انتگرال نامشخص نمونه های مفصلی از راه حل ها. یکپارچه تعریف نشده آنلاین

فرایند حل انتگرال ها در علم تحت نام "ریاضیات" ادغام نامیده می شود. با کمک یکپارچه سازی می توانید برخی از آنها را پیدا کنید مقادیر فیزیکی: منطقه، حجم، وزن بدن و خیلی بیشتر.

انتگرال ها نامعلوم و تعریف شده اند. نوع یک انتگرال خاص را در نظر بگیرید و سعی کنید معنای فیزیکی آن را درک کنید. به نظر می رسد در این فرم: $$ \\ int ^ a _b f (x) dx $$. صفت متمایز نوشتن یک انتگرال خاص از نامشخص در این واقعیت که محدودیت های یکپارچه سازی A و B وجود دارد. حالا ما آنچه را که نیاز داریم پیدا خواهیم کرد و هنوز هم به این معنی است یکپارچه سازی. در معنای هندسی، چنین انتگرال برابر با مربع ارقام محدود شده توسط منحنی F (X)، خطوط A و B و محور اوه.

شکل 1 نشان می دهد که یک انتگرال خاص همان منطقه ای است که نقاشی شده است خاکستری. بیایید آن را در ساده ترین مثال بررسی کنیم. ما منطقه ای از شکل را در تصویر زیر را با ادغام پیدا خواهیم کرد و سپس آن را به طور معمول محاسبه کردیم تا طول عرض را افزایش دهیم.

شکل 2 نشان می دهد که $ y \u003d f (x) \u003d $ 3، $ a \u003d 1، b \u003d $ 2. در حال حاضر ما آنها را به تعریف انتگرال جایگزین می کنیم، ما دریافت می کنیم که $$ s \u003d \\ int _a ^ bf (x) dx \u003d \\ int _1 ^ 2 3 dx \u003d $$$$ \u003d (3x) \\ big | _1 ^ 2 \u003d (3 \\ cdot 2) - (3 \\ cdot 1) \u003d $$$$ \u003d 6-3 \u003d 3 \\ text (ur) ^ 2 $$ بیایید به روش معمول بررسی کنیم. در مورد ما، طول \u003d 3، عرض شکل \u003d 1. $ $ s \u003d \\ text (طول) \\ cdot / text (عرض) \u003d 3 \\ cdot 1 \u003d 3 \\ text (ur) ^ 2 $$ به عنوان شما می توانید ببینید، همه چیز کاملا همزمان بود.

سوال به نظر می رسد: نحوه حل انتگرال ها نامشخص هستند و معنی چیست؟ راه حل این انتگرال ها، پیدا کردن توابع ابتدایی است. این فرایند مخالف یافتن مشتق شده است. به منظور پیدا کردن اولیه، شما می توانید از کمک ما در حل مشکلات در ریاضیات استفاده کنید و یا شما باید به طور مستقل از ویژگی های انتگرال ها و جدول ادغام ساده ترین توابع ابتدایی استفاده کنید. یافته ها این است که $$ \\ int f (x) dx \u003d f (x) + c / text (که در آن) f (x) $ $ f (x) $ f (x)، c \u003d const $ است.

برای حل انتگرال، شما باید از طریق متغیر، عملکرد $ f (x) را ادغام کنید. اگر تابع یک جدول باشد، پس پاسخ ثبت می شود ویدیو مناسب. اگر نه، این فرآیند برای به دست آوردن یک تابع جدول از عملکرد $ f (x) $ توسط تحولات ریاضی حیله گر کاهش می یابد. برای این است روش های مختلف و خواص که بیشتر در نظر می گیرند.

بنابراین، در حال حاضر یک الگوریتم چگونه برای حل انتگرال برای dummies؟

الگوریتم برای محاسبه انتگرال ها

1. ما یک انتگرال خاص را یاد می گیریم یا نه.
2. اگر نامشخص باشد، باید پیدا کنید تابع چاپ $ f (x) $ از $ f (x) $ با تحولات ریاضی منجر به فرم جدول $ f (x) $.
3. اگر تعریف شود، پس شما باید مرحله 2 را انجام دهید، و سپس محدودیت های $ A $ و $ b $ را به عملکرد اولیه $ f (x) $ جایگزین کنید. چه فرمول این است که این کار را در مقاله "فرمول نیوتن Leibnitsa" انجام دهید.

