به این تابع ضد اشتقاق عملکرد if گفته می شود. درس فوق برنامه - ضد اشتقاق. ادغام. قوانین محاسبه انتگرال برای افراد ساختگی

ضد اشتقاق

تعریف عملکرد ضد تولید

• تابع y \u003d F (x)ضد سازنده عملکرد نامیده می شود y \u003d f (x) در یک بازه مشخص ایکس،اگر برای همه باشد ایکس ∈ ایکس برابری برقرار است: F ′ (x) \u003d f (x)

به دو روش قابل خواندن است:

1. f مشتق یک تابع F
2. F ضد اشتقاق برای عملکرد f

خاصیت آنتی ویروس ها

• اگر یک F (x)- ضد عملکرد برای عملکرد f (x) در یک بازه معین ، تابع f (x) بی نهایت ضد ویروسی زیادی دارد ، و همه این ضد پیری ها را می توان به شکل نوشت F (x) + C، جایی که C یک ثابت دلخواه است.

تفسیر هندسی

• نمودارهای تمام آنتی ویروس های یک عملکرد معین f (x) با استفاده از ترجمه های موازی در امتداد محور O از نمودار هر یک از آنتی ویروس ها به دست می آید در.

قوانین محاسبه آنتی ویروس ها

1. ضریب جمع برابر است با مجموع آنتی ویروس ها... اگر یک F (x) - ضد اشتقاق برای f (x)، و G (x) ضد اشتها برای است g (x)سپس F (x) + G (x) - ضد اشتقاق برای f (x) + g (x).
2. عامل ثابت را می توان به خارج از علامت مشتق منتقل کرد... اگر یک F (x) - ضد اشتقاق برای f (x)و ک - ثابت ، پس k F (x) - ضد اشتقاق برای k f (x).
3. اگر یک F (x) - ضد اشتقاق برای f (x)و k ، b - دائمی ، و k ≠ 0سپس 1 / k F (kx + b) - ضد اشتقاق برای f (kx + b).

یاد آوردن!

هر عملکردی F (x) \u003d x 2 + C ، جایی که C یک ثابت دلخواه است ، و فقط چنین تابعی ضد عملکرد است f (x) \u003d 2 برابر.

• برای مثال:

  F "(x) \u003d (x 2 + 1)" \u003d 2x \u003d f (x) ؛

  f (x) \u003d 2x ، از آنجا که F "(x) \u003d (x 2 - 1)" \u003d 2x \u003d f (x) ؛

  f (x) \u003d 2x ، از آنجا که F "(x) \u003d (х 2 –3)" \u003d 2x \u003d f (x) ؛

رابطه بین نمودارهای یک تابع و ضد اشتقاق آن:

1. اگر نمودار تابع باشد f (x)\u003e 0 F (x) در این فاصله افزایش می یابد.
2. اگر نمودار تابع باشد f (x)<0 در فاصله ، سپس نمودار آنتی ویروس آن F (x) در این فاصله کاهش می یابد.
3. اگر یک f (x) \u003d 0، نمودار آنتی ویروس آن است F (x) در این مرحله از افزایش به کاهش (یا بالعکس) تغییر می کند.

برای نشان دادن ضد اشتقاق ، از علامت انتگرال نامعین استفاده می شود ، یعنی انتگرال بدون نشان دادن حدود یکپارچه سازی.

انتگرال نامعین

تعریف:

• انتگرال نامعین یک تابع f (x) عبارت F (x) + C است ، یعنی مجموعه تمام ضد مشتقات یک تابع معین f (x). انتگرال نامعین به صورت زیر مشخص می شود: \\ int f (x) dx \u003d F (x) + C

• f (x)- یکپارچه نامیده می شود ؛
• f (x) dx- یکپارچه نامیده می شود ؛
• ایکس - متغیر ادغام نامیده می شود.
• F (x) - یکی از آنتی ویروس های عملکرد f (x) ؛
• از جانب یک ثابت دلخواه است.

خواص انتگرال نامشخص

1. مشتق انتگرال نامشخص برابر است با انتگرال: (\\ int f (x) dx) \\ prime \u003d f (x).
2. عامل ثابت یکپارچه را می توان خارج از علامت انتگرال گرفت: \\ int k \\ cdot f (x) dx \u003d k \\ cdot \\ int f (x) dx.
3. انتگرال حاصل جمع (اختلاف) توابع برابر است با جمع (اختلاف) انتگرال این توابع: \\ int (f (x) \\ pm g (x)) dx \u003d \\ int f (x) dx \\ pm \\ int g (x) dx.
4. اگر یک k ، bثابت هستند ، و k ≠ 0 ، بنابراین \\ int f (kx + b) dx \u003d \\ frac (1) (k) \\ cdot F (kx + b) + C.

جدول آنتی ویروس ها و انتگرال های نامعین

تابع f (x)	ضد اشتقاق F (x) + C	انتگرال نامشخص \\ int f (x) dx \u003d F (x) + C
0	ج	\\ int 0 dx \u003d C
f (x) \u003d k	F (x) \u003d kx + C	\\ int kdx \u003d kx + C
f (x) \u003d x ^ m ، m \\ not \u003d -1	F (x) \u003d \\ frac (x ^ (m + 1)) (m + 1) + C	\\ int x (^ m) dx \u003d \\ frac (x ^ (m + 1)) (m + 1) + C
f (x) \u003d \\ frac (1) (x)	F (x) \u003d l n \\ lvert x \\ rvert + C	\\ int \\ frac (dx) (x) \u003d l n \\ lvert x \\ rvert + C
f (x) \u003d e ^ x	F (x) \u003d e ^ x + C	\\ int e (^ x) dx \u003d e ^ x + C
f (x) \u003d a ^ x	F (x) \u003d \\ frac (a ^ x) (l na) + C	\\ int a (^ x) dx \u003d \\ frac (a ^ x) (l na) + C
f (x) \u003d \\ sin x	F (x) \u003d - \\ cos x + C	\\ int \\ sin x dx \u003d - \\ cos x + C
f (x) \u003d \\ cos x	F (x) \u003d \\ sin x + C	\\ int \\ cos x dx \u003d \\ sin x + C
f (x) \u003d \\ frac (1) (\\ sin (^ 2) x)	F (x) \u003d - \\ ctg x + C	\\ int \\ frac (dx) (\\ sin (^ 2) x) \u003d - \\ ctg x + C
f (x) \u003d \\ frac (1) (\\ cos (^ 2) x)	F (x) \u003d \\ tg x + C	\\ int \\ frac (dx) (\\ sin (^ 2) x) \u003d \\ tg x + C
f (x) \u003d \\ sqrt (x)	F (x) \u003d \\ frac (2x \\ sqrt (x)) (3) + C
f (x) \u003d \\ frac (1) (\\ sqrt (x))	F (x) \u003d 2 \\ sqrt (x) + C
f (x) \u003d \\ frac (1) (\\ sqrt (1-x ^ 2))	F (x) \u003d \\ arcsin x + C	\\ int \\ frac (dx) (\\ sqrt (1-x ^ 2)) \u003d \\ arcsin x + C
f (x) \u003d \\ frac (1) (\\ sqrt (1 + x ^ 2))	F (x) \u003d \\ arctan x + C	\\ int \\ frac (dx) (\\ sqrt (1 + x ^ 2)) \u003d \\ arctg x + C
f (x) \u003d \\ frac (1) (\\ sqrt (a ^ 2-x ^ 2))	F (x) \u003d \\ arcsin \\ frac (x) (a) + C	\\ int \\ frac (dx) (\\ sqrt (a ^ 2-x ^ 2)) \u003d \\ arcsin \\ frac (x) (a) + C
f (x) \u003d \\ frac (1) (\\ sqrt (a ^ 2 + x ^ 2))	F (x) \u003d \\ arctg \\ frac (x) (a) + C	\\ int \\ frac (dx) (\\ sqrt (a ^ 2 + x ^ 2)) \u003d \\ frac (1) (a) \\ arctg \\ frac (x) (a) + C
f (x) \u003d \\ frac (1) (1 + x ^ 2)	F (x) \u003d \\ arctg + C	\\ int \\ frac (dx) (1 + x ^ 2) \u003d \\ arctg + C
f (x) \u003d \\ frac (1) (\\ sqrt (x ^ 2-a ^ 2)) (a \\ not \u003d 0)	F (x) \u003d \\ frac (1) (2a) l n \\ lvert \\ frac (x-a) (x + a) \\ rvert + C	\\ int \\ frac (dx) (\\ sqrt (x ^ 2-a ^ 2)) \u003d \\ frac (1) (2a) l n \\ lvert \\ frac (x-a) (x + a) \\ rvert + C
f (x) \u003d \\ tg x	F (x) \u003d - l n \\ lvert \\ cos x \\ rvert + C	\\ int \\ tg x dx \u003d - l n \\ lvert \\ cos x \\ rvert + C
f (x) \u003d \\ ctg x	F (x) \u003d l n \\ lvert \\ sin x \\ rvert + C	\\ int \\ ctg x dx \u003d l n \\ lvert \\ sin x \\ rvert + C
f (x) \u003d \\ frac (1) (\\ sin x)	F (x) \u003d l n \\ lvert \\ tg \\ frac (x) (2) \\ rvert + C	\\ int \\ frac (dx) (\\ sin x) \u003d l n \\ lvert \\ tg \\ frac (x) (2) \\ rvert + C
f (x) \u003d \\ frac (1) (\\ cos x)	F (x) \u003d l n \\ lvert \\ tg (\\ frac (x) (2) + \\ frac (\\ pi) (4)) \\ rvert + C	\\ int \\ frac (dx) (\\ cos x) \u003d l n \\ lvert \\ tg (\\ frac (x) (2) + \\ frac (\\ pi) (4)) \\ rvert + C

