Tyngdpunkten för T-sektionen. Beräkning av T-balkar av armerad betong. Bestämning av T-sektionens tyngdpunkt

Beräkningarna är desamma som för en rektangulär balk. De täcker definitionen av kraften i balken och i hörnen av plattan. Krafterna flyttar sig sedan till den nya T-sektionens tyngdpunkt.

Axeln passerar genom plattans tyngdpunkt.

Ett förenklat tillvägagångssätt för att ta hänsyn till krafterna från plattan består i att multiplicera krafterna vid plattans noder (gemensamma noder för plattan och balken) med den beräknade bredden på plattan. Vid placering av balken i förhållande till plattan tas hänsyn till förskjutningar (även relativa förskjutningar). De resulterande förkortade resultaten är desamma som om T-sektionen höjdes från plattans plan med en förskjutningsmängd lika med avståndet från plattans tyngdpunkt till T-sektionens tyngdpunkt (se figuren) Nedan).

Att föra krafter till T-sektionens tyngdpunkt är som följer:

M = Mb + Mp * B + Np * B * el + Nb * e2

B = beff1 + b + beff2

Bestämning av T-sektionens tyngdpunkt

Statiskt moment beräknat vid plattans tyngdpunkt

S = b * h * (offset)

A = (beff1 + b + beff2) * hpl + b * h

Tyngdpunkt, upphöjd i förhållande till plattans tyngdpunkt:

b - strålbredd;

h är strålens höjd;

beff1, beff2 - beräknade skivbredder;

hpl - plattans höjd (plattans tjocklek);

offset är förskjutningen av balken i förhållande till plattan.

NOTERA.

1. Man måste ta hänsyn till att det kan finnas gemensamma ytor av plattan och balken, vilket tyvärr kommer att beräknas två gånger, vilket leder till en ökning av T-balkens styvhet. Som ett resultat blir krafterna och deformationerna mindre.
2. Plattresultat läses från finita elementnoder; förtjockning av nätet påverkar resultatet.
3. I modellen går T-sektionens axel genom plattans tyngdpunkt.
4. Multipliceringen av respektive krafter med plattans antagna konstruktionsbredd är en alltför förenkling som resulterar i ungefärliga resultat.

Ett kännetecken för tyngdpunkten är att denna kraft verkar på kroppen inte vid någon punkt, utan är fördelad över hela kroppens volym. Tyngdkrafterna som verkar på enskilda element i kroppen (som kan betraktas som materiella punkter) är riktade mot jordens centrum och är inte strikt parallella. Men eftersom dimensionerna för de flesta kroppar på jorden är mycket mindre än dess radie, anses dessa krafter därför vara parallella.

Bestämning av tyngdpunkten

Definition

Den punkt genom vilken resultanten av alla parallella gravitationskrafter som påverkar kroppens element för varje position av kroppen i rymden passerar kallas tyngdpunkt.

Med andra ord: tyngdpunkten är den punkt till vilken tyngdkraften appliceras för varje position av kroppen i rymden. Om tyngdpunktens position är känd, så kan vi anta att tyngdkraften är en kraft, och den appliceras i tyngdpunkten.

Uppgiften att hitta tyngdpunkten är en viktig uppgift inom tekniken, eftersom stabiliteten hos alla strukturer beror på tyngdpunktens position.

Metoden för att hitta kroppens tyngdpunkt

Genom att bestämma positionen för tyngdpunkten för en komplexformad kropp kan du först mentalt bryta kroppen i delar av en enkel form och hitta tyngdpunkterna för dem. För kroppar med enkel form kan du omedelbart bestämma tyngdpunkten av symmetriskäl. Tyngdkraften hos en homogen skiva och en kula är i deras centrum, en homogen cylinder vid en punkt i mitten av dess axel; homogen parallellepiped i skärningspunkten mellan dess diagonaler, etc. För alla homogena kroppar sammanfaller tyngdpunkten med symmetricentrum. Tyngdpunkten kan vara utanför kroppen, till exempel en ring.

Låt oss ta reda på platsen för tyngdpunkterna för kroppsdelar, hitta platsen för tyngdpunkten för kroppen som helhet. För detta representeras kroppen som en samling materiella punkter. Varje sådan punkt är belägen i tyngdpunkten för sin del av kroppen och har massan av denna del.

Tyngdpunktskoordinater

I det tredimensionella rymden beräknas koordinaterna för appliceringspunkten för resultanten av alla parallella gravitationskrafter (koordinater för tyngdpunkten) för en stel kropp som:

\ [\ vänster \ (\ börjar (array) (c) x_c = \ frac (\ summa \ limits_i (\ Delta m_ix_i)) (m) ; \\ y_c = \ frac (\ summa \ limits_i (\ Delta m_iy_i) ) (m) ;; \\ z_c = \ frac (\ summa \ limits_i (\ Delta m_iz_i)) (m) \ end (array) \ höger. \ vänster (1 \ höger), \]

där $ m $ är kroppens massa $ ;; x_i $ är koordinaten på X-axeln för den elementära massan $ \ Delta m_i $; $ y_i $ - koordinat på Y-axeln för den elementära massan $ \ Delta m_i $; ; $ z_i $ - koordinat på Z-axeln för den elementära massan $ \ Delta m_i $.

