Antiderivativ funktion och obestämd integral. Antiderivatatabell över obestämda integraler och derivator

Integration är en av huvudoperationerna inom matematisk analys. Tabeller över kända antiderivat kan vara användbara, men nu, efter tillkomsten av datoralgebrasystem, tappar de sin betydelse. Nedan finns en lista över de vanligaste primitiva.

Tabell över grundläggande integraler

Ett annat kompakt alternativ

Tabell över integraler av trigonometriska funktioner

Från rationella funktioner

Från irrationella funktioner

Integraler av transcendentala funktioner

"C" är en godtycklig integrationskonstant, som bestäms om värdet på integralen vid någon punkt är känt. Varje funktion har ett oändligt antal antiderivator.

De flesta skolelever och elever har problem med att beräkna integraler. Denna sida innehåller integrerade tabeller från trigonometriska, rationella, irrationella och transcendentala funktioner som hjälper till i lösningen. Tabellen över derivat kommer också att hjälpa dig.

Video - hur man hittar integraler

Om du inte riktigt förstår det här ämnet, titta på videon, som förklarar allt i detalj.

Integration är inte svårt att lära sig. För att göra detta behöver du bara lära dig en viss, ganska liten uppsättning regler och utveckla en slags instinkt. Det är naturligtvis lätt att lära sig reglerna och formlerna, men det är ganska svårt att förstå var och när man ska tillämpa den eller den regeln för integration eller differentiering. Detta är faktiskt förmågan att integrera.

1. Antiderivat. Obestämd integral.

Det antas att läsaren redan vid tidpunkten för att läsa den här artikeln har vissa differentieringsförmåga (d.v.s. att hitta derivator).

Definition 1.1: En funktion kallas en antiderivata av en funktion om likheten gäller:

Kommentarer:> Tyngdpunkten i ordet "ursprunglig" kan läggas på två sätt: för det första O figurativ eller prototyp A menande.

Egenskap 1: Om en funktion är en antiderivata av en funktion, så är funktionen också en antiderivata av en funktion.

Bevis: Låt oss bevisa detta från definitionen av ett antiderivat. Låt oss hitta derivatan av funktionen:

Första terminen i definition 1.1är lika med , och den andra termen är derivatan av konstanten, som är lika med 0.

.

Sammanfatta. Låt oss skriva ner början och slutet av kedjan av jämställdhet:

Således är derivatan av en funktion lika med , och är därför per definition dess antiderivata. Fastigheten är bevisad.

Definition 1.2: Den obestämda integralen av en funktion är hela uppsättningen av antiderivator av denna funktion. Detta indikeras enligt följande:

.

Låt oss titta på namnen på varje del av posten i detalj:

— allmän beteckning för integralen,

— integrant (integral) uttryck, integrerbar funktion.

är en differential, och uttrycket efter bokstaven , i detta fall är det , kommer att kallas integrationsvariabeln.

Kommentarer: Nyckelorden i denna definition är "hela uppsättningen." De där. Om inte samma "plus C" i framtiden skrivs ner i svaret, har examinatorn all rätt att inte räkna denna uppgift, eftersom det är nödvändigt att hitta hela uppsättningen av antiderivat, och om C saknas, så hittas bara en.

Slutsats: För att kontrollera om integralen är korrekt beräknad är det nödvändigt att hitta derivatan av resultatet. Det måste sammanfalla med integranden.
Exempel:
Träning: Beräkna den obestämda integralen och kontrollera.

Lösning:

Hur denna integral beräknas spelar ingen roll i detta fall. Låt oss anta att detta är en uppenbarelse från ovan. Vår uppgift är att visa att uppenbarelsen inte bedrog oss, och detta kan göras genom verifiering.

Undersökning:

Vid differentiering av resultatet fick vi en integrand, vilket betyder att integralen beräknades korrekt.

2. Början. Tabell över integraler.

För att integrera behöver du inte varje gång komma ihåg funktionen vars derivata är lika med den givna integranden (dvs. använd definitionen av integralen direkt). Varje samling problem eller lärobok om matematisk analys innehåller en lista med egenskaper hos integraler och en tabell över de enklaste integralerna.

Låt oss lista egenskaperna.

Egenskaper:
1.
Differensens integral är lika med integrationsvariabeln.
2. , där är en konstant.
Den konstanta multiplikatorn kan tas ur heltaltecknet.

