Ibabaw ng lugar ng isang regular na quadrangular pyramid formula. Ang lateral na ibabaw na lugar ng isang regular na quadrangular pyramid: mga formula at halimbawa ng mga problema. Lateral na ibabaw na lugar ng pyramid

Kahulugan Gilid gilid ay isang tatsulok, isang sulok na nakasalalay sa tuktok ng pyramid, at ang kabaligtaran na bahagi ay tumutugma sa gilid ng base (polygon).

Kahulugan Mga tadyang ay ang karaniwang panig ng mga mukha sa gilid. Ang pyramid ay may maraming mga gilid tulad ng mga sulok ng polygon.

Kahulugan Taas ng Pyramid- ito ay isang patayo, ibinaba mula sa itaas hanggang sa base ng pyramid.

Kahulugan Apothem ay patayo sa gilid ng mukha ng piramide, ibinaba mula sa tuktok ng pyramid hanggang sa gilid ng base.

Kahulugan Seksyon ng dayagonal ay isang seksyon ng pyramid ng isang eroplano na dumadaan sa tuktok ng pyramid at ang dayagonal ng base.

Kahulugan Tamang pyramid ay isang pyramid kung saan ang base ay isang regular na polygon, at ang taas ay bumaba sa gitna ng base.

Dami at pang-ibabaw na lugar ng pyramid

Pormula. Ang dami ng piramide sa pamamagitan ng batayang lugar at taas:

Mga katangian ng Pyramid

Kung ang lahat ng mga gilid ng gilid ay pantay, pagkatapos ang isang bilog ay maaaring inilarawan sa paligid ng base ng pyramid, at ang gitna ng base ay sumasabay sa gitna ng bilog. Gayundin, ang patayo ay bumaba mula sa tuktok na dumadaan sa gitna ng base (bilog).

Kung ang lahat ng mga gilid ng gilid ay pantay, pagkatapos ay nakakiling ang mga ito sa eroplano ng base sa parehong mga anggulo.

Ang mga gilid ng gilid ay pantay kapag bumubuo sila ng pantay na mga anggulo sa batayang eroplano o kung ang isang bilog ay maaaring inilarawan sa paligid ng base ng pyramid.

Kung ang mga mukha sa gilid ay nakahilig sa batayang eroplano sa isang anggulo, kung gayon ang isang bilog ay maaaring maisulat sa base ng pyramid, at ang tuktok ng piramide ay inaasahang papunta sa gitna nito.

Kung ang mga mukha sa gilid ay nakahilig sa batayang eroplano sa parehong anggulo, pagkatapos ang mga apothem ng mga gilid na mukha ay pantay.

Mga pag-aari ng isang regular na pyramid

1. Ang tuktok ng pyramid ay equidistant mula sa lahat ng mga sulok ng base.

2. Ang lahat ng mga gilid ng gilid ay pantay.

3. Ang lahat ng mga gilid ng buto ay dumulas sa parehong anggulo sa base.

4. Ang mga apothem ng lahat ng mga lateral na mukha ay pantay.

5. Ang mga lugar ng lahat ng mga mukha sa gilid ay pantay.

6. Ang lahat ng mga mukha ay may parehong mga anggulo ng dihedral (flat).

7. Ang isang globo ay maaaring inilarawan sa paligid ng pyramid. Ang gitna ng bilog na globo ay ang punto ng intersection ng mga patayo na dumaan sa gitna ng mga gilid.

8. Ang isang globo ay maaaring maitala sa pyramid. Ang gitna ng nakasulat na globo ay ang intersection point ng mga bisector na nagmumula sa anggulo sa pagitan ng gilid at ng base.

9. Kung ang gitna ng nakasulat na globo ay nag-tutugma sa gitna ng bilog na globo, kung gayon ang kabuuan ng mga anggulo ng eroplano sa kaitaasan ay katumbas ng π o kabaligtaran, ang isang anggulo ay katumbas ng π / n, kung saan n ang bilang ng mga anggulo sa base ng piramide.

Ang koneksyon ng pyramid sa globo

Ang isang globo ay maaaring inilarawan sa paligid ng pyramid kapag sa base ng pyramid ay nakasalalay ang isang polyhedron sa paligid kung saan maaaring mailarawan ang isang bilog (isang kinakailangan at sapat na kondisyon). Ang gitna ng globo ay ang punto ng intersection ng mga eroplano na dumadaan perpendicularly sa pamamagitan ng mga midpoints ng mga gilid ng gilid ng pyramid.

