Mga katangian ng karagdagan. Combinative at distributive properties ng multiplication Paano basahin ang combinative property ng karagdagan

Ang a, b ay ang mga numero kung saan isinagawa ang karagdagan, ang c ay ang resulta ng karagdagan.

Ang pagdaragdag ng mga multi-digit na numero ay ginagawa nang bitwise.

• Halimbawa: 9067542 + 34981 = 9102523

Mga batas ng karagdagan.

• 1) commutative: a + b = b + a;

Halimbawa. 310 + 1454 = 1454 + 310. Kahit paano natin idagdag ang resulta, ang resulta ay 1764.

• 2) nag-uugnay: (a + b) + c = a + (b + c);

Halimbawa: (329 + 85) + 120 = 329 + (85 + 120) = 329 + 205 =534;

• 3) ang batas ng pagdaragdag ng isang numero na may zero: a + 0 = a.

Pagbabawas

a (minuend) - b (subtrahend) = c (pagkakaiba)

• Halimbawa: 42397 - 17963 = 24434

Mga katangian ng mga pagkilos sa pagbabawas:

• 1) ang batas ng pagbabawas ng isang numero mula sa kabuuan:

(a + b) - c = (a - c) + b, kung a > c o a = c;

• 2) ang batas ng pagbabawas mula sa isang kabuuan:

a - (b + c) = (a - b) - c;

• 3) ang batas ng pagbabawas ng isang numero mula sa isang numero:

• 4) ang batas ng pagbabawas mula sa zero:

• 5) ang batas ng pagbabawas ng isang halaga mula sa isang kabuuan:

(a + b) - (c + d) = ;

Problema bilang isang halimbawa ng mga pagpapatakbo ng pagdaragdag at pagbabawas

Kalkulahin sa isang maginhawang paraan:

• 1) (4981 - 2992) - 808;
• 2) (3975 + 5729) - (5729 + 975).

Inilapat namin ang ika-2 at ika-5 na batas ng pagbabawas:

• 1) (4981- 2992) - 808 = 4981 - (2992 + 808) = 4981 - 3800 = 1181;
• 2) (3975 + 5729) - (5729 + 975) = (3975 - 975) + (5729 - 5720)= 3000 + 0 = 3000

Pagpaparami

Ang pag-multiply ng numerong a sa numerong b (b>1) ay nangangahulugan ng paghahanap ng kabuuan ng b termino (bawat termino ay katumbas ng a).

a x b= a + a + ... + a

Kung b = 1, a x 1 = a.

a (unang salik) x b (pangalawang salik) = c (produkto)

Halimbawa: 57 + 57 + 57 + 34 + 34 = 57 x 3 + 34 x 2 = 171 + 68 + 239

Mga batas sa pagpaparami

• 1) commutative: a x b = b x a;

Halimbawa. 15 x 110 = 110 x 15.

• 2) nag-uugnay: (a x b) x c = a x (b x c);

Halimbawa: (9 x 30) x 10= 9 x (30 x 10) = 9 x 300= 2700;

(65 x 25) x 44 = (25 x 65) x 44 = 25 x (65 X 44) = 25 x 2860 = 71500.

• 3) multiplikasyon sa zero: 0 x a = 0;

Halimbawa: 0 x 10 = 0.

• 4) distributive law ng multiplikasyon tungkol sa pagkilos ng karagdagan (pagbabawas):

a x (b + c) = a x b + a x c;

Mga problema bilang isang halimbawa ng operasyon ng multiplikasyon

Gawain 1. Kalkulahin sa isang maginhawang paraan:

• 1) (37 x 125) x 8;
• 2) 49 x 84 + 49 x 83 - 49 x 67.

1) (37 x 125) x 8 = 37 x (125 x 8) = 37 x 1000 = 37000;

2) 49 x 84 + 49 x 83 - 49 x 67 = 49 x (84 + 83 - 67) = 49 x 100 = 4900.

