فراکسیون ها ضرب و تقسیم کسر. ضرب کسرها با علائم مختلف. ضرب و تقسیم اعداد منفی

در این مقاله به این موضوع می پردازیم ضرب اعداد با علائم مختلف ... در اینجا ما ابتدا قانونی را برای ضرب یک عدد مثبت و منفی تدوین می کنیم ، آن را توجیه می کنیم و سپس هنگام حل مثال ها ، کاربرد این قاعده را در نظر می گیریم.

ناوبری صفحه

قانون ضرب اعداد با علائم مختلف

ضرب یک عدد مثبت بر منفی ، و همچنین منفی بر مثبت ، به صورت زیر انجام می شود قانون ضرب اعداد با علائم مختلف : برای ضرب اعداد با علائم مختلف ، باید ضرب کنید و علامت منفی را در مقابل محصول حاصله قرار دهید.

بگذارید بنویسیم این قانونبه شکل تحت اللفظی برای هر عدد مثبت مثبت a و هر عدد منفی واقعی −b ، برابری a (−b) = - (| a | | b |) ، و همچنین برای یک عدد منفی −a و یک عدد مثبت b ، برابری (−a) b = - (| a | | b |) .

قانون ضرب اعداد با علائم مختلف کاملاً مطابقت دارد خواص اعمال با اعداد واقعی... در واقع ، بر اساس آنها به راحتی می توان نشان داد که برای اعداد واقعی و مثبت a و b ، زنجیره ای از برابری های شکل a (−b) + a b = a ((-- b) + b) = a 0 = 0، که ثابت می کند a (−b) و b اعداد متضاد هستند ، که برابری a (−b) = - (a b) را نشان می دهد. و از آن اعتبار قاعده ضرب مورد بررسی ناشی می شود.

لازم به ذکر است که قانون بیان شده برای ضرب اعداد با علائم مختلف ، هم برای اعداد واقعی و هم معتبر است اعداد گویاو برای اعداد صحیح این از این واقعیت ناشی می شود که اعمال با اعداد منطقی و کامل دارای ویژگیهای مشابهی هستند که در اثبات بالا استفاده شد.

واضح است که ضرب اعداد با علائم مختلف طبق قاعده بدست آمده به ضرب اعداد مثبت کاهش می یابد.

باقی ماندن نمونه هایی از اعمال ضریب تجزیه و تحلیل شده هنگام ضرب اعداد با علائم مختلف باقی می ماند.

نمونه هایی از ضرب اعداد با علائم مختلف

بیایید راه حل های چند را تجزیه و تحلیل کنیم نمونه هایی از ضرب اعداد با علائم مختلف... بیایید با یک مورد ساده شروع کنیم تا بر مراحل قانون تمرکز کنیم تا پیچیدگی محاسباتی.

عدد منفی −4 را در ضرب کنید عدد مثبت 5 .

طبق قاعده ضرب اعداد با علائم مختلف ، ابتدا باید ماژول های عوامل اصلی را ضرب کنیم. مدول −4 4 و مدول 5 5 و ضرب است اعداد طبیعی 4 و 5 20 می دهد. در نهایت ، باید علامت منفی را در مقابل عدد بدست آمده قرار دهیم ، ما 20 داریم. با این کار ضرب کامل می شود.

به طور خلاصه ، راه حل را می توان به شرح زیر نوشت: (−4) · 5 = - (4 · 5) = - 20.

(−4) 5 = −20.

هنگام ضرب اعداد کسری با علائم مختلف ، باید بتوانید ضرب را انجام دهید کسرهای رایج، ضرب کسرهای اعشاری و ترکیب آنها با اعداد طبیعی و مختلط.

اعداد را با علائم مختلف 0 ، (2) و.

پس از ترجمه کسر اعشاری دوره ای به یک کسر معمولی و همچنین انجام انتقال از یک عدد مختلط به کسری نامناسب ، از محصول اصلی به محصول کسرهای معمولی با علائم مختلف فرم می رسیم. این محصول برابر با قانون ضرب اعداد با علائم مختلف است. تنها کافی است کسرهای معمولی داخل پرانتز را ضرب کنیم ، ما داریم .

به طور جداگانه ، باید در مورد ضرب اعداد با علائم مختلف ، هنگامی که یک یا هر دو عامل هستند ، گفت

حالا بیایید با آن برخورد کنیم ضرب و تقسیم.

فرض کنید می خواهیم +3 را در 4 ضرب کنیم. چگونه انجامش بدهیم؟

اجازه دهید این مورد را در نظر بگیریم. سه نفر بدهکار هستند و هر کدام 4 دلار بدهی دارند. کل بدهی چقدر است؟ برای پیدا کردن آن ، باید هر سه بدهی را جمع کنید: 4 دلار + 4 دلار + 4 دلار = 12 دلار. ما تصمیم گرفتیم که جمع سه عدد 4 را 3 × 4 نشان دهند. از آنجا که ما در مورد بدهی صحبت می کنیم ، در مقابل 4 یک "-" وجود دارد. ما می دانیم که کل بدهی 12 دلار است ، بنابراین مشکل ما در حال حاضر شبیه 3x (-4) = - 12 است.

اگر طبق مشکل ، هر یک از چهار نفر دارای 3 دلار بدهی باشند ، به همان نتیجه خواهیم رسید. به عبارت دیگر ، (+4) x (-3) = - 12. و از آنجا که ترتیب عوامل مهم نیست ، (-4) x (+3) = - 12 و (+4) x (-3) = - 12 دریافت می کنیم.

بیایید نتایج را خلاصه کنیم. وقتی یک عدد مثبت و یک عدد منفی را ضرب کنید ، نتیجه همیشه منفی خواهد بود. مقدار عددی پاسخ همانند اعداد مثبت خواهد بود. محصول (+4) x (+3) =+12. وجود علامت "-" فقط بر علامت تأثیر می گذارد ، اما بر مقدار عددی تأثیر نمی گذارد.

چگونه می توان دو عدد منفی را ضرب کرد؟

متأسفانه ارائه مثال مناسب از زندگی در این زمینه بسیار دشوار است. به راحتی می توان بدهی 3 یا 4 دلار را تصور کرد ، اما تصور اینکه بدهی 4 -یا 3 نفر -کاملاً غیرممکن است.

