زاویه بین خطوط موازی در فضا. زاویه بین خطوط متقاطع (2019). موقعیت نسبی دو خط مستقیم

ABو بادیاز خط سوم عبور کرد MN، سپس زوایای تشکیل شده در این حالت به صورت جفت نام های زیر را دریافت می کنند:

زوایای مربوطه: 1 و 5، 4 و 8، 2 و 6، 3 و 7;

گوشه های متقاطع داخلی: 3 و 5، 4 و 6;

گوشه های متقاطع خارجی: 1 و 7، 2 و 8;

گوشه های یک طرفه داخلی: 3 و 6، 4 و 5;

گوشه های یک طرفه خارجی: 1 و 8، 2 و 7.

بنابراین، ∠ 2 = ∠ 4 و ∠ 8 = ∠ 6، اما با آنچه ثابت شده است ∠ 4 = ∠ 6.

بنابراین، ∠ 2 = ∠ 8.

3. زوایای مربوطه 2 و 6 یکسان هستند، زیرا ∠ 2 = ∠ 4، و ∠ 4 = ∠ 6. همچنین مطمئن می شویم که سایر زوایای مربوطه برابر باشند.

4. مجموع گوشه های یک طرفه داخلی 3 و 6 2d خواهند بود زیرا مجموع گوشه های مجاور 3 و 4 برابر است با 2d = 180 0، و ∠ 4 را می توان با ∠ 6 یکسان جایگزین کرد. همچنین مطمئن می شویم که مجموع زوایا 4 و 5 برابر است با 2d.

5. مجموع گوشه های یک طرفه بیرونی 2d خواهد بود زیرا این زوایا به ترتیب برابر هستند گوشه های یک طرفه داخلیمانند گوشه ها عمودی.

از توجیه فوق به دست می آوریم قضایای معکوس

هنگامی که در تقاطع دو خط مستقیم از یک خط مستقیم سوم دلخواه، به دست می آوریم که:

1. گوشه های داخلی که روی صلیب قرار دارند یکسان هستند.

یا 2.گوشه های بیرونی یکسان هستند.

یا 3.زوایای مربوطه یکسان است.

یا 4.مجموع زوایای یک طرفه داخلی 2d = 180 0 است.

یا 5.مجموع یک طرفه بیرونی 2d = 180 0 است ,

سپس دو خط اول موازی هستند.

دو خط مستقیم AB و CD نامیده می شوند موازی اگر آنها در یک صفحه قرار بگیرند و قطع نشوند، مهم نیست که چند نفر از آنها ادامه می یابد (AB || CD). زاویه بین خطوط موازی صفر است.

طول یک قطعه عمود محصور بین دو خط مستقیم موازی - فاصلهبین آنها.

اصل:از طریق نقطه ای که روی یک خط مستقیم قرار ندارد، فقط یک خط مستقیم موازی با این خط مستقیم می توان رسم کرد.

ویژگی های خط موازی:

1. اگر دو خط با خط سوم موازی باشند، آنها با یکدیگر موازی هستند.

2. اگر دو خط بر خط سوم عمود باشند، آنگاه با هم موازی هستند.

هنگام عبور دو خط موازی از خط سوم،هشت گوشه تشکیل شده است (شکل 13) که به صورت جفت نامیده می شوند:

1) زوایای مربوطه (1 و 5; 2 و 6; 3 و 7; 4 و 8 );

گوشه ها دو به دو برابر: (https://pandia.ru/text/78/187/images/image003_66.gif "width =" 11 "height =" 10 src = "> 5; https://pandia.ru/text/78/187/images/image003_66.gif "width =" 11 "height =" 10 "> 6; https://pandia.ru/text/78/187/images/image003_66.gif "width =" 11 "height =" 10 "> 7; https://pandia.ru/text/78/187/images/image003_66.gif "width =" 11 "height =" 10 "> 8 );

2) درونی؛ داخلی گوشه های متقاطع (4 و 5; 3 و 6 ) آنها دو به دو برابر;

3) گوشه های متقاطع خارجی(1 و 8; 2 و 7 ) آنها دو به دو برابر هستند.

