معادله حاوی متغیر در این شاخص نامیده می شود. راه حل معادلات نشانگر. مثال ها
راه حل معادلات نشانگر. مثال ها.
توجه!
این موضوع اضافی دارد
مواد در بخش ویژه 555.
برای کسانی که قوی هستند "خیلی ..."
و برای کسانی که "بسیار ...")
چی معادله نشانگر؟ این معادله ای که ناشناخته (Xers) و عبارات با آنها در آن است شاخص ها برخی از درجه ها و فقط وجود دارد! مهم است.
تو هستی نمونه هایی از معادلات نشان دهنده:
3 x · 2 x \u003d 8 x + 3
توجه داشته باشید! به دلایل درجه (زیر) - فقط اعداد. که در شاخص ها Degnese (در بالای صفحه) - طیف گسترده ای از عبارات با XA. اگر ناگهان، سابق، به عنوان مثال، سابق، به جز شاخص، در معادله بیرون می آید:
این یک معادله نوع مخلوط است. چنین معادلات قوانین روشن برای راه حل ها ندارند. ما هنوز آنها را در نظر نمی گیریم. در اینجا ما با آن برخورد خواهیم کرد با حل معادلات نمایشی در فرم خالص
در حقیقت، حتی معادلات نشانگر تمیز به وضوح به دور حل می شود. اما انواع خاصی از معادلات نشانگر وجود دارد که می تواند حل و مورد نیاز باشد. در اینجا این نوع ما نگاه خواهیم کرد.
راه حل ساده ترین معادلات نشانگر.
برای شروع، من تصمیم می گیرم چیزی کاملا ابتدایی. مثلا:
حتی بدون هیچ گونه نظریه، برای انتخاب ساده ای که X \u003d 2 است، روشن است. بیشتر، راست، راست! هیچ ارزش دیگری از رول های ICA وجود ندارد. و اکنون ما به رکورد راه حل این معادله نشانگر حیله گری نگاه می کنیم:
ما چه کار کردیم؟ در واقع، ما به سادگی همان پایگاه ها را پرتاب کردیم (سه). آنها به طور کامل پرتاب می شوند. و چه خوشحال، به نقطه!
در واقع، اگر در معادله نشانگر در سمت چپ و راست همان اعداد در هر درجه، این اعداد را می توان برداشته و درجه بندی درجه. ریاضیات اجازه می دهد این یک معادله بسیار ساده است. عالی، درست است؟)
با این حال، به یاد داشته باشید آهن: شما می توانید پایگاه ها را تنها زمانی که چپ و راست زمین در تنهایی افتخار است، حذف کنید! بدون همسایگان و ضرایب. می گویند، در معادلات:
2 x +2 x + 1 \u003d 2 3 یا
دوبار نمی توان حذف کرد!
خوب، مهمترین چیزی که ما تسلط داریم. نحوه حرکت از عبارات نشانگر بد به معادلات ساده تر.
"این بار است!" - شما می گویید "چه کسی چنین ابتدایی را بر روی کنترل و امتحانات ارائه می دهد!"
مجبور به موافقت هیچ کس نمی دهد اما اکنون می دانید که در هنگام حل نمونه های رایگان تلاش کنید. لازم است آن را به شکل زمانی که در سمت چپ - همان شماره همان شماره است. بیشتر همه چیز آسان تر خواهد شد. در واقع، این کلاسیک ریاضیات است. مثال اصلی را بردارید و آن را به دلخواه تبدیل کنید مافوق چشم انداز. با توجه به قوانین ریاضیات، البته.
مثالهایی را که نیاز به تلاش های اضافی برای به دست آوردن آنها به ساده ترین آنها را در نظر بگیرید. بیایید آنها را صدا بزنیم معادلات نشانگر ساده
راه حل معادلات ساده نشانگر. مثال ها.
هنگام حل معادلات نشانگر، قوانین اصلی - اقدامات با درجه. بدون اطلاع از این اقدامات، هیچ چیز کار نخواهد کرد.
به اقدامات با درجه لازم است برای اضافه کردن مشاهدات شخصی و ذوب شدن. ما به همان پایه نیاز داریم؟ در اینجا ما به دنبال آنها هستیم به عنوان مثال در یک فرم روشن یا رمزگذاری شده.
بیایید ببینیم که چگونه این کار در عمل انجام می شود؟
بگذارید به ما یک مثال بدهیم:
2 2x - 8 x + 1 \u003d 0
اولین نگاه عصبانی - روشن اساس آنها ... آنها متفاوت هستند! دو و هشت. اما به ناامیدی افتادند - اوایل. وقت آن است که به یاد داشته باشید
دو تا هشت - نسبت به درجه.) می توان نوشت:
8 x + 1 \u003d (2 3) x + 1
اگر فرمول را از عمل با درجه یادآوری کنید:
(a n) m \u003d a nm،
که به طور کلی معلوم می شود:
8 x + 1 \u003d (2 3) x + 1 \u003d 2 3 (x + 1)
مثال اولیه شروع به شبیه به این شد:
2 2X - 2 3 (X + 1) \u003d 0
منتقل کردن 2 3 (x + 1) به سمت راست (هیچ کس اقدامات ابتدایی ریاضیات را لغو کرد!)، ما دریافت می کنیم:
2 2x \u003d 2 3 (x + 1)
در اینجا، تقریبا، و این است. ما پایه ها را حذف می کنیم:
حل این هیولا و دریافت
این جواب درست است.
در این مثال، ما دانش را از تشخیص دو نفر بازسازی می کنیم. ما شناخته شده است در هشت نفر از دو رمزگذاری شده. این تکنیک (رمزگذاری پایگاه های عمومی تحت اعداد مختلف) یک روش بسیار محبوب در معادلات پایین تر است! بله، و در لگاریتم نیز. لازم است که بتوانیم در تعداد اعداد دیگر یاد بگیریم. این برای حل معادلات نشانگر بسیار مهم است.
واقعیت این است که برای ساخت هر تعداد به هر درجه یک مشکل نیست. ضرب، حتی بر روی یک قطعه کاغذ، و این است. به عنوان مثال، برای ساخت 3 تا درجه پنجم قادر به هر کدام خواهد بود. 243 معلوم می شود اگر شما جدول ضرب را می دانید.) اما در معادلات پایین تر، احتمالا به احتمال زیاد نصب نمی شود، بلکه بر خلاف ... برای پیدا کردن ... چه تعداد تا چه حد مخفی کردن برای یک شماره 243، یا، می گویند، 343 ... در اینجا شما به هیچ ماشین حساب کمک نمی کنید.
درجه برخی از اعداد باید در صورت شناخته شده، بله ... این کار را انجام دهید؟
برای تعیین درجه و اعداد اعداد:
2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.
پاسخ ها (در ناراحتی، طبیعی!):
5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .
اگر به دقت نگاه کنید، می توانید یک واقعیت عجیب را ببینید. پاسخ ها به طور قابل توجهی بیش از وظایف هستند! خوب، این اتفاق می افتد ... به عنوان مثال، 2 6، 4 3، 8 2 همه 64 است.
فرض کنید اطلاعات مربوط به آشنایی با اعداد را یادداشت کرده اید.) بیایید به شما یادآوری کنیم که برای حل معادلات نشانگر اعمال شود همه سهام دانش ریاضی. از جمله کلاس های متوسطه جوانان. شما بلافاصله به کلاس های ارشد بروید، درست است؟)
به عنوان مثال، هنگام حل معادلات نشانگر، ضریب کل براکت ها اغلب به آنها کمک می کند (سلام درجه 7!). سازمان دیده بان مرد زیر:
3 2x + 4 -11 · 9 x \u003d 210
و دوباره، نگاه اول - بر روی زمین! پایه های درجه در درجه ها متفاوت هستند ... Troika و نه. و ما می خواهیم یکسان باشیم. خوب، در این مورد، تمایل برآورده شده است!) زیرا:
9 x \u003d (3 2) x \u003d 3 2x
با توجه به قوانین مشابه با درجه:
3 2x + 4 \u003d 3 2x · 3 4
خیلی عالی، شما می توانید بنویسید:
3 2x · 3 4 - 11 · 3 2X \u003d 210
ما نمونه ای را به دلایل مشابهی هدایت کردیم. بنابراین، چه بعدی است؟ Troika نمی تواند پرتاب ... Deadlock؟
اصلا. به یاد داشته باشید که قوانین راه حل جهانی و قدرتمند ترین همه وظایف ریاضی:
شما نمی دانید آنچه شما نیاز دارید - انجام آنچه شما می توانید!
شما نگاه می کنید، همه چیز شکل گرفته است).
در این معادله نشانگر چیست؟ می توان انجام دهید؟ بله، در سمت چپ، آن را به طور مستقیم درخواست یک براکت! ضریب کل 3 2X به وضوح به آن اشاره می کند. بیایید سعی کنیم، و سپس قابل مشاهده خواهد بود:
3 2X (3 4 - 11) \u003d 210
3 4 - 11 = 81 - 11 = 70
مثال بهتر و بهتر می شود!