Ang isang globo ay maaaring laging inilarawan sa paligid ng anumang tatsulok o regular na piramide.

Ang isang globo ay maaaring maipasok sa isang pyramid kung ang mga eroplano ng bisector ng mga panloob na diornal na sulok ng pyramid ay lumusot sa isang punto (isang kinakailangan at sapat na kondisyon). Ang puntong ito ay magiging sentro ng globo.

Koneksyon ng isang piramide na may isang kono

Ang isang kono ay tinatawag na nakasulat sa isang pyramid kung ang kanilang mga tuktok ay nag-tutugma at ang base ng kono ay nakasulat sa base ng piramide.

Ang isang kono ay maaaring maipasok sa isang pyramid kung ang mga apothem ng pyramid ay katumbas ng bawat isa.

Ang isang kono ay tinawag na bilog sa paligid ng isang piramide kung magkasabay ang kanilang mga tuktok, at ang batayan ng kono ay naiikot sa paligid ng base ng piramide.

Ang isang kono ay maaaring inilarawan sa paligid ng isang pyramid kung ang lahat ng mga gilid ng gilid ng pyramid ay katumbas ng bawat isa.

Koneksyon ng isang piramide na may isang silindro

Ang isang piramide ay tinatawag na nakasulat sa isang silindro kung ang tuktok ng pyramid ay nakasalalay sa isang base ng silindro, at ang base ng pyramid ay nakasulat sa isa pang base ng silindro.

Ang isang silindro ay maaaring inilarawan sa paligid ng isang pyramid kung ang isang bilog ay maaaring inilarawan sa paligid ng base ng piramide.

Kahulugan Pinutol na pyramid (pyramidal prism) ay isang polyhedron na matatagpuan sa pagitan ng base ng pyramid at ng seksyon ng eroplano na parallel sa base. Kaya, ang piramide ay may isang mas malaking base at isang maliit na base, na kung saan ay katulad ng isang mas malaki. Ang mga mukha sa gilid ay trapezoidal.

Kahulugan Triangular pyramid (tetrahedron) ay isang piramide kung saan ang tatlong mukha at ang base ay di-makatwirang mga tatsulok.

Ang isang tetrahedron ay may apat na mukha at apat na vertex at anim na gilid, kung saan ang alinmang dalawang gilid ay walang karaniwang mga vertex ngunit hindi nagalaw.

Ang bawat vertex ay binubuo ng tatlong mga mukha at gilid na form tatsulok na sulok.

Ang segment na kumokonekta sa tuktok ng tetrahedron na may gitna ng tapat na mukha ay tinawag median tetrahedron(GM).

Bimedian ay ang segment na kumukonekta sa mga midpoint ng kabaligtaran na mga gilid na hindi nakikipag-ugnay (KL).

Lahat ng mga bimedian at median ng tetrahedron ay nagkakasalubong sa isang punto (S). Sa kasong ito, ang mga bimedian ay nahahati sa kalahati, at ang mga median ay nasa isang ratio na 3: 1, simula sa itaas.

Kahulugan Nakagiling piramide ay isang piramide kung saan ang isa sa mga tadyang ay bumubuo ng isang anggulo na mapang-akit (β) kasama ang base.

Kahulugan Parihabang piramide- ito ay isang piramide kung saan ang isa sa mga mukha sa gilid ay patayo sa base.

Kahulugan Talamak na anggulo na piramide- ito ay isang piramide kung saan ang apothem ay higit sa kalahati ng haba ng gilid ng base.

Kahulugan Gumamit ng piramide- ito ay isang piramide kung saan ang apothem ay mas mababa sa kalahati ng haba ng gilid ng base.

Kahulugan Regular na tetrahedron- isang tetrahedron kung saan ang lahat ng apat na mukha ay equilateral triangles. Ito ay isa sa limang regular na polygon. Sa isang regular na tetrahedron, lahat ng mga anggulo ng dihedral (sa pagitan ng mga mukha) at mga anggulo ng trihedral (sa vertex) ay pantay.