شاید راه دیگری را برویم. در ضرب ، وقتی علامت یکی از عوامل تغییر می کند ، علامت محصول تغییر می کند. اگر علائم هر دو ضرب را تغییر دهیم ، باید دو بار تغییر دهیم علامت کار، ابتدا از مثبت به منفی ، و سپس برعکس ، از منفی به مثبت ، یعنی محصول دارای علامت اولیه است.

بنابراین ، کاملاً منطقی است ، اگرچه کمی عجیب است که (-3) x (-4) = + 12.

موقعیت علامتوقتی ضرب می شود ، مانند این تغییر می کند:

عدد مثبت x عدد مثبت = عدد مثبت ؛
عدد منفی x عدد مثبت = عدد منفی ؛
عدد مثبت x عدد منفی = عدد منفی ؛
عدد منفی x عدد منفی = عدد مثبت.

به عبارت دیگر، با ضرب دو عدد با علامت یکسان ، یک عدد مثبت به دست می آوریم. با ضرب دو عدد با علائم مختلف ، یک عدد منفی به دست می آید.

همین قاعده در مورد عمل مخالف ضرب - برای.

با نگه داشتن آن می توانید به راحتی این مورد را تأیید کنید عملیات ضرب معکوس... اگر در هر یک از مثالهای بالا ، ضریب را بر تقسیم کننده ضرب کنید ، سود تقسیم را دریافت می کنید و مطمئن شوید که علامت یکسانی دارد ، برای مثال (-3) x (-4) = (+ 12).

از آنجا که زمستان در راه است ، وقت آن است که به این فکر کنید که کفش اسب آهنی خود را چه چیزی عوض کنید تا روی یخ ها نلغزد و در جاده های زمستانی احساس اعتماد به نفس نکنید. به عنوان مثال ، می توانید لاستیک های Yokohama را در سایت استفاده کنید: mvo.ru یا برخی دیگر ، نکته اصلی این است که از کیفیت بالایی برخوردار است ، اطلاعات بیشترو قیمت هایی که می توانید در وب سایت Mvo.ru پیدا کنید.

این مقاله می دهد بررسی دقیق تقسیم اعداد با علائم مختلف... اول ، یک قانون برای تقسیم اعداد با علائم مختلف وجود دارد. در زیر نمونه هایی از تقسیم اعداد مثبت بر منفی و اعداد منفیبه موارد مثبت

ناوبری صفحه

قانون تقسیم اعداد با علائم مختلف

در مقاله ، تقسیم اعداد صحیح به دست آمد قانون تقسیم اعداد صحیح با علائم مختلف... می توان آن را به اعداد گویا، و در اعداد واقعی، همه استدلال های مقاله مشخص شده را تکرار می کند.

بنابراین، قانون تقسیم اعداد با علائم مختلفدارای فرمول زیر است: برای تقسیم یک عدد مثبت بر یک عدد منفی یا منفی بر یک عدد مثبت ، سود تقسیم باید بر مدول تقسیم کننده تقسیم شود و یک علامت منفی باید در مقابل عدد حاصله قرار گیرد.

بیایید این قانون تقسیم را با استفاده از حروف بنویسیم. اگر اعداد a و b علائم متفاوتی دارند ، فرمول زیر معتبر است a: b = - | a |: | b | .

از قاعده بیان شده ، واضح است که حاصل تقسیم اعداد با علائم مختلف یک عدد منفی است. در واقع ، از آنجا که مدول تقسیم و مدول تقسیم کننده بیشتر از عدد هستند ، بنابراین ضریب آنها یک عدد مثبت است و علامت منفی این عدد را منفی می کند.

توجه داشته باشید که قانون مد نظر تقسیم اعداد با علائم مختلف را به تقسیم اعداد مثبت کاهش می دهد.

می توانید فرمول دیگری از قانون تقسیم اعداد با علائم مختلف ارائه دهید: برای تقسیم عدد a بر عدد b ، باید عدد a را در عدد b −1 ضرب کنید ، معکوسب به این معنا که، a: b = a b −1 .

این قانون زمانی قابل استفاده است که بتوان از مجموعه اعداد صحیح فراتر رفت (زیرا هر عدد صحیح معکوس ندارد). به عبارت دیگر ، بر روی مجموعه اعداد منطقی و همچنین بر روی مجموعه اعداد واقعی قابل اجرا است.

واضح است که این قانون برای تقسیم اعداد با علائم مختلف به شما امکان می دهد از تقسیم به ضرب بروید.

همان قاعده زمانی استفاده می شود که تقسیم اعداد منفی.

باید در نظر داشت که چگونه این قانون برای تقسیم اعداد با علائم مختلف هنگام حل مثال ها اعمال می شود.

نمونه هایی از تقسیم اعداد با علائم مختلف

راه حل های مختلفی را در نظر بگیرید نمونه هایی از تقسیم اعداد با علائم مختلفبرای یادگیری اصل به کارگیری قوانین پاراگراف قبلی.

عدد منفی −35 را بر عدد مثبت 7 تقسیم کنید.

قانون تقسیم اعداد با علائم مختلف حکم می کند که ابتدا ماژول های تقسیم سود و تقسیم کننده را پیدا کنید. مدول -35 35 و مدول 7 7 است. حال ما باید مدول سود تقسیمی را بر مدول تقسیم کننده تقسیم کنیم ، یعنی باید 35 را بر 7 تقسیم کنیم. به خاطر آوردن نحوه انجام آن تقسیم اعداد طبیعی، 35: 7 = 5 می گیریم. ماند آخرین مرحلهقوانین تقسیم اعداد با علائم مختلف - منفی را در مقابل عدد حاصله قرار دهید ، ما −5 داریم.

در اینجا کل راه حل آمده است :.

می توان از یک فرمول متفاوت از قانون تقسیم اعداد با علائم مختلف استفاده کرد. در این مورد ، ابتدا متقابل مقسوم 7 را پیدا می کنیم. این عدد است کسر مشترک 1/7 بدین ترتیب، . باقی مانده است که اجرا شود ضرب اعداد با علائم مختلف:. بدیهی است که ما به همان نتیجه رسیدیم.

(−35):7=−5 .

ضریب 8 را محاسبه کنید (-- 60).

طبق قانون تقسیم اعداد با علائم مختلف ، ما داریم 8:(−60)=−(|8|:|−60|)=−(8:60) ... عبارت حاصله مربوط به یک کسر منفی منفی است (نگاه کنید به علامت تقسیم به صورت خط افراشته) ، می توان انجام داد کاهش کسرتا 4 ، دریافت می کنیم .