ما به یاد می آوریم که به منظور از بین بردن زمینه ها، ما نیاز به یک درجه تمیز، بدون هیچ ضرایب. شماره 70 ایالات متحده دخالت می کند. بنابراین ما هر دو بخش معادله را 70 تقسیم می کنیم، ما دریافت می کنیم:
op-pa همه چیز و حل و فصل!
این پاسخ نهایی است.
با این حال، این اتفاق می افتد که شکستن پایگاه های مشابه به دست آمده است، اما انحلال آنها به هیچ وجه است. این در معادلات نشانگر نوع دیگری اتفاق می افتد. ما این نوع را مدیریت خواهیم کرد.
جایگزینی متغیر در حل معادلات نشان دهنده. مثال ها.
حل معادله:
4 x - 3 · 2 x +2 \u003d 0
اول - به طور معمول به یک پایه بروید دو بار
4 x \u003d (2 2) x \u003d 2 2x
ما معادله را دریافت می کنیم:
2 2x - 3 · 2 x +2 \u003d 0
و در اینجا آن را وابسته خواهد بود. تکنیک های قبلی کار نخواهد کرد، مهم نیست که چقدر پراکنده است. ما باید یکی دیگر از راه های قدرتمند و جهانی از آرسنال را دریافت کنیم. به نام O. جایگزین متغیر
ماهیت روش بسیار شگفت انگیز است. به جای یک آیکون پیچیده (در مورد ما - 2 x) ما دیگری را بنویسیم، ساده تر (به عنوان مثال - t). این به نظر می رسد، یک جایگزین بی معنی منجر به نتایج عالی می شود!) فقط همه چیز روشن و قابل فهم است!
بنابراین، اجازه دهید
سپس 2 2x \u003d 2 x2 \u003d (2 x) 2 \u003d t 2
ما در معادله ما جایگزین تمام درجه با حفره های T:
خوب، غرق؟) معادلات مربع هنوز فراموش نشده اند؟ ما از طریق تبعیض تصمیم می گیریم، ما دریافت می کنیم:
در اینجا، مهمتر از همه، متوقف نشوید، همانطور که اتفاق می افتد ... این یک پاسخ نیست، ما مورد نیاز است، و نه t. ما به ICCAM بازگشتیم، به عنوان مثال ما جایگزین می کنیم. اول برای T 1:
به این معنا که،
یک ریشه یافت شد ما به دنبال دوم هستیم، از T 2:
um ... سمت چپ 2 X، راست 1 ... بدون مشکل؟ بله خیر! به اندازه کافی به یاد داشته باشید (از عمل با درجه، بله ...) که یکی است هر کسی شماره به درجه صفر هر آنچه شما نیاز دارید، و آن را قرار دهید. ما به دو نیاز داریم بنابراین:
حالا همه چیز است دریافت 2 ریشه:
این پاسخ است
برای حل معادلات نشانگر در نهایت گاهی اوقات برخی از بیان ناخوشایند را تبدیل می کند. نوع:
از هفت دیو از طریق یک درجه ساده کار نمی کند. آیا آنها بستگان نیستند ... چگونه اینجا باشم؟ کسی، شاید اشتباه گرفته شود ... و در اینجا فردی است که موضوع را در این سایت بخواند "چه لگاریتم چیست؟" ، فقط Skupo Smile لبخند می زند و پاسخ صحیح جامد به دست سخت می کند:
ممکن است چنین پاسخی در وظایف "در" وجود نداشته باشد. یک شماره خاص مورد نیاز وجود دارد. اما در وظایف "C" - به راحتی.
در این درس، نمونه هایی از حل معادلات شایع ترین نشان داده شده است. ما اصلی را برجسته می کنیم.
نکات عملی:
1. اولین چیزی که ما به آن نگاه می کنیم اساس درجه. ما فکر می کنیم که آیا آنها را غیر ممکن می سازد یکسان. سعی کنید آن را انجام دهید، به طور فعال استفاده کنید اقدامات با درجه. فراموش نکنید که اعداد بدون ICS نیز می توانند به درجه تبدیل شوند!
2. ما سعی می کنیم معادله نشانگر را به شکل زمانی که چپ و راست هستند، به ارمغان بیاورد همان اعداد در هر درجه. استفاده كردن اقدامات با درجه و فاکتور سازیچه چیزی می توانم در اعداد در نظر بگیرم - باور کنم.
3. اگر هیئت مدیره دوم کار نکند، ما سعی می کنیم جایگزین متغیر را اعمال کنیم. در نتیجه، معادله می تواند به راحتی حل شود. اغلب - مربع یا کسری، که همچنین به مربع می رسد.
4. برای موفقیت حل معادلات نشانگر، لازم است بدانید درجه برخی از اعداد "در صورت".
به طور معمول، در پایان درس شما برای تمیز کردن کمی ارائه می شود.) به تنهایی. از ساده - به پیچیده.
معادلات شاخصی را تعیین کنید:
بیشتر مطابق با:
2 x + 3 - 2 x + 2 - 2 x \u003d 48
9 x - 8 · 3 x \u003d 9
2 x - 2 0،5x + 1 - 8 \u003d 0
محصول ریشه را پیدا کنید:
2 3 + 2 x \u003d 9
اتفاق افتاد؟
خوب، سپس پیچیده ترین مثال (حل شده، با این حال، در ذهن ...):
7 0.13X + 13 0.7X + 1 + 2 0،5X + 1 \u003d -3
جالب تر است؟ سپس یک مثال بد دارید این کاملا بر روی افزایش مشکل است. نام مستعار که در این مثال صرفه جویی پس انداز و حکومت جهانی ترین حل تمام وظایف ریاضی.)
2 5x-1 · 3 3x-1 · 5 2x-1 \u003d 720 x
مثال ساده، برای استراحت):
9 · 2 x - 4 · 3 x \u003d 0
و برای دسر. پیدا کردن تعداد معادله ریشه:
x · 3 x - 9x + 7 · 3 x - 63 \u003d 0
بله بله! این یک معادله نوع مخلوط است! که ما در این درس در نظر نگرفتیم. و آنچه که آنها را در نظر می گیرند، لازم است حل شود!) این درس به اندازه کافی برای حل معادله به اندازه کافی کافی است. خوب، برش مورد نیاز است ... و اجازه دهید آن را به شما کمک کند با کلاس هفتم (این یک اشاره است!).
پاسخ ها (در اختلال، از طریق نقطه کاما):
یکی؛ 2؛ 3؛ چهار؛ هیچ راه حل نیست 2؛ -2؛ -Five؛ چهار؛ 0
همه موفق شده؟ عالی.
مشکلی وجود دارد؟ بدون مشکل! در بخش ویژه 555، تمام این معادلات نشانگر با توضیحات مفصلی حل می شود. چه، چرا، و چرا. و البته، اطلاعات ارزشمندی اضافی در مورد کار با انواع معادلات نشانگر وجود دارد. نه تنها با این.)
آخرین سوال سرگرم کننده برای توجه. در این درس، ما با معادلات دقیق کار کردیم. چرا من در مورد OTZ یک کلمه نگفتم؟ در معادلات، این یک چیز بسیار مهم است، به طوری که ...
اگر این سایت را دوست دارید ...
به هر حال، من یک زن و شوهر دیگر از سایت های جالب برای شما دارم.)
این را می توان در حل نمونه ها قابل دسترسی و پیدا کردن سطح خود را. تست با بررسی فوری یادگیری - با علاقه!)
شما می توانید با ویژگی ها و مشتقات آشنا شوید.
این درس برای کسانی که فقط شروع به مطالعه معادلات شاخصی می کنند طراحی شده است. همانطور که همیشه، بیایید با تعریف و ساده ترین نمونه ها شروع کنیم.
اگر شما این درس را بخوانید، من معتقدم که شما در حال حاضر حداقل حداقل ایده ای از ساده ترین معادلات - خطی و مربع: $ 56X-11 \u003d 0 $؛ $ ((x) ^ (2)) + 5x + 4 \u003d 0 $؛ $ ((x) ^ (2)) - 12x + 32 \u003d 0 $، و غیره برای اینکه بتوانید چنین سازه هایی را حل کنید، به طور کامل لازم نیست که در مورد موضوع صحبت کنیم.
بنابراین معادلات نشانگر. بلافاصله چند نمونه را می دهم:
\\ [(2) ^ (x)) \u003d 4؛ \\ quad (((5) ^ (2x-3)) \u003d \\ frac (1) (25)؛ \\ Quad (9) ^ (x)) \u003d - 3 \\]
برخی از آنها ممکن است به نظر پیچیده تر، برخی از - برعکس، بیش از حد ساده است. اما همه آنها یک ویژگی مهم را ترکیب می کنند: در سوابق آنها یک تابع نشانگر $ f \\ left (x \\ right) \u003d ((a) ^ (x)) وجود دارد. بنابراین، ما تعریف را معرفی می کنیم:
معادله نشانگر هر معادله ای است که حاوی یک تابع نشانگر است، I.E. بیان نوع $ ((a) ^ (x)) $. علاوه بر این عملکرد، چنین معادلات ممکن است شامل هر طرح جبری دیگر - چندجملهای، ریشه، مثلثات، لگاریتم ها و غیره باشد.