فرمول نیوتن-لایب نیتس

بگذار f (x) این عملکرد ، F آنتی ویروس خودسرانه آن است.

\\ int_ (a) ^ (b) f (x) dx \u003d F (x) | _ (a) ^ (b)\u003d F (b) - F (a)

جایی که F (x) - ضد اشتقاق برای f (x)

یعنی انتگرال تابع f (x) در فاصله برابر است با اختلاف داروهای ضد اشتها در نقاط ب و آ.

ناحیه ذوزنقه ای منحنی

ذوزنقه منحنی یک شکل است که توسط نمودار یک تابع غیر منفی و مداوم روی یک بخش محدود شده است f، محور Ox و خطوط مستقیم x \u003d یک و x \u003d ب.

منطقه یک ذوزنقه منحنی با فرمول نیوتن-لایب نیتس یافت می شود:

S \u003d \\ int_ (a) ^ (b) f (x) dx

تعریف داروی ضد اشتها.

ضد مشتق یک تابع f (x) در فاصله (a؛ b) یک تابع F (x) است به طوری که برابری هر x از یک بازه داده شده برقرار است.

اگر این واقعیت را در نظر بگیریم که مشتق ثابت C برابر با صفر است ، پس برابری ... بنابراین ، تابع f (x) برای ثابت C دلخواه دارای مجموعه ای از ضد مشتقات F (x) + C است و این ضد مشتقات با یک مقدار ثابت دلخواه از یکدیگر متفاوت هستند.

تعریف انتگرال نامعین.

به کل مجموعه آنتی ویروس های تابعی f (x) انتگرال نامعین این عملکرد گفته می شود و نشان داده می شود .

اصطلاح گفته می شود یکپارچهو f (x) - یکپارچه... انتگرال دیفرانسیل تابع f (x) است.

عمل یافتن یک تابع ناشناخته برای یک دیفرانسیل معین نامیده می شود نا معلوم یکپارچه سازی ، زیرا نتیجه یکپارچه سازی یک تابع F (x) نیست ، بلکه مجموعه آنتی ویروس های F (x) + C است.

بر اساس خصوصیات مشتق ، می توان فرموله و اثبات کرد خصوصیات انتگرال نامشخص (خواص آنتی ویروس).

برابري هاي مياني ويژگي هاي اول و دوم انتگرال نامعين براي توضيح داده مي شود.

برای اثبات خصوصیات سوم و چهارم ، کافی است مشتقات طرف راست برابرها را پیدا کنید:

این مشتقات مساوی با انتگرال ها هستند ، که اثبات آن به موجب ویژگی اول است. در آخرین انتقالها نیز استفاده می شود.

بنابراین ، مسئله یکپارچه سازی معکوس مسئله تمایز است ، و یک ارتباط بسیار نزدیک بین این مشکلات وجود دارد:

• اولین ویژگی به فرد اجازه می دهد تا ادغام را بررسی کند. برای بررسی صحت یکپارچگی انجام شده ، کافی است مشتق نتیجه بدست آمده را محاسبه کنید. اگر مشخص شود که تابعی که در نتیجه تمایز بدست آمده برابر با یکپارچه است ، این بدان معنی است که ادغام به درستی انجام شده است.
• خاصیت دوم انتگرال نامعین به ما اجازه می دهد که ضد اشتقاق آن را از دیفرانسیل شناخته شده تابع پیدا کنیم. محاسبه مستقیم انتگرال های نامعین بر اساس این ویژگی است.

بیایید به یک مثال نگاه کنیم.

مثال.

ضد مشتق تابعی را پیدا کنید که مقدار آن برابر با یک باشد در x \u003d 1.

تصمیم گیری

ما از حساب دیفرانسیل می دانیم که (فقط به جدول مشتقات توابع اساسی نگاه کنید). به این ترتیب ... توسط خاصیت دوم ... یعنی ، ما ضد ویروسی زیادی داریم. برای x \u003d 1 مقدار را بدست می آوریم. به شرط ، این مقدار باید برابر با یک باشد ، بنابراین ، C \u003d 1. آنتی ویروس مورد نظر شکل می گیرد.

مثال.

انتگرال نامعین را پیدا کنید و نتیجه را با تمایز بررسی کنید.

تصمیم گیری

با فرمول سینوسی دو زاویه از مثلثات ، بنابراین

عملکرد ضد اشتقاقی و انتگرال نامعین

واقعیت 1. ادغام عملی معکوس برای تمایز است ، یعنی بازیابی یک تابع از مشتق شناخته شده این تابع. عملکرد بدین ترتیب بازیابی شد F(ایکس) نامیده میشود ضد اشتقاق برای عملکرد f(ایکس).

تعریف 1. عملکرد F(ایکس f(ایکس) در برخی از فاصله ایکساگر برای همه ارزش ها باشد ایکس از این فاصله ، برابری F "(ایکس)=f(ایکس) ، یعنی این عملکرد f(ایکس) مشتق از عملکرد ضد مشتق است F(ایکس). .

به عنوان مثال ، عملکرد F(ایکس) \u003d گناه ایکس آنتی ویروس عملکرد است f(ایکس) \u003d cos ایکس در کل خط عدد ، زیرا برای هر مقدار x (گناه ایکس) "\u003d (cos ایکس) .