اجازه دهید کل راه حل را به طور خلاصه بنویسیم :.

هنگام تقسیم اعداد منطقی کسری با علائم مختلف ، تقسیم و تقسیم آنها معمولاً به عنوان کسرهای معمولی نشان داده می شود. این به این دلیل است که همیشه انجام تقسیم با اعداد در نماد دیگر (به عنوان مثال در اعشاری) راحت نیست.

مدول تقسیم سود برابر است و مدول تقسیم 0 ، (23). برای تقسیم مدول بخش پذیر بر مدول مقسوم ، به کسرهای معمولی روی می آوریم.

این درس ضرب و تقسیم اعداد منطقی را پوشش می دهد.

محتوای درس

ضرب اعداد منطقی

قوانین ضرب اعداد صحیح برای اعداد منطقی نیز معتبر است. به عبارت دیگر ، برای ضرب اعداد منطقی ، باید بتوانید

همچنین ، شما باید قوانین اساسی ضرب را بدانید ، مانند: قانون جابجایی ضرب ، قانون ترکیب ضرب ، قانون توزیع ضرب و ضرب در صفر.

مثال 1ارزش یک عبارت را بیابید

این ضرب اعداد منطقی با علائم مختلف است. برای ضرب اعداد منطقی با علائم مختلف ، باید ماژول های آنها را ضرب کرده و منهای را در مقابل پاسخ قرار دهید.

برای اینکه خوب متوجه شویم که با اعدادی سروکار داریم که علائم متفاوتی دارند ، هر عدد منطقی را به همراه علائم آن در پرانتز قرار می دهیم.

مدول عدد است و مدول عدد است. با ضرب ماژول های حاصله به عنوان کسرهای مثبت ، ما پاسخی دریافت کردیم ، اما همانطور که قاعده از ما می خواهد ، یک منفی در مقابل پاسخ قرار می دهیم. برای اطمینان از این منفی در مقابل پاسخ ، ضرب ماژول ها در داخل براکت انجام می شود ، که در مقابل آن منهای قرار داده می شود.

راه حل کوتاه به این شکل است:

مثال 2ارزش یک عبارت را بیابید

مثال 3ارزش یک عبارت را بیابید

این ضرب اعداد منطقی منفی است. برای ضرب اعداد منطقی منفی ، باید ماژول های آنها را ضرب کرده و یک عدد مثبت را در مقابل پاسخ قرار دهید

راه حل برای این مثالمی توان کوتاهتر نوشت:

مثال 4ارزش یک عبارت را بیابید

راه حل این مثال را می توان کوتاهتر نوشت:

مثال 5ارزش یک عبارت را بیابید

این ضرب اعداد منطقی با علائم مختلف است. بیایید ماژول های این اعداد را ضرب کرده و یک منفی در مقابل پاسخ دریافت شده قرار دهیم

یک راه حل کوتاه بسیار ساده تر به نظر می رسد:

مثال 6ارزش یک عبارت را بیابید

بیایید عدد مختلط را به کسر نامناسب تبدیل کنیم. بقیه را همانطور که هست بازنویسی می کنیم

ما ضرب اعداد منطقی با علائم مختلف را بدست آوردیم. بیایید ماژول های این اعداد را ضرب کرده و یک منفی در مقابل پاسخ دریافت شده قرار دهیم. می توانید ورودی را با ماژول ها رد کنید تا عبارت را به هم نزنید

راه حل این مثال را می توان کوتاهتر نوشت

مثال 7ارزش یک عبارت را بیابید

در ابتدا ، پاسخ کسری نادرست بود ، اما ما کل قسمت را در آن انتخاب کردیم. توجه داشته باشید که کل قسمتاز ماژول کسر جدا شد عدد مخلوط حاصله در داخل پرانتز قرار گرفت ، قبل از آن یک منهای وجود داشت. این امر به منظور برآوردن الزامات قانون انجام می شود. و قاعده مستلزم علامت منفی در مقابل پاسخ دریافت شده بود.

راه حل این مثال را می توان کوتاهتر نوشت:

مثال 8ارزش یک عبارت را بیابید

ابتدا عدد حاصله را ضرب و ضرب کنید و عدد باقیمانده 5 را وارد کنید. ما ورودی را با ماژول ها کنار می گذاریم تا عبارت بهم ریخته نشود.

پاسخ:ارزش بیان برابر −2 است.

مثال 9مقدار عبارت را بیابید:

بیایید ترجمه کنیم اعداد مختلطدر کسرهای نامناسب:

ضرب اعداد منطقی منفی را دریافت کرد. بیایید ماژول های این اعداد را ضرب کرده و یک عدد مثبت را در مقابل پاسخ دریافت شده قرار دهیم. می توانید ورودی را با ماژول ها رد کنید تا عبارت را به هم نزنید

مثال 10مقدار یک عبارت را بیابید

این عبارت شامل چندین عامل است. طبق قانون ترکیب ضرب ، اگر عبارت از چندین عامل تشکیل شده باشد ، محصول به ترتیب اعمال بستگی نخواهد داشت. این به ما اجازه می دهد تا عبارت داده شده را به هر ترتیب ارزیابی کنیم.

ما چرخ را اختراع نمی کنیم ، بلکه این عبارت را از چپ به راست به ترتیب عوامل محاسبه می کنیم. بیایید از رکورد با ماژول ها بگذریم تا عبارت بهم ریخته نشود

اقدام سوم:

اقدام چهارم:

پاسخ:ارزش بیان است

مثال 11ارزش یک عبارت را بیابید

قانون ضرب در صفر را به خاطر بسپارید. این قانون می گوید که محصول صفر است اگر حداقل یکی از عوامل صفر باشد.

در مثال ما ، یکی از عوامل صفر است ، بنابراین بدون اتلاف وقت پاسخ می دهیم که مقدار عبارت صفر است:

مثال 12ارزش یک عبارت را بیابید

اگر حداقل یکی از عوامل برابر صفر باشد ، محصول برابر با صفر است.

در مثال ما ، یکی از عوامل صفر است ، بنابراین بدون اتلاف وقت به مقدار عبارت پاسخ می دهیم برابر با صفر است:

مثال 13ارزش یک عبارت را بیابید

می توانید از ترتیب اعمال استفاده کنید و ابتدا عبارت داخل پرانتز را ارزیابی کنید و پاسخ حاصله را با کسر ضرب کنید.

