Ano ang square root? Kuwadrado na ugat. Detalyadong teorya na may mga halimbawa Multiple root of 100

Kadalasan, kapag nilulutas ang mga problema, nahaharap tayo sa malalaking numero kung saan kailangan nating kunin Kuwadrado na ugat. Maraming mga mag-aaral ang nagpasiya na ito ay isang pagkakamali at nagsimulang muling lutasin ang buong halimbawa. Sa anumang pagkakataon dapat mong gawin ito! Mayroong dalawang dahilan para dito:

1. Ang mga ugat ng malalaking numero ay lumilitaw sa mga problema. Lalo na sa mga text;
2. Mayroong isang algorithm kung saan ang mga ugat na ito ay kinakalkula halos pasalita.

Isasaalang-alang namin ang algorithm na ito ngayon. Marahil ang ilang mga bagay ay tila hindi maintindihan sa iyo. Ngunit kung bibigyan mo ng pansin ang araling ito, makakatanggap ka ng isang malakas na sandata laban sa parisukat na ugat.

Kaya, ang algorithm:

1. Limitahan ang kinakailangang ugat sa itaas at ibaba sa mga numero na multiple ng 10. Kaya, babawasan namin ang hanay ng paghahanap sa 10 numero;
2. Mula sa 10 numerong ito, alisin ang mga tiyak na hindi maaaring maging ugat. Bilang resulta, 1-2 numero ang mananatili;
3. Kuwadrado ang 1-2 na numerong ito. Ang isa na ang parisukat ay katumbas ng orihinal na numero ang magiging ugat.

Bago isagawa ang algorithm na ito, tingnan natin ang bawat indibidwal na hakbang.

Limitasyon ng ugat

Una sa lahat, kailangan nating malaman sa pagitan ng kung aling mga numero ang matatagpuan sa ating ugat. Lubhang kanais-nais na ang mga numero ay multiple ng sampu:

10 2 = 100;
20 2 = 400;
30 2 = 900;
40 2 = 1600;
...
90 2 = 8100;
100 2 = 10 000.

Kumuha kami ng isang serye ng mga numero:

100; 400; 900; 1600; 2500; 3600; 4900; 6400; 8100; 10 000.

Ano ang sinasabi sa atin ng mga numerong ito? Simple lang: nakakakuha tayo ng mga hangganan. Kunin, halimbawa, ang bilang na 1296. Ito ay nasa pagitan ng 900 at 1600. Samakatuwid, ang ugat nito ay hindi maaaring mas mababa sa 30 at mas malaki sa 40:

[Caption para sa larawan]

Ang parehong bagay ay nalalapat sa anumang iba pang numero kung saan maaari mong mahanap ang square root. Halimbawa, 3364:

[Caption para sa larawan]

Kaya, sa halip na isang hindi maintindihan na numero, nakakakuha kami ng isang napaka-espesipikong hanay kung saan namamalagi ang orihinal na ugat. Upang higit pang paliitin ang lugar ng paghahanap, magpatuloy sa pangalawang hakbang.

Pag-aalis ng malinaw na hindi kinakailangang mga numero

Kaya, mayroon kaming 10 numero - mga kandidato para sa ugat. Nakuha namin ang mga ito nang napakabilis, nang walang kumplikadong pag-iisip at pagpaparami sa isang hanay. Oras na para magpatuloy.

Maniwala ka man o hindi, babawasan namin ngayon ang bilang ng mga numero ng kandidato sa dalawa - muli nang walang anumang kumplikadong mga kalkulasyon! Sapat na malaman ang espesyal na tuntunin. Heto na:

Ang huling digit ng parisukat ay nakasalalay lamang sa huling digit orihinal na numero.

Sa madaling salita, tingnan lamang ang huling digit ng parisukat at agad nating mauunawaan kung saan nagtatapos ang orihinal na numero.

Mayroon lamang 10 digit na maaaring dumating sa huling lugar. Subukan nating alamin kung ano ang kanilang nagiging kapag squared. Tingnan ang talahanayan:

1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
1	4	9	6	5	6	9	4	1	0

Ang talahanayan na ito ay isa pang hakbang patungo sa pagkalkula ng ugat. Tulad ng nakikita mo, ang mga numero sa pangalawang linya ay naging simetriko na nauugnay sa lima. Halimbawa:

2 2 = 4;
8 2 = 64 → 4.

Tulad ng nakikita mo, ang huling digit ay pareho sa parehong mga kaso. Nangangahulugan ito na, halimbawa, ang ugat ng 3364 ay dapat magtapos sa 2 o 8. Sa kabilang banda, naaalala natin ang paghihigpit mula sa nakaraang talata. Nakukuha namin ang:

[Caption para sa larawan]

Ang mga pulang parisukat ay nagpapahiwatig na hindi pa natin alam ang figure na ito. Ngunit ang ugat ay nasa saklaw mula 50 hanggang 60, kung saan mayroon lamang dalawang numero na nagtatapos sa 2 at 8:

[Caption para sa larawan]

Iyon lang! Sa lahat ng posibleng ugat, dalawang pagpipilian lang ang iniwan namin! At ito ay nasa pinakamahirap na kaso, dahil ang huling digit ay maaaring 5 o 0. At pagkatapos ay magkakaroon lamang ng isang kandidato para sa mga ugat!

Panghuling kalkulasyon

Kaya, mayroon kaming 2 numero ng kandidato na natitira. Paano mo malalaman kung alin ang ugat? Ang sagot ay malinaw: parisukat ang parehong mga numero. Ang isang parisukat na nagbibigay ng orihinal na numero ang magiging ugat.

Halimbawa, para sa numerong 3364 nakakita kami ng dalawang numero ng kandidato: 52 at 58. I-square natin ang mga ito:

52 2 = (50 +2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;
58 2 = (60 − 2) 2 = 3600 − 2 60 2 + 4 = 3364.

Iyon lang! 58 pala ang ugat! Kasabay nito, upang gawing simple ang mga kalkulasyon, ginamit ko ang formula para sa mga parisukat ng kabuuan at pagkakaiba. Salamat dito, hindi ko na kinailangan pang i-multiply ang mga numero sa isang column! Ito ay isa pang antas ng pag-optimize ng pagkalkula, ngunit, siyempre, ito ay ganap na opsyonal :)

Mga halimbawa ng pagkalkula ng mga ugat

Ang teorya ay, siyempre, mabuti. Ngunit suriin natin ito sa pagsasanay.