I vektornotation skrivs systemet med tre ekvationer (1) som:

\ [(\ överlinje (r)) _ c = \ frac (1) (m) \ summa \ limits_i (m_i (\ överlinje (r)) _ i \ vänster (2 \ höger),) \]

$ (\ överlinje (r)) _ c $ - radie - vektor som definierar tyngdpunktens position; $ (\ överlinje (r)) _ i $ - radievektorer som definierar positionerna för elementära massor.

Tyngdpunkt, massacentrum och kroppens massacentrum

Formel (2) sammanfaller med de uttryck som bestämmer kroppens masscentrum. I händelse av att kroppens dimensioner är små i jämförelse med avståndet till jordens centrum, anses tyngdpunkten sammanfalla med kroppens masscentrum. I de flesta uppgifter sammanfaller tyngdpunkten med kroppens massa.

Tröghetskraften i icke-tröghetsreferensramar, som rör sig translationellt, appliceras på kroppens tyngdpunkt.

Men man bör komma ihåg att tröghetscentrifugalkraften (i det allmänna fallet) inte appliceras på tyngdpunkten, eftersom i en icke-tröghetsreferensram verkar olika centrifugalkrafter av tröghet på kroppens element ( även om elementens massor är lika), eftersom avstånden till rotationsaxeln är olika.

Exempel på uppgifter med en lösning

Exempel 1

Träning. Systemet är uppbyggt av fyra små kulor (Fig. 1) Vilka är koordinaterna för dess tyngdpunkt?

Lösning. Tänk på fig. 1. I det här fallet kommer tyngdpunkten att ha en koordinat $ x_c $, som vi definierar som:

Kroppsvikten i vårt fall är lika med:

Täljaren för bråket på höger sida av uttrycket (1.1) i fallet (1 (a)) har formen:

\ [\ summa \ limits_ (i = 4) (\ Delta m_ix_i = m \ cdot 0 + 2m \ cdot a + 3m \ cdot 2a + 4m \ cdot 3a = 20m \ cdot a). \]

Vi får:

Svar.$ x_c = 2a; $

Exempel 2

Träning. Systemet är uppbyggt av fyra små kulor (Fig. 2) Vilka är koordinaterna för dess tyngdpunkt?

Lösning. Tänk på fig. 2. Tyngdpunkten för systemet är på planet, därför har det två koordinater ($ x_c, y_c $). Låt oss hitta dem genom formlerna:

\ [\ vänster \ (\ börjar (array) (c) x_c = \ frac (\ summa \ limits_i (\ Delta m_ix_i)) (m) ;; \\ y_с = \ frac (\ summa \ limits_i (\ Delta m_iy_i) ) (m). \ end (array) \ höger. \]

Systemvikt:

Hitta koordinaten $ x_c $:

$ Y_с $ koordinat:

Svar.$ x_c = 0,5 \ a $; $ y_с = 0,3 \ a $

Böjning av armerade betongkonstruktioner med rektangulärt tvärsnitt är inte effektiva ur ekonomisk synvinkel. Detta beror på det faktum att normala spänningar längs sektionens höjd under böjning av elementet fördelas ojämnt. I jämförelse med rektangulära sektioner är T-sektioner mycket mer lönsamma, eftersom med samma bärighet är förbrukningen av betong i T-profilelementen mindre.

Tee-sektionen har som regel en enkel förstärkning.

I hållfasthetsberäkningarna av normala sektioner av böjande T-profilelement finns det två designfall.

Algoritmen för det första designfallet är baserad på antagandet att den böjda delens neutralaxel är belägen inom den komprimerade flänsen.

Algoritmen för det andra designfallet är baserad på antagandet att det böjda elementets neutralaxel är belägen utanför den komprimerade flänsen (passerar längs kanten av elementets T-sektion).

Beräkningen av hållfastheten hos den normala sektionen av ett böjt armerat betongelement med en enkel förstärkning i fallet när den neutrala axeln är placerad inom den komprimerade flänsen är identisk med algoritmen för att beräkna en rektangulär sektion med en enkel armering med en sektionsbredd lika med bredden på T-flänsen.

Designschemat för detta fall visas i figur 3.3.

Ris. 3.3. Till beräkningen av hållfastheten hos den normala sektionen av ett böjt armerat betongelement i fallet när den neutrala axeln är belägen inom den komprimerade flänsen.