همچنین می توانید از قانون توزیع ضرب استفاده کنید - هر عبارت را در مجموع در کسر ضرب کرده و نتایج بدست آمده را اضافه کنید. ما از این روش استفاده خواهیم کرد.

با توجه به ترتیب اقدامات ، اگر عبارت شامل جمع و ضرب باشد ، ابتدا باید ضرب انجام شود. بنابراین ، در عبارت جدید حاصله ، پارامترهایی را که باید ضرب شوند در پرانتز قرار می دهیم. بنابراین ما به خوبی خواهیم دید که کدام اقدامات را زودتر و کدام را بعداً انجام دهیم:

اقدام سوم:

پاسخ:ارزش بیان برابر است

راه حل این مثال را می توان بسیار کوتاهتر نوشت. شبیه این خواهد شد:

مشاهده می شود که این مثال حتی در ذهن نیز قابل حل است. بنابراین ، شما باید مهارت تجزیه و تحلیل عبارت را قبل از شروع حل آن توسعه دهید. به احتمال زیاد می توان آن را در سر خود حل کرد و در وقت و اعصاب شما صرفه جویی کرد. و در آزمون ها و امتحانات ، همانطور که می دانید ، زمان بسیار گران است.

مثال 14مقدار عبارت −4.2 × 3.2 را پیدا کنید

به نحوه ضرب ماژول های اعداد منطقی توجه کنید. در این مورد ، ضرب ماژول های اعداد منطقی لازم بود.

مثال 15.مقدار عبارت .0.15 × 4 را بیابید

به نحوه ضرب ماژول های اعداد منطقی توجه کنید. در این مورد ، برای ضرب ماژول های اعداد منطقی ، لازم بود که بتوانیم.

مثال 16مقدار عبارت −4.2 Find (.57.5) را بیابید

این ضرب اعداد منطقی منفی است. ماژول های این اعداد را ضرب می کنیم و یک عدد مثبت را در مقابل پاسخ دریافتی قرار می دهیم

تقسیم اعداد منطقی

قوانین تقسیم اعداد صحیح برای اعداد منطقی نیز معتبر است. به عبارت دیگر ، برای اینکه بتوانید اعداد منطقی را تقسیم کنید ، باید بتوانید

در غیر این صورت ، از روشهای یکسان برای تقسیم کسرهای معمولی و اعشاری استفاده می شود. برای تقسیم کسر معمولی بر کسر دیگر ، باید کسر اول را در معکوس دوم ضرب کنید.

و به اشتراک گذاشتن اعشاریپس از کسر اعشاری دیگر ، باید کاما را در تقسیم تقسیم کنید و در تقسیم کننده به همان تعداد رقمی که بعد از اعشار در تقسیم کننده وجود دارد ، تقسیم کنید ، سپس تقسیم را بر اساس یک عدد معمولی انجام دهید.

مثال 1مقدار عبارت را بیابید:

این تقسیم اعداد منطقی با علائم مختلف است. برای محاسبه چنین عبارتی ، باید کسر اول را در معکوس دوم ضرب کنید.

بنابراین ، بیایید کسر اول را در کسر معکوس دوم ضرب کنیم.

ما ضرب اعداد منطقی با علائم مختلف را بدست آوردیم. ما قبلاً می دانیم که چگونه چنین عباراتی را محاسبه کنیم. برای انجام این کار ، باید ماژول های این اعداد منطقی را ضرب کرده و منهای را در مقابل پاسخ قرار دهید.

اجازه دهید این مثال را تا انتها به پایان برسانیم. می توانید ورودی را با ماژول ها رد کنید تا عبارت را به هم نزنید

بنابراین ، ارزش عبارت است

یک راه حل دقیق به این شکل است:

یک راه حل کوتاه به این شکل است:

مثال 2ارزش یک عبارت را بیابید

این تقسیم اعداد منطقی با علائم مختلف است. برای محاسبه این عبارت ، باید کسر اول را در معکوس دوم ضرب کنید.

معکوس کسر دوم کسری است. کسر اول را در آن ضرب می کنیم:

یک راه حل کوتاه به این شکل است:

مثال 3ارزش یک عبارت را بیابید

این تقسیم اعداد منطقی منفی است. برای محاسبه این عبارت ، دوباره باید کسر اول را در عکس العمل دوم ضرب کنید.

معکوس کسر دوم کسری است. کسر اول را در آن ضرب می کنیم:

ضرب اعداد منطقی منفی را دریافت کرد. ما قبلاً می دانیم که چنین عبارتی چگونه محاسبه می شود. لازم است که ماژول های اعداد منطقی را ضرب کرده و در مقابل پاسخ دریافتی ، یک عدد مثبت را قرار دهید.

اجازه دهید این مثال را تا انتها به پایان برسانیم. می توانید ورودی را با ماژول ها کنار بگذارید تا عبارت به هم ریخته نشود:

مثال 4ارزش یک عبارت را بیابید

برای محاسبه این عبارت ، باید اولین عدد −3 را در کسر معکوس ضرب کنید.

معکوس کسر کسری است. با آن عدد اول −3 را ضرب کنید

مثال 6ارزش یک عبارت را بیابید

برای محاسبه این عبارت ، باید کسر اول را در یک عدد ضرب کنید ، معکوس 4.

معکوس 4 کسری است. کسر اول را در آن ضرب می کنیم.

مثال 5ارزش یک عبارت را بیابید

برای محاسبه این عبارت ، باید کسر اول را در عکس العمل −3 ضرب کنید

معکوس −3 کسری است. کسر اول را در آن ضرب می کنیم:

مثال 6عبارت مقدار .414.4: 1.8 را بیابید

این تقسیم اعداد منطقی با علائم مختلف است. برای محاسبه این عبارت ، باید مدول سود تقسیمی را بر مدول تقسیم کننده تقسیم کنید و یک منفی در مقابل پاسخ دریافت شده قرار دهید

توجه کنید که چگونه مدول سود تقسیمی به مدول تقسیم کننده تقسیم شده است. در این مورد ، مهارت خاصی برای انجام صحیح آن لازم بود.

اگر تمایلی به خراب کردن کسرهای اعشاری وجود ندارد (و این اغلب اتفاق می افتد) ، پس اینها ، سپس این اعداد مخلوط را به کسرهای نامناسب تبدیل کنید و سپس مستقیماً با تقسیم برخورد کنید.