[Caption para sa larawan]

Una, alamin natin kung aling mga numero ang nasa 576:

400 < 576 < 900
20 2 < 576 < 30 2

Ngayon tingnan natin ang huling numero. Ito ay katumbas ng 6. Kailan ito nangyayari? Lamang kung ang ugat ay nagtatapos sa 4 o 6. Makakakuha kami ng dalawang numero:

Ang natitira na lang ay i-square ang bawat numero at ihambing ito sa orihinal:

24 2 = (20 + 4) 2 = 576

Malaki! Ang unang parisukat ay naging katumbas ng orihinal na numero. Kaya ito ang ugat.

Gawain. Kalkulahin ang square root:

[Caption para sa larawan]

900 < 1369 < 1600;
30 2 < 1369 < 40 2;

Tingnan natin ang huling digit:

1369 → 9;
33; 37.

Kuwadrado ito:

33 2 = (30 + 3) 2 = 900 + 2 30 3 + 9 = 1089 ≠ 1369;
37 2 = (40 − 3) 2 = 1600 − 2 40 3 + 9 = 1369.

Narito ang sagot: 37.

Gawain. Kalkulahin ang square root:

[Caption para sa larawan]

Nililimitahan namin ang bilang:

2500 < 2704 < 3600;
50 2 < 2704 < 60 2;

Tingnan natin ang huling digit:

2704 → 4;
52; 58.

Kuwadrado ito:

52 2 = (50 + 2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;

Natanggap namin ang sagot: 52. Ang pangalawang numero ay hindi na kailangang kuwadrado.

Gawain. Kalkulahin ang square root:

[Caption para sa larawan]

Nililimitahan namin ang bilang:

3600 < 4225 < 4900;
60 2 < 4225 < 70 2;

Tingnan natin ang huling digit:

4225 → 5;
65.

Tulad ng nakikita mo, pagkatapos ng pangalawang hakbang ay mayroon lamang isang pagpipilian na natitira: 65. Ito ang nais na ugat. Ngunit i-square pa rin natin ito at suriin:

65 2 = (60 + 5) 2 = 3600 + 2 60 5 + 25 = 4225;

Lahat ay tama. Sinusulat namin ang sagot.

Konklusyon

Naku, walang mas mahusay. Tingnan natin ang mga dahilan. Dalawa sila:

• Sa anumang normal na pagsusulit sa matematika, maging ito man ang State Examination o ang Unified State Exam, ang paggamit ng mga calculator ay ipinagbabawal. At kung magdadala ka ng calculator sa klase, madali kang ma-kick out sa pagsusulit.
• Huwag maging tulad ng mga hangal na Amerikano. Na hindi tulad ng mga ugat - hindi sila maaaring magdagdag ng dalawang pangunahing numero. At kapag nakakakita sila ng mga fraction, sa pangkalahatan ay nagiging hysterical sila.

Bago ang mga calculator, kinakalkula ng mga mag-aaral at guro ang mga square root sa pamamagitan ng kamay. Mayroong ilang mga paraan upang manu-manong kalkulahin ang square root ng isang numero. Ang ilan sa kanila ay nag-aalok lamang ng isang tinatayang solusyon, ang iba ay nagbibigay ng eksaktong sagot.

Mga hakbang

Prime factorization

I-factor ang radical number sa mga factor na square number. Depende sa radikal na numero, makakakuha ka ng tinatayang o eksaktong sagot. Ang mga square number ay mga numero kung saan maaaring kunin ang buong square root. Ang mga kadahilanan ay mga numero na, kapag pinarami, ay nagbibigay ng orihinal na numero. Halimbawa, ang mga salik ng numero 8 ay 2 at 4, dahil 2 x 4 = 8, ang mga numerong 25, 36, 49 ay mga parisukat na numero, dahil √25 = 5, √36 = 6, √49 = 7. Mga salik na parisukat ay mga kadahilanan , na mga parisukat na numero. Una, subukang i-factor ang radical number sa square factor.

• Halimbawa, kalkulahin ang square root ng 400 (sa pamamagitan ng kamay). Subukan munang i-factor ang 400 sa square factor. Ang 400 ay isang multiple ng 100, iyon ay, nahahati ng 25 - ito ay isang parisukat na numero. Ang paghahati ng 400 sa 25 ay magbibigay sa iyo ng 16. Ang bilang na 16 ay parisukat din na numero. Kaya, ang 400 ay maaaring i-factor sa square factor ng 25 at 16, iyon ay, 25 x 16 = 400.
• Ito ay maaaring isulat ng mga sumusunod: √400 = √(25 x 16).

1. Ang square root ng produkto ng ilang termino ay katumbas ng produkto ng square roots ng bawat termino, iyon ay, √(a x b) = √a x √b. Gamitin ang panuntunang ito upang kunin ang square root ng bawat square factor at i-multiply ang mga resulta upang mahanap ang sagot.

   • Sa aming halimbawa, kunin ang ugat ng 25 at 16.
     • √(25 x 16)
     • √25 x √16
     • 5 x 4 = 20

2. Kung ang radikal na numero ay hindi nagsasaliksik sa dalawang parisukat na mga kadahilanan (at nangyayari ito sa karamihan ng mga kaso), hindi mo mahahanap ang eksaktong sagot sa anyo ng isang buong numero. Ngunit maaari mong gawing simple ang problema sa pamamagitan ng pag-decomposing ng radikal na numero sa isang square factor at isang ordinaryong kadahilanan (isang numero kung saan ang buong square root ay hindi maaaring kunin). Pagkatapos ay kukunin mo ang square root ng square factor at kukunin ang root ng common factor.