Gawain 2. Ang 1 kW/h ay nagkakahalaga ng 12 rubles. Ang isang electric iron ay kumokonsumo ng 2 kW/h sa 1 oras ng operasyon. Pinaplantsa namin ang mga damit gamit ang isang bakal sa loob ng dalawang araw: sa unang araw - 3 oras, sa pangalawa - 2 oras. Magkano ang halaga ng kuryente para sa dalawang araw? Lutasin ang problema sa iyong sarili, at bibigyan ka lamang namin ng mga sagot: para sa 3 oras - 72 rubles; para sa 2 oras - 48 kuskusin.

Dibisyon

a (divisible): b (divisor) = c (quotient)

Mga batas ng dibisyon:

• 1) a: 1 = a, dahil a x 1 = a;
• 2) 0: a =0, ​​​​dahil 0 x a = 0;
• 3) hindi mo maaaring hatiin sa 0!

2224222: 2222 = 1001

Ang batas ng paghahati ng kabuuan (difference) sa isang numero:

• 1) (a + b): c = a: c + b: c, c ay hindi katumbas ng 0;
• 2) (a - b): c = a: c -b: c, c ay hindi katumbas ng 0;

Halimbawa: (4800 + 9300) : 300 = 4800: 300 + 9300: 300 = 16 + 31 + 47.

Ang batas ng paghahati ng produkto sa isang numero:

(a x b):c = (a: c) x b = (b: c) x a, c ay hindi katumbas ng 0.

Gumuhit tayo ng isang parihaba na may mga gilid na 5 cm at 3 cm sa isang piraso ng checkered na papel Hatiin ito sa mga parisukat na may mga gilid na 1 cm (Larawan 143). Bilangin natin ang bilang ng mga cell na matatagpuan sa parihaba. Ito ay maaaring gawin, halimbawa, tulad nito.

Ang bilang ng mga parisukat na may gilid na 1 cm ay 5 * 3. Ang bawat parisukat ay binubuo ng apat na mga cell. Samakatuwid, ang kabuuang bilang ng mga cell ay (5 * 3) * 4.

Ang parehong problema ay maaaring malutas sa ibang paraan. Ang bawat isa sa limang hanay ng parihaba ay binubuo ng tatlong parisukat na may gilid na 1 cm Samakatuwid, ang isang haligi ay naglalaman ng 3 * 4 na mga cell. Samakatuwid, magkakaroon ng 5 * (3 * 4) na mga cell sa kabuuan.

Ang pagbibilang ng mga cell sa Figure 143 ay naglalarawan sa dalawang paraan nag-uugnay na pag-aari ng pagpaparami para sa mga numero 5, 3 at 4. Mayroon kaming: (5 * 3) * 4 = 5 * (3 * 4).

Upang i-multiply ang produkto ng dalawang numero sa ikatlong numero, maaari mong i-multiply ang unang numero sa produkto ng pangalawa at pangatlong numero.

(ab)c = a(bc)

Mula sa commutative at combinatory na mga katangian ng multiplikasyon sumusunod na kapag nagpaparami ng ilang mga numero, ang mga kadahilanan ay maaaring palitan at ilagay sa mga panaklong, sa gayon ay matukoy ang pagkakasunud-sunod ng mga kalkulasyon.

Halimbawa, ang mga sumusunod na pagkakapantay-pantay ay totoo:

abc = cba,

17 * 2 * 3 * 5 = (17 * 3 ) * (2 * 5 ).

Sa Figure 144, hinahati ng segment AB ang parihaba na tinalakay sa itaas sa isang parihaba at isang parisukat.

Bilangin natin ang bilang ng mga parisukat na may gilid na 1 cm sa dalawang paraan.