Geometriskt betyder fallet när den neutrala axeln är belägen inom den komprimerade flänsen att höjden på den komprimerade zonen av sektionen av T-stycket () inte är större än höjden på den komprimerade flänsen och uttrycks av villkoret: .

Ur synvinkel av de verkande krafterna från en extern last och inre krafter innebär detta tillstånd att sektionens hållfasthet säkerställs om det beräknade värdet av böjmomentet från en extern last (M ) kommer inte att överstiga det beräknade värdet av momentet av inre krafter i förhållande till tyngdpunkten för sektionen av spänd armering vid värden .

M (3.25)

Om villkoret (3.25) är uppfyllt, är den neutrala axeln verkligen placerad inom den komprimerade flänsen. I det här fallet är det nödvändigt att klargöra vilken storlek på bredden på den komprimerade flänsen som bör beaktas vid beräkningen. Normerna fastställer följande regler:

Menande b " f ingick i beräkningen; taget från villkoret att bredden på hyllans överhäng på varje sida av revbenet inte ska vara längre 1 / 6 span av ett element och inte mer:

a) i närvaro av tvärgående revben eller h " f ≥ 0,1 h - 1 / 2 klart avstånd mellan längsgående ribbor;

b) i frånvaro av tvärgående ribbor (eller om avstånden mellan dem är större än avståndet mellan de längsgående ribborna) och h " f < 0,1 h - 6 h " f

c) med utskjutande överhäng av hyllan:

på h " f ≥ 0,1 h - 6 h " f ;

på 0,05 h ≤ h " f < 0,1 h - 3 h " f ;

på h " f < 0,05 h - överhäng beaktas inte.

Låt oss skriva ner hållfasthetsförhållandet i förhållande till tyngdpunkten för den sträckta längsgående armeringen

M (3.26)

Vi transformerar ekvation (3.26) på samma sätt som transformationer av uttryck (3.3). (3.4) får vi uttrycket

M (3.27)

Härifrån definierar vi värdet

= (3.28)

Efter värde från tabellen definiera värdena och.

Låt oss jämföra värdet . delen av elementet. Om villkoret 𝛏 är uppfyllt, så utgör det hållfasthetsvillkoret i förhållande till tyngdpunkten för den komprimerade T-zonen.

M (3.29)

Genom att utföra transformationen av uttryck (3.29) liknande transformationen av uttryck (3.12) får vi:

= (3.30)

det är nödvändigt att välja värdena för området för den sträckta längsgående arbetsförstärkningen.

Beräkningen av hållfastheten hos den normala sektionen av ett böjt armerat betongelement med enkel förstärkning i fallet när den neutrala axeln är placerad utanför den komprimerade flänsen (löper längs kanten av T-stycket) skiljer sig något från det som diskuterats ovan.

Designschemat för detta fall visas i figur 3.4.

Ris. 3.4. Till beräkningen av hållfastheten hos den normala sektionen av ett böjt armerat betongelement i fallet när den neutrala axeln är placerad utanför den komprimerade flänsen.

Låt oss betrakta sektionen av den komprimerade Tavr-zonen som en summa bestående av två rektanglar (överhäng av hyllan) och en rektangel som hör till den komprimerade delen av revbenet.

Hållfasthetstillstånd i förhållande till dragarmeringens tyngdpunkt.

M + (3.31)

var – ansträngning i komprimerade hyllöverhäng;

Axel från tyngdpunkten för den sträckta förstärkningen till tyngdpunkten för hyllans överhäng;

- kraften i den komprimerade delen av märkets revben;

- skuldra från tyngdpunkten för den sträckta förstärkningen till tyngdpunkten för den sammanpressade delen av revbenet.

= (3.32)

= (3.33)

= b (3.34)

= (3.35)

Ersätt uttryck (3.32 - 3.35) med formel (3.31).

M + b (3.36)

Vi transformerar i uttryck (3.36) den andra termen på höger sida av ekvationen på samma sätt som de transformationer som utförts ovan (formlerna 3.3; 3.4; 3.5)

Vi får följande uttryck:

M + (3.37)

Härifrån bestämmer vi det numeriska värdet .

= (3.38)

Efter värde från tabellen definiera värdena och.

Låt oss jämföra värdet med gränsvärdet för den relativa höjden av den komprimerade zonen . delen av elementet. Om villkoret 𝛏 är uppfyllt, bildas villkoret för jämvikten för projektionerna av krafterna på elementets längdaxel. Σ N=0

--=0 (3.39)

=+ b (3.40)

Härifrån bestämmer vi den erforderliga tvärsnittsarean för den sträckta längsgående arbetsförstärkningen.

= (3.41)

Genom sortiment av stångarmering det är nödvändigt att välja värdena för området för den sträckta längsgående arbetsförstärkningen.