   • Halimbawa, kalkulahin ang square root ng numero 147. Ang numero 147 ay hindi maaaring i-factor sa dalawang square factor, ngunit maaari itong i-factor sa mga sumusunod na salik: 49 at 3. Lutasin ang problema tulad ng sumusunod:
     • = √(49 x 3)
     • = √49 x √3
     • = 7√3

3. Kung kinakailangan, tantiyahin ang halaga ng ugat. Ngayon ay maaari mong tantiyahin ang halaga ng ugat (makahanap ng tinatayang halaga) sa pamamagitan ng paghahambing nito sa mga halaga ng mga ugat ng mga parisukat na numero na pinakamalapit (sa magkabilang panig ng linya ng numero) sa radikal na numero. Matatanggap mo ang root value bilang decimal fraction, na dapat i-multiply sa numero sa likod ng root sign.

   • Bumalik tayo sa ating halimbawa. Ang radikal na numero ay 3. Ang mga parisukat na numero na pinakamalapit dito ay ang mga numero 1 (√1 = 1) at 4 (√4 = 2). Kaya, ang halaga ng √3 ay matatagpuan sa pagitan ng 1 at 2. Dahil ang halaga ng √3 ay malamang na mas malapit sa 2 kaysa sa 1, ang aming pagtatantya ay: √3 = 1.7. I-multiply namin ang value na ito sa numero sa root sign: 7 x 1.7 = 11.9. Kung gagawin mo ang matematika sa isang calculator, makakakuha ka ng 12.13, na medyo malapit sa aming sagot.
     • Gumagana rin ang pamamaraang ito sa malalaking numero. Halimbawa, isaalang-alang ang √35. Ang radikal na numero ay 35. Ang pinakamalapit na square number dito ay ang mga numerong 25 (√25 = 5) at 36 (√36 = 6). Kaya, ang halaga ng √35 ay matatagpuan sa pagitan ng 5 at 6. Dahil ang halaga ng √35 ay mas malapit sa 6 kaysa sa 5 (dahil ang 35 ay 1 na mas mababa lamang sa 36), maaari nating sabihin na ang √35 ay bahagyang mas mababa sa 6 . Ang tseke sa calculator ay nagbibigay sa amin ng sagot 5.92 - tama kami.

4. Isa pang paraan - i-factor ang radical number sa prime factors . Ang mga pangunahing kadahilanan ay mga numero na nahahati lamang ng 1 at ng kanilang mga sarili. Isulat ang mga pangunahing salik sa isang serye at maghanap ng mga pares ng magkaparehong salik. Ang ganitong mga kadahilanan ay maaaring alisin sa root sign.

   • Halimbawa, kalkulahin ang square root ng 45. Isinasaalang-alang namin ang radical number sa prime factor: 45 = 9 x 5, at 9 = 3 x 3. Kaya, √45 = √(3 x 3 x 5). Maaaring kunin ang 3 bilang root sign: √45 = 3√5. Ngayon ay maaari nating tantyahin ang √5.
   • Tingnan natin ang isa pang halimbawa: √88.
     • = √(2 x 44)
     • = √ (2 x 4 x 11)
     • = √ (2 x 2 x 2 x 11). Nakatanggap ka ng tatlong multiplier ng 2; kumuha ng ilang mga ito at ilipat ang mga ito sa kabila ng root sign.
     • = 2√(2 x 11) = 2√2 x √11. Ngayon ay maaari mong suriin ang √2 at √11 at maghanap ng tinatayang sagot.

   Manu-manong pagkalkula ng square root

   Gamit ang mahabang dibisyon

   1. Ang pamamaraang ito ay nagsasangkot ng isang proseso na katulad ng mahabang paghahati at nagbibigay ng tumpak na sagot. Una, gumuhit ng patayong linya na naghahati sa sheet sa dalawang halves, at pagkatapos ay sa kanan at bahagyang ibaba ng tuktok na gilid ng sheet, gumuhit ng pahalang na linya sa patayong linya. Ngayon hatiin ang radikal na numero sa mga pares ng mga numero, simula sa fractional na bahagi pagkatapos ng decimal point. Kaya, ang numerong 79520789182.47897 ay nakasulat bilang "7 95 20 78 91 82, 47 89 70".

      • Halimbawa, kalkulahin natin ang square root ng numerong 780.14. Gumuhit ng dalawang linya (tulad ng ipinapakita sa larawan) at isulat ang ibinigay na numero sa anyong “7 80, 14” sa kaliwang tuktok. Normal na ang unang digit mula sa kaliwa ay isang unpared digit. Isusulat mo ang sagot (ang ugat ng numerong ito) sa kanang tuktok.

   2. Para sa unang pares ng mga numero (o solong numero) mula sa kaliwa, hanapin ang pinakamalaking integer n na ang parisukat ay mas mababa sa o katumbas ng pares ng mga numero (o solong numero) na pinag-uusapan. Sa madaling salita, hanapin ang parisukat na numero na pinakamalapit sa, ngunit mas maliit kaysa, sa unang pares ng mga numero (o solong numero) mula sa kaliwa, at kunin ang square root ng square number na iyon; makukuha mo ang numero n. Isulat ang n nahanap mo sa kanang itaas, at isulat ang parisukat ng n sa kanang ibaba.

      • Sa aming kaso, ang unang numero sa kaliwa ay magiging 7. Susunod, 4< 7, то есть 2 2 < 7 и n = 2. Напишите 2 сверху справа - это первая цифра в искомом квадратном корне. Напишите 2×2=4 справа снизу; вам понадобится это число для последующих вычислений.

   3. Ibawas ang parisukat ng numero n nakita mo lang mula sa unang pares ng mga numero (o solong numero) sa kaliwa. Isulat ang resulta ng pagkalkula sa ilalim ng subtrahend (ang parisukat ng bilang n).

      • Sa aming halimbawa, ibawas ang 4 sa 7 at makakuha ng 3.

   4. Ibaba ang pangalawang pares ng mga numero at isulat ito sa tabi ng halaga na nakuha sa nakaraang hakbang. Pagkatapos ay i-double ang numero sa kanang tuktok at isulat ang resulta sa kanang ibaba na may pagdaragdag ng "_×_=".

      • Sa aming halimbawa, ang pangalawang pares ng mga numero ay "80". Isulat ang "80" pagkatapos ng 3. Pagkatapos, i-double ang numero sa kanang itaas na nagbibigay ng 4. Isulat ang "4_×_=" sa kanang ibaba.