Kahulugan Parihabang tetrahedron ay tinatawag na isang tetrahedron na may tamang anggulo sa pagitan ng tatlong mga gilid sa vertex (ang mga gilid ay patayo). Bumuo ang tatlong mukha parihabang sulok na tatsulok at ang mga mukha ay may tatsulok na anggulo, at ang base ay isang di-makatwirang tatsulok. Ang apothem ng anumang facet ay katumbas ng kalahati ng gilid ng base kung saan nahuhulog ang apothem.

Kahulugan Tetrahedron ng Equadium tinawag na isang tetrahedron kung saan ang mga mukha sa gilid ay pantay sa bawat isa, at ang base ay isang regular na tatsulok. Para sa isang tetrahedron, ang mga mukha ay isosceles triangles.

Kahulugan Orthocentric tetrahedron ay tinatawag na isang tetrahedron kung saan ang lahat ng mga taas (patayo) na ibinaba mula sa itaas hanggang sa tapat na mukha ay lumusot sa isang punto.

Kahulugan Star pyramid ay tinawag na isang polyhedron na ang base ay isang bituin.

Kahulugan Bipyramid- isang polyhedron na binubuo ng dalawang magkakaibang mga piramide (ang mga piramide ay maaari ring putulin), pagkakaroon ng isang pangkaraniwang batayan, at ang mga tuktok ay namamalagi sa magkabilang panig ng batayang eroplano.

Karaniwang mga problemang geometriko sa eroplano at sa three-dimensional space ay ang mga problema sa pagtukoy ng mga lugar ng mga ibabaw ng iba't ibang mga hugis. Sa artikulong ito, ipinakita namin ang formula para sa pag-ilid na lugar ng ibabaw ng isang regular na quadrangular pyramid.

Ano ang isang piramide?

Narito ang isang mahigpit na kahulugan ng geometriko ng isang pyramid. Ipagpalagay na mayroong ilang mga polygon na may n gilid at n sulok. Pumili ng isang di-makatwirang punto sa kalawakan, na kung saan ay wala sa eroplano ng tinukoy na n-gon, at ikonekta ito sa bawat tuktok ng polygon. Nakakakuha kami ng isang figure na may isang tiyak na dami, na kung saan ay tinatawag na isang n-panig na pyramid. Halimbawa, ipakita natin sa pigura sa ibaba kung ano ang hitsura ng isang pentagonal pyramid.

Dalawang mahalagang elemento ng anumang pyramid ay ang base nito (n-gon) at ang tuktok nito. Ang mga elementong ito ay konektado sa bawat isa sa pamamagitan ng n triangles, na sa pangkalahatan ay hindi pantay sa bawat isa. Ang patayo ay bumaba mula sa itaas hanggang sa base ay tinatawag na taas ng pigura. Kung intersect nito ang base sa sentro ng geometriko (kasabay ng gitna ng masa ng polygon), kung gayon ang naturang pyramid ay tinatawag na isang tuwid na linya. Kung, bilang karagdagan sa kondisyong ito, ang base ay isang regular na polygon, kung gayon ang buong pyramid ay tinatawag na regular. Ipinapakita ng pigura sa ibaba kung ano ang hitsura ng mga regular na pyramid na may mga basang tatsulok, kwadrangular, pentagonal at hexagonal.

Ibabaw ng Pyramid

Bago magpatuloy sa tanong ng pag-ilid na lugar ng ibabaw ng isang regular na quadrangular pyramid, ang isa ay dapat na tumira nang mas detalyado sa konsepto ng ibabaw mismo.

Tulad ng nabanggit sa itaas at ipinakita sa mga numero, ang anumang pyramid ay nabuo ng isang hanay ng mga mukha o panig. Ang isang panig ay ang base at ang mga n panig ay tatsulok. Ang ibabaw ng buong pigura ay ang kabuuan ng mga lugar ng bawat panig nito.

Maginhawa upang pag-aralan ang ibabaw gamit ang halimbawa ng paglalahad ng isang pigura. Ang isang patag na pattern para sa isang regular na quadrangular pyramid ay ipinapakita sa mga numero sa ibaba.

Nakita namin na ang lugar sa ibabaw nito ay katumbas ng kabuuan ng apat na lugar ng magkatulad na mga triangles ng isosceles at ang lugar ng isang parisukat.

Ang kabuuang lugar ng lahat ng mga triangles na bumubuo sa mga gilid na gilid ng pigura ay karaniwang tinatawag na lateral na ibabaw na lugar. Susunod, ipapakita namin kung paano makalkula ito para sa isang regular na quadrangular pyramid.

