حل نابرابری های نمایی با مدول قدرت. حل نابرابریهای نمایی: روشهای اساسی

جایی که نقش $ b $ می تواند یک عدد معمولی باشد ، یا شاید چیزی سخت تر. مثال ها؟ بله لطفا:

\ [\ start (align) & ((2) ^ (x)) \ gt 4؛ \ quad ((2) ^ (x-1)) \ le \ frac (1) (\ sqrt (2))؛ \ چهار ((2) ^ (((x) ^ (2)) - 7x + 14)) \ lt 16 ؛ \\ & ((0،1) ^ (1-x)) \ lt 0،01؛ \ quad ((2) ^ (\ frac (x) (2))) \ lt ((4) ^ (\ frac (4) (x))). \\\ پایان (تراز کردن) \]

من فکر می کنم معنی واضح است: یک تابع نمایی $ ((a) ^ (x)) $ وجود دارد ، آن را با چیزی مقایسه می کنند ، و سپس از او می خواهند $ x $ را پیدا کند. در موارد بالینی ، به جای متغیر $ x $ ، آنها می توانند برخی از تابع $ f \ چپ (x \ راست) $ را حرکت دهند و در نتیجه نابرابری را کمی پیچیده کنند. :)

البته در برخی موارد نابرابری شدیدتر به نظر می رسد. مثلا:

\ [((9) ^ (x)) + 8 \ gt ((3) ^ (x + 2)) \]

یا حتی این:

به طور کلی ، پیچیدگی چنین نابرابری هایی می تواند بسیار متفاوت باشد ، اما در نهایت هنوز به یک ساختار ساده $ ((a) ^ (x)) \ gt b $ کاهش می یابد. و ما به طریقی با چنین طرحی آن را مشخص خواهیم کرد (در موارد بالینی ، به ویژه هنگامی که چیزی به ذهن خطور نمی کند ، لگاریتم ها به ما کمک می کنند). بنابراین ، اکنون ما به شما نحوه حل چنین سازه های ساده را آموزش می دهیم.

حل ساده ترین نابرابری های نمایی

بیایید چیزی را کاملاً ساده در نظر بگیریم. به عنوان مثال ، این:

\ [(((2) ^ (x)) \ gt 4 \]

بدیهی است که می توان عدد سمت راست را به صورت قدرت دو بازنویسی کرد: $ 4 = ((2) ^ (2)) $. بنابراین ، نابرابری اصلی را می توان به شکلی بسیار مناسب بازنویسی کرد:

\ [(((2) ^ (x)) \ gt ((2) ^ (2)) \]

و اکنون دستها برای "خط خوردن" دو در پایه درجه برای ایجاد پاسخ $ x \ gt 2 $ خارش دارند. اما قبل از بیان هر چیزی ، قدرت دو را به خاطر بسپاریم:

\ [(((2) ^ (1)) = 2؛ \ quad ((2) ^ (2)) = 4؛ \ quad ((2) ^ (3)) = 8؛ \ quad ((2) ^ ( 4)) = 16 ؛ ... \]

همانطور که می بینید ، چه چیزی بیشترعدد خروجی بزرگتر است. "متشکرم ، کلاه!" - یکی از دانش آموزان فریاد می زند. آیا فرقی می کند؟ متأسفانه ، این اتفاق می افتد. مثلا:

\ [((\ \ چپ (\ frac (1) (2) \ راست)) ^ (1)) = \ frac (1) (2)؛ \ quad ((\ \ چپ (\ فراک (1) (2) \) راست)) ^ (2)) = \ frac (1) (4)؛ \ quad ((\ \ چپ (\ frac (1) (2) \ راست)) ^ (3)) = \ frac (1) (8 ) ؛ ... \]

در اینجا نیز همه چیز منطقی است: هر چه درجه بیشتر باشد ، عدد 0.5 در خود ضرب می شود (یعنی به نصف تقسیم می شود). بنابراین ، دنباله ای از اعداد کاهش می یابد و تفاوت بین دنباله اول و دوم فقط در پایه است:

• اگر پایه مدرک $ a \ gt 1 $ باشد ، در صورت رشد $ $ $ ، عدد $ ((a) ^ (n)) $ نیز رشد می کند.
• برعکس ، اگر $ 0 \ lt a \ lt 1 $ باشد ، با افزایش نماد $ n $ ، تعداد $ ((a) ^ (n)) $ کاهش می یابد.

با جمع بندی این حقایق ، به مهمترین گزاره ای می رسیم که کل تصمیم بر اساس آن است. نابرابری های نمایی:

اگر $ a \ gt 1 $ ، پس نابرابری $ ((a) ^ (x)) \ gt ((a) ^ (n)) $ معادل نابرابری $ x \ gt n $ است. اگر $ 0 \ lt a \ lt 1 $ ، پس نابرابری $ ((a) ^ (x)) \ gt ((a) ^ (n)) $ معادل نابرابری $ x \ lt n $ است.

به عبارت دیگر ، اگر پایه بزرگتر از یک باشد ، می توانید آن را به سادگی حذف کنید - علامت نابرابری تغییر نمی کند. و اگر پایه کمتر از یک باشد ، می توان آن را نیز حذف کرد ، اما در این مورد ، علامت نابرابری نیز باید تغییر کند.

لطفاً توجه داشته باشید: ما گزینه های $ a = 1 $ و $ a \ le 0 $ را در نظر نگرفته ایم. زیرا در این موارد عدم قطعیت بوجود می آید. بیایید بگوییم چگونه نابرابری مانند $ ((1) ^ (x)) \ gt 3 $ را حل کنیم؟ یکی به هر درجه دیگری را دوباره می دهد - ما هرگز سه یا بیشتر نخواهیم گرفت. آن ها هیچ راه حلی

حتی با دلایل منفی جالب تر است. به عنوان مثال ، این نابرابری را در نظر بگیرید:

\ [((\ \ چپ (-2 \ راست)) ^ (x)) \ gt 4 \]

در نگاه اول ، همه چیز ساده است:

درست؟ اما نه! برای اطمینان از اشتباه بودن راه حل ، کافی است یک عدد زوج و یک زوج را با $ x $ جایگزین کنید. نگاهی بیاندازید:

\ [\ شروع (تراز کردن) & x = 4 \ Rightarrow ((\ \ چپ (-2 \ راست)) ^ (4)) = 16 \ gt 4؛ \\ & x = 5 \ Rightarrow ((\ \ چپ (-2 \ راست)) ^ (5)) = - 32 \ lt 4؛ \\ & x = 6 \ Rightarrow ((\ \ چپ (-2 \ راست)) ^ (6)) = 64 \ gt 4؛ \\ & x = 7 \ Rightarrow ((\ \ left (-2 \ right)) ^ (7)) = - 128 \ lt 4. \\\ end (تراز) \]

همانطور که می بینید ، علائم متناوب هستند. اما هنوز وجود دارد قدرت های کسریو قلع دیگر به عنوان مثال ، چگونه می توانید $ ((\ چپ (-2 \ راست)) ^ (\ sqrt (7))) $ (منهای دو به توان هفت) را شمارش کنید؟ به هیچ وجه!

بنابراین ، برای قطعیت ، فرض بر این است که در همه نابرابری های نمایی (و اتفاقاً معادلات نیز) $ 1 \ ne a \ gt 0 $. و سپس همه چیز بسیار ساده حل می شود:

\ [((a) ^ (x)) \ gt ((a) ^ (n)) \ Rightarrow \ left [\ begin (align) & x \ gt n \ quad \ left (a \ gt 1 \ right)، \\ & x \ lt n \ quad \ left (0 \ lt a \ lt 1 \ right). \\\ پایان (تراز کردن) \ راست. \]

به طور کلی ، یک بار دیگر قانون اصلی را به خاطر بسپارید: اگر پایه در معادله نمایی بیشتر از یک باشد ، می توانید آن را به سادگی حذف کنید. و اگر پایه کمتر از یک باشد ، می توان آن را نیز حذف کرد ، اما علامت نابرابری تغییر می کند.

نمونه های راه حل

بنابراین ، چند نابرابری نمایی ساده را در نظر بگیرید:

\ [\ start (align) & ((2) ^ (x-1)) \ le \ frac (1) (\ sqrt (2))؛ \\ & ((0،1) ^ (1-x)) \ lt 0.01؛ \\ & ((2) ^ (((x) ^ (2)) - 7x + 14)) \ lt 16؛ \\ & ((0،2) ^ (1 + ((x) ^ (2)))) \ ge \ frac (1) (25). \\\ پایان (تراز کردن) \]

وظیفه اصلی در همه موارد یکسان است: کاهش نابرابری ها به ساده ترین شکل $ ((a) ^ (x)) \ gt ((a) ^ (n)) $. این دقیقاً همان کاری است که ما در حال حاضر با هر نابرابری انجام می دهیم ، و در عین حال خواص درجه ها و تابع نمایی را تکرار می کنیم. پس بزن بریم!

