Paglalahad ng aralin: "Stereometry". Mga Pangunahing Kaalaman ng stereometry Pagtatanghal sa paksa ng stereometry axioms

Slide 1

Metodikal na pag-unlad Savchenko E.M. MOU gymnasium №1, Polyarnye Zori, rehiyon ng Murmansk.
Paksa ng stereometry
Mga axiom ng stereometry
Geometry baitang 10

Slide 2

Planimetry
Stereometry
Tuklasin ang mga katangian ng mga geometric na hugis sa isang eroplano
Tuklasin ang mga katangian ng mga hugis sa kalawakan
Isinalin mula sa Greek, ang salitang "geometry" ay nangangahulugang "surveying" "geo" - sa Greek land, "metreo" - upang sukatin
Ang salitang "stereometry" ay nagmula sa mga salitang Griyego na "stereos" volumetric, spatial, "metreo" - upang sukatin

Slide 3

Planimetry
Stereometry
Kasama ng mga figure na ito, isasaalang-alang namin ang mga geometric na katawan at ang kanilang mga ibabaw. Halimbawa, polyhedra. Cube, parallelepiped, prism, pyramid. Mga katawan ng pag-ikot. Bola, bola, silindro, kono.
Mga pangunahing hugis: punto, linya
Mga pangunahing hugis: punto, linya, eroplano
Iba pang mga hugis: segment, ray, triangle, square, rhombus, parallelogram, trapezoid, rectangle, convex at non-convex n-gons, bilog, bilog, arko, atbp.

Slide 4

Upang magtalaga ng mga punto, gumagamit kami ng malalaking titik na Latin
Para sa pagtatalaga ng mga tuwid na linya, gumagamit kami ng maliliit na titik na Latin.
O tinutukoy namin ang isang tuwid na linya na may dalawang malalaking titik na Latin.

Slide 5

Ang mga eroplano ay ilalarawan ng mga titik na Griyego.
Sa mga figure, ang mga eroplano ay ipinahiwatig sa anyo ng mga paralelogram. Ang isang eroplano bilang isang geometrical figure ay dapat isipin bilang pagpapalawak ng walang katiyakan sa lahat ng direksyon.

Slide 6

Slide 7

Kapag nag-aaral ng mga spatial figure, sa partikular na mga geometric na katawan, gamitin ang kanilang mga flat na imahe sa pagguhit. Ang imahe ng isang spatial figure ay ang projection nito sa isang partikular na eroplano. Ang parehong figure ay nagbibigay-daan para sa iba't ibang mga imahe.
Iba't ibang mga imahe ng kono

Slide 8

Ang stereometry ay malawakang ginagamit sa konstruksiyon, arkitektura, mechanical engineering, geodesy, at sa maraming iba pang larangan ng agham at teknolohiya.
Kapag nagdidisenyo ng makinang ito, mahalaga na makakuha ng gayong hugis upang kapag gumagalaw, ang paglaban ng hangin ay minimal.

Slide 9

Opera House Sydney
Ang Danish na arkitekto na si Jorn Utzon ay naging inspirasyon ng tanawin ng mga layag.

Slide 10

Eiffel Tower Paris, Champ de Mars
Nakakita ng kakaibang hugis ang inhinyero na si Gustave Eiffel para sa kanyang proyekto. Ang Eiffel Tower ay napakatatag: ang isang malakas na hangin ay nagpapalihis sa tuktok nito ng 10-12 cm lamang. Sa init, mula sa hindi pantay na pag-init ng sinag ng araw, maaari itong lumihis ng 18 cm.

Slide 11

18,000 bahagi ng bakal ay pinagkakabitan ng 2,500,000 rivets

Slide 12

Ang orihinal na ideya para sa pagtatayo ng tore ay natagpuan ng mga arkitekto L. Batalov at D. Burdin na may partisipasyon ng taga-disenyo na si N. Nikitin. Ang mga metal cable ay nakaunat sa loob ng cylindrical concrete blocks. Ang disenyo na ito ay lubos na matatag.
Ang teoretikal na pagpapalihis ng tuktok ng tore sa pinakamataas na disenyo ng bilis ng hangin ay humigit-kumulang 12 metro.

Slide 13

Ang mga pangunahing katangian ng mga punto, linya at eroplano ay ipinahayag sa mga axiom. Bubuo lamang tayo ng tatlo sa maraming axiom.
A1. Sa pamamagitan ng anumang tatlong punto na hindi nakahiga sa isang tuwid na linya, isang eroplano ang pumasa, at higit pa rito, isa lamang.
Ilustrasyon para sa Axiom A1: ang salamin na plato ay mahihiga nang mahigpit sa tatlong puntong A, B at C, na hindi nakahiga sa isang tuwid na linya.
A
B
C

Slide 14

Mga paglalarawan sa A1 axiom mula sa buhay.
Ang tatlong paa na dumi ay laging nakaupo nang perpekto sa sahig at hindi uugoy. Ang isang apat na paa na dumi ay may mga problema sa katatagan kung ang mga binti ng dumi ay hindi magkapareho ang haba. Ang dumi ay umuuga, iyon ay, ito ay nakasalalay sa tatlong paa, at ang ikaapat na binti (ang ikaapat na "punto") ay hindi nakahiga sa eroplano ng sahig, ngunit nakabitin sa hangin.
Para sa isang video camera, photography at iba pang mga device, madalas na ginagamit ang isang tripod. Ang tatlong paa ng tripod ay matatag na magkakasya sa anumang panloob na sahig, sa aspalto o direkta sa panlabas na damuhan, sa buhangin sa beach o sa damuhan sa kagubatan. Ang tatlong tripod legs ay palaging makakahanap ng eroplano.

Slide 15

O
A
V
Pag-plot ng mga tamang anggulo sa lupa gamit ang isang simpleng aparato na tinatawag na ecker.
Tripod na may ecker.

Slide 16

a
A2. Kung ang dalawang punto ng isang tuwid na linya ay nasa isang eroplano, kung gayon ang lahat ng mga punto ng isang tuwid na linya ay nasa eroplanong ito.
A
B

Slide 17

Ang ari-arian na ipinahayag sa A2 axiom ay ginagamit upang suriin ang "evenness" ng drawing ruler. Ang ruler ay inilapat gamit ang gilid nito sa patag na ibabaw ng mesa. Kung ang gilid ng pinuno ay pantay, kung gayon kasama ang lahat ng mga punto nito ay kadugtong sa ibabaw ng talahanayan. Kung ang gilid ay hindi pantay, pagkatapos ay sa ilang mga lugar ang isang puwang ay nabuo sa pagitan nito at sa ibabaw ng talahanayan.

Slide 18

Ang Axiom A2 ay nagpapahiwatig na kung ang isang tuwid na linya ay hindi namamalagi sa isang partikular na eroplano, kung gayon mayroon itong hindi hihigit sa isang karaniwang punto dito. Kung ang isang linya at isang eroplano ay may isang punto lamang sa karaniwan, pagkatapos ay sinasabi nila na sila ay nagsalubong.

Slide 19

a
A3. Kung ang dalawang eroplano ay may isang karaniwang punto, kung gayon mayroon silang isang karaniwang tuwid na linya kung saan ang lahat ng mga karaniwang punto ng mga eroplanong ito ay namamalagi.
Sa kasong ito, ang mga eroplano ay sinasabing bumalandra sa isang tuwid na linya.

Slide 20

Ang Axiom A3 ay malinaw na inilalarawan ng intersection ng dalawang magkatabing pader, isang dingding at isang kisame sa isang silid-aralan.

Slide 21

A1. Sa pamamagitan ng anumang tatlong punto na hindi nakahiga sa isang tuwid na linya, isang eroplano ang pumasa, at higit pa rito, isa lamang.

Slide 22

Teorama
Ang isang eroplano ay dumadaan sa isang tuwid na linya at isang punto na hindi nakahiga dito, at, bukod dito, isa lamang.
M
a

Slide 23

Ang ilang mga kahihinatnan mula sa mga axiom.
Teorama
Ang isang eroplano ay dumadaan sa dalawang intersecting na linya, at higit pa rito, isa lamang
M
a
b
N

Slide 24

Mga pagsasanay sa pagsasanay
Pangalanan ang mga eroplano kung saan matatagpuan ang mga linya PE MK DB AB EC
P
E
A
B
C
D
M
K

Slide 25

Mga pagsasanay sa pagsasanay
Pangalanan ang mga punto ng intersection ng tuwid na linyang DK sa eroplanong ABC, ang tuwid na linya ng CE sa eroplanong ADB.
P
E
A
B
C
D

Ang ikot ng mga aralin sa paksa: "Mga Axiom ng stereometry" ay binubuo ng mga sumusunod na aralin:

1. Paksa ng stereometry. Mga Axiom ng stereometry "

2. Ang ilang mga derivasyon mula sa axioms.

3; 4. Paglutas ng mga problema sa aplikasyon ng mga axiom at ang kanilang mga kahihinatnan.