آه خوب تعریف شده است. در حال حاضر سوال این است: چگونه به حل تمام این crap؟ پاسخ به طور همزمان ساده و پیچیده است.
بیایید با اخبار خوب شروع کنیم: در تجربه خود، کلاس ها با بسیاری از دانش آموزان می توانم بگویم که اکثر آنها معادلات نشانگر بسیار ساده تر از همان لگاریتم هستند و بیشتر مثلثاتی است.
اما اخبار بد نیز وجود دارد: گاهی اوقات وظایف الهام بخش برای انواع کتاب های درسی و امتحانات وجود دارد، و مغز التهابی آنها شروع به صدور چنین معادلات وحشیانه ای می کند که نه تنها به دانش آموزان تبدیل می شود - حتی بسیاری از معلمان به چنین وظایفی می اندیشند.
با این حال، ما در مورد غم و اندوه نخواهیم بود. و بازگشت به این سه معادلات که در ابتدای روایت ارائه شد. بیایید سعی کنیم هر یک از آنها را حل کنیم.
اولین معادله: $ ((2) ^ (x)) \u003d $ 4. خوب، چه میزان شما نیاز به ساخت شماره 2 برای دریافت شماره 4 دارید؟ احتمالا در دوم؟ پس از همه، $ ((2) ^ (2)) \u003d 2 \\ cdot 2 \u003d 4 $ - و ما برابری عددی راست را به دست آوردیم، به عنوان مثال واقعا $ x \u003d $ 2. خوب، متشکرم، کلاه، اما این معادله خیلی ساده بود که من حتی گربه من را حل می کردم. :)
بیایید به معادله زیر نگاه کنیم:
\\ [((5) ^ (2x-3)) \u003d \\ frac (1) (25) \\]
و در اینجا در حال حاضر کمی مشکل تر است. بسیاری از دانش آموزان می دانند که $ ((5) ^ (2)) \u003d 25 دلار یک جدول ضرب است. برخی نیز معتقدند که $ ((5) ^ (- 1)) \u003d \\ frac (1) (5) $ اساسا تعریف درجه های منفی (به صورت مشابه با فرمول $ (a) ^ (- n)) \u003d \\ frac (1) (((a) ^ (n)))) $).
در نهایت، تنها علاقه مندی ها حدس می زنند که این حقایق را می توان ترکیب و در خروجی برای به دست آوردن نتیجه زیر:
\\ [\\ frac (1) (25) \u003d \\ frac (1) (((5) ^ (2))) \u003d ((5) ^ (- 2)) \\]
بنابراین، معادله اولیه ما به شرح زیر بازنویسی خواهد شد:
\\ [(((5) ^ (2x-3)) \u003d \\ frac (1) (25) \\ rightarrow ((5) ^ (2x-3)) \u003d ((5) ^ (- 2)) \\]
اما این در حال حاضر کاملا حل شده است! در سمت چپ در معادله یک تابع نشانگر وجود دارد، درست در معادله، عملکرد نشانگر است، هیچ چیز جز آنها دیگر در هر نقطه نیست. در نتیجه، ممکن است مبانی را "دور بریزید" و احمقانه معادل شاخص ها:
ساده ترین معادله خطی را دریافت کرد، که هر دانش آموز به معنای واقعی کلمه در چند خط تصمیم می گیرد. خوب، در چهار خط:
\\ [\\ align) & 2x-3 \u003d -2 \\\\ & 2x \u003d 3-2 \\\\ & 2x \u003d 1 \\\\ & x \u003d \\ frac (1) (2) \\\\ end (align) \\]
اگر شما نمی فهمید که اکنون در چهار خط آخر اتفاق افتاده است - مطمئن شوید که به موضوع "معادلات خطی" بازگردید و آن را تکرار کنید. از آنجا که بدون تثبیت روشن از این موضوع، برای معادلات نشانگر خیلی زود است.
\\ [((9) ^ (x)) \u003d - 3 \\]
خوب، چگونه این را حل کنیم؟ اولین فکر: $ 9 \u003d 3 \\ CDOT 3 \u003d (((3) ^ (2)) $، بنابراین معادله اولیه را می توان بازنویسی کرد:
\\ [(\\ left ((((3) ^ (2)) \\ right)) ^ (x)) \u003d - 3 \\]
سپس به یاد می آورید که زمانی که درجه به درجه افزایش می یابد، شاخص ها متغیر هستند:
\\ [((((((3) ^ (2)) \\ right)) ^ ((3) ^ (2x)) ^ rightarrow ((3) ^ (2x)) \u003d - (( 3) ^ (1)) \\]
\\ [\\ align) & 2x \u003d -1 \\\\ & x \u003d - \\ frac (1) (2) \\\\\\ end (align) \\]
و در اینجا برای چنین تصمیم گیری ما صادقانه به سزاوار دو. برای ما با آرامش Pokemon یک علامت "منهای" را فرستادیم، به سه درجه بالا، به درجه این Troika روبرو شد. و بنابراین این غیر ممکن است. و به همین دلیل. نگاهی به درجه های مختلف Troika:
\\ [\\ شروع (ماتریس) ((3) ^ (1)) \u003d 3 ° ((3) ^ (- 1)) \u003d \\ frac (1) (3) و (3) ^ (\\ frac (1) (2)) \u003d \\ sqrt (3) \\\\ ((3) ^ (2)) \u003d 9 Δ (3) ^ (- 2)) \u003d \\ frac (1) ((3) ^ ( \\ frac (1) (3))) \u003d \\ sqrt (3) \\\\ ((3) ^ (3)) \u003d 27 ° C ((3) ^ (- 3)) \u003d \\ frac (1) (27) & (3) ^ (- \\ fricac (1) (2)) \u003d \\ frac (1) (\\ sqrt (3)) \\\\\\ end (ماتریس) \\]
با ایجاد این نشانه، من فقط منحرف نکردم: و درجه های مثبت و منفی و منفی و حتی کسری را در نظر گرفتم ... پس حداقل یک عدد منفی کجاست؟ او نه! و نمی تواند به این دلیل باشد که عملکرد نشانگر $ y \u003d (((a) ^ (x)) $، اول، همیشه تنها مقدار مثبت را می گیرد (چند واحد چند برابر نمی شود و یا به دو بار تحویل نمی شود - هنوز وجود خواهد داشت یک عدد مثبت باشد)، و در مرحله دوم، اساس چنین عملکرد، شماره $ a $ - تعریف یک عدد مثبت است!
خوب، چگونه برای حل معادله $ ((9) ^ (x)) \u003d - 3 دلار؟ اما به هیچ وجه: هیچ ریشه ای وجود ندارد. و به این معنا، معادلات نشانگر بسیار شبیه به مربع هستند - همچنین ممکن است ریشه وجود داشته باشد. اما اگر در معادلات مربع، تعداد ریشه ها توسط تشخیص (ریشه های مثبت مثبت - 2، بدون ریشه) تعیین می شود، سپس همه چیز بستگی به ارزش حق علامت برابری دارد.
بنابراین، ما نتیجه گیری کلیدی را تشکیل می دهیم: ساده ترین معادله نشانگر نوع $ ((a) ^ (x)) \u003d b $ یک ریشه دارد و تنها اگر $ b\u003e $ 0 باشد. دانستن این واقعیت ساده، شما به راحتی می توانید تعیین کنید: یک معادله ریشه برای شما پیشنهاد شده است یا نه. کسانی که. ارزش آن را دارد که آن را حل کند یا بلافاصله بنویسد که هیچ ریشه ای وجود ندارد.
این دانش بارها و بارها به ما کمک خواهد کرد تا زمانی که شما باید وظایف پیچیده تر را حل کنید. در عین حال، اشعار کافی است - وقت آن است که الگوریتم اصلی را برای حل معادلات نشان دهنده مطالعه کنید.