تعریف 2. انتگرال نامعین یک تابع f(ایکس) مجموعه تمام آنتی ویروسهای آن است... در این حالت از رکورد استفاده می شود

∫

f(ایکس)dx

,

علامت کجاست ∫ علامت انتگرال ، تابع نامیده می شود f(ایکس) آیا یکپارچه است ، و f(ایکس)dx - یک مجتمع

بنابراین اگر F(ایکس) برخی از داروهای ضد اشتها برای f(ایکس)، سپس

∫

f(ایکس)dx = F(ایکس) +ج

جایی که ج - یک ثابت دلخواه (ثابت).

برای فهمیدن معنای مجموعه آنتی ویروس های یک تابع به عنوان یک انتگرال نامشخص ، تشبیه زیر مناسب است. بگذارید درب باشد (درب چوبی سنتی). عملکرد آن "در بودن" است. در از چه ساخته شده است؟ ساخته شده از چوب. این بدان معناست که مجموعه آنتی ویروژن های انتگرال "to be a door" ، یعنی انتگرال نامعین آن ، تابع "to be a tree + C" است ، جایی که C یک ثابت است ، که در این زمینه می تواند به عنوان مثال ، یک نوع درخت باشد. درست مثل اینکه درب با استفاده از برخی ابزارها از چوب ساخته شده است ، مشتق یک تابع نیز با استفاده از یک عملکرد ضد مشتق "ساخته شده" است فرمولی که با مطالعه مشتق یاد گرفتیم .

سپس جدول توابع اشیا common مشترک و ضد مشتقات مربوط به آنها ("در بودن" - "درخت بودن" ، "قاشق بودن" - "فلز بودن" و غیره) شبیه جدول انتگرال های اساسی نامشخص است که در زیر آورده خواهد شد در جدول انتگرال های نامعلوم ، توابع مشترک با نشانگر ضد مشتقاتی که این توابع از آنها ساخته می شود ، لیست شده است. در بخشی از مشکلات برای یافتن یک انتگرال نامعین ، چنین انتگرال هایی آورده شده است که بدون ملاحظات خاص ، می توانند مستقیماً ادغام شوند ، یعنی مطابق جدول انتگرال های نامعین. در مشکلات پیچیده تر ، ابتدا باید انتگرال تغییر شکل داده شود تا بتوان از انتگرال جدولی استفاده کرد.

واقعیت 2. هنگام بازیابی عملکرد به عنوان ضد اشتقاقی ، باید یک ثابت دلخواه (ثابت) را در نظر بگیریم ج، و برای اینکه لیستی از مواد ضدمخلوقی با ثابتهای مختلف از 1 تا بی نهایت ننویسید ، باید مجموعه ای از آنتی ویروس ها را با ثابت دلخواه بنویسید جمانند این: 5 ایکس+ С. بنابراین ، یک ثابت دلخواه (ثابت) در بیان ماده ضد پادشاهی گنجانده شده است ، از آنجا که ضد اشتقاق می تواند یک عملکرد باشد ، به عنوان مثال ، 5 ایکس³ + 4 یا 5 ایکس³ + 3 و تمایز 4 یا 3 یا هر ثابت دیگر ناپدید می شود.

اجازه دهید ما مسئله یکپارچه سازی را مطرح کنیم: برای این عملکرد f(ایکس) چنین عملکردی را پیدا کنید F(ایکس), مشتق آن برابر است f(ایکس).

مثال 1مجموعه آنتی ویروس های یک عملکرد را پیدا کنید

تصمیم گیری برای این عملکرد ، ضد اشتها عملکرد است

تابع F(ایکس) آنتی ویروس برای عملکرد نامیده می شود f(ایکس) اگر مشتق باشد F(ایکس) برابر است با f(ایکس) ، یا ، که همان چیزی است ، دیفرانسیل F(ایکس) برابر است با f(ایکس) dx، یعنی

(2)

بنابراین ، یک تابع ضد اشتقاق یک عملکرد است. با این حال ، این تنها داروی ضد اشتها نیست. آنها همچنین به عنوان عملکرد عمل می کنند

جایی که از جانب آیا یک ثابت دلخواه است. این را می توان با تمایز تأیید کرد.

بنابراین ، اگر یک داروی ضد اشتقاقی وجود داشته باشد ، برای آن تعداد بی شماری از ضد اشتها وجود دارد که با یک مدت ثابت متفاوت هستند. تمام مواد ضد انحصاری برای عملکرد به شکل بالا نوشته شده اند. این از قضیه زیر ناشی می شود.

قضیه (بیان رسمی واقعیت 2).اگر یک F(ایکس) آیا ضد عملکرد است f(ایکس) در برخی از فاصله ایکس، پس از آن هر ماده مخدر دیگر برای f(ایکس) در همان بازه زمانی می تواند نشان داده شود F(ایکس) + ججایی که از جانبآیا یک ثابت دلخواه است.

در مثال بعدی ، ما در حال حاضر به جدول انتگرال ها اشاره می کنیم ، که پس از خصوصیات انتگرال نامشخص در بخش 3 آورده خواهد شد. ما این کار را قبل از خواندن کل جدول انجام می دهیم تا اصل مطالب فوق مشخص شود. و بعد از جدول و خصوصیات ، به طور کامل از آنها در ادغام استفاده خواهیم کرد.

مثال 2مجموعه ای از مواد ضد اشتها را پیدا کنید:

تصمیم گیری ما مجموعه ای از توابع ضد اشتقاقی را پیدا می کنیم که این توابع از آنها ساخته می شود. در هنگام ذکر فرمول ها از جدول انتگرال ها ، در حال حاضر ، فقط قبول کنید که چنین فرمول هایی وجود دارد ، و ما کل جدول انتگرال های نامعین را کمی بیشتر مطالعه خواهیم کرد.

1) استفاده از فرمول (7) از جدول انتگرال ها برای n \u003d 3 ، دریافت می کنیم

2) با استفاده از فرمول (10) از جدول انتگرال ها برای n \u003d 1/3 ، ما داریم

3) از آنجا که

سپس با فرمول (7) در n \u003d -1/4 پیدا کنید

انتگرال خود تابع نیست f ، و محصول آن توسط دیفرانسیل است dx ... این در درجه اول برای نشان دادن این است که کدام متغیر در جستجوی آنتی ویروس است. برای مثال،

, ;

در اینجا در هر دو حالت انتگرال برابر است ، اما انتگرال نامعین آن در موارد در نظر گرفته شده متفاوت است. در حالت اول ، این تابع به عنوان تابعی از متغیر در نظر گرفته می شود ایکس ، و در دوم - به عنوان تابعی از z .

به فرآیند یافتن انتگرال نامعین یک تابع ، ادغام آن تابع گفته می شود.

معنای هندسی انتگرال نامعین

اجازه دهید منحنی پیدا شود y \u003d F (x) و ما قبلاً می دانیم که مماس زاویه شیب مماس در هر یک از نقاط آن یک تابع مشخص است f (x) ابریسا از این نقطه

با توجه به معنای هندسی مشتق ، مماس زاویه شیب مماس در یک نقطه مشخص منحنی y \u003d F (x) برابر است با مقدار مشتق F "(x)... از این رو ، ما باید چنین عملکردی را پیدا کنیم F (x)، برای کدام F "(x) \u003d f (x)... عملکرد مورد نیاز در کار F (x) ضد ماده است f (x)... وضعیت مسئله نه با یک منحنی ، بلکه با یک خانواده منحنی برآورده می شود. y \u003d F (x) یکی از این منحنی هاست و با ترجمه موازی در امتداد محور می توان از آن منحنی دیگری بدست آورد اوه.