Sa isang banda, ang resultang parisukat ay naglalaman ng 3 * 3 ng mga ito, at ang parihaba ay naglalaman ng 3 * 2. Sa kabuuan ay nakakakuha kami ng 3 * 3 + 3 * 2 na mga parisukat. Sa kabilang banda, sa bawat isa sa tatlong linya ng parihaba na ito ay mayroong 3 + 2 parisukat. Pagkatapos ang kanilang kabuuang bilang ay 3 * (3 + 2).

Katumbas ng 3 * (3 + 2 ) = 3 * 3 + 3 * 2 ay naglalarawan distributive property ng multiplikasyon na may kaugnayan sa karagdagan.

Upang i-multiply ang isang numero sa kabuuan ng dalawang numero, maaari mong i-multiply ang numerong ito sa bawat addend at idagdag ang mga resultang produkto.

Sa literal na anyo ang ari-arian na ito ay nakasulat tulad ng sumusunod:

a(b + c) = ab + ac

Mula sa distributive na ari-arian ng multiplikasyon na may kaugnayan sa karagdagan ito ay sumusunod na

ab + ac = a(b + c).

Ang pagkakapantay-pantay na ito ay nagpapahintulot sa formula na P = 2 a + 2 b na mahanap ang perimeter ng isang parihaba na isusulat sa form na ito:

P = 2 (a + b).

Tandaan na ang ari-arian ng pamamahagi ay may bisa para sa tatlo o higit pang mga termino. Halimbawa:

a(m + n + p + q) = am + an + ap + aq.

Ang distributive property ng multiplication relative sa subtraction ay totoo din: kung b > c o b = c, kung gayon

a(b − c) = ab − ac

Halimbawa 1 . Kalkulahin sa isang maginhawang paraan:

1 ) 25 * 867 * 4 ;

2 ) 329 * 75 + 329 * 246 .

1) Ginagamit namin ang commutative at pagkatapos ay ang associative properties ng multiplication:

25 * 867 * 4 = 867 * (25 * 4 ) = 867 * 100 = 86 700 .

2) Mayroon kaming:

329 * 754 + 329 * 246 = 329 * (754 + 246 ) = 329 * 1 000 = 329 000 .

Halimbawa 2 . Pasimplehin ang expression:

1) 4 a * 3 b;

2) 18 m − 13 m.

1) Gamit ang commutative at associative na katangian ng multiplikasyon, nakukuha natin ang:

4 a * 3 b = (4 * 3 ) * ab = 12 ab.

2) Gamit ang distributive property ng multiplikasyon na may kaugnayan sa pagbabawas, nakukuha natin ang:

18 m − 13 m = m(18 − 13 ) = m * 5 = 5 m.

Halimbawa 3 . Isulat ang expression na 5 (2 m + 7) upang hindi ito maglaman ng mga panaklong.

Ayon sa distributive property ng multiplikasyon na may kaugnayan sa karagdagan, mayroon tayong:

5 (2 m + 7) = 5 * 2 m + 5 * 7 = 10 m + 35.

Ang pagbabagong ito ay tinatawag pambungad na panaklong.

Halimbawa 4 . Kalkulahin ang halaga ng expression na 125 * 24 * 283 sa isang maginhawang paraan.

Solusyon. Meron kami:

125 * 24 * 283 = 125 * 8 * 3 * 283 = (125 * 8 ) * (3 * 283 ) = 1 000 * 849 = 849 000 .

Halimbawa 5 . Gawin ang multiplikasyon: 3 araw 18 oras * 6.

Solusyon. Meron kami:

3 araw 18 oras * 6 = 18 araw 108 oras = 22 araw 12 oras.

Kapag nilulutas ang halimbawa, ginamit ang distributive property ng multiplikasyon na may kaugnayan sa karagdagan:

3 araw 18 oras * 6 = (3 araw + 18 oras) * 6 = 3 araw * 6 + 18 oras * 6 = 18 araw + 108 oras = 18 araw + 96 oras + 12 oras = 18 araw + 4 araw + 12 oras = 22 araw 12 oras.