\ [((2) ^ (x-1)) \ le \ frac (1) (\ sqrt (2)) \]

اینجا چه کاری می توان انجام داد؟ خوب ، در سمت چپ ما در حال حاضر یک عبارت آشکار داریم - هیچ چیز نباید تغییر کند. اما در سمت راست نوعی مزخرف وجود دارد: کسری ، و حتی ریشه ای در مخرج!

با این حال ، بیایید قوانین کار با کسر و قدرت را به خاطر بسپاریم:

\ [\ شروع (تراز کردن) & \ frac (1) (((a) ^ (n))) = ((a) ^ (- n)) ؛ \\ & \ sqrt [k] (a) = ((a) ^ (\ frac (1) (k))). \\\ پایان (تراز کردن) \]

چه مفهومی داره؟ اول ، ما به راحتی می توانیم با تبدیل کسر به قدرتی با ضریب منفی از شر آن خلاص شویم. و ثانیاً ، از آنجا که مخرج ریشه دارد ، خوب است که آن را نیز به قدرت تبدیل کنیم - این بار با ضریب کسری.

ما این اقدامات را به ترتیب در سمت راست نابرابری اعمال می کنیم و می بینیم چه اتفاقی می افتد:

\ [\ frac (1) (\ sqrt (2)) = ((\ \ چپ (\ sqrt (2) \ راست)) ^ (- 1)) = ((\ \ چپ (((2) ^ ^ \ \ frac ( 1) (3))) \ راست)) ^ (- 1)) = ((2) ^ (\ frac (1) (3) \ cdot \ چپ (-1 \ راست))) = ((2) ^) (- \ frac (1) (3)))]]

فراموش نکنید که هنگام بالا بردن درجه به درجه ، شاخص های این مدارک اضافه می شود. و به طور کلی ، هنگام کار با معادلات نمایی و نابرابری ها ، دانستن حداقل ساده ترین قوانین برای کار با مدارک ضروری است:

\ [\ شروع (تراز کردن) & ((a) ^ (x)) \ cdot ((a) ^ (y)) = ((a) ^ (x + y)) ؛ \\ & \ frac (((a) ^ (x))) ((a) ^ (y))) = ((a) ^ (x-y)) ؛ \\ & ((\ چپ (((a) ^ (x)) \ right)) ^ (y)) = ((a) ^ (x \ cdot y)). \\\ پایان (تراز کردن) \]

در واقع ، ما فقط آخرین قانون را اعمال کردیم. بنابراین ، نابرابری اصلی ما به شرح زیر بازنویسی می شود:

\ [((2) ^ (x-1)) \ le \ frac (1) (\ sqrt (2)) \ Rightarrow ((2) ^ (x-1)) \ le ((2) ^ (-\ frac (1) (3)))]]

حالا ما از شر این دو در پایه خلاص می شویم. از آنجا که 2> 1 ، علامت نابرابری ثابت است:

\ [\ شروع (تراز کردن) & x-1 \ le- \ frac (1) (3) \ Rightarrow x \ le 1- \ frac (1) (3) = \ frac (2) (3)؛ \\ & x \ in \ left (- \ infty؛ \ frac (2) (3) \ right]. \\\ end (align) \]

این کل راه حل است! مشکل اصلی اصلاً در عملکرد نمایی نیست ، بلکه در تبدیل صحیح عبارت اصلی است: شما باید با دقت و در اسرع وقت آن را به ساده ترین شکل خود برسانید.

دومین نابرابری را در نظر بگیرید:

\ [((0،1) ^ (1-x)) \ lt 0،01 \]

خب خب. در اینجا کسرهای اعشاری در انتظار ما هستند. همانطور که بارها گفتم ، در هر عبارت با قدرت ، باید کسرهای اعشاری را از بین ببرید - اغلب این تنها راه برای دیدن راه حل سریع و آسان است. بنابراین ما از شر این موارد خلاص می شویم:

\ [\ شروع (تراز کردن) & 0،1 = \ frac (1) (10)؛ \ quad 0،01 = \ frac (1) (100) = ((\ \ چپ (\ frac (1) (10) \) راست)) ^ (2)) ؛ \\ & ((0،1) ^ (1-x)) \ lt 0،01 \ Rightarrow ((\ \ چپ (\ frac (1) (10) \ راست)) ^ (1-x)) \ lt ( (\ چپ (\ frac (1) (10) \ راست)) ^ (2)). \\\ پایان (تراز کردن) \]

ما دوباره ساده ترین نابرابری را پیش روی خود داریم و حتی با پایه 1/10 ، یعنی کمتر از یک خوب ، ما پایه ها را حذف می کنیم ، در طول مسیر علامت را از "کمتر" به "بیشتر" تغییر می دهیم و بدست می آوریم:

\ [\ شروع (تراز کردن) & 1-x \ gt 2؛ \\ & -x \ gt 2-1؛ \\ & -x \ gt 1؛ \\ & x \ lt -1. \\\ پایان (تراز کردن) \]

ما پاسخ نهایی را دریافت کردیم: $ x \ in \ left ( - \ infty؛ -1 \ right) $. لطفاً توجه داشته باشید: پاسخ دقیقاً تنظیم شده است و به هیچ وجه ساختاری مانند $ x \ lt -1 $ نیست. زیرا از نظر رسمی چنین ساختاری اصلاً یک مجموعه نیست ، بلکه یک نابرابری نسبت به متغیر $ x $ است. بله ، بسیار ساده است ، اما جواب نمی دهد!

یادداشت مهم... این نابرابری را می توان به روش دیگری - با کاهش هر دو قسمت به درجه ای با پایه بزرگتر از یک - حل کرد. نگاهی بیاندازید:

\ [\ frac (1) (10) = ((10) ^ (- 1)) \ Rightarrow ((\ \ چپ (((10) ^ (- 1)) \ راست)) ^ (1-x)) \ lt ((\ چپ (((10) ^ (- 1)) \ راست)) ^ (2)) \ Rightarrow ((10) ^ (- 1 \ cdot \ چپ (1-x \ راست))) \ lt ((10) ^ (- 1 \ cdot 2)) \]

پس از چنین دگرگونی ، ما دوباره یک نابرابری نمایی به دست می آوریم ، اما با مبنای 10> 1. این بدان معناست که شما می توانید ده را به سادگی رد کنید - علامت نابرابری در این مورد تغییر نمی کند. ما گرفتیم:

\ [\ شروع (تراز کردن) & -1 \ cdot \ چپ (1 -x \ راست) \ lt -1 \ cdot 2؛ \\ & x -1 \ lt -2؛ \\ & x \ lt -2 + 1 = -1؛ \\ & x \ lt -1. \\\ پایان (تراز کردن) \]

همانطور که می بینید ، پاسخ دقیقاً یکسان است. در همان زمان ، ما خود را از نیاز به تغییر علامت نجات دادیم و به طور کلی برخی از قوانین را در آنجا به خاطر داریم. :)

\ [(((2) ^ (((x) ^ (2)) - 7x + 14)) \ lt 16 \]

با این حال ، از این نترسید. هر چه در شاخص ها وجود دارد ، فناوری حل نابرابری به خودی خود ثابت می ماند. بنابراین ، ابتدا توجه داشته باشید که 16 = 2 4. بیایید نابرابری اصلی را با در نظر گرفتن این واقعیت بازنویسی کنیم:

\ [\ شروع (تراز کردن) & ((2) ^ (((x) ^ (2)) - 7x + 14)) \ lt ((2) ^ (4)) ؛ \\ & ((x) ^ (2)) - 7x + 14 \ lt 4 ؛ \\ & ((x) ^ (2)) - 7x + 10 \ lt 0. \\\ end (align) \]

هورا! ما نابرابری مربع معمول را دریافت کردیم! علامت در هیچ جا تغییر نکرد ، زیرا در پایه دو عدد وجود دارد - عددی بزرگتر از یک.