بیایید نمودار تابع ضد اشتقاق را فراخوانی کنیم f (x) منحنی انتگرال اگر یک F "(x) \u003d f (x)، سپس نمودار تابع y \u003d F (x) یک منحنی انتگرال وجود دارد

واقعیت 3. انتگرال نامعین از نظر هندسی توسط خانواده تمام منحنی های انتگرال نشان داده می شود مانند تصویر زیر. فاصله هر منحنی از مبدا با ثابت (ثابت) دلخواه ادغام تعیین می شود ج.

خواص انتگرال نامشخص

واقعیت 4. قضیه 1. مشتق یک انتگرال نامشخص برابر با انتگرند است و دیفرانسیل آن برابر با انتگرند است.

واقعیت 5. قضیه 2. انتگرال نامشخص دیفرانسیل یک تابع f(ایکس) برابر با تابع است f(ایکس) تا یک مدت ثابت ، یعنی

(3)

قضیه های 1 و 2 نشان می دهد که تمایز و یکپارچه سازی عملیاتی متقابل است.

واقعیت 6. قضیه 3. عامل ثابت در انتگرال را می توان از علامت انتگرال نامعین خارج کرد ، یعنی

تعریف. تابع F (x) را برای عملکرد f (x) در بازه داده شده می نامند ، اگر برای هر x از بازه داده شده F "(x) \u003d f (x) باشد.

خاصیت اصلی داروهای ضد اشتها.

اگر F (x) ضد اشتیاق تابع f (x) باشد ، تابع F (x) + C ، جایی که C یک ثابت دلخواه است ، همچنین ضد اشتقاق تابع f (x) است (یعنی تمام ضد پاد عملکردهای f (x) نوشته شده اند به شکل F (x) + С)

تفسیر هندسی

نمودارهای تمام آنتی ویروسی های یک تابع معین f (x) از نمودار هر یک از آنتی ویروس ها با ترجمه های موازی در امتداد محور Oy بدست می آیند.

جدول ضد اشتها.

قوانینی برای یافتن مواد ضد دارویی .

بگذارید F (x) و G (x) به ترتیب ضد عامل توابع f (x) و g (x) باشند. سپس:

1.F ( ایکس) ± G ( ایکس) آیا آنتی ویروسی برای آن است f( ایکس) ± g( ایکس);

2. و F ( ایکس) آیا آنتی ویروسی برای آن است و f( ایکس);

3. - ضد اشتقاق برای و f( kx + ب).

مشکلات و تست های مربوط به موضوع "ضد تولید"

• ضد اشتقاق

  درس ها: 1 تکالیف: 11 تست: 1

• مشتق و ضد اشتقاق - آمادگی برای استفاده در ریاضیات استفاده در ریاضیات

  وظایف: 3

• انتگرال - ضد اشتقاقی و انتگرال درجه 11

  درس ها: 4 تکلیف: 13 تست: 1

• محاسبه مناطق با استفاده از انتگرال ها - ضد اشتقاقی و انتگرال درجه 11

  درس ها: 1 تکالیف: 10 تست: 1

با مطالعه این مبحث ، باید بدانید که چه ماده ضد اشتها نامیده می شود ، خاصیت اصلی آن ، تفسیر هندسی ، قوانینی برای یافتن ضد مشتقات. با استفاده از جدول و قوانینی که برای یافتن مواد ضد اشتقاقی و همچنین عبور آنتی ویروسی از یک نقطه داده شده ، قادر به یافتن تمام ضد پدیده های عملکرد است. بیایید با استفاده از مثال حل مشکلات این موضوع را بررسی کنیم. به طراحی راه حل ها توجه کنید.

مثال ها.

1. ببینید آیا عملکرد F ( ایکس) = ایکس 3 – 3ایکس + 1 ضد اشتقاق برای عملکرد f(ایکس) = 3(ایکس 2 – 1).

تصمیم: F "( ایکس) = (ایکس 3 – 3ایکس + 1) ′ \u003d 3 ایکس 2 – 3 = 3(ایکس 2 – 1) = f(ایکس) ، یعنی F "( ایکس) = f(ایکس) ، بنابراین ، F (x) ضد عملکرد برای f (x) است.

2. تمام ضد پاد های عملکرد f (x) را پیدا کنید:

و) f(ایکس) = ایکس 4 + 3ایکس 2 + 5

تصمیم: با استفاده از جدول و قوانینی برای یافتن مواد ضد اشتها ، موارد زیر بدست می آید:

پاسخ:

ب) f(ایکس) \u003d گناه (3 ایکس – 2)

تصمیم:

ابتدایی یک کلمه زیبا.) اول ، کمی روسی. این کلمه به این صورت تلفظ می شود و نه "نمونه اولیه" همانطور که به نظر می رسد Antiderivative مفهوم اساسی همه حساب های انتگرال است. هر انتگرال - نامشخص ، مشخص (در این ترم با آنها آشنا خواهید شد) ، و همچنین دو ، سه ، منحنی ، سطحی (و این شخصیت های اصلی سال دوم هستند) - بر اساس این مفهوم اصلی است. کاملاً منطقی است که تسلط پیدا کنید. برو.)

قبل از آشنایی با مفهوم ضد اشتها ، بیایید به طور کلی رایج ترین موارد را بیاد آوریم مشتق... بدون تعمیق در نظریه خسته کننده محدودیت ها ، افزایش استدلال ها و موارد دیگر ، می توان گفت که یافتن مشتق (یا تفکیک) فقط یک عملیات ریاضی روشن است تابع... و این همه. هر تابع گرفته شده است (به عنوان مثال ، f (x) \u003d x 2) و طبق قوانین خاصیتبدیل به عملکرد جدید... و این یکی عملکرد جدید و تماس گرفت مشتق.

در مورد ما ، قبل از تمایز ، عملکردی وجود داشت f (x) \u003d x 2، و پس از تمایز از قبل تبدیل شد عملکرد دیگر f '(x) \u003d 2x.

مشتق - زیرا عملکرد جدید ما f '(x) \u003d 2x اتفاق افتاده از عملکرد f (x) \u003d x 2... نتیجه یک عمل تمایز است. و علاوه بر این ، از اوست ، و از عملکرد دیگری نیست ( x 3، به عنوان مثال).

به طور تقریبی ، f (x) \u003d x 2 - این مادر است ، و f '(x) \u003d 2x - دختر محبوبش.) این قابل درک است. حرکت کن

ریاضیدانان افراد ناآرامی هستند. آنها تلاش می کنند تا برای هر یک از اقدامات خود مخالفت پیدا کنند. :) جمع وجود دارد - تفریق نیز وجود دارد. ضرب وجود دارد - تقسیم نیز وجود دارد. نمایی استخراج ریشه است. سینوسی (arcsine) است. به طور مشابه ، وجود دارد تفکیک- بنابراین وجود دارد ... ادغام.)

و حالا بیایید چنین مشکل جالبی را مطرح کنیم. به عنوان مثال ، ما چنین عملکرد ساده ای داریم f (x) \u003d 1... و ما باید به این سوال پاسخ دهیم:

مشتق تابع WH تابع را به ما می دهدf(ایکس) = 1?