Ang lateral na ibabaw na lugar ng isang quadrangular regular na piramide

Upang makalkula ang lateral na lugar sa ibabaw ng tinukoy na hugis, sumangguni sa itaas na pattern ng flat. Ipagpalagay na alam natin ang panig ng isang square base. Ipaalam natin ito sa pamamagitan ng simbolo a. Maaari itong makita na ang bawat isa sa apat na magkatulad na mga tatsulok ay may isang batayan ng haba a. Upang makalkula ang kanilang kabuuang lugar, kailangan mong malaman ang halagang ito para sa isang tatsulok. Ito ay kilala mula sa kurso na geometry na ang lugar ng isang tatsulok na S t ay katumbas ng produkto ng base at taas, na dapat hatiin sa kalahati. Yan ay:

Kung saan h b ang taas ng isang isosceles na tatsulok na iginuhit sa base a. Para sa pyramid, ang taas na ito ay apothem. Ngayon ay nananatili itong i-multiply ang nakuha na expression ng 4 upang makuha ang lugar na S b ng lateral na ibabaw para sa itinuturing na pyramid:

S b = 4 * S t = 2 * h b * a.

Naglalaman ang formula na ito ng dalawang mga parameter: apotema at isang gilid ng base. Kung ang huli ay kilala sa karamihan ng mga kundisyon ng problema, kung gayon ang una ay dapat makalkula na alam ang iba pang mga dami. Nagbibigay kami ng mga formula para sa pagkalkula ng apotema h b para sa dalawang kaso:

• kapag ang haba ng gilid ng tadyang ay kilala;
• kapag ang taas ng pyramid ay kilala.

Kung tinukoy natin ang haba ng gilid ng gilid (gilid ng isang isosceles na tatsulok) ng simbolo L, kung gayon ang apotema h b ay natutukoy ng pormula:

h b = √ (L 2 - a 2/4).

Ang expression na ito ay ang resulta ng paglalapat ng Pythagorean theorem sa tatsulok ng lateral ibabaw.

Kung ang taas h ng pyramid ay kilala, pagkatapos ay kalkulahin ang apotema h b tulad ng sumusunod:

h b = √ (h 2 + a 2/4).

Hindi rin mahirap makuha ang expression na ito kung isasaalang-alang namin sa loob ng pyramid ang isang tatsulok na may angulo na nabuo ng mga binti h at a / 2 at isang hypotenuse h b.

Ipakita natin kung paano ilapat ang mga formula na ito sa pamamagitan ng paglutas ng dalawang kawili-wiling mga problema.

Kilalang problema sa ibabaw na lugar

Alam na ang lugar ng lateral na ibabaw ng quadrangular ay 108 cm 2. Kinakailangan upang makalkula ang halaga ng haba ng apotema h b kung ang taas ng pyramid ay 7 cm.

Isulat natin ang pormula para sa lugar na S b ng lateral na ibabaw sa mga tuntunin ng taas. Meron kami:

S b = 2 * √ (h 2 + a 2/4) * a.

Dito lamang namin pinalitan ang kaukulang formula ng apotema sa ekspresyon para sa S b. Parisukat natin ang magkabilang panig ng pagkakapantay-pantay:

S b 2 = 4 * a 2 * h 2 + a 4.

Upang hanapin ang halaga ng a, baguhin natin ang mga variable:

t 2 + 4 * h 2 * t - S b 2 = 0.

Pinalitan namin ngayon ang mga kilalang halaga at malulutas ang quadratic equation:

t 2 + 196 * t - 11664 = 0.

Sinulat lamang namin ang positibong ugat ng equation na ito. Pagkatapos ang mga gilid ng base ng pyramid ay magiging katumbas ng:

a = √t = √47.8355 ≈ 6.916 cm.

Upang makuha ang haba ng apotema, sapat na upang magamit ang formula:

h b = √ (h 2 + a 2/4) = √ (7 2 + 6.916 2/4) ≈ 7.808 cm.