   5. Punan ang mga patlang sa kanan.

      • Sa aming kaso, kung ilalagay namin ang numero 8 sa halip na mga gitling, pagkatapos ay 48 x 8 = 384, na higit sa 380. Samakatuwid, ang 8 ay masyadong malaki ang isang numero, ngunit gagawin ng 7. Sumulat ng 7 sa halip na mga gitling at makakuha ng: 47 x 7 = 329. Isulat ang 7 sa kanang itaas - ito ang pangalawang digit sa gustong square root ng numerong 780.14.

   6. Ibawas ang resultang numero mula sa kasalukuyang numero sa kaliwa. Isulat ang resulta mula sa nakaraang hakbang sa ilalim ng kasalukuyang numero sa kaliwa, hanapin ang pagkakaiba at isulat ito sa ilalim ng subtrahend.

      • Sa aming halimbawa, ibawas ang 329 mula sa 380, na katumbas ng 51.

   7. Ulitin ang hakbang 4. Kung ang pares ng mga numerong inililipat ay ang fractional na bahagi ng orihinal na numero, pagkatapos ay maglagay ng separator (comma) sa pagitan ng integer at fractional na bahagi sa kinakailangang square root sa kanang tuktok. Sa kaliwa, ibaba ang susunod na pares ng mga numero. Doblehin ang numero sa kanang itaas at isulat ang resulta sa kanang ibaba na may pagdaragdag ng "_×_=".

      • Sa aming halimbawa, ang susunod na pares ng mga numero na aalisin ay ang fractional na bahagi ng numerong 780.14, kaya ilagay ang separator ng integer at fractional na mga bahagi sa nais na square root sa kanang itaas. Ibaba ang 14 at isulat ito sa kaliwang ibaba. Doblehin ang numero sa kanang itaas (27) ay 54, kaya isulat ang "54_×_=" sa kanang ibaba.

   8. Ulitin ang hakbang 5 at 6. Hanapin ang pinakamalaking numero bilang kapalit ng mga gitling sa kanan (sa halip na ang mga gitling ay kailangan mong palitan ang parehong numero) upang ang resulta ng pagpaparami ay mas mababa o katumbas ng kasalukuyang numero sa kaliwa.

      • Sa aming halimbawa, 549 x 9 = 4941, na mas mababa sa kasalukuyang numero sa kaliwa (5114). Isulat ang 9 sa kanang tuktok at ibawas ang resulta ng multiplikasyon mula sa kasalukuyang numero sa kaliwa: 5114 - 4941 = 173.

   9. Kung kailangan mong maghanap ng higit pang mga decimal na lugar para sa square root, sumulat ng ilang mga zero sa kaliwa ng kasalukuyang numero at ulitin ang mga hakbang 4, 5, at 6. Ulitin ang mga hakbang hanggang sa makuha mo ang katumpakan ng sagot (bilang ng mga decimal na lugar) sa iyo kailangan.

   Pag-unawa sa Proseso

   Upang makabisado ang pamamaraang ito, isipin ang numero kung saan ang square root ay kailangan mong hanapin bilang ang lugar ng square S. Sa kasong ito, hahanapin mo ang haba ng gilid L ng naturang parisukat. Kinakalkula namin ang halaga ng L na ang L² = S.

   Bigyan ng titik ang bawat bilang sa sagot. Ipahiwatig natin sa pamamagitan ng A ang unang digit sa halaga ng L (ang gustong square root). Ang B ang magiging pangalawang digit, C ang pangatlo at iba pa.

   Tukuyin ang isang titik para sa bawat pares ng unang digit. Ipahiwatig natin sa pamamagitan ng S a ang unang pares ng mga digit sa halaga ng S, sa pamamagitan ng S b ang pangalawang pares ng mga digit, at iba pa.

   Unawain ang koneksyon sa pagitan ng pamamaraang ito at mahabang paghahati. Tulad ng sa dibisyon, kung saan interesado lamang kami sa susunod na digit ng numero na hinahati namin sa bawat oras, kapag kinakalkula ang isang square root, nagtatrabaho kami sa pamamagitan ng isang pares ng mga digit sa pagkakasunud-sunod (upang makuha ang susunod na isang digit sa square root value ).

   1. Isaalang-alang ang unang pares ng mga digit na Sa ng numerong S (Sa = 7 sa ating halimbawa) at hanapin ang square root nito. Sa kasong ito, ang unang digit na A ng nais na square root value ay isang digit na ang parisukat ay mas mababa sa o katumbas ng S a (iyon ay, naghahanap kami ng isang A na ang hindi pagkakapantay-pantay A² ≤ Sa< (A+1)²). В нашем примере, S1 = 7, и 2² ≤ 7 < 3²; таким образом A = 2.

      • Sabihin nating kailangan nating hatiin ang 88962 sa 7; dito ang unang hakbang ay magiging katulad: isinasaalang-alang namin ang unang digit ng mahahati na numero 88962 (8) at piliin ang pinakamalaking numero na, kapag pinarami ng 7, ay nagbibigay ng halagang mas mababa sa o katumbas ng 8. Ibig sabihin, hinahanap namin isang numerong d kung saan totoo ang hindi pagkakapantay-pantay: 7 × d ≤ 8< 7×(d+1). В этом случае d будет равно 1.

Well, kung isasaalang-alang natin na ang mismong square root na ito ay ang produkto ng parehong numero (iyon ay, b = a), kung gayon ang square root ng isang daan ay magiging 10 (100 = 10).

Dapat pansinin na ang bilang na 100 ay maaaring katawanin bilang produkto ng 25 at 4. At pagkatapos ay kalkulahin ang square root ng parehong 25 at 4. 5 at 2. Multiply at makakuha din ng 10.

Noong una nating pag-aralan ang paksang ito sa paaralan, square root ng 100 ay marahil ang isa sa pinakamadaling maunawaan at mga kalkulasyon. Karaniwan ay tumingin ako sa isang kahit na (!) na bilang ng mga zero at agad na kinakalkula kung aling numero, na pinarami ng sarili nito, ay nagbibigay ng figure sa ilalim ng square root. Halimbawa, kung ito ay 10000, kung gayon ang square root ng numerong iyon ay magiging isang daan (100x100 = 10000). Kung ang numero sa ilalim ng sq. ang ugat ay anim na zero, pagkatapos ang sagot ay maglalaman ng tatlong zero. atbp.