به عبارت دیگر ، دیدن یک دختر ، با استفاده از تجزیه و تحلیل DNA ، مادر او را محاسبه می کند. :) پس از چه اصلی تابع (بیایید آن را F (x) صدا بزنیم) ما مشتق تابع f (x) \u003d 1؟ یا از نظر ریاضی ، برای چی تابع F (x) ، برابری زیر برقرار است:

F '(x) \u003d f (x) \u003d 1؟

یک مثال ابتدایی. من سعی کردم.) ما فقط تابع F (x) را متناسب می کنیم تا برابری کار کند. :) خوب ، شما آن را برداشتید؟ بله حتما! F (x) \u003d x زیرا:

F ’(x) \u003d x’ \u003d 1 \u003d f (x).

مادر پیدا شد ، البته F (x) \u003d x باید به نوعی تماس گرفته شود ، بله.) دیدار کنید!

ضد اشتقاق برای یک عملکردf(ایکس) چنین تابعی نامیده می شودF(ایکس) ، که مشتق آن استf(ایکس) ، یعنی برای آن برابریF’(ایکس) = f(ایکس).

همین. دیگر هیچ ترفند علمی نیست. یک عبارت اضافی در تعریف دقیق اضافه شده است "در فاصله X"... اما هنوز در این ظرافت ها عمیق نخواهیم رفت ، زیرا وظیفه اصلی ما یادگیری یافتن این موارد بدوی است.

در مورد ما ، فقط معلوم می شود که این عملکرد F (x) \u003d x هست یک ضد اشتقاق برای عملکرد f (x) \u003d 1.

چرا؟ زیرا F '(x) \u003d f (x) \u003d 1. مشتق x یکی است. بدون اعتراض.)

اصطلاح "بدوی" در زبان فلسفی به معنای "جد" ، "پدر و مادر" ، "جد" است. ما بلافاصله عزیزترین و نزدیکترین فرد را به یاد می آوریم.) و جستجوی آنتی ویروس ترمیم عملکرد اصلی است توسط مشتق شناخته شده آن... به عبارت دیگر ، این یک عمل است تمایز معکوس... و همین! این روند جذاب خود کاملاً علمی نیز خوانده می شود - ادغام... اما در مورد انتگرال - بعد. صبر دوستان!)

یاد آوردن:

ادغام یک عمل ریاضی بر روی یک تابع است (دقیقاً مانند تمایز).

ادغام عکس وارونه سازی است.

ضد اشتها نتیجه ادغام است.

حالا بیایید کار را پیچیده کنیم. بیایید اکنون ضد ویروس عملکرد را بیابیم f (x) \u003d x... یعنی پیدا خواهیم کرد چنین عملکردی F (x) به طوری که مشتق آن برابر x خواهد بود:

F '(x) \u003d x

کسانی که با مشتقات دوست هستند ممکن است چیزی در ذهنشان بیاید:

(x 2) "\u003d 2x.

خوب ، احترام و احترام به کسانی که جدول مشتقات را به یاد می آورند!) درست است. اما یک مشکل وجود دارد. عملکرد اصلی ما f (x) \u003d x، و (x 2) "\u003d 2 ایکس. دو ایکس. و پس از تمایز ، باید داشته باشیم فقط x... مشکلی نیست ولی…

ما مردمی علمی هستیم. گواهینامه گرفتیم.) و از مدرسه می دانیم که هر دو طرف هر برابری را می توان ضرب و تقسیم بر همان تعداد کرد (البته به جز صفر)! بنابراین مرتب شده بنابراین ما این فرصت را به نفع خود خواهیم فهمید.)

ما یک X پاک در سمت راست می خواهیم ، درست است؟ و دو تداخل دارند ... بنابراین ما نسبت را برای مشتق (x 2) '\u003d 2x می گیریم و تقسیم می کنیم هر دو قسمت در مورد این دو:

بنابراین ، چیزی در حال روشن شدن است. حرکت کن ما می دانیم که هر ثابت می تواند باشد علامت مشتق را بیرون بیاورید.مثل این:

همه فرمول های ریاضیات هم از چپ به راست و هم برعکس - از راست به چپ کار می کنند. این بدان معنی است که ، با همان موفقیت ، هر ثابت می تواند باشد زیر مشتق اضافه کنید:

در مورد ما ، این دو را در مخرج مخفی می کنیم (یا همان ضریب 1/2) در زیر علامت مشتق:

و حالا با دقت بیایید نگاهی دقیق به سابقه خود بیندازیم. چه چیزی می بینیم؟ ما شاهد برابری هستیم که مشتق از چیزی (این هست چیزی - در براکت) برابر با x است.

برابری حاصل فقط به معنای آن است که ماده مخدر مورد نظر برای عملکرد است f (x) \u003d x در خدمت عملکرد است F (x) \u003d x 2/2 ... یکی که داخل پرانتز است در زیر سکته مغزی است. مستقیماً به معنای آنتی ویروس.) خوب ، بیایید نتیجه را بررسی کنیم. بیایید مشتق را پیدا کنیم:

عالی! عملکرد اصلی را دریافت کرد f (x) \u003d x... از آنچه رقصیدند ، به آن بازگشتند. این به این معنی است که ماده ضدمصرف ما به درستی پیدا شده است.)

و اگر f (x) \u003d x 2؟ ضد اشتها چیست؟ مشکلی نیست همه ما (دوباره ، از قوانین تمایز) می دانیم که:

3x 2 \u003d (x 3) "

و ، به این معنا که،

فهمیدم؟ اکنون ما ، به طور نامحسوس برای خود ، یاد گرفته ایم که بدوی ها را برای هر کدام حساب کنیم تابع قدرت f (x) \u003d x n... در ذهن.) شاخص اولیه را بگیرید n، ما آن را یک به یک افزایش می دهیم ، و به عنوان غرامت کل ساختار را بر تقسیم می کنیم n + 1:

اتفاقاً فرمول بدست آمده معتبر است نه تنها برای شاخص های طبیعی درجه n، بلکه برای هر شخص دیگر - منفی ، کسری. این باعث می شود که بتوانید به راحتی از طریق بی ادعا مواد ضددوات را پیدا کنید کسرها و ریشه

برای مثال:

به طور طبیعی ، n ≠ -1 ، در غیر این صورت مخرج فرمول صفر می شود و فرمول معنای خود را از دست می دهد.) در مورد این مورد خاص n \u003d -1 کمی بعد.)

انتگرال نامعین چیست؟ جدول انتگرال

بگذارید بگوییم مشتق تابع چیست F (x) \u003d x؟ خوب ، یکی ، یک - جوابهای ناراضی می شنوم ... درست است. واحد. اما ... برای عملکرد G (x) \u003d x + 1 مشتق همچنین برابر با یک خواهد بود:

همچنین ، مشتق برای تابع برابر با یک خواهد بود x + 1234 ، و برای عملکرد x-10 ، و برای هر عملکرد دیگری از فرم x + C جایی که از جانب - هر ثابت. برای مشتق هر ثابت صفر است ، و از جمع / تفریق صفر ، هیچ کس سرد یا گرم نیست.)

ابهام حاصل می شود. به نظر می رسد که برای عملکرد f (x) \u003d 1 ضد اشتها است نه تنها عملکرد F (x) \u003d x بلکه عملکرد F 1 (x) \u003d x + 1234 و عملکرد F 2 (x) \u003d x-10 و به همین ترتیب!

آره. درست است.) هر ( مداوم در بین) از عملکرد ، یک ماده ضد اشتقاق وجود ندارد ، اما بی نهایت زیاد - یک خانواده کامل! نه یک مادر یا پدر ، بلکه یک شجره نامه کامل ، بله.)