نمونه هایی از راه حل ها

بنابراین، شما آموختید که چگونه به حل انتگرال ها برای dummies، نمونه هایی از حل انتگرال ها قفسه ها را جدا کنید. آنها معنی فیزیکی و هندسی را آموختند. روش های تصمیم گیری در مقالات دیگر تعیین می شود.

راه حل انتگرال ها وظیفه نور است، اما فقط برای انتخاب است. این مقاله برای کسانی است که می خواهند یاد بگیرند که انتگرال ها را درک کنند، اما هیچ چیز در مورد آنها یا تقریبا هیچ چیز نمی دانند. انتگرال ... چرا لازم است؟ چگونه آن را محاسبه کنیم؟ یک انتگرال خاص و نامحدود چیست؟ اگر تنها درخواست انتگرال شناخته شده برای شما این است که یک قلاب بافی را به صورت یک آیکون انتگرال دریافت کنید. چیزی مفید است سخت برای رسیدن به مکان ها، سپس خوش آمدید! یاد بگیرید چگونه به حل انتگرال ها و چرا بدون آن انجام غیر ممکن است.

ما مفهوم "انتگرال" را مطالعه می کنیم

ادغام در مصر باستان شناخته شد. البته، نه در ویدیو مدرن، اما هنوز. از آن به بعد، ریاضیات کتاب های زیادی را در این موضوع نوشت. به خصوص متمایز نیوتن و leibnits اما ماهیت چیزها تغییر نکرده است. نحوه درک انتگرال ها از ابتدا؟ به هیچ وجه! برای درک این موضوع، دانش پایه ای از مبانی تجزیه و تحلیل ریاضی هنوز هم نیاز است. این اطلاعات اساسی در مورد شما در وبلاگ ما پیدا خواهد شد.

جدایی ناپذیر

اجازه دهید ما نوعی از عملکرد داشته باشیم f (x) .

تابع انتگرال نامعلوم f (x) این ویژگی نامیده می شود f (x) ، مشتق از آن برابر با عملکرد است f (x) .

به عبارت دیگر، انتگرال یک مشتق شده بر خلاف یا ابتدایی است. به هر حال، در مورد چگونگی خواندن در مقاله ما.

پیش بینی کننده برای تمام توابع پیوسته وجود دارد. همچنین، علامت ثابت اغلب به ابتدایی اضافه می شود، زیرا مشتقات در معرض هماهنگی متفاوت است. فرآیند پیدا کردن یکپارچگی یکپارچه سازی نامیده می شود.

مثال ساده:

به طور مداوم برای محاسبه توابع ابتدایی ابتدایی، راحت است که جدول را کاهش دهید و از مقادیر آماده شده استفاده کنید:

یکپارچه سازی

داشتن معامله با مفهوم انتگرال، ما با ارزش های بی نهایت کوچک برخورد می کنیم. انتگرال کمک خواهد کرد که محاسبه شکل شکل، جرم بدن ناهمگونی، تحت مسیر حرکت ناهموار و خیلی بیشتر. باید به یاد داشته باشید که انتگرال مقدار بی نهایت است تعداد زیادی شرایط بی نهایت کوچک.

به عنوان مثال، یک برنامه برخی از عملکرد را تصور کنید. چگونه برای پیدا کردن یک منطقه از ارقام محدود شده توسط یک نمودار از عملکرد؟

با کمک انتگرال! ما تراکتوز منحنی را تقسیم می کنیم، توسط محورهای مختصات و نمودار تابع، در بخش های بی نهایت کوچک محدود می شود. بنابراین، این رقم به ستون های نازک تقسیم می شود. مجموع مساحت ستون ها منطقه تراپزی خواهد بود. اما به یاد داشته باشید که چنین محاسباتی یک نتیجه نمونه را ارائه می دهد. با این حال، بخش های کوچکتر در حال حاضر خواهد بود، دقیق تر محاسبه خواهد شد. اگر ما آنها را به اندازه ای کاهش دهیم که طول به صفر تلاش می کند، مقدار بخش ها برای منطقه این رقم تلاش می کنند. این یک انتگرال خاص است که به شرح زیر نوشته شده است:

نقاط A و B محدودیت های ادغام نامیده می شوند.