Sa kasong ito, mayroon lamang dalawang zero sa numero, na nangangahulugang mayroong dalawang sampu. Kaya, Ang square root ng 100 ay 10. Sinusuri namin: 10x10 = 100

Mayroong ilang mga paraan upang makalkula ang square root.

1) Kumuha ng calculator o smartphone/tablet/computer na may naka-install na programa sa pagkalkula, ilagay ang numero 100 at mag-click sa square root icon, na ganito ang hitsura:

2) Alamin ang talahanayan ng mga parisukat ng mga numero hanggang 100=25*4.

3) Sa pamamagitan ng paraan ng paghahati.

4) Sa pamamagitan ng paraan ng agnas sa prime factor 100=10*10.

Sa teorya, kung gagawin mo ang lahat ng tama, makakakuha ka ng isang resulta ng 10.

Ang icon na ginamit upang kumatawan sa square root ay tinatawag na radical at ganito ang hitsura.

At ang square root ng 100 ay madaling makuha kung alam mo ang mga parisukat ng mga numero. 10 X 10 = 100. Kaya ang square root ng 100, kasunod ng kahulugan ng square root, ay 10.

Marahil alam ng bawat mag-aaral na ang bilang na 100 ay produkto ng 10 sa pamamagitan ng 10.

Dahil ang square root ay isang numero na, kapag pinarami sa sarili nito, ay isang radikal na expression, kung gayon Ang square root ng isang daan ay katumbas ng numero 10.

Kung nakalimutan mo na 100=10*10, maaari mong gamitin ang mga katangian ng mga ugat:

ugat ng 100 = ugat ng (25*4) = ugat ng 25 * ugat ng 4.

Alam ng lahat na 5*5 = 25, at 2*2 = 4. Samakatuwid, ang ugat ng 100 = 5 * 2 = 10.

Buweno, kung hindi mo alam ito, maaari kang gumamit ng calculator o mga talahanayan ng Excel, mayroon silang isang espesyal na formula na tinatawag na UGAT. Narito kung paano nakikita ang lahat ng ito:



Sa panahong ito, gamit ang isang calculator napakadaling kalkulahin ang square root ng anumang numero.

Maaari mong i-extract ang square root ng 100 pasalita. Pagkatapos ng lahat, alam na ang pagdadala ng numerong x sa parisukat ay ang bilang na x na pinarami ng bilang na x.

Kung 10 10 = 100, kung gayon ang square root ng 100 ay 10.

Sagot sa tanong: 10 .

Ang parisukat na ugat sa matematika ay tinutukoy ng isang karaniwang simbolo.

Ang square root ng isang numero ay isang di-negatibong numero na ang parisukat ay katumbas ng a. Dahil 10^2=100, ang square root ng 100 ay 10.

May mga numero na ang mga ugat ay napakadaling matandaan. Para sa akin, ito ay, halimbawa, 25 - ang ugat ay magiging 5, dahil 5*5=25, 625 ang ugat ng 25, dahil 25*25=625.

Kasama ko rin ang bilang na 100 bilang mga numero - ang ugat ay magiging 10, suriin ang 10*10=100. Kaya ito ay tama.

Square root ng isang daan? mukhang mag 10 na

Mahirap isipin na ang isang tao ay mag-online upang mahanap ang sagot na ito, ngunit kung akala natin na siya ay ganap na hindi nakolekta at hindi nag-iingat, pagkatapos ay ibibigay ko ang sagot Ang square root ng numero 100 ay 10, at pati na rin -10. Maraming mga mapagkukunan ang sumulat nito sa ganitong paraan.



Ang square root ng 100 ay may dalawang value: 10 at -10. Ang mga hindi naniniwala ay maaaring suriin sa pamamagitan ng pagpaparami.

Upang kunin ang square root nang walang calculator, kailangan mong i-decomposing ang numero sa ilalim ng ugat sa pinakamaliit na mga kadahilanan at magpatuloy mula doon. Kaya para sa bilang isang daan:

At nang naaayon, mula dito ay agad na nagiging malinaw na ang square root ng isang daan ay magiging eksaktong 10.

Kailangan kong tandaan ang isang panuntunan na naalala ko mula sa paaralan:

Bagaman ang pagkuha ng ugat ng 100 ay isang simpleng bagay na hindi nangangailangan ng paggamit ng mga calculator, dahil ito ay nakatanim sa memorya habang buhay. Ang bilang na 100 ay nakukuha sa pamamagitan ng pagpaparami ng 10 sa 10, at samakatuwid ay ang bilang 10 at magiging ugat ng isang daan.

Ano ang square root?

Pansin!
May mga karagdagang
materyales sa Espesyal na Seksyon 555.
Para sa mga taong "hindi masyadong..."
At para sa mga "napakarami...")

Napakasimple ng konseptong ito. Natural, sasabihin ko. Sinisikap ng mga mathematician na makahanap ng reaksyon para sa bawat aksyon. May karagdagan - mayroon ding pagbabawas. May multiplication - may division din. May squaring... Kaya meron din pagkuha ng square root! Iyon lang. Ang pagkilos na ito ( parisukat na ugat) sa matematika ay ipinahiwatig ng icon na ito:

Ang icon mismo ay tinatawag na isang magandang salita " radikal".

Paano i-extract ang ugat? Mas magandang tingnan mga halimbawa.

Ano ang square root ng 9? Anong numerong squared ang magbibigay sa atin ng 9? Ang 3 squared ay nagbibigay sa amin ng 9! Yung:

Ngunit ano ang square root ng zero? Walang problema! Anong numerong squared ang ginagawa ng zero? Oo, nagbibigay ito ng zero! Ibig sabihin:

Nakuha ko, ano ang square root? Pagkatapos ay isaalang-alang namin mga halimbawa:

Mga sagot (magulo): 6; 1; 4; 9; 5.

Nagpasya? Talaga, gaano ba kadali iyon?!

Ngunit... Ano ang ginagawa ng isang tao kapag nakakita siya ng ilang gawain na may mga ugat?

Nagsisimulang malungkot ang isang tao... Hindi siya naniniwala sa pagiging simple at magaan ng kanyang mga ugat. Kahit na parang alam niya ano ang square root...