ولی! همه خویشاوندان اجدادی ما یک ویژگی مهم مشترک دارند. به همین دلیل آنها خویشاوند هستند.) املاک آنقدر مهم است که در فرآیند تجزیه و تحلیل روش های ادغام ، آن را بیش از یک بار یادآوری خواهیم کرد. و ما مدتها به یاد خواهیم آورد.)

اینجاست ، این خاصیت:

هر دو ضد مderثر F 1 (ایکس) وF 2 (ایکس) از همان عملکردf(ایکس) با یک ثابت متفاوت هستند:

F 1 (ایکس) - F 2 (ایکس) \u003d C.

چه کسی به اثبات اهمیت می دهد - ادبیات یا یادداشت های سخنرانی را مطالعه کنید.) خوب ، پس باشد ، من آن را اثبات می کنم. خوشبختانه ، اثبات در اینجا اساسی است ، در یک عمل. برابری را در پیش بگیرید

F 1 (ایکس) - F 2 (ایکس) \u003d C

و ما هر دو قسمت آن را از هم متمایز می کنیم. یعنی ما فقط احمقانه سکته ها را می گذاریم:

همین. همانطور که می گویند ، CHTD. :)

این خاصیت یعنی چه؟ و این واقعیت است که دو ضد باکتری متفاوت است از همان عملکرد f (x) نمی تواند متفاوت باشد برخی از عبارات با x ... فقط کاملاً ثابت! به عبارت دیگر ، اگر برنامه ای از نوعی داشته باشیم یکی از بدوی ها (بگذارید F (x) باشد) ، سپس نمودارها دیگران از ضد مشتقات ما با ترجمه موازی نمودار F (x) در امتداد محور بازیکنان ساخته می شود.

بیایید ببینیم با مثال تابع چگونه به نظر می رسد f (x) \u003d x... همانطور که قبلاً هم می دانیم ، تمام مواد ضد انحصاری آن شکل کلی دارند F (x) \u003d x 2/2 + C ... در تصویر به نظر می رسد مجموعه بی نهایت پارابولابسته به مقدار ثابت از یک سهمی "اصلی" y \u003d x 2/2 با یک تغییر در امتداد محور OY به بالا یا پایین به دست می آید از جانب.

رسم عملکرد مدرسه را بخاطر بسپارید y \u003d f (x) + a برنامه شیفت y \u003d f (x) در واحد "a" در امتداد محور بازیکنان؟) اینجا و سپس همان چیز.)

علاوه بر این ، لطفا توجه داشته باشید: سهموی ما تلاقی نکنیداین طبیعی است. از این گذشته ، دو تابع متفاوت y 1 (x) و y 2 (x) به ناچار مطابقت خواهند داشت دو مقدار مختلف ثابت – C 1 و C 2.

بنابراین ، معادله y 1 (x) \u003d y 2 (x) هرگز راه حل ندارد:

C 1 \u003d C 2

x ∊ ∅ ، زیرا С 1 ≠ С2

و اکنون ما به آرامی به مفهوم سنگ بنای دوم حساب انتگرال نزدیک می شویم. همانطور که قبلاً تأیید کردیم ، هر تابعی f (x) دارای مجموعه ای بی نهایت از ضد مشتقات F (x) + C است که با یک ثابت از یکدیگر متفاوت هستند. این بی نهایت ترین مجموعه نیز نام خاص خود را دارد.) خوب ، لطفاً دوست داشته باشید و لطف کنید!

انتگرال نامعین چیست؟

مجموعه ای از تمام داروهای ضد اشتها f(ایکس) نامیده میشود انتگرال نامعیناز عملکردf(ایکس).

این تعریف است.)

"نا معلوم" - از آنجا که مجموعه ای از تمام داروهای ضد اشتها برای عملکرد مشابه بی نهایت... گزینه های بسیار زیادی وجود دارد.)

"انتگرال" - ما در بخش بزرگ بعدی اختصاص داده شده با رمزگشایی دقیق این کلمه ظالمانه آشنا خواهیم شد انتگرال های خاص... در ضمن ، به صورت خشن ، چیز انتگرالی را در نظر خواهیم گرفت مشترک ، مجرد ، کامل... ادغام - یک انجمن ، تعمیم، در این حالت گذار از امر خاص (مشتق) به عمومی (ضد مشتق). یه چیزی شبیه اون.

انتگرال نامعین اینگونه نشان داده می شود:

به همان روشی که نوشته شده خوانده می شود: انتگرال ff از x de x... یا انتگرال از جانب ff از x de xخوبه، تو ایده ای داری.)

حالا بیایید با تعیین نام ها سرو کار داشته باشیم.

∫ - نماد انتگرال معنی همان معنی اصلی برای مشتق است.)

د - نشاندیفرانسیل. ما نمی ترسیم! چرا او در آنجا لازم است - درست در زیر.

f (x) - یکپارچه (از طریق "s")

f (x) dx - بیان انتگرال یا ، به طور تقریبی ، "پر کردن" انتگرال.

با توجه به معنای انتگرال نامعین ،

اینجا F (x) - همان ضد اشتقاق برای عملکرد f (x)ما به هر حال خودمون پیداش کردیماینکه دقیقاً چطور آن را پیدا کرده اند ، مهم نیست. به عنوان مثال ، ما متوجه شده ایم که F (x) \u003d x 2/2 برای f (x) \u003d x.

"از جانب" - ثابت دلخواه. یا از نظر علمی ، ثابت انتگرال... یا ثابت ادغام همه چیز یکی است.)

حال بیایید به اولین نمونه های خود در مورد یافتن یک ماده ضد پادشاهی برگردیم. از نظر انتگرال نامحدود ، اکنون می توانیم با خیال راحت بنویسیم:

ثابت انتگرال چیست و چرا به آن نیاز است؟

سوال بسیار جالبی است. و بسیار (بسیار!) مهم است. ثابت انتگرال از کل مجموعه بی نهایت مواد ضد اشتقاق این خط را جدا می کند ، که از نقطه داده شده عبور می کند.

چه فایده ای دارد. از مجموعه بی نهایت اصلی داروهای ضد اشتها (به عنوان مثال انتگرال نامعین) ، منحنی منتقل شده از نقطه داده شده را انتخاب کنید. با برخی از مختصات خاصچنین وظیفه ای همیشه و در همه جا در آشنایی اولیه با انتگرال ها وجود دارد. هم در مدرسه و هم در دانشگاه.

مشکل معمولی:

از بین مجموعه تمام ضد پادهای تابع f \u003d x ، موردی را که از نقطه عبور می کند انتخاب کنید (2؛ 2).

ما شروع به فکر کردن با سرمان می کنیم ... بسیاری از همه بدوی ها - این بدان معناست که ابتدا شما مجبورید عملکرد اصلی ما را ادغام کنید.یعنی x (x). ما این کار را کمی بالاتر انجام دادیم و پاسخ زیر را دریافت کردیم:

حال بیایید بفهمیم دقیقاً چه چیزی بدست آورده ایم. ما یک عملکرد نداریم ، اما یک خانواده کامل از توابع. کدومشون؟ گونه ها y \u003d x 2/2 + C ... بستگی به مقدار ثابت C. و این مقدار ثابت است که اکنون باید "بگیریم".) خوب ، بیایید شروع به گرفتن کنیم؟)

میله ماهیگیری ما - خانواده منحنی ها (parabolas) y \u003d x 2/2 + C

ثابت ها - اینها ماهی هستند. خیلی زیاد. اما هر کدام قلاب و طعمه مخصوص به خود را دارند.)

طعمه چیست؟ به درستی! نکته ما (-2؛ 2).