Ang pang-itaas na bahagi ng pyramid ng Cheops

Tukuyin natin ang halaga ng tagiliran para sa pinakamalaking Egyptian pyramid. Alam na sa base nito ay namamalagi ang isang parisukat na may haba ng gilid na 230.363 metro. Ang taas ng gusali ay orihinal na 146.5 metro. Ang pagpapalit ng mga numerong ito sa kaukulang formula para sa S b, nakukuha namin:

S b = 2 * √ (h 2 + a 2/4) * a = 2 * √ (146.5 2 +230.363 2/4) * 230.363 ≈ 85860 m 2.

Ang nahanap na halaga ay bahagyang mas malaki kaysa sa lugar ng 17 mga patlang ng football.

Bago pag-aralan ang mga katanungan tungkol sa geometric figure na ito at mga katangian nito, dapat mong maunawaan ang ilang mga term. Kapag narinig ng isang tao ang tungkol sa isang pyramid, naisip niya ang mga malalaking gusali sa Egypt. Ito ang hitsura ng pinakasimpleng sa kanila. Ngunit nagmula ang mga ito sa iba't ibang mga uri at hugis, na nangangahulugang magkakaiba ang pormula ng pagkalkula para sa mga geometric na hugis.

Mga uri ng pigura

Pyramid - pigura ng geometriko, na tumutukoy at kumakatawan sa maraming mga mukha. Sa katunayan, ito ang parehong polyhedron, sa base kung saan mayroong isang polygon, at sa mga gilid ay may mga triangles na kumokonekta sa isang punto - ang vertex. Ang pigura ay nasa dalawang pangunahing uri:

• tama;
• pinutol

Sa unang kaso, ang isang regular na polygon ay namamalagi sa base. Narito ang lahat ng mga gilid sa gilid ay pantay sa kanilang mga sarili at ang pigura mismo ay magagalak sa mata ng pagiging perpektoista.

Sa pangalawang kaso, mayroong dalawang mga base - isang malaking isa sa pinakailalim at isang maliit sa pagitan ng tuktok, na inuulit ang hugis ng pangunahing. Sa madaling salita, ang isang pinutol na pyramid ay isang polyhedron na may isang seksyon na kahilera sa base.

Mga tuntunin at pagtatalaga

Pangunahing mga tuntunin:

• Regular (equilateral) tatsulok- isang pigura na may tatlong pantay na mga anggulo at pantay na panig. Sa kasong ito, ang lahat ng mga anggulo ay 60 degree. Ang pigura ay ang pinakasimpleng ng regular na polyhedra. Kung ang figure na ito ay namamalagi sa base, kung gayon ang naturang polyhedron ay tatawaging regular na tatsulok. Kung mayroong isang parisukat sa base, ang piramide ay tatawaging isang regular na quadrangular pyramid.
• Vertex- ang pinakamataas na punto kung saan nagtatagpo ang mga mukha. Ang taas ng tuktok ay nabuo ng isang tuwid na linya na umaabot mula sa itaas hanggang sa base ng pyramid.
• Edge- isa sa mga eroplano ng polygon. Maaari itong maging sa anyo ng isang tatsulok sa kaso ng isang tatsulok na piramide, o sa anyo ng isang trapezoid para sa isang pinutol na piramide.
• Seksyon ng krus- isang patag na pigura na nagreresulta mula sa isang dissection. Hindi malito sa isang hiwa, dahil ipinapakita rin ng hiwa kung ano ang nasa likod ng hiwa.
• Apothem- isang segment na iginuhit mula sa tuktok ng pyramid patungo sa base nito. Ito rin ang taas ng mukha kung saan ang pangalawang punto ng taas ay. Ang kahulugan na ito ay wasto lamang kaugnay sa isang regular na polyhedron. Halimbawa, kung hindi ito isang pinutol na pyramid, kung gayon ang mukha ay magiging isang tatsulok. Sa kasong ito, ang taas ng tatsulok na ito ay magiging apothem.

Mga pormula ng lugar

Hanapin ang lugar ng pag-ilid sa itaas ng isang piramide anumang uri ay maaaring gawin sa maraming mga paraan. Kung ang figure ay hindi simetriko at isang polygon na may iba't ibang panig, kung gayon sa kasong ito mas madaling makalkula ang kabuuang lugar sa ibabaw gamit ang kabuuan ng lahat ng mga ibabaw. Sa madaling salita, kailangan mong kalkulahin ang lugar ng bawat mukha at idagdag silang magkasama.