بیایید عبارت قبلی −14.4: 1.8 را به این صورت محاسبه کنیم. بیایید کسرهای اعشاری را به اعداد مختلط تبدیل کنیم:

حالا بیایید اعداد مخلوط حاصل را به کسرهای نامناسب تبدیل کنیم:

اکنون می توانید مستقیماً با تقسیم کار کنید ، یعنی تقسیم کسری به کسری. برای انجام این کار ، باید کسر اول را در معکوس دوم ضرب کنید:

مثال 7ارزش یک عبارت را بیابید

اعشار .0 2.06 را به کسر نامناسب تبدیل کنید و آن کسر را در معکوس دوم ضرب کنید:

کسرهای چند طبقه

اغلب می توانید عبارتی را پیدا کنید که در آن تقسیم کسرها با استفاده از یک نوار کسری نوشته می شود. به عنوان مثال ، یک عبارت را می توان چنین نوشت:

تفاوت بین عبارات و چیست؟ در واقع هیچ تفاوتی وجود ندارد. این دو عبارت دارای یک معنی هستند و می توانید بین آنها علامت مساوی قرار دهید:

در حالت اول ، علامت تقسیم کولون است و عبارت روی یک خط نوشته شده است. در حالت دوم ، تقسیم کسرها با استفاده از میله کسری نوشته می شود. نتیجه کسری است که مردم موافقت کردند آن را صدا کنند چند طبقه.

هنگامی که با چنین عبارات چند سطحی روبرو می شوید ، باید قوانین یکسانی برای تقسیم کسرهای معمولی اعمال کنید. کسر اول باید در معکوس دوم ضرب شود.

استفاده از چنین کسری در محلول بسیار ناخوشایند است ، بنابراین می توانید آنها را به شکل قابل فهم بنویسید ، با استفاده از کولون به عنوان علامت تقسیم ، نه یک نوار کسری.

به عنوان مثال ، اجازه دهید کسری چند طبقه را به روشی قابل فهم بنویسیم. برای انجام این کار ، ابتدا باید دریابید که کسر اول کجاست و کسر دوم کجاست ، زیرا انجام این کار همیشه امکان پذیر نیست. کسرهای چند طبقه دارای خطوط کج هستند که می تواند گیج کننده باشد. معمولاً اسلش اصلی که بخش اول را از قسمت دوم جدا می کند ، طولانی تر از بقیه است.

پس از تعیین خط کسری اصلی ، به راحتی می توانید بفهمید کسر اول کجاست و کسر دوم کجاست:

مثال 2

ما خط کسری اصلی را پیدا می کنیم (طولانی ترین است) و می بینیم که تقسیم یک عدد صحیح −3 به یک کسر معمولی انجام می شود

و اگر به اشتباه نوار کسری دوم را برای اصلی (یکی که کوتاهتر است) در نظر بگیریم ، معلوم می شود که کسر را بر عدد صحیح تقسیم می کنیم 5 در این حالت ، حتی اگر این عبارت به درستی محاسبه شود ، مشکل حل می شود به اشتباه حل شود ، زیرا مورد قابل تقسیم عدد −3 و مقسومه کسر است.

مثال 3بیایید کسر چند طبقه را به شکل قابل فهم بنویسیم

ما خط کسری اصلی را پیدا می کنیم (طولانی ترین است) و می بینیم که کسر به یک عدد صحیح 2 تقسیم می شود

و اگر ما به اشتباه اولین نوار کسری را برای پیشرو (یکی که کوتاهتر است) گرفتیم ، معلوم می شود که ما عدد صحیح −5 را به کسری تقسیم می کنیم. در این مورد ، حتی اگر این عبارت به درستی محاسبه شود ، مشکل به اشتباه حل می شود ، زیرا بخش پذیر در این حالت کسری است و مقسومه یک عدد صحیح 2 است.

علیرغم این واقعیت که کسرهای چند طبقه برای کار ناخوشایند هستند ، ما اغلب با آنها روبرو می شویم ، به ویژه هنگام مطالعه ریاضیات عالی.

به طور طبیعی ، زمان و فضای اضافی برای ترجمه کسری چند طبقه به شکل قابل فهم نیاز است. بنابراین ، می توانید بیشتر استفاده کنید روش سریع... این روش راحت است و در خروجی به شما امکان می دهد یک عبارت آماده دریافت کنید که در آن کسر اول قبلاً در معکوس دوم ضرب شده است.

این روش به شرح زیر اجرا می شود:

اگر کسر ، به عنوان مثال ، چهار طبقه باشد ، رقم طبقه اول به بالاترین طبقه افزایش می یابد. و شکل طبقه دوم به طبقه سوم ارتقاء می یابد. اعداد حاصل باید با نمادهای ضرب (×) متصل شوند

در نتیجه ، با دور زدن نماد میانی ، یک عبارت جدید به دست می آوریم که در آن کسر اول قبلاً در معکوس دوم ضرب شده است. راحتی و موارد دیگر!

برای جلوگیری از اشتباه در هنگام استفاده این روش، می توانید با قانون زیر راهنمایی شوید:

از اول تا چهارم. از دوم به سوم.

در قاعده می آیددر مورد طبقات شکل از طبقه اول باید به طبقه چهارم ارتقا یابد. و شکل از طبقه دوم نیاز به بالا بردن به طبقه سوم دارد.

بیایید سعی کنیم کسر چند طبقه را با استفاده از قانون فوق محاسبه کنیم.

بنابراین ، ما شکل را در طبقه اول به طبقه چهارم می بریم ، و شکل در طبقه دوم به طبقه سوم افزایش می یابد

در نتیجه ، با دور زدن نماد میانی ، یک عبارت جدید به دست می آوریم که در آن کسر اول قبلاً در معکوس دوم ضرب شده است. سپس می توانید از دانش موجود استفاده کنید:

بیایید سعی کنیم کسر چند طبقه را با استفاده از طرح جدید محاسبه کنیم.