بنابراین ما مختصات نقطه نظر خود را در دیدگاه کلی داروهای ضد خود جایگزین می کنیم! ما گرفتیم:

y (2) \u003d 2

از اینجا جستجوی آن آسان است C \u003d 0.

این یعنی چی؟ این بدان معنی است که از کل مجموعه نامحدود پارابلاهای فرمy \u003d x 2/2 + Cفقط سهمی با ثابت C \u003d 0 مناسب ماست! برای مثال:y \u003d x 2/2. و فقط او فقط این سهمی از نقطه مورد نیاز ما عبور خواهد کرد (-2؛ 2). و درهمه سهموی دیگر از خانواده ما عبور می کنند این نکته دیگر نخواهد بوداز طریق برخی دیگر از نقاط هواپیما - بله ، اما از طریق نقطه (2 ؛ 2) - دیگر. فهمیدم؟

برای شفافیت ، در اینجا دو تصویر برای شما آورده شده است - کل خانواده parabolas (به عنوان مثال انتگرال نامحدود) و برخی سهمی خاصمتناظر مقدار خاص ثابت و عبور از نکته خاص:

می بینید که در نظر گرفتن ثابت چقدر مهم است از جانب هنگام ادغام! بنابراین از این حرف "C" غافل نشوید و نسبت دادن به جواب نهایی را فراموش نکنید.

حال بیایید دریابیم که چرا این نماد در داخل انتگرال ها در همه جا وجود دارد dx ... دانش آموزان غالباً او را فراموش می کنند ... و اتفاقاً این هم یک اشتباه است! و بسیار بی ادب نکته این است که ادغام وارونه تمایز است. و دقیقاً چیست نتیجه تمایز؟ مشتق؟ درست است ، اما نه کاملا. دیفرانسیل!

در مورد ما ، برای عملکرد f (x) دیفرانسیل آنتی ویروس F (x)، خواهد بود:

چه کسی این زنجیره را درک نمی کند - تعریف و معنی دیفرانسیل و نحوه آشکار شدن آن را فوری تکرار کنید! در غیر این صورت ، با بی رحمی سرعت انتگرال را کم خواهید کرد.

بگذارید به شما بیاد آورم ، به خشن ترین شکل ، فلسفی ، دیفرانسیل هر عملکرد f (x) فقط یک محصول است f '(x) dx... و همین! یک مشتق بگیرید و آن را ضرب کنید در مورد دیفرانسیل استدلال (یعنی dx) یعنی در واقع هر دیفرانسیل به محاسبه معمول کاهش می یابد مشتق.

بنابراین ، به طور دقیق ، از انتگرال "گرفته" نمی شود تابع f (x)، همانطور که معمولاً اعتقاد دارند ، اما از دیفرانسیل f (x) dx! اما ، در یک نسخه ساده ، معمول است که آن را بگوییم "انتگرال از تابع گرفته شده است"... یا: "تابع f یکپارچه است(ایکس)". این همان است. و ما دقیقاً همان را خواهیم گفت. اما در مورد نماد dx ما فراموش نخواهیم کرد :)

و حالا من به شما می گویم که چگونه هنگام ضبط آن را فراموش نکنید. ابتدا تصور کنید که مشتق معمول را با توجه به متغیر x محاسبه می کنید. چگونه معمولاً آن را می نویسید؟

مانند این: f '(x) ، y' (x) ، y 'x. یا محکم تر ، از طریق نسبت دیفرانسیل: dy / dx. تمام این سوابق به ما نشان می دهد که مشتق با توجه به x گرفته شده است. و نه توسط "igruk" ، "te" یا برخی از متغیرهای دیگر.)

در انتگرال نیز همین است. ضبط ∫ f (x) dx ایالات متحده نیز مثل اینکه نشان می دهد که ادغام دقیقاً انجام شده است توسط متغیر x... البته ، همه اینها بسیار ساده و خام است ، اما امیدوارم قابل درک باشد. و شانس فراموش کردن نسبت دادن همه چیز حاضر dx به شدت کاهش می یابد.)

بنابراین ، همان انتگرال نامعین چیست - مشخص شده است. عالی است.) حالا خوب است که همین انتگرال های نامعین را یاد بگیریم محاسبه... یا به بیان ساده "گرفتن". :) و در اینجا دو خبر در انتظار دانشجویان است - خوب و نه چندان خوب. بیایید فعلاً با مورد خوب شروع کنیم.)

خبر خوب. انتگرال ها و همچنین مشتقات ، جدول خاص خود را دارند. و تمام انتگرال هایی که در طول راه با آنها روبرو خواهیم شد ، حتی وحشتناک ترین و پیچیده ترین آنها ، ما هستیم طبق قوانین خاصی ما به نوعی به این جدول بسیار کاهش خواهیم یافت.)

بنابراین این است ، جدول انتگرال!

در اینجا چنین جدول زیبایی از انتگرال ها از محبوب ترین توابع آورده شده است. من توصیه می کنم توجه ویژه ای به گروه فرمول های 1-2 (عملکرد ثابت و توان) داشته باشید. اینها متداول ترین فرمول ها در انتگرال ها هستند!

همانطور که حدس می زنید ، گروه سوم فرمول ها (مثلثات) با معکوس کردن فرمول های مربوط به مشتقات به دست می آیند.

برای مثال:

با گروه چهارم فرمول ها (عملکرد نمایی) - همه چیز مثل هم است.

و در اینجا چهار گروه آخر فرمول (5-8) برای ما آورده شده است جدید. آنها از کجا آمده اند و این توابع عجیب و غریب برای چه چنین شایستگی هایی ناگهان وارد جدول انتگرال های اساسی شده اند؟ چه چیزی این گروه از توابع را از بقیه توابع متمایز می کند؟

این امر از نظر تاریخی در روند توسعه اتفاق افتاد روش های ادغام ... وقتی ما برای متنوع ترین انتگرال ها آموزش می گیریم ، خواهید فهمید که انتگرال توابع ذکر شده در جدول بسیار بسیار رایج است. اغلب اوقات ریاضیدانان آنها را به عنوان جدول طبقه بندی می کنند.) بسیاری از انتگرال های دیگر از طریق آنها از ساختارهای پیچیده تر بیان می شوند.

به خاطر علاقه ، می توانید هر یک از این فرمول های وحشتناک را انتخاب کنید و تفاوت قائل شوید. :) به عنوان مثال ، وحشیانه ترین فرمول 7.

مشکلی نیست. ریاضیدانان گول نخوردند. :)

مطلوب است که جدول انتگرال ها ، مانند جدول مشتقات را به خاطر داشته باشید. به هر حال چهار گروه اول فرمول. این کار در نگاه اول چندان دشوار نیست. چهار گروه آخر را بخاطر بسپارید (با کسر و ریشه) در حالی که ارزشش را ندارد. در هر صورت ، در ابتدا شما در مورد اینکه کجا باید لگاریتم را بنویسید ، کهکشان کجا ، کهکشان ، کجا 1 / a ، کجا 1 / 2a ... گیج می شوید. فقط یک راه وجود دارد - برای حل مثالهای بیشتر. سپس جدول به خودی خود به تدریج به خاطر خواهد آمد ، و شک و تردیدها از بین خواهد رفت.)

به ویژه افراد کنجکاو که به جدول نگاه می کنند ، ممکن است بپرسند: انتگرال سایر توابع "مدرسه" ابتدایی در جدول کجاست - مماس ، لگاریتم ، "قوس"؟ بیایید بگوییم چرا یک انتگرال سینوس در جدول وجود دارد ، اما هیچ ، مثلاً انتگرال مماس وجود ندارد tg x؟ یا هیچ انتگرالی از لگاریتم وجود ندارد ln x؟ از arcsine arcsin x؟ چرا آنها بدتر هستند؟ اما پر از نوعی عملکرد "چپ" است - با ریشه ، کسر ، مربع ...