4) درونی؛ داخلی گوشه های یک طرفه (3 و 5; 4 و 6 ); مجموع گوشه های یک طرفه 180 است°

(https://pandia.ru/text/78/187/images/image003_66.gif "width =" 11 "height =" 10 "> 5 = 180 درجه؛ 4 + 6 = 180 درجه)؛

5) گوشه های یک طرفه خارجی (1 و 7; 2 و 8 ) مجموع آنها 180 درجه است (https://pandia.ru/text/78/187/images/image003_66.gif "width =" 11 "height =" 10 "> 7 = 180 درجه؛ 2 + 8 = 180 درجه).

قضیه تالس. هنگامی که دو طرف گوشه با خطوط مستقیم موازی تلاقی می کنند(شکل 16) دو طرف گوشه به بخش های متناسب تقسیم می شوند:

مثلث های مشابه

دو مثلث نامیده می شوند پسندیدناگر زوایای آنها به ترتیب برابر باشد و اضلاع یک مثلث با اضلاع مشابه مثلث دیگر متناسب باشد. مشابهاضلاع چنین مثلث هایی اضلاع مقابل زوایای مساوی هستند.

https://pandia.ru/text/78/187/images/image006_51.gif "alt =" (! LANG: مثلث های مشابه" width="13" height="14">A = !} https://pandia.ru/text/78/187/images/image006_51.gif "alt =" (! LANG: مثلث های مشابه" width="13" height="14">B = B1, С = С1 !}و عدد کبرابر با نسبت اضلاع مشابه مثلث نامیده می شود ضریب شباهت.

علائم شباهت:

1. اگر دو گوشه یکمثلث به ترتیب برابر با دو زاویهدیگری، سپس آهنگ ها مشابه هستند.

2. اگر دو طرفیک مثلث متناسب با دو طرف طرف دیگرمثلث و گوشه ها، زندانیان بین این احزاب, برابر هستند، سپس مثلث ها مشابه هستند.

3. اگر سه طرف یکمثلث متناسب با سه ضلع طرف دیگر، پس چنین مثلث هایی مشابه هستند.

عواقب: 1.مساحت چنین مثلث هایی به عنوان مربع ضریب تشابه به هم مرتبط است:

2. نگرش محیط هامثلث های مشابه و نیمساز، میانه ها، ارتفاعات و عمودها برابر با ضریب تشابه است.

کارآفرینی به عنوان یک سیستم خودسازمانده وجود دارد و تحت تأثیر سیستمی از عوامل توسعه می یابد. در اواخر دهه 70. قرن XX محققانی مانند T. Bachkai، D. Mesena، D. Miko و دیگران با مطالعه تأثیر عوامل خطر نشان دادند که همه آنها به هم مرتبط هستند. در کنار "طبیعی" ...

ارزیابی ریسک و معیارهای راه حل

مدیریت ریسک بدون ارزیابی میزان آن غیرممکن است. روش ارزیابی بستگی به نوع ریسک دارد. با توجه به تنوع ریسک ها و پیچیدگی وظایف مدیریتی آنها، در عمل از سه نوع ارزیابی کیفی، ارزشی و کمی استفاده می شود. ارزیابی کیفی ریسک به طور گسترده استفاده می شود و به شما اجازه می دهد تا به سرعت، ...
(خطرات در حسابداری)

خطوط مستقیم متقاطع

اگر خطوط مستقیم همدیگر را قطع کنند، برجستگی های آنها به همین نام در نقطه ای تلاقی می کنند که نقطه تلاقی این خطوط مستقیم است. در واقع (شکل 2.30)، اگر نقطه بهمتعلق به هر دو مستقیم است ABو سی دی،پس طرح این نقطه باید نقطه تقاطع باشد ...
(گرافیک مهندسی)

خطوط مستقیم عبور کرد

خطوط مستقیم متقاطع همدیگر را قطع یا موازی نمی کنند. شکل 2.32 دو خط مستقیم متقاطع را در موقعیت کلی نشان می دهد: اگرچه برآمدگی های همنام یکدیگر را قطع می کنند، اما نقاط تقاطع آنها را نمی توان با یک خط پیوند موازی با خطوط پیوند متصل کرد. LL"و...
(گرافیک مهندسی)

