Кут між паралельними прямими в просторі. Кут між перехресними прямими (2019). Взаємне розташування двох прямих

AB і ЗD пересічені третьої прямий MN, То утворилися при цьому кути отримують попарно такі назви:

відповідні кути: 1 і 5, 4 і 8, 2 і 6, 3 і 7;

внутрішні навхрест лежачі кути: 3 і 5, 4 і 6;

зовнішні навхрест лежачі кути: 1 і 7, 2 і 8;

внутрішні односторонні кути: 3 і 6, 4 і 5;

зовнішні односторонні кути: 1 і 8, 2 і 7.

Так, ∠ 2 \u003d ∠ 4 і ∠ 8 \u003d ∠ 6, але по доведеному ∠ 4 \u003d ∠ 6.

Отже, ∠ 2 \u003d ∠ 8.

3. відповідні кути 2 і 6 однакові, оскільки ∠ 2 \u003d ∠ 4, а ∠ 4 \u003d ∠ 6. Також переконаємося в рівність інших відповідних кутів.

4. сума внутрішніх односторонніх кутів 3 і 6 буде 2d, тому що сума суміжних кутів 3 і 4 дорівнює 2d \u003d 180 0, а ∠ 4 можна замінити ідентичним йому ∠ 6. Також переконаємося, що сума кутів 4 і 5 дорівнює 2d.

5. сума зовнішніх односторонніх кутів буде 2d, тому що ці кути рівні відповідно внутрішнім одностороннім кутах, Як кути вертикальні.

З вище доведеного обґрунтування отримуємо зворотні теореми.

Коли при перетині двох прямих довільної третьої прямий отримаємо, що:

1. Внутрішні навхрест лежачі кути однакові;

або 2. Зовнішні навхрест лежачі кути однакові;

або 3.Відповідні кути однакові;

або 4. Сума внутрішніх односторонніх кутів дорівнює 2d \u003d 180 0;

або 5. Сума зовнішніх односторонніх дорівнює 2d \u003d 180 0 ,

то перші дві прямі паралельні.

Дві прямі AB і CD називаються паралельними , Якщо вони лежать в одній площині і не перетинаються, скільки б їх не продовжувати (AB || CD). Кут між паралельними прямими дорівнює нулю.

Довжина відрізка перпендикуляра, укладеного між двома паралельними прямими, - відстань між ними.

аксіома: через точку, що не лежить на даній прямій, можна провести тільки одну пряму, паралельну даній прямій.

Властивості паралельних прямих:

1. Якщо дві прямі паралельні третьої прямий, то вони паралельні між собою.

2. Якщо дві прямі перпендикулярні третій прямий, то вони паралельні один одному.

при перетині двох паралельних прямих третьою прямою, утворюються вісім кутів (рис.13), які попарно називаються:

1) відповідні кути (1 і 5; 2 і 6; 3 і 7; 4 і 8 );

кути попарно рівні: (Https://pandia.ru/text/78/187/images/image003_66.gif "width \u003d" 11 "height \u003d" 10 src \u003d "\u003e 5; https://pandia.ru/text/78/187/images/image003_66.gif "width \u003d" 11 "height \u003d" 10 "\u003e 6; https://pandia.ru/text/78/187/images/image003_66.gif "width \u003d" 11 "height \u003d" 10 "\u003e 7; https://pandia.ru/text/78/187/images/image003_66.gif "width \u003d" 11 "height \u003d" 10 "\u003e 8 );

2) внутрішні навхрест лежачі кути (4 і 5; 3 і 6 ); вони попарно рівні;

3) зовнішні навхрест лежачі кути(1 і 8; 2 і 7 ); вони попарно рівні;

4) внутрішні односторонні кути (3 і 5; 4 і 6 ); сума односторонніх кутів дорівнює 180°

(Https://pandia.ru/text/78/187/images/image003_66.gif "width \u003d" 11 "height \u003d" 10 "\u003e 5 = 180 °; 4 + 6 \u003d 180 °);

5) зовнішні односторонні кути (1 і 7; 2 і 8 ); їх сума дорівнює 180 ° (https://pandia.ru/text/78/187/images/image003_66.gif "width \u003d" 11 "height \u003d" 10 "\u003e 7 \u003d 180 °; 2 + 8 \u003d 180 °).

Теорема Фалеса. При перетині сторін кута паралельними прямими (Рис.16) боку кута діляться на пропорційні відрізки:

Подібні трикутники.