Ang pagdaragdag ng isang numero sa isa pa ay medyo simple. Tingnan natin ang isang halimbawa, 4+3=7. Ang expression na ito ay nangangahulugan na ang tatlong mga yunit ay idinagdag sa apat na mga yunit at ang resulta ay pitong mga yunit.
Ang mga numero 3 at 4 na idinagdag namin ay tinatawag mga tuntunin. At ang resulta ng pagdaragdag ng numero 7 ay tinatawag halaga.

Sum ay ang pagdaragdag ng mga numero. Plus sign "+".
Sa literal na anyo, ang halimbawang ito ay magiging ganito:

a+b=c

Mga karagdagang bahagi:
a- termino, b- mga tuntunin, c- kabuuan.
Kung magdadagdag kami ng 4 na yunit sa 3 yunit, kung gayon bilang resulta ng karagdagan ay magkakaroon kami ng parehong resulta;

Mula sa halimbawang ito, napagpasyahan namin na kahit paano namin ipagpalit ang mga termino, ang sagot ay nananatiling pareho:

Tinatawag itong katangian ng mga termino commutative na batas ng karagdagan.

Commutative batas ng karagdagan.

Ang pagpapalit ng mga lugar ng mga termino ay hindi nagbabago sa kabuuan.

Sa literal na notasyon, ganito ang hitsura ng commutative law:

a+b=b+a

Kung isasaalang-alang namin ang tatlong termino, halimbawa, kunin ang mga numero 1, 2 at 4. At ginagawa namin ang karagdagan sa pagkakasunud-sunod na ito, idagdag muna ang 1 + 2, at pagkatapos ay idagdag sa nagresultang kabuuan 4, nakukuha namin ang expression:

(1+2)+4=7

Magagawa natin ang kabaligtaran, idagdag muna ang 2+4, at pagkatapos ay idagdag ang 1 sa resultang kabuuan.

1+(2+4)=7

Ang sagot ay nananatiling pareho. Ang parehong mga uri ng karagdagan para sa parehong halimbawa ay may parehong sagot. Nagtatapos kami:

(1+2)+4=1+(2+4)

Ang pag-aari na ito ng karagdagan ay tinatawag nag-uugnay na batas ng karagdagan.

Gumagana ang commutative at associative na batas ng karagdagan para sa lahat ng hindi negatibong numero.

Batas ng kumbinasyon ng karagdagan.

Upang magdagdag ng ikatlong numero sa kabuuan ng dalawang numero, maaari mong idagdag ang kabuuan ng pangalawa at pangatlong numero sa unang numero.

(a+b)+c=a+(b+c)

Gumagana ang batas ng kumbinasyon para sa anumang bilang ng mga termino. Ginagamit namin ang batas na ito kapag kailangan naming magdagdag ng mga numero sa isang maginhawang pagkakasunud-sunod. Halimbawa, magdagdag tayo ng tatlong numero 12, 6, 8 at 4. Magiging mas maginhawang idagdag muna ang 12 at 8, at pagkatapos ay idagdag ang kabuuan ng dalawang numero 6 at 4 sa resultang kabuuan.
(12+8)+(6+4)=30

Pag-aari ng karagdagan na may zero.

Kapag nagdagdag ka ng isang numero na may zero, ang magreresultang kabuuan ay magiging parehong numero.

3+0=3
0+3=3
3+0=0+3

Sa literal na expression, ang karagdagan na may zero ay magiging ganito:

a+0=a
0+ a=a

Mga tanong sa paksa ng pagdaragdag ng mga natural na numero:
Gumawa ng talahanayan ng karagdagan at tingnan kung paano gumagana ang pag-aari ng commutative law?
Maaaring ganito ang hitsura ng isang karagdagan na talahanayan mula 1 hanggang 10:

Pangalawang bersyon ng talahanayan ng karagdagan.