فاصله بین خط عبور

فاصله بین خطوط متقاطع آو ببا طول بخش عمود تعیین می شود کیلومتر،متقاطع هر دو خط (a _1_ KM; Y.KM) (شکل 349، قبل از میلاد مسیح).اگر یکی از خطوط در حال پخش باشد، مشکل به سادگی حل می شود. برای مثال، α ± π، سپس بخش مورد نیاز را بگذارید کیلومتر...
(هندسه توصیفی)

موقعیت نسبی یک خط مستقیم و یک صفحه، دو صفحه

نشانه های موقعیت نسبی یک خط مستقیم و یک صفحه، دو صفحهاجازه دهید علائم موقعیت متقابل یک خط مستقیم و یک صفحه، و همچنین دو صفحه آشنا از استریومتری را به یاد بیاوریم. 1. اگر یک خط و یک صفحه دارای یک نقطه مشترک باشند، آنگاه خط و صفحه متقاطع می شوند (شکل 3.6a). 2. اگر خط و هواپیما ...
(مبانی گرافیک مهندسی)

نشانه های موقعیت نسبی یک خط مستقیم و یک صفحه، دو صفحه

اجازه دهید علائم موقعیت متقابل یک خط مستقیم و یک صفحه، و همچنین دو صفحه آشنا از استریومتری را به یاد بیاوریم. 1. اگر یک خط و یک صفحه دارای یک نقطه مشترک باشند، آنگاه خط و صفحه متقاطع می شوند (شکل 3.6a). 2. اگر یک خط مستقیم و یک صفحه دارای دو نقطه مشترک باشند، آنگاه خط مستقیم در صفحه قرار دارد (شکل 3.66) ....
(مبانی گرافیک مهندسی)

حریم خصوصی شما برای ما مهم است. به همین دلیل، ما یک خط‌مشی رازداری ایجاد کرده‌ایم که نحوه استفاده و ذخیره اطلاعات شما را توضیح می‌دهد. لطفا خط مشی حفظ حریم خصوصی ما را بخوانید و در صورت داشتن هرگونه سوال با ما در میان بگذارید.

جمع آوری و استفاده از اطلاعات شخصی

اطلاعات شخصی به داده هایی اطلاق می شود که می توان از آنها برای شناسایی یک فرد خاص یا تماس با او استفاده کرد.

در هر زمانی که با ما تماس می گیرید ممکن است از شما خواسته شود اطلاعات شخصی خود را ارائه دهید.

در زیر چند نمونه از انواع اطلاعات شخصی که ممکن است جمع آوری کنیم و نحوه استفاده از این اطلاعات آورده شده است.

چه اطلاعات شخصی جمع آوری می کنیم:

• وقتی درخواستی را در سایت می گذارید، ممکن است اطلاعات مختلفی از جمله نام، شماره تلفن، آدرس ایمیل و غیره شما را جمع آوری کنیم.

نحوه استفاده ما از اطلاعات شخصی شما:

• اطلاعات شخصی که جمع آوری می کنیم به ما امکان می دهد با شما تماس بگیریم و پیشنهادات، تبلیغات و سایر رویدادها و رویدادهای آینده را گزارش کنیم.
• هر از گاهی، ممکن است از اطلاعات شخصی شما برای ارسال اعلان‌ها و پیام‌های مهم استفاده کنیم.
• ما همچنین ممکن است از اطلاعات شخصی برای مقاصد داخلی مانند انجام ممیزی، تجزیه و تحلیل داده ها و تحقیقات مختلف به منظور بهبود خدمات ارائه شده و ارائه توصیه هایی در مورد خدمات خود استفاده کنیم.
• اگر در قرعه‌کشی جوایز، مسابقه یا رویداد تبلیغاتی مشابه شرکت می‌کنید، ممکن است از اطلاعاتی که شما ارائه می‌دهید برای مدیریت آن برنامه‌ها استفاده کنیم.

