجم آن با فرمول V = π ∫ a b f 2 x d x بیان می شود.

در مورد مسئله یافتن حجم جسم از سطح مقطع

اجازه دهید بدن بین هواپیما محصور شود x = aو x = bو مساحت مقطع آن توسط صفحه ای که از نقطه عبور می کند ایکس، روی قطعه پیوسته است تابع σ(x). سپس حجم آن V = ∫ a b σ x d x است.

4. طول قوس منحنی.

اجازه دهید منحنی r → t = x t , y t , z t داده شود سپس طول قطعه آن با مقادیر محدود شود t = αو t = βبا فرمول S = ∫ α β x ′ t 2 + y ′ t 2 + z ′ t 2 dt بیان می شود.

طول قوس منحنی صفحه به طور خاص، طول یک منحنی مسطح تعریف شده در صفحه مختصات OXYمعادله y=f(x), a ≤ x ≤ b، با فرمول S = ∫ a b 1 + f ′ x 2 dx بیان می شود.

5. سطح چرخش.

سطح چرخش اجازه دهید سطح با چرخش حول محور OX نمودار تابع تعریف شود. y=f(x), a ≤ x ≤ b، و عملکرد fدر این بازه مشتق پیوسته دارد. سپس مساحت سطح چرخش با فرمول Π = 2 π ∫ a b f x 1 + f ′ x 2 d x تعیین می شود.

مساحت ذوزنقه منحنی شکل که از بالا با نمودار یک تابع محدود شده است y=f(x)، چپ و راست - مستقیم x=aو x=bبه ترتیب، از پایین - محور گاو نر، با فرمول محاسبه می شود

مساحت ذوزنقه منحنی شکل که در سمت راست با نمودار یک تابع محدود شده است x=φ(y)، بالا و پایین - مستقیم y=dو y=cبه ترتیب، در سمت چپ - محور اوه:

مساحت یک شکل منحنی که از بالا با نمودار یک تابع محدود شده است y 2 \u003d f 2 (x)، زیر - نمودار تابع y 1 \u003d f 1 (x)، چپ و راست - مستقیم x=aو x=b:

مساحت یک شکل منحنی که در سمت چپ و راست توسط نمودارهای تابع محدود شده است x 1 \u003d φ 1 (y)و x 2 \u003d φ 2 (y)، بالا و پایین - مستقیم y=dو y=cبه ترتیب:

حالتی را در نظر بگیرید که خط محدود کننده ذوزنقه منحنی از بالا توسط معادلات پارامتریک داده می شود. x = φ 1 (t), y \u003d φ 2 (t)، جایی که α ≤ t ≤ β, φ 1 (α)=a, φ 1 (β)=b. این معادلات تابعی را تعریف می کنند y=f(x)در بخش [ الف، ب]. مساحت ذوزنقه منحنی با فرمول محاسبه می شود

بیایید به یک متغیر جدید برویم x = φ 1 (t)، سپس dx = φ" 1 (t) dt، آ y=f(x)=f(φ 1 (t))=φ 2 (t)، بنابراین \begin(نمایش)

مساحت در مختصات قطبی

یک بخش منحنی را در نظر بگیرید OAB، محدود به خط داده شده توسط معادله ρ=ρ(φ) در مختصات قطبی، دو پرتو OAو OB، برای کدام φ=α , φ=β .

ما بخش را به بخش های ابتدایی تقسیم می کنیم OM k-1 M k ( k=1، …، n, M 0 = A, Mn=B). با نشان دادن Δφkزاویه بین تیرها OM k-1و OM kتشکیل زاویه با محور قطبی φk-1و φkبه ترتیب. هر یک از بخش های ابتدایی OM k-1 M kبا یک بخش دایره ای با شعاع جایگزین کنید ρ k \u003d ρ (φ "k)، جایی که φ" k- مقدار زاویه φ از فاصله [ φk-1، φk] و زاویه مرکزی Δφk. مساحت آخرین بخش با فرمول بیان می شود .

مساحت بخش "پله ای" را بیان می کند که تقریباً جایگزین بخش داده شده می شود OAB.