3.
Integralen av en summa är lika med summan av integraler (om antalet termer är ändligt).
Tabell över integraler:

1.	10.
2.	11.
3.	12.
4.	13.
5.	14.
6.	15.
7.	16.
8.	17.
9.	18.

Oftast är uppgiften att reducera integralen som studeras till en tabellform med hjälp av egenskaper och formler.

Exempel:

[Låt oss använda den tredje egenskapen hos integraler och skriva den som summan av tre integraler.]

[Låt oss använda den andra egenskapen och flytta konstanterna bortom integrationstecknet.]

[ I den första integralen kommer vi att använda tabellintegralen nr 1 (n=2), i den andra kommer vi att använda samma formel, men n=1, och för den tredje integralen kan vi antingen använda samma tabellintegralen, men med n=0, eller den första egenskapen ].
.
Låt oss kontrollera genom differentiering:

Den ursprungliga integranden erhölls, därför utfördes integrationen utan fel (och tillägget av en godtycklig konstant C glömdes inte ens).

Tabellintegraler måste läras utantill av en enkel anledning – för att veta vad man ska sträva efter, d.v.s. känna till syftet med att transformera ett givet uttryck.

Här är några fler exempel:
1)
2)
3)

Uppgifter för oberoende lösning:

Övning 1. Beräkna den obestämda integralen:

+ Visa/dölj ledtråd #1.

1) Använd den tredje egenskapen och representera denna integral som summan av tre integraler.

+ Visa/dölj ledtråd #2.

+ Visa/dölj ledtråd #3.

3) För de två första termerna, använd den första tabellintegralen, och för den tredje, använd den andra tabellintegralen.

+ Visa/dölj lösning och svar.

4) Lösning:

Svar:

Den här lektionen är den första i en serie videor om integration. I den kommer vi att analysera vad en antiderivata av en funktion är, och även studera de elementära metoderna för att beräkna just dessa antiderivator.

Faktum är att det inte är något komplicerat här: i huvudsak handlar det om begreppet derivat, som du redan borde vara bekant med :)

Jag kommer omedelbart att notera att eftersom det här är den allra första lektionen i vårt nya ämne kommer det idag inte att finnas några komplexa beräkningar och formler, men det vi kommer att lära oss idag kommer att ligga till grund för mycket mer komplexa beräkningar och konstruktioner vid beräkning av komplexa integraler och arealer .

Dessutom, när vi börjar studera integration och integraler i synnerhet, antar vi implicit att studenten redan åtminstone är bekant med begreppen derivat och har åtminstone grundläggande färdigheter i att beräkna dem. Utan en klar förståelse för detta finns det absolut inget att göra inom integration.

Men här ligger ett av de vanligaste och mest lömska problemen. Faktum är att, när de börjar beräkna sina första antiderivat, blandar många elever ihop dem med derivat. Som ett resultat görs dumma och kränkande misstag under tentor och självständigt arbete.

Därför kommer jag nu inte att ge en tydlig definition av ett antiderivat. I gengäld föreslår jag att du ser hur det beräknas med ett enkelt specifikt exempel.

Vad är ett antiderivat och hur beräknas det?

Vi känner till denna formel:

\[((\vänster(((x)^(n)) \höger))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1))\]

Denna derivata beräknas enkelt:

\[(f)"\vänster(x \höger)=((\vänster(((x)^(3)) \höger))^(\prime ))=3((x)^(2))\ ]

Låt oss titta noga på det resulterande uttrycket och uttrycka $((x)^(2))$:

\[((x)^(2))=\frac(((\vänster(((x)^(3)) \höger))^(\prime )))(3)\]

Men vi kan skriva det så här, enligt definitionen av en derivata:

\[((x)^(2))=((\left(\frac(((x)^(3)))(3) \höger))^(\prime ))\]

Och nu uppmärksamhet: det vi just skrev ner är definitionen av ett antiderivat. Men för att skriva det korrekt måste du skriva följande:

Låt oss skriva följande uttryck på samma sätt:

Om vi generaliserar denna regel kan vi härleda följande formel:

\[((x)^(n))\till \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

Nu kan vi formulera en tydlig definition.

En antiderivata av en funktion är en funktion vars derivata är lika med den ursprungliga funktionen.