افشای اطلاعات به اشخاص ثالث

ما اطلاعات دریافتی از شما را در اختیار اشخاص ثالث قرار نمی دهیم.

استثناها:

• در صورت لزوم - مطابق با قانون، حکم دادگاه، در مراحل دادرسی و / یا بر اساس درخواست های عمومی یا درخواست های مقامات دولتی در قلمرو فدراسیون روسیه - اطلاعات شخصی خود را افشا کنید. همچنین اگر تشخیص دهیم که چنین افشایی برای امنیت، اجرای قانون یا سایر دلایل مهم اجتماعی ضروری یا مناسب است، ممکن است اطلاعاتی درباره شما فاش کنیم.
• در صورت سازماندهی مجدد، ادغام یا فروش، ممکن است اطلاعات شخصی را که جمع آوری می کنیم به شخص ثالث مناسب - جانشین قانونی انتقال دهیم.

حفاظت از اطلاعات شخصی

ما اقدامات احتیاطی - از جمله اداری، فنی و فیزیکی - را برای محافظت از اطلاعات شخصی شما در برابر از دست دادن، سرقت و سوء استفاده، و همچنین از دسترسی، افشا، تغییر و تخریب غیرمجاز انجام می دهیم.

به حریم خصوصی خود در سطح شرکت احترام بگذارید

به منظور اطمینان از ایمن بودن اطلاعات شخصی شما، قوانین محرمانه و امنیتی را برای کارمندان خود آورده و بر اجرای اقدامات محرمانه به شدت نظارت می کنیم.

در این درس به تعریف پرتوهای هم جهت می پردازیم و قضیه تساوی زاویه ها با اضلاع هم جهت را اثبات می کنیم. در ادامه به تعریف زاویه بین خطوط مستقیم متقاطع و خطوط مستقیم متقاطع می پردازیم. در نظر بگیرید که زاویه بین دو خط مستقیم چقدر می تواند باشد. در پایان درس، چندین مسئله در مورد یافتن زوایای بین خطوط مستقیم را حل خواهیم کرد.

موضوع: موازی خطوط و صفحات

درس: گوشه هایی با طرفین هم کارگردان. زاویه بین دو خط مستقیم

برای مثال، هر خط مستقیم OO 1(شکل 1.)، هواپیما را به دو نیم صفحه برش می دهد. اگر اشعه ها OAو О 1 А 1موازی هستند و در یک نیم صفحه قرار می گیرند، سپس نامیده می شوند کارگردانی مشترک.

تیرها О 2 А 2و OAهم جهت نیستند (شکل 1.). آنها موازی هستند، اما در یک نیم صفحه قرار نمی گیرند.

اگر اضلاع دو گوشه همدیگر باشند، چنین زوایایی برابر هستند.

اثبات

اجازه دهید به ما پرتوهای موازی داده شود OAو О 1 А 1و تیرهای موازی OVو حدود 1 در 1(شکل 2.). یعنی ما دو گوشه داریم AOBو A 1 O 1 B 1که دو طرف آن روی پرتوهای هم جهت قرار دارند. اجازه دهید ثابت کنیم که این زوایا برابر هستند.

در کنار پرتو OAو О 1 А 1نقاط را انتخاب کنید آو الف 1به طوری که خط پاره ها OAو О 1 А 1برابر بودند به طور مشابه، امتیاز Vو در 1را انتخاب کنید تا بخش ها OVو حدود 1 در 1برابر بودند

یک چهارضلعی را در نظر بگیرید A 1 O 1 OA(شکل 3.) OAو О 1 А 1 A 1 O 1 OA A 1 O 1 OA OO 1و AA 1موازی و مساوی هستند.

یک چهارضلعی را در نظر بگیرید В 1 О 1 ОВ... در این ضلع چهار گوش OVو حدود 1 در 1موازی و مساوی هستند. متوازی الاضلاع، چهار ضلعی В 1 О 1 ОВمتوازی الاضلاع است زیرا В 1 О 1 ОВ- متوازی الاضلاع، سپس اضلاع OO 1و BB 1موازی و مساوی هستند.