5. Paglutas ng mga problema sa aplikasyon ng mga axiom ng stereometry at ang kanilang mga kahihinatnan. Pansariling gawain.

Isang presentasyon ang inihanda para sa bawat aralin.

I-download:

Preview:

Ikot ng mga aralin sa paksa: "Ang mga axiom ng stereometry at ang kanilang mga kahihinatnan."

Aralin 1. Paksa ng stereometry. Mga axiom ng stereometry.

Layunin ng aralin:

1. upang maging pamilyar sa mga mag-aaral ang nilalaman ng kursong stereometry;
2. pag-aralan ang mga axiom tungkol sa magkaparehong pag-aayos ng mga punto, linya at eroplano sa kalawakan;
3. upang matutong ilapat ang mga axiom ng stereometry kapag nilulutas ang mga problema.

Sa panahon ng mga klase:

Slide 1.

1. Organisasyon sandali.

2. Pag-aaral ng bagong materyal.

Guro: Sa loob ng tatlong taon, simula sa ika-7 baitang, pinag-aaralan natin ang kursong geometry ng paaralan.

Slide 2. Mga tanong sa mga mag-aaral:

Ano ang geometry? (Ang geometry ay ang agham ng mga katangian ng mga geometric na hugis)

Ano ang planimetry? (Ang Planimetry ay isang seksyon ng geometry na nag-aaral ng mga katangian ng mga figure sa isang eroplano)

Anong mga pangunahing konsepto ng planimetry ang alam mo? (punto, linya)

Guro: Ngayon ay nagsisimula kaming mag-aral ng bagong seksyon ng geometry - stereometry.

Slide 3. Ang Stereometry ay isang seksyon ng geometry kung saan pinag-aaralan ang mga katangian ng mga figure sa espasyo. (Ang mga mag-aaral ay sumulat sa isang kuwaderno)

Slide 4. Mga pangunahing konsepto ng espasyo: punto, linya, eroplano.

Ang ideya ng isang eroplano ay ibinibigay ng makinis na ibabaw ng isang mesa, dingding, sahig, kisame, atbp. Ang eroplano, bilang isang geometric na pigura, ay dapat isipin na lumalawak sa lahat ng direksyon, walang katapusan. Ang mga eroplano ay itinalaga ng mga letrang Griyego na α, β, γ, atbp.

1. Pangalanan ang mga puntong nakahiga sa eroplanong β; hindi nakahiga sa eroplano β.

2. Pangalanan ang mga linya: nakahiga sa eroplano β; hindi nakahiga sa eroplano β.

Slide 5. Mayroon kaming visual na representasyon ng mga pangunahing konsepto (punto, linya, eroplano) at hindi sila binibigyan ng mga kahulugan. Ang kanilang mga katangian ay ipinahayag sa mga axiom.

Kasama ng isang punto, isang tuwid na linya, isang eroplano sa stereometry, mga geometric na katawan (kubo, parallelepiped, cylinder, tetrahedron, cone, atbp.) Ay isinasaalang-alang, ang kanilang mga katangian ay pinag-aralan, ang kanilang mga lugar at volume ay kinakalkula. Ang mga bagay sa paligid natin ay nagbibigay ng ideya ng mga geometric na katawan.

Slide 6. Mga tanong sa mga mag-aaral:

Anong mga geometric na katawan ang ipinapaalala sa iyo ng mga bagay na inilalarawan sa mga guhit na ito?

Pangalanan ang mga bagay sa iyong kapaligiran (aming silid-aralan) na nagpapaalala sa iyo ng mga geometric na katawan.

Slide 7. Praktikal na gawain (sa mga notebook)

1. Gumuhit ng isang kubo sa isang kuwaderno (nakikitang mga linya - isang solidong linya, hindi nakikita - isang tuldok na linya).

2. Italaga ang vertices ng cube na may malalaking titik na ABCDA 1 B 1 S 1 D 1

3. I-highlight gamit ang isang kulay na lapis:

• vertices A, C, B 1, D 1 ; mga segment AB, SD, B 1 S, D 1 MAY; ang mga dayagonal ng parisukat na AA 1 SA 1 V.

Ibigay ang atensyon ng mga mag-aaral sa nakikita at hindi nakikitang mga linya sa pagguhit; AA square na imahe 1 sa 1 Sa kalawakan.

Slide 8. Mga tanong para sa mga mag-aaral:

Ano ang isang axiom? Anong mga axiom ng planimetry ang alam mo?

Sa espasyo, ang mga pangunahing katangian ng mga punto, linya at eroplano, tungkol sa kanilang kamag-anak na posisyon, ay ipinahayag sa mga axiom.

Slide 9. Ang mga mag-aaral ay gumagawa ng mga tala at mga guhit sa mga kuwaderno.

Axiom 1. (A1) Sa pamamagitan ng anumang 3 puntos na hindi nakahiga sa isang tuwid na linya, mayroong isang eroplano at, bukod dito, isa lamang.

Slide 10. Tandaan na kung hindi tayo kukuha ng 3, ngunit 4 na di-makatwirang mga punto, kung gayon walang isang eroplano ang maaaring dumaan sa kanila, iyon ay, 4 na puntos ay maaaring hindi nakahiga sa parehong eroplano.

Slide 11. Axiom 2. (A2) Kung ang 2 puntos ng isang tuwid na linya ay nasa isang eroplano, kung gayon ang lahat ng mga punto ng isang tuwid na linya ay nasa eroplanong ito. Sa kasong ito, sinasabi nila na ang isang tuwid na linya ay nasa isang eroplano o ang isang eroplano ay dumadaan sa isang tuwid na linya.

Slide 12. Tanong sa mga mag-aaral:

Gaano karaming mga punto ang magkatulad ang isang linya at isang eroplano? (Larawan 1 - walang katapusang marami; Larawan 2 - isa)

Slide 13. Axiom 3. (A3) Kung ang dalawang eroplano ay may isang karaniwang punto, kung gayon mayroon silang isang karaniwang linya kung saan ang lahat ng mga karaniwang punto ng mga eroplanong ito ay namamalagi.

Sa kasong ito, ang mga eroplano ay sinasabing bumalandra sa isang tuwid na linya.

3. Pagsasama-sama ng pinag-aralan na materyal.

Slide 14. Paglutas ng mga problema mula sa aklat-aralin Blg. 1 (a, b), 2 (a).

Binabasa ng mga mag-aaral ang pahayag ng mga problema at, gamit ang larawan sa slide, magbigay ng sagot na may paliwanag.

Layunin 1.

a) P, E (ADV) PE (ADV) ayon sa A 2

Katulad ng MK (VDS)

V, D (ADV) at (VDS) VD (ADV) at (ICE)

Katulad ng AB (ADV) at (ABC)

C, E (ABC) at (DES) CE (ABC) at (DES)

b) C (DK) at (ABC) DK ∩ (ABC) = S. T. hanggang. mayroong hindi hihigit sa isang punto ng intersection ng isang tuwid na linya at isang eroplano (ang tuwid na linya ay hindi namamalagi sa eroplano), pagkatapos ito ay ang tanging punto.

Katulad nito, ang CE ∩ (ADV) = E.

Problema 2 (a)

Sa eroplano DSS 1: D, S, S 1, D 1 , K, M, R. Sa eroplano BQC: B 1, B, P, Q, C 1, M, C.

Slide 15. 4. Pagbubuod ng aralin.Mga tanong sa mga mag-aaral:

1. Ano ang pangalan ng seksyon ng geometry na pag-aaralan natin sa mga baitang 10-11?
2. Ano ang Stereometry?
3. Ibalangkas sa tulong ng larawan ang mga axiom ng stereometry na iyong natutunan sa aralin ngayon.

Slide 16. 5. Takdang-Aralin.

Aralin 2. Ilang kahihinatnan mula sa mga axiom.

Layunin ng aralin:

Suriin ang mga axiom ng stereometry at ang kanilang aplikasyon sa paglutas ng mga problema sa takdang-aralin;

Upang ipaalam sa mga mag-aaral ang mga implikasyon ng mga axiom;

Upang ituro kung paano ilapat ang mga corollaries mula sa mga axiom kapag nilulutas ang mga problema, pati na rin upang pagsamahin ang kakayahang ilapat ang mga axiom ng stereometry kapag nilulutas ang mga problema;

Ulitin ang formula para sa pagkalkula ng lugar ng isang rhombus.

Sa panahon ng mga klase.

Slide 1. 1. Organisasyon sandali.Komunikasyon ng paksa at layunin ng aralin.

Slide 2.

1) Bumuo ng mga axiom ng stereometry at iguhit ang mga guhit sa pisara.

2) No. 1 (c, d); 2 (b, e).