Kung titingnan natin ang mga talahanayan ng karagdagan, makikita natin kung paano gumagana ang commutative law.

Sa expression na a+b=c, ano ang magiging kabuuan?
Sagot: ang kabuuan ay resulta ng pagdaragdag ng mga termino. a+b at c.

Sa expression na a+b=c terms, ano ang magiging?
Sagot: a at b. Ang mga addend ay mga numero na pinagsama-sama namin.

Ano ang mangyayari sa isang numero kung magdagdag ka ng 0 dito?
Sagot: wala, hindi magbabago ang numero. Kapag idinagdag ng zero, ang numero ay nananatiling pareho, dahil ang zero ay ang kawalan ng mga isa.

Ilang termino dapat ang nasa halimbawa upang mailapat ang kumbinasyonal na batas ng karagdagan?
Sagot: mula sa tatlong termino o higit pa.

Isulat ang commutative law sa literal na termino?
Sagot: a+b=b+a

Mga halimbawa para sa mga gawain.
Halimbawa #1:
Isulat ang sagot sa mga ibinigay na expression: a) 15+7 b) 7+15
Sagot: a) 22 b) 22

Halimbawa #2:
Ilapat ang batas ng kumbinasyon sa mga tuntunin: 1+3+5+2+9
1+3+5+2+9=(1+9)+(5+2)+3=10+7+3=10+(7+3)=10+10=20
Sagot: 20.

Halimbawa #3:
Lutasin ang expression:
a) 5921+0 b) 0+5921
Solusyon:
a) 5921+0 =5921
b) 0+5921=5921

Ang ilang mga resulta na likas sa pagkilos na ito ay maaaring mapansin. Ang mga resultang ito ay tinatawag mga katangian ng pagdaragdag ng mga natural na numero. Sa artikulong ito susuriin namin nang detalyado ang mga katangian ng pagdaragdag ng mga natural na numero, isulat ang mga ito gamit ang mga titik at magbigay ng mga paliwanag na halimbawa.

Pag-navigate sa pahina.

Pinagsamang pag-aari ng pagdaragdag ng mga natural na numero.

Ngayon magbigay tayo ng isang halimbawa na naglalarawan ng nauugnay na pag-aari ng pagdaragdag ng mga natural na numero.

Isipin natin ang isang sitwasyon: 1 mansanas ang nahulog mula sa unang puno ng mansanas, at 2 mansanas at 4 pang mansanas ang nahulog mula sa pangalawang puno ng mansanas. Ngayon isaalang-alang ang sitwasyong ito: 1 mansanas at 2 pang mansanas ang nahulog mula sa unang puno ng mansanas, at 4 na mansanas ang nahulog mula sa pangalawang puno ng mansanas. Malinaw na sa una at pangalawang kaso magkakaroon ng parehong bilang ng mga mansanas sa lupa (na maaaring ma-verify sa pamamagitan ng muling pagkalkula). Iyon ay, ang resulta ng pagdaragdag ng numero 1 na may kabuuan ng mga numero 2 at 4 ay katumbas ng resulta ng pagdaragdag ng kabuuan ng mga numero 1 at 2 na may bilang 4.

Ang isinasaalang-alang na halimbawa ay nagpapahintulot sa amin na bumalangkas ng pinagsama-samang katangian ng pagdaragdag ng mga natural na numero: upang magdagdag ng isang naibigay na kabuuan ng dalawang numero sa isang ibinigay na numero, maaari naming idagdag ang unang termino ng ibinigay na kabuuan sa numerong ito at idagdag ang pangalawang termino ng ibinigay na kabuuan sa resultang resulta. Maaaring isulat ang property na ito gamit ang mga titik gaya ng sumusunod: a+(b+c)=(a+b)+c, kung saan ang a, b at c ay mga arbitraryong natural na numero.