تابع صفر در خط عدد

ما علامت های تابع $ f \ left (x \ right) = ((x) ^ (2)) - 7x + 10 $ را قرار می دهیم - بدیهی است که نمودار آن یک سهمی با شاخه های بالا خواهد بود ، بنابراین عبارات مثبت در آن وجود خواهد داشت جوانب. ما به منطقه ای علاقه داریم که تابع آن کمتر از صفر است ، یعنی $ x \ در \ چپ (2 ؛ 5 \ راست) $ - این پاسخ به مشکل اصلی است.

در نهایت ، نابرابری دیگری را در نظر بگیرید:

\ [((0،2) ^ (1 + ((x) ^ (2)))) \ ge \ frac (1) (25) \]

دوباره می بینیم تابع نماییبا اعشار در پایین ما این کسر را به یک بخش معمولی ترجمه می کنیم:

\ [\ شروع (تراز کردن) & 0،2 = \ frac (2) (10) = \ frac (1) (5) = ((5) ^ (-- 1)) \ Rightarrow \\ & \ Rightarrow ((0 ، 2) ^ (1 + ((x) ^ (2)))) = ((\ چپ (((5) ^ (- 1)) \ راست)) ^ (1 + ((x) ^ (2) ))) = ((5) ^ (- 1 \ cdot \ چپ (1 + ((x) ^ (2)) \ راست))) \ پایان (تراز کردن) \]

در این مورد ، ما از تذکر قبلی استفاده کردیم - پایه را به عدد 5> 1 کاهش دادیم تا تصمیم گیری بعدی خود را ساده تر کنیم. بیایید همین کار را با سمت راست انجام دهیم:

\ [\ frac (1) (25) = ((\ \ چپ (\ frac (1) (5) \ راست)) ^ (2)) = (\ \ چپ (((5) ^ (- 1)) \ راست)) ^ (2)) = ((5) ^ (- 1 \ cdot 2)) = ((5) ^ (- 2)) \]

بیایید با در نظر گرفتن هر دو تغییر ، نابرابری اصلی را بازنویسی کنیم:

\ [((0،2) ^ (1 + ((x) ^ (2)))) \ ge \ frac (1) (25) \ Rightarrow ((5) ^ (- 1 \ cdot \ چپ (1+) ((x) ^ (2)) \ راست))) \ ge ((5) ^ (- 2)) \]

پایه های هر دو طرف یکسان است و از یک فراتر می رود. در سمت راست و چپ هیچ اصطلاح دیگری وجود ندارد ، بنابراین ما فقط پنج ها را "خط می کشیم" و یک عبارت ساده می گیریم:

\ [\ شروع (تراز کردن) & -1 \ cdot \ چپ (1 + ((x) ^ (2)) \ راست) \ ge -2؛ \\ & -1 -((x) ^ (2)) \ ge -2؛ \\ & - ((x) ^ (2)) \ ge -2 + 1؛ \\ & - ((x) ^ (2)) \ ge -1؛ \ quad \ left | \ cdot \ left (-1 \ right) \ right. \\ & ((x) ^ (2)) \ le 1. \\\ پایان (تراز کردن) \]

در اینجا باید مراقب باشید. بسیاری از دانش آموزان دوست دارند به سادگی استخراج کنند ریشه دومهر دو طرف نابرابری و نوشتن چیزی مانند $ x \ le 1 \ Rightarrow x \ in \ left ( - \ infty؛ -1 \ right] $. این کار هرگز نباید انجام شود ، زیرا ریشه یک مربع دقیق ماژول است و به هیچ وجه متغیر اصلی:

\ [\ sqrt (((x) ^ (2))) = \ چپ | x \ right | \]

با این حال ، کار با ماژول ها خوشایندترین تجربه نیست ، اینطور است؟ بنابراین ما قصد کار نداریم. در عوض ، ما فقط همه اصطلاحات را به چپ منتقل کرده و نابرابری معمول را با استفاده از روش فاصله حل می کنیم:

$ \ begin (تراز کردن) & ((x) ^ (2)) - 1 \ le 0؛ \\ & \ left (x-1 \ right) \ left (x + 1 \ right) \ le 0 \\ & ((x) _ (1)) = 1؛ \ quad ((x) _ (2)) = -1 ؛ \\\ پایان (تراز کردن) $

دوباره نقاط بدست آمده را روی خط عدد علامت گذاری کرده و به علائم نگاه کنید:

از آنجا که ما در حال حل یک نابرابری غیر سخت بودیم ، تمام نقاط موجود در نمودار پر شده است. بنابراین ، پاسخ چنین خواهد بود: $ x \ in \ left [-1؛ 1 \ right] $ یک فاصله نیست ، بلکه یک بخش است.

به طور کلی ، می خواهم توجه داشته باشم که هیچ چیز در نابرابری های نمایی پیچیده نیست. معنی همه تغییراتی که امروز انجام دادیم به یک الگوریتم ساده خلاصه می شود:

• پایه ای را که همه درجات را برای آن کاهش می دهیم پیدا کنید.
• تغییرها را با دقت انجام دهید تا نابرابری شکل $ ((a) ^ (x)) \ gt ((a) ^ (n)) $ حاصل شود. البته ، به جای متغیرهای $ x $ و $ n $ ، می تواند خیلی بیشتر باشد توابع پیچیده، اما معنی از این تغییر نخواهد کرد.
• پایه درجات را کنار بزنید. در این حالت ، اگر پایه $ $ \ lt 1 $ باشد ، ممکن است نشانه نابرابری تغییر کند.

در واقع اینطور است الگوریتم جهانیراه حل هایی برای همه این نابرابری ها. و همه آنچه که هنوز در مورد این موضوع به شما می گوید فقط تکنیک ها و ترفندهای خاصی برای ساده سازی و سرعت بخشیدن به تحول است. اکنون در مورد یکی از این تکنیک ها صحبت خواهیم کرد. :)

روش منطقی سازی

یک دسته دیگر از نابرابری ها را در نظر بگیرید:

\ [\ start (align) & ((\ text () \! \! \ pi \! \! \ text ()) ^ (x + 7)) \ gt ((\ text () \! \! \ pi \! \! \ متن ()) ^ (((x) ^ (2)) - 3x + 2)) ؛ \\ & ((\ \ چپ (2 \ sqrt (3) -3 \ راست)) ^ (((x) ^ (2)) - 2x)) \ lt 1؛ \\ & ((\ \ left (\ frac (1) (3) \ right)) ^ ((((x) ^ (2)) + 2x)) \ gt ((\ \ left (\ frac (1) (9) \ راست)) ^ (16-x)) ؛ \\ & ((\ \ چپ (3-2 \ sqrt (2) \ راست)) ^ (3x - ((x) ^ (2)))) \ lt 1. \\\ انتها (تراز) \]

پس چه ویژگی خاصی در آنها وجود دارد؟ آنها سبک وزن هستند گرچه ، بس کن! آیا π تا حدی بالا می رود؟ این چه مزخرفیه؟

چگونه می توان عدد $ 2 \ sqrt (3) -3 $ را به توان افزایش داد؟ یا $ 3-2 \ sqrt (2) $؟ بدیهی است نویسندگان مشکل قبل از شروع کار از زالزالک مست شده بودند. :)

در واقع ، هیچ مشکلی در این وظایف وجود ندارد. اجازه دهید به شما یادآوری کنم: یک تابع نمایی بیان فرم $ ((a) ^ (x)) $ است ، جایی که پایه $ a $ هر عدد مثبت است ، به استثنای یک. عدد π مثبت است - ما این را قبلاً می دانیم. اعداد $ 2 \ sqrt (3) -3 $ و 3-2 $ / sqrt (2) $ نیز مثبت هستند - اگر آنها را با صفر مقایسه کنید به راحتی می توانید این را ببینید.

معلوم می شود که همه این نابرابری های "ترسناک" با موارد ساده مورد بحث بالا تفاوتی ندارند؟ و آیا به همین ترتیب حل شده اند؟ بله درست است. با این حال ، با استفاده از مثال آنها ، می خواهم تکنیکی را در نظر بگیرم که زمان زیادی را صرفه جویی می کند کار مستقلو امتحانات این در مورد روش منطقی سازی است. بنابراین ، توجه:

هرگونه نابرابری نمایی شکل $ ((a) ^ (x)) \ gt ((a) ^ (n)) $ معادل نابرابری $ \ left (xn \ right) \ cdot \ left (a-1 \ راست) \ gt 0 $.