Pasalitang sinasagot ng mga mag-aaral mula sa larawan sa slide ang mga tanong sa takdang-aralin.

Slide 3. 3. Pag-aaral ng bagong materyal.Isaalang-alang at patunayan ang mga corollaries ng axioms.

Theorem 1. Ang isang eroplano ay dumadaan sa isang tuwid na linya at isang punto na hindi nakahiga dito, at, bukod dito, isa lamang.

Isulat ng mga mag-aaral ang mga salita sa isang kuwaderno at, pagsagot sa mga tanong ng guro, gumawa ng angkop na mga tala at mga guhit sa kuwaderno.

Ano ang ibinigay sa teorama? (tuwid at hindi sinungaling na punto)

Ano ang kailangang patunayan? (lumampas sa eroplano; isa)

Ano ang maaaring gamitin upang patunayan? (mga axiom ng stereometry)

Alin sa mga axiom ang nagpapahintulot sa iyo na bumuo ng isang eroplano? (A1, ang isang eroplano ay dumaan sa tatlong punto at, bukod dito, isa lamang)

Ano ang nasa teorama na ito at kung ano ang kulang sa paggamit ng A1 (mayroon kaming - isang punto; kailangan ng dalawa pang puntos)

Saan tayo mag-plot ng dalawa pang puntos? (sa linyang ito)

Anong konklusyon ang maaari nating gawin? (Bumuo ng isang eroplano sa pamamagitan ng tatlong puntos)

Ang eroplano ba ay kabilang sa isang tuwid na linya? (Oo)

Sa anong batayan mabubuo ang gayong konklusyon? (batay sa A2: kung ang dalawang punto ng isang tuwid na linya ay kabilang sa eroplano, kung gayon ang buong tuwid na linya ay kabilang sa eroplano)

Ilang eroplano ang maaari mong iguhit sa isang ibinigay na linya at isang ibinigay na punto? (isa)

Bakit? (dahil ang isang eroplanong dumadaan sa isang tuwid na linya at isang eroplano ay dumaan sa isang ibinigay na punto at dalawang puntos sa isang tuwid na linya, nangangahulugan ito na sa kahabaan ng A1 ang eroplanong ito ay nag-iisa)

Slide 4. Theorem 2. Ang isang eroplano ay dumadaan sa dalawang intersecting na linya at, bukod dito, isa lamang.

Ang mga mag-aaral ay nagpapatunay sa teorama sa kanilang sarili, pagkatapos ay makinig para sa ilang mga patunay at gumawa ng mga karagdagan at pagpipino (kung kinakailangan)

Bigyang-pansin ang katotohanan na ang patunay ay batay hindi sa mga axiom, ngunit sa Corollary 1.

Slide 5. 4. Pagsasama-sama ng pinag-aralan na materyal.

Problema 6 (mula sa tutorial)

Ang mga mag-aaral ay nagtatrabaho sa mga aklat ng ehersisyo, nagmumungkahi ng kanilang sariling mga solusyon, pagkatapos ay ihambing ang kanilang solusyon sa solusyon sa screen. Dalawang kaso ang sinusuri: 1) ang mga punto ay hindi nasa isang tuwid na linya; 2) ang mga puntos ay collinear.

Slide 6.7. Ang gawain ay nasa slide. Ang mga mag-aaral ay nagbabasa ng kondisyon, gumawa ng isang guhit at gumawa ng mga kinakailangang tala sa mga notebook. Ang guro ay nagsasagawa ng gawaing harapan kasama ng klase sa problema. Sa kurso ng paglutas ng problema, inuulit namin ang mga formula para sa pagkalkula ng lugar ng isang rhombus.

Ibinigay: AVSD - rhombus, AS∩VD = O, M, (A, D, O); AB = 4cm, A = 60º.

Hanapin: (B, C); D (MOU); (MOB) ∩ (ADO); S AVSD.

Solusyon:

Bigyang-pansin ang katotohanan na kung ang dalawang eroplano ay may mga karaniwang punto, pagkatapos ay bumalandra sila sa isang tuwid na linya na dumadaan sa mga puntong ito.

5. Summing up:

Bumuo ng mga axiom ng stereometry.

Bumuo ng mga kahihinatnan ng mga axiom.

Ang layunin ng aralin ay nakamit. Inulit namin ang mga axiom ng stereometry, nakilala ang mga kahihinatnan ng mga axiom at inilapat ang mga ito sa paglutas ng mga problema.

Pagmamarka (na may mga komento)

Slide 8. 6. Pagtatakda ng takdang-aralin:

Aralin 3. Paglutas ng mga problema sa aplikasyon ng mga axiom ng stereometry at ang kanilang mga kahihinatnan.

Layunin ng aralin:

Suriin ang mga axiom ng stereometry at ang kanilang mga kahihinatnan;

Upang mabuo ang kasanayan sa paglalapat ng mga axiom ng stereometry at ang kanilang mga kahihinatnan kapag nilutas ang mga problema;

Alam ng mga mag-aaral ang mga axiom ng stereometry at ang mga kahihinatnan nito at naisasagawa ang mga ito sa paglutas ng mga problema.

Sa panahon ng mga klase.

Slide 1. 1. Organisasyon sandali.Komunikasyon ng paksa at layunin ng aralin.

2. Aktwalisasyon ng kaalaman ng mga mag-aaral.

1) Pagsusuri ng takdang-aralin sa mga tanong ng mag-aaral.

Bago ang aralin, kumuha ng mga homework notebook mula sa ilang mga mag-aaral para sa pagsusuri.

2) Dalawang estudyante ang naghahanda sa pisara ng patunay ng mga kahihinatnan ng mga axiom.

3) Dalawang mag-aaral (antas 1) at dalawang mag-aaral (antas 2) ang nagtatrabaho sa mga indibidwal na survey card. Slide.

4) Pangharap na gawain sa mga mag-aaral.

Slide 2. Given: cube AVSDA1V1S1D1

Hanapin:

1. Maraming mga punto na nasa α plane; (A B C D)
2. Maraming mga punto na hindi namamalagi sa α plane; (A 1, B 1, C 1, D 1)
3. Ilang tuwid na linya na nasa eroplano α; (AB, VS, SD, AD, AS, VD)
4. Maraming mga linya na hindi nakahiga sa eroplano α; (A 1 B 1, B 1 C 1, C 1 D 1, A 1 D 1, A 1 C 1, B 1 D 1, AA 1, BB 1, SS 1, DD 1)
5. Ilang tuwid na linya na nagsalubong sa linyang BC; (BB 1, CC 1)
6. Ilang tuwid na linya na hindi tumatawid sa linyang BC. (IMPYERNO, AA 1 …)

Slide 3. Punan ang mga patlang upang makuha ang tamang pahayag:

Slide 4. Mga straight AA 1 , AB, AD sa parehong eroplano? (Direktang AA 1 , AB, HELL dumaan sa punto A, ngunit huwag magsinungaling sa parehong eroplano)

3. Paglutas ng mga problema.

Slide 5. Nilulutas ng mga mag-aaral ang mga problema Blg. 7, 10, 14 mula sa aklat-aralin, na gumagawa ng angkop na mga guhit at tala sa pisara at sa mga kuwaderno.

Problema numero 7.

2) Ang lahat ba ng mga tuwid na linya na dumadaan sa puntong M ay nasa parehong eroplano?

Solusyon: Ayon sa corollary 2:

2) Ang lahat ng mga linya na dumadaan sa puntong M ay hindi kinakailangang nasa parehong eroplano. (tingnan ang halimbawa mula sa slide 4)

Suliranin 10. Ang mga mag-aaral ay lutasin ang problema sa kanilang sarili (katulad ng problema bilang 7). Ang guro ay pumipili ng mga notebook para sa pagsusuri at nagbibigay ng indibidwal na tulong sa paglutas ng problema sa mga mag-aaral na hindi nakayanan ang gawain.

Problema numero 14. Solusyon: Lahat ng linya a, b, c ay nasa parehong eroplano. Sa kasong ito, sa pamamagitan ng Corollary 2, ang isang eroplano ay maaaring iguhit, at ang isang eroplano ay dumaan sa tatlong tuwid na linya.

Ang isa sa tatlong tuwid na linya, halimbawa, c, ay hindi namamalagi sa eroplanong α na tinukoy ng mga tuwid na linya a at b. Sa kasong ito, tatlong magkakaibang eroplano ang dumadaan sa ibinigay na tatlong tuwid na linya, na tinukoy ng mga pares ng tuwid na linya a at b, a at c, b at c.

Slide 6. Ang mga mag-aaral ay gumagawa ng isang pagguhit at ang mga kinakailangang konstruksyon at mga tala sa mga notebook. Kapag nagtatayo, binibigkas ng mga mag-aaral ang mga axiom, ang resulta ng pagbuo ay nakasulat gamit ang mga simbolo.