Pakitandaan na ang pagkakapantay-pantay na a+(b+c)=(a+b)+c ay naglalaman ng mga panaklong “(” at “)”. Ang mga panaklong ay ginagamit sa mga expression upang ipahiwatig ang pagkakasunud-sunod kung saan ang mga aksyon ay isinasagawa - ang mga aksyon sa mga panaklong ay unang ginanap (higit pa tungkol dito ay nakasulat sa seksyon). Sa madaling salita, ang mga expression na ang mga halaga ay unang sinusuri ay nakapaloob sa mga panaklong.

Sa pagtatapos ng talatang ito, tandaan namin na ang pinagsama-samang pag-aari ng karagdagan ay nagpapahintulot sa amin na natatanging matukoy ang pagdaragdag ng tatlo, apat o higit pang mga natural na numero.

Ang pag-aari ng pagdaragdag ng zero at isang natural na numero, ang pag-aari ng pagdaragdag ng zero at zero.

Alam namin na ang zero ay HINDI isang natural na numero. Kaya bakit kami nagpasya na tingnan ang pag-aari ng pagdaragdag ng zero at isang natural na numero sa artikulong ito? May tatlong dahilan para dito. Una: ginagamit ang property na ito kapag nagdaragdag ng mga natural na numero sa isang column. Pangalawa: ginagamit ang property na ito kapag binabawasan ang mga natural na numero. Ikatlo: kung ipagpalagay natin na ang zero ay nangangahulugan ng kawalan ng isang bagay, kung gayon ang kahulugan ng pagdaragdag ng zero at isang natural na numero ay tumutugma sa kahulugan ng pagdaragdag ng dalawang natural na numero.

Magsagawa tayo ng ilang pangangatwiran na tutulong sa atin na bumalangkas ng katangian ng pagdaragdag ng zero at natural na numero. Isipin natin na walang mga bagay sa kahon (sa madaling salita, mayroong 0 mga bagay sa kahon), at isang bagay ang inilalagay dito, kung saan ang a ay anumang natural na numero. Iyon ay, nagdagdag kami ng 0 at isang bagay. Ito ay malinaw na pagkatapos ng pagkilos na ito ay may mga bagay sa kahon. Samakatuwid, ang pagkakapantay-pantay na 0+a=a ay totoo.

Katulad nito, kung ang isang kahon ay naglalaman ng mga item at 0 mga item ang idinagdag dito (iyon ay, walang mga item na idinagdag), pagkatapos ng pagkilos na ito ay magkakaroon ng mga item sa kahon. Kaya a+0=a .

Ngayon ay maaari nating ibigay ang pagbabalangkas ng pag-aari ng pagdaragdag ng zero at isang natural na numero: ang kabuuan ng dalawang numero, ang isa ay zero, ay katumbas ng pangalawang numero. Sa matematika, ang katangiang ito ay maaaring isulat bilang sumusunod na pagkakapantay-pantay: 0+a=a o a+0=a, kung saan ang a ay isang arbitrary na natural na numero.

Hiwalay, bigyang-pansin natin ang katotohanan na kapag nagdaragdag ng natural na numero at zero, ang commutative property ng karagdagan ay nananatiling totoo, iyon ay, a+0=0+a.

Sa wakas, bumalangkas tayo sa pag-aari ng pagdaragdag ng zero sa zero (ito ay medyo halata at hindi nangangailangan ng mga karagdagang komento): ang kabuuan ng dalawang numero, ang bawat isa ay katumbas ng zero, ay katumbas ng zero. Yan ay, 0+0=0 .

Ngayon ay oras na upang malaman kung paano magdagdag ng mga natural na numero.

Bibliograpiya.

• Mathematics. Anumang mga aklat-aralin para sa ika-1, ika-2, ika-3, ika-4 na baitang ng mga institusyong pangkalahatang edukasyon.
• Mathematics. Anumang mga aklat-aralin para sa ika-5 baitang ng mga institusyong pangkalahatang edukasyon.