Baria Alibasov و گروه "انتگرال"

راستی! برای خوانندگان ما اکنون تخفیف 10٪ وجود دارد

قوانین برای محاسبه انتگرال برای dummies

خواص یکپارچه نامشخص

چگونه یک انتگرال نامحدود را حل کنیم؟ در اینجا ما خواص یکپارچگی نامعلوم را در نظر می گیریم، که در هنگام حل نمونه مفید خواهد بود.

• مشتق از انتگرال برابر با تابع انتگرال است:

• ثابت می تواند از علامت انتگرال ساخته شود:

• انتگرال از مقدار برابر با مقدار انتگرال است. همچنین برای تفاوت:

خواص یکپارچگی خاص

• خطی بودن:

• علامت انتگرال تغییر می کند اگر محدودیت های ادغام مبادله شود:

• برای هر چیزی نکته ها آ., ب و از جانب:

ما قبلا متوجه شده ایم که یک انتگرال خاص محدودیت مقدار است. اما چگونه می توان یک مقدار خاص را در هنگام حل مثال به دست آورد؟ برای این، یک فرمول نیوتن-لایبنیک وجود دارد:

نمونه هایی از راه حل های انتگرال

در زیر چند نمونه از پیدا کردن انتگرال های نامعلوم را در نظر می گیرد. ما پیشنهاد می کنیم که شما مستقل از ظرافت های راه حل را درک کنید، و اگر چیزی غیر قابل درک باشد، در نظرات سوال کنید.

برای محافظت از مواد، ویدیو را در مورد چگونگی انتگرال ها در عمل ببینید. اگر انتگرال بلافاصله داده نشود، ناامید نکنید. بپرسید، و آنها را در مورد محاسبه انتگرال های همه چیز که خود را می دانند، به شما خواهند گفت. با کمک ما، هر یکپارچگی سه گانه یا منحنی در یک سطح بسته، نیروها می شود.

یک انتگرال نامحدود (بسیاری از اولیه یا "ضد مشتق شده" را پیدا کنید) به معنای بازگرداندن عملکرد با توجه به مشتق شناخته شده این تابع است. ترمیم چندگانه F.(ایکس.) + از جانب برای عملکرد f.(ایکس.) به طور مداوم ادغام را در نظر می گیرد C.. با سرعت حرکت نقطه ماده (مشتق شده)، قانون حرکت این نقطه (ابتدایی) می تواند بازسازی شود؛ با سرعت بخشیدن به حرکت نقطه - سرعت آن و قانون جنبش. همانطور که دیده می شود، ادغام یک میدان گسترده ای برای فعالیت های شرلوک هولمز از فیزیک است. بله، و در اقتصاد، بسیاری از مفاهیم از طریق توابع و مشتقات آنها نشان داده می شوند و بنابراین، به عنوان مثال، ممکن است حجم محصول را در یک نقطه خاص در زمان (مشتق شده) بازگرداند تا میزان محصولات صادر شده در زمان مناسب را بازگرداند .

برای پیدا کردن یک انتگرال نامحدود، تعداد کمی از فرمول های ادغام اساسی مورد نیاز است. اما روند محل سکونت آن بسیار سخت تر از استفاده از این فرمول ها است. تمام پیچیدگی به ادغام اشاره نمی کند، بلکه بیان یکپارچه را به این گونه می رساند که امکان پیدا کردن یک انتگرال نامحدود در فرمول های فوق ذکر شده در بالا ذکر شده است. این به این معنی است که برای شروع تمرین ادغام، شما باید مهارت های تبدیل بیان به دست آمده در دبیرستان را فعال کنید.