در اینجا فقط طبقه اول ، دوم و چهارم وجود دارد. طبقه سوم مفقود است. اما ما از طرح اصلی منحرف نمی شویم: ما شکل را از طبقه اول به طبقه چهارم ارتقا می دهیم. و از آنجا که طبقه سوم وجود ندارد ، ما شکل را در طبقه دوم همانطور که هست می گذاریم

در نتیجه ، با دور زدن نماد میانی ، یک عبارت جدید به دست آوردیم که در آن اولین عدد −3 قبلاً در معکوس دوم ضرب شده است. سپس می توانید از دانش موجود استفاده کنید:

بیایید سعی کنیم کسر چند طبقه را با استفاده از طرح جدید محاسبه کنیم.

در اینجا فقط طبقه دوم ، سوم و چهارم وجود دارد. طبقه اول مفقود شده است. از آنجا که طبقه اول وجود ندارد ، چیزی برای بالا رفتن به طبقه چهارم وجود ندارد ، اما می توانیم تعداد را از طبقه دوم به طبقه سوم افزایش دهیم:

در نتیجه ، با دور زدن نماد میانی ، ما یک عبارت جدید به دست آوردیم که در آن کسر اول قبلاً در متقابل تقسیم کننده ضرب شده است. سپس می توانید از دانش موجود استفاده کنید:

استفاده از متغیرها

اگر عبارت پیچیده است و به نظر می رسد که شما را در روند حل مشکل گیج می کند ، می توانید بخشی از عبارت را در یک متغیر وارد کرده و سپس با این متغیر کار کنید.

ریاضی دانان اغلب این کار را انجام می دهند. یک مشکل پیچیده به زیرکارهای ساده تر تقسیم شده و حل می شود. سپس آنها زیر وظایف حل شده را در یک کل واحد جمع آوری می کنند. این یک فرایند خلاق است و در طول سالها با آموزش سخت آموخته می شود.

هنگام کار با کسرهای چند سطحی استفاده از متغیرها موجه است. مثلا:

مقدار یک عبارت را بیابید

بنابراین ، یک عبارت کسری در شمارنده و مخرج آن وجود دارد عبارات کسری... به عبارت دیگر ، ما یک بخش چند طبقه را پیش روی خود داریم که ما آن را خیلی دوست نداریم.

عبارت موجود در شمارنده را می توان در یک متغیر با هر نامی وارد کرد ، به عنوان مثال:

اما در ریاضیات ، در چنین موردی ، مرسوم است که نام متغیرها را از حروف لاتین بزرگ بگذارید. بیایید این سنت را زیر پا نگذاریم و اولین عبارت را از طریق حرف A مشخص کنیم

و عبارت مخرج را می توان از طریق حرف B بزرگ نشان داد

اکنون عبارت اصلی ما شکل می گیرد. یعنی جایگزینی انجام دادیم بیان عددیبه ترتیب حروف الفبا ، ابتدا عدد و مخرج را در متغیرهای A و B وارد کنید.

اکنون می توانیم مقادیر متغیر A و مقدار متغیر B. را جداگانه محاسبه کنیم. مقادیر آماده شده را در عبارت وارد می کنیم.

مقدار متغیر را بیابید آ

مقدار متغیر را بیابید ب

حال بیایید مقادیر آنها را به جای متغیرهای A و B در عبارت اصلی جایگزین کنیم:

ما یک کسر چند طبقه دریافت کردیم که در آن می توانید از طرح "از اول تا چهارم ، از دوم به سوم" استفاده کنید ، یعنی شکل طبقه اول را به طبقه چهارم برسانید و رقم را در طبقه دوم تا طبقه سوم محاسبه بیشتر دشوار نخواهد بود:

بنابراین ، مقدار عبارت −1 است.

البته ما در نظر گرفته ایم ساده ترین مثال، اما هدف ما این بود که یاد بگیریم چگونه می توانیم از متغیرها برای سهولت کار برای خودمان استفاده کنیم تا اشتباهات را به حداقل برسانیم.

همچنین توجه داشته باشید که راه حل این مثال را می توان بدون استفاده از متغیرها نوشت. شبیه خواهد بود

این راه حل سریعتر و کوتاهتر است ، و در این صورت بهتر است آن را به این صورت بنویسید ، اما اگر عبارت پیچیده باشد و شامل چندین پارامتر ، براکت ، ریشه و قدرت باشد ، توصیه می شود آن را در چندین مرحله ، قرار دادن برخی از عبارات آن در متغیرها.

آیا درس را دوست داشتید؟
به گروه جدید Vkontakte ما بپیوندید و شروع به دریافت اعلانات مربوط به درس های جدید کنید

اهداف درس:

آموزشی:

تدوین قوانین ضرب اعداد با علائم یکسان و متفاوت ؛
تسلط و بهبود مهارت های ضرب اعداد با علائم مختلف.

در حال توسعه:

توسعه عملیات ذهنی: مقایسه ، تعمیم ، تجزیه و تحلیل ، قیاس ؛
توسعه مهارت کار مستقل;
گسترش چشم انداز دانش آموزان

آموزشی:

ترویج فرهنگ ثبت نام ؛
آموزش مسئولیت پذیری ، توجه ؛
افزایش علاقه به موضوع

نوع درس:یادگیری مطالب جدید

تجهیزات:رایانه ، پروژکتور چند رسانه ای ، کارتهای بازی "نبرد ریاضی" ، آزمونها ، کارتهای دانش.

پوسترهایی روی دیوار نصب شده است:

دانش عالی ترین دارایی است. همه برای آن تلاش می کنند ، اما خود به خود نمی آید.
البیرونی
در همه چیز می خواهم به اصل مطلب برسم ...
ب. پاسترناک

طرح درس

لحظه سازمانی (1 دقیقه)
معرفیمعلمان (3 دقیقه)
کار شفاهی (10 دقیقه)
ارائه مطالب (15 دقیقه).
زنجیره ریاضی (5 دقیقه).
مشق شب(2 دقیقه).
آزمایش (6 دقیقه)
خلاصه درس (3 دقیقه).

در طول کلاسها

I. لحظه سازمانی

آمادگی دانش آموزان برای درس

II سخنرانی مقدماتی معلم

بچه ها ، امروز ما نه بیهوده بلکه برای کار ثمربخش: کسب دانش ملاقات کردیم.