چگونه می توان معادلات نمایشی را حل کرد
بنابراین، ما این کار را فرموله می کنیم. لازم است معادله نشانگر را حل کنید:
\\ [((a) ^ (x)) \u003d b، \\ quad a، b\u003e 0 \\]
با توجه به الگوریتم "ساده لوح"، که از طریق آن ما قبلا، لازم است که شماره $ b $ را به عنوان درجه $ A $ ارائه دهیم:
علاوه بر این، اگر هر عبارتی به جای متغیر $ x $ وجود داشته باشد، یک معادله جدیدی دریافت می کنیم که می تواند قبلا حل شود. مثلا:
\\ [\\ align) & ((2) ^ (x)) \u003d 8 \\ rightarrow ((2) ^ (x)) \u003d ((2) ^ (3)) \\ rightarrow x \u003d 3؛ \\\\ & (3) ^ (- x)) \u003d 81 \\ rightarrow ((3) ^ (- x)) \u003d ((3) ^ (4)) \\ rightarrow -x \u003d 4 rightarrow x \u003d -4؛ \\\\ & (5) ^ (2x)) \u003d 125 \\ rightarrow ((5) ^ (2x)) \u003d ((5) ^ (3)) \\ rightarrow 2x \u003d 3 rightarrow x \u003d \\ frac (3) ( 2). \\\\\\ پایان (align) \\]
و به اندازه کافی عجیب و غریب، این طرح در حدود 90٪ موارد کار می کند. و سپس با بقیه 10٪؟ 10٪ باقی مانده کمی معادلات نشانگر "اسکیزوفرنیک" است:
\\ [(2) ^ (x)) \u003d 3؛ \\ quad ((5) ^ (x)) \u003d 15؛ \\ quad ((4) ^ (2x)) \u003d 11 \\]
خوب، چه میزان نیاز به ساخت 2 برای دریافت 3 دارید؟ اولین؟ و در اینجا نیست: $ ((2) ^ (1)) \u003d 2 $ - کافی نیست. در دوم؟ همچنین هیچ: $ ((2) ^ (2)) \u003d $ 4 - کمی بیش از حد وجود دارد. و در آن زمان؟
دانستن دانش آموزان در حال حاضر احتمالا حدس زده اند: در چنین مواردی، زمانی که "زیبایی" نمی تواند حل شود، "توپخانه سنگین" - LogaRithms متصل است. اجازه بدهید به شما یادآوری کنم که با کمک لگاریتم ها، هر تعداد مثبت را می توان به عنوان درجه ای از هر عدد مثبت دیگر نشان داد (به جز یکی):
به یاد داشته باشید این فرمول؟ وقتی که به دانش آموزانم در مورد لگاریتم می گویم، همیشه به آن هشدار می دهم: این فرمول (این نوع هویت لگاریتمی اصلی است یا اگر دوست دارید، تعریف لگاریتم) آن را برای مدت زمان بسیار طولانی تعقیب می کند و در بیشتر وقت آن را تعقیب می کند مکان های غیر منتظره خوب، او بلند می شود بیایید به معادله ما نگاه کنیم و برای این فرمول:
\\ [\\ align) & ((2) ^ (x)) \u003d 3 \\\\ & \u003d (((b) ^ (((\\ log) _ (b)) a) \\\\\\ end (align) \\]
اگر فرض کنیم که $ a \u003d $ 3 شماره اصلی ما است، که ارزش حق دارد، و $ b \u003d 2 $ بیشتر پایه تابع نشانگر است که ما می خواهیم بخش مناسب را به دست آوریم تا ما به دست آوریم:
\\ [\\ begin (align) & a \u003d ((b) ^ (((\\ log) _ (b)) a)) \\ rightarrow 3 \u003d (((2) ^ ((\\ log) _ (2)) 3)) \\\\ & (2) ^ (x)) \u003d 3 \\ rightarrow ((2) ^ (x)) \u003d (((2) ^ ((\\ log) _ (2)) 3)) \\ rightarrow x \u003d ((\\ log) _ (2)) 3. \\\\\\ پایان (align) \\]
دریافت پاسخ کمی عجیب و غریب: $ x \u003d ((\\ log) _ (2)) 3 دلار. در برخی از وظایف دیگر، بسیاری از آنها در چنین پاسخی خندید و شروع به محاکمه خود کردند: ناگهان یک اشتباه در جایی وجود داشت؟ من عجله دارم تا شما را بخوانم: هیچ خطایی اینجا نیست و لگاریتم در ریشه های معادلات نشانگر یک وضعیت کاملا معمول است. بنابراین استفاده می شود :)
حالا ما با تقلید از دو معادله باقی مانده تصمیم می گیریم:
\\ [\\ align) & ((5) ^ (x)) \u003d 15 \\ rightarrow ((5) ^ (x)) \u003d ((5) ^ ((\\ log) _ (5)) 15)) 15)) \\ rightarrow x \u003d ((\\ log) _ (5)) 15؛ \\\\ Δ ((4) ^ (2x)) \u003d 11 \\ rightarrow ((4) ^ (2x)) \u003d ((4) ^ ((\\ log) _ (4)) 11)) \\ rightarrow 2x \u003d ( (\\ log) _ (4)) 11 \\ rightarrow x \u003d \\ frac (1) (2) (\\ log) _ (4)) 11. \\\\\\ پایان (align) \\]
این همه! به هر حال، آخرین پاسخ را می توان در غیر این صورت نوشته شده است:
این ما چند برابر به استدلال لگاریتم ساخته شده است. اما هیچ کس مانع از ساختن این ضریب به زمین نمی شود:
در این مورد، هر سه گزینه درست هستند - اینها به سادگی شکل های مختلف ضبط از همان شماره هستند. کدام یک را انتخاب کنید و در تصمیم حاضر انتخاب کنید - فقط برای شما حل کنید.
بنابراین، ما یاد گرفتیم که چگونه هر معادله نشانگر نوع $ ((a) ^ (x)) \u003d b $ را حل کنیم) \u003d B $، جایی که اعداد $ A $ و $ b $ به شدت مثبت هستند. با این حال، واقعیت خشن دنیای ما چنین است که چنین وظایف ساده شما را بسیار و به ندرت ملاقات خواهد کرد. خیلی بیشتر شما چیزی شبیه به این وجود خواهید داشت:
\\ [\\ align) & ((4) ^ (x)) + ((4) ^ (x - 1)) \u003d ((4) ^ (x + 1)) - 11؛ \\\\ & ((7) ^ (x + 6)) \\ cdot ((3) ^ (x + 6)) \u003d ((21) ^ (3x))؛ \\\\ & 100) ^ (x - 1)) \\ cdot ((2.7) ^ (1-x)) \u003d 0.09. \\\\\\ پایان (align) \\]
خوب، چگونه این را حل کنیم؟ آیا ممکن است حل شود؟ و اگر چنین است، چطور؟
بدون وحشت تمام این معادلات به سرعت و به سادگی فرمول های ساده را که قبلا در نظر گرفته اید را کاهش می دهد. فقط باید بدانید چند تکنیک از جبر را به یاد داشته باشید. و البته، در اینجا بدون قوانین برای کار با درجه هیچ جایی نیست. درباره این من اکنون به شما خواهم گفت. :)
تبدیل معادلات نشانگر
اولین چیزی که باید به یاد داشته باشید این است: هر معادله نشانگر، مهم نیست چقدر دشوار است، به هر حال، باید به ساده ترین معادلات کاهش یابد - به این ترتیب ما قبلا در نظر گرفته ایم و ما می دانیم که چگونه باید حل کنیم. به عبارت دیگر، طرح حل معادلات نشانگر به شرح زیر است:
- معادله منبع را ثبت کنید. به عنوان مثال: $ ((4) ^ (x)) + ((4) ^ (x-1)) \u003d ((4) ^ (x + 1)) - 11 $؛
- برخی از crap غیر قابل درک را ایجاد کنید. یا حتی چند اسب که به نام "معادله تبدیل" نامیده می شود؛
- در خروجی برای به دست آوردن ساده ترین عبارات نوع $ ((4) ^ (x)) \u003d 4 دلار یا چیز دیگری در این روح. علاوه بر این، یک معادله اولیه می تواند چندین اصطلاح را در یک زمان ارائه دهد.
با اولین مورد، همه چیز روشن است - حتی گربه من قادر به ثبت معادله بر روی برگ است. با توجه به نقطه سوم، به نظر می رسد، به نظر می رسد، بیشتر یا کمتر به وضوح - ما قبلا چنین معادلات را از بین بردیم.
اما نحوه برخورد با دوم چیست؟ چه نوع تحول؟ چه باید بکنید؟ و چطور؟
خوب، بیایید درک کنیم. اول از همه، من زیر را ذکر خواهم کرد. تمام معادلات نشانگر به دو نوع تقسیم می شوند:
- معادله از توابع نشانگر با همان پایه تشکیل شده است. به عنوان مثال: $ ((4) ^ (x)) + ((4) ^ (x - 1)) \u003d ((4) ^ (x + 1)) - 11 $؛
- فرمول دارای توابع تظاهرات با پایگاه های مختلف است. مثالها: $ ((7) ^ (x + 6)) \\ cdot ((3) ^ (x + 6)) \u003d ((21) ^ (3x)) $ و $ ((100) ^ (x - 1) ) \\ cdot ((2.7) ^ (1-x)) \u003d 0.09 $.