Frågor om antiderivatfunktionen

Det verkar vara en ganska enkel och begriplig definition. Men efter att ha hört det kommer den uppmärksamma studenten omedelbart att ha flera frågor:

Låt oss säga, okej, den här formeln är korrekt. Men i det här fallet, med $n=1$, har vi problem: "noll" visas i nämnaren, och vi kan inte dividera med "noll".
Formeln är begränsad till endast grader. Hur man beräknar antiderivatan, till exempel av sinus, cosinus och någon annan trigonometri, samt konstanter.
Existentiell fråga: är det alltid möjligt att hitta ett antiderivat? Om ja, hur är det då med antiderivatan av summan, skillnaden, produkten etc.?

Jag ska genast svara på den sista frågan. Tyvärr beaktas inte alltid antiderivatet, till skillnad från derivatet. Det finns ingen universell formel genom vilken vi från någon initial konstruktion kommer att erhålla en funktion som kommer att vara lika med denna liknande konstruktion. När det gäller krafter och konstanter, vi ska prata om det nu.

Lösa problem med kraftfunktioner

\[((x)^(-1))\till \frac(((x)^(-1+1)))(-1+1)=\frac(1)(0)\]

Som du kan se fungerar inte denna formel för $((x)^(-1))$. Frågan uppstår: vad fungerar då? Kan vi inte räkna $((x)^(-1))$? Så klart vi kan. Låt oss bara komma ihåg detta först:

\[((x)^(-1))=\frac(1)(x)\]

Låt oss nu tänka: derivatan av vilken funktion är lika med $\frac(1)(x)$. Uppenbarligen kommer alla elever som har studerat detta ämne åtminstone lite att komma ihåg att detta uttryck är lika med derivatan av den naturliga logaritmen:

\[((\vänster(\ln x \höger))^(\prime ))=\frac(1)(x)\]

Därför kan vi med tillförsikt skriva följande:

\[\frac(1)(x)=((x)^(-1))\till \ln x\]

Du måste känna till denna formel, precis som derivatan av en potensfunktion.

Så vad vi vet hittills:

För en potensfunktion - $((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)$
För en konstant - $=const\till \cdot x$
Ett specialfall av en potensfunktion är $\frac(1)(x)\to \ln x$

Och om vi börjar multiplicera och dividera de enklaste funktionerna, hur kan vi då beräkna antiderivatan för en produkt eller kvot. Tyvärr fungerar inte analogier med derivatan av en produkt eller kvot här. Det finns ingen standardformel. För vissa fall finns det knepiga specialformler - vi kommer att bekanta oss med dem i framtida videolektioner.

Kom dock ihåg: det finns ingen generell formel som liknar formeln för att beräkna derivatan av en kvot och en produkt.

Att lösa verkliga problem

Uppgift nr 1

Låt oss beräkna var och en av effektfunktionerna separat:

\[((x)^(2))\till \frac(((x)^(3)))(3)\]

För att återgå till vårt uttryck, skriver vi den allmänna konstruktionen:

Problem nr 2

Som jag redan har sagt, beaktas inte prototyper av verk och detaljer "to the point". Men här kan du göra följande:

Vi delade upp bråket i summan av två bråk.

Låt oss räkna ut:

Den goda nyheten är att genom att känna till formlerna för att beräkna antiderivat, kan du redan beräkna mer komplexa strukturer. Men låt oss gå längre och utöka vår kunskap lite mer. Faktum är att många konstruktioner och uttryck, som vid första anblicken inte har något att göra med $((x)^(n))$, kan representeras som en potens med en rationell exponent, nämligen:

\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2)))\]

\[\sqrt[n](x)=((x)^(\frac(1)(n)))\]

\[\frac(1)(((x)^(n)))=((x)^(-n))\]

Alla dessa tekniker kan och bör kombineras. Maktuttryck kan vara

multiplicera (grader adderas);
dividera (grader subtraheras);
multiplicera med en konstant;
etc.

Lösa maktuttryck med rationell exponent

Exempel #1

Låt oss beräkna varje rot separat:

\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2)))\till \frac(((x)^(\frac(1)(2)+1)))(\ frac(1)(2)+1)=\frac(((x)^(\frac(3)(2))))(\frac(3)(2))=\frac(2\cdot (( x)^(\frac(3)(2))))(3)\]

\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(4)))\till \frac(((x)^(\frac(1)(4))))(\frac( 1)(4)+1)=\frac(((x)^(\frac(5)(4))))(\frac(5)(4))=\frac(4\cdot ((x)) ^(\frac(5)(4))))(5)\]

Sammantaget kan hela vår konstruktion skrivas så här:

Exempel nr 2

\[\frac(1)(\sqrt(x))=((\left(\sqrt(x) \right))^(-1))=(\left(((x)^(\frac( 1)(2))) \höger))^(-1))=((x)^(-\frac(1)(2)))\]

Därför får vi:

\[\frac(1)(((x)^(3)))=((x)^(-3))\till \frac(((x)^(-3+1))))(-3) +1)=\frac(((x)^(-2)))(-2)=-\frac(1)(2((x)^(2))))\]

Sammantaget, samlar vi allt i ett uttryck, kan vi skriva:

Exempel nr 3

Till att börja med noterar vi att vi redan har beräknat $\sqrt(x)$:

\[\sqrt(x)\to \frac(4((x)^(\frac(5)(4))))(5)\]

\[((x)^(\frac(3)(2)))\till \frac(((x)^(\frac(3)(2)+1)))(\frac(3)(2) )+1)=\frac(2\cdot ((x)^(\frac(5)(2))))(5)\]

Låt oss skriva om:

Jag hoppas att jag inte kommer att förvåna någon om jag säger att det vi just har studerat bara är de enklaste beräkningarna av antiderivat, de mest elementära konstruktionerna. Låt oss nu titta på lite mer komplexa exempel, där du, förutom de tabellformiga antiderivaten, också måste komma ihåg skolans läroplan, nämligen förkortade multiplikationsformler.

Lösa mer komplexa exempel

Uppgift nr 1

Låt oss komma ihåg formeln för den kvadratiska skillnaden:

\[((\vänster(a-b \höger))^(2))=((a)^(2))-ab+((b)^(2))\]

Låt oss skriva om vår funktion:

Vi måste nu hitta prototypen för en sådan funktion:

\[((x)^(\frac(2)(3)))\till \frac(3\cdot ((x)^(\frac(5)(3))))(5)\]

\[((x)^(\frac(1)(3)))\till \frac(3\cdot ((x)^(\frac(4)(3))))(4)\]

Låt oss sätta ihop allt till en gemensam design:

Problem nr 2

I det här fallet måste vi utöka skillnadskuben. Låt oss komma ihåg:

\[((\vänster(a-b \höger))^(3))=((a)^(3))-3((a)^(2))\cdot b+3a\cdot ((b)^ (2))-((b)^(3))\]

Med hänsyn till detta faktum kan vi skriva det så här:

Låt oss förvandla vår funktion lite:

Vi räknar som alltid - för varje termin för sig:

\[((x)^(-3))\till \frac(((x)^(-2)))(-2)\]

\[((x)^(-2))\till \frac(((x)^(-1)))(-1)\]

\[((x)^(-1))\till \ln x\]

Låt oss skriva ner den resulterande konstruktionen:

Problem nr 3

Överst har vi kvadraten på summan, låt oss utöka den:

\[\frac(((\left(x+\sqrt(x) \right))^(2)))(x)=\frac(((x)^(2))+2x\cdot \sqrt(x )+((\left(\sqrt(x) \right))^(2)))(x)=\]

\[=\frac(((x)^(2)))(x)+\frac(2x\sqrt(x))(x)+\frac(x)(x)=x+2((x) ^(\frac(1)(2)))+1\]

\[((x)^(\frac(1)(2)))\till \frac(2\cdot ((x)^(\frac(3)(2))))(3)\]

Låt oss skriva den slutliga lösningen:

Nu uppmärksamhet! En mycket viktig sak, som är förknippad med lejonparten av fel och missförstånd. Faktum är att vi hittills inte tänkt på vad derivatan av en konstant är lika med när vi räknar antiderivat med hjälp av derivat och ger transformationer. Men derivatan av en konstant är lika med "noll". Det betyder att du kan skriva följande alternativ:

$((x)^(2))\till \frac(((x)^(3)))(3)$
$((x)^(2))\till \frac(((x)^(3)))(3)+1$
$((x)^(2))\till \frac(((x)^(3)))(3)+C$

Detta är mycket viktigt att förstå: om derivatan av en funktion alltid är densamma, så har samma funktion ett oändligt antal antiderivator. Vi kan helt enkelt lägga till alla konstanta tal till våra antiderivator och få nya.

Det är ingen slump att det i förklaringen av problemen som vi just löste skrevs "Skriv ner den allmänna formen av antiderivat." De där. Det antas redan på förhand att det inte finns en av dem, utan en hel mängd. Men i själva verket skiljer de sig bara i den konstanta $C$ i slutet. Därför kommer vi i våra uppgifter att korrigera det vi inte slutfört.