از زمان پیدایش جهان ،
چنین شخصی وجود ندارد که به دانش احتیاج نداشته باشد.
چه زبان و سنی را نمی گیریم ،
مردم همیشه برای دانش تلاش کرده اند ...
رودکی

در درسی که خواهیم آموخت مواد جدید، آن را تقویت کنید ، مستقل کار کنید ، خود و رفقایتان را ارزیابی کنید. هر یک از آنها یک کارت دانش روی میز دارند که در آن درس ما به مراحل تقسیم می شود. امتیازاتی که برای آن به دست آورده اید مراحل مختلفدرسی که خود شما در این کارت وارد خواهید کرد. و در پایان درس ، بیایید خلاصه کنیم. این کارت ها را در یک مکان برجسته قرار دهید.

سوم کار شفاهی (در قالب بازی "نبرد ریاضی")

بچه ها ، قبل از شروع موضوع جدید، آنچه را که قبلاً مطالعه کرده بودیم تکرار می کنیم. هر یک از آنها یک ورق کاغذ با بازی "نبرد ریاضی" روی میز کار خود دارند. ستون های عمودی و افقی شامل اعدادی هستند که باید اضافه شوند. این اعداد با نقاط مشخص می شوند. ما پاسخ ها را در آن سلول ها در زمینه ای که نقطه ها در آن هستند می نویسیم.

سه دقیقه برای تکمیل. کار را شروع کردیم.

و اکنون ما با یک همسایه روی میز کار را مبادله کرده ایم و آنها را با یکدیگر بررسی می کنیم. اگر فکر می کنید پاسخ اشتباه است ، آن را با دقت خط کشی کنید و پاسخ صحیح را در کنار آن بنویسید. چک کردن.

حالا بیایید پاسخ ها را با صفحه بررسی کنیم ( پاسخ های صحیح بر روی صفحه نمایش داده می شود).

برای درست حل شدن

5 وظیفه 5 امتیاز قرار می دهیم.
4 وظیفه - 4 امتیاز ؛
3 وظیفه - 3 امتیاز ؛
2 وظیفه - 2 امتیاز ؛
1 وظیفه - 1 امتیاز.

آفرین. همه چیز را کنار می گذاریم. بچه ها ، در کارتهای دانش خود تعداد امتیازهای کسب شده برای "نبرد ریاضی" را وارد می کنیم ( پیوست 1).

IV ارائه مطالب

ما کتابهای کار را باز می کنیم. نوشتن عدد ، کار عالی است.

چه اقدامی در مورد اعداد مثبت و منفی می دانید؟
چگونه دو عدد منفی اضافه کنم؟
چگونه می توان دو عدد با علائم مختلف اضافه کرد؟
چگونه می توان اعداد را با علائم مختلف تفریق کرد؟
شما همیشه از کلمه "module" استفاده می کنید. و چیزی که مدول عدد نامیده می شود آ?

موضوع امروز درس نیز مربوط به عمل بر روی اعداد با علائم مختلف است. اما او در یک آناگرام پنهان شد ، که در آن لازم است حروف را عوض کرده و یک کلمه آشنا بدست آورید. بیایید سعی کنیم آن را کشف کنیم.

مشوقان

ما موضوع درس را می نویسیم: "ضرب".

هدف از درس ما: آشنایی با ضرب مثبت و اعداد منفیو قوانین ضرب اعداد را با علامتهای یکسان و متفاوت تنظیم کنید.

تمام توجه به تابلو. در اینجا جدولی با وظایف وجود دارد که پس از حل آن ، قوانین ضرب اعداد مثبت و منفی را تدوین می کنیم.

2 * 3 = 6 درجه سانتی گراد ؛
–2 * 3 = –6 درجه سانتیگراد ؛
–2 * (- 3) = 6 درجه سانتیگراد ؛
2 * (-- 3) = -6 ° С ؛

1. دمای هوا هر ساعت 2 درجه سانتی گراد افزایش می یابد. اکنون دماسنج 0 درجه سانتی گراد را نشان می دهد ( ضمیمه 2- دماسنج) (اسلاید 1 روی کامپیوتر).

چقدر گرفتی؟(6 ° با).
کسی راه حل را روی تخته سیاه یادداشت می کند و همه ما در دفترچه یادداشت هستیم.
اجازه دهید نگاهی به دماسنج بیندازیم ، آیا جواب درستی گرفتیم؟ (اسلاید 2 روی رایانه).

2. دمای هوا هر ساعت 2 درجه سانتی گراد کاهش می یابد. اکنون دماسنج 0 درجه سانتی گراد را نشان می دهد (اسلاید 3 روی کامپیوتر).دماسنج ظرف 3 ساعت چه دمای هوا را نشان می دهد؟

چقدر گرفتی؟(–6 ° با).
بیایید راه حل مربوطه را روی تخته و در دفترچه یادداشت بنویسیم. قیاس با مسئله 1.
.(اسلاید 4 روی رایانه).

3. دمای هوا هر ساعت 2 درجه سانتی گراد کاهش می یابد. اکنون دماسنج 0 درجه سانتی گراد را نشان می دهد (اسلاید 5 روی رایانه).

چقدر گرفتی؟(6 ° با).
بیایید راه حل مربوطه را روی تخته و در دفترچه یادداشت بنویسیم. قیاس با وظایف 1 و 2.
بیایید نتیجه را با خواندن دماسنج مقایسه کنیم.(اسلاید 6 روی کامپیوتر).

4. دمای هوا هر ساعت 2 درجه سانتی گراد افزایش می یابد. اکنون دماسنج 0 درجه سانتی گراد را نشان می دهد (اسلاید 7 روی رایانه).دماسنج 3 ساعت قبل چه دمای هوا را نشان داد؟

چقدر گرفتی؟(–6 ° با).
بیایید راه حل مربوطه را روی تخته و در دفترچه یادداشت بنویسیم. قیاس با مشکلات 1-3.
بیایید نتیجه را با خواندن دماسنج مقایسه کنیم.(اسلاید 8 روی رایانه).

به نتایج خود نگاهی بیندازید. هنگام ضرب اعداد با علائم مشابه (مثال 1 و 3) ، به کدام علامت پاسخ دادید؟ (مثبت)

خوب اما در مثال 3 ، هر دو عامل منفی هستند و پاسخ مثبت است. کدام مفهوم ریاضی به شما امکان می دهد از اعداد منفی به عدد مثبت بروید؟ (مدول).

قانون توجه:برای ضرب دو عدد با علامت یکسان ، باید ماژول های آنها را ضرب کرده و علامت مثبت را در مقابل نتیجه قرار دهید. (2 نفر تکرار می کنند).