Ito ay dahil binalewala ng tao ang ilang mahahalagang punto kapag pinag-aaralan ang mga ugat. Pagkatapos ang mga usong ito ay naghihiganti ng malupit sa mga pagsusulit at pagsusulit...

Point one. Kailangan mong kilalanin ang mga ugat sa pamamagitan ng paningin!

Ano ang square root ng 49? pito? Tama! Paano mo nalaman na pito na? Kuwadrado ang pito at nakakuha ng 49? Tama! Mangyaring tandaan na kunin ang ugat sa 49 kailangan naming gawin ang reverse operation - square 7! At siguraduhing hindi kami makaligtaan. O maaaring hindi nila...

Ito ang hirap pagkuha ng ugat. Square Maaari mong gamitin ang anumang numero nang walang anumang mga problema. I-multiply ang isang numero nang mag-isa gamit ang isang column - iyon lang. Ngunit para sa pagkuha ng ugat Walang ganoong simple at hindi ligtas na teknolohiya. Kailangan natin pulutin sagutin at suriin kung ito ay tama sa pamamagitan ng pag-square nito.

Ang masalimuot na proseso ng creative na ito - pagpili ng sagot - ay lubos na pinasimple kung ikaw Tandaan mga parisukat ng mga sikat na numero. Parang multiplication table. Kung, sabihin nating, kailangan mong i-multiply ang 4 sa 6, hindi ka magdagdag ng apat na 6 na beses, hindi ba? Ang sagot 24 ay agad na lumalabas Bagama't, hindi lahat ay nakakakuha nito, oo...

Upang gumana nang malaya at matagumpay sa mga ugat, sapat na malaman ang mga parisukat ng mga numero mula 1 hanggang 20. Bukod dito doon At pabalik. Yung. dapat ay madali mong bigkasin ang pareho, sabihin nating, 11 squared at ang square root ng 121. Upang makamit ang memorization na ito, mayroong dalawang paraan. Ang una ay upang matutunan ang talahanayan ng mga parisukat. Malaking tulong ito sa paglutas ng mga halimbawa. Ang pangalawa ay upang malutas ang higit pang mga halimbawa. Ito ay lubos na makatutulong sa iyo na matandaan ang talahanayan ng mga parisukat.

At walang mga calculator! Para sa mga layunin ng pagsubok lamang. Kung hindi, babagal ka nang walang awa sa panahon ng pagsusulit...

Kaya, ano ang square root At kung paano kunin ang mga ugat- Sa tingin ko ito ay malinaw. Ngayon alamin natin kung ANO ang maaari nating makuha sa kanila.

Ikalawang punto. Root, hindi kita kilala!

Anong mga numero ang maaari mong kunin ang mga square root? Oo, halos alinman sa kanila. Mas madaling maunawaan kung saan ito galing ito ay ipinagbabawal i-extract ang mga ito.

Subukan nating kalkulahin ang ugat na ito:

Para magawa ito, kailangan nating pumili ng numero na ibibigay sa atin ng squared -4. Pumili kami.

Ano, hindi kasya? 2 2 ay nagbibigay ng +4. (-2) 2 ang nagbibigay muli ng +4! Iyon lang... Walang mga numero na, kapag naka-square, ay magbibigay sa atin ng negatibong numero! Kahit na alam ko ang mga numerong ito. Ngunit hindi ko sasabihin sa iyo). Mag-college ka at malalaman mo sa sarili mo.

Ang parehong kuwento ay mangyayari sa anumang negatibong numero. Kaya ang konklusyon:

Isang expression kung saan mayroong negatibong numero sa ilalim ng square root sign - walang saysay! Ito ay isang ipinagbabawal na operasyon. Ito ay ipinagbabawal tulad ng paghahati sa zero. Tandaan ang katotohanang ito nang matatag! O sa madaling salita:

Hindi mo maaaring kunin ang mga square roots mula sa mga negatibong numero!

Ngunit sa lahat ng iba pa, ito ay posible. Halimbawa, ito ay lubos na posible upang makalkula

Sa unang tingin, ito ay napakahirap. Pagpili ng mga fraction at pag-square ng mga ito... Huwag mag-alala. Kapag naunawaan natin ang mga katangian ng mga ugat, ang mga ganitong halimbawa ay mababawasan sa parehong talahanayan ng mga parisukat. Ang buhay ay magiging mas madali!

Okay, fractions. Ngunit nakakatagpo pa rin kami ng mga expression tulad ng:

ayos lang. Lahat pare-pareho. Ang square root ng dalawa ay ang bilang na, kapag squared, ay nagbibigay sa atin ng dalawa. Tanging ang bilang na ito ay ganap na hindi pantay... Narito ito:

Ang kawili-wili ay ang fraction na ito ay hindi nagtatapos... Ang mga naturang numero ay tinatawag na hindi makatwiran. Sa square roots ito ang pinakakaraniwang bagay. Sa pamamagitan ng paraan, ito ang dahilan kung bakit tinatawag ang mga expression na may mga ugat hindi makatwiran. Malinaw na ang pagsulat ng gayong walang katapusang fraction sa lahat ng oras ay hindi maginhawa. Samakatuwid, sa halip na isang walang katapusang fraction, iniiwan nila ito nang ganito:

Kung, kapag nilulutas ang isang halimbawa, napupunta ka sa isang bagay na hindi maaaring makuha, tulad ng:

tapos iiwan natin ng ganun. Ito ang magiging sagot.

Kailangan mong malinaw na maunawaan kung ano ang ibig sabihin ng mga icon

Siyempre, kung ang ugat ng numero ay kinuha makinis, dapat mong gawin ito. Ang sagot sa gawain ay nasa anyo, halimbawa

Isang kumpletong sagot.

At, siyempre, kailangan mong malaman ang tinatayang mga halaga mula sa memorya:

Ang kaalamang ito ay lubos na nakakatulong upang masuri ang sitwasyon sa mga kumplikadong gawain.

Ikatlong punto. Ang pinaka tuso.

Ang pangunahing pagkalito sa pagtatrabaho sa mga ugat ay sanhi ng puntong ito. Siya ang nagbibigay ng tiwala sa sarili niyang kakayahan... Haharapin natin ng maayos ang puntong ito!