Два трикутника називаються подібними, Якщо їх кути відповідно рівні і сторони одного трикутника пропорційні подібним сторонам іншого. подібнібоку подібних трикутників - це сторони, що лежать навпроти рівних кутів.

https://pandia.ru/text/78/187/images/image006_51.gif "alt \u003d" (! LANG: подібні трикутники" width="13" height="14">A = !} https://pandia.ru/text/78/187/images/image006_51.gif "alt \u003d" (! LANG: подібні трикутники" width="13" height="14">B = B1, С = С1 !} і число k, Яке дорівнює відношенню подібних сторін трикутника називається коефіцієнтом подібності.

Ознаки подібності:

1. Якщо два кути одного трикутника відповідно дорівнюють двом кутам іншого, то треуг-ки подібні.

2. Якщо дві сторониодного трикутника пропорційні двом сторонам другого трикутника і кути, укладені між цими сторонами, рівні, То трикутники подібні.

3. якщо три сторони одного трикутника пропорційні трьом сторонам іншого, То такі трикутники подібні.

Наслідки: 1.Площі подібних трикутників відносяться як квадрат коефіцієнта подібності:

2. ставлення периметрів подібних трикутників і биссектрис, Медіан, висот і серединних перпендикулярів дорівнює коефіцієнту подібності.

Підприємництво як система, що самоорганізується існує і розвивається під впливом системи чинників. В кінці 70-х рр. XX ст. такі дослідники, як Т. Бачкаї, Д. Месена, Д. Міко і інші, вивчаючи дію факторів ризику, вказували, що всі вони знаходяться у взаємозв'язку. Поряд з «природними» ...

ОЦІНКА ВЕЛИЧИНИ РИЗИКУ І КРИТЕРІЇ ВИБОРУ РІШЕННЯ

Управління ризиком неможливо без оцінки його величини. Спосіб оцінки залежить від виду ризику. З огляду на різноманіття ризиків і складність завдань управління ними, на практиці використовують три види оцінок: якісні, аксіологічні та кількісні. Якісна оцінка ризику широко застосовується і дозволяє швидко, ...
(Ризики в бухгалтерському обліку)

пересічні прямі

Якщо прямі лінії перетинаються, то їх однойменні проекції перетинаються між собою в точці, яка є проекцією точки перетину цих прямих. Дійсно (рисунок 2.30), якщо точка До належить обом прямим АВ і CD, то проекція цієї точки повинна бути точкою перетину ...
(Інженерна графіка)

перехресні прямі

Перехресні прямі лінії не перетинаються і не паралельні між собою. На малюнку 2.32 зображено дві перехресні прямі загального положення: хоча однойменні проекції і перетинаються між собою, але точки їх перетину не можуть бути з'єднані лінією зв'язку, паралельної лініях зв'язку L "L" і ...
(Інженерна графіка)

ВІДСТАНЬ МІЖ перехресних прямих

Відстань між перехресними прямими а і ред визначається довжиною відрізка перпендикуляра КМ, перетинає обидві прямі (а _1_ КМ; И.КМ) (Рис. 349, б, в). Завдання вирішується просто, якщо одна з прямих - проектує. Нехай, наприклад, а ± пь тоді шуканий відрізок КМ...
(Нарисна геометрія)

Взаємне розміщення прямої і площини, двох площин

Ознаки взаємного положення прямої і площини, двох площин Згадаймо ознаки взаємного положення прямої і площини, а також двох площин, знайомі з стереометрії. 1. Якщо у прямій і площині є одна спільна точка, то пряма і площина перетинаються (рис. 3.6а). 2. Якщо у прямій і площині ...
(Основи інженерної графіки)

Ознаки взаємного положення прямої і площини, двох площин

Згадаймо ознаки взаємного положення прямої і площини, а також двох площин, знайомі з стереометрії. 1. Якщо у прямій і площині є одна спільна точка, то пряма і площина перетинаються (рис. 3.6а). 2. Якщо у прямій і площині є дві загальні точки, то пряма лежить в площині (рис. 3.66) ....
(Основи інженерної графіки)

Дотримання Вашої конфіденційності важливо для нас. З цієї причини, ми розробили Політику Конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо і зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтеся з нашими правилами дотримання конфіденційності і повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.

Збір і використання персональної інформації

Під персональною інформацією розуміються дані, які можуть бути використані для ідентифікації певної особи або зв'язку з ним.

Від вас може бути запрошено надання вашої персональної інформації в будь-який момент, коли ви зв'язуєтеся з нами.

Нижче наведені деякі приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.