پاسخ. هیچ چیز بدتر.) فقط انتگرال های فوق (از مماس ، لگاریتم ، آرکسین ، و غیره) جدول نیستند ... و آنها در عمل بسیار کمتر از موارد ارائه شده در جدول یافت می شوند. پس بدانید قلباآنچه با آنها برابر هستند ، اصلاً ضروری نیست. فقط دانستن کافی است آنها چطور هستند محاسبه شد.)

چه ، کسی هنوز غیر قابل تحمل است؟ باشه ، مخصوصاً برای شما!

چگونه حفظ می کنید؟ :) نمیشی؟ و این کار را نکنید.) اما نگران نباشید ، ما قطعاً همه این انتگرال ها را خواهیم یافت. در دروس مربوطه :)

خوب ، حالا ما به خصوصیات انتگرال نامعین می پردازیم. بله ، هیچ کاری برای انجام دادن وجود ندارد! مفهوم جدیدی ارائه می شود - بلافاصله برخی از خصوصیات آن در نظر گرفته می شود.

خواص انتگرال نامشخص.

اکنون خبر خوبی نیست.

برخلاف تمایز ، قوانین کلی ادغام استانداردنمایشگاه برای همه موارد، در ریاضیات ، خیر. فوق العاده است!

به عنوان مثال ، همه شما کاملاً خوب می دانید (امیدوارم!) که هر ترکیب بندی هر از دو تابع f (x) g (x) به این ترتیب متفاوت است:

(f (x) g (x)) '\u003d f' (x) g (x) + f (x) g '(x).

هر ضریب مانند این متفاوت است:

و هر عملکرد پیچیده ، هر چقدر هم پیچیده باشد ، به این شکل متفاوت است:

و هر عملکردی که در زیر حروف f و g پنهان شود ، قوانین کلی همچنان کار خواهند کرد و مشتق ، به هر ترتیب یا دیگری ، پیدا خواهد شد.

اما با انتگرال ها ، چنین عددی دیگر کار نخواهد کرد: برای محصول ، ضریب (کسر) و همچنین یک عملکرد پیچیده از فرمول های کلی ادغام وجود ندارد! هیچ قانون استانداردی وجود ندارد! بلکه هستند. من نباید ریاضیات را آزرده می کردم.) اما ، اولاً ، تعداد آنها بسیار کمتر از قوانین کلی برای تمایز است. و ثانیا ، بیشتر روشهای ادغام که در درسهای بعدی در مورد آنها صحبت خواهیم کرد بسیار بسیار خاص هستند. و آنها فقط برای یک کلاس خاص ، بسیار محدود از توابع معتبر هستند. بگذارید فقط برای توابع عقلانی کسری... یا چیز دیگری.

و برخی انتگرال ها گرچه در طبیعت وجود دارند اما به هیچ وجه بر اساس توابع "مدرسه" ابتدایی بیان نمی شوند! بله ، چنین انتگرال های زیادی وجود دارد! :)

به همین دلیل یکپارچه سازی بیشتر از تمایز ، کار وقت گیر و پرزحمت تری دارد. اما این عطر و طعم خاص خود را دارد. این درس خلاقانه و بسیار هیجان انگیز است.) و ، اگر شما به جدول انتگرال ها مسلط باشید و حداقل به دو روش اساسی تسلط داشته باشید ، که در زیر در مورد آنها صحبت خواهیم کرد (و) ، پس ادغام را واقعاً دوست خواهید داشت. :)

و حالا بیایید در واقع با خصوصیات انتگرال نامعین آشنا شویم. آنها اصلاً هیچ نیستند. اینجا اند.

دو ویژگی اول کاملاً مشابه همان خصوصیات مشتقات هستند و نامیده می شوند خواص خطی انتگرال نامعین ... در اینجا همه چیز ساده و منطقی است: انتگرال حاصل جمع / اختلاف برابر است با حاصل جمع / اختلاف انتگرال ها ، و فاکتور ثابت را می توان خارج از علامت انتگرال گرفت.

اما سه ویژگی زیر برای ما کاملاً جدید است. بیایید آنها را با جزئیات بیشتری تجزیه و تحلیل کنیم. به زبان روسی به صورت زیر صدا می کنند.

خاصیت سوم

مشتق انتگرال برابر با انتگرال است

همه چیز ساده است ، مانند یک افسانه. اگر تابع را یکپارچه کنیم ، و مشتق نتیجه را دوباره پیدا کنیم ، سپس ... تابع اصلی انتگرال را دریافت می کنیم. :) این ویژگی می تواند همیشه (و باید) برای بررسی نتیجه نهایی ادغام مورد استفاده قرار گیرد. انتگرال را حساب کنید - پاسخ را از هم متمایز کنید! تابع Integrand را دریافت کردید - خوب. اگر آنها آن را دریافت نکردند ، این بدان معنی است که آنها در جایی آشفته شده اند. به دنبال خطا باشید.)

مسلماً جواب می تواند چنین عملکردهای ظالمانه و دست و پاگیری باشد که شما تمایلی به تفکیک آنها از بعد و بعد ندارید ، بله. اما بهتر است ، در صورت امکان ، سعی کنید خود را بررسی کنید. حداقل در نمونه هایی که آسان است.)

مال چهارم

دیفرانسیل انتگرال برابر است با انتگرال .

اینجا چیز خاصی نیست. ماهیت همان است ، فقط dx در انتها ظاهر می شود. طبق ویژگی قبلی و قوانین افشای دیفرانسیل.

خاصیت پنجم

انتگرال دیفرانسیل برخی از تابع ها برابر با مجموع این تابع و یک ثابت دلخواه است .

همچنین یک خاصیت بسیار ساده. ما همچنین به طور منظم در فرآیند حل انتگرال از آن استفاده خواهیم کرد. بخصوص - در و.

این خواص مفید است. من در اینجا نمی خواهم از اثبات دقیق آنها خسته شوم. من به کسانی که مایلند خودشان این کار را انجام دهند پیشنهاد می کنم. مستقیماً به معنای مشتق و افتراقی است. من فقط آخرین و پنجمین ویژگی را اثبات می کنم ، زیرا کمتر مشهود است.

بنابراین ما یک بیانیه داریم:

با توجه به تعریف دیفرانسیل ، "پر کردن" انتگرال خود را خارج می کنیم و آن را باز می کنیم:

در هر صورت ، من به شما یادآوری می کنم که ، با توجه به نشانه ما برای مشتق و ضد مشتق ، F’(ایکس) = f(ایکس) .

اکنون نتیجه خود را مجددا وارد انتگرال می کنیم:

دقیقاً دریافت شده است تعریف انتگرال نامحدود (ممکن است زبان روسی مرا ببخشد)! :)

همین.)

خوب. در این باره ، آشنایی اولیه ما با دنیای مرموز انتگرال را انجام شده می دانم. امروز پیشنهاد می کنم دور خود را جمع کنم. ما قبلاً آنقدر مسلح شده ایم که بتوانیم به شناسایی بپردازیم. اگر مسلسل نباشد ، حداقل یک تپانچه آبی با خصوصیات اساسی و یک میز. :) در درس بعدی ما منتظر ساده ترین نمونه های بی ضرر انتگرال ها برای کاربرد مستقیم جدول و خصوصیات نوشته شده هستیم.

به امید دیدار!