یاد بگیرید برای پیدا کردن انتگرال ما استفاده خواهد کرد خواص و جدول انتگرال های نامعلوم از درس در مفاهیم اساسی این موضوع (در یک پنجره جدید باز می شود).

روش های متعددی برای پیدا کردن یک انتگرال وجود دارد روش جایگزینی متغیر و روش ادغام در قطعات - مجموعه نجیبانه اجباری از هر کسی که با موفقیت به بالاترین ریاضیات منتقل شد. با این حال، برای شروع یکپارچه سازی، با استفاده از یک روش تجزیه، با استفاده از روش تجزیه، بر اساس دو قضیه زیر در خواص یکپارچه نامحدود، مفید تر و دلپذیر تر است، که برای سهولت ارجاع اینجاست.

قضیه 3.چند ضلعی دائمی در انتگرال می تواند برای نشانه ای از یک انتگرال نامحدود، I.E.

قضیه 4.انتگرال نامحدود از مقدار جبری تعداد محدودی از توابع برابر با مجموع جبری انتگرال های نامحدود این توابع است، I.E.

(2)

علاوه بر این، قانون زیر می تواند در ادغام مفید باشد: اگر بیان تابع انتگرال حاوی یک ضریب دائمی باشد، پس بیان ابتدایی بر اساس تعداد، معکوس عامل ثابت، این است

(3)

از آنجا که این درس به حل وظایف ادغام معرفی شده است، مهم است که دو چیز را که قبلا در آن وجود داشته باشد، توجه داشته باشید مرحله اولیهیا تا حدودی بعدا آنها ممکن است شما را متعجب کنند. تعجب ناشی از این واقعیت است که ادغام - عملیات تمایز معکوس و یکپارچگی نامشخص می تواند به درستی "ضد مشتق" نامیده می شود.

اولین چیزی که نباید در یکپارچگی شگفت زده شود. در جدول انتگرال فرمول هایی وجود دارد که هیچ گونه آنالوگ در میان فرمول های جدول مشتق شده وجود ندارد . این فرمول های زیر است:

با این حال، ممکن است اطمینان حاصل شود که مشتقات عبارات در قسمت های راست این فرمول ها با توابع یکپارچه مربوطه همخوانی دارند.

دومین چیزی که نباید در ادغام شگفت زده شود. اگر چه مشتق از هر تابع ابتدایی نیز یک تابع ابتدایی است، انتگرال های نامشخص از برخی از توابع ابتدایی دیگر توابع ابتدایی نیستند. . نمونه هایی از چنین انتگرال ها ممکن است موارد زیر باشد:

برای توسعه تکنیک های ادغام، مهارت های زیر مورد استفاده قرار می گیرد: کاهش فراکسیون ها، تقسیم چندجمله ای در عددی کسر بر روی یک بال در یکپارچه (برای به دست آوردن مقدار انتگرال های نامحدود)، تبدیل ریشه به درجه ضرب، ضرب به چندجمله ای، نابودی است. این مهارت ها برای تبدیل انتگرال مورد نیاز است، زیرا در نتیجه مقدار انتگرال موجود در جدول انتگرال باید بدست آید.

ما انتگرال های نامحدود را با هم پیدا می کنیم

مثال 1یکپارچه نامشخص پیدا کنید

.

تصمیم گیری ما در مورد بیانگر بیان انتگرال چندجمله ای که X در مربع است، می بینیم. این یک نشانه تقریبا وفادار است که می توانید یک جدول یکپارچه 21 (با نتیجه ArcTangent) اعمال کنید. ما دو بار چند برابر از جانباز را انجام می دهیم (یک ویژگی از یکپارچگی وجود دارد - یک ضریب دائمی می تواند از علامت انتگرال خارج شود، بالاتر از آن به عنوان قضیه 3 ذکر شده است). نتیجه این همه:

در حال حاضر در تعویض مجموع مربعات، به این معنی که ما می توانیم یک انتگرال جدولی ذکر شده را اعمال کنیم. در نهایت پاسخ را دریافت کنید:

.