منطقه بخش OABحد مساحت بخش "پله ای" در نامیده می شود n→∞و λ=max Δφ k → 0:

زیرا ، آن

طول قوس منحنی

اجازه دهید در فاصله [ الف، ب] یک تابع متمایز داده شده است y=f(x)، که نمودار آن کمان است. پاره خط [ الف، ب] تقسیم به nنقاط قطعات x 1, x2, …, xn-1. این نقاط مطابق با نقاط خواهد بود M1, M2, …, Mn-1کمان ها، آنها را با یک خط شکسته به هم وصل کنید که به آن خط شکسته محاط شده در کمان می گویند. محیط این خط شکسته با نشان داده می شود s n، به این معنا که

تعریف. طول قوس خط حد محیط چندخط حک شده در آن است، زمانی که تعداد پیوندها M k-1 M kبه طور نامحدود افزایش می یابد و طول بزرگترین آنها به صفر می رسد:

که در آن λ طول بزرگترین پیوند است.

طول کمان را از روی برخی از نقاط آن می شماریم، به عنوان مثال، آ. اجازه دهید در نقطه M(x,y)طول قوس است س، و در نقطه M"(x+Δx,y+Δy)طول قوس است s+Δs، جایی که، i>Δs - طول قوس. از یک مثلث MNM"طول وتر را پیدا کنید: .

از ملاحظات هندسی چنین بر می آید که

یعنی کمان بی نهایت کوچک خط و وتر فرعی آن معادل هستند.

بیایید فرمول بیان کننده طول وتر را تبدیل کنیم:

با عبور از حد در این برابری، فرمولی برای مشتق تابع بدست می آوریم s=s(x):

که از آن می یابیم

این فرمول دیفرانسیل قوس منحنی صفحه را بیان می کند و دارای یک ساده است حس هندسی: قضیه فیثاغورث را برای یک مثلث بی نهایت کوچک بیان می کند MTN (ds=MT, ).

دیفرانسیل قوس منحنی فضا توسط

یک قوس از یک خط فضایی را در نظر بگیرید که با معادلات پارامتریک به دست می‌آید

جایی که α ≤ t ≤ β, φ i (t) (i=1، 2، 3) توابع قابل تمایز آرگومان هستند تی، آن

ادغام این برابری در بازه [ α, β ]، فرمولی برای محاسبه طول این قوس خط به دست می آوریم

اگر خط در یک هواپیما باشد اکسی، آن z=0برای همه t∈[α، β]، از همین رو

در حالتی که خط مسطح با معادله داده می شود y=f(x) (a≤x≤b)، جایی که f(x)یک تابع قابل تمایز است، آخرین فرمول شکل می گیرد

اجازه دهید خط صاف با معادله داده شود ρ=ρ(φ) (α≤φ≤β ) در مختصات قطبی. در این حالت معادلات پارامتریک خط را داریم x=ρ(φ) cos φ, y=ρ(φ) sin φ، که در آن زاویه قطبی به عنوان پارامتر در نظر گرفته می شود φ . از آنجا که

سپس فرمول بیان کننده طول قوس خط ρ=ρ(φ) (α≤φ≤β ) در مختصات قطبی شکل دارد

حجم بدن

اگر مساحت هر مقطعی از این جسم عمود بر یک جهت مشخص باشد، حجم جسمی را پیدا کنیم.

اجازه دهید این جسم را با صفحات عمود بر محور به لایه های ابتدایی تقسیم کنیم گاو نرو با معادلات تعریف می شود x=const. برای هر ثابت x∈منطقه شناخته شده S=S(x)مقطع این بدنه

لایه ابتدایی بریده شده توسط هواپیما x=x k-1, x=x k (k=1، …، n, x 0 =a, xn=b)، آن را با یک استوانه با ارتفاع جایگزین می کنیم ∆x k =x k -x k-1و مساحت پایه S(ξk), ξk ∈.

حجم استوانه ابتدایی مشخص شده با فرمول بیان می شود Δvk =E(ξk)Δxk. بیایید همه این محصولات را خلاصه کنیم

که مجموع انتگرال تابع داده شده است S=S(x)در بخش [ الف، ب]. حجم یک بدنه پلکانی را بیان می کند که از استوانه های ابتدایی تشکیل شده و تقریباً جایگزین جسم داده شده است.