این کل روش است. :) آیا فکر می کردید بازی بعدی برگزار شود؟ چیزی شبیه این! اما این واقعیت ساده که به معنای واقعی کلمه در یک خط نوشته شده است ، کار ما را بسیار ساده خواهد کرد. نگاهی بیاندازید:

\ [\ شروع (ماتریس) ((\ متن () \! \! \ pi \! \! \ text ()) ^ (x + 7)) \ gt ((\ text () \! \! \ pi \ ! \! \ متن ()) ^ ((((x) ^ (2)) - 3x + 2)) \\ \ Downarrow \\ \ left (x + 7- \ left (((x) ^ (2)) -3x + 2 \ right) \ right) \ cdot \ left (\ text () \! \! \ Pi \! \! \ Text () -1 \ right) \ gt 0 \\\ انتها (ماتریس) \]

دیگر توابع نشانگر وجود ندارد! و نیازی نیست به یاد داشته باشید که آیا علامت تغییر می کند یا نه. ولی اینجا هست مشکل جدید: با ضرب لعنتی \ [\ left (\ text () \! \! \ pi \! \! \ text () -1 \ right) \] چه باید کرد؟ ما نمی دانیم مقدار دقیق π چقدر است. با این حال ، به نظر می رسد کاپیتان به وضوح اشاره می کند:

\ [\ text () \! \! \ pi \! \! \ text () \ approx 3.14 ... \ gt 3 \ Rightarrow \ text () \! \! \ pi \! \! \ text () - 1 \ gt 3-1 = 2 \]

به طور کلی ، مقدار دقیق π واقعاً ما را اذیت نمی کند - فقط برای ما مهم است که بدانیم در هر صورت $ \ text () \! \! \ Pi \! \! \ Text () -1 \ gt 2 $ ، یعنی .e این یک ثابت مثبت است و ما می توانیم هر دو طرف نابرابری را با آن تقسیم کنیم:

\ [\ شروع (تراز کردن) & \ چپ (x + 7- \ چپ (((x) ^ (2)) - 3x + 2 \ راست) \ راست) \ cdot \ چپ (\ متن () \! \! \ pi \! \! \ text () -1 \ right) \ gt 0 \\ & x + 7- \ left (((x) ^ (2)) - 3x + 2 \ راست) \ gt 0؛ \\ & x + 7 - ((x) ^ (2)) + 3x-2 \ gt 0؛ \\ & - ((x) ^ (2)) + 4x + 5 \ gt 0؛ \ quad \ left | \ cdot \ left (-1 \ right) \ right. \\ & ((x) ^ (2)) - 4x -5 \ lt 0 ؛ \\ & \ چپ (x-5 \ راست) \ چپ (x + 1 \ راست) \ lt 0. \\\ انتها (تراز) \]

همانطور که می بینید ، در یک لحظه معین مجبور شدم بر منهای یک تقسیم کنم و علامت نابرابری تغییر کرد. در پایان ، من سه ضلعی مربعی را با توجه به قضیه ویتا گسترش دادم - بدیهی است که ریشه ها $ ((x) _ (1)) = 5 $ و $ ((x) _ (2)) = - 1 $ است. سپس همه چیز با روش کلاسیک فواصل حل می شود:

همه نقاط سوراخ می شوند زیرا نابرابری اصلی سخت است. ما به ناحیه ای با مقادیر منفی علاقه داریم ، بنابراین پاسخ $ x \ در \ چپ (-1 ؛ 5 \ راست) $ است. این کل راه حل است. :)

بیایید به کار بعدی برویم:

\ [((\ \ چپ (2 \ sqrt (3) -3 \ راست)) ^ (((x) ^ (2)) - 2x)) \ lt 1 \]

به طور کلی ، همه چیز در اینجا ساده است ، زیرا یکی در سمت راست وجود دارد. و ما به یاد داریم که یکی هر عددی است تا درجه صفر. حتی اگر این عدد یک عبارت غیر منطقی در پایین سمت چپ باشد:

\ [\ شروع (تراز کردن) & ((\ \ چپ (2 \ sqrt (3) -3 \ راست)) ^ (((x) ^ (2)) - 2x)) \ lt 1 = ((\ چپ (2 \ sqrt (3) -3 \ right)) ^ (0))؛ \\ & ((\ \ چپ (2 \ sqrt (3) -3 \ راست)) ^ (((x) ^ (2)) -2x)) \ lt ((\ \ چپ (2 \ sqrt (3) -3 \ راست)) ^ (0))؛ \\\ پایان (تراز کردن) \]

خوب ، بیایید منطقی باشیم:

\ [\ start (align) & \ left (((x) ^ (2)) - 2x-0 \ right) \ cdot \ left (2 \ sqrt (3) -3-1 \ right) \ lt 0؛ \\ & \ left (((x) ^ (2)) -2x -0 \ right) \ cdot \ left (2 \ sqrt (3) -4 \ right) \ lt 0؛ \\ & \ left (((x) ^ (2)) -2x -0 \ right) \ cdot 2 \ left (\ sqrt (3) -2 \ right) \ lt 0. \\\ انتها (تراز) \ ]

فقط رسیدگی به علائم باقی مانده است. فاکتور $ 2 \ چپ (\ sqrt (3) -2 \ راست) $ متغیر $ x $ ندارد - فقط یک ثابت است و ما باید علامت آن را دریابیم. برای این کار به موارد زیر توجه کنید:

\ [\ begin (matrix) \ sqrt (3) \ lt \ sqrt (4) = 2 \\ \ Downarrow \\ 2 \ left (\ sqrt (3) -2 \ right) \ lt 2 \ cdot \ left (2 -2 \ راست) = 0 \\\ انتها (ماتریس) \]

به نظر می رسد که عامل دوم فقط یک ثابت نیست ، بلکه یک ثابت منفی است! و هنگام تقسیم بر آن ، علامت نابرابری اصلی به عکس دیگر تغییر می کند:

\ [\ start (align) & \ left (((x) ^ (2)) - 2x-0 \ right) \ cdot 2 \ left (\ sqrt (3) -2 \ right) \ lt 0؛ \\ & ((x) ^ (2)) - 2x -0 \ gt 0 ؛ \\ & x \ چپ (x-2 \ راست) \ gt 0. \\\ انتها (تراز) \]

اکنون همه چیز کاملاً آشکار می شود. ریشه های سه ضلعی مربعی در سمت راست عبارتند از: $ ((x) _ (1)) = 0 $ و $ ((x) _ (2)) = 2 $. آنها را در خط عدد علامت گذاری می کنیم و علائم تابع $ f \ left (x \ right) = x \ left (x-2 \ right) $ را مشاهده می کنیم:

ما به فواصل زمانی که با علامت بعلاوه مشخص شده اند علاقه مند هستیم. فقط نوشتن پاسخ باقی می ماند:

به مثال بعدی بروید:

\ [((\ \ چپ (\ frac (1) (3) \ راست)) ^ (((x) ^ (2)) + 2x)) \ gt ((\ \ چپ (\ frac (1) (9) \) راست)) ^ (16-x)) \]

خوب ، همه چیز در اینجا کاملاً واضح است: در پایگاه ها توانی به همان تعداد وجود دارد. بنابراین ، من همه چیز را به طور خلاصه مینویسم:

\ [\ start (ماتریس) \ frac (1) (3) = ((3) ^ (- 1))؛ \ quad \ frac (1) (9) = \ frac (1) (((3) ^ ( 2))) = ((3) ^ (- 2)) \\ \ Downarrow \\ ((\ \ چپ (((3) ^ (- 1)) \ راست)) ^ ((((x) ^ (2) ) + 2x)) \ gt ((\ \ چپ (((3) ^ (- 2)) \ راست)) ^ (16-x)) \\\ انتها (ماتریس) \]

\ [\ شروع (تراز کردن) & ((3) ^ (- 1 \ cdot \ چپ ((((x) ^ (2)) + 2x \ راست))) \ gt ((3) ^ (- 2 \ cdot \) چپ (16-x \ راست))) ؛ \\ & ((3) ^ (- (((x) ^ (2))- 2x)) \ gt ((3) ^ (- 32 + 2x)) ؛ \\ & \ left (- ((x) ^ (2))- 2x- \ left (-32 + 2x \ right) \ right) \ cdot \ left (3-1 \ right) \ gt 0؛ \\ & - ((x) ^ (2)) - 2x + 32-2x \ gt 0 ؛ \\ & - ((x) ^ (2)) - 4x + 32 \ gt 0؛ \ quad \ left | \ cdot \ چپ (-1 \ راست) \ راست \\ & ((x) ^ (2)) + 4x-32 \ lt 0؛ \\ & \ چپ (x + 8 \ راست) \ چپ (x-4 \ راست) \ lt 0. \\\ انتها (تراز) \]