Gawain. Ibinigay: cube AVSDA 1 B 1 C 1 D 1

Nakahiga si tM sa gilid BB 1 , ang punto N ay nasa gilid ng CC 1 at ang point K ay nasa gilid ng DD 1

a) Pangalanan ang mga eroplano kung saan matatagpuan ang mga puntong M; N.

b) hanapin ang punto F-point ng intersection ng mga linya МN at BC. Anong katangian mayroon ang point F?

c) hanapin ang punto ng intersection ng tuwid na linyang KN at ang eroplanong ABC.

d) hanapin ang linya ng intersection ng mga eroplanong MNK at ABC.

Solusyon:

Slide 7. Upang malutas ang susunod na problema, ulitin namin ang formula para sa pagkalkula ng lugar ng isang quadrangle. Ang derivation ng formula ay na-parse sa buong slide.

Isulat ng mga mag-aaral ang formula sa isang kuwaderno.

Slide 8. Patunayan na ang lahat ng vertices ng AVSD quadrilateral ay nasa parehong eroplano kung ang mga diagonal nito na AC at VD ay magsalubong.

Kalkulahin ang lugar ng quadrangle, kung AS┴VD, AS = 10cm, VD = 12cm.

Sagot: 60 cm 2

4. Pagbubuod ng aralin.

Ano ang naging sanhi ng kahirapan? Ibinalita ng guro ang mga marka para sa aralin na may komentaryo.

Slide 9.

Aralin 4. Paglutas ng mga problema sa aplikasyon ng mga axiom ng stereometry at ang kanilang mga kahihinatnan.

Layunin ng aralin:

Magsagawa ng kontrol ng kaalaman sa mga axiom ng stereometry at ang kanilang mga kahihinatnan;

Upang pagsamahin ang nabuong kasanayan sa paglalapat ng mga axiom ng stereometry at ang kanilang mga kahihinatnan kapag nilutas ang mga problema;

Balik-aral: Pythagorean theorem at ang aplikasyon nito; mga formula para sa pagkalkula ng mga lugar ng isang equilateral triangle, rectangle.

Sa panahon ng mga klase.

Slide 1. 1. Organisasyon sandali.Komunikasyon ng paksa at layunin ng aralin.

Slide 2. 2. Pagsusuri ng takdang-aralin.

Bago ang aralin, kumuha ng mga homework notebook mula sa ilang mga mag-aaral para sa pagsusuri.

Dalawang estudyante ang naghahanda sa pisara ng mga solusyon sa mga problema mula sa takdang-aralin - No. 9, 15.

Ang natitirang mga mag-aaral ay sumasagot sa mga tanong ng pagdidikta sa matematika sa slide.

Slide 3. 3. Paglutas ng problema (pangharap na gawain kasama ang klase)

Problema numero 1.

Bibigyan ka ng MABS tetrahedron, ang bawat gilid nito ay 6 cm.

1. Pangalanan ang linya kung saan nag-intersect ang mga eroplano: a) MAB at MFC; b) MCF at ABC.
2. Hanapin ang haba ng СF at SАВС
3. Paano bumuo ng punto ng intersection ng tuwid na linyang DE sa eroplanong ABC?

Mga tanong para sa mga mag-aaral (kung kinakailangan):

Aling mga punto ang nabibilang sa parehong mga eroplano sa parehong oras. Anong axiom ang maaaring gamitin upang makagawa ng konklusyon?

Sabihin ang katangian ng median ng isang isosceles triangle.

Bumuo ng Pythagorean theorem.

Bakit natin mailalapat ang Pythagorean theorem sa kasong ito?

Anong mga pamamaraan ang maaaring magamit upang makalkula ang lugar ng isang equilateral triangle?

Posible bang itayo ang punto ng intersection ng tuwid na linya na MU sa eroplanong ABC?

Slide 4. Problema bilang 2.

1. Paano bumuo ng punto ng intersection ng eroplanong ABC na may tuwid na linya D 1 R?
2. Paano gumuhit ng isang linya ng intersection ng eroplano ng presyon ng dugo 1 P at ABB 1?
3. Kalkulahin ang haba ng mga segment na AR at BP 1 kung AB = a

Solusyon:

Slide 5. Problema bilang 3.

Ibinigay : Ang mga punto A, B, C ay hindi nakahiga sa isang tuwid na linya.

Patunayan ang puntong P ay nasa eroplanong ABC.

Sa tulong ng animation sa slide, iginuhit ng mga mag-aaral ang naaangkop na mga konstruksyon at ang mga kinakailangang konklusyon. Gumagawa sila ng mga tala sa mga kuwaderno gamit ang mga simbolo ng matematika, na binibigkas ang kaukulang mga axiom at mga kahihinatnan mula sa mga axiom.

Mga tanong sa mga mag-aaral (kung kinakailangan):

Alam na ang mga puntong A, B, C ay hindi nasa isang tuwid na linya, anong konklusyon ang mabubuo?

Kung ang mga punto A at B ay nasa eroplano, anong konklusyon ang mabubuo tungkol sa linyang AB?

Anong konklusyon ang mabubuo tungkol sa puntong M?

Kung ang mga punto A at C ay nasa eroplano, anong konklusyon ang mabubuo tungkol sa linyang AC?

Anong konklusyon ang mabubuo tungkol sa puntong K?

Alam na ang mga puntong M at K ay nasa eroplano, anong konklusyon ang mabubuo tungkol sa tuwid na linyang MK?

Anong konklusyon ang mabubuo tungkol sa puntong P?

Solusyon (isa pang paraan ng pagpapatunay):

AB∩AC = A. Ayon sa pangalawang corollary, ang mga tuwid na linya ng AB at AC ay tumutukoy sa eroplanong α. Ang punto M ay kabilang sa AB, na nangangahulugang kabilang ito sa eroplanong α, at ang puntong K ay kabilang sa AC, at samakatuwid ay kabilang din sa eroplanong α. Ayon sa axiom A2: Ang MK ay namamalagi sa eroplano α. Ang punto P ay kabilang sa MC, at samakatuwid ay sa eroplano α.

Slide 6. Problema bilang 4.

Ang mga eroplanong α at β ay nagsalubong sa isang tuwid na linya na may. Ang linya a ay nasa eroplanong α at nag-intersect sa eroplanong β. Nagsalubong ba ang mga linya a at c? Bakit?

Mga tanong sa mga mag-aaral (kung kinakailangan):

Alam na ang tuwid na guhit na a ay nagsasalubong sa eroplanong β, anong konklusyon ang mabubuo? (Ang isang tuwid na linya at isang eroplano ay may isang karaniwang punto, halimbawa, punto B)

Anong katangian mayroon ang point B? (Ang point B ay kabilang sa line a, plane α, at plane β)

Kung ang isang punto ay kabilang sa dalawang eroplano sa parehong oras, kung gayon ano ang masasabi natin tungkol sa kamag-anak na posisyon ng mga eroplano? (nag-intersect ang mga eroplano sa isang tuwid na linya, halimbawa sa)

Ano ang relatibong posisyon ng punto B at linya c? (point B ay kabilang sa linya c)

Alam na ang punto B ay kabilang sa parehong linya a at linya c, anong konklusyon ang mabubuo tungkol sa mga linyang ito? (nagsalubong ang mga linya sa punto B)

Slide 7. Problema bilang 5.

Dahil sa isang parihaba na AVSD, ang O ay ang punto ng intersection ng mga diagonal nito. Ito ay kilala na ang mga punto A, B, O ay namamalagi sa eroplano α. Patunayan na ang mga puntong C at D ay nasa eroplanong α. Kalkulahin ang lugar ng parihaba kung AC = 8 cm, AOB = 60º.

Ang gawain ay inilaan para sa isang independiyenteng solusyon na may pagtalakay sa solusyon at ang pagbibigay ng indibidwal na tulong sa mga mag-aaral. Nakatutulong na talakayin ang iba't ibang paraan ng paghahanap ng lugar ng isang parihaba:

Anyayahan ang mga estudyante na lutasin ang problema sa iba't ibang paraan. Sagot: 16 cm 2.

4. Pagbubuod ng aralin:

Anong mga axiom at theorems ang ginamit natin sa aralin sa paglutas ng mga problema? Bumalangkas.

Anong mga gawain ang pinakakawili-wili, ang pinakamahirap?

Ano ang naging kapaki-pakinabang para sa iyo nang personal sa aralin?

Ano ang naging sanhi ng kahirapan?

Pagmamarka para sa aralin (na may pagkomento sa bawat marka)

Slide 8. 5. Pagtatakda ng takdang-aralin:

Aralin 5. Paglutas ng mga problema sa aplikasyon ng mga axiom ng stereometry at ang kanilang mga kahihinatnan. Malayang gawain (20 min.)