حجم یک جسم معین، حد حجم جسم پلکانی مشخص شده در است λ→0 ، جایی که λ - طول بزرگترین بخش ابتدایی ∆x k. با نشان دادن Vحجم جسم داده شده، سپس طبق تعریف

از طرف دیگر،

بنابراین، حجم بدنه برای مقاطع عرضی داده شده با فرمول محاسبه می شود

اگر جسم از چرخش حول یک محور تشکیل شده باشد گاو نرذوزنقه منحنی شکل که از بالا با یک قوس خط پیوسته محدود شده است y=f(x)، جایی که a≤x≤b، آن S(x)=πf 2 (x)و آخرین فرمول تبدیل می شود:

اظهار نظر. حجم جسمی که با چرخش ذوزنقه منحنی شکل که در سمت راست توسط نمودار تابع محدود شده است به دست می آید. x=φ(y) (c ≤ x ≤ d، حول محور اوهبا فرمول محاسبه می شود

سطح چرخش

سطحی را که با چرخش قوس خط بدست می آید در نظر بگیرید y=f(x) (a≤x≤b) حول محور گاو نر(فرض کنید که تابع y=f(x)مشتق پیوسته دارد). ما مقدار را ثابت می کنیم x∈، آرگومان تابع افزایش می یابد dx، که مربوط به "حلقه ابتدایی" به دست آمده از چرخش قوس ابتدایی است Δl. این "حلقه" با یک حلقه استوانه ای جایگزین می شود - سطح جانبی بدن که از چرخش یک مستطیل با پایه ای برابر با دیفرانسیل قوس تشکیل شده است. dl، و ارتفاع h=f(x). با برش دادن آخرین حلقه و باز کردن آن، یک نوار با عرض بدست می آوریم dlو طول 2πy، جایی که y=f(x).

بنابراین، دیفرانسیل سطح با فرمول بیان می شود

این فرمول سطح به دست آمده از چرخش قوس یک خط را بیان می کند y=f(x) (a≤x≤b) حول محور گاو نر.

صفحه اصلی > سخنرانی

سخنرانی 18. کاربردهای یک انتگرال معین.

18.1. محاسبه مساحت شکل های صفحه.

مشخص است که انتگرال معین روی یک قطعه، مساحت یک ذوزنقه منحنی است که با نمودار تابع f(x) محدود شده است. اگر نمودار زیر محور x قرار گیرد، یعنی. f(x)< 0, то площадь имеет знак “-“, если график расположен выше оси Ох, т.е. f(x) >0، سپس منطقه دارای علامت "+" است.

از فرمول برای یافتن مساحت کل استفاده می شود.

اگر معادلات این خطوط مشخص باشد، مساحت یک شکل محدود شده توسط برخی از خطوط را می توان با استفاده از انتگرال های خاصی پیدا کرد.

مثال.مساحت شکل محدود شده با خطوط y \u003d x, y \u003d x 2, x \u003d 2 را پیدا کنید.

ناحیه مورد نظر (در شکل سایه دار) را می توان با فرمول پیدا کرد:

18.2. پیدا کردن مساحت یک بخش منحنی.

برای یافتن مساحت یک بخش منحنی، یک سیستم مختصات قطبی را معرفی می کنیم. معادله منحنی که بخش را در این سیستم مختصات محدود می کند به شکل  = f() است، که در آن  طول بردار شعاع اتصال قطب به یک نقطه دلخواه در منحنی است و  زاویه میل است. این بردار شعاع به محور قطبی.

مساحت یک بخش منحنی را می توان با فرمول پیدا کرد

18.3. محاسبه طول قوس یک منحنی.

y y = f(x)

S من y i

طول چند خطی که با قوس مطابقت دارد را می توان به صورت پیدا کرد
.

سپس طول قوس است
.

به دلایل هندسی:

در همان زمان

سپس می توان آن را نشان داد

آن ها

اگر معادله منحنی به صورت پارامتری داده شود، با در نظر گرفتن قوانین محاسبه مشتق پارامتری داده شده، به دست می آوریم.

که در آن x = (t) و y = (t).

اگر تنظیم شود منحنی فضاییو x = (t)، y = (t) و z = Z(t)، سپس

اگر منحنی روی مختصات قطبی، آن

،  = f().

مثال:محیط بدست آمده با معادله x 2 + y 2 = r 2 را بیابید.

1 راه.اجازه دهید متغیر y را از معادله بیان کنیم.

بیایید مشتق را پیدا کنیم

سپس S = 2r. ما فرمول معروف محیط دایره را بدست آوردیم.