مثال 2یکپارچه نامشخص پیدا کنید

تصمیم گیری ما دوباره قضیه 3 را اعمال می کنیم - اموال انتگرال، بر اساس آن چند ضلعی ثابت را می توان برای علامت انتگرال ساخته شده است:

ما از فرمول 7 از جدول انتگرال (متغیر به درجه) به تابع انتگرال استفاده می کنیم:

.

ما بخش های حاصل را کاهش می دهیم و قبل از ما جواب نهایی را کاهش می دهیم:

مثال 3یکپارچه نامشخص پیدا کنید

تصمیم گیری با استفاده از قضیه اول 4، و سپس قضیه 3 در خواص، ما این انتگرال را به عنوان مجموع سه انتگرال پیدا خواهیم کرد:

همه سه انتگرال دریافت شده - جدول. ما از فرمول (7) از جدول انتگرال در n. = 1/2, n. \u003d 2 I. n. \u003d 1/5، و سپس

ترکیبی از تمام سه ثابت دلخواه است که زمانی که سه انتگرال در نظر گرفته شده اند، معرفی شدند. بنابراین، در شرایط مشابه، تنها یکپارچگی دائمی دائمی دائمی (ثابت) باید اداره شود.

مثال 4یکپارچه نامشخص پیدا کنید

تصمیم گیری هنگامی که در یک جانباز از کسر یکپارچه - Unrochene، ما می توانیم عددی را به نام معیوب به حداقل برسانیم. انتگرال اولیه تبدیل به دو انتگرال شده است:

.

برای اعمال یک انتگرال جدول، ما ریشه ها را به درجه تبدیل می کنیم و اکنون پاسخ نهایی این است:

ما همچنان به دنبال انتگرال های نامحدود با هم هستیم

مثال 7یکپارچه نامشخص پیدا کنید

تصمیم گیری اگر ما یک تابع واکنشی را تغییر دهیم، نصب شده به یک مربع پیچ خورده و عددی را تقسیم می کند، انتگرال اولیه، مجموع سه انتگرال تبدیل خواهد شد.

یک مرور کلی از روش ها برای محاسبه انتگرال های نامعلوم وجود دارد. روشهای اصلی ادغام شامل ادغام مقدار و تفاوت، ایجاد یک نشانه انتگرال دائمی، جایگزین متغیر، ادغام در قطعات. روش های ویژه و تکنیک های ادغام فراکسیون ها، ریشه ها، مثلثات و توابع نشانگر.

یکپارچه سازی و انتگرال نامحدود

ابتدای F (x) از تابع f (x) چنین تابع است، مشتق از آن برابر با f (x) است:
f '(x) \u003d f (x)، x ∈ Δ,
جایی که Δ - شکاف که این معادله انجام می شود.

کلیه تمام اولیه، یکپارچگی نامشخص نامیده می شود:
,
جایی که C ثابت است، مستقل از متغیر x است.

فرمول های اساسی و روش های ادغام

انتگرال جدول

هدف نهایی محاسبه انتگرال های نامعلوم - توسط تحول ها، تعریف انتگرال مشخص شده به بیان حاوی ساده ترین یا انتگرال های جدولی را مشخص می کند.
انتگرال های جدول را ببینید \u003e\u003e\u003e

حکم ادغام مبلغ (تفاوت)

ایجاد یک نشانه انتگرال دائمی

اجازه دهید C ثابت، مستقل از X باشد. سپس آن را می توان برای نشانه انتگرال ارسال کرد:

جایگزینی متغیر

اجازه دهید x یک تابع از متغیر t، x \u003d φ (t) باشد، سپس
.
یا بالعکس، t \u003d φ (x)
.

با جایگزینی متغیر، شما نه تنها می توانید انتگرال های ساده را محاسبه کنید، بلکه همچنین برای ساده سازی محاسبات پیچیده تر.

قوانین ادغام در قطعات

ادغام کسرها (توابع منطقی)

ما تعیین را معرفی می کنیم. اجازه دهید p k (x)، q m (x)، r n (x) توسط درجه k، m، n، نسبت به متغیر X نشان داده شود.