بیایید با معادلات نوع اول شروع کنیم - آنها ساده ترین را حل می کنند. و در راه حل آنها، ما به عنوان تخصیص عبارات پایدار به چنین پذیرایی کمک خواهیم کرد.
تخصیص یک عبارت پایدار
بیایید دوباره به این معادله نگاه کنیم:
\\ [((4) ^ (x)) + ((4) ^ (x - 1)) \u003d ((4) ^ (x + 1)) - 11 \\]
ما چه می بینیم؟ چهارمین در درجه های مختلف ساخته شده است. اما تمام این درجه ها مقادیر ساده متغیر $ x $ با اعداد دیگر است. بنابراین، لازم است که قوانین را برای کار با درجه ها به یاد بیاوریم:
\\ [\\ begin (align) & ((a) ^ (x + y)) \u003d ((a) ^ (x)) \\ cdot ((a) ^ (y))؛ \\\\ & (a) ^ (xy)) \u003d ((a) ^ (x)): ((a) ^ (y)) \u003d \\ frac ((a) ^ (x))) ((() ^ (y)))). \\\\\\ پایان (align) \\]
به سادگی قرار دادن، اضافه کردن شاخص ها را می توان به کار درجه تبدیل کرد، و تفریق به راحتی به بخش تبدیل می شود. بیایید سعی کنیم این فرمول ها را به درجه ای از معادله ما اعمال کنیم:
\\ [\\ align) & ((4) ^ (x - 1)) \u003d \\ frac (((4) ^ (x))) (((4) ^ (1))) \u003d ((4) ^ (x)) \\ cdot \\ frac (1) (4)؛ \\\\ · ((4) ^ (x + 1)) \u003d ((4) ^ (x)) \\ cdot ((4) ^ (1)) \u003d ((4) ^ (x)) \\ cdot 4. \\ \\\\ end (align) \\]
من معادله اصلی را بازنویسی می کنم، با توجه به این واقعیت، و سپس تمام اجزای موجود در سمت چپ را جمع آوری می کنم:
\\ [\\ align) & ((4) ^ (x)) + ((4) ^ (x)) \\ cdot \\ frac (1) (4) \u003d ((4) ^ (x)) \\ cdot 4 -Eleven؛ \\\\ & (4) ^ (x)) + ((4) ^ (x)) \\ cdot \\ frac (1) (4) - (4) ^ (x)) \\ cdot 4 + 11 \u003d 0. \\\\\\ پایان (align) \\]
در چهار جزء اول عنصر $ ((4) ^ (x)) $ - من آن را برای براکت به ارمغان می آورد:
\\ [\\ align) & ((4) ^ (x)) \\ cdot \\ left (1+ \\ frac (1) (4) -4 \\ right) + 11 \u003d 0؛ \\\\ & (4) ^ (x)) \\ cdot \\ frac (4 + 1-16) (4) + 11 \u003d 0؛ \\\\ & (4) ^ (x)) \\ cdot \\ left (- \\ frac (11) (4) \\ right) \u003d - 11. \\\\\\ پایان (align) \\]
این بقایای هر دو بخش معادله برای کسری از $ - \\ frac (11) (4) $، I.E. اساسا به کسر Overtook - $ - \\ frac (4) (11) $ ضرب کنید. ما گرفتیم:
\\ [\\ align) & ((4) ^ (x)) \\ cdot \\ left (- \\ frac (11) (4) \\ right) \\ cdot \\ left (- \\ frac (4) (11) \\ right ) \u003d - 11 \\ CDOT \\ سمت چپ (- \\ frac (4) (11) \\ right)؛ \\\\ & (4) ^ (x)) \u003d 4؛ \\\\ & ((4) ^ (x)) \u003d ((4) ^ (1))؛ \\\\ & x \u003d 1. \\\\\\ پایان (align) \\]
این همه! ما معادله اولیه را به ساده ترین و پاسخ نهایی کاهش دادیم.
در همان زمان، در فرآیند راه حل ها، ما یافتیم (و حتی برای براکت انجام شد) کل مبلغ $ ((4) ^ (x)) $ یک عبارت پایدار است. این را می توان با یک متغیر جدید نشان داد، و شما به راحتی می توانید به آرامی بیان کنید و پاسخ دهید. در هر صورت، اصل کلیدی حل زیر:
یک عبارت پایدار را در معادله منبع حاوی یک متغیر پیدا کنید که به راحتی از تمام توابع نشانگر برجسته شده است.
خبر خوب این است که تقریبا هر معادله نشانگر امکان تخصیص چنین بیان پایدار را فراهم می کند.
اما اخبار بد وجود دارد: چنین عباراتی ممکن است بسیار حیله گر باشد، و آنها را بسیار دشوار است. بنابراین، ما یک کار دیگر را تجزیه و تحلیل خواهیم کرد:
\\ [(5) ^ (x + 2)) + ((0.2) ^ (- x - 1)) + 4 \\ cdot ((5) ^ (x + 1)) \u003d 2 \\]
شاید کسی در حال حاضر یک سوال داشته باشد: "پاشا، چه اتفاقی افتاد؟ در اینجا پایگاه های مختلف - 5 و 0.2 ". اما سعی کنید سعی کنید مدرک را با پایه ای از 0.2 تبدیل کنید. به عنوان مثال، خلاص شدن از کسرهای دهدهی، آوردن آن به حالت عادی:
\\ [((0.2) ^ (- x - 1)) \u003d ((0.2) ^ (- \\ سمت چپ (x + 1 \\ \\ right)) \u003d (\\ left (\\ left (\\ frac (2) (10) \\ right )) ^ (- \\ سمت چپ (x + 1 \\ right)) \u003d ((\\ left (\\ frac (1) (5) \\ right)) ^ (- \\ سمت چپ (x + 1 \\ right))) \\]
همانطور که می بینید، شماره 5 پس از همه ظاهر شد، اجازه دهید آن را هر دو در نامزدی. در عین حال نشانگر را به صورت منفی بازنویسی کنید. و اکنون من یکی از مهمترین قوانین برای کار با درجه را به یاد می آورم:
\\ [(a) ^ (- n)) \u003d \\ frac (1) ((a) ^ (n))) \\ rightarrow (\\ left (\\ left (\\ frac (1) (5) \\ right)) ^ ( - \\ left (x + 1 \\ \\ right)) \u003d ((\\ left (\\ frac (5) (1) \\ right)) ^ (x + 1)) \u003d ((5) ^ (x + 1)) \\ عقیده
در اینجا من، البته، کمی عجله. از آنجا که برای درک کامل از فرمول رستگاری از شاخص های منفی، لازم بود که اینگونه ثبت شود:
\\ [(a) ^ (- n)) \u003d \\ frac (1) ((a) ^ (n))) \u003d (\\ left (\\ frac (1) (a) \\ right)) ^ (n ) \\ rightarrow (\\ leftarrow (\\ left (\\ frac (1) (5) \\ right)) ^ (- \\ left (x + 1 \\ right)) \u003d (\\ left (\\ left (\\ frac (5) (1) \\ راست)) ^ (x + 1)) \u003d ((5) ^ (x + 1)) \\]
از سوی دیگر، هیچ چیز مانع ما نشد که با یک شات کار کنیم:
\\ [(\\ left (\\ left (\\ frac (1) (5) \\ right)) ^ (- \\ سمت چپ (x + 1 \\ \\ right)) \u003d ((\\ (((5) ^ (- 1)) \\ راست)) ^ (- \\ سمت چپ (x + 1 \\ right)) \u003d ((5) ^ (\\ left (-1 \\ right) \\ cdot \\ left (- \\ left (x + 1 \\ right) \\ right) ) \u003d (((5) ^ (x + 1)) \\]
اما در این مورد، شما باید بتوانید درجه ای را به درجه دیگری بسازید (به شما یادآوری کنید: شاخص ها بسته بندی شده اند). اما من مجبور نیستم "فرایند" را عوض کنم - شاید برای کسی ساده تر شود. :)
در هر صورت، معادله اولیه اولیه بازنویسی خواهد شد:
\\ [\\ align) & ((5) ^ (x + 2)) + ((5) ^ (x + 1)) + 4 \\ cdot ((5) ^ (x + 1)) \u003d 2؛ \\\\ & (5) ^ (x + 2)) + 5 \\ cdot ((5) ^ (x + 1)) \u003d 2؛ \\\\ & ((5) ^ (x + 2)) + ((5) ^ (1)) \\ cdot ((5) ^ (x + 1)) \u003d 2؛ \\\\ & (5) ^ (x + 2)) + ((5) ^ (x + 2)) \u003d 2؛ \\\\ & 2 \\ cdot ((5) ^ (x + 2)) \u003d 2؛ \\\\ & ((5) ^ (x + 2)) \u003d 1. \\\\\\ پایان (align) \\]
بنابراین معلوم می شود که معادله اولیه حتی ساده تر از قبلا در نظر گرفته شده است: نیازی به تخصیص یک بیان ثابت وجود ندارد - همه چیز خود را کاهش داده است. این تنها به یاد می آورد که $ 1 \u003d (((5) ^ (0)) $، از جایی که ما دریافت می کنیم:
\\ [\\ begin (align) & ((5) ^ (x + 2)) \u003d ((5) ^ (0))؛ \\\\ & x + 2 \u003d 0؛ \\\\ & x \u003d -2. \\\\\\ پایان (align) \\]
این همه تصمیم است! ما پاسخ نهایی را دریافت کردیم: $ x \u003d -2 $. در همان زمان من می خواهم به یاد داشته باشید یکی از پذیرش، که به طور قابل توجهی ما را به طور کامل تمام محاسبات را ساده کرده است:
در معادلات پایین تر، مطمئن شوید که از کسرهای دهدهی خلاص شوید، آنها را به طور عادی ترجمه کنید. این به شما این امکان را می دهد که همان پایه های درجه را ببینید و تصمیم را به طور قابل توجهی ساده تر کنید.