Layunin ng aralin:

Upang pagsamahin ang asimilasyon ng mga teoretikal na tanong sa proseso ng paglutas ng mga problema;

Suriin ang antas ng kahandaan ng mga mag-aaral sa pamamagitan ng pagsasagawa ng independiyenteng gawain na may likas na pagkontrol.

Sa panahon ng mga klase.

Slide 1. 1. Organisasyon sandali.

Komunikasyon ng paksa at layunin ng aralin.

Slide 2. 2. Pagsusuri ng takdang-aralin.

Bago ang aralin, kumuha ng mga homework notebook mula sa ilang mga mag-aaral para sa pagsusuri.

Layunin 1.

Ang mga linya a at b ay nagsalubong sa puntong O, A a, B b, P AB. Patunayan na ang mga linya a at b at point P ay nasa parehong eroplano.

Solusyon:

Slide 3. Gawain 2.

Sa figure na ito, ang eroplano α ay naglalaman ng mga puntos A, B, C, D, ngunit hindi naglalaman ng punto M. Bumuo ng punto K - ang punto ng intersection ng linya AB at eroplano MSD. Ang point K ba ay nasa eroplanong α.

Solusyon:

Mga slide 4, 5, 6 3. Berbal na solusyon ng mga problema para sa rebisyon ng teorya (sa pamamagitan ng mga slide)

Mga slide 7.8 4. Malayang gawain(multilevel, controlling nature) Pinipili ng mga mag-aaral ang kanilang antas ng kahirapan.

5. Pagbubuod.

1) Mangolekta ng mga notebook na may malayang gawain.

2) Anunsyo ng mga marka na may mga komento.

Slide 9. 6. Takdang-Aralin.

Preview:

Upang gamitin ang preview ng mga presentasyon, lumikha ng iyong sarili ng isang Google account (account) at mag-log in dito: https://accounts.google.com

Mga slide caption:

Aralin 1 Paksa: "Subject ng stereometry. Axioms of stereometry."

Ano ang geometry? Geometry - ang agham ng mga katangian ng mga geometric na hugis "Geometry" - (Greek) - "surveying" - Ano ang planimetry? Ang planimetry ay isang seksyon ng geometry kung saan pinag-aaralan ang mga katangian ng mga figure sa isang eroplano. At isang Pangunahing konsepto ng planimetry: ang punto ay isang tuwid na linya - Mga pangunahing konsepto ng planimetry?

Stereometry - isang seksyon ng geometry kung saan pinag-aaralan ang mga katangian ng mga figure sa espasyo

Pangunahing mga numero sa espasyo: ituro ang tuwid na eroplano α β Pagtatalaga: А; V; MAY; ...; М;… a А В М N Р Pagtatalaga: a, b, c, d ..., m, n, ... (o sa dalawang malalaking titik sa Latin) Pagtatalaga: α, β, γ ... Sagutin ang mga tanong sa figure: 1. Pangalanan ang mga punto, na nakahiga sa eroplano β; hindi nakahiga sa eroplano β. 2. Ano ang mga linya na nakahiga sa eroplano β; hindi nakahiga sa eroplano β

Ang ilang mga geometric na katawan. A B C D D 1 C 1 B 1 A 1 cube A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 parallelepiped A B C D tetrahedron cylinder cone

Pangalanan kung aling mga geometric na katawan ang nagpapaalala sa iyo ng mga bagay na inilalarawan sa mga figure na ito: Pangalanan ang mga bagay mula sa iyong kapaligiran (aming silid-aralan) na nagpapaalala sa iyo ng mga geometric na katawan.

Praktikal na trabaho. 1. Gumuhit ng isang kubo sa isang kuwaderno (nakikitang mga linya - isang solidong linya, hindi nakikita - isang tuldok na linya). 2. Italaga ang vertices ng cube na may malalaking titik ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ABCDD 1 C 1 B 1 A 1 3. Piliin gamit ang isang kulay na lapis: vertices A, C, B 1, D 1 segment AB, SD, B 1 С, Д 1 С square diagonal АА 1 В 1 В

Ano ang isang axiom? Ang isang axiom ay isang pahayag tungkol sa mga katangian ng mga geometric na numero, ito ay kinuha bilang panimulang punto, sa batayan kung saan ang mga theorems ay mas pinatunayan at, sa pangkalahatan, ang lahat ng geometry ay itinayo. Planimetry axioms: - sa pamamagitan ng alinmang dalawang punto maaari kang gumuhit ng isang tuwid na linya at, bukod dito, isa lamang. ng tatlong puntos, isang tuwid na linya, at isa lamang, ay nasa pagitan ng dalawa. mayroong hindi bababa sa tatlong puntos na hindi namamalagi sa isang tuwid na linya ...

Mga axiom ng stereometry. A B C A1. Sa pamamagitan ng anumang tatlong punto na hindi nakahiga sa isang tuwid na linya, isang eroplano ang pumasa at, bukod dito, isa lamang. α

Kung ang mga binti ng talahanayan ay hindi pareho sa haba, pagkatapos ay ang talahanayan ay nakatayo sa tatlong binti, i.e. ay nakasalalay sa tatlong "puntos", at ang dulo ng ikaapat na binti (ikaapat na punto) ay hindi nakahiga sa eroplano ng sahig, ngunit nakabitin sa hangin.

Mga axiom ng stereometry. А В α А2. Kung ang dalawang punto ng isang tuwid na linya ay nasa isang eroplano, kung gayon ang lahat ng mga punto ng tuwid na linya na ito ay namamalagi sa eroplanong ito. Sabi nila: ang isang tuwid na linya ay nasa isang eroplano o ang isang eroplano ay dumadaan sa isang tuwid na linya.

a M Ang tuwid na linya ay namamalagi sa eroplano. Ang tuwid na linya ay nagsalubong sa eroplano. Ilang puntos ang magkapareho ang linya at ang eroplano?

Mga axiom ng stereometry. α β A3. Kung ang dalawang eroplano ay may isang karaniwang punto, kung gayon mayroon silang isang karaniwang tuwid na linya kung saan ang lahat ng mga karaniwang punto ng mga eroplanong ito ay namamalagi. Sabi nila: ang mga eroplano ay nagsalubong sa isang tuwid na linya. Ah

Lutasin ang mga problema: №1 (a, b); 2 (a) A B S D R E K M A B S D A 1 B 1 C 1 D 1 Q P R K M Pangalan ayon sa figure: a) ang mga eroplano kung saan nakahiga ang mga tuwid na linya na DV, AB, MK, PE, EC; b) ang punto ng intersection ng tuwid na linya ng DC kasama ang eroplanong ABC, ang tuwid na linya ng CE kasama ang eroplanong ADV. a) mga puntong nakahiga sa mga eroplanong DSS 1 at B Q C No. 1 (a, b) No. 2 (a)

Ibuod natin ang aralin: 1) Ano ang pangalan ng bahaging geometry na ating pag-aaralan sa baitang 10-11? 2) Ano ang stereometry? 3) Ibalangkas sa tulong ng larawan ang mga axiom ng stereometry na iyong natutunan sa aralin ngayon. А А В В α α А α β

Theorem 1. Ang isang eroplano ay dumadaan sa isang tuwid na linya at isang punto na hindi nakahiga dito, at, bukod dito, isa lamang. Ibinigay: a, M ¢ a Patunayan: (a, M) na may α α ay ang tanging M α Patunay: 1. P, O na may a; (P, O, M) ¢ a P O Ayon sa A1 axiom: ang isang eroplano ay dumadaan sa mga puntong P, O, M. Ayon sa Axiom A2: since dalawang punto ng isang tuwid na linya ay nabibilang sa isang eroplano, pagkatapos ang buong tuwid na linya ay kabilang sa eroplanong ito, i.e. (a, M) na may α 2. Anumang eroplano na dumadaan sa isang tuwid na linya a at isang puntong M ay dumadaan sa mga puntong P, O, at M, na nangangahulugang, ayon sa A1 axiom, ito lamang ang isa. Ch.t.d. Ang ilang mga kahihinatnan mula sa mga axiom:

Theorem 2. Ang isang eroplano ay dumadaan sa dalawang intersecting na linya, at, bukod dito, isa lamang. Ibinigay: a ∩ b Patunayan: 1. (a∩ b) c α 2. Ang α ay ang tanging a b M H α Patunay: 1. Ang eroplanong α ay dumadaan sa a at H a, H b. (M, H) α, (M, H) b, kaya sa pamamagitan ng A2 lahat ng puntos b ay nabibilang sa eroplano. 2. Ang eroplano ay dumadaan sa a at b at ito ay isa lamang, dahil anumang eroplano na dumadaan sa mga linya a at b ay dumadaan din sa H, na nangangahulugang ang α ay nag-iisa.