Nakasalalay sa kung anong mga parameter ang kilala, maaaring kailanganin ang mga formula para sa pagkalkula ng isang parisukat, trapezoid, arbitrary quadrilateral, atbp. Ang mga formula mismo sa iba't ibang mga kaso magkakaiba rin.

Sa kaso ng tamang pigura, ang paghanap ng lugar ay mas madali. Ito ay sapat na upang malaman lamang ng ilang mga pangunahing parameter. Sa karamihan ng mga kaso, kinakailangan ang mga kalkulasyon para sa mga tulad na hugis. Samakatuwid, ang mga kaukulang formula ay ibibigay sa ibaba. Kung hindi man, kakailanganin mong pintura ang lahat sa maraming mga pahina, na malilito lamang at malilito.

Pangunahing formula para sa pagkalkula ang lateral na ibabaw na lugar ng isang regular na pyramid ay ganito ang hitsura:

S = ½ Pa (P ay ang perimeter ng base, a ang apothem)

Tingnan natin ang isa sa mga halimbawa. Ang polyhedron ay may base na may mga segment na A1, A2, A3, A4, A5, at lahat sila ay katumbas ng 10 cm. Hayaan ang Apothem na katumbas ng 5 cm. Una, kailangan mong hanapin ang perimeter. Dahil ang lahat ng limang panig ng base ay pareho, mahahanap mo ito tulad nito: P = 5 * 10 = 50 cm. Susunod, inilalapat namin ang pangunahing pormula: S = ½ * 50 * 5 = 125 cm parisukat.

Ang lateral na ibabaw na lugar ng isang regular na tatsulok na pyramid ang pinakamadaling makalkula. Ganito ang formula:

S = ½ * ab * 3, kung saan a - apothem, b - batayang mukha. Ang triple multiplier dito ay nangangahulugang ang bilang ng mga base edge, at ang unang bahagi ay ang gilid na lugar ng ibabaw. Tingnan natin ang isang halimbawa. Ang isang figure na may apothem na 5 cm at isang base edge na 8 cm ay ibinigay. Kalkulahin: S = 1/2 * 5 * 8 * 3 = 60 cm square.

Pinutol ang pyramid lateral ibabaw na lugar ang pagkalkula ay medyo mahirap. Ganito ang hitsura ng formula: S = 1/2 * (p_01 + p_02) * a, kung saan ang p_01 at p_02 ay ang mga perimeter ng mga base, at ang apothem. Tingnan natin ang isang halimbawa. Halimbawa, para sa isang quadrangular figure, ang mga sukat ng mga gilid ng mga base ay 3 at 6 cm, ang apothem ay 4 cm.

Dito, kailangan mo munang hanapin ang mga perimeter ng mga base: p_01 = 3 * 4 = 12 cm; p_02 = 6 * 4 = 24 cm. Nananatili itong kapalit ng mga halaga sa pangunahing pormula at nakuha ang: S = 1/2 * (12 + 24) * 4 = 0.5 * 36 * 4 = 72 cm square.

Kaya, posible na hanapin ang lateral na ibabaw na lugar ng isang regular na pyramid ng anumang pagiging kumplikado. Dapat maging maingat at hindi malito ang mga kalkulasyon na ito ay kasama ang kabuuang lugar ng buong polyhedron. At kung kailangan mo pa ring gawin ito, sapat na upang kalkulahin ang lugar ng pinakamalaking base ng polyhedron at idagdag ito sa lugar ng lateral na ibabaw ng polyhedron.

Video

Upang pagsamahin ang impormasyon sa kung paano makahanap ng pag-ilid na lugar ng iba't ibang mga pyramid, makakatulong sa iyo ang video na ito.

Ano ang hugis na tinatawag nating pyramid? Una, ito ay isang polyhedron. Pangalawa, ang isang di-makatwirang polygon ay matatagpuan sa base ng polyhedron na ito, at ang mga gilid ng pyramid (mga mukha sa gilid) ay kinakailangang may hugis ng mga triangles na nagko-convert sa isang karaniwang vertex. Ngayon, na nakitungo sa term, malalaman natin kung paano hanapin ang pang-ibabaw na lugar ng pyramid.

Ito ay malinaw na ang ibabaw na lugar ng tulad ng isang geometric na katawan ay binubuo ng kabuuan ng mga lugar ng base at ang buong lateral na ibabaw.