همانطور که می بینید ، در طول فرآیند تحول ، ما مجبور شدیم ضرب در عدد منفی، بنابراین علامت نابرابری تغییر کرده است. در پایان ، من دوباره قضیه ویتا را برای فاکتور گیری سه ضلعی مربع به کار گرفتم. در نتیجه ، پاسخ به شرح زیر خواهد بود: $ x \ در \ چپ (-8 ؛ 4 \ راست) $ - کسانی که مایلند می توانند با کشیدن یک خط عددی ، علامت گذاری نقاط و شمارش علائم ، این موضوع را تأیید کنند. در همین حال ، ما به آخرین نابرابری از "مجموعه" خود می پردازیم:

\ [((\ \ چپ (3-2 \ sqrt (2) \ راست)) ^ (3x - ((x) ^ (2)))) \ lt 1 \]

همانطور که می بینید ، در پایه دوباره ایستاده است عدد گنگ، و یکی دیگر در سمت راست می ایستد. بنابراین ، ما نابرابری نمایی خود را به شرح زیر بازنویسی می کنیم:

\ [((\ چپ (3-2 \ sqrt (2) \ راست)) ^ (3x-((x) ^ (2)))) \ lt ((\ \ چپ (3-2 \ sqrt (2) \) راست)) ^ (0)) \]

ما از عقلانیت استفاده می کنیم:

\ [\ شروع (تراز کردن) & \ چپ (3x - ((x) ^ (2)) - 0 \ راست) \ cdot \ چپ (3-2 \ sqrt (2) -1 \ راست) \ lt 0؛ \\ & \ چپ (3x - ((x) ^ (2)) - 0 \ راست) \ cdot \ چپ (2-2 \ sqrt (2) \ راست) \ lt 0؛ \\ & \ چپ (3x - ((x) ^ (2)) - 0 \ راست) \ cdot 2 \ چپ (1- \ sqrt (2) \ راست) \ lt 0. \\\ انتها (تراز) \ ]

با این حال ، کاملاً واضح است که $ 1 \ sqrt (2) \ lt 0 $ ، از آنجا که $ \ sqrt (2) \ تقریبا 1،4 ... \ gt 1 $. بنابراین ، عامل دوم دوباره یک ثابت منفی است که بر اساس آن می توان هر دو طرف نابرابری را تقسیم کرد:

\ [\ begin (matrix) \ left (3x - ((x) ^ (2)) - 0 \ right) \ cdot 2 \ left (1- \ sqrt (2) \ right) \ lt 0 \\ \ Downarrow \ \\ پایان (ماتریس) \]

\ [\ شروع (تراز کردن) و 3x - ((x) ^ (2)) - 0 \ gt 0 ؛ \\ & 3x - ((x) ^ (2)) \ gt 0؛ \ quad \ left | \ cdot \ left (-1 \ right) \ right. \\ & ((x) ^ (2)) - 3x \ lt 0 ؛ \\ & x \ چپ (x-3 \ راست) \ lt 0. \\\ انتها (تراز) \]

حرکت به پایگاه دیگر

یک مشکل جداگانه در حل نابرابری های نمایی ، جستجوی مبنای "درست" است. متأسفانه ، در نگاه اول در تعیین تکلیف ، همیشه مشخص نیست که چه چیزی را به عنوان مبنای کار قرار دهید و بر اساس این مبحث چه کاری انجام دهید.

اما نگران نباشید: هیچ فناوری جادویی یا "مخفی" در اینجا وجود ندارد. در ریاضیات ، هر مهارتی را که نمی توان الگوریتم سازی کرد ، می توان به راحتی از طریق تمرین توسعه داد. اما برای این شما باید مشکلات را حل کنید سطوح مختلفسختی ها به عنوان مثال ، اینها عبارتند از:

\ [\ شروع (تراز کردن) & ((2) ^ (\ frac (x) (2))) \ lt ((4) ^ (\ frac (4) (x))) ؛ \\ & ((\ \ چپ (\ frac (1) (3) \ راست)) ^ (\ frac (3) (x))) \ ge ((3) ^ (2 + x)) ؛ \\ & ((\ \ چپ (0.16 \ راست)) ^ (1 + 2x)) \ cdot ((\ \ چپ (6.25 \ راست)) ^ (x)) \ ge 1؛ \\ & ((\ \ left (\ frac (27) (\ sqrt (3)) \ right)) ^ (- x)) \ lt ((9) ^ (4-2x)) \ cdot 81. \\\ پایان (تراز کردن) \]

سخت؟ با ترس؟ راحت تر از مرغ روی آسفالت است! امتحان کنیم. اولین نابرابری:

\ [((2) ^ (\ frac (x) (2))) \ lt ((4) ^ (\ frac (4) (x)))]]

خوب ، من فکر می کنم همه چیز در اینجا روشن است و یک خارپشت:

ما نابرابری اصلی را بازنویسی می کنیم و همه چیز را به پایه "دو" تقلیل می دهیم:

\ [((2) ^ (\ frac (x) (2))) \ lt ((2) ^ (\ frac (8) (x))) \ Rightarrow \ left (\ frac (x) (2) - \ frac (8) (x) \ راست) \ cdot \ چپ (2-1 \ راست) \ lt 0 \]

بله ، بله ، شما درست متوجه شدید: من فقط روش منطقی سازی توضیح داده شده در بالا را اعمال کردم. در حال حاضر ما باید با دقت کار کنیم: ما یک نابرابری کسری-عقلانی داریم (این یکی با یک متغیر در مخرج است) ، بنابراین ، قبل از برابر کردن چیزی به صفر ، لازم است همه چیز را به یک مخرج مشترک برسانیم و از شر ثابت خلاص شویم. عامل.

\ [\ شروع (تراز کردن) & \ چپ (\ frac (x) (2) - \ frac (8) (x) \ راست) \ cdot \ چپ (2-1 \ راست) \ lt 0؛ \\ & \ چپ (\ frac (((x) ^ (2)) - 16) (2x) \ راست) \ cdot 1 \ lt 0؛ \\ & \ frac (((x) ^ (2)) - 16) (2x) \ lt 0. \\\ end (align) \]

حالا ما استفاده می کنیم روش استانداردفواصل صفرهای شمارنده: $ x = \ pm 4 $. مخرج تنها زمانی ناپدید می شود که $ x = 0 $ باشد. در مجموع ، سه نقطه وجود دارد که باید در خط عدد مشخص شوند (همه نقاط سوراخ شده اند ، زیرا علامت نابرابری سخت است). ما گرفتیم:

همانطور که ممکن است حدس بزنید ، جوجه ریزی فواصل زمانی را نشان می دهد که در آن عبارت سمت چپ مقادیر منفی می گیرد. بنابراین ، دو بازه به طور همزمان وارد پاسخ نهایی می شوند:

انتهای فواصل در پاسخ گنجانده نمی شود زیرا نابرابری اصلی سخت بود. هیچ بررسی دیگری در مورد این پاسخ لازم نیست. در این رابطه ، نابرابری های نمایی بسیار ساده تر از موارد لگاریتمی هستند: بدون ODV ، بدون محدودیت و غیره.

بیایید به کار بعدی برویم:

\ [((\ چپ (\ frac (1) (3) \ راست)) ^ (\ frac (3) (x))) \ ge ((3) ^ (2 + x)) \]

در اینجا نیز مشکلی وجود ندارد ، زیرا ما قبلاً می دانیم $ \ frac (1) (3) = ((3) ^ (- 1)) $ ، بنابراین کل نابرابری را می توان به صورت زیر بازنویسی کرد:

\ [\ شروع (تراز کردن) & ((\ \ چپ (((3) ^ (- 1)) \ راست)) ^ (\ frac (3) (x))) \ ge ((3) ^ (2 + x )) \ Rightarrow ((3) ^ (- \ frac (3) (x))) \ ge ((3) ^ (2 + x)) ؛ \\ & \ left (- \ frac (3) (x)- \ left (2 + x \ right) \ right) \ cdot \ left (3-1 \ right) \ ge 0؛ \\ & \ left (-\ frac (3) (x) -2-x \ right) \ cdot 2 \ ge 0؛ \ quad \ left | : \ left (-2 \ right) \ right. \\ & \ frac (3) (x) + 2 + x \ le 0؛ \\ & \ frac (((x) ^ (2)) + 2x + 3) (x) \ le 0. \\\ پایان (تراز) \]

لطفاً توجه داشته باشید: در خط سوم ، تصمیم گرفتم وقت خود را روی چیزهای کوچک هدر ندهم و بلافاصله همه چیز را به (−2) تقسیم کنم. Passed وارد براکت اول شد (اکنون همه جا مزایا وجود دارد) ، و این دو با یک ضرب ثابت لغو شد. این دقیقاً همان کاری است که هنگام محاسبه واقعی مستقل و کارهای کنترل- نیازی به نقاشی مستقیم هر عمل و تغییر نیست.