Lutasin ang problema numero 6 А В С α Tatlong ibinigay na puntos ay konektado sa mga pares sa pamamagitan ng mga segment. Patunayan na ang lahat ng mga segment ng linya ay nasa parehong eroplano. Patunay: 1. (A, B, C) α, kaya sa kahabaan ng A1 hanggang A, B, C ang tanging eroplanong dumadaan. 2. Dalawang punto ng bawat segment ang nasa eroplano, kaya ayon sa A2, ang lahat ng punto ng bawat segment ay nasa eroplano α. 3. Konklusyon: AB, BC, AC lie sa eroplano α 1 kaso. A B C α 2 kaso. Patunay: Dahil ang 3 puntos ay nabibilang sa isang tuwid na linya, pagkatapos ayon sa A2, lahat ng mga punto ng tuwid na linyang ito ay nasa eroplano.

Gawain. А В С Д М О AVSD - rhombus, O - punto ng intersection ng mga diagonal nito, M - punto ng espasyo na hindi namamalagi sa eroplano ng rhombus. Ang mga puntos A, D, O ay nasa eroplano α. Tukuyin at patunayan: Ang mga punto B at C ba ay nasa eroplanong α? Nasa MOV plane ba ang point D? Pangalanan ang linya ng intersection ng MOV at ADO na mga eroplano. Kalkulahin ang lugar ng isang rhombus kung ang gilid nito ay 4 cm at ang anggulo ay 60 º. Magmungkahi ng iba't ibang paraan upang makalkula ang lugar ng isang rhombus.

Oral na gawain. A B S D A 1 B 1 C 1 D 1 α Given: cube ABSDA 1 B 1 C 1 D 1 Find: Ilang puntos na nasa eroplano α; Maraming mga punto na hindi namamalagi sa α plane; Ilang tuwid na linya na nasa eroplano α; Maraming mga linya na hindi nakahiga sa eroplano α; Ilang tuwid na linya na nagsalubong sa linyang BC; Ilang tuwid na linya na hindi tumatawid sa linyang BC. Layunin 1.

Oral na gawain. Suliranin 2. α А М В а b c Punan ang mga patlang upang makuha ang tamang pahayag:

Oral na gawain. A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 α Ang mga linyang AA 1, AB, HELL ay dumadaan sa punto A, ngunit hindi nakahiga sa parehong eroplano Nakahiga ba ang mga tuwid na linya AA 1, AB, HELL sa parehong eroplano?

Lutasin ang mga problema mula sa tutorial: pp. 8 № 7, 10, 14. Ang gawain ng mga mag-aaral sa pisara at sa mga notebook:

Suliranin 1 A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 M NF K Ibinigay: ang kubo ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 tM ay nasa gilid BB 1, ibig sabihin, ang N ay nasa gilid CC 1 at ang punto K ay nasa gilid DD 1 a ) pangalanan ang mga eroplano kung saan matatagpuan ang mga puntong M; N. b) hanapin ang punto F-point ng intersection ng mga linya M N at BC. Anong katangian mayroon ang point F? c) hanapin ang punto ng intersection ng tuwid na linya K N at ang eroplanong ABC O d) hanapin ang linya ng intersection ng mga eroplano M N K at ABC

Problema (pasalita) A B C D M O AVSD ay isang rhombus, O ang punto ng intersection ng mga dayagonal nito, M ay isang punto sa espasyo na hindi namamalagi sa eroplano ng rhombus. Ang mga puntos A, D, O ay nasa eroplano α. Tukuyin at patunayan: 1. Ano ang iba pang mga punto na nasa eroplano α? Nasa eroplano α ba ang mga punto B at M? Ang point B ba ay nasa eroplano ng MOD? Pangalanan ang linya ng intersection ng mga eroplano na MOC at ADO. Ang Point O ay ang karaniwang punto ng MOV at MOC na mga eroplano. Totoo bang nagsa-intersect ang mga eroplanong ito sa isang tuwid na linyang MO? Pangalanan ang tatlong tuwid na linya na nakahiga sa parehong eroplano; hindi nakahiga sa parehong eroplano.

Problema (pasalita) A B CM Mga Gilid AB at AC ng tatsulok na ABC ay nasa eroplano. Patunayan na ang median ay namamalagi din sa eroplano.

S D V E F O M Gawain (oral) Ano ang pagkakamali ng pagguhit, kung saan O E F. Magbigay ng paliwanag. Ano dapat ang hitsura ng tamang pagguhit.

1 antas A B C S K M N 1. Gamit ang figure na ito, pangalanan ang: a) apat na puntos na nakahiga sa eroplano S AB; b) ang eroplano kung saan matatagpuan ang tuwid na linya M N; c) isang tuwid na linya kung saan nag-intersect ang mga eroplanong S AC at S BC. 2. Ang punto C ay ang karaniwang punto ng eroplano at. Ang linya c ay dumadaan sa punto C. Totoo ba na ang mga eroplano at nagsalubong sa linya c. Ipaliwanag ang sagot. 3. Sa pamamagitan ng linya a at punto A, maaaring iguhit ang dalawang magkaibang eroplano. Ano ang relatibong posisyon ng linya a at punto A. Ipaliwanag ang sagot. 2 antas S А В С Д Е F 1. Gamit ang figure na ito, pangalanan ang: a) dalawang eroplano na naglalaman ng tuwid na linya DE; b) ang tuwid na linya kung saan nag-intersect ang mga eroplanong AE F at S BC; c) mga eroplanong pinag-intersect ng linya S B. 2. Ang mga linya a, b at c ay may magkatulad na punto. Totoo ba na ang mga linyang ito ay nasa parehong eroplano? Pangatwiranan ang sagot. 3. Mga eroplano at bumalandra sa isang tuwid na linya na may. Ang line a ay namamalagi sa eroplano at nag-intersect sa eroplano. Ano ang relatibong posisyon ng mga tuwid na linya a at c?

A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 Level 3 (sa mga card) 1. Gamit ang figure na ito, pangalanan ang: a) dalawang eroplano na naglalaman ng linya B 1 C; b) isang tuwid na linya kung saan ang mga eroplano В 1 СД at АА 1 Д 1 ay nagsalubong; c) isang eroplano na hindi sumasalubong sa tuwid na linya SD 1. 2. Apat na tuwid na linya ang nagsalubong sa magkapares. Totoo ba na kung alinman sa tatlo sa kanila ang nakahiga sa parehong eroplano, ang lahat ng apat na linya ay nasa parehong eroplano? Ipaliwanag ang sagot. 3. Ang Vertex C ng plane quadrilateral AVSD ay namamalagi sa eroplano, at ang mga puntong A, B, D ay hindi namamalagi sa eroplanong ito. Ang mga tuwid na linyang AB at HELL ay nagsalubong sa eroplano sa mga puntong B 1 at D 1, ayon sa pagkakabanggit. Ano ang relatibong posisyon ng mga puntos C, B 1 at D 1? Ipaliwanag ang sagot.

Takdang-Aralin: ulitin ang materyal mula sa planimetry at gumawa ng mga tala sa mga kuwaderno sa mga sumusunod na tanong: Pagpapasiya ng magkatulad na mga linya Mutual na posisyon ng dalawang linya sa isang eroplano Konstruksyon ng isang linya na parallel sa isang ibinigay na Axiom ng mga parallel na linya

Unang aralin: Ano ang pinag-aaralan ng stereometry? Ang Stereometry ay isang sangay ng geometry na nag-aaral ng mga katangian ng mga figure sa kalawakan. Ang salitang "stereometry" ay nagmula sa mga salitang Griyego na "stereos" - volumetric, spatial at "metreo" - upang sukatin. Maraming mga geometric na termino ang isinalin mula sa sinaunang wikang Griyego, dahil geometry ay nagmula sa sinaunang Greece at binuo sa mga paaralan ng pilosopiya.

2nd lesson: Mga pangunahing hugis ng stereometry. Mayroong iba't ibang mga paraan ng paglalarawan ng isang eroplano: ang eroplano ay itinatanghal na may paralelogram; ang isang eroplano ay ipinahiwatig ng isang figure na nakatali ng dalawang parallel na tuwid na linya at dalawang arbitrary curves; ang eroplano ay ipinadala sa pamamagitan ng isang pigura ng anumang hugis.

Ika-3 aralin: Mga spatial figure. Ang aralin ay nakatuon sa paghahanda para sa pagpapakilala ng mga axiom ng stereometry. Ang mga mag-aaral ay inaalok ng mga sumusunod na gawain: 1. Gumuhit ng isang tuwid na linya a, punto A nakahiga dito at point B na hindi nakahiga dito. 3. Iguhit ang eroplano, ang mga puntong A at B na nakahiga dito, gayundin ang mga puntong C at D na matatagpuan sa magkabilang panig ng eroplano. 4. Iguhit ang eroplano at ang linyang nagsasalubong dito a. 5. Gumuhit ng mga eroplanong nagsasalubong sa tamang mga anggulo.