2 راه.اگر معادله داده شده را در یک سیستم مختصات قطبی نشان دهیم، به دست می آید: r 2 cos 2  + r 2 sin 2  = r 2، یعنی. تابع  = f() = r،
سپس

18.4. محاسبه حجم اجسام.

محاسبه حجم جسم از نواحی شناخته شده مقاطع موازی آن.

اجازه دهید بدنه ای با حجم V وجود داشته باشد. مساحت هر مقطع بدنه، Q، به عنوان تابع پیوسته Q = Q(x) شناخته می شود. بیایید بدنه را با مقاطع عرضی که از نقاط x i تقسیم قطعه می گذرند به "لایه ها" تقسیم کنیم. زیرا تابع Q(x) در برخی از بخش های میانی پارتیشن پیوسته است، سپس مقادیر حداکثر و حداقل خود را می گیرد. بیایید آنها را بر این اساس M i و m i تعیین کنیم.

اگر روی این بزرگ‌ترین و کوچک‌ترین بخش‌ها استوانه‌هایی با ژنراتورهای موازی با محور x بسازیم، حجم این استوانه‌ها به ترتیب برابر با M i x i و m i x i در اینجا x i = x i - x i -1 خواهد بود.

با ساختن چنین ساختارهایی برای تمام بخش های پارتیشن، استوانه هایی را به دست می آوریم که حجم آنها به ترتیب،
و
.

از آنجایی که مرحله پارتیشن  به سمت صفر میل می کند، این مجموع یک حد مشترک دارند:

بنابراین، حجم بدن را می توان با فرمول پیدا کرد:

عیب این فرمول این است که برای یافتن حجم باید تابع Q(x) را دانست که برای اجسام پیچیده بسیار مشکل ساز است.

مثال:حجم کره ای به شعاع R را پیدا کنید.

در مقاطع توپ، دایره هایی با شعاع متغیر y به دست می آید. بسته به مختصات x فعلی، این شعاع با فرمول بیان می شود
.

سپس تابع سطح مقطع به شکل Q(x) = است
.

حجم توپ را بدست می آوریم:

مثال:حجم هرم دلخواه با ارتفاع H و مساحت پایه S را پیدا کنید.

هنگام عبور از هرم با صفحات عمود بر ارتفاع، در مقطع، ارقامی شبیه به قاعده بدست می آوریم. ضریب شباهت این ارقام برابر است با نسبت x / H که در آن x فاصله صفحه مقطع تا بالای هرم است.

از هندسه مشخص است که نسبت مساحت های شکل های مشابه برابر است با ضریب شباهت مجذور، یعنی.

از اینجا تابع ناحیه های مقطعی را دریافت می کنیم:

پیدا کردن حجم هرم:

18.5. حجم بدنه های انقلاب.

منحنی را که با معادله y = f(x) در نظر می گیریم. فرض کنید تابع f(x) روی قطعه پیوسته است. اگر ذوزنقه منحنی منطبق با آن با پایه های a و b حول محور Ox بچرخد، به اصطلاح به دست می آوریم. بدنه انقلاب.

y = f(x)

زیرا هر بخش از بدن در صفحه x = const دایره ای با شعاع است
، سپس حجم بدنه چرخش را می توان با استفاده از فرمول به دست آمده در بالا به راحتی پیدا کرد:

18.6. سطح یک بدنه انقلاب.

M i B

تعریف: سطح چرخشمنحنی AB حول یک محور معین حدی است که نواحی سطوح چرخش خطوط شکسته محاط شده در منحنی AB به آن تمایل دارند، زمانی که بزرگترین طول پیوندهای این خطوط شکسته به صفر می‌رسد.

بیایید قوس AB را با نقاط M 0 , M 1 , M 2 , … , M n به n قسمت تقسیم کنیم. رئوس چند خط حاصل دارای مختصات x i و y i هستند. هنگام چرخش خط شکسته حول محور، سطحی متشکل از سطوح جانبی مخروط های بریده به دست می آوریم که مساحت آن برابر با P i است. این ناحیه را می توان با استفاده از فرمول پیدا کرد:

در اینجا S i طول هر وتر است.

ما قضیه لاگرانژ را اعمال می کنیم (ر.ک. قضیه لاگرانژ) به رابطه
.