Kinakalkula ang lugar ng base ng pyramid

Ang pagpili ng formula sa pagkalkula ay nakasalalay sa hugis ng polygon na nakahiga sa base ng aming pyramid. Maaari itong maging tama, iyon ay, na may mga gilid ng parehong haba, o hindi wasto. Isaalang-alang natin ang parehong mga pagpipilian.

Sa base ay isang regular na polygon

Ito ay kilala mula sa kurso sa paaralan:

• ang lugar ng parisukat ay magiging katumbas ng haba ng gilid nito na parisukat;
• ang lugar ng isang pantay na tatsulok ay katumbas ng parisukat ng tagiliran nito na hinati ng 4 at pinarami ng parisukat na ugat ng tatlo.

Ngunit mayroon ding isang pangkalahatang pormula para sa pagkalkula ng lugar ng anumang regular na polygon (Sn): kailangan mong i-multiply ang halaga ng perimeter ng polygon (P) na ito sa radius ng nakasulat na bilog (r), at pagkatapos ay hatiin ang resulta ng dalawa: Sn = 1 / 2P * r ...

Sa base - isang iregular na polygon

Ang pamamaraan para sa paghahanap ng lugar nito ay unang hatiin ang buong polygon sa mga tatsulok, kalkulahin ang lugar ng bawat isa sa kanila gamit ang formula: 1 / 2a * h (kung saan ang base ng tatsulok, h ay ang taas ay bumaba sa ang batayang ito), idagdag ang lahat ng mga resulta.

Lateral na ibabaw na lugar ng pyramid

Kalkulahin natin ngayon ang lugar ng gilid na bahagi ng pyramid, ibig sabihin ang kabuuan ng mga lugar ng lahat ng mga gilid na gilid nito. Posible rin dito ang 2 mga pagpipilian.

1. Magkaroon tayo ng isang di-makatwirang pyramid, ibig sabihin isa na may isang iregular na polygon sa base nito. Pagkatapos ay dapat mong kalkulahin ang lugar ng bawat mukha nang magkahiwalay at idagdag ang mga resulta. Dahil ang mga gilid ng pyramid, sa pamamagitan ng kahulugan, ay maaari lamang maging mga tatsulok, ang pagkalkula ay isinasagawa ayon sa pormula sa itaas: S = 1 / 2a * h.
2. Hayaan na ang aming piramide ay tama, ibig sabihin ang isang regular na polygon ay namamalagi sa base nito, at ang projection ng tuktok ng pyramid ay nasa gitna nito. Pagkatapos, upang makalkula ang lugar ng lateral ibabaw (Sb), sapat na upang makahanap ng kalahati ng produkto ng perimeter ng base polygon (P) ng taas (h) ng lateral side (pareho para sa lahat mga mukha): Sb = 1/2 P * h. Ang perimeter ng isang polygon ay natutukoy sa pamamagitan ng pagdaragdag ng haba ng lahat ng mga panig nito.

Ang kabuuang lugar sa ibabaw ng isang regular na pyramid ay matatagpuan sa pamamagitan ng paglalagay ng buod ng lugar ng base nito sa lugar ng buong pag-ilid na ibabaw.

Mga halimbawa ng

Bilang isang halimbawa, kalkulahin natin sa algebraically ang mga ibabaw na lugar ng maraming mga pyramid.

Ibabaw ng lugar ng isang tatsulok na piramide

Sa base ng naturang isang pyramid ay isang tatsulok. Gamit ang formula na Sо = 1 / 2a * h, nakita namin ang lugar ng base. Inilalapat namin ang parehong pormula upang mahanap ang lugar ng bawat facet ng pyramid, na mayroon ding isang tatsulok na hugis, at nakakakuha kami ng 3 mga lugar: S1, S2 at S3. Ang lugar ng pag-ilid sa itaas ng pyramid ay ang kabuuan ng lahat ng mga lugar: Sb = S1 + S2 + S3. Pagdaragdag ng mga lugar ng mga gilid at base, nakukuha namin ang kabuuang lugar sa ibabaw ng nais na pyramid: Sп = Sо + Sb.