در مرحله بعد ، روش فاصله گذاری آشنا به کار می رود. صفرهای شمارنده: اما نیستند. زیرا ممیز منفی خواهد بود. به نوبه خود ، مخرج تنها در $ x = 0 $ صفر می شود - مانند آخرین بار. خوب ، واضح است که در سمت راست $ x = 0 $ کسر مقادیر مثبت ، و در سمت چپ - مقادیر منفی است. از آنجا که ما به مقادیر منفی علاقه داریم ، پاسخ نهایی $ x \ در \ چپ (- \ infty ؛ 0 \ راست) $ است.

\ [((\ چپ (0.16 \ راست)) ^ (1 + 2x)) \ cdot ((\ \ چپ (6.25 \ راست)) ^ (x)) \ ge 1 \]

اما با کسرهای اعشاری در نابرابری های نمایی چه باید کرد؟ درست است: از شر آنها خلاص شوید و آنها را به موارد معمولی تبدیل کنید. بنابراین ما ترجمه می کنیم:

\ [\ شروع (تراز کردن) و 0.16 = \ frac (16) (100) = \ frac (4) (25) \ Rightarrow ((\ چپ (0.16 \ راست)) ^ (1 + 2x)) = ((\ چپ (\ frac (4) (25) \ راست)) ^ (1 + 2x))؛ \\ & 6.25 = \ frac (625) (100) = \ frac (25) (4) \ Rightarrow ((\ \ چپ (6.25 \ راست)) ^ (x)) = (\ \ چپ (\ frac (25) (4) \ راست)) ^ (x)). \\\ پایان (تراز کردن) \]

بنابراین در مبانی توابع نمایی چه چیزی بدست آوردیم؟ و ما دو عدد معکوس داریم:

\ [\ frac (25) (4) = ((\ \ left (\ frac (4) (25) \ right)) ^ (- 1)) \ Rightarrow ((\ \ left (\ frac (25) (4) \ راست)) ^ (x)) = ((\ \ چپ ((\ \ چپ (\ frac (4) (25) \ راست)) ^ (- 1)) \ راست)) ^ (x)) = ((\ چپ (\ frac (4) (25) \ راست)) ^ (- x)) \]

بنابراین ، نابرابری اصلی را می توان به شرح زیر بازنویسی کرد:

\ [\ شروع (تراز کردن) & ((\ \ چپ (\ frac (4) (25) \ راست)) ^ (1 + 2x)) \ cdot ((\ \ چپ (\ فراک (4) (25) \ راست) ) ^ (- x)) \ ge 1؛ \\ & ((\ \ left (\ frac (4) (25) \ right)) ^ (1 + 2x + \ left (-x \ right))) \ ge ((\ \ left (\ frac (4) (25 ) \ راست)) ^ (0))؛ \\ & ((\ \ left (\ frac (4) (25) \ right)) ^ (x + 1)) \ ge ((\ \ left (\ frac (4) (25) \ right)) ^ (0) ) \\\ پایان (تراز کردن) \]

البته وقتی درجه ها با یک پایه ضرب می شوند ، شاخص های آنها جمع می شود ، که در خط دوم اتفاق افتاد. علاوه بر این ، ما واحد را در سمت راست ، همچنین به صورت درجه با پایه 4/25 ارائه کردیم. فقط برای انجام منطقی سازی باقی مانده است:

\ [((\ چپ (\ frac (4) (25) \ راست)) ^ (x + 1)) \ ge ((\ \ چپ (\ frac (4) (25) \ راست)) ^ (0)) \ Rightarrow \ left (x + 1-0 \ right) \ cdot \ left (\ frac (4) (25) -1 \ right) \ ge 0 \]

توجه داشته باشید که $ \ frac (4) (25) -1 = \ frac (4-25) (25) \ lt 0 $ ، یعنی دومین عامل یک ثابت منفی است و وقتی بر آن تقسیم شود ، علامت نابرابری تغییر می کند:

\ [\ شروع (تراز کردن) & x + 1-0 \ le 0 \ Rightarrow x \ le -1؛ \\ & x \ در \ چپ ( - \ infty؛ -1 \ راست]. \\\ پایان (تراز) \]

سرانجام ، آخرین نابرابری از "مجموعه" فعلی:

\ [((\ \ چپ (\ frac (27) (\ sqrt (3)) \ راست)) ^ (- x)) \ lt ((9) ^ (4-2x)) \ cdot 81 \]

در اصل ، ایده راه حل در اینجا نیز روشن است: همه توابع نمایی موجود در نابرابری باید به پایه "3" تقلیل یابد. اما برای این کار باید کمی با ریشه ها و درجه ها ریز بینی کنید:

\ [\ شروع (تراز کردن) & \ frac (27) (\ sqrt (3)) = \ frac (((3) ^ (3))) (((3) ^ (\ frac (1) (3)) )) = ((3) ^ (3- \ frac (1) (3))) = ((3) ^ (\ frac (8) (3))) ؛ \\ & 9 = ((3) ^ (2)) ؛ \ quad 81 = ((3) ^ (4)). \\\ پایان (تراز کردن) \]

با در نظر گرفتن این حقایق ، نابرابری اصلی را می توان به شرح زیر بازنویسی کرد:

\ [\ شروع (تراز کردن) & ((\ \ چپ (((3) ^ (\ frac (8) (3))) \ راست)) ^ (- x)) \ lt ((\ \ چپ (((3) ^ (2)) \ راست)) ^ (4-2x)) \ cdot ((3) ^ (4)) ؛ \\ & ((3) ^ (- \ frac (8x) (3))) \ lt ((3) ^ (8-4x)) \ cdot ((3) ^ (4)) ؛ \\ & ((3) ^ (- \ frac (8x) (3))) \ lt ((3) ^ (8-4x + 4)) ؛ \\ & ((3) ^ (- \ frac (8x) (3))) \ lt ((3) ^ (4-4x)). \\\ پایان (تراز کردن) \]

به خطوط دوم و سوم محاسبات توجه کنید: قبل از انجام هر کاری با نابرابری ، مطمئن شوید که آن را به شکلی که از همان ابتدای درس در مورد آن صحبت کردیم ، بیاورید: $ ((a) ^ (x)) \ lt ((a) ^ (n)) $. تا زمانی که برخی از عوامل چپ ، ثابتهای اضافی و غیره را در سمت چپ یا راست خود دارید ، هیچ منطقی و "عبور" از زمینه ها را نمی توان انجام داد! کارهای بیشماری به دلیل درک نادرست از این واقعیت ساده اشتباه شده است. من خودم دائماً این مشکل را در بین دانش آموزانم مشاهده می کنم که تازه شروع به تحلیل نابرابری های نمایی و لگاریتمی می کنیم.

اما به مشکل خود بازگردیم. بیایید سعی کنیم این بار بدون عقلانیت عمل کنیم. به یاد داشته باشید: پایه درجه بیشتر از یک است ، بنابراین سه گانه ها را می توان به سادگی رد کرد - علامت نابرابری در این مورد تغییر نمی کند. ما گرفتیم:

\ [\ شروع (تراز کردن) & - \ frac (8x) (3) \ lt 4-4x؛ \\ & 4x- \ frac (8x) (3) \ lt 4؛ \\ & \ frac (4x) (3) \ lt 4؛ \\ & 4x \ lt 12؛ \\ & x \ lt 3. \\\ پایان (تراز کردن) \]

فقط همین. پاسخ نهایی $ x \ در \ چپ (- \ infty ؛ 3 \ راست) $ است.

برجسته سازی یک عبارت پایدار و جایگزینی یک متغیر

در پایان ، من پیشنهاد می کنم چهار نابرابری نمایی دیگر را حل کنم ، که در حال حاضر برای دانش آموزان آموزش ندیده بسیار دشوار است. برای کنار آمدن با آنها ، باید قوانین کار با مدارک را بخاطر بسپارید. به ویژه ، بیرون آوردن عوامل مشترک از داخل پرانتز.