و مستقیم AA 1به موازات خط مستقیم OO 1، و مستقیم BB 1به موازات خط مستقیم OO 1به معنی مستقیم AA 1و BB 1موازی هستند.

یک چهارضلعی را در نظر بگیرید B 1 A 1 AB... در این ضلع چهار گوش AA 1و BB 1موازی و مساوی هستند. متوازی الاضلاع، چهار ضلعی B 1 A 1 ABمتوازی الاضلاع است زیرا B 1 A 1 AB- متوازی الاضلاع، سپس اضلاع ABو A 1 B 1موازی و مساوی هستند.

مثلث ها را در نظر بگیرید AOBو A 1 O 1 B 1.مهمانی OAو О 1 А 1از نظر ساختار برابر هستند. مهمانی OVو حدود 1 در 1از نظر ساختار نیز برابر هستند. و همانطور که ثابت کردیم، هر دو طرف ABو A 1 B 1نیز برابر هستند. پس مثلث ها AOBو A 1 O 1 B 1از سه طرف برابر است مثلث های مساوی دارای زوایای برابر در مقابل اضلاع مساوی هستند. بنابراین زوایا AOBو A 1 O 1 B 1در صورت لزوم برابر هستند.

1) خطوط مستقیم متقاطع.

اگر خطوط همدیگر را قطع کنند، چهار زاویه متفاوت داریم. زاویه بین دو خط مستقیم، کوچکترین زاویه بین دو خط مستقیم نامیده می شود. زاویه بین خطوط مستقیم متقاطع آو ببا α نشان داده شود (شکل 4.). زاویه α به گونه ای است که.

برنج. 4. زاویه بین دو خط مستقیم متقاطع

2) خطوط مستقیم متقاطع

اجازه دهید خطوط مستقیم آو بآمیختگی بیایید یک نقطه دلخواه را انتخاب کنیم O... از طریق نقطه Oبیایید یک خط مستقیم بکشیم یک 1به موازات خط مستقیم آ، و مستقیم ب 1به موازات خط مستقیم ب(شکل 5.). مستقیم یک 1و ب 1تقاطع در نقطه O... زاویه بین دو خط مستقیم متقاطع یک 1و ب 1، زاویه φ و زاویه بین خطوط متقاطع نامیده می شود.

برنج. 5. زاویه بین دو خط متقاطع

آیا مقدار زاویه به نقطه انتخاب شده O بستگی دارد؟بیایید یک نقطه را انتخاب کنیم حدود 1... از طریق نقطه حدود 1بیایید یک خط مستقیم بکشیم یک 2به موازات خط مستقیم آ، و مستقیم ب 2به موازات خط مستقیم ب(شکل 6.). زاویه بین خطوط مستقیم متقاطع یک 2و ب 2مشخص کن φ 1... سپس زوایا φ و φ 1 -گوشه ها با اضلاع هم جهت. همانطور که ثابت کردیم، چنین زوایایی با یکدیگر برابر هستند. از این رو، مقدار زاویه بین خطوط متقاطع به انتخاب نقطه بستگی ندارد O.

مستقیم OVو سی دیموازی، OAو سی دیآمیخته شدن زاویه بین خطوط مستقیم را پیدا کنید OAو سی دی، اگر:

1) ∠AOB= 40 درجه

بیایید یک نقطه را انتخاب کنیم با... یک خط مستقیم را از آن عبور دهید سی دی... اجرا خواهیم کرد CA 1موازی OA(شکل 7.). سپس زاویه یک عدد سی دی- زاویه بین عبور از خطوط مستقیم OAو سی دی... با قضیه زوایای با اضلاع هم جهت، زاویه یک عدد سی دیبرابر با زاویه AOBیعنی 40 درجه.

برنج. 7. زاویه بین دو خط مستقیم را پیدا کنید

2) ∠AOB= 135 درجه

بیایید همان ساختار را بسازیم (شکل 8.). سپس زاویه بین خطوط متقاطع OAو سی دیبرابر 45 درجه است، زیرا کوچکترین زاویه ای است که هنگام قطع خطوط به دست می آید. سی دیو CA 1.