به مثال 3 بازگردیم. ماژول های (–2) و (–3) چیست؟ بیایید این ماژول ها را ضرب کنیم. چقدر گرفتی؟ نشان تو چیست؟

هنگام ضرب اعداد با علائم مختلف (مثال 2 و 4) ، علامت پاسخ چیست؟ (منفی).

قانون خود را برای ضرب اعداد با علائم مختلف تنظیم کنید.

قانون: هنگام ضرب اعداد با علائم مختلف ، باید ماژول های آنها را ضرب کرده و علامت منفی را در مقابل نتیجه قرار دهید. (2 نفر تکرار می کنند).

بیایید به مثالهای شماره 2 و 4 بازگردیم. ماژول های ضرب کننده آنها چیست؟ بیایید این ماژول ها را ضرب کنیم. چقدر گرفتی؟ چه علامتی باید در نتیجه قرار داد؟

با استفاده از این دو قانون ، می توانید کسرها را نیز ضرب کنید: اعشاری ، مخلوط ، معمولی.

در اینجا چند نمونه روی تخته آمده است. ما سه مورد را با من حل می کنیم و بقیه را به تنهایی. به ضبط و طرح بندی توجه کنید.

آفرین. بیایید کتابهای درسی را باز کنیم و قواعدی را که باید برای درس بعدی یاد بگیریم ، یادداشت کنیم (صفحه 190 ، §7 (پاراگراف 35)). آگاهی از این قوانین در آینده به تسلط سریع بر تقسیم اعداد مثبت و منفی کمک می کند.

V. زنجیره ریاضی

و اکنون دانو می خواهد نحوه یادگیری مطالب جدید را بررسی کند و از شما چند سال می پرسد. ما باید راه حل و پاسخ ها را در دفترچه یادداشت کنیم ( ضمیمه 3- زنجیره ریاضی).

ارائه کامپیوتر
سلام بچه ها. می بینم که شما بسیار باهوش و کنجکاو هستید ، بنابراین می خواهم چند سوال از شما بپرسم. مراقب باشید ، مخصوصاً با علائم.
اولین سوال من این است که (–3) را در (–13) ضرب کنم.
س Secondال دوم: آنچه را که در کار اول بدست آوردید ضرب کنید (–0,1).
س Thirdال سوم: نتیجه کار دوم را در (–2) ضرب کنید.
س questionال چهارم: (-1/3) را در نتیجه کار سوم ضرب کنید.
و آخرین ، پنجمین سوال: نقطه انجماد جیوه را با ضرب نتیجه کار چهارم در 15 محاسبه کنید.
ممنون از کار شما. برای شما آرزوی موفقیت می کنم.

بچه ها ، بیایید بررسی کنیم که چگونه با تکالیف کنار آمده ایم. همه برخاستند.

در مأموریت اول چقدر گرفتید؟

هر کسی که پاسخ متفاوتی دارد ، نشست ، و کسی که نشست ، در کارت حسابداری دانش ما 0 امتیاز برای زنجیره ریاضی در نظر گرفتیم. بقیه چیزی شرط نمی بندند.

در کار دوم چقدر درآمد داشتید؟

هر کس پاسخ متفاوتی دارد ، نشست و 1 امتیاز در کارت ثبت دانش برای زنجیره ریاضی قرار داد.

در کار سوم چقدر درآمد داشتید؟

هر کس پاسخ متفاوتی دارد ، نشست و 2 امتیاز در کارت دانش زنجیره ریاضی قرار داد.

در کار چهارم چقدر درآمد داشتید؟

هر کس پاسخ متفاوتی دارد ، نشست و 3 امتیاز در کارت دانش زنجیره ریاضی قرار داد.

در کار پنجم چقدر درآمد داشتید؟

هر کس پاسخ متفاوتی دارد ، نشست و 4 امتیاز در کارت دانش زنجیره ریاضی قرار داد. بچه های باقی مانده هر 5 کار را به درستی حل کردند. بنشینید ، 5 امتیاز برای زنجیره ریاضی در کارت دانش خود قرار داده اید.

نقطه انجماد جیوه چیست؟(–39 درجه سانتی گراد)

Vi مشق شب

§7 (بند 35 ، صفحه 190) ، 121121– کتاب درسی: ریاضیات. درجه 6: [N.Ya. Vilenkin و همکاران]

وظیفه خلاق:ایجاد مسئله برای ضرب اعداد مثبت و منفی.

Vii. تست

ما به مرحله بعدی درس می رویم: اجرای آزمون ( ضمیمه 4).

شما باید مسائل را حل کنید و تعداد پاسخ صحیح را حلقه کنید. برای دو کار اول به درستی انجام شده ، هر کدام 1 امتیاز ، برای کار 3 - 2 امتیاز ، برای کار 4 - 3 امتیاز دریافت خواهید کرد. کار را شروع کردیم.

Δ –1 امتیاز ؛
o -2 امتیاز ؛
- 3 امتیاز

و اکنون ما تعداد پاسخهای صحیح را در جدول زیر آزمون یادداشت می کنیم. بیایید نتایج را بررسی کنیم. شما باید در سلولهای خالی عدد 1418 را داشته باشید. (نوشتن روی تخته)... چه کسی آن را دریافت کرد - 7 امتیاز در کارت ثبت دانش قرار می دهد. کسانی که مرتکب اشتباه شده اند تعداد امتیازهای کسب شده را فقط برای انجام صحیح وظایف روی کارت دانش قرار می دهند.

دقیقاً 1418 روز بود که بزرگ جنگ میهنی، پیروزی که در آن مردم روسیه بهای سنگینی دریافت کردند. و در 9 مه 2010 ما 65 سالگرد پیروزی بر آلمان نازی را جشن خواهیم گرفت.

هشتم خلاصه درس

و اکنون ما کل امتیازهایی را که برای درس کسب کرده اید محاسبه می کنیم و نتایج در کارت دانش دانش آموز وارد می شود. سپس ما این کارت ها را می پردازیم.

15 - 17 امتیاز - نمره "5" ؛
10 - 14 امتیاز - نمره "4" ؛
کمتر از 10 امتیاز - نمره "3".

دستان خود را که "5" ، "4" ، "3" دریافت کرده اند بالا ببرید.

امروز به چه موضوعی پرداختیم؟
نحوه ضرب اعداد با علامت یکسان ؛ با علائم مختلف؟

بنابراین ، درس ما به پایان رسید. می خواهم از کار شما در درس تشکر کنم.