Яку персональну інформацію ми збираємо:

• Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різну інформацію, включаючи ваші ім'я, номер телефону, адреса електронної пошти тощо

Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:

• Зібрана нами персональна інформація дозволяє нам зв'язуватися з вами і повідомляти про унікальні пропозиції, акції та інших заходах і найближчі події.
• Час від часу, ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для відправки важливих повідомлень і повідомлень.
• Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних і різних досліджень з метою поліпшення послуг, що надаються нами і надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
• Якщо ви берете участь в розіграші призів, конкурсі або подібному стимулюючому заході, ми можемо використовувати надану вами інформацію для управління такими програмами.

Розкриття інформації третім особам

Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.

винятки:

• У разі якщо необхідно - відповідно до закону, у судовому порядку, в судовому розгляді, і / або на підставі публічних запитів або запитів від державних органів на території РФ - розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно або доречно в цілях безпеки, підтримання правопорядку, чи інших суспільно важливих випадках.
• У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати зібрану нами персональну інформацію відповідній третій особі - правонаступнику.

Захист особистих даних

Ми вживаємо заходів обережності - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки, і недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.

Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії

Для того щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності і безпеки до наших співробітників, і строго стежимо за виконанням заходів дотримання конфіденційності.

На цьому уроці ми дамо визначення сонаправленнимі променів і доведемо теорему про рівність кутів з сонаправленнимі сторонами. Далі дамо визначення кута між пересічними прямими і перехресними прямими. Розглянемо, яким може бути кут між двома прямими. В кінці уроку вирішимо кілька завдань на знаходження кутів між перехресними прямими.

Тема: Паралельність прямих і площин

Урок: Кути з сонаправленнимі сторонами. Кут між двома прямими

Будь-яка пряма, наприклад ГО 1 (Рис. 1.), розсікає площину на дві півплощини. якщо промені ОА і О 1 А 1 паралельні і лежать в одній півплощині, то вони називаються сонаправленнимі.

промені О 2 А 2 і ОА не є сонаправленнимі (Рис. 1.). Вони паралельні, але не лежать в одній півплощині.

Якщо сторони двох кутів сонаправленнимі, то такі кути рівні.

Доведення

Нехай нам дано паралельні промені ОА і О 1 А 1 і паралельні промені ОВ і О 1 В 1 (Рис. 2.). Тобто, ми маємо два кута АОВ і А 1 О 1 В 1, Чиї боку лежать на сонаправленнимі променях. Доведемо, що ці кути рівні.

На стороні променя ОА і О 1 А 1 виберемо точки А і А 1 так, щоб відрізки ОА і О 1 А 1 були рівні. Аналогічно, точки В і В 1 виберемо так, щоб відрізки ОВ і О 1 В 1були рівні.

Розглянемо чотирикутник А 1 О 1 ОА (Рис. 3.) ОА і О 1 А 1 А 1 О 1 ОА А 1 О 1 ОА ГО 1 і АА 1 паралельні і рівні.

Розглянемо чотирикутник В 1 О 1 ОВ. У цьому чотирикутники боку ОВ і О 1 В 1 паралельні і рівні. За ознакою паралелограма, чотирикутник В 1 О 1 ОВ є паралелограма. Так як В 1 О 1 ОВ - паралелограм, то сторони ГО 1 і ВВ 1 паралельні і рівні.

І пряма АА 1 паралельна прямій ГО 1, І пряма ВВ 1 паралельна прямій ГО 1, Значить прямі АА 1 і ВВ 1 паралельні.

Розглянемо чотирикутник В 1 А 1 АВ. У цьому чотирикутники боку АА 1 і ВВ 1 паралельні і рівні. За ознакою паралелограма, чотирикутник В 1 А 1 АВ є паралелограма. Так як В 1 А 1 АВ - паралелограм, то сторони АВ і А 1 В 1 паралельні і рівні.

Розглянемо трикутники АОВ і А 1 О 1 В 1.сторони ОА і О 1 А 1рівні з побудови. сторони ОВ і О 1 В 1є рівними з побудови. А як ми довели, і сторони АВ і А 1 В 1 теж рівні. Значить, трикутники АОВ і А 1 О 1 В 1рівні за трьома сторонами. У рівних трикутниках проти рівних сторін лежать рівні кути. Значить, кути АОВ і А 1 О 1 В 1рівні, що й треба було довести.

1) Пересічні прямі.

Якщо прямі перетинаються, то ми маємо чотири різних кута. Кутом між двома прямими, Називається найменший з кутів між двома прямими. Кут між пересічними прямими а і b позначимо α (Рис. 4.). Кут α такий, що.

Мал. 4. Кут між двома пересекающімімся прямими

2) Перехресні прямі

нехай прямі а і b перехресні. Виберемо довільну точку Про. через точку Про проведемо пряму а 1, Паралельну прямий а, І пряму b 1, Паралельну прямий b (Рис. 5.). прямі а 1 і b 1 перетинаються в точці Про. Кут між двома пересічними прямими а 1 і b 1 , Кут φ, і називається кутом між перехресними прямими.