3) ∠AOB= 90 درجه

بیایید همان ساختار را بسازیم (شکل 9.). سپس تمام زوایایی که در محل تلاقی خطوط مستقیم به دست می آیند سی دیو CA 1برابر 90 درجه هستند. زاویه مورد نظر 90 درجه است.

1) ثابت کنید که وسط اضلاع یک چهارضلعی فضایی رئوس متوازی الاضلاع است.

اثبات

اجازه دهید یک چهارضلعی فضایی به ما داده شود آ ب پ ت. م،N،ک،L- وسط دنده ها بی دی،آگهی،AC،قبل از میلاد مسیحبه ترتیب (شکل 10.). اثبات آن ضروری است MNKL- متوازی الاضلاع.

مثلثی را در نظر بگیرید ABD. МN МNموازی ABو برابر با نصف آن است.

مثلثی را در نظر بگیرید ABC. LK- خط وسط با خاصیت خط وسط، LKموازی ABو برابر با نصف آن است.

و МN، و LKموازی AB... به معنای، МNموازی LKتوسط قضیه در سه خط موازی.

ما آن را در چهار گوش دریافت می کنیم MNKL- طرفین МNو LKموازی و مساوی هستند، زیرا МNو LKبرابر با نصف AB... بنابراین، بر اساس متوازی الاضلاع، چهارضلعی MNKL- متوازی الاضلاع، در صورت لزوم.

2) زاویه بین خطوط مستقیم را پیدا کنید ABو سی دیاگر زاویه MNK= 135 درجه

همانطور که قبلاً ثابت کردیم، МNبه موازات خط مستقیم AB. NK- خط وسط مثلث ACDبر حسب اموال، NKموازی دی سی... از این رو، از طریق نقطه ندو خط مستقیم وجود دارد МNو NKکه موازی با عبور از خطوط مستقیم هستند ABو دی سیبه ترتیب. از این رو، زاویه بین خطوط مستقیم МNو NKزاویه بین خطوط عبور است ABو دی سی... به ما یک زاویه مبهم داده شده است MNK= 135 درجه زاویه بین خطوط مستقیم МNو NK- کوچکترین زاویه به دست آمده در تقاطع این خطوط مستقیم، یعنی 45 درجه.

بنابراین، زوایای را با اضلاع هم جهت بررسی کردیم و برابری آنها را ثابت کردیم. ما زوایای بین خطوط متقاطع و متقاطع را در نظر گرفتیم و چندین مسئله را برای یافتن زاویه بین دو خط مستقیم حل کردیم. در درس بعدی، حل مسئله و بازبینی تئوری را ادامه خواهیم داد.

1. هندسه. کلاس های 10-11: کتاب درسی برای دانش آموزان مؤسسات آموزشی (سطوح پایه و مشخصات) / I. M. Smirnova، V. A. Smirnov. - چاپ پنجم، اصلاح و تکمیل - م.: منموسینا، 2008. - 288 ص. : مریض

2. هندسه. کلاس 10-11: کتاب درسی برای مؤسسات آموزشی عمومی / شاریگین I.F. - M .: Bustard, 1999. - 208 p.: Ill.

3. هندسه. پایه دهم: کتاب درسی مؤسسات آموزشی با مطالعه عمیق و تخصصی ریاضیات / E. V. Potoskuev، L. I. Zvalich. - ویرایش ششم، کلیشه ای. - م.: بوستارد، 008 .-- 233 ص. : مریض

V) قبل از میلاد مسیحو دی 1 در 1.

برنج. 11. زاویه بین خطوط مستقیم را پیدا کنید

4. هندسه. کلاس های 10-11: کتاب درسی برای دانش آموزان مؤسسات آموزشی (سطوح پایه و مشخصات) / I. M. Smirnova، V. A. Smirnov. - چاپ پنجم، اصلاح و تکمیل - م .: منموزینا، 2008. - 288 ص .: ill.

تکالیف 13، 14، 15 ص 54