Una, kunin natin muli ang square root ng apat sa kanila. Naabala na ba kita sa ugat na ito?) Di bale, ngayon ay magiging kawili-wili!

Anong numero ang 4 squared? Well, dalawa, dalawa - Nakarinig ako ng mga hindi nasisiyahang sagot...

Tama. Dalawa. Ngunit din minus dalawa magbibigay ng 4 squared... Samantala, ang sagot

tama at ang sagot

matinding pagkakamali. Ganito.

Kaya ano ang deal?

Sa katunayan, (-2) 2 = 4. At sa ilalim ng kahulugan ng square root ng apat minus dalawa medyo angkop... Ito rin ang square root ng apat.

Ngunit! Sa kurso sa matematika ng paaralan, kaugalian na isaalang-alang ang mga square root mga non-negative na numero lamang! Iyon ay, zero at lahat ay positibo. Kahit na ang isang espesyal na termino ay naimbento: mula sa numero A- Ito hindi negatibo bilang kung saan ang parisukat ay A. Ang mga negatibong resulta kapag nag-extract ng mga arithmetic square root ay itinatapon lang. Sa paaralan, ang lahat ay square roots - aritmetika. Bagaman hindi ito partikular na binanggit.

Okay, understandable naman. Mas mabuti pa na huwag nang mag-abala sa mga negatibong resulta... Hindi pa ito kaguluhan.

Nagsisimula ang pagkalito kapag nilulutas ang mga quadratic equation. Halimbawa, kailangan mong lutasin ang sumusunod na equation.

Ang equation ay simple, isinusulat namin ang sagot (tulad ng itinuro):

Ang sagot na ito (talagang tama, sa pamamagitan ng paraan) ay isang pinaikling bersyon lamang dalawa mga sagot:

Tigil tigil! Sa itaas ko lang isinulat na ang square root ay isang numero Laging hindi negatibo! At narito ang isa sa mga sagot - negatibo! Disorder. Ito ang una (ngunit hindi ang huling) problema na nagdudulot ng kawalan ng tiwala sa mga ugat... Solusyonan natin ang problemang ito. Isulat natin ang mga sagot (para lamang sa pag-unawa!) tulad nito:

Hindi binabago ng mga panaklong ang kakanyahan ng sagot. Pinaghiwalay ko lang ng bracket palatandaan mula sa ugat. Ngayon ay malinaw mong makikita na ang ugat mismo (sa mga bracket) ay hindi negatibong numero pa rin! At ang mga palatandaan ay resulta ng paglutas ng equation. Pagkatapos ng lahat, kapag nilulutas ang anumang equation dapat nating isulat Lahat Xs na, kapag pinalitan sa orihinal na equation, ay magbibigay ng tamang resulta. Ang ugat ng lima (positibo!) na may parehong plus at isang minus ay umaangkop sa aming equation.

Ganito. kung ikaw kunin lang ang square root mula sa kahit ano, ikaw Laging nakuha mo isang hindi negatibo resulta. Halimbawa:

Dahil ito- arithmetic square root.

Ngunit kung nilulutas mo ang ilang quadratic equation, tulad ng:

yun Laging iyon pala dalawa sagot (may plus at minus):

Dahil ito ang solusyon sa equation.

pag-asa, ano ang square root Malinaw na ang iyong mga punto. Ngayon ay nananatili upang malaman kung ano ang maaaring gawin sa mga ugat, kung ano ang kanilang mga katangian. At ano ang mga punto at mga pitfalls... sorry, stones!)

Ang lahat ng ito ay nasa mga sumusunod na aralin.

Kung gusto mo ang site na ito...

Siyanga pala, mayroon akong ilang mas kawili-wiling mga site para sa iyo.)

Maaari kang magsanay sa paglutas ng mga halimbawa at alamin ang iyong antas. Pagsubok na may agarang pag-verify. Matuto tayo - nang may interes!)

Maaari kang maging pamilyar sa mga function at derivatives.

Napatingin ulit ako sa karatula... And, let's go!

Magsimula tayo sa isang simpleng bagay:

Saglit lang. ito, na nangangahulugang maaari nating isulat ito tulad nito:

Nakuha ko? Narito ang susunod na para sa iyo:

Ang mga ugat ba ng mga resultang numero ay hindi eksaktong nakuha? Walang problema - narito ang ilang mga halimbawa:

Paano kung walang dalawa, ngunit mas maraming multiplier? Pareho! Ang formula para sa pagpaparami ng mga ugat ay gumagana sa anumang bilang ng mga kadahilanan:

Ngayon ay ganap sa iyong sarili:

Mga sagot: Magaling! Sumang-ayon, ang lahat ay napakadali, ang pangunahing bagay ay malaman ang talahanayan ng pagpaparami!

Dibisyon ng ugat

Inayos namin ang pagpaparami ng mga ugat, ngayon ay lumipat tayo sa pag-aari ng paghahati.

Ipaalala ko sa iyo na ang pangkalahatang formula ay ganito ang hitsura:

Ibig sabihin ang ugat ng quotient ay katumbas ng quotient ng mga ugat.

Well, tingnan natin ang ilang mga halimbawa:

Iyon lang ang agham. Narito ang isang halimbawa:

Ang lahat ay hindi kasing makinis tulad ng sa unang halimbawa, ngunit, tulad ng nakikita mo, walang kumplikado.

Paano kung makita mo ang expression na ito:

Kailangan mo lamang ilapat ang formula sa kabaligtaran na direksyon:

At narito ang isang halimbawa:

Maaari mo ring makita ang expression na ito:

Ang lahat ay pareho, dito lamang kailangan mong matandaan kung paano isalin ang mga fraction (kung hindi mo naaalala, tingnan ang paksa at bumalik!). Naaalala mo ba? Ngayon magpasya tayo!

Sigurado ako na nakaya mo ang lahat, ngayon subukan nating itaas ang mga ugat sa mga antas.

Exponentiation

Ano ang mangyayari kung ang square root ay squared? Ito ay simple, tandaan ang kahulugan ng square root ng isang numero - ito ay isang numero na ang square root ay katumbas ng.

Kaya, kung i-square natin ang isang numero na ang square root ay katumbas, ano ang makukuha natin?