Ika-5 aralin: Mga palatandaan ng parallelism ng eroplano. Kapag pinag-aaralan ang mga axiom ng stereometry, naaalala namin ang mga unang axiom ng planimetry at bumalangkas ng kanilang mga spatial na pagkakatulad. Bilang resulta, nakukuha natin ang sumusunod na talahanayan: Ax uom a Drawing Formulation P1P1 Anuman ang linya sa espasyo, may mga punto sa espasyo na kabilang sa tuwid na linyang ito, at mga puntong hindi kabilang dito. P2P2 Sa pamamagitan ng alinmang dalawang punto sa espasyo, maaari kang gumuhit ng isang tuwid na linya, at higit pa rito, isa lamang.

Ika-6 na aralin: Parallel na disenyo. Isaalang-alang ang mga kahihinatnan ng mga axiom: Pagguhit ng Pagbabalangkas Sl.1 Sa pamamagitan ng isang tuwid na linya at isang punto na hindi nakahiga dito, maaari kang gumuhit ng isang eroplano, at higit pa rito, isa lamang. Kung ang dalawang punto ng isang tuwid na linya ay nabibilang sa isang eroplano, kung gayon ang buong tuwid na linya ay kabilang sa eroplanong ito. Sa pamamagitan ng tatlong puntos na hindi nakahiga sa isang tuwid na linya, maaari kang gumuhit ng isang eroplano, at, bukod dito, isa lamang.

Pagpapakita ng mga spatial figure sa isang eroplano Mayroong pitong aralin sa paksa: 1. Parallel na disenyo at ang mga pangunahing katangian nito; 2. P Parallel na disenyo ng mga figure ng eroplano; 3. At ang Imahe ng spatial figure sa parallel projection; 4. C Seksyon ng polyhedra; 5. З Golden section; 6. Sentral na disenyo at mga katangian nito; 7. At Ang imahe ng spatial figure sa gitnang projection.

Aralin 1: Parallel na disenyo at ang mga pangunahing katangian nito. Ang mga pangunahing katangian ng parallel na disenyo: 1. Ang parallel projection ng isang tuwid na linya ay isang tuwid na linya o isang punto; 2. Ang isang parallel projection ng isang line segment ay isang line segment o isang punto; 3. ang ratio ng mga haba ng mga segment na nakahiga sa isang tuwid na linya ay napanatili (sa partikular, ang midpoint ng segment na may parallel projection ay papunta sa midpoint ng kaukulang segment); 4. Ang parallel projection ng dalawang parallel na linya ay mga parallel na linya, o isang linya, o dalawang puntos; 5. ang ratio ng mga haba ng mga segment na nakahiga sa mga parallel na linya ay napanatili sa panahon ng parallel na disenyo; 6. Kung ang pigura ay nasa isang eroplanong parallel sa projection plane, ang parallel projection nito sa eroplanong ito ay magiging isang figure na katumbas ng orihinal.

Aralin 2: Parallel projection ng mga figure ng eroplano. Ang tanong ng imahe ng mga flat figure sa parallel na disenyo ay isinasaalang-alang. Dapat isipin ng mga mag-aaral kung aling mga hugis ang magkatulad na projection ng mga polygon at isang bilog. Alamin kung anong mga katangian ng mga polygon ang pinapanatili sa panahon ng parallel na disenyo. Alamin kung paano binuo ang mga parallel projection ng mga pangunahing planar figure.

Ang ginintuang ratio sa arkitektura Ang mga sikat na arkitekto ng Russia na sina M. Kazakov at V. Bazhenov ay malawakang ginamit ang gintong ratio sa kanilang trabaho. Halimbawa, ang gintong ratio ay matatagpuan sa arkitektura ng gusali ng Senado sa Kremlin. Ayon sa proyekto ng M. Kazakov, ang First Clinical ay itinayo sa Moscow. Ang isa pang obra maestra ng arkitektura ng Moscow - ang Pashkov House - ay isa sa mga pinaka perpektong piraso ng arkitektura ni V. Bazhenov.

Polyhedra. Kasama sa kursong ito ang mga sumusunod na aktibidad: 1. Regular na polyhedra. Regular na polyhedra. 2. Semiregular polyhedra. Semiregular polyhedra. 3. Star polyhedra. Star polyhedra. 4. Teorama ni Euler. Ang teorama ni Euler.

Aralin 4: Ang teorama ni Euler. Ang isa sa mga pinaka-kagiliw-giliw na katangian ng convex polyhedra ay inilarawan ng Euler's theorem. Pangalan ng polyhedron a Bilang ng vertices (B) Bilang ng gilid p (P) Bilang ng mga mukha (D) Triangular pyramid 464 Quadrangular prism 8126 Pentagonal bipyramid regular dodecahedron n-angle pyramid n + 12n2n n-angle prism 2n2n3n3nn + 2 First with students isaalang-alang ang polyhedra na kilala sa kanila at punan ang talahanayan. Pagkatapos ang theorem mismo ay deduced: В-Р + Г = 2

Mga anggulo sa pagitan ng mga linya at eroplano sa kalawakan. Kapag pinag-aaralan ang paksang ito, kanais-nais na tandaan na ang problema sa pagsukat ng mga anggulo ay nagsimula noong sinaunang panahon. Ang kasaysayan ng paglikha ng mga instrumento sa pagsukat at mga pamamaraan ng pagsukat ay dapat saklawin nang malawak hangga't maaari. Para dito, iminungkahi na magsagawa ng mga sumusunod na klase: 1. Ang dami ng mga numero sa espasyo. Dami ng silindro; Ang dami ng mga figure sa espasyo. Dami ng silindro; 2. Prinsipyo ng Cavalieri; Prinsipyo ng Cavalieri; 3. Ang dami ng kono; Dami ng kono; 4. Dami ng globo. Ang dami ng bola.

Aralin 1: Ang dami ng mga figure sa espasyo. Dami ng silindro. Tinatalakay ng araling ito ang mga problema sa pagsukat ng mga volume ng spatial figure. Ang mga pangunahing katangian ng lakas ng tunog ay binanggit: ooooooooooooooooobrazovaniya figure sa espasyo ay isang non-negatibong numero; oooo ang volume ng isang kubo na may gilid 1 ay 1; Ang mga oral figure ay may pantay na volume; oeo kung ang figure Ф ay binubuo ng mga figure Ф 1 at Ф 2, kung gayon ang volume ng figure Ф ay katumbas ng kabuuan ng mga volume ng figure Ф 1 at Ф 2.

• Ano ang Stereometry?
• Ang paglitaw at pag-unlad ng stereometry
• Mga pangunahing figure sa kalawakan
• Pagtatalaga ng mga punto at mga halimbawa ng kanilang mga modelo
• Pagtatalaga ng linya
• Mga halimbawa ng mga modelo ng mga tuwid na linya
• Pagtatalaga ng mga eroplano at mga halimbawa ng kanilang mga modelo
• Ano pa ang pinag-aaralan ng stereometry?
• Mga bagay at geometric na katawan sa paligid natin
• Pagpapakita ng mga geometric na katawan sa mga guhit
• Praktikal (inilapat) na halaga ng stereometry
• Mga axiom ng stereometry
• Mga kahihinatnan mula sa mga axiom ng stereometry
• Angkla
• Mga Gamit na Aklat

Ano ang Stereometry?

Stereometry Ay isang seksyon ng geometry kung saan pinag-aaralan ang mga katangian ng mga figure sa espasyo.

Ang paglitaw at pag-unlad ng stereometry.

• Ang pagbuo ng stereometry ay nagsimula nang mas huli kaysa sa planimetry.
• Nabuo ang stereometry mula sa mga obserbasyon at solusyon sa mga tanong na lumitaw sa proseso ng praktikal na aktibidad ng tao.

• Ang primitive na tao, na kumuha ng agrikultura, ay gumawa ng mga pagtatangka upang tantiyahin, kahit sa magaspang na mga termino, ang laki ng ani na kanyang naani ng masa ng butil na nakasalansan sa mga tambak, tambak o stack.
• Ang tagabuo ng kahit na ang pinaka sinaunang primitive na mga gusali ay kailangang isaalang-alang ang materyal na mayroon siya sa kanyang pagtatapon, at magagawang kalkulahin kung gaano karaming materyal ang kakailanganin upang magtayo ng isang partikular na gusali.

• Ang pagmamason sa mga sinaunang Egyptian at Chaldean ay nangangailangan ng pamilyar sa mga sukatan na katangian ng hindi bababa sa pinakasimpleng geometric na katawan.
• Ang pangangailangan para sa agrikultura, pag-navigate, oryentasyon sa oras ay nagtulak sa mga tao sa mga obserbasyon sa astronomiya, at ang huli ay pag-aralan ang mga katangian ng globo at mga bahagi nito, at, dahil dito, ang mga batas ng magkaparehong pag-aayos ng mga eroplano at linya sa kalawakan.

Mga pangunahing figure sa kalawakan.