بگذارید اکنون به معادلات پیچیده تر تبدیل شویم که در آن پایه های مختلفی وجود دارد که با کمک درجه ها به یکدیگر کاهش نمی یابد.
از خواص درجه استفاده کنید
اجازه بدهید به شما یادآوری کنم که ما دو معادله بسیار سخت تر داریم:
\\ [\\ align) & ((7) ^ (x + 6)) \\ cdot ((3) ^ (x + 6)) \u003d ((21) ^ (3x))؛ \\\\ & 100) ^ (x - 1)) \\ cdot ((2.7) ^ (1-x)) \u003d 0.09. \\\\\\ پایان (align) \\]
مشکل اصلی اینجا روشن نیست چه چیزی را به چه مبنایی برساند. عبارات پایدار کجا هستند؟ همان پایه ها کجا هستند؟ نیازی به این نیست.
اما سعی کنید به راه دیگری بروید. اگر ارزش های آماده ای وجود نداشته باشد، می توانید سعی کنید پیدا کنید، دلایل چندگانه را تعیین کنید.
بیایید با معادله اول شروع کنیم:
\\ [\\ align) & ((7) ^ (x + 6)) \\ cdot ((3) ^ (x + 6)) \u003d ((21) ^ (3x))؛ \\\\ & 21 \u003d 7 \\ CDOT 3 \\ rightarrow ((21) ^ (3x)) \u003d ((\\ left (7 / cdot 3 \\ right)) ^ (3x)) \u003d ((7) ^ (3x)) \\ CDOT ((3) ^ (3x)). \\\\\\ پایان (align) \\]
اما پس از همه، شما می توانید بر خلاف آن را ادامه دهید - از شماره های 7 و 3 شماره 21 تشکیل شده است. به خصوص در سمت چپ آسان است، زیرا شاخص ها و هر دو درجه یکسان هستند:
\\ [\\ begin (align) & ((7) ^ (x + 6)) \\ cdot ((3) ^ (x + 6)) \u003d (\\ left (7 \\ cdot 3 \\ right)) ^ (x + 6) \u003d ((21) ^ (x + 6))؛ \\\\ & (21) ^ (x + 6)) \u003d ((21) ^ (3x))؛ \\\\ & x + 6 \u003d 3x؛ \\\\ & 2x \u003d 6؛ \\\\ & x \u003d 3. \\\\\\ پایان (align) \\]
این همه! شما یک شاخص از درجه خارج از کار را ساخته اید و بلافاصله یک معادله زیبا دریافت کردید که در چند خط حل می شود.
حالا ما با معادله دوم مقابله خواهیم کرد. همه چیز در اینجا بسیار دشوار است:
\\ [((100) ^ (x - 1)) \\ cdot ((2.7) ^ (1-x)) \u003d 0.09 \\]
\\ [((100) ^ (x - 1)) \\ cdot ((\\ left (\\ left (\\ frac (27) (10) \\ right)) ^ (1-x)) \u003d \\ frac (9) (100) \\]
در این مورد، کسرها مرتکب شدند، اما اگر چیزی می توانست کاهش یابد - مطمئن شوید که کاهش یابد. اغلب، در عین حال، زمینه های جالب به نظر می رسد که شما قبلا می توانید کار کنید.
همچنین، متاسفانه، هیچ چیز واقعا ظاهر نشد. اما ما می بینیم که شاخص های درجه ایستاده در کار در سمت چپ مخالف هستند:
اجازه دهید به شما یادآوری کنم: برای از بین بردن علامت "منهای" در این شاخص، به اندازه کافی برای "به نوبه خود" کسری است. خوب، معادله اصلی را بازنویسی کنید:
\\ [\\ align) & ((100) ^ (x - 1)) \\ cdot (\\ left (\\ left (\\ frac (10) (27) \\ right)) ^ (x - 1)) \u003d \\ frac (9 ) (100)؛ \\\\ \\ \\ left (100 \\ cdot \\ frac (10) (27) \\ right)) ^ (x - 1)) \u003d \\ frac (9) (100)؛ \\\\ & (\\ left (\\ frac (1000) (27) \\ right)) ^ (x - 1)) \u003d \\ frac (9) (100). \\\\\\ پایان (align) \\]
در خط دوم، ما به سادگی یک شخصیت عمومی را از کار برای یک براکت با توجه به قانون $ ((a) ^ (x)) \\ cdot ((b) ^ (x)) انجام دادیم \u003d ((\\ left \\ cdot b \\ right)) ^ (x)) $، و در دومی فقط تعداد 100 را با کسری ضرب کنید.
در حال حاضر ما یادآوری می کنیم که اعداد ایستاده در سمت چپ (در پایه) و در سمت راست، یکسان هستند. نسبت به. تا؟ بله، بدیهی است: آنها درجه ای از همان شماره هستند! ما داریم:
\\ [align) \\ frac (1000) (27) \u003d \\ frac ((10) ^ (3))) (((3) ^ (3))) \u003d (\\ left (\\ left (\\ frac) ) (3) \\ right)) ^ (3))؛ \\\\ \\ frac (9) (100) \u003d \\ frac (((3) ^ (2))) (((10) ^ (3))) \u003d ((\\ left (\\ frac (3) (10) \\ راست)) ^ (2)). \\\\\\ پایان (align) \\]
بنابراین، معادله ما به شرح زیر بازنویسی خواهد شد:
\\ [((\\ left (\\ left (\\ left (\\ frac (10) (3) \\ right)) ^ (3)) \\ right)) ^ (x - 1)) \u003d (\\ left (\\ left (\\ left (10) \\ right)) ^ (2)) \\]
\\ [((\\ left (((\\ left (\\ left (\\ frac (10) (3) \\ right)) ^ (3)) \\ right)) ^ (x - 1)) \u003d (\\ left (\\ left ) (3) \\ right)) ^ (3 \\ left (x - 1 \\ right)) \u003d ((\\ left (\\ frac (10) (3) \\ right)) ^ (3x-3)) \\]
در همان زمان، شما همچنین می توانید مدرک را با همان مبنای دریافت کنید، که به اندازه کافی برای "تبدیل شدن به" کسری است:
\\ [(\\ left (\\ left (\\ frac (3) (10) \\ right)) ^ (2)) \u003d ((\\ left (\\ left (\\ frac (10) (3) \\ right)) ^ (- 2)) \\]
سرانجام، معادله ما فرم را می گیرد:
\\ [\\ align) & (\\ left (\\ left (\\ left (\\ frac (10) (3) \\ right)) ^ (3x-3)) \u003d ((\\ left (\\ left (\\ frac (10) (3) \\ right)) ^ (- 2))؛ \\\\ & 3x-3 \u003d -2؛ \\\\ & 3x \u003d 1؛ \\\\ & x \u003d \\ frac (1) (3). \\\\\\ پایان (align) \\]
این کل تصمیم است. ایده اصلی او به این واقعیت کاهش می یابد که حتی در دلایل مختلف، ما هر گونه حقایق و ناسازگاری را برای کاهش این زمینه ها تلاش می کنیم. این امر توسط تحولات ابتدایی معادلات و قوانین برای کار با درجه کمک می شود.
اما قوانین و زمان استفاده چیست؟ چگونه می توان درک کرد که در یک معادله شما نیاز به به اشتراک گذاشتن هر دو طرف برای چیزی، و در دیگری - بر اساس عملکرد نشانگر در ضرب کننده ها؟
پاسخ به این سوال با تجربه خواهد آمد. دست خود را در ابتدا بر روی معادلات عادی امتحان کنید، و سپس به تدریج وظایف را پیچیده تر کنید - و به زودی مهارت های خود را به اندازه کافی برای حل هر معادله نشانگر از همان استفاده یا هر کار مستقل / تست کافی خواهد بود.
و برای کمک به شما در این موضوع سخت، پیشنهاد می کنم مجموعه ای از معادلات را برای یک راه حل مستقل در سایت من دانلود کنم. به تمام معادلات پاسخ وجود دارد، بنابراین شما همیشه می توانید خود را بررسی کنید.