Мал. 5. Кут між двома перехресними прямими

Чи залежить величина кута від обраної точки О? виберемо точку Про 1. через точку Про 1 проведемо пряму а 2, Паралельну прямий а, І пряму b 2, Паралельну прямий b (Рис. 6.). Кут між пересічними прямими а 2 і b 2 позначимо φ 1. тоді кути φ і φ 1 -кути з сонаправленнимі сторонами. Як ми довели, такі кути рівні між собою. Значить, величина кута між перехресними прямими не залежить від вибору точки Про.

прямі ОВ і СD паралельні, ОА і СD схрещуються. Знайдіть кут між прямими ОА і СD, Якщо:

1) ∠АОВ \u003d 40 °.

виберемо точку З. Через неї проходь пряма СD. проведемо СА 1 паралельно ОА (Рис. 7.). тоді кут А 1 СD - кут між перехресними прямими ОА і СD. По теоремі про кути з сонаправленнимі сторонами, кут А 1 СD дорівнює куту АОВ, Тобто 40 °.

Мал. 7. Знайти кут між двома прямими

2) ∠АОВ \u003d 135 °.

Зробимо те ж саме побудова (Рис. 8.). Тоді кут між перехресними прямими ОА і СD дорівнює 45 °, так як він найменший з кутів, які виходять при перетині прямих СD і СА 1.

3) ∠АОВ \u003d 90 °.

Зробимо те ж саме побудова (Рис. 9.). Тоді всі кути, які виходять при перетині прямих СD і СА 1 рівні 90 °. Шуканий кут дорівнює 90 °.

1) Доведіть, що середини сторін просторового чотирикутника є вершинами паралелограма.

Доведення

Нехай нам дано просторовий чотирикутник ABCD. M,N,K,L - середини ребер BD,AD,AC,BC відповідно (Рис. 10.). Потрібно довести, що MNKL - паралелограм.

Розглянемо трикутник АВD. МN МN паралельна АВ і дорівнює її половині.

Розглянемо трикутник АВС. LК - середня лінія. По властивості середньої лінії, LК паралельна АВ і дорівнює її половині.

І МN, і LК паралельні АВ. значить, МN паралельна LК по теоремі про три паралельних прямих.

Отримуємо, що в чотирикутнику MNKL - сторони МN і LК паралельні і рівні, так як МN і LК рівні половині АВ. Значить, за ознакою паралелограма, чотирикутник MNKL - паралелограм, що й треба було довести.

2) Знайдіть кут між прямими АВ і СD, Якщо кут МNК \u003d 135 °.

Як ми вже довели, МN паралельна прямій АВ. NК - середня лінія трикутника АСD, По властивості, NК паралельна DС. Значить, через точку N проходять дві прямі МN і NК, Які паралельні перехресних прямих АВ і DС відповідно. Значить, кут між прямими МN і NК є кутом між перехресними прямими АВ і DС. Нам дано тупий кут МNК \u003d 135 °. Кут між прямими МN і NК - найменший з кутів, отриманих при перетині цих прямих, тобто 45 °.

Отже, ми розглянули кути з сонаправленнимі сторонами і довели їх рівність. Розглянули кути між пересічними і перехресними прямими і вирішили кілька завдань на знаходження кута між двома прямими. На наступному уроці ми продовжимо рішення задач і повторення теорії.

1. Геометрія. 10-11 клас: підручник для учнів загальноосвітніх установ (базовий і профільний рівні) / І. М. Смирнова, В. А. Смирнов. - 5-е видання, виправлене і доповнене - М.: Мнемозина, 2008. - 288 с. : Ил.

2. Геометрія. 10-11 клас: Підручник для загальноосвітніх навчальних закладів / Шаригін І. Ф. - М .: Дрофа, 1999. - 208 с .: іл.

3. Геометрія. 10 клас: Підручник для загальноосвітніх установ з поглибленим і профільним вивченням математики / Е. В. Потоскуев, Л. І. Зваліч. - 6-е видання, стереотип. - М.: Дрофа, 008. - 233 с. : Ил.

В) BC і D 1 В 1.

Мал. 11. Знайти кут між прямими

4. Геометрія. 10-11 клас: підручник для учнів загальноосвітніх установ (базовий і профільний рівні) / І. М. Смирнова, В. А. Смирнов. - 5-е видання, виправлене і доповнене - М .: Мнемозина, 2008. - 288 с .: іл.

Завдання 13, 14, 15 стр. 54