جدایی ناپذیر متشکل از فراکسیون چندجملهای (به اصطلاح عملکرد منطقی):

اگر k ≥ n، ابتدا شما باید کل قسمت از Fraci را برجسته کنید:
.
انتگرال از چند جمله ای S K-N (X) توسط جدول انتگرال محاسبه می شود.

انتگرال باقی مانده است:
جایی که M.< n .
برای محاسبه آن، انتگرال باید بر روی ساده ترین بخش تجزیه شود.

برای انجام این کار، ریشه های معادله را پیدا کنید:
q n (x) \u003d 0.
با استفاده از ریشه های به دست آمده، شما نیاز به نشان دادن مخزن در قالب کار عوامل:
q n (x) \u003d s (x - a) n a (x - b) n b ... (x 2 + ex + f) n e (x 2 + gx + k) n g ....
در اینجا S ضریب x n، x 2 + ex + f\u003e 0، x 2 + gx + k\u003e 0، ....

پس از آن، کسری را در ساده ترین تجزیه می کند:

ادغام، ما یک عبارت متشکل از انتگرال های ساده تر به دست می آوریم.
انتگرال های نوع

T \u003d X - A به ایستگاه میز داده می شود.

انتگرال را در نظر بگیرید:

ما عددی را تبدیل می کنیم:
.
با توجه به انتگرال، ما بیان را دریافت می کنیم که در آن دو انتگرال شامل موارد زیر می شوند:
,
.
اول، جایگزینی T \u003d x 2 + EX + F به جدول داده می شود.
دوم، با توجه به فرمول آوردن:

واقع در انتگرال

ما به مجموع مربعات اشاره می کنیم:
.
سپس جایگزینی، انتگرال

این نیز به جدول ارائه شده است.

ادغام عملکرد غیر منطقی

ما تعیین را معرفی می کنیم. اجازه دهید R (U 1، U 2، ...، U N) به معنی عملکرد منطقی از متغیرهای U 1، U 2، ...، U N. من
,
جایی که P، Q چندجملهای از متغیرها U 1، U 2، ...، U N است.

غیر منطقی خطی

انتگرال های فرم را در نظر بگیرید:
,
جایی که - اعداد گویا، m 1، n 1، ...، m s، n s - عدد صحیح.
اجازه دهید n یک عنصر رایج از اعداد R 1، ...، R S باشد.
سپس انتگرال به انتگرال از توابع عقلانی جایگزینی می رسد:
.

انتگرال از دیفرانسیل دیفرانسیل

انتگرال را در نظر بگیرید:
,
جایی که M، N، P اعداد منطقی، A، B - شماره های معتبر است.
چنین انتگرال ها به سه مورد به انتگرال ها از توابع عقلانی کاهش می یابد.

1) اگر P یک عدد صحیح است. جایگزینی x \u003d t n، جایی که n کل معانی از فراکسیون M و N است.
2) اگر - کل. جایگزینی a x n + b \u003d t m، جایی که m تعداد اعداد p است.
3) اگر - یک کل. جایگزینی A + B x - n \u003d t m، جایی که m نامزدی از شماره P است.

اگر هیچ کدام از این سه عدد یک عدد صحیح نیست، پس با توجه به قضیه Chebyshev، انتگرال های این گونه را نمی توان با ترکیبی نهایی از توابع ابتدایی بیان کرد.

در بعضی موارد، ابتدا مفید است که مقادیر M و P راحت تر را به دست آورید. این را می توان با استفاده از فرمول ها انجام داد:
;
.

انتگرال های حاوی ریشه مربع مربع سه

در اینجا ما انتگرال های فرم را در نظر می گیریم:
,

جایگزینی اویلر

چنین انتگرال ها را می توان به انتگرال ها از توابع عقلانی یکی از سه جایگزین اویلر کاهش داد:
، با a\u003e 0؛
، با c\u003e 0؛
جایی که x 1 ریشه معادله x 2 + b x + c \u003d 0 است. اگر این معادله ریشه های معتبر داشته باشد.