مثال ها:
\\ (4 ^ x \u003d 32 \\)
\\ (5 ^ (2x-1) -5 ^ (2x-3) \u003d 4.8 \\)
\\ ((\\ sqrt (7)) ^ (2x + 2) -50 \\ cdot (\\ sqrt (7)) ^ (x) + 7 \u003d 0 \\)
چگونه می توان معادلات نمایشی را حل کرد
هنگامی که حل، هر معادله نشانگر، ما تلاش می کنیم به شکل \\ (a ^ (f (x)) \u003d a ^ (g (x)) \\)، و سپس انتقال به برابری شاخص ها، یعنی انتقال
\\ (a ^ (f (x)) \u003d a ^ (g (x)) \\) \\ (⇔ \\) \\ (f (x) \u003d g (x) \\)
مثلا: \\ (2 ^ (x + 1) \u003d 2 ^ 2 \\) \\ (⇔ \\) \\ (x + 1 \u003d 2 \\)
مهم! از همان منطق، دو مورد را برای چنین گذار دنبال می کند:
- شماره B در سمت چپ و راست باید یکسان باشد؛
- درجه در سمت چپ و راست باید "تمیز" باشدبه این ترتیب، نباید، ضرب، تقسیم، و غیره وجود داشته باشد
مثلا:
برای لذت بردن از معادله به فرم \\ (a ^ (f (x)) \u003d a ^ (g (x)) \\) اعمال می شود و.
مثال
. معادله نشانگر را تعیین کنید \\ (\\ sqrt (27) · 3 ^ (x - 1) \u003d ((\\ frac (1) (3))) ^ (2x) \\)
تصمیم گیری:
|
\\ (\\ sqrt (27) · 3 ^ (x - 1) \u003d ((\\ frac (1) (3))) ^ (2x) \\) |
ما می دانیم که \\ (27 \u003d 3 ^ 3 \\). با توجه به این موضوع، معادله را تغییر می دهیم. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
\\ (\\ sqrt (3 ^ 3) · 3 ^ (x - 1) \u003d ((\\ frac (1) (3))) ^ (2x) \\) |
توسط اموال ریشه \\ (\\ sqrt [n] (a) \u003d a ^ (\\ frac (1) (n)) \\) \\ (\\ sqrt (3 ^ 3) \u003d ((3 ^ 3) ) ^ (\\ frac (1) (2)) \\) \\). بعد، با استفاده از درجه درجه \\ ((a ^ b) ^ c \u003d a ^ (BC) \\)، ما به دست آوردن \\ (((3 ^ 3)) ^ (\\ frac (1) (2)) \u003d 3 ^ (3 / CDOT / FRAC (1) (2)) \u003d 3 ^ (\\ frac (3) (2)) \\) \\) \\). |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
\\ (3 ^ (\\ frac (3) (2)) \\ cdot 3 ^ (x - 1) \u003d (\\ frac (1) (3)) ^ (2x) \\) |
ما همچنین می دانیم که \\ (a ^ b · a ^ c \u003d a ^ (b + c) \\). با استفاده از این به سمت چپ، ما دریافت می کنیم: \\ (3 ^ (^ \\ frac (3) (2)) · 3 ^ (x - 1) \u003d 3 ^ (^ frac (3) (2) + x - 1) \u003d 3 ^ (1.5 + x - 1) \u003d 3 ^ (x + 0.5) \\). |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
\\ (3 ^ (x + 0.5) \u003d (\\ frac (1) (3)) ^ (2x) \\) |
در حال حاضر به یاد داشته باشید که: \\ (a ^ (- n) \u003d \\ frac (1) (a ^ n) \\). این فرمول همچنین می تواند در جهت مخالف استفاده شود: \\ (\\ frac (1) (a ^ n) \u003d a ^ (- n) \\). سپس \\ (\\ frac (1) (3) \u003d \\ frac (1) (3 ^ 1) \u003d 3 ^ (- 1) \\). |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
\\ (3 ^ (x + 0.5) \u003d (3 ^ (- 1)) ^ (2x) \\) |
استفاده از اموال \\ ((a ^ b) ^ c \u003d a ^ (bc) \\) به سمت راست، ما به دست می آوریم: \\ ((3 ^ (- 1)) ^ (2x) \u003d 3 ^ ((- 1) · 2x) \u003d 3 ^ (- 2x) \\). |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
\\ (3 ^ (x + 0.5) \u003d 3 ^ (- 2x) \\) |
و اکنون ما پایه های برابر داریم و هیچ ضرایب تداخل و غیره وجود ندارد. بنابراین ما می توانیم انتقال را انجام دهیم. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
مثال
. معادله نشانگر را حل کنید \\ (4 ^ (x + 0.5) -5 · 2 ^ x + 2 \u003d 0 \\)
پاسخ : \(-1; 1\). سوال باقی می ماند - چگونه می توان درک کرد که کدام روش اعمال می شود؟ این تجربه با تجربه است. در عین حال، شما کار نکردید، از توصیه کلی برای حل وظایف پیچیده استفاده کنید - "شما نمی دانید چه باید بکنید - آنچه را که می توانید انجام دهید". یعنی، به دنبال چگونگی تبدیل معادله در اصل، و سعی کنید آن را انجام دهید - به طور ناگهانی چه اتفاقی می افتد؟ مهمترین چیز در مورد ایجاد تحولات منطقی ریاضی. معادلات نشانگر که راه حل ندارندما دو موقعیت دیگر را که اغلب در بن بست دانش آموز قرار می گیرند، تجزیه و تحلیل خواهیم کرد: بیایید سعی کنیم مجددا را حل کنیم. اگر x یک عدد مثبت باشد، درجه افزایش یافته \\ (2 ^ x \\) تنها رشد خواهد کرد: \\ (x \u003d 1 \\)؛ \\ (2 ^ 1 \u003d 2) \\ (x \u003d 0 \\)؛ \\ (2 ^ 0 \u003d 1 \\) همچنین توسط. قوطی های منفی وجود دارد. به یاد آوردن اموال \\ (a ^ (- n) \u003d \\ frac (1) (a ^ n) \\)، بررسی کنید: \\ (x \u003d -1 \\)؛ \\ (2 ^ (- 1) \u003d \\ frac (1) (2 ^ 1) \u003d \\ frac (1) (2) \\) با وجود این واقعیت که تعداد با هر مرحله کوچکتر می شود، هرگز به صفر نمی رسد. بنابراین و درجه منفی ما را نجات نداد. ما به نتیجه منطقی می رویم: تعداد مثبت به هر میزان تعداد مثبت باقی خواهد ماند.بنابراین، هر دو معادلات بالا هیچ راه حل ندارند. معادلات نشانگر با پایگاه های مختلفدر عمل، گاهی اوقات معادلات نشان دهنده با پایگاه های مختلف وجود دارد که به یکدیگر کاهش نمی یابد، و در عین حال با همان شاخص ها. آنها به نظر می رسند: \\ (a ^ (f (x)) \u003d b ^ (f (x)) \\)، جایی که \\ (a \\) و \\ (b \\ (b \\) اعداد مثبت هستند. مثلا: \\ (7 ^ (x) \u003d 11 ^ (x) \\) چنین معادلات را می توان به راحتی می توان با تقسیم بر هر یک از بخش های معادله (معمولا به سمت راست تقسیم می شود، یعنی، در \\ (b ^ (f (x)) \\). بنابراین شما می توانید تقسیم، به دلیل یک شماره مثبت در هر حد مثبت (یعنی ما به صفر تقسیم نمی شود). ما دریافت می کنیم: \\ (\\ frac (a ^ (f (x))) (b ^ (f (x))) \\) \\ (\u003d 1 \\) مثال
. معادله نشانگر را حل کنید \\ (5 ^ (x + 7) \u003d 3 ^ (x + 7) \\)
پاسخ : \(-7\). گاهی اوقات "همان" شاخص های درجه واضح نیست، اما استفاده ماهرانه از درجه درجه این مسئله را حل می کند. مثال
. حل معادلات نشانگر \\ (7 ^ (2x-4) \u003d (\\ frac (1) (3)) ^ (- x + 2) \\)
پاسخ : \(2\). |
در مرحله آماده سازی برای تست نهایی دانش آموزان دبیرستان، شما باید دانش را در مورد موضوع "معادلات غیر عادی" تدوین کنید. تجربه سال های گذشته نشان می دهد که چنین وظایفی باعث مشکلات خاصی از دانش آموزان می شود. بنابراین، دانش آموزان دبیرستان، صرف نظر از میزان آماده سازی آنها، لازم است که این نظریه را به دقت جذب کنید، به یاد داشته باشید فرمول ها و درک اصل حل چنین معادلات. پس از موفق به مقابله با این نوع وظایف، فارغ التحصیلان قادر خواهند بود در هنگام گذراندن امتحان در ریاضیات بر روی امتیازات بالا حساب کنند.