اما مهمترین چیز این است که یاد بگیریم بفهمیم دقیقاً چه چیزی را می توان از براکت بیرون آورد. چنین عبارتی پایدار نامیده می شود - می توان آن را با یک متغیر جدید تعیین کرد و بنابراین از تابع نمایی خلاص شد. بنابراین ، بیایید وظایف را بررسی کنیم:

\ [\ شروع (تراز کردن) & ((5) ^ (x + 2)) + ((5) ^ (x + 1)) \ ge 6؛ \\ & ((3) ^ (x)) + ((3) ^ (x + 2)) \ ge 90؛ \\ & ((25) ^ (x + 1.5)) - ((5) ^ (2x + 2)) \ gt 2500 ؛ \\ & ((\ \ چپ (0.5 \ راست)) ^ (- 4x-8))- ((16) ^ (x + 1.5)) \ gt 768. \\\ انتها (تراز) \]

بیایید با اولین خط شروع کنیم. اجازه دهید این نابرابری را جداگانه بنویسیم:

\ [((5) ^ (x + 2)) + ((5) ^ (x + 1)) \ ge 6 \]

توجه داشته باشید که $ ((5) ^ (x + 2)) = ((5) ^ (x + 1 + 1)) = ((5) ^ (x + 1)) \ cdot 5 $ ، بنابراین دست راست سمت را می توان بازنویسی کرد:

توجه داشته باشید که هیچ تابع نمایی دیگری به جز $ ((5) ^ (x + 1)) $ در نابرابری وجود ندارد. و به طور کلی ، متغیر $ x $ در هیچ جای دیگری یافت نمی شود ، بنابراین ما یک متغیر جدید را معرفی می کنیم: $ ((5) ^ (x + 1)) = t $. ما ساختار زیر را دریافت می کنیم:

\ [\ شروع (تراز کردن) & 5t + t \ ge 6؛ \\ & 6t \ ge 6؛ \\ & t \ ge 1. \\\ پایان (تراز کردن) \]

ما به متغیر اصلی ($ t = ((5) ^ (x + 1)) $) برمی گردیم ، و در عین حال به یاد می آوریم که 1 = 5 0. ما داریم:

\ [\ شروع (تراز کردن) & ((5) ^ (x + 1)) \ ge ((5) ^ (0))؛ \\ & x + 1 \ ge 0؛ \\ & x \ ge -1. \\\ پایان (تراز کردن) \]

این کل راه حل است! پاسخ: $ x \ in \ left [-1؛ + \ infty \ right) $. به نابرابری دوم می پردازیم:

\ [(((3) ^ (x)) + ((3) ^ (x + 2)) \ ge 90 \]

اینجا همه چیز مثل هم است. توجه داشته باشید که $ ((3) ^ (x + 2)) = ((3) ^ (x)) \ cdot ((3) ^ (2)) = 9 \ cdot ((3) ^ (x)) $ .. سپس سمت چپ را می توان دوباره نوشت:

\ [\ شروع (تراز کردن) & ((3) ^ (x)) + 9 \ cdot ((3) ^ (x)) \ ge 90؛ \ quad \ left | ((3) ^ (x)) = t \ درست است. \\ & t + 9t \ ge 90؛ \\ & 10t \ ge 90؛ \\ & t \ ge 9 \ Rightarrow ((3) ^ (x)) \ ge 9 \ Rightarrow ((3) ^ (x)) \ ge ((3) ^ (2)) ؛ \\ & x \ ge 2 \ Rightarrow x \ in \ left [2؛ + \ infty \ right). \\\ پایان (تراز کردن) \]

تقریباً اینگونه است که شما باید تصمیم گیری در مورد کنترل واقعی و کار مستقل را انجام دهید.

خوب ، بیایید چیز پیچیده تری را امتحان کنیم. به عنوان مثال ، در اینجا یک نابرابری وجود دارد:

\ [(((25) ^ (x + 1.5)) - ((5) ^ (2x + 2)) \ gt 2500 \]

مشکل اینجا چیه؟ اول از همه ، اساس توابع نمایی در سمت چپ متفاوت است: 5 و 25. با این حال ، 25 = 5 2 ، بنابراین اولین عبارت را می توان تغییر داد:

\ [\ شروع (تراز کردن) & ((25) ^ (x + 1.5)) = ([\ چپ (((5) ^ (2)) \ راست)) ^ (x + 1.5)) = ((5) ^ (2x + 3)) ؛ \\ & ((5) ^ (2x + 3)) = ((5) ^ (2x + 2 + 1)) = ((5) ^ (2x + 2)) \ cdot 5. \\\ پایان (تراز کردن ) \]

همانطور که می بینید ، در ابتدا ما همه چیز را به آنجا هدایت کردیم بر همین اساس، و سپس متوجه شد که عبارت اول به راحتی به دوم کاهش می یابد - فقط کافی است که نماد را گسترش دهید. اکنون می توانید با خیال راحت یک متغیر جدید معرفی کنید: $ ((5) ^ (2x + 2)) = t $ ، و کل نابرابری به شرح زیر بازنویسی می شود:

\ [\ شروع (تراز کردن) & 5t-t \ ge 2500؛ \\ & 4t \ ge 2500؛ \\ & t \ ge 625 = ((5) ^ (4))؛ \\ & ((5) ^ (2x + 2)) \ ge ((5) ^ (4)) ؛ \\ & 2x + 2 \ ge 4؛ \\ & 2x \ ge 2؛ \\ & x \ ge 1. \\\ پایان (تراز کردن) \]

باز هم ، بدون هیچ مشکلی! پاسخ نهایی $ x \ in \ left [1؛ + \ infty \ right) $ است. حرکت در نابرابری نهایی در درس امروز:

\ [((\ \ چپ (0.5 \ راست)) ^ (- 4x-8))- ((16) ^ (x + 1.5)) \ gt 768 \]

البته اولین چیزی که باید به آن توجه کرد این است که اعشاریدر پایه درجه اول لازم است که از شر آن خلاص شوید ، و در عین حال همه توابع نمایی را در یک پایه قرار دهید - شماره "2":

\ [\ شروع (تراز کردن) و 0.5 = \ frac (1) (2) = ((2) ^ (- 1)) \ Rightarrow ((\ \ چپ (0.5 \ راست)) ^ (- 4x- 8)) = ((\ چپ (((2) ^ (- 1)) \ راست)) ^ (- 4x-8)) = ((2) ^ (4x + 8)) ؛ \\ & 16 = ((2) ^ (4)) \ Rightarrow ((16) ^ (x + 1.5)) = ((\ چپ (((2) ^ (4)) \ راست)) ^ (x + 1.5)) = ((2) ^ (4x + 6)) ؛ \\ & ((2) ^ (4x + 8)) - ((2) ^ (4x + 6)) \ gt 768. \\\ انتها (تراز) \]

عالی است ، ما اولین قدم را برداشتیم - همه چیز به همان پایه منجر شد. حال باید یک عبارت پایدار را انتخاب کنیم. توجه داشته باشید که $ ((2) ^ (4x + 8)) = ((2) ^ (4x + 6 + 2)) = ((2) ^ (4x + 6)) \ cdot 4 $ اگر یک متغیر جدید $ ((2) ^ (4x + 6)) = t $ معرفی کنیم ، نابرابری اصلی را می توان به صورت زیر بازنویسی کرد:

\ [\ شروع (تراز کردن) & 4t-t \ gt 768؛ \\ & 3t \ gt 768؛ \\ & t \ gt 256 = ((2) ^ (8)) ؛ \\ & ((2) ^ (4x + 6)) \ gt ((2) ^ (8)) ؛ \\ & 4x + 6 \ gt 8؛ \\ & 4x \ gt 2؛ \\ & x \ gt \ frac (1) (2) = 0.5. \\\ پایان (تراز کردن) \]

به طور طبیعی ، ممکن است این سوال پیش بیاید: چگونه 256 = 2 8 را پیدا کردیم؟ متأسفانه ، در اینجا شما فقط باید قدرت دو (و در عین حال قدرت سه و پنج) را بدانید. خوب ، یا 256 را بر 2 تقسیم کنید (می توانید تقسیم کنید ، زیرا 256 یک عدد زوج است) تا زمانی که به نتیجه برسیم. چیزی شبیه به این خواهد بود:

\ [\ \ شروع (تراز) & 256 = 128 \ cdot 2 = \\ & = 64 \ cdot 2 \ cdot 2 = \\ & = 32 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 = \\ & = 16 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 = \\ & = 8 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 = \\ & = 4 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 = \\ & = 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 = \\ & = ((2) ^ (8)). \ پایان (تراز کردن ) \]

این مورد با سه مورد (اعداد 9 ، 27 ، 81 و 243 قدرت آن است) و با هفت (اعداد 49 و 343 نیز به خاطر سپردن آنها خوب است) یکسان است. خوب ، پنج نفر برتر دارای مدارک "زیبا" هستند که باید بدانید:

\ [\ start (align) & ((5) ^ (2)) = 25؛ \\ & ((5) ^ (3)) = 125 ؛ \\ & ((5) ^ (4)) = 625 ؛ \\ & ((5) ^ (5)) = 3125. \\\ پایان (تراز کردن) \]

البته ، در صورت تمایل ، همه این اعداد را می توان در ذهن بازسازی کرد ، به سادگی با ضرب متوالی آنها بر یکدیگر. با این حال ، وقتی مجبورید چندین نابرابری نمایی را حل کنید ، و هر مورد بعدی پیچیده تر از مورد قبلی است ، آخرین چیزی که می خواهید به آن فکر کنید ، درجه برخی از اعداد در آنجا است. و از این نظر ، این مشکلات پیچیده تر از نابرابری های "کلاسیک" هستند که با استفاده از بازه های زمانی حل می شوند.