ایستگاه های مثلثاتی و هیپربولیک

روش های مستقیم

در اغلب موارد، جایگزینی اویلر منجر به محاسبات طولانی تر از روش های مستقیم می شود. با روش های مستقیم، انتگرال به یکی از گونه های ذکر شده در زیر داده می شود.

من تایپ می کنم

انتگرال فرم:
,
جایی که P n (x) یک درجه چندجملهای N است.

چنین انتگرال ها روش ضرایب نامشخص با استفاده از هویت هستند:

تمایز این معادله و معادل قطعات چپ و راست، ضرایب من را پیدا می کنیم.

II نوع

انتگرال فرم:
,
جایی که P M (X) یک درجه چندجملهای متر است.

جایگزینی t \u003d. (x - α) -1 این انتگرال به نوع قبلی هدایت می شود. اگر m ≥ n، پس از آن کسری باید به کل بخش اختصاص داده شود.

III نوع

سومین نوع و پیچیده ترین نوع:
.

در اینجا شما نیاز به جایگزینی دارید:
.
پس از آن یکپارچگی فرم را انجام می دهد:
.
بعد، α دائمی، β، شما باید انتخاب کنید که ضرایب در T به صفر برسد:
b \u003d 0، b 1 \u003d 0.
سپس یکپارچگی مجموع انتگرال های دو نوع را تجزیه می کند:
;
,
که به ترتیب یکپارچه هستند، جایگزینی:
z 2 \u003d a 1 t 2 + c 1؛
y 2 \u003d a 1 + c 1 t -2.

عمومی

ادغام توابع متعالی (مثلثاتی و نشانگر)

ما پیش از این که روش هایی را که برای آن اعمال می شود توجه می کنیم توابع مثلثاتیهمچنین برای توابع هیپربولیک قابل استفاده است. به همین دلیل ما ادغام توابع هیپربولیک را به طور جداگانه در نظر نمی گیریم.

ادغام توابع سه گانه عقلانی از COS X و SIN X

انتگرال ها را از توابع مثلثاتی از فرم در نظر بگیرید:
,
جایی که R یک تابع منطقی است. این همچنین می تواند شامل حساسیت و نانوایی باشد که باید از طریق سینوس ها و کوزین ها تبدیل شود.

هنگام ادغام چنین توابع، مفید است که سه قانون را حفظ کنید:
1) اگر r ( cOS X، SIN X) از تغییر علامت در مقابل یکی از مقادیر، ضرب شده توسط -1 cOS X. یا گناه X، مفید است که یکی دیگر از آنها را شناسایی کنید.
2) اگر R ( cOS X، SIN X) از تغییر نشانه به طور همزمان تغییر نمی کند cOS X. و گناه X، مفید است tg x \u003d t یا ctg x \u003d t.
3) جایگزینی در همه موارد منجر به یکپارچگی از کسری عقلانی می شود. متأسفانه این جایگزینی منجر به محاسبات طولانی تر از گذشته می شود، اگر آنها قابل اجرا باشند.

تولید توابع قدرت از COS X و SIN X

انتگرال های فرم را در نظر بگیرید:

اگر M و N اعداد عقلانی باشند، سپس یکی از جایگزینی t \u003d گناه X یا t \u003d cOS X. انتگرال به انتگرال از باینوم دیفرانسیل کاهش می یابد.

اگر M و N عدد صحیح باشند، انتگرال ها با ادغام در قطعات محاسبه می شوند. در عین حال، فرمول های زیر به دست می آیند:

;
;
;
.

ادغام در قطعات

استفاده از فرمول اویلر

اگر انتگرال به طور خطی نسبت به یکی از توابع خطی باشد
تبر COS یا sIN AXمناسب برای اعمال فرمول اویلر است:
e iax \u003d. cOS AX + ISIN AX (جایی که من 2 \u003d - 1 ),
جایگزینی این ویژگی در e iax و برجسته کردن معتبر (هنگام جایگزینی تبر COS) یا بخش خیالی (هنگام جایگزینی sIN AX) از نتیجه به دست آمده.

منابع:
n.m. Gunter، R.O. Kuzmin، مجموعه وظایف در ریاضیات بالاتر، "LAN"، 2003.