Aba, syempre,!

Tingnan natin ang mga halimbawa:

Simple lang diba? Paano kung ang ugat ay nasa ibang antas? ayos lang!

Sundin ang parehong lohika at tandaan ang mga katangian at posibleng mga aksyon na may mga degree.

Basahin ang teorya sa paksang "" at ang lahat ay magiging malinaw sa iyo.

Halimbawa, narito ang isang expression:

Sa halimbawang ito, ang antas ay pantay, ngunit paano kung ito ay kakaiba? Muli, ilapat ang mga katangian ng mga exponents at salik ang lahat:

Ang lahat ay tila malinaw dito, ngunit paano i-extract ang ugat ng isang numero sa isang kapangyarihan? Narito, halimbawa, ito:

Medyo simple, tama? Paano kung ang degree ay higit sa dalawa? Sinusunod namin ang parehong lohika gamit ang mga katangian ng mga degree:

Well, malinaw ba ang lahat? Pagkatapos ay lutasin ang mga halimbawa sa iyong sarili:

At narito ang mga sagot:

Pagpasok sa ilalim ng tanda ng ugat

Ano ang hindi natin natutunang gawin sa mga ugat! Ang natitira na lang ay ang pagsasanay sa pagpasok ng numero sa ilalim ng root sign!

Ito ay talagang madali!

Sabihin nating mayroon tayong nakasulat na numero

Ano ang magagawa natin dito? Well, siyempre, itago ang tatlo sa ilalim ng ugat, remembering na ang tatlo ay ang square root ng!

Bakit kailangan natin ang mga ito? Oo, para lang mapalawak ang aming mga kakayahan kapag nagresolba ng mga halimbawa:

Paano mo gusto ang pag-aari na ito ng mga ugat? Ginagawa ba nitong mas madali ang buhay? Para sa akin, tama na! Tanging Dapat nating tandaan na maaari lamang tayong magpasok ng mga positibong numero sa ilalim ng square root sign.

Lutasin ang halimbawang ito sa iyong sarili -
Inayos mo ba? Tingnan natin kung ano ang dapat mong makuha:

Magaling! Nagawa mong ipasok ang numero sa ilalim ng root sign! Lumipat tayo sa isang bagay na pantay na mahalaga - tingnan natin kung paano ihambing ang mga numerong naglalaman ng square root!

Paghahambing ng mga ugat

Bakit kailangan nating matutunang ihambing ang mga numero na naglalaman ng square root?

Napakasimple. Kadalasan, sa malalaki at mahabang ekspresyong nakatagpo sa pagsusulit, nakakatanggap tayo ng hindi makatwiran na sagot (tandaan kung ano ito? Napag-usapan na natin ito ngayon!)

Kailangan nating ilagay ang mga natanggap na sagot sa linya ng coordinate, halimbawa, upang matukoy kung aling pagitan ang angkop para sa paglutas ng equation. At dito lumitaw ang problema: walang calculator sa pagsusulit, at kung wala ito, paano mo maiisip kung aling numero ang mas malaki at alin ang mas mababa? Ayan yun!

Halimbawa, tukuyin kung alin ang mas malaki: o?

Hindi mo masasabi kaagad. Well, gamitin natin ang disassembled property ng pagpasok ng numero sa ilalim ng root sign?

Pagkatapos ay magpatuloy:

Well, malinaw naman, mas malaki ang numero sa ilalim ng root sign, mas malaki ang ugat mismo!

Yung. kung, kung gayon, .

Mula dito matatag nating hinuhusgahan iyon. At walang sinuman ang kumbinsihin sa amin kung hindi man!

Pagkuha ng mga ugat mula sa malalaking numero

Bago ito, nagpasok kami ng isang multiplier sa ilalim ng tanda ng ugat, ngunit paano ito aalisin? Kailangan mo lamang i-factor ito sa mga kadahilanan at i-extract ang iyong na-extract!

Posibleng kumuha ng ibang landas at palawakin sa iba pang mga salik:

Hindi masama, tama ba? Ang alinman sa mga pamamaraang ito ay tama, magpasya ayon sa gusto mo.

Ang pag-factor ay lubhang kapaki-pakinabang kapag nilulutas ang mga hindi karaniwang problema tulad nito:

Huwag tayong matakot, ngunit kumilos! I-decompose natin ang bawat salik sa ilalim ng ugat sa magkakahiwalay na salik:

Ngayon subukan ito sa iyong sarili (nang walang calculator! Wala ito sa pagsusulit):

Ito na ba ang wakas? Huwag tayong huminto sa kalagitnaan!

Yun nga lang, hindi naman nakakatakot diba?

Nangyari? Magaling, tama iyan!

Ngayon subukan ang halimbawang ito:

Ngunit ang halimbawa ay isang matigas na mani na pumutok, kaya't hindi mo agad maisip kung paano ito lapitan. Pero, siyempre, kakayanin natin.

Well, simulan natin ang factoring? Tandaan natin kaagad na maaari mong hatiin ang isang numero sa pamamagitan ng (tandaan ang mga palatandaan ng divisibility):

Ngayon, subukan ito sa iyong sarili (muli, nang walang calculator!):

Well, nagtagumpay ba ito? Magaling, tama iyan!

Isa-isahin natin

1. Ang square root (arithmetic square root) ng isang di-negatibong numero ay isang hindi-negatibong numero na ang parisukat ay katumbas ng.
   .
2. Kung kukunin lang natin ang square root ng isang bagay, palagi tayong nakakakuha ng isang hindi negatibong resulta.
3. Mga katangian ng arithmetic root:
4. Kapag inihambing ang mga square root, kinakailangang tandaan na mas malaki ang numero sa ilalim ng root sign, mas malaki ang ugat mismo.

Kumusta ang square root? Malinaw ang lahat?

Sinubukan naming ipaliwanag sa iyo nang walang anumang pagkabahala ang lahat ng kailangan mong malaman sa pagsusulit tungkol sa square root.

Ikaw na. Sumulat sa amin kung ang paksang ito ay mahirap para sa iyo o hindi.

May bago ka bang natutunan o malinaw na ba ang lahat?

Sumulat sa mga komento at good luck sa iyong mga pagsusulit!