در این درس ، ما نابرابری های نمایی مختلف را بررسی می کنیم و نحوه حل آنها را بر اساس روش حل ساده ترین نابرابری های نمایی می آموزیم

1. تعریف و خواص تابع نمایی

اجازه دهید تعریف و خصوصیات اساسی تابع نمایی را بیاد آوریم. بر اساس خواص است که حل همه معادلات نمایی و نابرابری ها است.

تابع نمایی- تابعی از فرم است ، جایی که پایه درجه و در اینجا x یک متغیر مستقل است ، یک آرگومان ؛ y - متغیر وابسته ، تابع.

برنج. 1. نمودار عملکرد نمایی

نمودار افزایش و کاهش نمادها را نشان می دهد ، و نشان دهنده عملکرد نمایی است که پایه به ترتیب بیشتر از یک و کمتر از یک است ، اما بیشتر از صفر است.

هر دو منحنی از نقطه عبور می کنند (0 ؛ 1)

خصوصیات عملکرد نمایی:

دامنه: ؛

محدوده مقادیر: ؛

عملکرد هرچه بیشتر شود ، کاهش می یابد یکنواخت است.

یک تابع یکنواخت هر یک از مقادیر خود را برای یک مقدار آرگومان واحد می گیرد.

هنگامی که آرگومان از منفی به بی نهایت اضافه می شود ، تابع از صفر به طور نامحدود به علاوه بی نهایت افزایش می یابد ، یعنی برای مقادیر داده شده استدلال ، یک تابع یکنواخت در حال افزایش داریم (). زیرا ، برعکس ، وقتی استدلال از منهای به بی نهایت اضافه می شود ، تابع از بی نهایت به صفر کاهش می یابد ، بدون در نظر گرفتن ، یعنی برای مقادیر داده شده استدلال ، یک تابع کاهش یکنواخت داریم ().

2. ساده ترین نابرابری های نمایی ، روش حل ، مثال

بر اساس موارد فوق ، ما تکنیکی را برای حل ساده ترین نابرابری های نمایی ارائه می دهیم:

روش حل نابرابری ها:

مبانی درجات را برابر کنید ؛

مقایسه شاخص ها ، حفظ یا تغییر با علامت مخالف نابرابری.

راه حل نابرابری های نمایی پیچیده ، به طور معمول ، شامل کاهش آنها به ساده ترین نابرابری های نمایی است.

پایه درجه بیشتر از یک است ، به این معنی که علامت نابرابری باقی می ماند:

ما سمت راست را با توجه به خواص درجه تغییر می دهیم:

پایه درجه کمتر از یک است ، علامت نابرابری باید معکوس شود:

برای حل نابرابری درجه دوم ، معادله درجه دوم مربوطه را حل خواهیم کرد:

با قضیه ویتا ، ما ریشه ها را پیدا می کنیم:

شاخه های Parabola به سمت بالا هدایت می شوند.

بنابراین ، ما راه حلی برای نابرابری داریم:

به راحتی می توان حدس زد که سمت راست را می توان به عنوان قدرتی با ضریب صفر نشان داد:

پایه درجه بیشتر از یک است ، علامت نابرابری تغییر نمی کند ، بدست می آوریم:

اجازه دهید تکنیک حل چنین نابرابری هایی را به یاد آوریم.

یک تابع منطقی کسری را در نظر بگیرید:

دامنه تعریف را پیدا می کنیم:

ریشه های تابع را بیابید:

تابع دارای یک ریشه واحد است ،

ما فواصل علامت ثابت را انتخاب می کنیم و علائم عملکرد را در هر فاصله مشخص می کنیم:

برنج. 2. فاصله های ثابت

بنابراین به جواب رسیدیم.

پاسخ:

3. حل نابرابری های نمایی معمولی

نابرابری ها را با شاخص های یکسان ، اما مبانی متفاوت در نظر بگیرید.

یکی از ویژگیهای یک تابع نمایی این است که برای هر مقداری از آرگومان مقادیر کاملاً مثبت در نظر می گیرد ، به این معنی که می توان آن را به یک تابع نمایی تقسیم کرد. بگذارید نابرابری داده شده را از سمت راست آن تقسیم کنیم:

پایه درجه بیشتر از یک است ، علامت نابرابری باقی می ماند.

بیایید راه حل را نشان دهیم:

شکل 6.3 نمودار توابع و. بدیهی است ، وقتی آرگومان بزرگتر از صفر است ، نمودار تابع بالاتر قرار دارد ، این تابع بزرگتر است. هنگامی که مقادیر آرگومان منفی هستند ، تابع پایین می آید ، کمتر است. وقتی مقدار آرگومان مساوی باشد ، توابع برابر هستند ، به این معنی که این نقطه نیز راه حلی برای نابرابری داده شده است.

برنج. 3. تصویر برای مثال 4

ما نابرابری داده شده را با توجه به خواص درجه تغییر می دهیم:

در اینجا شرایط مشابه وجود دارد:

بیایید هر دو قسمت را به:

حالا ما به حل مثال مشابه 4 ادامه می دهیم ، هر دو قسمت را به موارد زیر تقسیم می کنیم:

پایه درجه بیشتر از یک است ، علامت نابرابری باقی می ماند:

4. حل گرافیکی نابرابری های نمایی

مثال 6 - نابرابری را به صورت گرافیکی حل کنید:

توابع سمت چپ و راست را در نظر بگیرید و نمودار هر یک از آنها را رسم کنید.

این تابع نمایی است ، در کل دامنه تعریف خود ، یعنی برای تمام مقادیر واقعی آرگومان ، افزایش می یابد.

این تابع خطی است ، در کل دامنه تعریف خود ، یعنی برای تمام مقادیر واقعی آرگومان ، کاهش می یابد.

اگر این توابع همپوشانی داشته باشند ، یعنی سیستم راه حلی داشته باشد ، چنین راه حلی تنها راه حل است و به راحتی می توان حدس زد. برای انجام این کار ، ما از اعداد صحیح تکرار می کنیم ()

به راحتی می توان فهمید که ریشه این سیستم عبارت است از:

بنابراین ، نمودار توابع در نقطه ای با آرگومان مساوی یک قطع می شوند.

حالا باید به جواب برسیم. معنای نابرابری داده شده این است که نماد باید بزرگتر یا مساوی از آن باشد تابع خطی، یعنی بالاتر یا همزمان با آن باشید. پاسخ واضح این است: (شکل 6.4)

برنج. 4. تصویر برای مثال 6

بنابراین ، ما راه حل انواع نابرابری های نمایی معمولی را در نظر گرفته ایم. در مرحله بعد ، ما به بررسی نابرابری های نمایی پیچیده تر می پردازیم.

کتابشناسی - فهرست کتب

Mordkovich A.G. جبر و اصول تجزیه و تحلیل ریاضی. - م.: منموسین. Muravin G. K. ، Muravina O. V. Algebra و اصول تجزیه و تحلیل ریاضی. - م.: بوستارد. Kolmogorov A. N. ، Abramov A. M. ، Dudnitsyn Yu. P. و دیگران. جبر و اصول تجزیه و تحلیل ریاضی. - م.: تحصیلات

ریاضی. MD ریاضیات-تکرار com دیفور کمسو ru

مشق شب

1. جبر و شروع تجزیه و تحلیل ، کلاسهای 10-11 (A. N. Kolmogorov، A. M. Abramov، Yu. P. Dudnitsyn) 1990 ، شماره 472 ، 473 ؛

2- نابرابری را حل کنید:

3. نابرابری را حل کنید.