Ibabaw ng lugar ng isang quadrangular pyramid

Ang lateral na ibabaw na lugar ay ang kabuuan ng 4 na mga termino: Sb = S1 + S2 + S3 + S4, ang bawat isa ay kinakalkula gamit ang formula para sa lugar ng isang tatsulok. At ang lugar ng base ay kailangang hanapin, depende sa hugis ng quadrangle - tama o hindi tama. Ang kabuuang lugar sa ibabaw ng pyramid ay muling nakuha sa pamamagitan ng pagdaragdag ng batayang lugar at ang kabuuang lugar sa ibabaw ng ibinigay na pyramid.

Triangular pyramid ay tinatawag na isang polyhedron sa base kung saan namamalagi ang isang regular na tatsulok.

Sa tulad ng isang pyramid, ang mga gilid ng base at ang mga gilid ng mga gilid na gilid ay pantay sa bawat isa. Alinsunod dito, ang lugar ng mga mukha sa gilid ay matatagpuan mula sa kabuuan ng mga lugar ng tatlong magkatulad na mga tatsulok. Mahahanap mo ang lugar ng lateral na ibabaw ng isang regular na pyramid gamit ang formula. At maaari mong gawin ang pagkalkula ng maraming beses nang mas mabilis. Upang magawa ito, kailangan mong ilapat ang formula para sa pag-ilid sa itaas na lugar ng isang tatsulok na pyramid:

kung saan ang p ang perimeter ng base, kung saan ang lahat ng panig ay katumbas ng b, a ang apothem, ibinaba mula sa itaas hanggang sa base na ito. Isaalang-alang ang isang halimbawa ng pagkalkula ng lugar ng isang tatsulok na piramide.

Suliranin: Hayaang ibigay ang tamang pyramid. Ang gilid ng tatsulok na nakahiga sa base ay b = 4 cm. Ang apothem ng pyramid ay isang = 7 cm. Hanapin ang lugar ng gilid na bahagi ng pyramid.
Dahil, ayon sa mga kundisyon ng problema, alam namin ang haba ng lahat ng kinakailangang mga elemento, mahahanap namin ang perimeter. Tandaan na sa isang regular na tatsulok lahat ng panig ay pantay, at, samakatuwid, ang perimeter ay kinakalkula ng formula:

Palitan ang data at hanapin ang halaga:

Ngayon, alam ang perimeter, maaari nating kalkulahin ang lateral na ibabaw na lugar:

Upang mailapat ang pormula ng tatsulok na lugar ng pyramid upang makalkula ang kabuuang halaga, kailangan mong hanapin ang lugar ng base ng polyhedron. Para sa mga ito, ginagamit ang formula:

Ang formula para sa lugar ng base ng isang tatsulok na pyramid ay maaaring magkakaiba. Ang anumang pagkalkula ng mga parameter para sa isang naibigay na pigura ay pinapayagan, ngunit kadalasan ay hindi ito kinakailangan. Isaalang-alang ang isang halimbawa ng pagkalkula ng lugar ng base ng isang tatsulok na piramide.

Suliranin: Sa isang regular na pyramid, ang gilid ng tatsulok na nakahiga sa base ay isang = 6 cm. Kalkulahin ang lugar ng base.
Upang makalkula, kailangan lamang namin ang haba ng gilid ng isang regular na tatsulok na matatagpuan sa base ng pyramid. Palitan natin ang data sa formula:

Kadalasan kinakailangan na hanapin ang kabuuang lugar ng isang polyhedron. Upang gawin ito, kakailanganin mong idagdag ang lugar ng gilid sa gilid at ang base.

Isaalang-alang ang isang halimbawa ng pagkalkula ng lugar ng isang tatsulok na piramide.

Suliranin: Hayaan ang isang regular na tatsulok na pyramid na ibigay. Ang gilid ng base ay b = 4 cm, ang apothem ay isang = 6 cm. Hanapin ang kabuuang lugar ng pyramid.
Upang magsimula sa, hanapin namin ang lugar ng lateral na ibabaw gamit ang alam na formula. Kalkulahin natin ang perimeter:

Pinalitan namin ang data sa formula:
Ngayon hanapin natin ang lugar ng base:
Alam ang lugar ng base at lateral na ibabaw, nakita namin ang kabuuang lugar ng pyramid:

Kapag kinakalkula ang lugar ng isang regular na pyramid, hindi dapat kalimutan ng isa na ang isang regular na tatsulok ay namamalagi sa base at maraming mga elemento ng polyhedron na ito ang katumbas ng bawat isa.