Återigen skriver vi om våra konstruktioner:

I sådana fall bör du lägga till att $C$ är en konstant - $C=const$.

I vår andra funktion får vi följande konstruktion:

Och den sista:

Och nu fick vi verkligen det som krävdes av oss i problemets ursprungliga skick.

Lösa problem med att hitta antiderivat med en given punkt

Nu när vi vet om konstanter och särdragen med att skriva antiderivat, är det ganska logiskt att följande typ av problem uppstår, när det från mängden av alla antiderivata krävs att hitta en och endast en som skulle passera genom en given punkt. Vad är denna uppgift?

Faktum är att alla antiderivator av en given funktion skiljer sig endast genom att de förskjuts vertikalt med ett visst antal. Och detta betyder att oavsett vilken punkt på koordinatplanet vi tar, kommer ett antiderivat definitivt att passera, och dessutom bara ett.

Så problemen som vi nu kommer att lösa är formulerade enligt följande: inte bara hitta antiderivatan, känna till formeln för den ursprungliga funktionen, utan välj exakt den som passerar genom den givna punkten, vars koordinater kommer att anges i problemet påstående.

Exempel #1

Först, låt oss helt enkelt räkna varje term:

\[((x)^(4))\till \frac(((x)^(5)))(5)\]

\[((x)^(3))\till \frac(((x)^(4)))(4)\]

Nu ersätter vi dessa uttryck i vår konstruktion:

Denna funktion måste passera genom punkten $M\left(-1;4 \right)$. Vad betyder det att den passerar genom en punkt? Det betyder att om vi istället för $x$ sätter $-1$ överallt, och istället för $F\left(x \right)$ - $-4$, så borde vi få den korrekta numeriska likheten. Nu gör vi det:

Vi ser att vi har en ekvation för $C$, så låt oss försöka lösa det:

Låt oss skriva ner själva lösningen vi letade efter:

Exempel nr 2

Först och främst är det nödvändigt att avslöja kvadraten på skillnaden med den förkortade multiplikationsformeln:

\[((x)^(2))\till \frac(((x)^(3)))(3)\]

Den ursprungliga konstruktionen kommer att skrivas så här:

Låt oss nu hitta $C$: ersätt koordinaterna för punkten $M$:

\[-1=\frac(8)(3)-12+18+C\]

Vi uttrycker $C$:

Det återstår att visa det slutliga uttrycket:

Lösa trigonometriska problem

Som en sista touch till det vi just har diskuterat, föreslår jag att vi överväger två mer komplexa problem som involverar trigonometri. I dem kommer du på samma sätt att behöva hitta antiderivator för alla funktioner, välj sedan den enda från denna uppsättning som passerar genom punkten $M$ på koordinatplanet.

När vi blickar framåt skulle jag vilja notera att tekniken som vi nu kommer att använda för att hitta antiderivator av trigonometriska funktioner i själva verket är en universell teknik för självtest.

Uppgift nr 1

Låt oss komma ihåg följande formel:

\[((\left(\text(tg)x \right))^(\prime ))=\frac(1)(((\cos )^(2))x)\]

Utifrån detta kan vi skriva:

Låt oss ersätta koordinaterna för punkt $M$ i vårt uttryck:

\[-1=\text(tg)\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(4))+C\]

Låt oss skriva om uttrycket med hänsyn till detta faktum:

Problem nr 2

Det här blir lite svårare. Nu ska du se varför.

Låt oss komma ihåg denna formel:

\[((\left(\text(ctg)x \right))^(\prime ))=-\frac(1)(((\sin )^(2))x)\]

För att bli av med "minus" måste du göra följande:

\[((\left(-\text(ctg)x \right))^(\prime ))=\frac(1)(((\sin )^(2))x)\]

Här är vår design

Låt oss ersätta koordinaterna för punkt $M$:

Totalt skriver vi ner den slutliga konstruktionen:

Det var allt jag ville berätta om idag. Vi studerade själva termen antiderivator, hur man beräknar dem från elementära funktioner, och även hur man hittar en antiderivata som passerar genom en specifik punkt på koordinatplanet.

Jag hoppas att den här lektionen kommer att hjälpa dig att förstå detta komplexa ämne åtminstone lite. Det är i alla fall på antiderivator som obestämda och obestämda integraler konstrueras, så det är absolut nödvändigt att beräkna dem. Det var allt för mig. Vi ses!