آماده شدن برای آزمون امتحان با "Shkolkovo"!
هنگامی که تکرار مواد منتقل شد، بسیاری از دانش آموزان با مشکل پیدا کردن فرمول های لازم برای حل معادلات مواجه هستند. کتاب درسی مدرسه همیشه در دست نیست، و انتخاب اطلاعات لازم در مورد موضوع در اینترنت طول می کشد.
پورتال آموزشی "Skolkovo" ارائه می دهد دانش آموزان را به استفاده از پایگاه دانش ما. ما یک روش کاملا جدید آماده سازی برای آزمایش نهایی را اجرا می کنیم. هنگامی که در وب سایت ما انجام می شود، می توانید شکاف ها را در دانش شناسایی کنید و به آن دسته بندی ها توجه کنید که بیشترین مشکلات را ایجاد می کنند.
معلمان "Shkolkovo" جمع آوری، مرتب شده اند و تمام مواد لازم را برای گذراندن موفقیت آمیز از EGE به عنوان فرم ساده و قابل دسترس مشخص کرده اند.
تعاریف اصلی و فرمول ها در بخش "نظری" ارائه شده است.
برای جذب بهتر مواد، ما توصیه می کنیم که وظایف را تمرین کنید. به دقت نمونه هایی از معادلات نمایشی را در این صفحه مشاهده کنید تا الگوریتم محاسبه را درک کنید. پس از آن، به انجام وظایف در بخش "کاتالوگ" ادامه دهید. شما می توانید با ساده ترین وظایف شروع کنید و یا بلافاصله به حل معادلات نشانگر پیچیده با چندین ناشناخته حرکت کنید. پایه تمرین در سایت ما به طور مداوم تکمیل و به روز می شود.
این نمونه ها با شاخص هایی که مشکل دارند، امکان اضافه کردن به موارد دلخواه وجود دارد. بنابراین شما می توانید به سرعت آنها را پیدا کنید و تصمیم را با معلم بحث کنید.
برای موفقیت امتحان، هر روز در پورتال "Shkolkovo" شرکت کنید!
در کانال در سایت YouTube سایت ما برای نگه داشتن از همه درس های ویدئویی جدید.
اول، اجازه دهید فرمول های اساسی درجه ها و خواص آنها را به یاد داشته باشیم.
کار تعداد آ. خود را به صورت تصادفی رخ می دهد، این عبارت ما می توانیم به عنوان یک ... a \u003d a n بنویسیم
1. 0 \u003d 1 (a ≠ 0)
3. a n a m \u003d a n + m
4. (a n) m \u003d a nm
5. n b n \u003d (ab) n
7. a n / a m \u003d a n - m
معادلات قدرت یا تظاهرات - اینها معادلات هستند که در آن متغیرها در درجه ها (یا شاخص ها) قرار دارند و اساس آن تعداد است.
نمونه هایی از معادلات شاخصی:
در این مثال، شماره 6 پایه ای است که همیشه در طبقه پایین قرار دارد و متغیر است ایکس. درجه یا شاخص
بگذارید نمونه های بیشتری از معادلات نشانگر را ارائه دهیم.
2 x * 5 \u003d 10
16 x - 4 x - 6 \u003d 0
حالا ما تجزیه و تحلیل خواهیم کرد که چگونه معادلات تظاهرات حل می شوند؟
یک معادله ساده بگیرید:
2 x \u003d 2 3
این مثال را می توان حتی در ذهن حل کرد. این را می توان دید که x \u003d 3. پس از همه، به طوری که بخش چپ و راست باید برابر با شماره 3 به جای X باشد.
حالا بیایید ببینیم چگونه این تصمیم را صادر می کند:
2 x \u003d 2 3
x \u003d 3
به منظور حل چنین معادله، ما حذف کردیم زمینه های مشابه (I.E. دو) و ثبت نام آنچه باقی مانده است، درجه است. پاسخ دلخواه را دریافت کرد.
حالا تصمیم ما را خلاصه کنید.
الگوریتم برای حل معادله نشانگر:
1. نیاز به بررسی همان پایه های لی در معادله در سمت راست و چپ. اگر پایه ها همانند به دنبال گزینه هایی برای حل این مثال نیستند.
2. پس از پایه ها تبدیل به یکسان شد برابر درجه و معادله جدید را حل می کند.
حالا چند مثال را بازنویسی کنید:
بیایید با ساده شروع کنیم.
پایه ها در قسمت چپ و راست برابر با شماره 2 هستند، به این معنی که ما می توانیم درجه های خود را رد و معادل کنیم.
x + 2 \u003d 4 ساده ترین معادله معلوم شد.
x \u003d 4 - 2
x \u003d 2
پاسخ: x \u003d 2
در مثال زیر، می توان دید که پایگاه ها متفاوت هستند. این 3 و 9 است.
3 3x - 9 x + 8 \u003d 0
برای شروع، ما نه به سمت راست انتقال می دهیم، ما دریافت می کنیم:
حالا شما باید همان بنیاد را بسازید. ما می دانیم که 9 \u003d 3 2. ما از فرمول درجه (a n) m \u003d a nm استفاده می کنیم.
3 3x \u003d (3 2) X + 8
ما 9 x + 8 \u003d (3 2) x + 8 \u003d 3 \u003d 3 2x + 16 به دست می آوریم
3 3x \u003d 3 2X + 16 اکنون روشن است که در سمت چپ و راست پایه همان و برابر با Troika است، به این معنی که ما می توانیم آنها را از بین ببریم و درجه را کنار بگذاریم.
3x \u003d 2x + 16 ساده ترین معادله را دریافت کرد
3x - 2x \u003d 16
x \u003d 16
پاسخ: x \u003d 16.
ما به مثال زیر نگاه می کنیم:
2 2x + 4 - 10 4 x \u003d 2 4
اول، ما به پایه نگاه می کنیم، پایه ها دو و چهار نفر متفاوت هستند. و ما باید یکسان باشیم. ما چهار را با فرمول (a n) m \u003d a nm تبدیل می کنیم.
4 x \u003d (2 2) x \u003d 2 2x
و همچنین از یک فرمول a n a m \u003d a n + m استفاده کنید:
2 2x + 4 \u003d 2 2x 2 4
اضافه کردن به معادله:
2 2x 2 4 - 10 2 2x \u003d 24
ما نمونه ای را به دلایل مشابهی هدایت کردیم. اما ما با اعداد دیگر 10 و 24 تداخل داریم. با آنها چه کار میکنید؟ اگر می بینید که روشن است که ما 2 2 2 داریم، این پاسخ است - 2 2، ما می توانیم براکت ها را از بین ببریم:
2 2X (2 4 - 10) \u003d 24
ما بیان را در براکت محاسبه می کنیم:
2 4 — 10 = 16 — 10 = 6
تمام معادله ها به 6:
تصور کنید 4 \u003d 2 2:
2 2x \u003d 22 پایه ها یکسان هستند، آنها را پرتاب می کنند و درجه ها را معادل می کنند.
2X \u003d 2 ساده ترین معادله معلوم شد. ما آن را در 2 تقسیم می کنیم
x \u003d 1
پاسخ: x \u003d 1.
حل معادله:
9 x - 12 * 3 x + 27 \u003d 0
ما تبدیل می کنیم:
9 x \u003d (3 2) x \u003d 3 2x
ما معادله را دریافت می کنیم:
3 2x - 12 3 x +27 \u003d 0
پایه های ما همانند سه برابر هستند. در این مثال، می توان دید که سه درجه اول دو بار (2x) بیشتر از دوم (به سادگی X) است. در این مورد، شما می توانید حل کنید روش جایگزینی. شماره با کوچکترین درجه جایگزین:
سپس 3 2x \u003d (3 x) 2 \u003d t 2
ما در معادله همه درجه ها با حفره ها در T:
t 2 - 12T + 27 \u003d 0
ما یک معادله مربع دریافت می کنیم. ما از طریق تبعیض تصمیم می گیریم، ما دریافت می کنیم:
d \u003d 144-108 \u003d 36
t 1 \u003d 9
t 2 \u003d 3
بازگشت به متغیر ایکس..
T 1:
t 1 \u003d 9 \u003d 3 x
به این معنا که،
3 x \u003d 9
3 x \u003d 3 2
x 1 \u003d 2
یک ریشه یافت شد ما به دنبال دوم هستیم، از T 2:
t 2 \u003d 3 \u003d 3 x
3 x \u003d 3 1
x 2 \u003d 1
پاسخ: x 1 \u003d 2؛ x 2 \u003d 1.
در سایت شما می توانید در کمک به تصمیم گیری تصمیم به درخواست شما بپرسید.
به گروه ملحق بشید
چرا شما نمی توانید بارداری را به تعویق اندازید
اثر استفاده منظم از دستور العمل های خانگی
ویژگی های ساختار گردن