Plane - isang geometric figure na umaabot nang walang katiyakan sa lahat ng direksyon

Pagtatalaga ng mga punto at mga halimbawa ng kanilang mga modelo.

Ang mga puntos ay itinalaga ng malaking Latin na titik A, B, C, ...

Ang mga halimbawa ng mga modelo ng punto ay:

mga atomo at molekula

mga planeta sa sukat ng uniberso

Pagtatalaga ng mga tuwid na linya.

• Ang mga tuwid na linya ay itinalaga:
• maliliit na letrang latin a, b, c, d, e, k, ...
• dalawang malaking Latin na titik AB, CD ...

Mga halimbawa ng mga modelo ng mga linya.

Ang mga halimbawa ng mga modelo ng linya ay:

sumasalungat ang eroplano

Pagtatalaga ng mga eroplano at mga halimbawa ng kanilang mga modelo.

Ang mga eroplano ay itinalaga ng mga letrang Griyego na α, β, γ, ...

Ang mga halimbawa ng mga modelo ng eroplano ay:

ibabaw ng tubig

ibabaw ng mesa

Ano pa ang pinag-aaralan ng stereometry?

Kasama ng isang punto, isang linya at isang eroplano, pinag-aaralan ng stereometry ang mga geometric na katawan at ang kanilang mga ibabaw.

Mga bagay at geometric na katawan sa paligid natin.

Ang mga bagay sa paligid natin ay nagbibigay ng mga ideya tungkol sa mga geometric na katawan.

At sa pamamagitan ng pag-aaral ng mga katangian ng mga geometric na figure - mga haka-haka na bagay, nakakakuha tayo ng impormasyon tungkol sa mga geometric na katangian ng mga tunay na bagay at maaaring gamitin ang mga katangiang ito sa pagsasanay.

mga kristal-polyhedron

lata - silindro

packaging ng kendi - kono

Mga larawan ng mga geometric na katawan sa mga guhit.

• Ang imahe ng isang spatial figure ay ang projection nito sa isang partikular na eroplano.
• Ang mga di-nakikitang bahagi ng pigura ay iginuhit ng mga putol-putol na linya.

Praktikal (inilapat) na halaga ng stereometry.

• Ang mga geometric na katawan ay kathang-isip na mga bagay
• Sa pag-aaral ng mga katangian ng mga geometric na hugis, nakakakuha tayo ng mga ideya tungkol sa mga geometric na katangian ng mga tunay na bagay (ang kanilang hugis, kamag-anak na posisyon, atbp.)
• Ang stereometry ay malawakang ginagamit sa konstruksiyon, arkitektura, mechanical engineering at iba pang larangan ng agham at teknolohiya.

Mga axiom ng stereometry.

• Axiom- Ang pahayag na ito tungkol sa mga katangian ng mga geometric na numero ay kinuha bilang panimulang punto, sa batayan kung saan ang mga theorems ay mas pinatunayan at sa pangkalahatan ang lahat ng geometry ay itinayo.

Mga axiom ng stereometry.

A1 . Sa pamamagitan ng anumang tatlong punto na hindi nakahiga sa isang tuwid na linya, isang eroplano ang pumasa at, bukod dito, isa lamang.

Mga axiom ng stereometry.

A2 ... Kung ang dalawang punto ng isang tuwid na linya ay nasa isang eroplano, kung gayon ang lahat ng mga punto ng tuwid na linya na ito ay namamalagi sa eroplanong ito.

Sa kasong ito, sinasabi nila na ang isang tuwid na linya ay nasa isang eroplano o ang isang eroplano ay dumadaan sa isang tuwid na linya.

Mga axiom ng stereometry.

A3. Kung ang dalawang eroplano ay may isang karaniwang punto, kung gayon mayroon silang isang karaniwang tuwid na linya kung saan ang lahat ng mga karaniwang punto ng mga eroplanong ito ay namamalagi.

Sinasabi nila na ang mga eroplano ay nagsalubong sa isang tuwid na linya

Mga kahihinatnan mula sa mga axiom.

Theorem 1: Ang isang eroplano ay dumadaan sa isang tuwid na linya at isang punto na hindi nakahiga dito, at higit pa rito, isa lamang.

Theorem 2: Ang isang eroplano ay dumadaan sa dalawang intersecting na linya, at higit pa rito, isa lamang.

Angkla.

1. Pangalanan ang mga eroplano kung saan matatagpuan ang mga linya:

Angkla.

2. Pangalanan ang punto ng intersection ng linya CE sa eroplanong ADB.

3. Pangalanan ang mga linya kung saan nag-intersect ang mga eroplano:

Mga Gamit na Aklat

• Geometry. 10-11 baitang: aklat-aralin. Para sa pangkalahatang edukasyon. institusyon: basic at profile. mga antas / HP Atanasyan, V.F. Butuzov, S.B. Kadomtsev et al. - ika-21 na ed. - M .: Edukasyon, 2012.- 255 p.: may sakit.
• Geometry: Patnubay sa Pamamaraan para sa Mas Mataas na Institusyon ng Pedagogical at Mga Guro sa Secondary School: Part 2 Stereometry / ed. Sinabi ni Prof. I.K. Andronov.

1

Ang kursong geometry ng paaralan ay binubuo ng dalawang bahagi:

PLANIMETRY
STEREOMETRY
Ang planimetry ay isang seksyon
geometry kung saan
pinag-aaralan ang mga ari-arian
mga geometric na hugis
sa ibabaw.
Ang stereometry ay isang seksyon
geometry kung saan
pinag-aaralan ang mga ari-arian
mga geometric na hugis
sa kalawakan.
Ang salitang "stereometry" ay nagmula sa Griyego
ang mga salitang "stereos" - tatlong-dimensional, spatial at
"Metreo" - upang sukatin.
2

Pangunahing konsepto

planimetry
Punto
Diretso
stereometry
Punto
Diretso
Eroplano
ay isang geometric na pigura,
umaabot nang walang katiyakan sa lahat
panig.
3

Kasama ang mga punto, tuwid na linya, mga eroplano sa stereometry, ang mga geometric na katawan ay isinasaalang-alang, ang kanilang mga katangian ay pinag-aralan, ang kanilang mga lugar ay kinakalkula.

Kasama ng mga punto, linya, eroplano
sa stereometry
ang mga geometric na katawan ay isinasaalang-alang,
pinag-aaralan ang kanilang mga ari-arian,
ang mga lugar ng kanilang mga ibabaw ay kinakalkula,
at gayundin ang mga volume ng katawan ay kinakalkula.
kubo
bola
silindro
4

Volumetric na geometric na katawan

Polyhedra
Mga katawan ng pag-ikot
prisma
pyramid
kono
parallelepiped
silindro
kubo
bola
5

Ang mga puntos ay itinalaga ng malaking Latin na letrang A, B, C, D, E, K, ...

A
V
SA
E
Ang mga tuwid na linya ay ipinahiwatig ng maliliit na titik
mga letrang latin a, b, c, d, e, k, ...
b
d
a
Ang mga eroplano ay itinalaga ng Greek
mga titik α, β, γ, λ, π, ω, ...
β
γ
α
6

Ang stereometry ay malawakang ginagamit sa industriya ng konstruksiyon

7

Ginagamit ang stereometry sa arkitektura

8

Ginagamit ang stereometry sa mechanical engineering

9

Ginagamit ang stereometry sa survey

Ang geodesy ay ang agham na nag-aaral ng mga species at
ang laki ng lupa.
Sa maraming iba pang larangan ng agham at teknolohiya.
10

Ito ay malinaw na sa bawat eroplano ang ilang mga punto ng kalawakan ay namamalagi, ngunit hindi lahat ng mga punto ng espasyo ay namamalagi sa parehong eroplano.

Aє, Bє,
M
Mє, Nє, Pє
A
N
B
P
11

Mga axiom ng stereometry

Axiom 1
Kahit sinong tatlo
puntos hindi
nakahiga sa isa
tuwid, pumasa
eroplano, at
saka lang
isa.
A
V
SA
Axiom 3
Axiom 2
Kung dalawa
may mga eroplano
karaniwang punto, kung gayon
meron sila
diretso na
na lahat ay nagsisinungaling
karaniwang mga punto ng mga ito
mga eroplano.
Kung dalawang puntos
diretsong humiga
eroplano, tapos lahat
mga punto ng isang tuwid na linya
magsinungaling dito
eroplano.
A
V
SA
A
a
α
12

Ang ilang mga kahihinatnan ng mga axiom

Q
α
a
P
M
Theorem 2. Pagkatapos ng dalawa
pag-intersect ng mga tuwid na linya
pumasa sa eroplano, at
tsaka isa lang.
Theorem 1. Sa kabila ng linya
at hindi nagsisinungaling dito
ang punto ay dumaan sa eroplano,
at, bukod dito, isa lamang.
b
a
α
M